高中数学竞赛试题

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高中数学比赛试题及答案

高中数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知等差数列{an}，其中a1=3，公差d=2，求a5的值：A. 9B. 11C. 13D. 153. 计算下列极限：lim (x→0) [sin(x)/x] 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 34. 圆的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算复数z=1+2i的模长：________。

6. 一个三角形的三个内角分别为α、β、γ，若α=30°，β=60°，则γ=________°。

7. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f'(x)=________。

8. 一个等比数列的前三项依次为2，4，8，求此数列的第5项：________。

三、解答题（每题15分，共30分）9. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求f(x)的单调区间。

10. 证明：对于任意实数x，不等式x^2-2x+2>0恒成立。

四、综合题（每题20分，共40分）11. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

12. 解方程：x^3-3x^2+4x-4=0，并说明其根的性质。

答案：一、选择题1. B2. D3. B4. A二、填空题5. √56. 907. 3x^2-6x+28. 32三、解答题9. 函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-6x+2。

令f'(x)>0，解得x<1或x>2，因此f(x)在区间(-∞,1)和(2,+∞)上单调递增。

令f'(x)<0，解得1<x<2，因此f(x)在区间(1,2)上单调递减。

高中数学竞赛赛题精选(带答案)

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

2023高中数学竞赛决赛试题

2023高中数学竞赛决赛试题2023高中数学竞赛决赛试题一、选择题设集合A = {x | x = 3k + 1, k Z}∈，B = {x | x = 3k + 2, k Z}∈，则集合A 和B 的关系是：A. A B ⊆B. B A ⊆C. A = B D. A ∩ B = ∅已知 x > 1，则函数 y = x + (1/x) 的最小值为：A. 2√2B. √2C. 4D. 不存在若函数 f(x) = (x - a)/(x^2 + 1) 在区间 (-2,2) 上是奇函数，则 a 的取值范围是：A. a = ±√2B. a = -√2C. a = ±1D. a = -1下列各组中的两个函数是同一函数的是：A. f(x) = x^2 和 g(x) = (√x)^2B. f(x) = x 和 g(x) = √x^2C. f(x) = |x| 和 g(x) = (√(x^2))D. f(x) = x 和 g(x) = (√(x))^2在等差数列 {an} 中，a3 + a8 > 0，则有：A. a1 + a10 > 0B. a2 + a9 > 0C. a4 + a7 > 0D. a5 + a6 > 0若实数 x, y 满足 x^2 + y^2 = 1，则 (x + 2)^2 + (y + 2)^2 的最小值为：A. 4√5/5B. √5 - 1C. √5 + 1D. 5/4下列各式中正确的是：A. lim(x→∞) (sin x/x) = 0B .lim(x→∞) (x·sin x/x) = 1C .lim(x→∞) (sin x/x^2) = 0D .lim(x→∞) ((sin x)/x)^x = e^(-1)下列说法中正确的是：A. “直线 l 在平面 α 内”等价于“直线 l 与平面 α 有公共点”B. “直线 l 与直线 l' 在平面 α 内相交”等价于“直线 l 与直线 l' 有公共点”C. “直线 l 与平面 α 的平行”等价于“直线 l 与平面 α 没有公共点”D. “直线 l 与直线 l' 在平面 α 内平行”等价于“直线 l 与直线 l' 没有公共点”一个袋子中有大小形状相同的红、黄、蓝三种颜色的球各一个，现有放回地依次取出三个球，则取到红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率为：A. 1/8B. 1/6C. 1/4D. 1/3在等比数列 {an} 中，a7 · a11 = 6，a3 + a13 = 5，则 a23 + a27 的值为：A. -5/6 B. -1 C. -6 D. -5/4二、填空题11. 若 f(n) = (n - a)/(n + a)，则 f(4) + f(9) + ... + f(99) + f(104) 的值为 _______。

数学高中奥赛试题及答案

数学高中奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数$ f(x) = ax^2 + bx + c $的图像经过点(1, 0)和(-1,0)，则下列哪个选项是正确的？A. $ a + b + c = 0 $B. $ a - b + c = 0 $C. $ a + b - c = 0 $D. $ a - b - c = 0 $答案：B2. 已知等差数列$ \{a_n\} $的前三项分别为1, 4, 7，那么第10项$ a_{10} $是多少？A. 26B. 28C. 30D. 32答案：A3. 一个圆的半径是5，圆心到直线$ y = 2x $的距离是3，那么圆的方程是什么？A. $ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 $B. $ (x+2)^2 + (y+3)^2 = 25 $C. $ (x-3)^2 + (y-2)^2 = 25 $D. $ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25 $答案：A4. 若$ \sin \theta = \frac{3}{5} $，且$ \theta $在第一象限，求$ \cos \theta $的值。

