具有高阶转向点的奇摄动边值问题的尖层解
一类具有两个转向点的奇摄动边值问题
安庆 师 范学院 学报 （ 自然科 学版 ）
ｄｕ ｏ ｍ￣ ｏ Ａ ｑ ｇＴ ａ ｈ ｍ Ｃ ｌｇ （ ａｕ ｌ ｃ ｎ ｅＥ ｉ ｎ ｆ ｎ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｅ ｅ Ｎ ｔｒ ｉ ｃ ｄ ｉ ） ｎ ｌ ａＳ ｅ ｔ ｏ
一＝ ＋ ・ １ ｆ
，别 退 分是化
收 稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０ １— ６— ３ 基金项 目：安徽高校省级 自然科学基金 （ Ｊ０ ０ １３，．０ ０ ３０ 资助 。 Ｋ ２ １ Ａ ５ Ｋ２ １Ｂ ６ ） １
作者简介 ：魏小欧， ， 男 安徽芜湖人 ， 安徽师范大学数学计算 机科学学 院硕士研究生 ， 从事应用微分方程研究 。
ＮＯ ２ ｌ Ｖ． ０１ Ｖｏ１１ ． ７ Ｎ０． ４
一
类具有两个转向点的奇摄动边值问题
魏 小欧 ，刘树 德
（ 安徽师范大学 数学计算机科学学院 ， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４０ ０
摘
要： 考虑一类具有两个 转向点 的奇摄动二阶线性边值 问题 ， 在一阶导数的系数具有两个 零点 ， 即转 向点 的情 形
比较０ ÷） （ 的系数得 ＋（ 一 ）１ ２） ＝ ， １ 口（ — ａ 。 ０又由边界条件Ｙ１ （）＝２得 Ｙ（）＝２由此解得 ， ｏ０ 。
ｒ ＝ ２ 一 ｌ ＋ ｃ ｅ （一） ） ｏ ｌ 一 。（一
其中 ｃ 为任意常数。 从而
ｙ ＝２一ｃ （ １＋ｃｅ‘。 孙 ＋… ｌ一 一 （） ６
在 ＝ａ 和 ＝１ 处构造角层和边界层展开式 ， 并利用改进 的匹配渐近展开法将其与外展开式进行匹配 ， 从而得到在区间［ ，］ ０ １ 上一致有效的复合展开式。当然 ， 也可 以用类似的方法讨论具有 ， ≥２ 个转向 ｔ （ ） 点的奇摄动边值问题。 １ 外展 开式 设 外 展开式 具有形 式 Ｙ ＝Ｙ（ ｏ ）＋８ 。 ）＋… ， 它代 人 （ ）式 有 ｙ（ 将 １
一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题
（ １ ）
这里 ∈Ｒ为状态变量 ， ０＜Ｅ《 １ ， Ｐ ０ 为常数， 与Ｂ亦 都为常数； 同时， 基于 问题 （ １ ） ， 我们还
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ． １ １ ． ２ ６ 修 回 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ５ ． １ ８
基金项 目：国家 自然科学基金项 目（ １ １ ２ ０ １ ０ ７ ２ ； １ １ １ ０ ２ ０ ４ １ ） ； 福建省教育厅Ａ类项 目（ Ｊ Ａ１ ０ ０ ６ ５ ） 通讯作者 ： ｊ ｈ ｓ ｈ ｅ ｎ （ ￣ ｆ ｊ ｎ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
其中， 如上所述 ，
，
ｄ 元 （ ） ＝ ｛ ‘ ５ ， Ｒ ５ ‘ 。 ＜ ｔ 一 ＜ Ｅ ｌ 。 一 ＋ 。
为正的连 续函数 ．
（ ５ ）
定义１ 称退化解ｕ ＝ Ｒ （ ￡ ） 在［ ０ ， １ ］ 上强（ 弱） 稳定， 如果在Ｄ１ 或Ｄ ２ 中满足
韩建邦等： 一 类具有无 穷边界值 的二次奇摄动边值 问题
１ ８ １
将进一步得到如下Ｎ ｅ ｕ ｍａ ｎ ｎ Ｉ ； － ］ 题的有关结果，
ｆ ｅ ｙ ：， （ ｔ ， ） ＋ｇ （ ｔ ， ） ， ０ ＜ｔ ＜１ ， ｛－ － ｙ ， （ ０ ， Ｅ ） ＝ ／ Ｅ ，
渐进 行 为， 重 点关注边 界值 的奇 异程 度对 解的边 界层 行 为的影 响；同时将 所得 的结 果 与Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ Ｙ ￣ Ｈ ｏ ｗ ｅ ｓ 的 结果ｆ 带 正 常边界 值） 进 行 比较．研 究表 明：（ １ ） 当边 界值 大 小
为Ｏ （ １ ／ ｅ ） 时， 得到的边界层 大小为Ｏ （ Ｅ Ｉ ｎ Ｅ ） ， 这比ｃ ｈ ａ ｎ ｇ 及Ｈ ０ ｗ ｅ ｓ 带正常边界值的情形 提高了Ｏ （ １ ｎ Ｅ ） 量级； （ ２ ） 增大边界值的奇性＿ ￣ Ｏ（ １ ／ ｅ ） ， 这里ｒ＞ １ ， 边界层 大小的量级 不变， 依 然为０（ Ｅ ｉ ｎ Ｅ ） ； （ ３ ） 若要使得边界层 大小为０（ １ ） ， 则边界值的 大小需 为ｏ（ ｅ ＿ ｜ ｌ ／ ｅ ） ．
具有转向点的奇摄动边值问题的角层现象
注 意 Ｘｏ 是 方程 的一个 特 解 ， 降 阶法 可求 出方 — 用 程 （） ５ 的解 为
Ｘ 一Ｇ— ｅ 一 。 Ｄ— ｆ
其பைடு நூலகம் Ｃ Ｄ为任意常数 。从而 ，
，
ｅ ｅ＋ ）（ 丢（＋ｚ …一 （＋ｚ …＋ ） ｅ＋ ） ｚ － ２ － 一 ｚ （ 丢ｚ一。 ０ ） ｚ一 。 。 一
（ 安徽 师范 大学 数学 系， 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ０
［ 摘
要］考虑 了一类具有转向点的奇摄动二 阶线性边值 问题 。在一 阶导数的 系数分 别具有一 个和 两个零 点， 即转向点
的情 形 下 ， 析 可 能 出现 的 角层 现 象 ， 用 匹配 渐 近展 开 法 导 出该 问题 的零 次近 似 复合 展 开 式 。 分 并
设 角层解 的内展 开 式为 ：
Ｘ ～ ｅＸ ０ ＋ … ， （）
将 它代人 方程 （）并令 ￡ １， 同次幂 系数相 等得
ｘ 。＋ — Ｘ。一 ０ 。 （） ５
其 中 ￡ 是 小参 数 ， ＜ ｔ ｌＡＢ是 常数 ， Ａ＋ ＞０ 一ｌ ＜ ， 且
［ 收稿 日 期］２ ｕ —ｌ 一１ Ｏ 】 ５ ［ 基金项 目］安徽高校省级 自然科学基金 （ ２ ｌ Ａ１ ３ ＫＩ０ ０ ３ ０ 。 ＫＪｏ Ｏ ５ ， ２ １ Ｂ ６ ） ［ 作者简 介］汪玉先（ ９ ６ ， ， ，安徽师范大学硕 士研究生 ，从事应用微分方程研究 。 １ ８ 一） 男 汉
一
