2018秋九年级数学上册第二十四章圆借助定理巧求角同步辅导素材新版新人教版
2018年秋九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角听课课件新人教版
图 24－1－14
24.1.4 圆周角
(2)如图 24－1－15，画⊙O′，使点 O，A，B 都在⊙O′上， OO′的延长线与⊙O′交于点 C2，
24.1.4 圆周角
知识点四 圆内接多边形
圆内接多边形的定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 外接圆．
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
24.1.4 圆周角
平面内有四个点 A，O，B，C，其中∠AOB＝120°，∠ACB＝ 60°，AO＝BO＝2，求满足题意的 OC 的长度为整数的所有值．
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24.1.4 圆周角
【归纳总结】利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路： (1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的 圆周角相等； (2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周 角所对的弧相等； (3)当有直径时，常利用“直径所对的圆周角为直角”解决问题．
24.1.4 圆周角
1 即∠ABC＝2∠AOC.
若∠ABC 的两边都不经过圆心，如图②的情况，连接 BO 并延长交⊙O 于点 D.
秋季人教版九年级数学上册第24章 圆知识点总结与练习 含答案
2．直线和圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
（1）直线和圆相离? d r ，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切? d r ，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交? d r ，直线与圆有两个交点。
【答案】 4 159
【例 8】如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD⊥BC
1 于 D，求证：AD= 2 BF.
F A
E
BD O
C
【答案】提示：连接 OF，证明 ADO, FOE, BOE 是全等三角形。
圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
2． 弧长： l =
np R 180 ；
3． 圆面积： S = p R2；
1 np R2
4． 扇形面积： S ＝ lR =
；
扇形 2
360
【例 11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 120°，AB 的长为 30c m，贴纸部分 BD 的长为 20cm，则贴纸部分的面积为( )．
M
A
N
【例2】 已知⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x2－2x＋d=0 有
实根，则点 P( )．
A．在⊙O 的内部
B．在⊙O 的外部
C．在⊙O 上
D．在⊙O 上或⊙O 的内部
【答案】D
【例3】 已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点．求证：OP 垂直平分线段 AB．
A．100 πcm 2 C． 800πcm2
400 B． 3 πcm2
九年级数学上册第二十四章圆垂径定理源于生活辅导素材新人教版(2021年整理)
2018秋九年级数学上册第二十四章圆垂径定理源于生活同步辅导素材（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018秋九年级数学上册第二十四章圆垂径定理源于生活同步辅导素材（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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垂径定理源于生活数学源于生活，又应用与生活，垂径定理在一些实际生活中就有着广泛的应用．现举例解析如下．例1(2016·绍兴）如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A ，B,AB=40 cm ，脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm，则该脸盆的半径为 cm ． 解析：如图2，设圆心为O,连接OA ，OC,OC 与AB 交于点D ，设⊙O 半径为R.∵OC ⊥AB,∴AD=DB=21AB=20. 在Rt △AOD 中，有OA 2=OD 2+AD 2，即R 2=202+（R ﹣10）2，解得R=25．故答案为25．例2（2015·衢州）一条排水管的截面如图3所示,已知排水管的半径OA=1 m ，水面宽AB=1.2 m ，某天下雨后，水管水面上升了0。
2 m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ．解析：如图4，对图进行字母标注.过点O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，连接OC.∵AB=1。
2 m ，OE⊥AB，∴AE=12AB=0。
6 m. 在Rt △AOE 中，OE=22OA AE =0。
8 m.∵水管水面上升了0.2 m ，即EF =0.2 m ，图1 图2 图4∴OF=0。
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时精讲(新版)新人教版
九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时精讲（新版）新人教版1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___． 4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___. 知识点1：认识圆周角1．下列图形中的角是圆周角的是( B )2．在⊙O 中，A ，B 是圆上任意两点，则AB ︵所对的圆心角有__1___个，AB ︵所对的圆周角有__无数___个，弦AB 所对的圆心角有__1___个，弦AB 所对的圆周角有__无数___个．知识点2：圆周角定理3．如图，已知点A ，B ，C 在⊙O 上，ACB ︵为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A ) A ．2∠C B ．4∠B C ．4∠A D ．∠B ＋∠C,第3题图) ,第4题图)4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．70°知识点3：圆周角定理推论5．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，则∠B 的度数是( C ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．65°,第5题图),第6题图),第7题图)6．