第三章 传质微分方程及扩散传质

1 n!
f
(n)
( x 0 )( x x 0 )
n
n0
该式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒展开式。
18
§3.3 伴有均相化学反应的扩散
传质微分方程
N
A

C A t

A
0
nA
A t

A
0
19
两种类型化学反应;
1 传质相中均相反应
2 传质相中的非均相反应。 反应速度作为边界条件（因为控制体积内无化学反应发生）
2
x DCt
的值，再由图得
C C0 Cs C0
2
DCt
2 3 10
10
6 3600
查图得，C
C C0
s
C0
0 . 45
。
2
渗碳6小时，钢铁表面 0 . 3 10
m
处的碳浓度
13
w C 0 . 45 (1 . 27 0 . 1) 0 . 1 0 . 63 %
O 2 air
1 x O2
在整个扩散进程中WO2保持为常数（这一点从3-89式可以得出，或者，因为是串 联过程，扩散过程中通过不同球面的氧气质量是相等的）即：
W O 2 4 r N O 2 , rR 4 r N O 2 , rr
2 2
对（3-98）整理得：
w O2 dr r
2
（3–5）
2
即为菲克第二定律。 （3–5）可简写为
x
2
C t
D C
当组分向三维空间扩散时，则有
C t
C t
C t D [( 1 r
2
D(
C
2
x
2

C
2
y
2

C
2
z
2
2
)
（直角坐标系）
C
2
D(
C r
C
2
r
2

1
1 C r r


)
(3–104)
关于泰勒级数:
f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )

1 n!
f
(n)
( x 0 )( x x 0 )
n
n! f
n0
1
(n)
( x 0 )( x x 0 )
n
上式叫做函数f(x) 在点x0处的泰勒级数。
f (x)
C t D C
2
x
轴。
x
2
起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。
t 0
0 x
C C0
边界条件：①扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变， x 0 即 0 t C Cs
②当
x ，
， t 0

。 C C 0
dxdydz A dxdydz
n Ax dx
x dx
0
A dt 0
两边同时除以
dn x
x
dxdydz
A dt
A dt
，则有：

A

n Ax dx
x
A
Ax

0
即
n Ax

A
0

同样可推导在三维方向上： 简写成
nA A t
A
x
n Ax
y
n Ay
z
n Az
A t

A
0
0
称为传质微分方程。
N
A
同理，对于以摩尔通量表示的形式为：
4

C A t

A
0
§3.1.2 菲克第二定律
dy
2 1
J1 D C x J 2 J1 J x dx
dz
扩散介质中小体积单元如图所示 截面1进入体积单元的扩散流
N CO , r 2 N O 2 , r
N O 2 ,r CD
O 2 air
O 2 2 CO
（每扩散进来1摩尔氧气，就有2摩尔一氧化碳在相反方向上扩散出去）
dx O 2 dr
. dx O 2 dr
1 x O2
2
（3-95）
w O 2 4 r .
CD
（3-98）
7
菲克第二定律成立的条件
① 无扩散引起的对流传质； ② 扩散体系内无化学反应；
③ 为常数。
适用于固体或静止流体中的扩散。 稳态扩散 当达到稳态时，
D 故， C
2
x
2
0
即
C t
D
dC dx
0
C x 常数
C C x
8
0
J D
D
C x
D
菲克第二定律的应用
2
4
CD
O 2 air
1 x O2
.dx O 2
16
两边分别求积分：
1 w O 2 ( ) 4 CD r
x 当时 r ，
O2
O 2 air
ln( 1 x O 2 ) m
m
为积分常数。 ;
1 xO
2
0 . 21
，故
2
m 4 CD
O 2 air
C x
x
x dx
截面2流出的扩散流
J1 D
J 2 J1
J x
dx
假设：扩散过程无化学反应，那么扩散进入体积单元的量减去流出体积单元的量 等于体积单元内物质的积累量。 以 A dy .dz 代表体积单元的截面积，
C t
则
(J1 J 2 )A
.dx . A
（3–1）
CO CO
2
C
C
解：这是固体内部的扩散过程，故适用菲克第二定律，取扩散方向为
C t D C
2
x
轴。
x
2
起始条件：扩散开始前，体系内浓度完全均匀，而为C0 (初始浓度)。
t 0
0 x
C C0
边界条件：①扩散开始后，界面的浓度立即为Cs，并且在扩散过程中保持不变， 即 0t x 0 C C ②当 x ， 0 t
s
，
C C0
。
将上述已知条件代入，解方程得：
C C0 Cs C0 1 erf ( 2 x DCt )
11
erf(x)称为高斯误差函数，
e rf ( x ) 2


x
e
0
x
2
dx
1-erf(x)称为补余误差函数。 误差函数的性质：
erf(-x) = -erf(x)
erf(0) = 0 erf(1) = 1 1-erf(x) = erfc(x)
1 C r
2

2

z
2
)
1 C
2
（圆柱坐标系） （球坐标体系）
.
r
(r
2
)
. (sin ) 2 . ] 2 2 r sin r sin
C
求解三维扩散方程非常复杂，所以一般在制定实验方案时，近似地安排成一 维扩散，在特定边界条件下解（3–5）式一元二阶微分方程。
2
R
k s .C
代入(3–99)，得
1 NO
2
,r R
w O 2 4 CD
O 2 air
R ln(
k s .C 1 0 . 21
)
当 k s 大时，上式中对数可按泰勒级数展开，方程简化为：
w O2 4 CD 1
O 2 air
R ln(
1 1 0 . 21
D O 2 air ksR
C C0 Cs C0 1 erf ( 2 x DCt )
将上述已知条件代入，解方程得：
10
例1 在1273K时，用
w 混合气体对低碳钢（ 0 . 1 %） 进行渗碳， 设钢板内部扩散为过程的控制步骤。钢板表面碳平衡浓度 w 1 .27 % 。求渗 2 碳6小时后钢铁表面下 0 . 3 10 m处的碳浓度w C 。 10 已知： D C 3 10。 m 2 s 1
第三章 传质微分方程及扩散传质
§3.1 传质微分方程和菲克第二定律
§3.2 伴有非均相反应的扩散 §3.3 伴有均相化学反应的扩散
化学反应动力学（第一章）—研究方法 一维扩散传质（第二章）—菲克第一定律
1
§3.1 传质微分方程
§3.1.1 传质微分方程推导：
dy
2 1
dz
x
x dx
A通过微分体积表面x处 在
r
R
r
N O 2， r
N CO ， r
14
解：计算碳的燃烧速度，计算氧气消耗速度即可。取球形坐
标，在扩散过程中没有化学反应发生，在稳态条件下, 则传 质微分方程（取球坐标）：
CO 2 t [ 1 r r
2
( r N O 2 ,r )
2
1

r sin
( N O 2 , )
则x
O2 R
0
,
w O 2 4 CD
O 2 air
R ln(
1 1 0 . 21
)
2） 假定化学反应速度和扩散速度相差不大，则非均相反应中化学反应速 度能提供一个重要的边界条件： 即