高三数学文科后三题练习题

高三数学文科后三题练习题19．（2015惠州市一模）（本小题满分14分）若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点)1n P S +（*n N ∈）在曲线2(1)y x =+上.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设11n n n b a a +=⋅，n T 表示数列{}n b 的前n 项和，求证：12n T <.20. （2015惠州市一模）（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，，且经过点(4,1)M . 直线:l y x m =+交椭圆于不同的两点,A B .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围；(3)若直线l 不过点M ，求证：直线,MA MB 与x 轴围成一个等腰三角形.21. （2015惠州市一模）（本小题满分14分）已知a R ∈，函数3()42f x x ax a =-+． (1)求()f x 的单调区间；(2)证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->．19．（2015肇庆市二模）（本小题满分14分）已知数列{n a }满足：411=a ，1231=-+n n a a （n N *∈）；数列{nb }满足：n n n a a b -=+1（n N *∈）. （1）求数列{n a }的通项公式及其前n 项和n S ； （2）证明：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列.已知直线l ：2+=x y 与双曲线C ：12222=-by a x （0,0>>b a ）相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M （1，3）.（1）求双曲线C 的离心率；（2）设双曲线C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17||||=⋅DF BF ，试判断△ABD 是否为直角三角形，并说明理由.21．（2015肇庆市二模）（本小题满分14分）已知函数x x x f 3)(3-=. （1）讨论)(x f 的单调区间； （2）若函数m x f x g -=)()(在[23-，3]上有三个零点，求实数m 的取值范围； （3）设函数n n ex e x h x24)(2-+-=（e为自然对数的底数），如果对任意的]2,21[,21∈x x ，都有)()(21x h x f ≤恒成立，求实数n 的取值范围.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列{}n a 满足a a =1，(21)n n n S a =-，其中0a <.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn n a b a a =-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，若当且仅当4n =时，n T 取得最小值，求a 的取值范围.20．（2015佛山市二模）（本小题满分14分）已知椭圆E ：)0( 12222>>=+b a b y a x 过点（0, －1）（1） 求椭圆E 的方程；（2） 如图5，A ，B ，D 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交x 轴于点Q ，直线AD交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，则点N （m ，k ）是否在定直线上，若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.设常数a ＞0，R ∈λ，函数32)()()(a x a x x x f +--=λ. (1)若函数)(x f 恰有两个零点，求λ的值；(2)若)(λg 是函数)(x f 的极大值点，求)(λg 的取值范围.19．（2015深圳市二模）（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在，请求出所有满足条件的(,)m n ；若不存在，请说明理由.已知动点),(y x M 和定点(0,1)N ，MN 的中点为P ，若直线OP MN ,的斜率之积为21-，动点M 的轨迹为1C ．（1）求曲线1C 的方程；（2）若)0)(,(≠t t s Q 为曲线1C 与抛物线py x C 2:22=的公共点，记21,C C 在点Q 处的切线分别为21,l l ，证明：21l l ⊥.21．（2015深圳市二模）（本小题满分14分）已知函数()ln (,)R b f x x ax a b x =-+∈，且对任意0x >，都有0)1()(=+xf x f . （1）求a ，b 的关系式；（2）若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明0)2(2>a f ，并指出函数()y f x =零点的个数（要求说明理由）．