华南理工大学《630量子力学》考研专业课真题试卷

ψ ( x ) ，则电子出现在区间
[ x1 , x2 ]的概率为多少？
（2） 量子力学以电磁势描述带电粒子的运动，试证明粒子的动量算符与矢势的对 易关系为
[ p, A ] = p ⋅ A − A ⋅ p =
−i∇ ⋅ A .
（3） 若含时薛定谔方程的哈密顿量不明显地依赖于时间，则其波函数可以分离变 量为
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华南理工大学考研专业课真题试卷
630 量子力学
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华南理工大学 2015 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学 适用专业：凝聚态物理 共 2 页 （本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分为 150 分）
1 . 概念证明： （1） 为什么说轨道概念是被量子力学摒弃的纯经典概念？ （2） 证明两个厄密算符之和仍为厄密算符。
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华南理工大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学 适用专业：凝聚态物理 共 2 页 （本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分为 150 分） 1. (30 分)
（1） 描 述 电 子 运 动 状 态 的 归 一 化 波 函 数 为
ψ ( r, t ) = f ( t )ϕ ( r ) ，其中， f ( t ) = ?
ϕk ( x1 ) 和 ϕk ( x2 ) ，若它们是全同的费米
1
2
（4） 已知两个可分辨粒子的波函数为
子，波函数应该对称化为什么形式；若它们是全同的玻色子，波函数应该对 称化为什么形式？ （5） 若力学量
A
与系统的哈密顿量对易，则力学量的平均值
3. 考虑自旋为
1 ˆy Bs ˆz 的本征值及归一化的本征波函数。 的系统， （ 1） 求出算符 As 2
1 0 0 H = ω 0 2 0 , 0 0 2
另外一个可观测量
A
的矩阵表示为
0 1 0 A = λ 1 0 0, 0 0 2
式中
ω
和
λ
都是正实数。求
H
和
A
的本征值和归一化本征函数。
4. (30 分) 一个粒子处在自旋态
χ = A , ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
其中
x < a, x > a,
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a
为变分参数， N 为归一化常数。求基态能级的上限。
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华南理工大学 2014 年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
（试卷上做答无效，请在答题纸上做答，试后本卷必须与答题纸一同交回） 科目名称：量子力学 适用专业：凝聚态物理 共 公式： 页


0
x n e ax dx x e
A 随时间演化
dA =? dt
2. (30 分) 一质量为 势场中，
m
，能量为
E>0
的粒子，从左边入射到势能为V
( x)
的
0, V ( x) = −V0 ,
x < 0, x > 0.
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求透射概率和反射概率。如果 E = V 3, 被反射回来的概率有多大？ 0 3. (30 分) 某个三能级系统哈密顿的矩阵表示为
ˆ S ˆ ，求该系统的能量本征值、本征函数和简并度。 ˆ S H 0 1 2
ˆ 表象中， H ˆ 的矩阵为： 5. 设在 H 0
E1(0) H 0 a*
0 E b
(0) 2 *
a b , E3(0)
(0) E1(0) E2 E3(0) 。
用微扰法求能量的一阶和二阶修正。
ˆ 是厄密的， 是一个复数。在什么条件下， Q ˆ 也是厄密的？ （3） 假设 Q
（4） 在什么条件下两个厄密算符的乘积也是厄密的？
ˆ 2m d ˆ x 和哈密顿算符 H （5） 证明坐标算符 x
2



2
dx 2 V x

是
厄密算符。
2. 分析一维有限深方势阱的束缚态奇波函数。求出允许能级满足的超越方程,并用作 图法求解。考虑两种极限情况, 是否总是至少存在一个奇束缚态?
2 n a2 x2
n! a n 1
(a 0)
2 n 1
0
(2n)! 1 dx n ! 2a n! 1 2 a
2n2
(a 0) (a 0)
0
x 2 n 1e a x dx
2 2
（本试卷共 5 大题，每题 30 分，总分为 150 分） 1. (1) 证明在定态中，概率流与时间无关。 (2) 在一维势场中运动的粒子，势能关于原点对称：V(-x)=V(x),证明粒子的定态波 函数具有确定的宇称。 (3)算符 i
d 是否是厄米算符，说明其原因。 dx
2. 粒子从左边入射到如下势垒中,
0 V ( x) V1 V 2
粒子的能量 E 满足 V2<E< V1,
x0 0 xa xa
求粒子的透过率。
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3. 一个质量为 m 的粒子被 x=0,a 处的无限高墙限制在区间 0<x<a 中运动。 初始时 刻，该粒子在区间的左半部分具有相同的概率：
(a) 求出归一化常数 (b) 求出
3i
A。
S x ， S y ， 和 S z 的期待值。
，能量算符可以表示 = ω = 1） m
5. (30 分) 一维谐振子，取自然单位 （ = 成
1 d2 1 2， H = − + x 2 dx 2 2
取基态试探波函数为
x N 1 − , a ψ = 0,
2 ( x, 0) a 0
0 x a xa 2
a 2
(a) 求时间相关波函数 ( x, t ) 。 (b) 粒子处于第 n 个本征态的概率是多少？ (c) 写出粒子能量期望值的表达式。
4. 两个自旋为
1 的粒子间有磁矩相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略， 2