A. $ \frac{4}{5} $B. $ -\frac{4}{5} $C. $ \frac{3}{5} $D. $ -\frac{3}{5} $答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算$ \int_{0}^{1} x^2 dx $的值是______。

答案：$ \frac{1}{3} $2. 已知$ \log_2 8 = 3 $，那么$ \log_2 32 $的值是______。

答案：53. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度是______。

答案：44. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是______。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知函数$ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求$ f(x) $的导数。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 1/3D. -3.142. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-2)的值。

A. -1B. 3C. 5D. 73. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第5项的值。

A. 11B. 13C. 15D. 175. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的根？A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个三角形的内角和为______度。

7. 若a，b，c是三角形的三边，且a^2 + b^2 = c^2，则此三角形是______三角形。

8. 一个正六边形的内角为______度。

9. 将一个圆分成4个扇形，每个扇形的圆心角为______度。

10. 若sinθ = 1/2，且θ在第一象限，则cosθ = ______。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，等式e^x ≥ x + 1成立。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前n项和Sn。

14. 求函数y = x^3 - 3x^2 + 2x的极值点。

15. 已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（a > b > 0），求椭圆的焦点坐标。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

答案一、选择题1. A2. B3. B4. C5. A二、填空题6. 1807. 直角8. 1209. 9010. √3/2三、解答题11. 证明：设g(x) = e^x - (x + 1)，则g'(x) = e^x - 1。

当x < 0时，g'(x) < 0，当x > 0时，g'(x) > 0。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知$ a, b $ 是方程 $ x^2 + 5x + 6 = 0 $ 的两个实根，求 $ a^2 + 5a + 6 $ 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 $ x^2 + bx + c = 0 $，其根$ a $ 和 $ b $ 满足 $ a + b = -b $ 和 $ ab = c $。

因此，对于给定的方程 $ x^2 + 5x + 6 = 0 $，我们有 $ a + b =-5 $ 和 $ ab = 6 $。

由于 $ a $ 是方程的一个根，我们可以将 $ a $ 代入方程得到 $ a^2 + 5a + 6 = 0 $。

所以 $ a^2 + 5a + 6 = 0 $。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 $ c $ 可以通过直角边 $ a $ 和 $ b $ 计算得出，公式为 $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $。

将给定的边长代入公式，我们得到 $ c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $ 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第 10 项 $ a_{10} $ 的值。

解答：等差数列的通项公式为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，其中$ n $ 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 $ a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 $。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

高中数学奥赛试题

高中数学奥赛试题一、选择题1. 设集合A={1, 2, 3, 4, 5}，集合B={3, 4, 5, 6, 7}，则A与B 的交集的补集为：A. {1, 2}B. {6, 7}C. {1, 2, 6, 7}D. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}2. 若一个等差数列的前三项分别为a-2, a, a+2，那么其第10项为：A. 3a-6B. 3aC. 3a+6D. 3a+123. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为：A. (3, 2)B. (1, 4)C. (4, 1)D. (3, 1)4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，求f(x)的最小值：A. -2B. -1C. 0D. 15. 若一个圆的周长为12π，那么这个圆的面积为：A. 3πB. 4πC. 6πD. 9π二、填空题6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么其第5项为_______。

7. 在平面直角坐标系中，圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 49，求该圆的圆心坐标和半径_______。

8. 设函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|，求g(x)的最小值_______。

9. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求该直角三角形的外接圆半径_______。

10. 已知一个等差数列的前n项和为S_n = 3n^2 - 2n，求该等差数列的公差_______。

三、解答题11. （本题满分10分）设数列{an}满足a1 = 2，且对于所有正整数n，有an+1 = an + 3n。

求证：数列{an}的通项公式为an = 3n - 1。

12. （本题满分15分）在直角坐标系中，给定三个点A(1,2)，B(4,5)和C(7,8)。

求：（i）线段AB的中点M的坐标；（ii）线段BC的斜率k_BC；（iii）点A到直线BC的距离d_AB。

13. （本题满分20分）已知函数h(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1，求：（i）函数h(x)的所有驻点；（ii）函数h(x)在区间[0, 3]上的最大值和最小值。