如图，CD ⊥AB 于E ，若∠B＝60°，则∠A ＝__30°___．7．如图，⊙O 的直径CD 垂直于AB ，∠AOC ＝48°，则∠BDC＝__24°___．8．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.解：∵AB＝BC ，∴AB ︵＝BC ︵，∴∠BDC ＝∠ADB，∴DB 平分∠ADC知识点4：圆内接四边形的对角互补9．如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE 的大小是( B )A ．115°B ．105°C ．100°D ．95°,第9题图) ,第10题图)10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC ＝160°，则∠D＝__80°___，∠B＝__100°___.11．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( B )A ．44°B ．54°C ．72°D ．53°,第11题图) ,第12题图)12．(2014·丽水)如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD＝180°，则弦BC 的弦心距等于( D )A .412B .342C ．4D ．313．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB＝__20°___．,第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，△ABC 内接于⊙O，点P 是AC ︵上任意一点(不与A ，C 重合)，∠ABC ＝55°，则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC＜110°___．15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D 的坐标为．16．如图，在△ABC 中，AB ＝为直径的⊙O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，且点D 为边BC 的中点．(1)求证：△ABC 为等边三角形； (2)求DE 的长．解：(1)连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵点D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.又∵AB＝BC ，∴AB ＝AC ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE ⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE ＝EC ，即E 为AC 的中点．又∵D 是BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12×2＝117．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是AB ︵上两点，AB ＝13，AC ＝5.(1)如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；(2)如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长．解：(1)连接PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB ︵的中点，∴PA ＝PB ，∠APB ＝90°，可求PA＝22AB ＝1322(2)连接BC ，OP 交于点D ，连接PB.∵P 是BC ︵的中点，∴OP ⊥BC ，BD ＝CD.∵OA ＝OB ，∴OD ＝12AC ＝52.∵OP ＝12AB ＝132，∴PD ＝OP －OD ＝132－52＝4.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，由勾股定理可求BC ＝12，∴BD ＝12BC ＝6，∴PB ＝PD 2＋BD 2＝42＋62＝213.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∴PA ＝AB 2－PB 2＝132－（213）2＝31318．已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D. (1)如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长； (2)如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝∠BDC＝90°.在Rt △CAB 中，AC ＝BC 2－AB 2＝102－62＝8.∵AD 平分∠CAB，∴CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD.在Rt △BDC 中，CD 2＋BD 2＝BC 2＝100，∴BD 2＝CD 2＝50，∴BD ＝CD ＝5 2 (2)连接OB ，OD.∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB ＝12∠CAB＝30°，∴∠DOB ＝2∠DAB ＝60°.又∵⊙O 中OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙O 的直径为10，∴OB ＝5，∴BD ＝5。
九年级数学人教版第二十四章圆整章知识详解图文结合(同步课本结合例题精讲)
【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
九年级数学第24章圆
人教版九年级数学上册第二十四章圆全章总复习及知识梳理
第二十四章 圆
旋转对称、中心 对称、轴对称
对称性
垂径定理及其推论(注意推论中“不是直径 的弦”的条件) 基本性质 弧、弦、圆心角 关系定理及其推 论 前提条件：在 同圆或等圆中
圆周角定理及其推论
第二十四章 圆
正多边形与圆
等分圆周
有关计算
第二十四章 圆
位置关系 切线的性质 直线与圆的 位置关系 切线的判定 切线的作用
且OM=3, 则⊙O的半径为( C ).
A．10 B． 8 C． 5 D．2
第二十四章 圆
分析
第二十四章 圆
相关题2 如图24-Z-4, 已知AB是⊙O的直径, 且AB=12.
弦CD⊥AB于点M, 且M是半径OB的中点, 则弦CD的长是
6 3 结果保留根号). ______(
第二十四章 圆
解析
【要点指导】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半, 在解有关圆的问题时常常借助这个定理
进行角度转化.
第二十四章 圆
例 1 如图24-Z-1, 某珠宝店有一圆形货柜, 为了
增加珠宝的光彩, 在其圆形边缘上的点A处安装了
一台小灯, 它所发出的光线形成的最大张角是65°.
为了使整个货柜里的珠宝都能被灯光照射到, 最少 需在圆形边缘上安装这样的小灯( A．3台 B． 4台 C．5台
A
)．
D．6台
第二十四章 圆
分析 ∵∠A=65°,
∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°.
∵360°÷130°≈2.8, ∴至少要安装3台这样的小灯. 故选A.