Ｘ ｅＧ Ｄ 一 ］… —ｒ — ｆ ＋
接下来 将角 层 内展 开 式 与外 部 解 进 行 匹 配 ， 引
（） １ １
入一 间 量 ￡ ， ＜ ＜专， 间 个中 变 其中０ 尼 一 用中 变
关于奇摄动robin边值问题的几个定理
关于奇摄动robin边值问题的几个定理随着科学技术的发展，奇摄动robin边值问题也受到了广泛的关注，并成为研究者们需要解决的一个重要问题。
该问题涉及了一些重要的数学定理，其中主要涉及到几个定理，其中最为重要的有Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理，它们在解决奇摄动robin边值问题中均扮演重要角色。
首先，我们介绍Liouville定理，又称Liouville-Neumann定理。
它是一个把有限区域外部源的能量从内部传至外部的关系，其主要的表达式为：V(x)*u(x) = S(x)其中V(x)是robin边值中的一个常数，S(x)表示区域内部的源，u(x)表示u(x)的梯度；此外，当V(x)=0时，公式约化为：u(x) = 0这个定理可以有效地处理奇摄动robin边值问题，它实质上是在一个紧张的区域内求解某些不定方程的问题。
其次，我们来讨论Caccioppoli定理。
它的核心概念是利用一个所谓的Caccioppoli方程来描述传热方程的解，即：α2u2 +2u2 +2u2 = 0其中α，β，γ都是常数，其中α表示温度梯度，β表示声速梯度，γ表示吸收率。
由于Caccioppoli定理可以非常有效地求解不定方程，因此它被广泛用于奇摄动robin边值问题。
最后，我们来谈谈Rellich-Kondrachov定理。
它是一种利用函数间隙和函数梯度来描述某一单元的解的定理。
其主要表达式为：u(x) =u(x)其中λ是一个常数，它表示某一单元内的解的空间变形系数。
通过利用Rellich-Kondrachov定理，人们可以更有效地求解奇摄动robin边值问题。
综上所述，Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理是研究奇摄动robin边值问题的重要理论基础，在解决问题时可以极大地提高计算效率，有助于我们进一步了解该问题。
第六章 摄动方法
0
与前面准确展开的结果一致。
说明1：这个例子展开的方法就是正则摄动法（正则 扰动法），又叫直接展开法，这个例子可正确求 解，但体现的方法和思想可用于那些不能精确求解 的问题。 说明2：当 1时，可看出扰动项对问题的解的
第六章 摄动方法
摄动方法是一种重要的应用数学方法，它在力学，物 理和众多的工程学科中有着广泛的应用。 工程技术中归纳出来的数学模型，其中不少是含有小 参数的，且方程的准确解难以获得。
利用计算机进行数值积分，虽然可以给
出定解问题的数值解，但很难给出物理现象的 全貌和一般规律，利用摄动法可以求得解析形 式的近似解，对物理系统进行相当精确的定量 和定性讨论。这里，主要讨论正则摄动方法 和奇异摄动方法。
(6)
(7)
对于要采用摄动法求解的问题，首先要考查问
题是否是无量纲化形式?若不是，先进行无量纲化处
理。因不同量纲的物理量无法进行量化比较，无量
纲化后便于量级比较，从而可以确定哪一个量是小 参数。 引入无量纲参数： t 0 t , / a
则 (6)~(7)化为 " 1 sin a 0 a 0 1, ' 0 0
" 2
原方程(8)为非线性方程，现已化为一系列的线性方
程。
第四步：将初值或边值用幂级数展开式代入，得一
系列关于 i t 的初值或边值方程，由(9)有：
1 i 0 ai , 0 i' 0 ai
i 0 i 0
比较两边关于ai 的系数有
0 0 1, 1 0 0, 2 0 0,… i' 0 0 i 0,1, 2,…
一类两参数奇异摄动拟线性微分方程组的边值问题渐近解
（ ５ ） （ ６ ）
６１ ２
工
程
数
学
学
报
第３ ０ 卷
其中￡ １ ， Ｃ ２ 为正的小参数，Ｋ： ２＝ （ Ｅ １ ） ， ｎ是大于１ 的自然数，０ １ ≠０ ， ｎ １ ， ０ ２ ， ｎ ３ 是常
数， ， ， 是正 常数 ．我们 这里 只讨论 礼＝ ２ 的情 况 ，其 它情 况可类 似得 到
文章编号： １ ０ ０ ５ — ３ ０ ８ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ ０ ６ １ １ — ０ ８
一
类两参数 奇异摄 动拟线性微 分方程组 的
边 值 问题 渐 近 解 术
葛 志 新
ｆ 安徽工业大学数理学 院，马鞍 山 ２ ４ ３ ０ ０ ２ ）
摘
要： 为 了研究一类含 三个 因变量 的两参数奇异摄 动拟线性微分方程 组边值 问题 的渐近解 ， 首 先在一定 的条 件下构造 了问题 的包含外层解 、 中间层解与 内部层解 的幂级数形式 合 成解 ；然后利用 原 问题的退化形 式先求 出外部解 ；再利用不 同的伸 长变量 ，依据 中间 层 与 内部层特有 的性质 ，分别 计算 出该边值 问题的 中间层解和 内部层解 ，从而得 到原 问题渐近解 ．
：
＾（ ） ＋， ２ （ ） ， ＝ｇ ｌ （ ） ＋９ ２ （ ） ＋９ ３ （ ） ，
（ １ ） （ ２ ） （ ３ ）
（ ４ ）
ｄ ｙ
Ｅ
￡。
塞 （ 咖 （ ，
ａ ｌ ｘ （ １ ） ＋ａ ２ ｙ （ １ ） ＋ａ ａ ｚ （ １ ） ＝ ，
为 了研 究方便 ，现 作如 下假设 ：
．
［ Ｈ １ 】 ： ， ｈ ｉ （ ｉ ＝１ ， ２ ） 和ｇ ｉ （ ｉ ＝ｌ ， ２ ， ３ ） 关于其变元在所考虑的区域内无限次可微； ［ Ｈ ２ ］ ： ＿ ９ １ （ ） ＜０ ， ｈ ２ （ ｘ ） ＜０ ， ， ２ （ ） ＞０ ， 九 １ ｘ ） ＞０ ； ［ Ｈ ３ ］ ：ｇ ｌ （ ｘ ） ｈ ２ （ ｘ ） 一ｇ ２ （ ｘ ） ｈ １ （ Ｘ ） ＞０ ；
一类奇摄动非线性边值问题的渐近解
Ｙ（） ． （ ） ／ａ ） ］ （ ？ 一 ｛ 一 ｚ （ ＋１ ＋口 － ［ ／ ， 为奇数 ， ｌ （ ）ａ／ａ ） ］ ， 为偶数且 ，≠ ０ ±［一ｎＸ （ ＋１ 十口 ＋ ｌ ．
ｆｏｘ Ｉ ／ａ＋ １］ ｌ ｆｅｐｘ （ ）， 一 ０ ，
（） ５
十 年来 ， 国际上 十分关 注这类 问题 ， 并取 得 了很 多丰硕 的成 果． 特别 在非线 性方 程 的边界 层 （ 波层 ） 激 问
