北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习
北师大版八年级数学上册《勾股定理》分类练习(含详细解析)
1981-1-2勾股定理分类练习一 .基础练习 1. 写出几组常见勾股数： 3,4,5 6,8,10 5,12,13 2.在Rt△ABC 中，∠C=90，a.b.c 为三角形的三边长， ①已知a=5,b=12,则c= 13 ② 已知a=15,c=17,则b= 8 3.在Rt△ABC 中，a.b.c 为三角形的三边长，已知a=3,b=4,则c 2 = 25 或74.在Rt△ABC 中，∠C=90，a.b.c 为三角形的三边长，已知a:b=3:4,c=10 则 a= 6 b= 8 斜边上的高= 4.8 5.正方形的面积为18 ,则正方形对角线长为 6 cm 6.在ABC 中，∠C=90°，若AB=5，AB 2+AC 2+BC 2= 50 . 7.木工做一个长方形桌面，量的桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm,这个桌面 （填“合格”或“不合格”）8.有六根细木棒，它们的长分别是2,4,6,8,10,12（单位：cm ）收尾连接能搭成直角三角形的三根细木棒分别是 。
6，8，109.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2， 则OD 2710.将直角三角形的三边长扩大相同的倍数后，得到的三角形 （ ） A ．直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对 11. 在Rt△ABC 中，∠C=90，若a+b=14,c=10,则Rt△ABC 的面积为 。
解析：由a+b=14 得（a+b ）2=142,所以a 2+2ab+b 2=196 因为a 2+b 2=102，所以ab=48△ABC 的面积=ab=2412.三角形的三边长为 ,则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 13.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N,那么MN= 答案： 解析：连接AM ，因为AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点 AM ⊥BC,MC=3（三线合一） AM=4MN ⊥AC S △AMC= MC = AC MN=总结：1.若直角三角形的两直角边为a,b 斜边为c,斜边上的高为h= . ab/c2.遇到比例，设一份为x ，列方程求x 值； 二．分类练习 知识点1：分类讨论1.已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边为 . 解：当3和4都是直角边时，第三边为斜边5； 当4为斜边时，第三边为直角边 =AOBC D所以第三边为5或2.在ABC 中，若AB=30，AC=26，BC 上的高为AD=24，则此三角形的周长为 。
2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版
DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2.
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证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则
∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°.
因为 DM ⊥ DN ，
所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°.
3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝
6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD .
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证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE .
因为 D 为 BC 的中点， 所以 CD ＝ BD .
又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ，
所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13.
在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5，
所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.
又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2.
所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD .
设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ，
BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a .
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在Rt△ DAF 中， DF ＝ AD ＋ AF ＝ a .
在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2.
在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2.
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题. ★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是________.、【综合Ⅰ】已知一个等腰三角形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米C．12米D．14米、【综合Ⅰ】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多高、【综合Ⅱ】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m的半圆形，一个长、宽、高分别是 m、1 m、 m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理 + 方程”来求边长.2、【综合Ⅱ】一个直角三角形的斜边为20 cm，且两直角边的长度比为3∶4，求两直角边的长.【综合Ⅱ】 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少【综合Ⅲ】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示，重合的顶点记作A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC ＝28，则AB 的长是 ______ ．类型三： “方程 ＋ 等面积” 求直角三角形斜边上的高.3、 直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为 （ ）.（A ）6 （B ） （C ）1320 （D ）1360二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A 、B 字母所代表的正方形的面积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.、【综合Ⅰ】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积为（ ）.（A ）9 （B ）3 （C ）49 （D ）295、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方法和本节的探索方法的联系.7、【提高题】 如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提高题】 如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 的面积.、【综合Ⅰ】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正方形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有几个直角三角形，说明理由.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是 （ ）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。
北师大版八年级上册数学：勾股定理经典题目(含答案)
勾股定理经典题目一.填空题（共20小题）1.如图，C为线段BD上一动点，分别过从D作丄BD, ED丄BD,连接AC、EC,已知AB=5, DE=1, BD=8,设CD=x.请用含x的代数式表示AC+CE的长，根据上述方法，求岀厶2+4^（11） ? + 9 的最小值为________________ .2.如图，RtAACB中，ZC=90°, AC=5cnu BC=2cm，点P从B点出发以Is办的速度沿CB延长线运动，运动时间为/秒.以AP为斜边在其上方构造等腰宜角ZVIPD.当/=1秒时，则C£>= _____________________ c m,当D运动的路程为"⑷时，则P运动时间尸_____________ 秒.3・如图ZkABD和ZXACE是AABC外两个等腰直角三角形，ZBAD= ZCAE=9^ ,下列说法正确的是：_①CD=BE；②DC丄B£；（3）DE2+BC2 = 2BD2+EC2:④网平分ZDFE；⑤取BC 的中点M,连MA,则MA丄DE.4.如图，RtZ\ABC中，ZC=90° , AC=3・BC=4・分别以AB. AC. BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ. BCMN.四块阴影部分的而积分别为Si、S2、S3、S.则Si - S2+S3+S4等于_____________ ・25.如图，已知RtAABC 中.ZACB=90° , ZBAC=30° ,延长BC 至 D 使CD=BC,连接AD,且AD=4,点P为线段AC上一动点，连接BP・则2BP+AP的最小值为__________ ・6.如图，以AB为斜边的RtAABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN,正方形BCPQ,正方形ACEF,且边£尸恰好经过点M若S3=S4=5,则Si+S5= _____________ .（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的而积，如G表示AABC的面积）7.如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，髙为20厘米.点B到点C的距离是5厘米.