第二十四章 圆
相关题1
如图24-Z-2, B, C是⊙A上的两点, AB的垂直平分
线与⊙A交于E, F两点,与线段AC交于点D．若∠BFC=20°, 则
2018年秋人教版九年级数学上册课件：第二十四章 圆 单元复习课(共27张PPT)
拓展提升
又∵OE=OD，∠OME=∠OND=90°，
∴Rt△OEM≌Rt△ODN（HL）. ∴EM=DN.
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴点M是EF的中点，点N是CD的中点.
∴EM= EF，DN= CD.
∴CD=EF.
（2）∵CD=EF，∴
∴
，即
拓展提升
8. （2017丽水）如图1-24-51-11，在Rt△ABC中， ∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E. （1）求证：∠ADE=∠A； （2）若AD=16，DE=10，求BC的长.
拓展提升
（1）证明：如答图24-51-9所示，连接OD. ∵DE是切线， ∴∠ODE=90°. ∴∠ADE+∠BDO=90°. ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵OD=OB，∴∠B=∠BDO. ∴∠ADE=∠A.
拓展提升
（2）解：如答图24-51-9，连接CD.
∵∠ADE=∠A，∴DE=AE.∵BC是⊙O的直径，
由（1）得
，
∴CD=BD=4.
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径.
∴∠BDC=90°.
∴BC=
∴△ABC外接圆的半径=
巩固训练
5. 如图1-24-51-8，OA和OB是⊙O的半径，并且 OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q， 过点Q的⊙O的切线交OA的延长线于点R. 求证： RP=RQ.
解：（1）∵∠D=60°，∴∠B=60°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°. 又∵AB=6，∴BC=3. ∵OE⊥AC，∴OE∥BC. 又∵点O是AB的中点， ∴是△ABC的中位线. ∴OE= BC=
典型例题
2018年秋九年级数学上册第二十四章圆本章知识梳理课件(新版)新人教版
又∵∠AOB=45°，∴OB=3.∴AO=
即外接圆的半径为 ，内切圆的半径为3. 答案：B
，
本章易错点归总
学以致用 1. 已知△ABC内接于圆O，F，E是 的三等分点， 75°或105° 若∠AFE=130°，则∠C的度数为____________.
2 2. 已知圆内接△ABC，AB=AC ，圆心O到BC的距离
∠AOC=160°，则∠ABC的度数为（
A. 80°
C. 100°
B. 160°
D. 80°或100°
本章易错点归总
易错提示：学生易直接根据“同弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半”错选A，这是由于不重视作图以及 对三角形的外心与三角形的位置关系不熟悉所造成的. 解答这类问题关键有二：一是由图形未知联想到可能需 要分类讨论，分类情况的意识先行；二是先画图，确定 圆心角的位置，然后根据第三个顶点在圆弧上的位置分
第二十四章 圆
本章知识梳理
考纲要求
1. 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等 圆、等弧的概念：探索并了解点与圆的位置关系. 2. 探索圆周角与圆心角及其所对的弧的关系，了解并 证明圆周角及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
A. 6，
C. 6，3
B.
D.
，3
，
本章易错点归总
易错提示：学生往往分不清楚哪是外接圆的半径，哪是 内切圆的半径. 如图M24-4，点O是正方形的中心，也 就是外接圆与内切圆的共同圆心，线段OA是外接圆的 半径（也叫做正方形的半径），垂线段OB是内切圆的 半径，不可混为一谈. 正解：∵正方形的边长为6，∴AB=3.
