向量的内积与二次型
考研线性代数第四讲相似矩阵及二次型
a为何值时，A可对角化？
有一个2重特征值，
⑴求a；⑵讨论A可否对角化？ .
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
3. 实对称矩阵的相似对角化 实对称矩阵的性质 ① 实对称矩阵的特征值均为实数，每个 特征值l的重数=n-r(lE-A); ② 属于不同特征值的特征向量正交. 结论 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正 交矩阵Q, 使得 Q –1AQ = = diag(l1, l2, …, ln), 其中l1, l2, …, ln为A的全部特征值, Q = (q1, q2, …, qn)的列向量组是A 的对应于l1, l2, …, ln的标准正交特 征向量.
相似与对角化
三、相似与对角化 1. 相似的定义与性质
设A与B 均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P, 使得 P 1AP =B 成立，则称A与B相似，P为把A变成B的相 似变换矩阵.
第四讲 相似矩阵及二次型
相似与对角化
性质 若A与B相似，则 ①对于多项式f(x)， f(A)与f(B)相似. ②方阵A与B的特征值相同. ③|A|=|B|. ④tr(A)= tr(B). ⑤r(A)= r(B). ⑥当P 1AP =B时，是A的特征向量，则P -1 是B的特征向量. ⑦若P 1AP = ，则 =diag[l1, l2, …, ln]，其 中l1, l2, …, ln为A的特征值.
第四讲 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
例10.设 =(1,-1,1)T是3阶矩阵A的特征向量，对应的特 征值为1， A5 4 A3 E ，验证是B的特征向量. B 例11.设1, 2是A的特征向量，特征值l1≠l2,则1, A(1+ 2)线性无关的充要条件是什么.
第四讲 相似矩阵及二次型
线性代数第五章知识要点
(3) An×n 的对角化
(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角
矩阵相似 , 即 A 可对角化.
4. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量必正交. (3) 若 是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则 对应于 的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关. (4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶 实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中 是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩 阵.
(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足
ATA = E ( 即 A-1 = AT),
则称 A 为正交矩阵.
A = (aij)n×n 为正交矩阵的充要条件是
1, i j; aik a jk δij 0, i j k 1
n
或
a
k 1
n
ki
akj δ ij .
(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换
6. 正定二次型 (1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如
果对任何 x 0, 都有 f(x) > 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A > 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) < 0, 则称 f 为 负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A < 0.
称为二次型.
二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为
二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对
正交矩阵——精选推荐
第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。
向量的内积
说明: 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 用 矩阵记号表示, 当x与y都是列向量时, 有 [x, y]=xTy.
向量的内积 设有n维向量x=(x1, x2, , xn)T, y=(y1, y2, , yn)T, 令 [x, y]=x1y1+x2y2+ +xnyn, [x, y]称为向量x与y的内积. 内积的性质 设x, y, z为n维向量, λ为实数, 则 (1)[x, y]=[y, x]; (2)[λx, y]=λ[x, y]; (3)[x+y, z]=[x, z]+[y, z]; (4)当x=0时, [x, x]=0; 当x≠0时, [x, x]>0; (5)[x, y]2≤[x, x][y, y]. ——施瓦茨不等式.
|| y||= yT y = xT PT Px = xT x =|| x|| .
这说明, 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变), 这是正交变换的优良特性.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 方阵的特征值与特征向量
数 学 与 计 算 机 科 学 系
工程技术中的一些问题, 如振动问题和稳定性 问题, 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题, 也都要用到特征值的理论.