一只小虫在长方体表而从A爬到B的最短路程是________,AC=4. BC=4^点D在AB上，将ZkACD沿CD折叠，点人落在点A1处，AiC与AB相交于点E,若AiD//BC f则A]D的长是 ____________9. 如图，在ZVIBC 中，ZA=90° , AB=2庇 以BC 为斜边作等腰RtABCD,连接AD,则线段AD 的长为 _______ ・10. 如图，在正方形网格中，AABC 的每一个顶点都在格点上，AB=5,点D 是AB 边上的动点（点D 不与点A ，B 重合），将线段AD 沿直线AC 翻折后得到对应线段A£h,将线段BD 沿直线BC 翻折后得到对 应线段B6,连接D\Di.则四边形DxABDi 的而积的最小值是 _____________ ・11. 七巧板被誉为“东方魔板”.小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形, 则该凸六边形（如图2）的周长是 _______ ・A12. 在8X8的格子纸上,IX 1小方格的顶点叫做格点.AABC的三个顶点都是格点（位置如图）.若一个格点P使得APBC与△用C的面积相等，就称P点为“好点”.那么在这张格子纸上共有_________ 个“好点”.13. 左理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在RtAABC 中，ZACB=90° ,若点D是斜边的中点，则CD=Zw,运用：如图2, △ABC 中，ZBAC=90° , AB=2, AC=3,点D 是 2BC 的中点，将AABD 沿AD 翻折得到/VIED 连接BE, CE, DE,则CE 的长为 ______________ ・14. 如图，厶48(7 中，ZAC5=90° , AC=8, BC=6,分别以AABC 的边 AB. BC 、CA 为一边向ZV1BC外作正方形ABDE. BCMN 、CAFG,连接EF 、ND 、则图中阴影部分的而积之和等于 _______________ ・15. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3,点E 为边CD 上一点，将AADE 沿AE 所在宜线翻折，得到ZUFE, 点F 恰好是BC 的中点，M 为AF 上一动点，作MN 丄AD 于M 则BM+AN 的最小值为 ___________・A16. 如图，长方形ABCD中AB=2, BC=4,正方形AEFG的边长为1・正方形AEFG绕点A旋转的过程中,线段CF的长的最小值为_______ •17・我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？ ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的 髙为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中 葛藤的最短长度是 _______ 尺.18.图①所示的正方体木块棱长为&•加，沿英相邻三个而的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表而从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为.19.图中所示是一条宽为1・5加的直角龙廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板而ABCD 的宽AB 为若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD 不能超过 _________cm.20•如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC,则厶ABC中BC边上的髙是_________二.解答题（共20小题）21・如图，'ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°, AC=BC=6, D在BC上且ZBAD=15° , E是线段AD上的一点，现以C£为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF,连接BF.（2）点E在线段AD上运动，当CE=5时，求BF的长：（3）如图2,连接DF,当E运动到使ZAC£=30°时，求△DEF的面积.22•问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图1,在RtAABC中，ZACB=90°, ZABC=30° 贝Ih AC=X AB・2（1）如图1,连接AB边上中线CF,试说明AACF为等边三角形：（2）如图2,在（1）的条件下，点D是边CB延长线上一点，连接AD,作等边△ADE,且点E在ZACB 的内部，连接BE, EF.试说明EF丄AB：（3）如图3,在（1）的条件下，若D为BC中点，连接AD,作等边△ADE,且点£在ZACB的内部，连接B£・已知AC=2.试求ZiBDE的而积・时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动，已知点F 的移动速度是点E 移动速度的2倍，以为一边 在CB 的上方作等边△ EFG,设E 点移动距离为x (0<x<6)(1) AB= ________ : BC= ________ ・(2) 当3WxV6时，求AEG 与四边形ABCD 重叠部分而积y 与x 之间的关系式.(3) 如图2,当点F 到达C 点时，将等边AFFG 绕点E 逆时针旋转a° (0<a<180),宜线EF 分别与 直线CD 、直线AD 交于点M 、N.是否存在这样的ct,使△DMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段DM 的长度：若不存在，请说明理由.(1) 如图 1,若 AB=6, ZDEC=90° ,求△DEC 的而积. (2) M 为DE 中点,当D E 分别为AB 、AC 的中点时，判CD, AM 的数量关系并说明理由.(3) 如图2, M 为QE 中点，当D, E 分别为AB, AC 上的动点时，判沱CD, AM 的数量关系并说明理 由・團123.如图 1,在四边形 ABCD 中，AD//BC. ZB=90° ,图3 ZDCB=30° , CD=2^ AD=3.点 E, F 同24. 已知AABC 是等边三角形，点D,E 分别为边AB, AC k 的点，且有AE=DB,连接DE, DC.ED备用團备用團25. (1)如图h 锐角AABC 中分别以AB. AC 为边向外作等腰AABE 和等腰△ACD,使AD=AC, ZBAE=ZCAD 、连接BD 、CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由.(2) 如图 2,四边形 ABCD 中，AB=lcm, BC=3cm. ZABC= ZACD= ZADC=45Q,求 BD 的长.甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和832)全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你 准确的叙述辅助线的作法，再计算.(3) 如图 3,四边形 ABCD 中，AB=BC, ZABC=60Q , ZADC=30° , AD=6, BD=10,求 CD 的 长度.26. 如图，矩形ABCD 中，AB=6, BC= 10,将矩形沿AC 折叠，使点B 与点E 重合，AD 与EC 相交于点 F.(1) 求证：AF=CF ；(2) 求ZV1EF 的而积.27. 在等腰△ABC 与等腰/VIDE 中，AB=AC, AD=AE, ZBAC=ZDAE,且点D 、E 、C三点在同一条直A 图1 AEMD@2线上，连接BD・（1）如图1,求证：△ADB9ZV1EC（2）如图2,当ZBAC=ZDAE=90°时，试猜想线段AD, BD, CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3） ___________________________________________________________________________ 如图3,当ZBAC=ZDAE=\20。
北师大版八年级数学上册《勾股定理》知识点过关靶向专题练
北师大版八年级数学上册《勾股定理》知识点过关靶向专题练知识点一：利用勾股定理求边长1.求出下列直角三角形中未知边的长度.2. 2.求斜边长为17 cm，一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积．3. 如果直角三角形的两直角边长是9，40，那么斜边长为多少？4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给两种以上的方案．5. 如图，求等腰三角形ABC的面积．知识点二：利用勾股定理解决实际问题1. 1.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部4m处，旗杆折断之前有多高？2. 1876年，美国总统伽菲尔德利用右图验证了勾股定理．你能利用这个图形验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系.3. 某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？知识点三:判定直角三角形1.如果三条线段长a，b，c满足a2=c2－b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2. 如图，阴影长方形的面积是多少？3. 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？4. 如图，一座城墙高11.7 m，墙外有一个宽为9 m的护城河，那么一个长为15 m的云梯能否到达墙的顶端？5. 一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm， 8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？6. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？。
北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习