九年级数学上册 第二十四章 圆 借助定理巧求角同步辅导素材 (新版)新人教版
借助定理巧求角例1 如图1，在⊙O 中，⌒AB=⌒AC ，∠AOB =50°，则∠ADC 的度数是 （ ）A ．50° B．40° C．30° D．25°分析：由⌒AB =⌒AC可求得∠AOC =∠AOB ，继而可求得∠AOC 的度数，然后再根据圆周角定理即可得出结论．解：如图1，连接OC.在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，所以∠AOC =∠AOB .因为∠AOB =50°，所以∠AOC =50°．所以∠ADC =21∠AOC =25°． 故选D ．例2 如图2，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD =52°，则∠BCD 等于 （ ）A ．32°B ．38°C ．52°D ．66°分析： 由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB 的度数，继而求得∠A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB =90°.因为∠ABD =52°，所以∠BAD =90°﹣∠ABD =38°.因为∠BAD 与∠BCD 是弧BD 所对的圆周角，所以∠BCD =∠BAD =38°．故选B ．点评：（1）在圆中，若有等弧，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆周角（或圆心角）；（2）在圆中，遇到直径，常添加辅助线构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质，把问题转化为直角三角形来解决.牛刀小试1.（2016•绍兴）如图3，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，弧AB=弧BC ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2.（2016•青岛）如图4，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则图1 图2∠ABD=________.3.（2016•牡丹江）如图5，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=________度．参考答案：1. D 2. 62° 3. 30。
九年级数学上册 第二十四章 圆 小小性质用处大同步辅导素材 (新版)新人教版
小小性质用处大“圆的内接四边形的对角互补”是一个非常重要的性质，在中考中时有出现.原题呈现：（九年级上册P88练习第5题）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°.∵∠ADE+∠ADC=180°,∴∠ADE=∠B=110°.中考链接例1 (2016·聊城)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF=BC，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°分析：根据圆内接四边形的对角互补，可求得∠ADC的度数，再根据圆周角定理的推论得出∠DCE的度数，再由三角形外角的性质即可得出∠E的度数.解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°-∠AB C=180°-105°=75°．∵DF=BC，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°.∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°．故选B．例2(2016·娄底)如图3，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是__________.分析：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A与∠C互补，再由∠C=∠D，可得∠A与∠D也互补，由此判断AB与CD的位置关系.解：AB∥CD.理由：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C =180°.∵∠C=∠D，∴∠A+∠D=180°.∴AB∥CD.再试一把（2016•常州）如图4，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC=_______．图3参考答案：50°。
2019九年级数学上册 第二十四章 圆 借助定理巧求角同步辅导素材 (新版)新人教版
-1 借助定理巧求角例1 如图1，在⊙O 中，⌒AB=⌒AC ，∠AOB =50°，则∠ADC 的度数是 （ ）A ．50° B．40° C．30° D．25°分析：由⌒AB =⌒AC可求得∠AOC =∠AOB ，继而可求得∠AOC 的度数，然后再根据圆周角定理即可得出结论．解：如图1，连接OC.在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，所以∠AOC =∠AOB .因为∠AOB =50°，所以∠AOC =50°．所以∠ADC =21∠AOC =25°． 故选D ．例2 如图2，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD =52°，则∠BCD 等于 （ ）A ．32°B ．38°C ．52°D ．66°分析： 由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB 的度数，继而求得∠A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB =90°.因为∠ABD =52°，所以∠BAD =90°﹣∠ABD =38°.因为∠BAD 与∠BCD 是弧BD 所对的圆周角，所以∠BCD =∠BAD =38°．故选B ．点评：（1）在圆中，若有等弧，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆周角（或圆心角）；（2）在圆中，遇到直径，常添加辅助线构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质，把问题转化为直角三角形来解决.牛刀小试1.（2016•绍兴）如图3，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，弧AB=弧BC ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2.（2016•青岛）如图4，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________.3.（2016•牡丹江）如图5，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=________度． 参考答案：1. D 2. 62° 3. 30图1 图2。
2019九年级数学上册 第二十四章 圆 借助定理巧求角同步辅导素材 (新版)新人教版