1 a2 =ξ1= 0 , 1
0 1 1 1 1 a2 =ξ 2 ξ1 = 1 0= 2 . 1 2 1 2 1 [ξ1, ξ1] [ξ1, ξ 2 ]
正交阵 如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A1=AT), 那么称A为正交矩 阵, 简称正交阵. 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量, 且两两正交. n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 正交矩阵举例: P = 2 2 2 2 . 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
本_第17讲_向量的内积、长度及正交性 二次型基本知识
一、向量的内积
2. 内积的性质 ⑴ [α , β ] = [ β , α ]; ⑵ [ kα , β ] = k[α , β ], k ∈ R; ⑶ [α + β , γ ] = [α , γ ] + [ β , γ ];
[ ⑷ 当 α = 0 时， α ,α ] = 0,
当 α ≠ 0 时，[α ,α ] > 0;
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三、向量的正交性
一定线性无关． 定理 正交向量组 α1 ,α2 ,⋯,αr 一定线性无关． 证 设存在 k1 , k2 ,⋯, kr 使
(＊) ＊
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0, 两两正交， 由α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，知
T 以α 1 左乘(＊)式两端，得 ＊ 式两端，
二次型基本知识
二次型的概念； 二次型的概念； 二次型的矩阵表示. 二次型的矩阵表示.
一、二次型的概念
含有n个变量 含有 个变量x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn的二次齐次函数 个变量 f(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn) = a11x12+a22x22+ ⋅ ⋅ ⋅ +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +2an−1,, nxn−1xn − − 称为二次型.
两个向量之间的一种运算，其结果是一个数 两个向量之间的一种运算，其结果是一个数， 用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β Tα . n≥3维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 5. 施密特 施密特(Schimidt)正交化 正交化
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
向量内积的定义及运算规律经典实用
arcco[sx, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
当[x, y]0时,称向量 x与y正交. 若x0,则x与任何向量都. 正交
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若 n维向 a1,量 a2, ,ar是一组两两 零向 ,则 量 a1,a2, ,ar线性.无关 定义 设 n维 向 e1,e2 量 , ,er是 向 量 V(V 空 Rn)间 的 一,如 个e果 1,基 e2, ,er两 两,则 正e称 1,交 e2, , er是 V的 一 个 规 . 范 正 交 基
2
;
( 2 ) 令 2 k 1 2 ,使 2 与 1 得 正 ,得 交
k[1,2]
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2
,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3 )令 3 k 11 k 223 ,且 3 与 2 ,1 正 , 交
得
k1[1,3]1 2,
k2[2,3]1 6,
a0, aTa为一,非零数 故 a ( a T a ) a T ( a T a )a a ( T ),
A T A E [ 4 / a T a ( ) a a T ] [ 4 / a T a ( ) a a T ] E , 故A是正交矩.阵
特a 别 T a1 时 当 ,A E 2 aa T 是正 . 交
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1,2,3单位 ,得化
1 2
1
1 1
1
0 0
线性代数-二次型
在物理中的应用
在经典力学中，二次型常常用来描述物体的运动轨迹。例如，行星的运动轨迹可 以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到行星的运动轨迹。
在量子力学中，二次型也用于描述粒子的波函数。例如，一个自由粒子的波函数 可以用一个二次型来表示，通过求解这个二次型的根，可以得到粒子的能级和波 函数。
02
矩阵$A$的元素由二次型中各项的系数决定，即$A =
(a_{ij})$，其中$a_{ij} = frac{1}{2}(b_{ij} + b_{ ji})$。
03
矩阵表示的二次型可以方便地进行代数运算和变换，
例如求导数、求极值等。
二次型的几何意义
二次型在几何上表示一个二次 曲面或曲线，其形状由矩阵 $A$决定。