题中， 由于激波 的位 置很强 地依 赖于边值 ， 引起 了人们 的广 泛关 注 和深 人探 讨 ． 这类 问题 ， 文献 ［—］ 对 在 ４９
中已有一些 研究 ， 面进一 步探讨 一类 奇摄动 非线性 方程 的边值 问题． 下 考虑 如下二 阶奇 摄动非 线性 问题 ：
Ｙ（） ［ ｚ 外／ｎ ） ” 卜 ， ＝｛（ ） （＋１＋ ］ 一，ｚ 为奇数， 【 （ １ ／ａ ） ““ ， ｉ ±［一，ｚ （ ＋１ ＋ ］ ｔ ） ／ 为偶数且， ０ ｌ ． ≠
其 中 Ｙ 只满 足边 界条 件 （ ） Ｙ ？ ２ ， 只满足边 界条件 （ ） ３．
作 者 简 介 ： 利 敏 （ ９３） 男 ， 江湖 州 人 ， 士 ． 吴 １７－ ， 浙 硕
第１ 期
吴 利 敏 ： 类 奇 摄 动 非 线 性 边 值 问题 的渐 近 解 一
・７ ・ ５
根据特 异极 限理论 ， 有 ＝ １才可能 产生 内层解 ， 时 Ｙ 的零 次近 似 Ｙ 只 这 应 满足 方程 ： ｗ
第 ２ 卷第 １ ５ 期
２ ０ ０年 ３月 １
安
徽
工
程
科
技
学
院
学
报
Ｖｏ． ５ Ｎｏ １ １２ ． ．
一类出现在化学反应器理论中的奇摄动边值问题
＋ｋ０ ｂ ＝ （） ４
人们 的兴趣 在 于 当正 参数 于 零 时求 问题 的 趋 渐 近解 。在物理 上 ， 是指 Ｐ ｃ ｔ 变得很 大 ， 如 这 ｅｌ 数 ｅ 例 当 扩 散 系 数 变 小 时 即 得 。 问 题 的 数 学 方 面 已 被
第 １ 第 ５期 ３卷 ２１ ０ １年 １ ０月
黄 山 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｈ ｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｈｕ ｎ ｓ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ｖｏ１１ ＮＯ ． ． ５
０ｃ． ０ ｔ １ ２ ｌ
一
类 出现在化 学反应器理 论 中的奇摄动边值 问题
ｊ ＝ｏ ｊ ＝Ｏ
进 而 可 知， 任 给常 数 ０有 对
一
而 ＝ 为伸 长变 量 ， 每个 ｑ 一 ０‘ ＋ 。 （ ） （ 一 ∞） 先 将 ｕ（８代 入 方 程 （ 和 边 界 条件 （ ， 比较 ｔ） ， １ ） ３ 并 ）
ｅ的 同次幂 系数 可得
－
（ Ｏ ｅｐ １ ６ｔ ＝ （ｘ 一（— ） ｌ
，
在 具 有 轴 向扩 散 的 绝 热 的管 状 化 学 连 续 反应 器 的研 究 中 ． 出现 下 列形 式 的边 值 问题
考虑 如下 形 式 的边 值 问题
８ ＂ｆｔ 苫￡ Ｏ ｔｌ ｙ＋（ｙ＝ （ ＜＜ ） ， ，
）（ ，） ａ （ ， ＝ ， ０ 占 一 ｙ Ｏ ） Ａ Ｙ（ ， 一 ｙ １ｓ ： １ ） ｂ （ ， ）
于是 我们 构造 出问题 （ 一 ３的形式 渐近 解 １ （） ）
即 入是方程 （） ４的单根 。 ３ 化 问题 】 退
ｕ＝ ， ｕ １ ＝ ｆ ，（ ）
求解一类高阶奇摄动线性边值问题
［ 键 词 ］ 高 阶 奇 异摄 动 ； 统 降 阶 ； 界 层 ； 近 展 开 式 关 系 边 渐 （ 章 编 号 ］ １ ７ — ０ ７ ２ １ ） ３ ０ ３ — ５ ［ 图 分 类 号 ） Ｏ１ ５ １ （ 献 标 识 码 ］ Ａ 文 ６ ２ ２ ２ （ ０ １ ０ — ０ ６０ 中 ７． ４ 文
２ １年 ９月 ０ １
求解一类高阶奇摄动线性边值 问题
卫 丽 娟
（ 中北 大 学 理 学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ５ ） ３ ０ １
（ 要 ］ 文 章 研 究 了 一 类 高 阶 奇 异 摄 动 线 性 系 统 的 近 似 解 ， 过 降 阶 将 高 阶 奇 异 摄 动 系 统 转 摘 通 化 成 一 般 的 低 阶 变 系 数 奇 异 摄 动 系统 ， 根 据 不 同 的 边 界 层 引 入 伸 长 变 量 构 造 渐 近 解 ， 对 其 进 行 再 并
时
和
心 ． （ ）一 “ ． （ ， ｏ１ ０ ｚ） ２
０． ２
阶 的求解 问题 ， 而方便 了我们 的研 究 ， 从 而低 阶 的问题 又有 不 同的情 形 ， 现在进 行 具体 的分 析． 我们 首先 对 系统进 行 降阶运 算 ． 由于 （ ） 立 ， 以对 系统 （ ） 行变 换 ， Ｈ 成 可 １进 具体过 程 如下 ：
（ ６ ）
第 ３期
卫 丽娟 ： 解 一 类 高 阶 奇 摄 动 线 性 边 值 问 题 求
其
中
．式容 易求 得 。的表 达式 ， 再将 “ 。的表 达式 代 人 （ ） 容 易 求 得 “ ４式 的表 达 式 ， 次 可 以求 得 “ ， 依 。
一１ … ， 一是 ） 志均 为 常数． ， 一１ ， 首先 假设 如下 条件 成立 ：
奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解
奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解孔伟应;陈怀军;娄正来【摘要】研究了一类具有边界层性质的奇摄动拟线性边值问题.在相对较弱的条件下,利用合成展开法构造问题的形式近似解,然后利用不动点定理证明解的存在性,并给出满足边界层性质的高阶近似解,使得它与精确解之间的渐近估计可达到任意O(εn)阶近似.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)001【总页数】6页(P22-27)【关键词】奇摄动;边值问题;合成展开法;高阶近似;不动点定理【作者】孔伟应;陈怀军;娄正来【作者单位】安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O175.14研究奇摄动边值问题，需要在构造形式近似的基础上证明解的存在性[1-7]。
1996年，De Jager和江福汝[8]把Harten不动点定理应用到奇摄动拟线性常微分方程初值问题的研究中，随后刘树德等[9]用改进的方法研究了与文[8]相应的边值问题，得到解的零次近似并证明了解的存在性。
