向量的内积与二次型

定义1 设a(a1, a2, , an )T与b(b1, b2, , bn )T是Rn中的两
个向量，则实数
n
aibi a1b1 a2b2 ... anbn
i 1
称为向量a和b的内积，记为(a , b ).即
n
(a , b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
例1．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.
例2．Rn中的n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) 0 (ij) .
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正交向量组
定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： arccos (a , b )
2a1n x1xn 2a2n x2 xn
ann xn2
f (x1, x2 , , xn ) d1x12 d2x22 dn xn2. 3．了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法 .
本章重点
用正交变换化二次型为标准形 .
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内积的定义
第一节 向量的内积
一、向量内积的概念
(1)|a |0，当且仅当a0时，有|a |0； (2)| ka ||k||a | (k为实数)； (3) 三角不等式: |a b | ≤ |a| ＋ |b| ； (4)对任意向量a，b，有 |(a ,b )| |a | |b | .
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向量的单位化（标准化） 长度为1的向量称为单位向量.
显然, 当a和b是行向量时 (a, b ) ab T ba T
当a和b是列向量时 (a , b ) a T b b Ta
内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) (b,a ) ； (2) (ka,b ) k ( a,b ) ； (3) (ab,g ) ( a,g ) ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a0时，有( a,a ) 0 .
第五章 二次型
一、向量的内积
1.向量内积的概念 2.向量组的标准正交化 3.正交矩阵
二、二次型及其标准形
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第五章 二次型
本章要求
1．掌握二次型的矩阵表示 ；
2．掌握用正交变换化二次型为标准形的方法 ；
f (x1, x2 ,
, xn ) a11x12 2a12 x1x2 2a13x1x3 a22 x22 2a23x2 x3
ab
若(a ,b )0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
定义4 如果Rn中的m个非零向量组 a1，a2，，am两
两
正交，即 (ai ,aj )0(ij)，则称该向量组为正交向量组. 如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单
位向量，则称该向量组为标准正交向量组.
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定理1 Rn中的正交向量组是线性无关的向量组.
证明：设a1，a2，，am为正交向量组，且有数k1，
k2，，km，使
k1a1k2a2 kmam0 上式两边与向量组中的任意向量ai求内积，
aiT(k1a1k2a2 kmam)0 (1im)，
若非零向量a的长度不等于1，令a 0 a ， a
则a 0为单位向量，称a 0为a的单位向量。
从a得到a 0的运算称为向量a的单位化。
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正交向量组
定义3 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： arccos (a , b )
ab
若(a ,b )0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
例如，设a(-1, 1, 0, 2)T，b(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为 (a , b ) (-1)2100(-1)23 4 .
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内积的定义
n
(a, b ) aibi a1b1 a2b2 ... anbn i 1
可得
kiaiTai0， 但ai0，有aiTai>0。所以ki0 (1im)，则a1，a2，， am线性无关.
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二、向量组的标准正交化
定理2（施密特正交化方法）
对于Rn中的线性无关向量组a1，a2，，am，令 bb21aa1，2 -（（ab12，，bb11））b1，
组a1，a2，，am可以相互线性表示.
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例3．设线性无关向量组为a1(1, 1, 1, 1)T，a2(3, 3,-1,1)T，a3(-2, 0, 6, 8)T，试将a1，a2，a3正交化、标准化.
解:(1)先利用施密特正交化来自百度文库法将向量组正交化，即令
b1a1(1, 1, 1, 1)T，
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向量的长度
定义2 对Rn中的向量a(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为
a (a,a ) a12 a22 an2 例如，在R2中，向量a(-3, 4)T的长度为
a (a,a) (-3)2 42 5
向量长度的性质（了解）
b2 a2 -（（ab12，，bb11））b1，
(3, 3, -1, -1)T - 4 (1, 1, 1, 1)T (2, 2, -2, -2)T，
4
b 3
a 3
（a ，b ） - 3 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
3
，b
）
2b
）
，
2
1
1
2
2
(-2, 0, 6, 8)T- 12 (1, 1, 1, 1)T- -32 (2, 2,-2,-2)T
b 3
a 3
（a ，b ） - 3 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
3
，b
）
2b
）
，
2
……
1
1
2
2
b m
a m
（a ，b ） - m 1b （b ，b ） 1
（a
-
（b
，b
m
，b
）
2b
）
2
-
-（a
，b
m
m
）
b -1
，
（b ，b ） m-1
1
1
2
2
m -1
m -1
向量组b1，b2，，bm是正交向量组，并且与向量