THANKS
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在经济学中的应用
二次型在经济学中也有广泛的应用。 例如，在微观经济学中，二次型可以 用来描述消费者的效用函数，通过求 解这个二次型的最大值，可以得到消 费者的最优消费决策。
VS
在宏观经济学中，二次型可以用来描 述一个国家的生产函数，通过求解这 个二次型的最大值，可以得到一个国 家最优的产出水平。此外，二次型也 用于描述成本函数、需求函数等。
正定二次型
01
正定性
对于正定二次型，其矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
02
特征
正定二次型的特征值都大于0。
03
实例
对于二次型 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，它是一个正定二次型，因为其
矩阵的所有主子式都大于0，且没有实数根。
二次型及其矩阵表示
半正定二次型：矩阵的所有特征值都是非负数
半负定二次型：矩阵的所有特征值都是非正数
实二次型：矩阵的系数都是实数
对称二次型：矩阵是对称矩阵
正定二次型：矩阵的所有特征值都是正数
负定二次型：矩阵的所有特征值都是负数
二次型的矩阵表示方法
01
02
03
04
标准二次型：二次型可以表示为矩阵乘以向量的形式，其中矩阵是对称矩阵。
02
二次型在经济学中的应用
生产函数：二次型可以用来表示生产函数，分析生产过程中的投入与产出关系。
成本函数：二次型可以用来表示成本函数，分析生产过程中的成本与产量关系。
效用函数：二次型可以用来表示效用函数，分析消费者在消费过程中的满足程度与消费量关系。
投资函数：二次型可以用来表示投资函数，分析投资者在投资过程中的收益与投资量关系。
主成分分析在二次型中的应用
01
主成分分析（PCA）是一种用于降维和多元数据分析的统计学方法。
04
02
03
在二次型中，主成分分析可以用来寻找数据的主成分，即数据的主要方向。
通过主成分分析，我们可以将二次型矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，另一个矩阵是低秩矩阵。
这种分解方法可以简化二次型的计算，提高计算效率。
二次型在物理学中的应用
电磁学：二次型在电磁学中用于描述电磁场的分布和相互作用，如麦克斯韦方程组、高斯定理等。
03
量子力学：二次型在量子力学中用于描述粒子的状态和运动规律，如薛定谔方程、海森堡不确定性原理等。
04
力学：二次型在力学中用于描述物体的运动和受力情况，如牛顿第二定律、胡克定律等。
01
光学：二次型在光学中用于描述光的传播和折射现象，如菲涅尔方程、折射定律等。
线性代数第五章
的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对 于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取 基时常常取标准正交基.
问题： 向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法 基 正交基 标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即
大一线性代数知识点总结
大一线性代数知识点总结一、向量与矩阵1.1 向量的概念与性质向量是线性代数中的基本概念，它是指具有大小和方向的量。
在数学中，向量通常用箭头表示，并且可以表示为n维空间中的有序数组。
向量的加法与数乘定义为：- 两个向量的加法：设有两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，则它们的和定义为：a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。
- 数乘：设有一个向量a=(a1, a2, ..., an)，一个标量k，那么k乘以a定义为：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
1.2 矩阵的概念与基本运算矩阵是由m行n列元素组成的长方形阵列，它的基本形式可以表示为：A= ( a11 a12 ... a1n )( a21 a22 ... a2n )( ... ... ... ... )( am1 am2 ... amn )其中，aij表示第i行第j列的元素。
矩阵的加法与数乘定义为：- 矩阵的加法：设有两个矩阵A与B，它们是同型矩阵，其相应元素相加即得到矩阵的和：A+B。
- 数乘：设有一个数k，以及一个矩阵A，那么可以通过数量k乘以矩阵A的每一个元素得到新的矩阵kA。
1.3 零向量与单位矩阵零向量是指所有分量都为零的向量，通常用0表示，对于n维空间而言，它的零向量可以表示为(0, 0, ..., 0)。
单位矩阵是指在主对角线上的元素都为1，其余元素都为0的方阵，通常用I表示。
对于n×n的单位矩阵可以表示为：I = ( 1 0 ... 0 )( 0 1 ... 0 )( ... ... ... )( 0 0 ... 1 )1.4 范数与内积向量的范数是指向量的长度，通常可以表示为||v||。
对于n维向量v=(v1, v2, ..., vn)，它的范数定义为：||v|| = √(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2)。
线代第五章_1_new
x1 0 = x2 0
2.方阵的特征值与特征向量
1 1 0 4 3 0 例6： 求矩阵 A 的特征值和全部特征向量. 1 0 2
解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.