本文进一步研究奇摄动拟线性边值问题的高阶近似,并应用如下改进的不动点定理。
引理[8](Harten不动点定理) 设(N,‖·‖1)是赋范线性空间,(B,‖·‖)是Banach空间,F 是N到B的非线性映射，F[0]=0，且F可分解为F[p]=L[p]+Ψ[p], p∈N，其中L是F在p=0的线性化算子，L和Ψ满足条件：(i)L是双射，L-1连续，即存在常数l>0使‖L-1[q]‖1 ∀q∈B；(ii)存在使得0ρ时，‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖m(ρ)‖p2-p1‖1, ∀p1,p2∈ΩN(ρ),其中ΩN(ρ)={p|p∈N,‖p‖1ρ},m(ρ)当ρ→0时单调减少，且记ρ0=sup {0ρ则对满足‖χ‖的任意χ∈B，存在p∈N，使得F[p]=χ,且‖p‖1ρ0。
基于切比雪夫-高斯网格的奇摄动问题的近似解的构造
基于切比雪夫-高斯网格的奇摄动问题的近似解的构造侯小朝;陈松林【摘要】研究基于切比雪夫-高斯网格的二阶奇摄动反应扩散问题.根据奇摄动问题边界层的特性,将该问题的边界层区域和正则区域分别通过作变换再使用切比雪夫多项式逼近,得到两个边值问题,并通过设置过渡边值将这两个边值问题转化为两个代数方程组,获得其近似解的构造.最后给出该方法的误差估计.【期刊名称】《安徽工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(030)004【总页数】6页(P446-451)【关键词】奇摄动问题;两点边值问题;切比雪夫多项式;谱方法【作者】侯小朝;陈松林【作者单位】安徽工业大学数理学院,安徽马鞍山243002;安徽工业大学数理学院,安徽马鞍山243002【正文语种】中文【中图分类】O29在生物力学和物理学的实际问题中，经常会遇到奇摄动边值问题。
解决这类型问题人们通常使用渐近展开法。
但是该方法在寻找内部区域和外部区域的合适的渐近展开式时，需要很强的技巧。
近些年来，人们对于寻找逼近奇摄动问题的精确解的途径提出了许多方法，如kadalbajoo等[1-2]利用有限差分法、有限元法、样条法处理奇摄动两点边值问题，Adhikari等[3]利用有限差分法处理具有时滞参数的奇摄动微分方程，倪明康，叶培培等[4-5]用渐近分析的方法处理奇摄动问题。
使用谱方法寻找微分、差分、积分方程的近似解备受人们的关注，这种方法将所要处理的问题转化为代数方程组求解。
本文考虑如下的二阶奇摄动两点边值问题边界条件其中ε是一个小的正参数，0＜ε≪1，p(x)，q(x)，f(x)是充分光滑的函数，且在上述条件下，奇摄动问题（1）有唯一的光滑解[4]，根据奇摄动分析[5]，其边界层在区域Ωˉ的左端。
目的就是寻找一个由分段N次多项式表达的近似解，在每段上其基本形式为其中：ai为未知系数；Ti(x)是i次切比雪夫多项式[6-7]。
为讨论方便起见，设N 为偶数。
几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究
几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究摘要：奇异摄动问题是指在数值计算中，当传统方法难以精确解决某些具有特殊性质的摄动问题时，采用高精度数值方法进行求解。
本文主要研究了几类常见的奇异摄动问题，并提出了高精度数值方法。
首先，介绍了奇异摄动问题的定义和特点。
随后，针对不同类型的奇异摄动问题，分别提出了相应的数值方法，并进行了算例分析与对比。
结果表明，所提出的高精度数值方法能够有效地求解各类奇异摄动问题，并取得了较好的精度和稳定性。
1. 引言奇异摄动问题是科学计算领域中的重要问题，广泛应用于物理学、力学、化学、工程学等各个学科。
奇异摄动问题的特点是在问题求解过程中，存在某种特殊性质的摄动项，导致传统数值方法无法获得满意的解。
因此，研究奇异摄动问题的高精度数值方法具有重要的理论和应用价值。
2. 奇异摄动问题的定义和特点奇异摄动问题通常由一阶或高阶微分方程组成。
其特点是在问题求解区域的某些点存在奇异性，即导数在奇异点附近出现无穷大或不存在。
这种奇异性的存在使得传统的数值方法无法处理问题，需要采用高精度数值方法来求解。
3. 类型一：边界层内的奇异摄动问题边界层内的奇异摄动问题是指在边界层内部分摄动项较大，导致问题解在边界层区域变化剧烈。
针对这类问题，可以采用改进的有限差分方法，如上下文诱导的有限差分方法（CIFDM），将奇异项的影响考虑进去，并利用边界层内较小的步长进行数值求解。
4. 类型二：奇异摄动问题的快速多极算法奇异摄动问题的快速多极算法是一种基于分解的高效数值方法。
该算法通过将问题分解为多个小问题，并利用多极展开公式将远距离的相互作用准确地计算出来。
这种方法能够提高计算效率，并保持较高的数值精度。
5. 类型三：具有时间依赖性的奇异摄动问题具有时间依赖性的奇异摄动问题在数值计算中十分常见。
其中，较为典型的是具有快速振荡摄动项的问题。
针对这类问题，可以采用高精度的时步算法，如四阶Runge-Kutta方法，来求解微分方程组。
asymptotic numerical method
asymptotic numerical method渐近数值方法（asymptoticnumericalmethod）是一种数值分析方法，它利用渐近展开的思想，将原问题转化为一个更简单的问题，从而更容易解决。
渐近数值方法的优点是通用性强，精度高，适用于各种不同类型的问题。
本文将介绍渐近数值方法的基本思想及其应用。
渐近数值方法的基本思想是利用一些已知的渐近展开式，将原问题转化为一个更简单的问题。
例如，对于一个函数f(x)，可以将其在x=a处的渐近展开式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+O((x-a)^3) 其中，O((x-a)^3)表示高阶无穷小，可以忽略不计。
利用这个展开式，我们可以将f(x)近似表示为一个更简单的函数g(x)，例如：g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)这个近似函数g(x)的计算比f(x)更简单，因此可以更容易地求解。
类似地，对于其他类型的问题，也可以利用渐近展开式将其转化为一个更简单的问题。