1 借助定理巧求角例1 如图1，在⊙O 中，⌒AB=⌒AC ，∠AOB =50°，则∠ADC 的度数是 （ ）A ．50° B．40° C．30° D．25°分析：由⌒AB =⌒AC可求得∠AOC =∠AOB ，继而可求得∠AOC 的度数，然后再根据圆周角定理即可得出结论．解：如图1，连接OC.在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，所以∠AOC =∠AOB .因为∠AOB =50°，所以∠AOC =50°．所以∠ADC =21∠AOC =25°． 故选D ．例2 如图2，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD =52°，则∠BCD 等于 （ ）A ．32°B ．38°C ．52°D ．66°分析： 由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB 的度数，继而求得∠A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB =90°.因为∠ABD =52°，所以∠BAD =90°﹣∠ABD =38°.因为∠BAD 与∠BCD 是弧BD 所对的圆周角，所以∠BCD =∠BAD =38°．故选B ．点评：（1）在圆中，若有等弧，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆周角（或圆心角）；（2）在圆中，遇到直径，常添加辅助线构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质，把问题转化为直角三角形来解决.牛刀小试1.（2016•绍兴）如图3，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，弧AB=弧BC ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°2.（2016•青岛）如图4，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________.3.（2016•牡丹江）如图5，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=________度．参考答案：1. D 2. 62° 3. 30图1 图2。
2018秋人教版九年级数学上册课件：第24章圆全章热门考点整合应用(共47张PPT)
以AB为直径作⊙O，已知AB＝10，AD＝m. (1)求点O到CD的距离(用含m的代数式表示)；
解：根据平行线间的距离处处相等，
得点 O 到 CD 的距离即为点 A 到 CD 的距离．
过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.根据∠D＝60°，AD＝m，利用
母，点P是FA延长线上的点，在 A，P之间拉一条长为12 cm的无 伸缩性的细线，一端固定在点A，
握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母 上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( )
B A．13π cm B．14π cm C．15π cm D．16π cm
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12．(中考·昆明)如图，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB⊥
半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( )
A．(4π＋8) cm2 B．(4π＋16) cm2
A
C．(3 π＋8) cm2 D．(3π＋16) cm2
返回
14．(中考·重庆)如图，以AB为直径，点O为圆心的半
圆经过点C，若AC＝BC＝ ，则图中阴影部分
的面积是( )
2
A
π A.4
B.21＋π4
π C.2
(2)若∠B＝70°，求
︵ DE
的度数；
解：如图，连接OD，OE. 在Rt△ABE中，∠BAE＝90°－∠B＝90°－70°＝20° ，
∴∠DOE＝2∠DAE＝40°.
∴ D︵E的度数为40°.
(3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
解：如图，连接CD， 设AC＝x，则AD＝x－2. ∵AC为直径， ∴∠ADC＝90°. 在Rt△BCD中，BC＝2BE＝6，
直角三角形中“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾
2018年秋人教版九年级数学上册课件：第二十四章 圆 单元复习课(共27张PPT)
巩固训练
（1）证明：如答图24-51-7，连接OC.
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°.
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO=30°.
∴∠OCD=120°-∠ACO=90°,即OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线.
（2）解：阴影部分的面积为
π.
拓展提升
7. 已知：如图1-24-51-10，P为直径AB上一点， EF,CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB. 求证：（1）CD=EF； （2） 证明：（1）如答图24-51-8，过点O作 OM⊥EF于点M，作ON⊥CD于点N， 连接OD，OE. ∵∠DPB=∠EPB， ∴OM=ON.
∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线.
∴ED=EC.∴AE=EC.∵DE=10，∴AC=2DE=20.
在Rt△ADC中，DC=
=12，
设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，
在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2-202，
∴x2+122=（x+16）2-202. 解得x=9.∴BC==15.
典型例题
知识点3：弧长、扇形面积及圆锥的相关计算 【例3】如图1-24-51-5，已知AB是⊙O的直径，点C， D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过点O作OE⊥AC， 垂足为点E. （1）求OE的长； （2）若OE的延长线交⊙O于点F， 求弦AF,AC和 围成的图形 （阴影部分）的面积S.
典型例题
第一部分 新课内容
第二十四章 圆
第51课时 圆单元复习题
核心知识
1. 与圆有关的概念. 2. 点和圆、直线和圆的位置关系. 3. 垂径定理及其推论、弧、弦、圆心角的关系及定理， 圆周角定理及其推论，切线的判定和性质定理、切线长 定理. 4. 正多边形与圆. 5. 弧长、扇形面积及圆锥的相关计算.
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典型例题
（2）如答图24-51-2所示,连接OC.
则易得△COE≌△AFE，故阴影部分的面积=扇形FOC
拓展提升
又∵OE=OD，∠OME=∠OND=90°，
∴Rt△OEM≌Rt△ODN（HL）. ∴EM=DN.
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴点M是EF的中点，点N是CD的中点.
∴EM= EF，DN= CD.
∴CD=EF.
（2）∵CD=EF，∴
∴
，即
拓展提升
8. （2017丽水）如图1-24-51-11，在Rt△ABC中， ∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E. （1）求证：∠ADE=∠A； （2）若AD=16，DE=10，求BC的长.
知识点1：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 【例1】（2017衡阳）如图1-24-51-1，点A，B，C都 在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果 ∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ C ） A. 26° B. 30° C. 32° D. 64°
典型例题
知识点2：切线的判定与性质定理的综合运用 【例2】如图1-24-51-3，⊙O的直径CD垂直于弦AB， 垂足为点E，F为DC延长线上一点，且FB为⊙O的切线. （1）求证：∠CBF=∠CDB； （2）若AB=8，CE=2，求⊙O的直径.
