2018届高三数学二轮复习课件：专题七概率与统计7.1计数原理二项式定理
2018届高考数学二轮复习专题七概率与统计7.1计数原理二项式定理课件理
1 例 2(1)(2017· 全国卷 Ⅰ)1 ＋ x2 (1 ＋ x)6 展开式中 x2 的系数为 ( C ) A．15 B．20 C．30 D．35 (2)(2017· 浙江卷 ) 已知多项式 (x ＋ 1)3(x ＋ 2)2 ＝ x5 ＋ a1x4 ＋ a2x3 ＋ 16 a3x2＋a4x＋a5，则 a4＝________ ，a5＝________. 4
【解析】 (1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 1 2 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C3 · C4· A2＝36(种)，或列式为 4×3 1 2 1 C3· C4· C2＝3× 2 ×2＝36(种)． 故选 D. (2)①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为 1 4 C3 C4 · A4＝960. 5· 4 ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A5 ＝ 120. 故符合题意的四位数一共有 960＋120＝1 080(个)．
考点 2
பைடு நூலகம்二项式定理
1．通项与二项式系数 n －r r Tr＋1＝Cr b ，其中 Cr na n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数． 2．各二项式系数之和 1 2 n n (1)C0 n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2 . 3 0 2 n－1 (2)C1 ＋ C ＋…＝ C ＋ C ＋…＝ 2 . n n n n
1 4 4 2 2 1· C6x 和 2· C6x .
[技法领悟] (1)利用二项式定理求解的两种常用思路 ①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或 者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的． ② 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中 的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值． (2)[警示] 在应用通项公式时，要注意以下几点： ①它表示二项展开式的任意项， 只要 n 与 r 确定， 该项就随之确定； ②Tr＋1 是展开式中的第 r＋1 项，而不是第 r 项； ③公式中，a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
高三数学二轮复习 第1讲计数原理、二项式定理专题攻略课件 理 新人教版
②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数
n C2n
取得最大值；当
n
为奇数时，中间的两项的二项
式系数 Cn－2 1n，Cn＋2 1n 相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和：
a．Cn0＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n； b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝ 2n－1.
专题七 概率与统计、算法 初步、复数
第1讲 计数原理、二项式定理
要点知识整合
1．排列与组合 (1)复杂的排列问题常常通过试验、画简图等手段使问 题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以 直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验． (2)处理排列组合的综合性问题时，一般地思想方法是 先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事 件发生的连续过程“分步”，这是处理排列组合问题的基 本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的 基本技能．
填涂种数共有( )
A.48
B．24 C．12
D．6
解析：选 C.可将 9 个区域标号如图： 123 456 789
用不同颜色为 9 个区域涂色，可分步解决：第一步， 为第一行涂色，有 A33＝6 种方法；第二步，用与 1 号区域不同色的两种颜色为 4,7 两个区域涂色，有 A22＝2 种方法；剩余区域只有一种涂法．所以共有 6×2＝12 种涂法，故选 C.
热点突破探究
典例精析
题型一 计数原理
例1 上海某中学从高三四个班中共抽出学生22人， 其中一、二、三、四班各4人、5人、6人、7人，他 们自愿组成世博服务小组，若从中推选出2名去美 国馆服务，要求这2人来自不同班级，有多少种不 同的选法？
高考数学二轮复习计数原理与概率
6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
二轮复习排列组合、二项式定理
排列组合二项式定理教学过程一、考纲解读该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。
主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.二、复习预习（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.三、知识讲解考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.考点2 排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.考点3 二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( )A .18B .38C .58D .78【规范解答】解法1.选D （直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有22426C C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=； 解法2.选D （间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.【总结与反思】 （1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。
二项式性质课件
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
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THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
高考数学一轮总复习教学课件第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第3节 二项式定理
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项
式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
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1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=
n
n-1 1
n-k k
n
a + a b +…+ a b +…+ b (n∈N*).