1 l
A lE
1 3l 0
0 0 2l 0
4
1 2 ( 2 l )( l 1) 0
… ( x1 p1 , x2 p2 ,, xm pm ) (0,0,,0), … 即 x j p j 0 ( j 1,2,, m ) . … 又因为 p j 为特征向量，p j 0, … 所以 x j 0 ( j 1,2, , m ) .
p1 , p2 ,, pm 线性无关。 …
（4）柯西—施瓦兹不等式：( , )
1. 向量的内积
非零向量 和 的夹角余弦: cosq
( , )
非零向量 ， 的夹角是 q arccos
( , )
当 ( , ) 0 时，称向量 , 正交。
5Leabharlann 1. 向量的内积定理1 若 n 维向量 a1, a2, … , ar 是一组两两
22
k2 p2 ( k2 0 常数)是对应于 l2 l3 1 的全部特征向量。
2.方阵的特征值与特征向量
-2 1 1 例7： 求矩阵 A= 0 2 0 -4 1 3 的特征值和全部特征向量。
例8： 设 l 是方阵 A 的特征值，证明 l2 是A2 的特征值。
23
2.方阵的特征值与特征向量
则称A为正交矩阵。 上式用A的列向量表示，即： a1 a 2T . . . anT
13
T
(a1Ta1) (a1Ta2) … (a1Tan) (a2Ta1) (a2Ta2) … (a2Tan) (a1, a2, … an) = … … … (anTa1) (anTa2) … (anTan)
第四章1欧几里得空间的定义与基本性质2标准正交基与正交变换
3. 以这些向量为列构成正交矩阵 P (1,2 , ,n ),
有 P 1 AP diag(l1, ,l1, ,ls , ls ).
3 2 4
例： 设
A
2 4
0 2
2 3
求正交矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角阵。
14
性质: (1)若 A为正交矩阵，则 | A |=±1.
(2)实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件为 A1 A . (3)实矩阵 A为正交矩阵的充要条件是：
A的行(列)向量组为两两正交的单位向量组。
例: 设 A 为三阶非零实方阵, 且 aij = Aij , 其中Aij 是 aij 的代数余子式, i , j = 1, 2, 3. 证明 : |A| = 1, 且 A 是正交矩阵.
1
得基础解系
p1
2 0
,
0
p2
2 1
.
21
先正交化：
1
b1
p1
2 0
,
0 1 4
b2
p2
[b1 , [b1 ,
p2 ] b1 ]
b1
2 1
4 5
2 0
1 5
2 5
再单位化：
1
1
1 5
2 0
,
4
2
1 35
2 5
22
当 l3 8 时，齐次线性方程组为 A 8E x 0
a
2 n
称 || α || 为向量 α 的长度（模或范数）。
特别地，当 || || 1 时，称 α 为单位向量。
由α
(≠
0)求出单位向量
||
||
向量的内积与二次型
02
CHAPTER
二次型
二次型的定义
定义
二次型是形式为$f(x, y, z) = ax^2 + bxy + cy^2 + ...$的数学表达式，其中$a, b, c...$是实数。
特点
二次型具有对称性，即$f(x, y, z) = f(y, x, z)$。
意义
二次型在数学、物理和工程等领域有广泛应用，如描 述物体运动轨迹、计算物体受力等。
向量内积在二次型中的应用
1
向量内积可以用于计算向量的长度和夹角，这些 信息在二次型中非常重要，因为它们决定了二次 型的大小和形状。
2
向量内积还可以用于计算向量的外积（叉积）， 外积在二次型中用于确定向量的方向和旋转。
3
在二次型中，向量内积还可以用于判断向量是否 正交（垂直），这对于确定二次型的对称性和正 定性非常重要。
向量的内积与二次型
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 二次型 • 向量的内积与二次型的关系 • 二次型的几何意义 • 特殊二次型
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
向量内积的定义
两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的内积定义为$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$之间的夹角。
内积的几何意义
向量内积表示两个向量在方向上的相似程度，即它们的夹角余弦值。
内积的性质
$mathbf{a} cdot mathbf{b} = ||mathbf{a}|| times ||mathbf{b}|| times cos theta$，其中 $theta$是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角，且$0 leq theta leq pi$。
向量的内积与二次型
则
3 , T 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 13 1 inner product
082线性代数(32学时). W&M. 4.2 正交向量组与正交矩阵
例4 已知 1 = (1, 1, 1), 求向量 2, 3, 使得 1, 2, 3 成为正交组. 解 因为1, 2, 3 构成正交组, 所以有[1, 2] = [1, 3] = 0. 故向量 2, 3 的分量满足 x1 + x2 + x3 = 0. 解得
2
t
T
t
2
t T T
t
2 2
2 t 2 2 , t , t
2
,
2
2
0
可见 22 , 2.