高三数学文科后三题练习题参考答案19（2015惠州市一模）（本小题满分14分） 解:(1)因为点)1n PS +在曲线2(1)y x =+上,所以211)n S +=. …………1分由211)n S +=1= (3)1==所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列 ……………4分1)1n =-⨯n =, 即2n S n = ……………5分当2n ≥时，221(1)n n n a S S n n -=-=--21n =- ……………6分 当1n =时，2111n a =⨯-=也成立 …7分 所以*n N ∈， 21n a n =- …8分 (2) 因为111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-⋅+,所以0n b >, ……………9分 1111335(21)(21)n T n n =+++⨯⨯-⋅+ (11111111)=++++233523212121n n n n -------+(1)…12分 11=(1)221n -+1122(21)n =-+12< ……………14分 20.（2015惠州市一模）本小题满分14分） (1) 221205x y += （2）55m -<< （3）见解析(1) 由已知椭圆焦点在x 轴上可设椭圆的方程为22221x y a b+=，（0a b >>）因为e =224a b =， ①又因为过点(4,1)M ，所以221611a b+=， ② 联立①②解得225,20b a ==，故椭圆方程为221205x y +=. ………………4分(2) 将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 因为直线与椭圆有两个交点，所以22(8)45(420)0m m ∆=-⨯⨯->，解得55m -<<. …8分 (3) 设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=即可.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=. …10分122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以120k k +=，所以直线,MA MB 与x 轴围成一个等腰三角形． ………………14分21. （2015惠州市一模）（本小题满分14分） 解：（1）由题意得2()122f x x a'=-………………1分当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为()+-∞∞， ………………2分当0a >时，()12(f x x x '=+， ………………4分 此时函数()f x 的单调递增区间为 (－∞， ，∞)． ……………5分()f x 的单调递减区间为［． ………………6分(2)证明：由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2． ………………8分 当a ＞2时，f (x )＋|a －2|＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3＋4(1－x )－2＝4x 3－4x ＋2． ……10分设g (x )＝2x 3－2x ＋1， 01x ≤≤，则g ′(x )＝6x 2－2＝6(xx， ………………11分 于是…12分所以，g (x )min ＝g(3)＝1－9＞0 ∴ 当01x ≤≤时，32210x x -+> …13分故3()24420f x a x x +-≥-+>∴ 当01x ≤≤时，()20f x a +->…14分19．（2015肇庆市二模）（本小题满分14分）解：（1）由1231=-+n n a a ，得)1(3211-=-+n n a a . （2分） 因为411=a ，所以4311-=-a .因此数列{1-n a }是以43-为首项，32为公比的等比数列. （3分）所以1)32(431-⨯-=-n n a ，即1)32(431-⋅-=n n a （n N *∈）. （5分）所以])32()32(1[431121-+++-=+++=n n n n a a a S （6分）49)32(321)32(1432-+=--⨯-=-n n n n （n N *∈）. （8分） （2）由（1），得11)2(1])2(31[])2(31[--⋅=⋅--⋅-=-=n n n a a b . （9分）假设数列{n b }中存在三项t s r b b b ,,（t s r <<）按某种顺序成等差数列，由于数列{n b }是首项为41，公比为32的等比数列，于是有t s r b b b >>，则只能有t r s b b b +=2成立.（11分） 所以111)32(41)32(41)32(412---⋅+⋅=⋅⋅t r s ，两边同乘r t --1123，化简得r t r t s t r s ----+=⋅⋅23322. （13分） 因为t s r <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列. （14分） 20．（2015肇庆市二模）（本小题满分14分）解：（1）设),(11y x B ，22,(y x D ）.