取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数
为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式
的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项
当 x=-1 时,有 a0-a1+a2-a3+…-a2 023+a2 024=3 ,
B 中,由上可得 a1+a3+a5+…+a2 023=
C 中,由上可得 a0+a2+a4+…+a2 024=
D 中,令 x= 可得 a0+ + + +…+
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,
令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.故选ABD.
高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第三节 二项式定理课件 理
和
1.二项式定理 (1)定理:公式(a+b)n=C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-kbk+…+C������������ bn(n∈N*)叫 做二项式定理.(a+b)n 的二项展开式共有 n+1 项,其中各项的系数 C������������ (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数. (2)通项:式中的C������������ an-kbk 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即二项 展开式的通项为第 k+1 项,Tk+1=C������������ an-kbk.
������
������
=
(−������)kC5������
5-2������
������ 2
,
令
5-2������ 2
=
3 , 解得������
2
=
1, 所以
−
������C51=30,
解得 a=-6.
【参考答案】 D
(2)(2015·天津高考)在
������-
1 4������
6
的展开式中
x2
的系数为
.
【解题思路】本题主要考查二项式定理.
展开式中的含有
提醒:展开式中第 k+1 项的二项式系数与第 k+1 项的系数不是同一概念.
3.常用的数学方法与思想
公式代入法、赋值法、函数与方程思想.
1.(2015·山东实验中学四诊)在二项式
1 ������
-������2
5
的展开式中,含
x4 的项
2018届高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第3节二项式定理课件理
， 其中， 0≤r′≤5－r,0≤r≤5， 或
r ， r′ 都是自然数．令
r＝3， r′＝1.
r＝2， 10 － 2r － r′ ＝ 3 ，可得 r′＝3
2 3 3 3 1 故 x3 项的系数为 C2 · 2 · ( － C ) ＋ C · 2 · ( － C 5 3 5 2)＝－200.
考点一
展开式中的特定项或系数问题 ——共研型
角度 1：二项展开式中的特定项或系数 (1)(2017· 沧州一中期末 ) 若 开式中第四项为常数项，则 n＝( A．4 C．6 B．5 D．7 ) 的展
(2)(2016· 全国卷Ⅰ )(2x ＋ x )5 的展开式中， x3 的系数是 __________(用数字填写答案)．
n
表示的定理叫做二项式定理．
k n－k k C b na (2)通项：Tk＋1＝
为第
k＋1
项．
2．二项式系数
k C n (1)定义：式子
叫做二项式系数．
(2)性质
n－k k C ①对称性：Cn＝ n
.
②二项式系数最值问题． a．当 n 为偶数时，中间一项 b． 当 n 为奇数时， 中间两项
n 1 2 n 2 ③C0 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＝ . n n n n
(2)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( A．－4 C．3 B．－3 D．4
[ 解 析 ] 2 2 ，
(1)(x2 ＋ 2)
＝ x2
＋
的展开式中的常数项为 2C5 5 的展开式中的常数项为 x2C4 5 的展开式中的常数项
(－1)5＝－2， x2
(－1)4＝5，故二项式(x2＋2) 为－2＋5＝3.
2018届高考数学文二轮复习课件：2.7.2 概率及其与统计的综合应用 精品
故求概率 P＝14ππ－21＝14－21π，故选 C.
答案：C
3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜
色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛
热点追踪
热点考向一 几何概型
[典例 1] (2015·福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B
x＋1，x≥0， 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象
上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
( A).16
[自主解答] (1)①当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x＞19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝530800x0－，5x7≤001，9，x＞19 (x∈N)． ②由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19. ③若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器 中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所 需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000 元．
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购 买的易损零件数．
高考数学二轮复习 专题辅导与训练 概率、计数原理、二项式定理教学课件
【变式训练】在区间[0,10]上随机取两个实数(shìshù)x,y,求事 件“2x+y≥2”的概率.
【解析】由题意 0 x在平10面, 直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中作
出对应的
0 y 10,
区域,及事件“2x+y≥2”对应的区域,如下图所示:
所以事件“2x+y≥2”的概率为:
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（4）忽视顺序：解决(jiějué)排列组合问题时，不要忽视问题 与顺序是否有关这一条件. （5）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一项 的二项式系数易混，一定要区分开来.