正交向量组是线性无关的. 而给出一个线性无关的向量组, 能 否找到一个正交向量组与之等价?
orthnormal
082线性代数(32学时). W&M. 4.2 正交向量组与正交矩阵
定理4.3 设 n 维向量组 1, 2, … , m 线性无关. 令 1 1 ,
[ 2 , 1 ] 2 2 1 , [1 , 1 ] [ 3 , 1 ] [ 3 , 2 ] 3 3 1 2 , [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ m , 1 ] [ m , 2 ] [ m , m 1 ] m m 1 2 m 1 . [1 , 1 ] [ 2 , 2 ] [ m 1 , m 1 ]
512向量的内积与二次型
kiaiTai0， 但ai0，有aiTai>0。所以ki0 (1im)，则a1，a2，， am线性无关.
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二、向量组的标准正交化
定理2（施密特正交化方法）
对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，，am，令 bb21aa1，2 -（（ab12，，bb11））b1，
例如，设a(-1, 1, 0, 2)T，b(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为 (a , b ) (-1)2100(-1)23 4 .
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内积的定义
n
(a, b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
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定理1 Rn中的正交向量组是线性无关的向量组.
证明：设a1，a2，，am为正交向量组，且有数k1，
k2，，km，使
k1a1k2a2 kmam0 上式两边与向量组中的任意向量ai求内积，
aiT(k1a1k2a2 kmam)0 (1im)，
组a1，a2，，am可以相互线性表示.
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例3．设线性无关向量组为a1(1, 1, 1, 1)T，a2(3, 3,-1,1)T，a3(-2, 0, 6, 8)T，试将a1，a2，a3正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
b1a1(1, 1, 1, 1)T，
f (x1, x2 ,
, xn ) a13x3
)xn
a21x1
a22 x2
a23 x3
同济大学线性代数第五章
定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1 , 2 , , n
(2) 1 2 n a11 a22 ann ;
证明① 当 1 , 2 , , n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项 式可分解为 f E A 1 2 n 令 0, 得 A 1 12 n
注 ① ② 特征值问题只针对与方阵，且特征向量不能为零 , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组 E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0 的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义 E A 0 为Ａ的特征方程（几元几次方程？）
定义 f E A
2 2
当且仅当α与β的线性相关时，等号成立. 由非零向量α得到单位向量 称为把α单位化或标准化.
0
1
的过程
３、夹角 设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹 , , 因此α与β的夹角为 角的余弦为 cos
, ,0 . arccos
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 b1 b , a1 a2 an 2 T . bn
２、性质 （1）对称性： , , （2）线性性： , , ,
5、标准正交基 由标准正交向量组构成的空间V的基
4、性质 定理 正交向量组必为线性无关组. 证明见P112 例题： 证明：r个n维向量构成的向量组，若r>n则该向量组 一定不是正交组 思路：r个n维向量组当r>n时，必然线性相关
1 1 1 1 , 2 2 正交， 例2 已知三维向量空间中， 1 1 试求 3 , 1 , 2 , 3 是三维向量空间的一个正交基.