典型例题
（1）证明：如答图24-51-1，连接OB. ∵FB为⊙O的切线，∴OB⊥BF，即∠OBF=90°. ∵CD为直径，∴∠CBD=90°. ∴∠CBF+∠OBC=∠OBC+∠DBO=90°. ∴∠CBF=∠DBO. ∵OB=OD， ∴∠CDB=∠DBO. ∴∠CBF=∠CDB.
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典型例题
知识点3：弧长、扇形面积及圆锥的相关计算 【例3】如图1-24-51-5，已知AB是⊙O的直径，点C， D在⊙O上，∠D=60°且AB=6，过点O作OE⊥AC， 垂足为点E. （1）求OE的长； （2）若OE的延长线交⊙O于点F， 求弦AF,AC和 围成的图形 （阴影部分）的面积S.
典型例题
知识点1：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 【例1】（2017衡阳）如图1-24-51-1，点A，B，C都 在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果 ∠AOB=64°，那么∠ACB的度数是（ C ） A. 26° B. 30° C. 32° D. 64°
典型例题
知识点2：切线的判定与性质定理的综合运用 【例2】如图1-24-51-3，⊙O的直径CD垂直于弦AB， 垂足为点E，F为DC延长线上一点，且FB为⊙O的切线. （1）求证：∠CBF=∠CDB； （2）若AB=8，CE=2，求⊙O的直径.
变式训练
3. 如图1-24-51-6，有一个直径为1 m的圆形铁皮，要 从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC. （1）求被剪掉的阴影部分的面积； （2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面 圆的半径是多少？
变式训练
解：（1）如答图24-51-4所示，连接BC.
∵∠BAC=90°，∴BC为⊙O的直径，即BC=1（m）.
典型例题
（1）证明：如答图24-51-1，连接OB. ∵FB为⊙O的切线，∴OB⊥BF，即∠OBF=90°. ∵CD为直径，∴∠CBD=90°. ∴∠CBF+∠OBC=∠OBC+∠DBO=90°. ∴∠CBF=∠DBO. ∵OB=OD， ∴∠CDB=∠DBO. ∴∠CBF=∠CDB.
典型例题
（2）解：设⊙O的半径为r，则OE=OC-CE=r-2. ∵AB⊥CD，且CD为直径， ∴BE= AB=4. 在Rt△OBE中，由勾股定理,得OB2=OE2+BE2， ∴r2=（r-2）2+42. 解得r=5. ∴⊙O的直径为10.
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1 借助定理巧求角
例1 如图1，在⊙O 中，⌒AB
=⌒AC ，∠AOB =50°，则∠ADC 的度数是 （ ）
A ．50° B．40° C．30° D．25°
分析：由⌒AB =⌒AC
可求得∠AOC =∠AOB ，继而可求得∠AOC 的度数，然后再根据圆周角定理即可得出结论．
解：如图1，连接OC.
在⊙O 中，⌒AB =⌒AC ，所以∠AOC =∠AOB .
因为∠AOB =50°，所以∠AOC =50°．所以∠ADC =2
1∠AOC =25°． 故选D ．
例2 如图2，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，
且∠ABD =52°，则∠BCD 等于 （ ）
A ．32°
B ．38°
C ．52°
D ．66°
分析： 由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB 的度数，继而求得∠A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB =90°.
因为∠ABD =52°，所以∠BAD =90°﹣∠ABD =38°.
因为∠BAD 与∠BCD 是弧BD 所对的圆周角，所以∠BCD =∠BAD =38°．
故选B ．
点评：（1）在圆中，若有等弧，常作等弧所对的弦、等弧所对的圆周角（或圆心角）；
（2）在圆中，遇到直径，常添加辅助线构造直径所对的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这一性质，把问题转化为直角三角形来解决.
牛刀小试
1.（2016•绍兴）如图3，BD 是⊙O 的直径，点A 、C 在⊙O 上，弧AB=弧BC ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数是（ ）
A ．60°
B ．45°
C ．35°
D ．30°
2.（2016•青岛）如图4，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD=________.
3.（2016•牡丹江）如图5，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=________度．
参考答案：1. D 2. 62° 3. 30
图
1 图2。