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【考题回顾】 1.（2014·广东高考改编）从字母a,b,c,d,e中任取两个不同 字母，求取到字母a的概率. 【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，不考虑 先后顺序共有10种取法(qǔfǎ)，分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)，其中取到字母a的 有4种：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)，所求概率为p=
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【解析】(1)由题意得 x＝28＝84，
所以x=56,y=2.
4y 6
(2)记从城市A所抽取的民营企业分别为a1,a2,a3,a4,从城市B
抽取的民营企业分别为b1,b2.则从城市A,B抽取的6个中再随
机选2个进行跟踪式调研的基本事件(shìjiàn)有:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),
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（3）互斥事件、对立事件的概率公式(gōngshì):
2018高考数学考点突破——计数原理、概率与统计：二项式定理 Word版含解析
二项式定理【考点梳理】1.二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2.二项式系数的性质(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 【考点突破】考点一、求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. [解析] (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3.因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454.(3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2. 【类题通法】1. 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【对点训练】1．(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20C.30D.60[答案] C[解析] 法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.2．(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). [答案] 10[解析] 由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.考点二、二项式系数的和与各项的系数和问题【例2】在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和；解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，①令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102. 【类题通法】1. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.2．若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【对点训练】1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( )A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49[答案] B[解析] 令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.2．(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( )A.1 024B.243C.32D.24[答案] A[解析]令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.考点三、二项式定理的应用【例3】(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x 2 017＝( )A.iB.－iC.－1＋iD.－1－i[答案] (2) C[解析] (1)证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2) x ＝2i1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i ，C 12 017x ＋C 22 017x 2＋C 32 017x 3＋…＋C 2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.【类题通法】1. 整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.2．二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.【对点训练】1．设a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[答案] D[解析]∵512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C02 016·522 016－C12 016·522 015＋C22 016·522 014＋…－C2 015·52＋1＋a能被13整除，且0≤a<13，∴1＋a能被13整除，故a2 016＝12.2．已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n等于()A.63B.64C.31D.32[答案] A[解析] 逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝26－C0n＝64－1＝63.故选A.。
2018届高考数学理新课标二轮专题复习课件：2-3推理、计数原理、二项式定理 精品
1．综合分析数学归纳，正难则反遍地开花． 2．归纳推理的一般步骤． (1)通过观察个别情况发现相同的性质； (2)推出一个明确表述的一般性结论．
3．类比推理的一般步骤． (1)找出两类事物之间的相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．
ccoossα αccoossβ β＋ －ssiinnα αssiinnβ β＝ ＝2143， ，得csionsααscionsββ＝＝2521414. ，
所以 tanαtanβ＝csoinsα αscionsββ＝151，考虑到ttaannα β的值是由 scionsααcsoinsβ β确定的，可以设想条件应该是关于 sinαcosβ，cosα sinβ的二元方程，类比原问题条件形式，自然联想到两角和与差 的正弦公式，因此，这组条件可以是“sin(α－β)＝23，sin(α＋β) ＝14”．
可
以
推
测
，
1
＋
5
＋
15
＋
…
＋
1 24
n(n
＋
1)(n
＋
2)(n
＋
3)
＝
________．
【解析】 根据式子中的规律可知，等式右侧为 5×4×13×2×1n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＝1210n(n＋1)(n＋2)(n＋ 3)(n＋4)．
【答案】 1120n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
(2)(2015·山东)观察下列各式： C10＝40； C30＋C31＝41； C50＋C51＋C52＝42； C70＋C71＋C72＋C73＝43； …… 照此规律，当 n∈N*时， C2n－10＋C2n－11＋C2n－12＋…＋C2n－1n－1＝________．
高考数学复习考点知识与题型专题讲解73---二项式定理