渐近数值方法的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面。
1. 常微分方程的数值解法。
常微分方程是一类非常重要的数学问题，在物理、生物、经济等领域中都有广泛的应用。
渐近数值方法可以用来求解常微分方程的初值问题和边值问题，通常比传统的数值方法更加高效、精确。
2. 偏微分方程的数值解法。
偏微分方程是一类更加复杂的数学问题，涉及到多个变量、多个方程，难以直接求解。
渐近数值方法可以用来求解某些特殊类型的偏微分方程，例如边界层问题、奇异摄动问题等，具有较高的精度和效率。
3. 粒子模拟。
粒子模拟是一种计算物理学的方法，用于研究固体、液体、气体等物质的微观结构和性质。
渐近数值方法可以用来求解粒子模拟中的一些基本问题，例如计算粒子的速度、位置、动量等。
总之，渐近数值方法是一种非常重要的数值分析方法，可以用来求解各种不同类型的问题。
一类奇摄动半线性边值问题解的尖层性质
一类奇摄动半线性边值问题解的尖层性质
郝作亮;刘树德
【期刊名称】《淮北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(032)004
【摘要】文章研究一类尖层的Dirichlet边值问题.在适当条件下,用伸长变量构造问题的尖层校正项,用合成展开法构造出该问题的形式近似式,应用微分不等式理论证明解的存在性及其渐近性质.
【总页数】4页(P11-14)
【作者】郝作亮;刘树德
【作者单位】安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与计算机科学学院,安徽芜湖241000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.具有非单调过渡层性质的奇摄动半线性边值问题∗ [J], 刘树德;叶珊珊;王丹凤
2.一类奇摄动半线性边值问题解的尖层性质 [J], 郝作亮;刘树德
3.二阶半线性奇摄动边值问题解的渐近行为 [J], 刘帅;周哲彦;沈建和
4.一类具有激波层性质的奇摄动拟线性边值问题 [J], 谢元静;刘树德
5.一类奇摄动半线性边值问题的尖层解 [J], 孙建山;刘树德
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求解奇异摄动边值问题的精细积分法
求解奇异摄动边值问题的精细积分法
富明慧;张文志;S.V.薛申宁
【期刊名称】《应用数学和力学》
【年(卷),期】2010(0)11
【摘要】提出了一种求解一端有边界层的奇异摄动边值问题的精细方法.首先将求解区域均匀离散,由状态参量在相邻节点间的精细积分关系式确定一组代数方程,并将其写成矩阵形式.代入边界条件后,该代数方程组的系数矩阵可化为块三对角形式,针对这一特性,给出了一种高效递推消元方法.由于在离散过程中,精细积分关系式不会引入离散误差,故所提出的方法具有极高的精度.数值算例充分证明了所提出方法的有效性.
【总页数】11页(P1382-1392)
【关键词】奇异摄动问题;一阶常微分方程组;两点边值问题;精细积分法;递推方法【作者】富明慧;张文志;S.V.薛申宁
【作者单位】中山大学应用力学与工程系;莫斯科大学力学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8;O241.81
【相关文献】
1.求解一类二阶奇异摄动两点边值问题 [J], 张晓蕾;么焕民
2.基于分级网格的有限体积元方法求解奇异摄动两点边值问题 [J], 李玲;熊之光
3.一类奇异两点边值问题的混合精细积分法 [J], 张文志
4.求解奇异摄动两点边值问题的奇性分离法 [J], 杨婧
5.在非均匀网格上求解一类具边界摄动的非自伴奇异摄动第三边值问题 [J], 孙小弟;王燕萍
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求解奇异摄动转向点问题的一个高阶格式
求解奇异摄动转向点问题的一个高阶格式
孙晓弟
【期刊名称】《应用数学与计算数学学报》
【年(卷),期】1992(006)002
【摘要】§1.引言本文考虑以下奇异摄转向点问题: (1.1)这里参数ε是(0,1]中常数,函数α(x)∈C^2[I],b(x),f(x)∈C^3[I],且满足α(x)≥α_*>0,b(x)≥b_*>0,在以上假设下,由[2]可知,方程(1.1)存在唯一解u_ε∈C^4[I]。
【总页数】5页(P25-29)
【作者】孙晓弟
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O241.8
【相关文献】
1.求解椭圆双曲型奇异摄动问题的一个一致收敛格式 [J], 冯梅
2.求解守恒型奇异摄动问题的一个一致收敛高阶方法 [J], 吴启光;孙晓弟
3.求解奇异摄动问题的一个耦合差分格式 [J], 孙晓弟;吴启光
4.求解奇异摄动转向点问题的一个二阶一致收敛格式 [J], 孙晓弟
5.带有转向点的半线性奇异摄动问题的一致收敛差分格式 [J], 林平
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具有积分边界条件的高阶Sturm-Liouville边值问题的可解性
具有积分边界条件的高阶Sturm-Liouville边值问题的可解性吕学哲;裴明鹤【摘要】研究了具有积分边界条件的n阶Sturm-Liouville边值问题x(n)(t)=f(t,x(t),x'(t),…,x(n-1)(t)),t ∈ [0,1],x(i)(0) =0,i =0,1,…,n-3,1x(n-2)(0)-ax(n-1)(0) =∫10h0(s,x(s),x'(s),…,x(n-2)(s))ds,x(n-2)(1) +bx(n-1)(1)=∫h1(s,x(s),x'(s),…,x(n-2)(s))ds0解的存在性,其中f∈C([0,1]×Rn),h0,h1∈C([0,1]xRn-1)并且a,b≥0为常数,利用关于两个算子和的O'Regan不动点定理,得到了上述边值问题解的存在性.