北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？A CB4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习（答案版）1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．解：①82+152=172，能；②72+122≠152，不能；③122+152≠202，不能；④72+242=252，能．2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A 爬到了点D ，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）解：根据勾股定理分别求得AB=5cm ，BC=13cm ，CD=10cm ，222BF AE EF +=所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28（cm ）．3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km ，然后向正北方向航行了120km ，这时它离出发点有多远？解：如图，A 为出发点，B 为正东方向航行了160km 的地点，C 为向正北方向航行了120km 的地点，故AB=160km ，BC=120km ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2= AB 2+BC 2=40000．所以AC=200km ．即这时它离出发点200km ．4. 小明从家出发向正北方向走了150m ，接着向正东方向走到离家250m 远的地方．小明向正东方向走了多远？解：如图,AB=150m ，AC=250m ，则BC 2= AC 2-BC 2=40000．所以BC=200 m ．答：小明向正东方向走了200m ．5. 如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积.解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2+CB 2=32+42=25，在Rt △ACF 中，FC 2=AC 2+AF 2=25+144=169，A CB故正方形CDEF的面积为169．6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．（1）这架云梯的顶端距地面有多高？解：如图，在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2+DE2=AD2，即AE2+72=252，所以AE=24（m）.即这架云梯的顶端AE距地面有24 m高.（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？解：梯子的底端在水平方向滑动了8m．理由：因为云梯的顶端A下滑了4m至点A′，所以A′E=AE－AA′=24－4=20（m）．在Rt△A′ED′中，由勾股定理得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202，所以D′E=15（m）.所以DD′=ED′－ED=15－7=8（m），即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=152+202=625.8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？解：如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形，∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10.在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=252+102=725.9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？解：如图，由勾股定理得AB2=1.52+1.52=4.5，∴BC≈3.06（米）；能放入电梯内的木条的最大长度大约是3.06米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．提升练习：1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C 在直线m 上,分别过点A,B 作AE ⊥直线m 于点E,BD ⊥直线m 于点D.(1)求证:EC=BD.(2)若设△AEC 三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=。
北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）
北师版八年级上第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习-（北师大版数学）北师版八年级数学第1章勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法cbaHG F EDCB Abacbac cabcab a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=?，则c，b =，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用８.．勾股定理逆定理的应用９.勾股定理及其逆定理的应用AB C30°D CB A ADB C CB DA二、常见考题分析题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ?中，90C ∠=?．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ?中，90ACB ∠=?，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ?中，90C ∠=?，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4.如图Rt ABC ?，90C ∠=?3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m ABCD E分析：根据题意建立数学模型，如图8AB =m ，2CD =m ，8BC =m ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则6AE =m ，8DE =m 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ?是否为Rt ?① 1.5a =，2b =，2.5c = ②54a =，1b =，23c = 例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC ?中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =证明： D CBA三、巩固训练：选择题1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，三边长分别为a 、b 、c ，则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 22、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A 、5 B 、25 C 、7 D 、153、直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形共有（） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b2∶c 2=2∶1∶1。
2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题攻克练习题(含答案详解)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（ ）A ．4.5B ．4.6C ．4.8D ．52、如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．453、如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）.A ．54 B ．52 C ．53 D ．654、如图，在Rt △ACB 和Rt △DCE 中，AC ＝BC ＝2，CD ＝CE ，∠CBD ＝15°，连接AE ，BD 交于点F ，则BF 的长为（ ）A ．B C ．D 5、如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两直角边分别是a 、b ，且2()15a b +=，大正方形的面积是9，则小正方形的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．66、已知点P 是AOB ∠平分线上的一点，且5OP =，作PM OB ⊥于点M ，点N 是射线OA 上的一个动点，若4OM =，则PN 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57、如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则BAC ∠与DAC ∠的大小关系为（ ）A ．BAC DAC ∠>∠B ．BAC DAC ∠<∠ C ．BAC DAC ∠=∠D ．无法确定8、如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ）A ．0.7米B ．1.5米C ．2.2米D ．2.4米9、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A ．如果a 2=b 2−c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A =90°B ．如果∠A :∠B :∠C =1:2:3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果222::9:16:25a b c =，那么△ABC 是直角三角形D ．如果A B C ∠-∠=∠，那么△ABC 是直角三角形10、如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将AC 沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则CD 长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当10AB =，6BC =时，阴影部分的面积为________．3、如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm 的F 处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为__________cm（容器壁厚度忽略不计）．4、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．5、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想，由它可以推导出很多重要的公式．（1）如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．①用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为 ，第二次列式为 ，因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积，所以可以得出等式 ；②在①中，如果7a b +=，10ab =，请直接用①题中的等式，求阴影部分的面积；（2）如图3，两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a ，b ，c 之间的数量关系．2、一架云梯长25m ，如图所示斜靠在一而墙上，梯子底端C 离墙7m ．（1）这个梯子的顶端A 距地面有多高?（2）如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?3、细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．