高考数学复习考点知识与题型专题讲解10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 二项展开式的通项 T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项 二项式系数C k n (k ∈{0,1,2,3，…，n })2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值当n 是偶数时，中间一项2C n n取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C -n n与12C+n n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n . 微思考1．总结(a ＋b )n 的展开式的特点． 提示(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？提示不一定．(a＋b)n的展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)题组二教材改编2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项为T m＝C m－1n(－y)m－1x n－m＋1，所以系数为C m－1n(－1)m－1.3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是() A．60B．80C．84D．120答案D解析(利用公式C m n＋C m＋1n ＝C m＋1n＋1)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 29＝C 33＋C 23＋…＋C 29＝C 310＝120.4．C 111＋C 311＋C 511＋…＋C 1111＝________.答案210 题组三易错自纠5．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为() A ．1B ．±1C ．2D ．±2 答案C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，则二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x )5－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x k ＝a k C k 51556kx -，令15－5k6＝0，得k ＝3，则其常数项为C 35a 3，根据题意，有C 35a 3＝80，可得a ＝2.6．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____． 答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n ＝32，解得n ＝5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5中，令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.题型一多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2020·北京)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为() A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析T k ＋1＝C k 5(x )5－k (－2)k ＝C k 552kx -·(－2)k ，令5－k2＝2，解得k ＝1.所以x 2的系数为C 15(－2)1＝－10.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案1625解析该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2020·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A ．5B ．10C ．15D ．20 答案C解析方法一∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)， ∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.方法二当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为() A ．12B ．16C ．20D ．24解析展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.命题点3三项展开式问题例3 (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为() A ．10B ．20C ．30D ．60 答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用排列组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个因式取y ，剩余的三个因式中两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15的展开式中的常数项为() A ．1B ．11C ．－19D ．51 答案B解析⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫x －1x 5－k当k ＝5时，常数项为C 55＝1，当k ＝3时，常数项为－C 12C 35＝－20，当k ＝1时，常数项为C 45C 24＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟踪训练1 (1)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.(2)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为() A ．－3B ．－2C ．1D ．4 答案B解析(x －1)4的通项为T k ＋1＝C k 4x 4－k (－1)k ，(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为C 34(－1)3＋C 24(－1)2＋C 14(－1)＝－2，故选B.(3)(1＋2x －3x 2)5的展开式中x 5的系数为________．答案92解析方法一(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.方法二(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.题型二二项式系数与各项的系数问题命题点1二项式系数和与各项系数和例4(1)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为() A ．－1B ．1C ．27D ．－27 答案A解析 依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1. (2)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为() A ．1B ．2C ．129D ．2188 答案C解析令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128， 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1. 故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 命题点2二项式系数的最值问题例5二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为()A ．3B ．5C ．6D ．7 答案D解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式的通项为T k ＋1＝C k 20·(3x )20－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k ＝(3)20－k ·C k 20·4203kx －，要使x 的指数是整数，需k 是3的倍数，∴k ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项． 思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”． (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A ．－126B ．－70C ．－56D ．－28 答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n ＝8，⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 8382k x-(k ＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C 38＝－56.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是() A ．63x B.4x C ．4x 6x D.4x或4x 6x 答案A解析令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n <32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (3)已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________. 答案3解析当x ＝0时，(－1)5＝－1＝a 0.当x ＝1时，(m －1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33－1＝32，则m －1＝2，m ＝3.课时精练1．(2020·邯郸调研)(1－2x )6的展开式的第三项为() A ．60B ．－120C ．60x 2D ．－120x 2 答案C解析T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2.2.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中含x 3的项的系数为() A ．80B ．－80C ．－40D ．48 答案B解析⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k ，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80.3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．