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(017)006【总页数】6页(P708-713)【关键词】高阶边值问题;存在性;积分边界条件;Nagumo条件【作者】吕学哲;裴明鹤【作者单位】北华大学数学与统计学院,吉林吉林132013;北华大学数学与统计学院,吉林吉林132013【正文语种】中文【中图分类】O175.8本文我们研究n阶非线性微分方程满足积分边界条件其中f：[0，1]×n→，h0，h1：[0，1]×n-1→连续，a，b≥0为常数.高阶边值问题来源于许多应用数学和物理学的分支，多年来一直被许多学者所广泛关注[1-17]，而大多数边界条件是二点或多点边界条件，带积分边界条件的相对较少[7，10，12，13，16].本文的目的是建立边值问题(1)-(2)解的存在性.我们的主要研究工具是关于两个算子和的O’R egan不动点定理[18].值得一提的是，在本文中关于边界条件(2)，我们不仅没有假设在[0，1]上hi(t，0，…，0)≡0，i=0，1，而且没有假设a和b都严格大于0.这是本文与文献[4]的本质区别之一.用C[0，1]表示[0，1]上的实值连续函数全体构成的Banach空间，具有范数x0表示在[0，1]上n次连续可微函数全体所构成的Banach空间，具有范数xCnmax{x(i)0，i=0，1，…，n}.定义1 设E为[0，1]×n的一个子集.称f(t，x0，x1，…，xn-1)在E上满足Nagumo条件，如果存在一个连续函数Φ：[0，+)→(0，+)，使得并且满足.引理1[9] 设f：[0，1]×n→是一个连续函数，并且在上满足Nagumo条件，其中γi(t)，Γi(t)：[0，1]→是连续函数，满足则存在一个常数ρ>0(仅与γn-2(t)，Γn-2(t)和Φ(t)有关)，使得方程(1)的满足条件的每一个解x(t)，有x(n-1)0<ρ.我们考虑如下单参数边值问题族的先验估计：其中0≤λ≤1.经过简单计算可得到下面的引理：引理2 当λ=0时，边值问题(3)-(4)只有平凡解，并且相应的Green函数G(t，s)的表示式如下现在定义一个线性算子L：Cn[0，1]→C[0，1]×n如下：(Lx)(t)= (x(n)(t)，x(0)，x′(0)，…，x(n-3)(0)，x(n-2)(0)-ax(n-1)(0)，x(n-2)(1)+bx(n-1)(1))，t∈[0，1].则容易验证L是一个零指标的Fredholm算子，并且它的逆L-1：C[0，1]×n→Cn[0，1]的表示式如下：其中具有定义Nemitskii算子F：Cn-1[0，1]→C[0，1]如下：以及Hi：Cn-2[0，1]→C[0，1]如下：再定义一个算子T：Cn-1[0，1]→C[0，1]×n如下：经过简单的计算可得到下面的引理：引理3 边值问题(3)-(4)等价于Cn-1[0，1]中的抽象方程x=λL-1Tx，即x∈Cn[0，1]为边值问题(3)- (4)的一个解，当且仅当x∈Cn-1[0，1]为积分方程的解，其中φ(t，x(s))=φ(t)(H0x)(s)+ψ(t)(H1x)(s).记则L-1T=G1+G2.引理4[18] 设U为Banach空间X中的闭凸子集C的一个开子集，有界，并且具有分解P=P1+P2，其中全连续，而是一个非线性压缩，则(A1) P在中有一个不动点；或者(A2) 存在一点u∈∂U和λ∈(0，1)满足u=λP(u).现在我们陈述并证明边值问题(1)- (2)的解的存在性结果.定理1 假设(ⅰ) 对每一个固定的(t，xn-2，xn-1)∈[0，1]×2， f(t，x0，x1，…，xn-1)关于xi(i=0，1，…，n-3)是非增的，并且存在一个常数M>0，使得(ⅱ) 存在β0，β1∈(0，1)和非减的连续函数σ0，σ1：(0，+)→(0，+)，使得当u>0时σi(u)≤βiu(i=0，1)，并且∀(t，x0，x1，…，xn-2)，(t，y0，y1，…，yn-2)∈[0，1]×n-1，有(ⅲ) f(t，x0，x1，…，xn-1)在E[0，1]×[-M-r，M+r]n-1×上满足Nagumo条件，其中r=max{(1-βi)-1hi(·，0，0，…，0)0，i=0，1}.则边值问题(1)-(2)至少有一个解，如果(b+1)β0+(a+1)β1<a+b+1.证明：首先证明对于边值问题(3)-(4)的任一解x(t)，有注意到，当λ=0时，BVP(3)-(4)只有平凡解，因此式(5)成立.当λ∈(0，1]时，易见存在t0∈[0，1]，使得x(n-2)(t0)x(n-2)(t)K.由式(4)得假设式(5)不成立，即K>M+r.兹断定x(n-1)(t0)=0.不妨设x(n-2)(t0)>0.若t0=0，则x(n-2)(0)=K>M+r，并且x(n-1)(0)≤0.于是由式(4)和(ⅲ)，对一些ζ∈(0，1)，有K= x(n-2)(0)≤x(n-2)(0)-ax(n-1)(0)==h0(ζ，x(ζ)，x′(ζ)，…，x(n-2)(ζ))≤h0(ζ，x(ζ)，x′(ζ)，…，x(n-2)(ζ))-h0(ζ，0，0，…，0)+h0(ζ，0，0，…，0) ≤β0K+(1-β0)r<β0K+(1-β0)K=K，矛盾，从而t0≠0.类似可证t0≠1.故t0∈(0，1)，从而x(n-1)(t0)=0.因此，由假设条件(ⅰ)和式(6)有x(n-2)(t0)x(n)(t0)= λx(n-2)(t0)f(t0，x(t0)，x′(t0)，…，x(n-2)(t0)，0) ≥λx(n-2)(t0)f(t0，x(n-2)(t0)，x(n-2)(t0)，…，x(n-2)(t0)，0)>0.于是x(n)(t0)>0，这与x(n-2)(t)在t=t0∈(0，1)取得正的最大值矛盾.综上，不等式(5)成立.因此，由式(5)和(6)可得故由引理1，存在ρ>0使得令则由格林函数的性质和f的连续性易知，算子是全连续的.现在证明是非线性压缩.事实上，注意到对每一个i=0，1，…，n-1，有所以∀x，y∈Cn-1[0，1]，有x-yCn-1.注意到，BVP(3)-(4)的所有可能解x(t)满足xCn-1<R，所以不存在x∈∂Ω，λ∈(0，1)使得x=λL-1Tx，从而引理4中的结论(A2)不成立，进而L-1T=G1+G2有一个不动点，它是边值问题(1)- (2)的一个解.证毕.注1 在定理1中，当h0(t，0，…，0)≡0，t∈[0，1]时，易证：若a>0，则β0可以取1，并且此时r=(1-β1)-1h1(·，0，…，0)0.类似地，当h0(t，0，…，0)≡0，t∈[0，1]时，若b>0，则β1可以取1，并且此时r=(1-β0)-1h0(·，0，…，0)0.