OA 22=212+=，1S =OA 32=12+23=，2S =OA 42=12+24=，3S =（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA n2=______；S n=______．（2）求出OA10的长．（3（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．4、如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC ，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？5、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则 c=10 ，直角三角形面积S=12×6×8=12×c×h，可得h=4.8 ，故选：C．【考点】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．2、D【解析】【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2，∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）＝AC2−AB2＝45．故选：D．【考点】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．3、D【解析】【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：如图，连接AP，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵12AP•BC=12AB•AC，∴AP•BC=AB•AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=125，∴AM=65．故选：D．【考点】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解题的关键是求出AP 的最小值．4、B【解析】【分析】由已知证得ACE BCD ≅，进而确定ABF 三个内角的大小，求得12BF AB =，进而可得到答案． 【详解】解：∵90,90ACB DCE ∠=︒∠=︒∴ACB BCE DCE BCE ∠+∠=∠+∠∴ACE BCD ∠=∠又∵,AC BC CD CE ==∴ACE BCD ≅∴15CAE CBD ∠=∠=︒∵在等腰直角三角形中45ABC BAC ∠=∠=︒∴60,30ABF ABC CBD BAF BAC CAE ∠=∠+∠=︒∠=∠-∠=︒∴18090AFB ABF BAF ∠=︒-∠-∠=︒ ∴12BF AB =∵AB =∴BF =故选：B ．【考点】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理；熟练掌握相关知识是解题的关键．5、A【解析】【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积−4个直角三角形的面积，利用已知(a+b)2=15，大正方形的面积为9，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【详解】解：∵(a+b)2=15，∴a2+2ab+b2=15，∵大正方形的面积为：a2+b2=9，∴2ab=15−9=6，即ab=3，∴直角三角形的面积为：13 22 ab=，∴小正方形的面积为：394=32-⨯，故选：A．【考点】此题主要考查了完全平方公式及勾股定理的应用，熟练应用完全平方公式及勾股定理是解题关键．6、B【解析】【分析】根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：当PN ⊥OA 时，PN 的值最小，∵OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB ，∴PM =PN ，∵5OP =，4OM =，PM OB ⊥，∴由勾股定理可知：PM =3，∴PN 的最小值为3．故选B ．【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质是解题的关键．7、C【解析】【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD 、AC 、 CD 的长，再由勾股定理的逆定理得到△ACD 为等腰直角三角形，同理可得△ABC 为等腰直角三角形，即∠BAC = ∠DAC ．【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD 、BC ，则222222222=+==+==+=，，，AD CD AC2152153110225510+=+=，AD CD222∴+=，AD CD ACAD CD=，∴为等腰直角三角形，ACD∴∠=︒，45CAD同理：222222222=+==+==+=，，，BC AC AB31103110422022101020+=+=，BC AC222BC AC AB∴+=，=，BC AC∴为等腰直角三角形，ACB∴∠=︒，45BAC∴∠=∠．BAC DAC故选：C．【考点】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．8、C【解析】【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．【考点】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.9、A【解析】【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：A、如果a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【考点】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【解析】【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB10=（cm），由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm−6cm＝4cm，∠BED＝90°，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝8−x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8−x）2，解得：x＝3，∴CD ＝3cm ，故选：A ．【考点】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt △DEB 的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．二、填空题1、8【解析】【分析】先设水深x 米，则AB =x ，则有BD =AD +AB =x +2，由题条件有BD =BC =x +2，又根据芦节直立水面可知BD ⊥AC ，则在直角△ABC 中，利用勾股定理即可求出x ．【详解】解：设水深x 米，则AB =x ，则有：BD =AD +AB =x +2，即有：BD =BC =x +2，根据芦节直立水面，可知BD ⊥AC ，且AC =6，则在直角△ABC 中：222AB AC BC +=，即：2226(2)x x +=+，解得x =8，即水深8米，故答案为8．【考点】本题考查了勾股定理的应用，从现实图形中抽象出勾股定理这一模型是解答本题的关键．2、24【解析】【分析】根据勾股定理得到AC 2=AB 2-BC 2，先求解AC ，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC ，BC 为直径的半圆面积，再减去以AB 为直径的半圆面积即可．【详解】解：由勾股定理得，AC 2=AB 2-BC 2=64，8,AC ∴=则阴影部分的面积22211111112222222AC BC AC BC AB 222116828AC BC AB24=，故答案为24．【考点】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．3、34【解析】【分析】首先展开圆柱的侧面，即是矩形，接下来根据两点之间线段最短，可知CF 的长即为所求；然后结合已知条件求出DF 与CD 的长，再利用勾股定理进行计算即可.【详解】如图为圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段CF 是蜘蛛由C 到F 的最短路程.根据题意，可知DF=18-1-1=16（cm ），CD 160302=⨯=（cm ），∴34CF =（cm ），即蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm.故答案为34.【考点】此题是有关最短路径的问题，关键在于把立体图形展开成平面图形，找出最短路径；4、53【解析】【分析】设CF x =，在Rt CFD '△中利用勾股定理求出x 即可解决问题．【详解】解：∵D '是BC 的中点，8BC =，6CD =， ∴142D C BC '==， 由折叠的性质知：DF D F ='，设CF x =，则6D F DF CD CF x '==-=-，在Rt CFD '△中，根据勾股定理得：222D F CF CD '=+'，即：()22264x x -=+，解得53x =， ∴53CF =． 故答案为：53【考点】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．5、2.5m【解析】【详解】设木棒的长为xm ，根据勾股定理可得：x 2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m ．故答案为2.5m ．三、解答题1、（1）①2()a b -，2()4a b ab +-，22()()4a b a b ab -=+-；或2()4a b ab +-，2()a b -，22()4()a b ab a b +-=-；②9；（2）222+=a b c 【解析】【分析】（1）①第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式；②直接利用公式22()()4a b a b ab -=+-，再整体代入求值即可；（2）第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，再整理即可得到答案.【详解】解：（1）因为小正方形的边长为：,a b -所以第一次计算的面积为：2()a b -，第二次计算的面积为：2()4a b ab +-，所以：22()()4a b a b ab -=+-；或2()4a b ab +-，2()a b -，22()4()a b ab a b +-=-②∵7a b +=，10ab =∴22()()4a b a b ab -=+-274109=-⨯=（3）第一次利用梯形的面积公式图形面积为：()21,2a b + 第二次利用图形的面积和计算为：2112,22ab c ⨯+ ∴ 22111()2222a b ab c +=⨯+ 整理得：22222a ab b ab c ++=+∴ 222+=a b c【考点】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式，掌握等面积法推导两个完全平方公式之间的关系，推导勾股定理是解题的关键.2、（1）这个梯子的顶端A 距地面有24m 高；（2）梯子的底部在水平方向滑动了8m ．