29B ．210C ．211D ．212 答案A解析由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于() A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案A解析(1－ax )(1＋x )5＝(1－ax )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其展开式中x 2的系数为10－5a ＝5，解得a ＝1.5．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是() A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案D解析⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫1x 25－k (－1)k ＝C k 5x 2k －10(－1)k ，由2k －10＝0得k ＝5，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中常数项为C 55(－1)5＝－1.由2k －10＝－2得k ＝4，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中x －2的系数为C 45(－1)4＝5，所以(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3. 6．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 50x 50，则a 3的值是()A ．C 450B ．2C 350C ．C 351D ．C 451答案D解析由题意可得a 3的值是x 3的系数，而x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 451.7．(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，下列判断正确的有()A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有一次项答案AD解析二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n ，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则()A ．a 0＝－32B ．a 2＝－80C ．a 3＋4a 4＝0D ．a 0＋a 1＋…＋a 5＝1答案ABC解析令x ＝－1得(－1－1)5＝a 0，即a 0＝－32，故A 正确．令x ＝0得(－1)5＝a 0＋a 1＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1，故D 不正确．令x ＋1＝y ，则(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5就变为(y －2)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，根据二项式定理知，a 2即二项式(y －2)5展开式中y 2项的系数，T k ＋1＝C k 5y 5－k (－2)k ，故a 2＝C 35·(－2)3＝－80，B 正确．a 4＝C 15(－2)1＝－10，a 3＝C 25(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.9．(2020·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答) 答案240解析⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫2x k ＝C k 62k x12－3k ， 令12－3k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为C 4624＝240.10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为________．答案240解析⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n ·(2x )n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C 1n ∶C 2n ＝2∶5，解得n ＝6.所以T k ＋1＝(－1)k C k 626－k ·362k x -，令6－32k ＝3，解得k ＝2，所以x 3的系数为C 2626－2(－1)2＝240. 11．已知⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝________，展开式中常数项为________．答案 －2310 解析在⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中， 令x ＝1，得(a ＋1)·35＝81，解得a ＝－23， 所以⎝⎛⎭⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x ＝10. 12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝________，a 1＋a 3＋a 5＝________.答案80122解析由题意，得a4＝C45×24＝5×16＝80.当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，所以a1＋a3＋a5＝122.13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为()A．55B．89C．120D．144答案A解析由题意，可知a1＝1，a2＝1，a3＝1＋1＝2，a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2020a2020＝2020a(a≠0)，则实数a＝________.答案2解析已知(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，两边同时对x 求导，得2020(1－ax )2019(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2020a 2020x 2019，令x ＝1得，－2020a (1－a )2019＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a ，又a ≠0，所以(1－a )2019＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.15．若多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－4n －4的展开式中x 2的系数为()A ．－304B ．304C ．－208D ．208答案A解析多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，所以n ＝8，多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－44＝⎣⎡⎦⎤－4＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4(－4)4－r ·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r (0≤r ≤4，且r ∈N ).⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r (x 2)r －k ·⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝C k r x 2r －4k (0≤k ≤r ，且k ∈N ，r ∈N )．令2r －4k ＝2，即r ＝2k ＋1，所以k ＝0，r ＝1；k ＝1，r ＝3，所以展开式中x 2的系数为C 14·(－4)3＋C 34·C 13·(－4)＝－256－48＝－304.16．设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ≡b (mod10)，则b 的值可以是() A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021答案D解析a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a ≡b (mod10)，所以b 的值可以是2021.。
安徽省高考数学第二轮复习 专题七概率与统计第1讲 计数原理、二项式定理 理