更进一步，如果在[0，1]上，hi(t，0，…，0)≡0，i=0，1，则在条件a>0和b>0下，β0，β1都可以等于1，并且此时r=0.注2 在定理1中，若条件(ⅰ)改为(ⅰ′) 存在一个常数M>0使得当xn-2>M，(t，x0，x1，…，xn-3)∈[0，1]×n-2时，有而其他条件不变，则定理的结论仍成立.例1 考虑三阶Sturm-Liouville型积分边值问题设容易验证定理1和注1的所有条件都满足，故边值问题(7)-(8)至少有一个解.但由文献[4]中的定理2无法断定上述边值问题至少有一个解.【相关文献】[1] R P Agarwal.Boundary value problems for higher order differentialequations[M].Singapore：World Scientific，1986.[2] R P Agarwal，D O’Regan.Multiplicity results for singular conjugate，focal，and (N，P) problems[J].J Differential Equations，2001，170：142-156.[3] R P Agarwal，P J Y Wong.Positive solutions of higher-order Sturm-Liouville boundary value problems with derivative-dependent nonlinear terms[J].Boundary Value Problems，2016，2016：112.[4] A Boucherif，S M Bouguima，N Al-Malki，et al.Third order differential equation with integral boundary conditions[J].Nonlinear Anal，2009，71：1736-1743.[5] A Cabada.The method of lower and upper solutions for second，third，fourth and higher order boundary value problems[J].J Math Anal Appl，1994，185：302-320.[6] Z Du，W Liu，X Lin.Multiple solutions to a three-point boundary value problem for higher-order ordinary differential equations[J].J Math Anal Appl，2007，335：1207-1218.[7] P W Eloe，B Ahmad.Positive solutions of a nonlinear nth order boundary value problem with nonlocal conditions[J].Appl Math Lett，2005，18：521-527.[8] J R Graef，L Kong，B Yang.Existence of solutions for a higher order multi-point boundary value problems[J].Results Math，2009，53：77-101.[9] M R Grossinho，F M Minhos.Upper and lower solutions for higher order boundary value problems[J].Nonlinear Study，2005，12：165-176.[10] X Hao，L Liu，Y Wu，et al.Positive solutions for nonlinear nth-order singular eigenvalue problem with nonlocal conditions[J].Nonlinear Anal，2010，73：1653-1662.[11] J Henderson.Existence and uniqueness of solutions of (k+2)-point nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations[J].Nonlinear Anal，2011，74：2576-2584.[12] G L Karakostas，P Ch Tsamatos.Nonlocal boundary vector value problems for ordinary differential equations of higher order[J].Nonlinear Anal，2002，51：1421-1427.[13] Y Liu，W Ge.Solvability of nonlocal boundary value problems for ordinary differential equations of higher order[J].Nonlinear Anal，2004，57：435-458.[14] M Pei，S K Chang.Existence and uniqueness of solutions for nth-order nonlinear two-point boundary value problems[J].Applied Mathematics and Computation，2013，219：11005-11017.[15] M Pei，S K Chang.Solvability of nth-order Lipschitz equations with nonlinear three-point boundary conditions[J].Boundary Value Problems，2014，2014：239.[16] J R L Webb，G Infante.Non-local boundary value problems of arbitrary order[J].J Lond Math Soc，2009，79：238-258.[17] P J Y Wong.Solutions of constant signs of a system of Sturm-Liouville boundary value problems[J].Math Comput Modelling，1999，29：27-38.[18] D O’Regan.Fixed-point theory for the sum of two operators[J].Appl Math Lett，1996，9：1-8.【责任编辑：伍林】。