【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）先求出BD ，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：（1）由题意可知：90B ∠=︒，25m AC DE ==；7m BC =，在Rt ABC 中，由勾股定理得：222AB BC AC +=，∴AB=24=，因此，这个梯子的顶端A 距地面有24m 高．（2）由图可知：AD =4m ，24420BD AB AD =-=-=，在Rt DBE 中，由勾股定理得：222BE BD DE +=，∴BE ==15=，∴1578CE BE BC =-=-=．答：梯子的底部在水平方向滑动了8m ．【考点】此题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据题意在直角三角形中，利用勾股定理进行求解．3、（1）OAn2＝n；Sn（2）OA10；（3）说明他是第20个三角形；（4）554．【解析】【分析】（1）利用已知可得OA n2，注意观察数据的变化，（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出，（3（4）根据题意列出式子即可求出．【详解】（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn（2）∵OAn2＝n，∴OA10；（3Sn∴说明他是第20个三角形，（4）S12+S22+S32+…+S102，＝12310 4444+++⋯+，＝123104+++⋯+，＝51054⨯+， ＝554．故答案为（1）OAn 2＝n ；Sn （2）OA 10；（3）说明他是第20个三角形；（4）554． 【考点】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理的应用.4、这棵树在离地面6米处被折断【解析】【分析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.【详解】解：设AC x =，∵在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，∴()222816x x +=-，∴6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断【考点】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．5、（1）是，理由见解析；（2）2.5米．【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得Rt△CHB 是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，在Rt△ACH 中，根据勾股定理列方程求得x 即可．【详解】（1）∵2221.8 2.43+=，即222+=BH CH BC ，∴Rt△CHB 是直角三角形，即CH⊥BH，∴CH 是从村庄C 到河边的最近路（点到直线的距离中，垂线段最短）；（2）设AC ＝AB ＝x ，则AH ＝x －1.8，∵在Rt△ACH，∴222CH AH AC +=，即 2222.4 1.8)x x -=+(，解得x ＝2.5，∴原来的路线AC 的长为2.5米．【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键．。
北师大版八年级(上)数学《勾股定理》专题复习(含答案)
例1. (1)如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm ),计算两圆孔中心A 和B 的距离为(2)如图2,直线I 上有二个正方形a, b, 的面积分别为5和11,则b 的面积为( C . 16D . 55点评：以上两例都是勾股定理的直接运用,当已知直角三角形的两边，求第第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析:勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一 起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可.解：(1)由已知得：AC=150-60=90, BC=180-60=120,由勾股定理得:AB 2=902+1202=22500,所以 AB=150 (mm )(2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16,故选C .60]15060c)图2三边时，往往要借助于勾股定理来解决.例2.如图3,正方形网格的每一个小正方形的边长都是1,试求Z AE2A2 Z A4E2C4 Z A4E5C4 的度数.、图3解：连A3E2. Q A3A2A]A2, A2E2A2E2,A3A2E2 AA2E2 90o,Rt △ A3A2E2如Rt △ A1A2E2(SAS).5 A-I E2A3 E2 A2由勾股定理，得：C4E5 22 12 ,5 C3E2 , A4E5 、42 12 ,17 A3E2 ,2Q A4C4AC B 2 , △ A4C4E5◎△ A3C3E2 (SSS).A3 E2C3A4 E5C4A1E2 A2A4E2C4 A4 E5C4 A3E2C4 A4 E2C4 A3E2C3 A2E2C4 •由图可知△ E2C2C4为等腰直角三角形. A2E2C4 45o.即A,E2A2A4E2C4 A4E5C4 45° .点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：(1)任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得.(2)利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如45°、90°、135°, 便一目了然.以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力.专练一：〔、△ ABC 中，/ A :/ B:/ C=2 : 1: 1, a，b，c分别是/ A、/ B、/ C 的对边，则下列各等式中成立的是( )(A) a2b2c2; (B) a22b2; (C) c22a2; (D) b22a22、若直角三角形的三边长分别为2, 4, X，则x的可能值有( )(A) 1 个；(B) 2 个；(C) 3个；(D) 4 个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为( )(A) 10.5 米; ( B) 7.5 米; (C) 12 米; (D) 8 米4、下列说法中正确的有( )(1)如果/ A+ / B+Z C=3: 4: 5,则厶ABC是直角三角形；(2) 如果/ A+Z B= Z C,那么△ ABC是直角三角形；(3)如果三角形三边之比为6: 8:10,则ABC是直角三角形；(4)如果三边长分别是n21,2n,n21(n 1)，则ABC是直角三角形。
第一章 勾股定理常考题训练 2024—2025学年北师大版数学八年级上册
勾股定理常考题型类型一赵爽弦图1.公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是________．2.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图②的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图②中的实线)是3.如图是“赵爽弦图”,由4个全等的直角三角形拼成的图形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,设直角三角形较长直角边为b,较短直角边为a,则a+b的值是类型二勾股树1.如图,图中的三角形为直角三角形,已知正方形A和正方形B的面积分别为25和9,则正方形C的面积为2.如上图,S1、S2、S3分别是以Rt△ABC的三边为直径所画半圆的面积,其中S1=10π,S2=6π,则S3=3.如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15 cm，正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为( )4.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3,则最大的正方形E的面积是( )5.如图所示为一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰直角三角形,然后再以其直角边为边,分别向外正方形②和D,…依次类推,若正方形①的面积为64,则正方形⑤的面积为( )类型三梯子下滑问题1.如图,一个梯子AB长2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.9米,则梯子顶端A下落了（）A.0.9米B.1.3 米C.1.5 米D.2米2.（教材P14习题1.4T3拓展）如图，一个梯子长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距离地面24m，（1）这个梯子底端离墙有多少米？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？类型四网格题1.如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为________.2.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.类型五动点问题1.如图,长方形ABCD中,AD=BC=6,AB=CD=10,点E为线段DC上的一个动点,将△ADE沿AE折叠得到△AD`E,连接D`B,当△AD`B为直角三角形时,DE的长为2.如图,Rt△ABC中,AB=8,BC=6,∠B=90°,M,N分别是边AC,AB上的两个动点,将△ABC沿直线MN折叠,使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处,则线段BN的长为3.如图,点A是射线BC外一点,连接AB,若AB=5cm,点A到BC的距离为3cm.动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动。
新北师大版八年级上册初中数学 课时1 认识勾股定理 重点题型练习
课后作业
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
课时1 认识勾股定理
课后作业---《少年班》
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北师大版八上数学第1章勾股定理专练习题课件
解：由题意知BP＝t cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况： Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，
BP＝BC＝4 cm，即t＝4.