真题试做1．(2012·浙江高考，理6)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )．A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种2．(2012·重庆高考，理4)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )．A.3516B.358C.354D ．105 3．(2012·安徽高考，理7)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )．A ．－3B ．－2C ．2D ．34．(2012·浙江高考，理14)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________.5．(2012·广东高考，理10)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为__________．(用数字作答)考向分析高考中对本节注重基础知识和基本解题方法、规律的考查，伴随运算能力的考查，基本都为中等难度试题．预测下一步对排列组合会更加注重分类、分步计算原理的考查，注重与概率的联系，更要加强对本节知识的理解深度；二项式定理的应用可能会对x 的n 次多项式(1＋ax )n 的考查升温，尤其是利用(1＋ax )n的展开式考查赋值思想．热点例析热点一 分类加法和分步乘法计数原理【例1】方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c {－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )．A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条规律方法“分类”与“分步”的区别：关键是看事件的完成情况，如果每种方法都能将事件完成是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成是分步，分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．变式训练1(2012·安徽高考，理10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )．A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或4 热点二 求展开式中的指定项【例2】在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于__________．规律方法运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，其中n N *，r N ，r ≤n .注意与(b ＋a )n的展开式虽然相同，但其展开式中的某一项是不相同的，所以一定要注意顺序问题．变式训练2若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为__________．热点三 求展开式中的各项系数的和若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 规律方法求展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋值．变式训练3若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝__________.思想渗透分类讨论思想在排列组合中的应用由实际意义引起的分类讨论在排列组合问题中比较常见，这是因为分类、分步是解决排列组合问题的两个指导思想．一般采取先分类再分步的策略，分类时要先确定分类标准，是根据特殊元素来分类还是根据特殊位置来分类，然后再解决每一类中的分步问题，最后汇总．在分类时注意标准的选取，做到不重不漏．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种．解析：分三类：第一格填2，则第二格有A 13种填法，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有A 13种填法，第二、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第四格有A 13种填法，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有3A 13＝9种填法． 答案：91．(2012·天津高考，理5)在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )．A ．10B ．－10C ．40D ．－402．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( )．A ．42B ．35C ．28D ．213．(2012·陕西高考，理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )．A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种4．(2012·山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )．A ．232B ．252C ．472D ．4845．(2012·辽宁高考，理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )．A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!6．设a Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )． A ．0 B ．1 C ．11 D ．127．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种8．一袋中有除颜色外其他均相同的6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？参考答案命题调研·明晰考向 真题试做1．D 解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1(种)，取2奇数2偶数的取法有C 42·C 52＝60(种)，取4个数均为奇数的取法有C 54＝5(种)，故不同的取法共有1＋60＋5＝66(种)．2．B 解析：二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的通项为T r ＋1＝C 8r (x )8－r (2x )－r ＝2－r C 8r x 8－2r 2，令8－2r 2＝0得r ＝4，所以二项展开式的常数项为T 5＝2－4C 48＝358，故选B.3．D 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的通项为T r ＋1＝C 5r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r (－1)r ＝(－1)r C 5r 1x10－2r .要使(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式为常数，须令10－2r ＝2或0，此时r ＝4或5.故(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是(－1)4×C 54＋2×(－1)5×C 55＝3.4．10 解析：由x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5可得，⎩⎪⎨⎪⎧x 5＝a 5·C 55x 5，0·x 4＝a 4C 44x 4＋a 5C 54x 4，0·x 3＝a 3C 33x 3＋a 4C 43x 3＋a 5C 53x 3，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，a 4＝－5，a 3＝10.5．20 解析：T r ＋1＝C 6r (x 2)r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x6－r ＝C 6r x 3r －6，∴要求展开式中x 3的系数，即3r －6＝3，∴r ＝3，即T 4＝C 63·x 3＝20x 3，∴x 3的系数为20. 精要例析·聚焦热点 热点例析【例1】 B 解析：因为a ，b 不能为0，先确定a ，b 的值有A 52种，则c 有C 41种，即所形成的抛物线有A 52C 41＝80条．当b ＝±2时，b 2的值相同，重复的抛物线有C 31C 31＝9条；当b＝±3时，b 2的值相同，重复的抛物线有C 31C 31＝9条，所以不同的抛物线共有A 52C 41－2 C 31C 31＝62条．【变式训练1】 D 解析：6人之间互相交换，总共有C 62＝15种，而实际只交换了13次，故有2次未交换．不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换，当甲与乙、丙与丁之间未交换时，甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物；当甲与乙、甲与丙之间未交换时，只有乙、丙两人收到4份礼物，故选D.【例2】 －160 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中的常数项为C 63·(x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3＝－160.【变式训练2】 56 解析：∵C n 2＝C n 6，∴n ＝8.T r ＋1＝C 8r x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C 8r x 8－2r ，当8－2r ＝－2时，r ＝5. ∴系数为C 85＝56.【例3】 A 解析：(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝(2＋3)4·(2－3)4＝1.【变式训练3】 1 创新模拟·预测演练1．D 解析：T r ＋1＝C 5r (2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C 5r x 10－3r，∴当10－3r ＝1时，r ＝3.