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ｕ， ＝ （ ） ∑ （ ｔ ￡ ）
ｊ ＝ｏ
代入（） （ Ｅ ＝ 或ｕｂ ） ） １ 和乱０ ） （ （， ＝Ｂ 并令Ｅ的系数相等得到 ， 。
ｆｔ ＇ （ ｏ ＝０ （ ｕ ＋ｇｔ ） ， ）ｏ ，
ｕ （ ＝ 或ｕ （ ＝Ｂ ｏ ） （ ｏｂ ａ ） ） 由假设［１ Ｈ］ 知其解为ｕ ＝ｕ （ （ ０ Ｒ￡ ． ０ Ｌｔ 或 ＝ （ ） ￣ ｕ （ ＝ｕ （） （ ） ０ ）故可取 ） ） ＬＯ ） Ｒ０， ０ ＝ｕ （＋ ， 一
文章编号：００４２（０２０．０００７ ｉ０—４４２ １）１０５—０
§ 引 言 １
在奇摄动内层 问题 的研究中， Ｍａｌ ［用相平面分析 的方法讨论了半线性 自治 问题 Ｏ’ ｌｙ ｅ １
Ｃ ＝９ Ｘ （） （ ，） Ａ，ｘ１￡ ＝Ｂ 一１￡ ＝ （，）
具有尖层性质的解（ 简称尖层解） 的存在性， ａｈ １ Ｋ ｔ［ 把文［的结论推广到非自治系统， １ ］ 并解释了解 具有尖层性质的定性特征． ［则讨论 了如下形式的半线 ｒ ｈｅＩ题 文３ ］ ￣Ｄ ｉ ｌ ； ｃ ｔ］
合 成 展 开 法构 造 出 尖层 解 的形 式近 似 ， 应 用微 分 不 等 式 理 论 证 明 了解 的 存 在 性 及 其 并
渐近性质．
关键词： 摄动； 奇 边值 问题 ； 尖层 解 ； 成展 开 法； 分 不 等 式 合 微
中图分类号： ７ ． Ｏ１５１ ４
文献＜ｔ ｂ Ｒｔ ） ． 其中ｕ （ ，Ｒ￡ Ｌｔ ｕ （满足［１ ≠ｕ （ ＝ （ ． ） ） Ｈ］ 且ｓ ＬＯ Ｒ０ ） ） 下面来分析 问题（）（） １，２的解（ 果存在 的话） ＝ ０ 如 在ｔ 处具有尖层性质 的条件． 采用合成展 开
法［５ 先将外展开式 ｌ 一，
其 中 ＝ ， ＝ ｄＶ． 矿 ２ 由于 已假设ｔ 是， ｔ的高阶转 向点， ＝０ （ ） 上式中令 的系数相等得 到
＋ ＝０ （） ，
（） ５
其 中 ＂ ＝ｇＯｕｏ ＋Ｖ 一ｇＯｕ０） （） （，（） ） （，（）．
考虑到”∈作为尖层主要校正项 ， （） 应存在常数ｃ ， ≠０ 使
高校应用数学学报 ２ １ ， ７ １： ０５ ０ ２ ２ （） ５ —６
具有 高阶 转 向点 的奇摄 动边值 问题 的尖 层解
杜冬青， 刘树德
（ 安徽 师范大学 数学计算机科 学学院，安徽省 芜湖市 ２ １ ０ ） ４ ０ ０
摘
要：研 究 了一 类具有 高阶转 向点的奇摄动半线性边值 问题． 适 当的 条件 下， 在 用
ＣＸ ２ ＋ｆｔｘ＋ｇｔＸ ＝０ （ （ ） ，ａ＜ｔ ， ） ， ＜ｂ ｘａ￡ ＝Ａ，ｘｂｇ ：Ｂ， （，） （，） （） ２
其中￡＞０ 是小参数， ， （ ａｂ ａ＜０ ） ， ＜６ 和 Ｂ皆为常数． （ ＝０ 即￡ 是Ｉｔ 在，０ ） ， ＝０ 厂 ） （ 的一阶转向点
的主要假 设下， 利用微分不等式理论证 明了尖层解 的存在性 ， 并给 出解 的渐近估计． 本文在此基
Ｇ 兰／（ ＞ （ 一 雪ｄ ０ ｕ ｏ ・ ） ）
进而由（） 出， （） 时 ∈可隐式地表示为 ８推 当 ０ ＞０ （）
阶转 向点．
一
般地， 奇摄动 问题在转 向点附近往往会 出现各种不 同的内层性质 ， 如激波层 ， 尖层 和非单
调过渡层等． 问题（）（）的一个解 ＝ｘｔＥ 在ｔ 处具有尖层性质， 称 １，２ （，） ＝０ 如果
一 ，） ｆｕｔａｔ０ 【 Ｌ， ， ｌ。 ｓ：｛ ８） ＜ ｉ （ ｍ ￡ （
杜 冬青等： 具有高阶转向点的奇摄动边值 问题的尖层解
５ ｌ
§ 形式近 似 的构造 ２
与（）（） １，２相应 的退化 问题分别为
ｆｔ （ ｕ ＝０ （ ＝Ａ （ ｕ ＋ｇｔ ） ，ｕａ ） ， ）
和
ｆｔ （ ） ０ （） Ｂ （ｕ ＋ｇｔ ： ，ｕｂ ＝ ） ，
假 设
［Ｉ Ｈ 】存在函数 （ ，Ｒｔ∈Ｃ ［ ６ Ｌ￡ ｕ （ ） ） 。 ， 分别满足退化问题（） ４， ０ｊ ３ 和（ 使得 ）
ｖｏ ＝Ｃ （） ， （） ， ０ ＝０
同时 ∈应满足 （）
（） ６
ｕ。 ） （ ＝ ０ （。 ＝０∞） ．
从 （） （） ５ ， ７ 两式 推 出
ｔ Ｊ
０ ＝一 ２／ｔ ） ＝０ ￣ｄ ， （ｚ ｚ
Ｊ０
（） ８
再利用ｆ） ６便得
一 ｏ ，
（） ９
其 ＣｖＯ ＝ Ｃ≠ ０ 由尖 层校正项 的性质 可知， （） ０ （） ．仍 当＂０ ＞ 时应有∈（） （ 心 ＜ ０∈≠０； （） ）而ｕ０ ＜ ０ 时应有∈ （） （ ０∈ ＞０∈≠Ｏ． ） 因此总有
ｕ （ ＝札 （） ２Ｏ ） （ ） ＬＯ ） ．０，ｕ （一 ＝ ０ ； Ｒ ＋
［２ （ ∈Ｃ ［ ｂ佗 ２， （） ） Ｈ 】ｆｔ ） ０ ］ ）使ｆＯ ＝，（ ＝… ＝ｆ 一（ ＝０ Ｒｆ （ ≠０ 即ｔ ０ （ 的佗 ，（ ０ ０ ） ， ０ ） ， ＝ 是，ｔ ）
础 上考虑 ，ｔ具有 高阶转 向点问题 ， （ ） 用合成展开法构造 出该 问题的形式近似 ， 并用微 分不等 式理
论证 明尖层解 的存在性 以及 当Ｅ一 ０ 时解的渐近性质 ．
收稿 日期： ０ １０ － １ ２ １ — ７２ 修 回日期： ０ １１ —２ ２ １ —２ １ 基金项 目： 安徽 高校省级 自然科学基金 （ ２ １ Ａ１ ３ ＫＪ Ｏ Ｏ ５ ）
＝
作为该 问题 外部解 的零次近似．
再在￡ 附近引入伸展变量 ＝ 构造尖层校正项 ：０ ，
５ ２
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第１ ７ 期
将 （ Ｅ ＋ （， 代入 （） ｔ） ∈ ， ） １得到 ＋ ． ） ＋夕∈， ） （Ｅ ） ， 厂 Ｅ （ （￡ｕ＋ 一９∈， ＝０