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组a1，a2，，am可以相互线性表示.来自《线性代数》返回
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例3．设线性无关向量组为a1(1, 1, 1, 1)T，a2(3, 3,-1,1)T，a3(-2, 0, 6, 8)T，试将a1，a2，a3正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
b1a1(1, 1, 1, 1)T，
例1．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.
例2．Rn中的n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) 0 (ij) .
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正交向量组
定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： arccos (a , b )
若非零向量a的长度不等于1，令a 0 a ， a
则a 0为单位向量，称a 0为a的单位向量。
从a得到a 0的运算称为向量a的单位化。
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正交向量组
定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： arccos (a , b )
ab
若(a ,b )0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
(1)|a |0，当且仅当a0时，有|a |0； (2)| ka ||k||a | (k为实数)； (3) 三角不等式: |a b | ≤ |a| ＋ |b| ； (4)对任意向量a，b，有 |(a ,b )| |a | |b | .
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向量的单位化（标准化） 长度为1的向量称为单位向量.
定义1 设a(a1, a2, , an )T与b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两
个向量，则实数
n
aibi a1b1 a2b2 ... anbn
i 1
称为向量a和b的内积，记为(a , b ).即
n
(a , b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
b2 a2 -（（ab12，，bb11））b1，
(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T (2, 2, -2, -2)T，
4
b 3
a 3
（a ，b ） - 3 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
3
，b
）
2b
）
，
2
1
1
2
2
(-2, 0, 6, 8)T- 12 (1, 1, 1, 1)T- -32 (2, 2,-2,-2)T
显然, 当a和b是行向量时 (a, b ) ab T ba T
当a和b是列向量时 (a , b ) a T b b Ta
内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) (b,a ) ； (2) (ka,b ) k ( a,b ) ； (3) (ab,g ) ( a,g ) ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a0时，有( a,a ) 0 .
ab
若(a ,b )0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
定义4 如果Rn中的m个非零向量组 a1，a2，，am两
两
正交，即 (ai ,aj )0(ij)，则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单
位向量，则称该向量组为标准正交向量组.
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向量的长度
定义2 对Rn中的向量a(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为
a (a,a ) a12 a22 an2 例如，在R2中，向量a(-3, 4)T的长度为
a (a,a) (-3)2 42 5
向量长度的性质（了解）
例如，设a(-1, 1, 0, 2)T，b(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为 (a , b ) (-1)2100(-1)23 4 .
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内积的定义
n
(a, b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
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定理1 Rn中的正交向量组是线性无关的向量组.
证明：设a1，a2，，am为正交向量组，且有数k1，
k2，，km，使
k1a1k2a2 kmam0 上式两边与向量组中的任意向量ai求内积，
aiT(k1a1k2a2 kmam)0 (1im)，
b 3
a 3
（a ，b ） - 3 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
3
，b
）
2b
）
，
2
……
1
1
2
2
b m
a m
（a ，b ） - m 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
m
，b
）
2b
）
2
-
-（a
，b
m
m
）
b -1
，
（b ，b ） m-1
1
1
2
2
m -1
m -1
向量组b1，b2，，bm是正交向量组，并且与向量
2a1n x1xn 2a2n x2 xn
ann xn2
f (x1, x2 , , xn ) d1x12 d2x22 dn xn2. 3．了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法 .
本章重点
用正交变换化二次型为标准形 .
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内积的定义
第一节 向量的内积
一、向量内积的概念
第五章 二次型
一、向量的内积
1.向量内积的概念 2.向量组的标准正交化 3.正交矩阵
二、二次型及其标准形
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第五章 二次型
本章要求
1．掌握二次型的矩阵表示 ；
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 ；
f (x1, x2 ,
, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 a22 x22 2a23x2 x3
可得
kiaiTai0， 但ai0，有aiTai>0。所以ki0 (1im)，则a1，a2，， am线性无关.
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二、向量组的标准正交化
定理2（施密特正交化方法）
对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，，am，令 bb21aa1，2 -（（ab12，，bb11））b1，