Ⅱ.如图②，当∠BAP 为直角时，
BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm.
在 Rt△ACP 中，AP2＝32＋(t－4)2；
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：
Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5.
Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，
BP＝C＝8 cm，t＝8.
Ⅲ.如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm， CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm. 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋CP2，
3．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P. 试说明：BP2＝BC2＋AP2.
解：如图，连接BM. 因为MP⊥AB，所以△BMP和△AMP均为直角三角形. 所以BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2. 同理可得BC2＋CM2＝BM2， 所以BP2＋PM2＝BC2＋CM2. 因为CM＝AM，所以CM2＝AM2＝AP2＋PM2. 所以BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.所以BP2＝BC2＋AP2.
1．(中考·淮安)如图，在边长为1的小正方形组成的网格
中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( A )
A．5
B．6
C．7
D．25
2 ． 如 图 ， 在 四 边 形 ABFC 中 ， ∠ ABC ＝ 90° ， CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.试说明：AB＝BC.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股 定理说明.应用勾股定理说明两条线段相等的一般步骤： ①找出图中说明结论所要用到的直角三角形； ②根据勾股定理写出三边长的平方关系； ③联系已知，等量代换，即可得解.
北师大八年级上勾股定理典型例题专练
D CBA一：选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A ：4，5，6B ：1，1，2C ：6，8，11D ：5，12，23 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 3、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ， AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合， 折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 2二：填空题4、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
5、三角形ABC 中AC=17，BC=10，AB 边上的高CD=8，则AB 的长为_________6、如右图将矩形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 恰好落 在BC 边上F 处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
7、一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的无盖长方体纸箱的A 点沿纸箱外表面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________cm 。
8、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________。
三：解答题9、（6分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6，AC=8， 求AB 、CD 的长10．已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.FCB A DE F11．﹝8分﹞.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的 点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•12、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？13.点P 为正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕B 顺时针旋转90°到△CBE 的位置，若BP ＝1.BP=2，CP=3,求S △PCE 的面积14.已知:如图13,△ABC 中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC 边上的高.15.如下图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他的小屋位于他的南7km 东8km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河。
北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)
北师大版八年级数学上【1】勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠A，则a2＋b2＝c2；=D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边， 90∠C，则a2＋b2＝c2．=2. Rt△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（）A．cb+ D.+ C. ca<bba>a=+ B. c2c22+a=b3．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k2－1D、k2+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121B．120C．90D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42 或 32 D．37 或 337.※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A2d（B d（C）2d（D）d8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是． 二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AE 重合， AC B你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 小汽车 小汽车 B C 观测点所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s ．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．答案：这辆小汽车超速了．。
北师大版八年级数学勾股定理测试题及答案
北师⼤版⼋年级数学勾股定理测试题及答案图6 北师⼤版⼋年级数学勾股定理测试题(1)⼀、填空题（每⼩题5分，共25分）：1．已知⼀个直⾓三⾓形的两条直⾓边分别为6cm 、8cm ，那么这个直⾓三⾓形斜边上的⾼为_________________．2．．三⾓形的两边长分别为3和5，要使这个三⾓形是直⾓三⾓形，则第三条边长是_______．3．△ABC 中，AB=10，BC=16，BC 边上的中线AD=6，则AC=___________．4．将⼀根长24cm 的筷⼦，置于底⾯直径为5cm ，⾼为12cm 的圆柱形⽔杯中（如图1），设筷⼦露在杯⼦外⾯的长度是为hcm ，则h 的取值范围是_____________．5．如图2所⽰，⼀个梯⼦AB 长2.5⽶，顶端A 靠墙AC 上，这时梯⼦下端B 与墙⾓C 距离为1.5⽶，梯⼦滑动后停在DE 上的位置上，如图3，测得DB 的长0.5⽶，则梯⼦顶端A 下落了________⽶．⼆、选择题（每⼩题5分，共25分）：6．在下列长度的四组线段中，不能组成直⾓三⾓形的是（）．A ．a=9 b=41 c=40B ．a=b=5 C=52C ．a:b:c=3:4:5D ．a=11 b=12 c=157．若△ABC 中，AB=13，AC=15，⾼AD=12，则BC 的长是（）．A ．14B ．4C ．14或4D ．以上都不对8． 