把2+=x y 代入12222=-b y a x ，并整理得044)(2222222=----b a a x a x a b ，则222214a b a x x -=+，22222214a b b a a x x -+-=. （2分）由M （1，3）为BD 的中点，得12222221=-=+ab a x x ，即223a b =，故a b ac 222=+=，（4分） 所以C 的离心率为2==ace . （5分） （2）由（1），得C 的方程为132222=-a y a x ，)0,(a A ，)0,2(a F ， 221=+x x ，0234221<+-=a x x ，故不妨设a x -≤1，a x ≥2， （6分） 1221212121233)2()2(||x a a x a x y a x BF -=-+-=+-=， （7分）a x a x a x y a x DF -=-+-=+-=2222222222233)2()2(||， （8分）8454)(2)2)(2(||||22212121++=--+=--=⋅a a a x x x x a a x x a DF BF （9分）又17||||=⋅DF BF ，所以178452=++a a ，解得1=a 或59-=a （舍去）. （10分） 所以)0,1(A ，221=+x x ，2721-=x x . （11分） )2,1(),1(1111+-=-=x x y x AB ，)2,1(22+-=x x AD ， （12分） 05)(2)2)(2()1)(1(21212121=+++=+++--=⋅x x x x x x x x AD AB ， （13分）所以⊥，即△ABD 是为直角三角形. （14分） 21．（2015肇庆市二模）（本小题满分14分）解：（1）)(x f 的定义域为R ，)1)(1(333)(2-+=-='x x x x f . （1分）所以)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）.（3分） （2）法1：由（1）知，)(x g 在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； 所以)(x g 在1-=x 处取得极大值m g -=-2)1(，在1=x 处取得极小值m g --=2)1(. （5分）因为)(x g 在[23-，3]上有三个零点，所以有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<>-≤-0)3(0)1(0)1(0)23(g g g g ， 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<-->-≤-0180202089m m m m ，解得289<≤m ，故实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,89. （8分） 法2：要函数m x f x g -=)()(在[23-，3]上有三个零点，就是要方程()()0g x f x m =-=在[23-，3]上有三个实根，也就是只要函数()y f x =和函数y m =的图象在[23-，3]上有三个不同的交点.由（1）知，()f x 在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； 所以()f x 在1-=x 处取得极大值(1)2f -=，在1=x 处取得极小值(1)2f =-.又39()28f -=，(3)18f =. （7分）故实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,89. （8分） （3）对任意的]2,21[,21∈x x ，都有)()(21x h x f ≤恒成立，等价于当]2,21[∈x 时，mi n ma x )()(x h x f ≤成立.由（1）知，)(x f 在[21，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且811)21(-=f ，2)2(=f ，所以)(x f 在[21，2]上的最大值2)(max =x f . （11分）e e x h x-=')(，令0)(='x h ，得1=x . （12分）因为当1<x 时，0)(<'x h ；当1>x 时，0)(>'x h ；所以)(x h 在[21，1]上单调递减，在]2,1[上单调递增；故)(x h 在[21，2]上的最小值2min ()(1)42h x h n n ==-. （13分） 所以2242≥-n n ，解得21-≤n 或1≥n ，故实数n 的取值范围是[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121, .19．（2015佛山市二模）（本小题满分14分）解：（1）当1n =得21320a S ++=，解得24a =，…1分 当2n =得32320a S ++=，2122S a a =+=，解得38a =-，…3分（2）当2n ≥时，11()3()0n n n n a a S S +--+-=，即1()30n n n a a a +-+=，12n n a a +=-（2n ≥），…5分 另由212a a =-得12n n a a +=-，所以数列{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，…6分(2)n n a ∴=-…7分（3）把(2)nn a =-代入248n n a m a m -⋅=+中得2(2)(2)48nnm m --⋅-=+，即2(2)8(2)4n n m --=-+，…8分2(2)1688(2)4(2)4(2)4n nn nm --+∴==--+-+-+，要使m 是整数，则须有8(2)4n -+是整数， (2)4n ∴-+能被8整除，…9分（法一）当1n =时，(2)42n -+=，84(2)4n =-+，此时2m =-，…………………10分当2n =时，(2)48n-+=，81(2)4n=-+，此时1m =，………………………………11分 当3n =时，(2)44n-+=-，82(2)4n=--+，此时14m =-，………………………12分 当4n ≥，(2)420n-+≥，8(2)4n -+不可能是整数，…………………………………13分综上所求，所求满足条件的整数对有(2,1)-，(1,2)，(14,3)-.