∴(－1)325－3C 53＝－40.2．D 解析：含x 2的项是展开式中的第三项T 3＝C 72x 2＝21x 2，所以x 2的系数是21.3．C 解析：甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C 32＝3种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C 42＝6种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C.4．C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C 43C 41C 41C 41＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有C 31C 42C 31C 41＝216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C.5．C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A33种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有A33A33A33种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有A33A33A33 A33，故选C.6．D 解析：∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r＋1＝C2 012r522 012－r·(－1)r.故(52－1)2 012被13除余数为C2 0122 012·(－1)2 012＝1，则当a＝12时，512 012＋12被13整除．7．A 解析：当第一行为a b时，有a bb cc b和a bc ab c两种情况，∴当第一行为a，b时，共有4种情况．同理当第一行为a，c时，共有4种情况；当第一行为b，c时，共有4种情况；∴不同的排列方法共有12种．8．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球排4个位置，有A44＝24种不同的排法；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C32A42＝36种不同的排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C31A41＝12种不同的排法；所以有24＋36＋12＝72种不同的排法．。
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专题突破——破译命
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解析： 首先分类计算假如甲赢，比分 3∶0 是 1 种情况；比分 3∶1 共有 3 种情况，分别是前 3 局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余 局数获胜；比分是 3∶2 共有 6 种情况，就是说前 4 局 2∶2，最后一局获胜，前 4 局中，用排列方法，从 4 局中选 2 局获胜，有 6 种情况．甲一共就 1＋3＋6＝ 10 种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有 10＋10＝20 种情况． 答案： C
二轮数 学· 理
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◎ 变式训练 1．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出 现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有( A．10 种 C．20 种 B．15 种 D．30 种 )
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解析： 分 8 类，当中间数为 2 时，有 1×2＝2 个； 当中间数为 3 时，有 2×3＝6 个； 当中间数为 4 时，有 3×4＝12 个； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个； 故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个． 答案： A
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专题突破——破译命
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(1)(2017· 全国卷Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( A．12 种 C．24 种 B．18 种 D．36 种 )
(2)(2017· 天津卷)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数 字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
解析： 由题意可知 E→F 共有 6 种走法，E→G 共有 3 种走法，由乘法计数 原理知，共有 6×3＝18 种走法，故选 B. 答案： B
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1.两个计数原理的应用技巧 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一 步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问 题形象化、直观化． 2．[警示] 在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关 键.
专题七 概率与统计 第 1 课时 计数原理、二项式定理
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高考对本部分内容考查主要从以下形式进行：高考试 题中主要以选择题或填空题的形式呈现，考查排列、组合 的实际应用； 二项式系数、 常数项、 二项式指定项的求解． 在 近几年的高考中，排列、组合试题的难度有所下降，且经 常与概率、数列、不等式等结合进行综合考查.
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题型一 两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数 相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将 各步的方法种数相乘．
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2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1＜a2 且 a3<a2，则称这样的三位数为 凸数(如 120,343,275 等) D．920 )
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4×3 1 2 1 C3· C4· C 2 ＝ 3× ×2 ＝ 2
故这样的四位数一共有 960＋120＝1 080 个． 答案： (1)D (2)1 080
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解答排列组合问题的四个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类， 然后 逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤， 而每一步都是简单的排列组 合问题，然后逐步解决.
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解析： (1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工 作，可得安排方式为 36(种)．故选 D.
3 4 (2)①有一个数字是偶数的四位数有 C1 C 4 5A4＝960 个． 4 ②没有偶数的四位数有 A5 ＝120 个． 1 2 2 C3 · C4· A 2 ＝ 36( 种 ) ，或列式为
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(2016· 全国卷甲)如图， 小明从街道的 E 处出发， 先到 F 处与小红会合， 再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为( A．24 C．12 ) B．18 D．9
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题型二 排列与组合 名称 相同点 排列 组合
都是从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复 ①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关； ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的 元素完全相同
不同点
②两个排列相同， 当且仅 当这两个排列的元素及 其排列顺序完全相同