2002年8⽉在北京召开的国际数学家⼤会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆⽅图》，它是由四个全等的直⾓三⾓形与中间的⼩⼩正⽅形拼成的⼀个⼤正⽅形（如图4所⽰），如果⼤正⽅形的⾯积是13，⼩正⽅形的⾯积是1，直⾓三⾓形的短直⾓边为a ，较长直⾓边为b ，那么2)(b a +的值为（）．A ．13B ．19C ．25D ．1699．如图5，四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=900，则四边形ABCD 的⾯积是（）．A ．84B ．30C ．251 D ．⽆法确定 10．如图6，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在C /处，B C /交AD 于E ，AD=8，AB=4，则DE 的长为（）．A ．3B ．4C ．5D ．6三、解答题（此⼤题满分50分）：11．（7分）在ABC Rt ?中，∠C=900．（1）已知15,25==b c ，求a ；（2）已知060,12=∠=A a ，求b 、c ．12．（7分）阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满⾜442222b a c b c a -=-，试判定△ABC 的形状．解：∵ 442222b a c b c a -=-，①∴ ))(()(2222222b a b a b a c -+=-，②∴ 222b a c +=，③∴△ABC 为直⾓三⾓形．问：（1）上述解题过程，从哪⼀步开始出现错误？请写出该步的代号______；（2）错误的原因是___________________________；（3）本题正确的结论是_______________________________．13．（7分）细⼼观察图7，认真分析各式，然后解答问题： 21)1(2=+ 211=S 31)2(2=+ 222=S 41)3(2=+ 233=S ┉┉┉┉图1 图2 图3 图4 图5 图7（1）⽤含有n （n 是正整数）的等式表⽰上述变化规律；（2）推算出OA 10的长；（3）求出210232221S S S S ++++ 的值．14．（7分）已知直⾓三⾓形的周长是62+，斜边长2，求它的⾯积．15．（7分）⼩东拿着⼀根长⽵杆进⼀个宽为3⽶的城门，他先横着拿不进去，⼜竖起来拿，结果杆⽐城门⾼1⽶，当他把杆斜着时，两端刚好顶着城门的对⾓，问杆长多少⽶？16．（7分）⼩明向西南⽅向⾛40⽶后，⼜⾛了50⽶，再⾛30⽶回到原地．⼩明⼜⾛了50⽶后向哪个⽅向⾛的？再画出图形表⽰17．（8分）如图8，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=300，点A 处有⼀所中学，AP=160⽶，假设拖拉机⾏驶时，周围100⽶以内会受到噪⾳的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN ⽅向⾏驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千⽶/时，那么学校受影响的时间为多少秒？图8北师⼤版⼋年级数学（勾股定理）⾃测题(2)⼀、选择题(共4⼩题，每⼩题4分，共16分.在四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，请把符合要求⼀项的字母代号填在题后括号内.)1.下列说法正确的有( )①△ABC是直⾓三⾓形，∠C=90°，则a2+b2=c2. ②△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直⾓三⾓形. ③若△ABC 中，a2-b2=c2，则△ABC是直⾓三⾓形. ④若△ABC是直⾓三⾓形，则(a+b)(a-b)=c2. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的⾯积是( )A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm23.已知，如图，⼀轮船以20海⾥/时的速度从港⼝A出发向东北⽅向航⾏，另⼀轮船以15海⾥/时的速度同时从港⼝A出发向东南⽅向航⾏，则2⼩时后，两船相距( )A.35海⾥B.40海⾥C.45海⾥D.50海⾥4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为( )A.3B.4C.5D.6⼆、填空题(共4⼩题，每⼩题4分，共16分.把答案填在题后的横线上.)5.如图，学校有⼀块长⽅形草坪，有极少数⼈为了避开拐⾓⾛“捷径”，在草坪内⾛出了⼀条"路".他们仅仅少⾛了_________步路(假设2步为1⽶)，却踩伤了青草.6.如图，圆柱形玻璃容器⾼20cm，底⾯圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有⼀蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上⼝外侧距上⼝1cm的点B处有⼀只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所⾛的最短路线长度为________.7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成⼀个直⾓三⾓形，那么以x为边长的正⽅形的⾯积为__________.8.已知△ABC的三边a、b、c满⾜等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则△ABC的⾯积为________.三、解答题(共6⼩题，1、2题各10分，3-6题各12分，共68分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.)9.如图是⼀块地，已知AB=8m，BC=6m，∠B=90°，AD=26m，CD=24m，求这块地的⾯积.10.如图，将⼀根30㎝长的细⽊棒放⼊长、宽、⾼分别为8㎝、6㎝和24㎝的长⽅体⽆盖盒⼦中，求细⽊棒露在盒外⾯的最短长度是多少？11.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建⼀个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？12.如图，折叠矩形纸⽚ABCD，先折出折痕(对⾓线)AC，再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE，若AB=3，AD=4，求BE的长.13.如图，A、B两个⼩镇在河流CD的同侧，到河流的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，现在要在河边建⼀⾃来⽔⼚，向A、B两镇供⽔，铺设⽔管的费⽤为每km3万元，请你在河流CD上选择建⽔⼚的位置M，使铺设⽔管的费⽤最节省，并求出总费⽤是多少？14.“交通管理条例”规定：⼩汽车在城街路上⾏驶速度不得超过70千⽶/⼩时，如图，⼀辆⼩汽车在⼀条城市街路上直线⾏驶，某⼀时刻刚好⾏驶到车速检测仪所在位置A处正前⽅30⽶的C处，过了2秒后，测得⼩汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50⽶，这辆⼩汽车超速了吗？附加题(10分，不计⼊总分)如图，P是矩形ABCD内⼀点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________.⼀、1.C 2.A 3.D 4.C⼆、5.4 6.30cm 7.260cm或388cm 8.30三、9.解：连接AC.……1分在△ABC中，∵AB=8m,BC=6m,∠B=90°，∴由勾股定理，AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10. ……3分在△ACD中，AC2+CD2=102+242=676,AD2=676，∴AC2+CD2=AD2. ∴△ACD是直⾓三⾓形.……6分∴……8分答：求这块地的⾯积是96m2.……10分10.解：由勾股定理，82+62=102,……3分102+242=262.……6分∴30-26=4.……8分答：细⽊棒露在盒外⾯的最短长度是4cm.……10分11.解：设E点建在距A点xkm处.……1分如图，则AE长xkm，BE长(25-x)km.……2分∵DA⊥AB，∴△DAE是直⾓三⾓形.由勾股定理，DE2=AD2+AE2=102+x2.……5分同理，在Rt△CBE中，CB2+BE2=152+(25-x)2.……7分依题意，102+x2=152+(25-x)2，…… 9分解得，x=15. ……11分答：E应建在距A15km处.……12分12.解：在AC上截取AF=AB，连接EF.……1分依题意，AB=A F, BE=EF, ∠B=∠AFE=90°.……3分在Rt△ABC中，AB=3，BC=AD=4,∴AC2=32+42=25,AC=5. ∴CF=AC-AF=5-3=2. ……5分设BE长为x，则EF=x,CE=4-x. ……7分在Rt△CFE中，CE2=EF2+CF2,即(4-x)2=x2+22.……9分解得，x=. ……11分答：BE的长为.……12分13.解：作点A关于CD的对称点E，连接EB，交CD于M. 则AC=CE=10公⾥.……2分过点A作AF⊥BD,垂⾜为F.过点B作CD的平⾏线交EA延长线于G，得矩形CD BG.……4分则CG=BD=30公⾥，BG=CD=30公⾥，EG=CG+CE=30+10=40⾥.……7分在Rt△BGE中，由勾股定理，BE2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，……9分∴3×50=150(万元).……11分答：铺设⽔管的总费⽤最少为150万元. ……12分14.解：依题意，在Rt△ACB中，AC=30⽶，AB=50⽶，由勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302,BC=40⽶.……3分∴⼩汽车由C到B的速度为40÷2=20⽶/秒. ……5分∵20⽶/秒=72千⽶/⼩时，……8分72＞70，……10分因此，这辆⼩汽车超速了. ……12分附加题解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，则AM=DN，BM=CN.……2分∵∠PMA=∠PMB=90°，∴PA2-PM2=AM2，PB2-PM2=BM2.……4分∴PA2-PB2=AM2-BM2.……5分同理，PD2-PC2=DN2-CN2.……7分∴PA2-PB2=PD2-PC2.⼜PA=1，PB=5，PC=7，……8分∴PD2=PA2-PB2＋PC2=12-52＋72，PD=5.……10分。