………………………14分20．（2015佛山市二模）（本小题满分14分）解：（1）由题意得1(,)22x y P +，……1分1MN y k x-∴=，1122OP y y k x x ++==（0x ≠），…2分 12MN OPk k ⋅=-，()()21112y y x -⋅+∴=-（0x ≠），…3分化简整理可得：2212x y +=（0x ≠），∴曲线C 的方程为2212x y +=（0x ≠）．……5分 （2）由题意知0s ≠且0t ≠，所以1l ，2l 的斜率存在且不等于0，设直线1l 的方程为1()y t k x s -=-，即11()y k x t k s =+-，………………………………6分 把它代入1C 中并整理得2221111(12)4()2()20k x k t k s x t k s ++-+--=，由题意得：222211116()4(12)2()20k t k s k t k s ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，经化简得：21()t k s -2112k =+，即()222112210s k st k t --⋅+-=有且仅有一解，所以122st k s =-，由2222s t +=，得12s k t=-，………………………………………10分 （注：若没有过程，直接得出1l 为12s x t y ⋅+⋅=，从而求得12sk t=-，则只得1分） 因为2C 经过点Q ，所以22s pt =，即22s p t=， 所以2C 的方程为22t y x s =，…11分求导得22'ty x s =，222'x s t t y s s s =∴=⨯=，即2l 的斜率为22tk s=，……13分121k k ∴⋅=-，12l l ∴⊥……14分 21．解：（1）法一：根据题意，令1x =，可得0)11()1(=+f f ，∴(1)0f a b =-+=，…1分经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有0)1()(=+xf x f ，∴b a =．…2分法二：bx xa x xb ax x x f x f +--+-=+ln ln )1()( b a ax bx x x =-+-+，1()()0b a x x=-+=，…1分 ∴要使上式对任意0x >恒成立，则须有0b a -=，即b a =.……………………………2分（2）由（1）可知()ln a f x x ax x =-+，且0x >，2221'()a ax x af x a x x x-+-∴=--=，……3分 令2()g x ax x a =-+-，要使)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，20102140(0)0a a a g a >⎧⎪⎪>⎪∴⎨⎪∆=->⎪=-<⎪⎩或20102140(0)0a a a g a <⎧⎪⎪>⎪⎨⎪∆=->⎪=->⎪⎩，解得102a <<或无解，…5分a ∴的取值范围102a <<,……6分 （3）由（2）可知可得21028a <<，由题意知2ln 22ln 2222ln )2(3322--+=+-=a a a a a a a f ，令32()2ln ln 22x h x x x =+--，则2422223344'()22x x x h x x x x-+-=--=， 而当1(0,)2x ∈时，4434434(1)0x x x x -+-=---<，即'()0h x <，()h x ∴在1(0,)2上单调递减， ∴1163()()2ln 24ln 23ln e 021616h x h >=-+-->->，即当102a <<时，0)2(2>a f ．……8分 函数()y f x =有3个零点，下面给出证明：由（2）知22'()ax x a f x x-+-=，2()g x ax x a =-+-， 令()0g x =得：1x =，2x =，…………………………………9分当210<<a 时，()y g x =的对称轴1(1,)2x a=∈+∞，2140a ∆=->，(0)0g a =-<， ∴21x >，又121x x =，可得11x <，此时，)(x f 在),0(1x 上单调递减，),(21x x 上单调递增，),(2∞+x 上单调递减， 所以()y f x =在(0,)+∞最多只有三个不同的零点,………………………………………10分 又∵(1)0f =，∴()f x 在)1,(1x 上递增，即1[,1)x x ∈时，()0f x <恒成立，而0)2(2>a f 且21028a <<，所以21(,1)2a x ∉，即21(0,)2a x ∈∴201(,)2a x x ∃∈，使得0)(0=x f ，……………………………………………………12分由0101x x <<<，得11x >，又0)1(,0)()1(00==-=f x f x f ，…………………13分∴()f x 恰有三个不同的零点：001,1,x x . 综上所述，函数()y f x =恰有3个不同的零点．…………………………………………14分。