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

全国高中生数学竞赛试题

全国高中生数学竞赛试题一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数$ f(x) = 2x^2 + 3x - 5 $，求$ f(-1) $的值。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 圆的方程为$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25 $，求圆心到直线$ x + 2y - 5 = 0 $的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 若$ a, b $为正整数，且$ a^2 + b^2 = 2023 $，求$ a + b $的可能值。

A. 44B. 45C. 46D. 474. 已知$ \sin A = \frac{3}{5} $，$ \cos A = -\frac{4}{5} $，求$ \tan A $的值。

A. 3/4B. -3/4C. 4/3D. -4/35. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共30分）6. 若$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} $，且$ a,b > 0 $，求$ a + b $的最小值。

7. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足$ a^2 + b^2 = c^2 $，求证$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $。

8. 若$ \log_{2}3 = m $，求$ \log_{3}2 $的值。

9. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

10. 已知等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求其第4项。

三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意正整数$ n $，$ 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} $。

12. 已知函数$ g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 $，求其极值点，并判断其单调性。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. √3D. 0.33333（无限循环）答案：D2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2x)的值。

A. 4x^2 - 16x + 16B. 4x^2 - 12x + 12C. 4x^2 - 8x + 4D. 4x^2 - 4x + 4答案：C3. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B4. 一个圆的半径为3，求其内接正六边形的边长。

A. 3√3B. 6C. 2√3D. 3答案：A5. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38答案：A6. 根据题目所给的函数f(x) = 2x - 1，求f(x+1)的值。

A. 2x + 1B. 2x + 3C. 2x - 1D. 2x - 3答案：A7. 若x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. 2, 3B. -2, -3C. 2, -3D. -2, 3答案：A8. 已知一个等比数列的首项a1=3，公比q=2，求第5项a5的值。

A. 48B. 96C. 192D. 384答案：A9. 一个圆的直径为10，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B10. 已知一个二次方程x^2 + 8x + 16 = 0，求其根的判别式Δ。

A. 0B. 64C. -64D. 16答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若一个数列{an}是等差数列，且a3 = 7，a5 = 13，求a7的值。

答案：1912. 已知一个函数y = x^3 - 3x^2 + 2x，求其一阶导数dy/dx。

答案：3x^2 - 6x + 213. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，求其表面积。

全国高中数学竞赛试题及答案

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 $，求$ f(x) $的极值点。

2. 求解方程$ x^2 - 4x + 3 = 0 $的所有实根。

3. 判断函数$ g(x) = \frac{1}{x} $在区间$ (0, +\infty) $上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $，其中$ a > b > 0 $，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $的切线方程，已知切点坐标为$ (m, n) $。

3. 证明点$ P(x_1, y_1) $和点$ Q(x_2, y_2) $的连线$ PQ $的中点坐标为$ \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) $。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项$ a_1 = 3 $，公差$ d = 2 $，求第10项$ a_{10} $。

2. 求等比数列$ b_1, b_2, b_3, \ldots $的前$ n $项和，其中$ b_1 = 1 $，公比$ r = 3 $。

3. 判断数列$ c_n = \frac{1}{n(n + 1)} $的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数$ n $，$ 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $。

全国高中生数学竞赛试题

全国高中生数学竞赛试题一、选择题1. 若一个等差数列的前三项分别是2x-1、3x+1和7x-5，那么x的值为：A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得极小值，且有a>0，b>0，c>0，那么a+b+c的值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 一个圆的半径是5cm，圆心位于坐标系的原点，那么圆上一点（3，4）到圆心的距离是：A. 5cmB. 5√2cmC. 2√5cmD. 10cm4. 以下哪个三角形的内角和不是180°？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若a、b、c是等比数列，且abc=8，a+b+c=6，那么b的值是：A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题6. 一个等差数列的前四项之和为26，首项为2，公差为3，求该等差数列的第四项。