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北师大版八年级上册数学《勾股定理》必考题型专题练习
1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.
（1）8，15，17；（2）7，12，15；
（3）12，15，20；（4）7，24，25．
2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A爬到了点D，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）
3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？
A C
B
4. 小明从家出发向正北方向走了150m，接着向正东方向走到离家250m远的地方．小明向正东方向走了多远？
5. 如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm．求正方形CDEF的面积.
6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．
（1）这架云梯的顶端距地面有多高？
（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？
7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？
提升练习：
1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.
2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).
3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．
5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
(1)求证:EC=BD.
(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：
北师大版八年级上册数学《勾股定理》
必考题型专题练习（答案版）
1.判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长.
（1）8，15，17； （2）7，12，15；
（3）12，15，20；（4）7，24，25．
解：①82+152=172，能；
②72+122≠152，不能；
③122+152≠202，不能；
④72+242=252，能．
2. 蚂蚁沿图中所示的折线由点A 爬到了点D ，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长代表1厘米）
解：根据勾股定理分别求得AB=5cm ，BC=13cm ，CD=10cm ，
222BF AE EF +
=
所以蚂蚁一共爬了5+13+10=28（cm ）．
3. 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km ，然后向正北方向航行了120km ，这时它离出发点有多远？
解：如图，A 为出发点，B 为正东方向航行了160km 的地点，C 为向正北方向航行了120km 的地点，故AB=160km ，BC=120km ．
在Rt △ABC 中，由勾股定理得
AC 2= AB 2+BC 2=40000．所以AC=200km ．
即这时它离出发点200km ．
4. 小明从家出发向正北方向走了150m ，接着向正东方向走到离家250m 远的地方．小明向正东方向走了多远？
解：如图,AB=150m ，AC=250m ，
则BC 2= AC 2-BC 2=40000．
所以BC=200 m ．
答：小明向正东方向走了200m ．
5. 如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积.
解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2+CB 2=32+42=25，
在Rt △ACF 中，FC 2=AC 2+AF 2=25+144=169，
A C
B
故正方形CDEF的面积为169．
6. 一架云梯长25m，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7m．
（1）这架云梯的顶端距地面有多高？
解：如图，在Rt△ADE中，
由勾股定理得AE2+DE2=AD2，
即AE2+72=252，
所以AE=24（m）.
即这架云梯的顶端AE距地面有24 m高.
（2）如果云梯的顶端下滑了4m，那么它的底部在水平方向也滑动了4m吗？
解：梯子的底端在水平方向滑动了8m．
理由：因为云梯的顶端A下滑了4m至点A′，
所以A′E=AE－AA′=24－4=20（m）．
在Rt△A′ED′中，
由勾股定理得D′E2=A′D′2－A′E2=252－202，
所以D′E=15（m）.
所以DD′=ED′－ED=15－7=8（m），
即梯子的底端在水平方向也滑动了8m．
7. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
解：如图1，把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形.
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
∴AB2=BD2+AD2=152+202=625.
8. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？
解：如图2,把长方体的右侧表面剪开与上底面这个面所在的平面形成一个长方形，
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10.
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：∴AB2=BD2+AD2=252+102=725.
9. 装修工人购买了一根装饰用的木条，乘电梯到小明家安装．如果电梯的长、宽、高分别是1.5m、1.5m，2.2m，那么能放入电梯内的木条的最大长度大约是多少米？你能估计出装修工人买的木条最少是多少米吗？
解：如图，由勾股定理得AB2=1.52+1.52=4.5，
∴BC≈3.06（米）；
能放入电梯内的木条的最大长度大约是3.06米，估计装修工人买的木条最少是1.5米．
提升练习：
1. 如图所示，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O.若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝________.
2.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).
3. 如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
4. 已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．
5.如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C 在直线m 上,分别过点A,B 作AE ⊥直线m 于点E,BD ⊥直线m 于点D.
(1)求证:EC=BD.
(2)若设△AEC 三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
6. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE⊥DE，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：
222BF AE EF +
=。