7. 已知一个圆的周长为4πcm，求该圆的面积（π取3.14）。

8. 若函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6有唯一的零点，求该零点的值。

9. 一个直角三角形的斜边长为10cm，一条直角边长为6cm，求另一条直角边的长度。

10. 一个等比数列的前三项分别是2，6和18，求该数列的公比。

三、解答题11. 已知一个等差数列的前五项和为35，且第五项是首项的三倍。

求该等差数列的首项和公差。

12. 一个圆与直线y=2x+3相交于点A，且圆心到直线的距离为2√2cm。

若圆的半径为5cm，求圆心的坐标。

13. 证明：若n是正整数，且n^2 + 3n + 2是一个完全平方数，则n 也是正整数。

14. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为x，且周长为30cm。

求x的值。

15. 一个等比数列的前五项之和为31，首项为2，求该等比数列的公比和最后一项的值。

请注意，以上题目仅供参考，实际的全国高中生数学竞赛试题可能会有所不同。

在解答时，考生需要仔细审题，合理运用数学知识和解题技巧，力求准确、高效地完成题目。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题一．选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．若椭圆的离心率215-=e ，则我们称这种椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆:E )0(12222>>=+b a by a x ，如果c b a ,,不是等比数列，那么椭圆E （）A ．一定是“黄金椭圆”B ．一定不是“黄金椭圆”C ．可能是“黄金椭圆”D ．可能不是“黄金椭圆”2．如果θθθθcos )cos 1(sin )sin 1(22+>+，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是（） A .)4,0(πB .)43,2(ππC .)45,4(ππD .)2,45(ππ3. 若点(),a b 是圆()2211x y ++=内的动点,且函数()2f x x ax b =++的一个零点在()1,0-内, 则该函数的另一个零点在()0,1内的概率为（） A .14 B .1π C .12 D .2π4．对于给定的一个Z n ∈，方程n z y x =-+222的正整数解的组数为（） A ．1 B ．3 C ．8 D ．无穷多组5．数列{}n a 中，相邻两项1,+n n a a 是方程032=++n b nx x 的两根，已知1710-=a ，则51b 的值为（）A ．5800B ．5840C ．5860D ．60006．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面11D A B C 均成030角，则这样的直线l 的条数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 二．填空题（本题满分42分，每小题7分） 7．设M 是函数xx x f 1)(+=图象上的任意一点，过点M 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，则=⋅||||MB MA 8. 函数 ∈+=x x x y |)(2cos ||cos (|2R ) 的最小值是 .9．设函数)(x f )0,(≠∈x R x 对任意的非零实数21,x x ，有)()()(2121x f x f x x f +=，且)(x f 在),0(+∞上为增函数，则不等式0)21()(≤-+x f x f 的解为 10．定义运算：ba b a 1+=⊗，设z y x ,,为互不相等的三个实数，且x z z y y x ⊗=⊗=⊗，则=xyz11．若[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]11.31,234⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦等等）则334032004⎤⎤⎤++++⎢⎣＝________________．12．给定正整数n （3≥n ），设正数n λλλλ,,,,321⋅⋅⋅满足n n =+⋅⋅⋅+++λλλλ321，n P P P P ,,,,321⋅⋅⋅ 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的n 个点，且332211=+⋅⋅⋅+++n n OP OP OP λλλλ.若M 是圆O 所在平面上的任意一点，则||||||||332211n n MP MP MP MP λλλλ+⋅⋅⋅+++的最小值是三．解答题（要求必须写出必要的演算或证明的过程）13．（本题满分16分）一个人随机地将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做这个小球放对了，否则叫做放错了．求：四个小球都放错了的概率．14．（本题满分16分）已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αt a n ，y =βtan ，记)(x f y =（1）求)(x f 的表达式；（2）定义正数数列{}n a ：211=a ，)(221n n n a f a a ⋅=+（*N n ∈）．试求数列{}n a 的通项公式。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

高中数学竞赛试题及解答

高中数学竞赛试题及解答试题（一）一、过圆的直径AB 上一定点C 作任意弦DE ，过B 作圆的切线L ，并设直线AD 与直线AE 分别与L 交于F 、G 。

若4,AB = 3,AC =求BF BG ⋅。

(12分)二、证明x 的三次方程式3210x x π--=只有一个正实根。

(12分)三、试证明2009不能表示成三个正整数的立方和。

(12分)四、有各张分别标有1, 2,, n 的一叠n 张卡片。

洗过卡片后，重复进行以下操作：若最上面一张卡片的标号是k ，则将前k 张卡片的顺序颠倒；例如，若4n =且卡片排列成3124，则操作一次后的卡片将排列成2134。

证明：经过有限次操作后，标号为1的卡片会在最上面。

(13分)试题（二）一、求2222(1.1)(1.2)(1.3)(3.1)++++。

(3分)二、设, , x y z 为实数且满足222 1x y z ++=，求xy yz zx ++的最小值。

(3分)三、空间中一四面体的四个顶点分别为(0, 0, 1), (2, 4, 0), (0, 0, 0),A B C (4, 2, 0)D ，平面E 通过A 点与BD 中点且与BC 有交点。

若平面E 将此四面体分成两块，其中一块的体积为原四面体的13，求E 的方程式。

(3分)四、求n ∞=，其中[]x 表示小于或等于x 的最大整数，例如[1.2]1=。

(4分)五、假设有5根电线杆，其中有2根会漏电，以致于停在它们上面的小鸟会立刻被电昏而摔落地面。

今有5只小鸟各自独立的随机选择其中一根电线杆逗留休息，试计算只有2根电线杆上有小鸟的机率。

(4分)试题（一）解答一、【解】过C 作HI //FG ，与AF , AG 分别交I 和H ，连结BE , BH 。

因90BEH ∠=, 90BCH ∠=，所以四边形CBEH 是圆内接四边形BEC BHC ∠=∠而BED BAD ∠=∠BHI BAD ∴∠=∠由此可知，B , H , A , I 共圆 CI CH AC CB ∴⋅=⋅ (1)ACI ABF ∆∝∆ ::AC AB CI BF =又 ACH ABG ∆∝∆::AC AB CH BG ∴=22::AC AB CI CH BF BG ∴=⋅⋅ (2)由(1), (2), 22::AC AB AC CB BF BG =⋅⋅22AC CB AC BF BG AB ⋅=⋅, 2222()()4311633AB AC CB BF BG AC ⋅⋅⋅⋅===.二、【证】令 32()1f x x x π=--则 (0)1f =-, (100)0f >由堪根定理，0与100之间有一个根r令 2()()()f x x r x ax b =-++32()()x a r x b ra x rb =+-+--得 a r π-=-b ra -= 1rb = (2)由(2) 0b >由(1) 0a => ,a b ∴皆为正数 20x ax b ∴++> for 0x ≥()f x ∴没有第二个正根。

数学竞赛高中试题及答案

数学竞赛高中试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，那么f(2)的值是多少？A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第五项。

A. 10B. 13C. 16D. 19答案：A3. 一个圆的直径为10cm，那么它的半径是多少？A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm答案：A4. 在直角坐标系中，点P(3, -4)关于x轴的对称点坐标是多少？A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 计算：$\sqrt{49} - \sqrt{16} = $______。

答案：56. 一个等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，那么它的周长是_______cm。

答案：187. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g(2)的值。

答案：-28. 一个数的平方加上它的两倍等于17，设这个数为n，则n的值为______。

答案：3或-4三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的零点。

答案：函数h(x)的零点为x = 1, 2, 3。

10. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且a > b > c，求证：长方体对角线的长度d满足$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$。

答案：证明略。

11. 已知数列{bn}满足：b1 = 2，bn+1 = 2bn + 1，求数列的前五项。

答案：2, 5, 11, 23, 4712. 一个圆的内接三角形的三个顶点分别在圆上，且三角形的周长为12cm，求圆的半径。

答案：2cm13. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求函数的最小值。

答案：函数的最小值为0。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案试题（一）一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。

AP 交BC 于N 、CP交AB 于M 。

求BMN ∆外心O 的轨迹。

(12分)二、任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。

(12分)三、试证：对实数,,,0a b c d ≥，()()()()()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。

(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦，则称A 可逆。

(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。

试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。

(2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可逆，试证：5A B +亦可逆。

试题（二）一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭，试求A 。

(5分)二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。

求方程 22[2]2[][]x x x x -+=在03x ≤<内所有实数解。

(5分)三、设a 和b 为实数，且使方程43210x ax bx ax ++++=至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22a b +的最小可能值。

(6分)四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =，求(54)f 。

(5分)试题（一）解答一、【解】令G 为ABC ∆的外心。

因120MPN APC ∠=∠=与B ∠互补，P 在BMN ∆的外接圆上。

因120APC AGC ∠=∠=，A 、P 、G 、C 共圆，且30CPG CAG ∠=∠=。