高中数学讲义微专题37 向量的数量积——坐标化解决向量问题
数学百炼 向量的数量积——坐标法
3 a2
3a 2 a
3
55
2 4 4
a b 5 min 4
答案： 5 4
例 8：已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心， AB 2 ，直线 l 过点 M 交边 AB 于点 P ，交
边 AC 于点Q ，则 BQ CP 的最大值为
.
思路：本题由于 l 为过 M 的任一直线，所以
x
1 2
1 2
x
1 3
3y
3 2
y
3 6
E
1 3
,
3
6
AD 0,
3 2
,
BE
5 6
,
3
6
答案： AD BE 1 4
AD BE 1 4
例 2：（2012 江苏，9）如图，在矩形 ABCD 中， AB 2, BC 2 ， D
面上任一向量 a ，均有 a xi y j ，其坐标为 x, y ，从图上可观察到恰好是将向量 a 起
点与坐标原点重合时，终点的坐标 （3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设
A x1, y1 , B x2, y2 ，则 AB x2 x1, y2 y1 （可记为“终” “起”），所以只要确
P
:
y
kx
3 3
x
23
解得：
3 k 3
y
3 x 1
y
向量的数量积的坐标运算
在力学中，物体的动能与其速度 向量的模的平方成正比，可以通 过向量的数量积来计算。
在电磁学中的应用
计算电场强度
01
电场强度向量可以通过电荷分布密度向量与距离向量的数量积
来计算。
判断电场方向
02
电场强度的方向可以通过电场向量与距离向量的数量积来判断。来自计算磁感应强度03
磁感应强度向量可以通过电流密度向量与距离向量的数量积来
数量积的性质
分配律：(a+b)·c = a·c + b·c，即向量 数量积满足分配律。
零向量与任何向量 的数量积都是0。
交换律：a·b = b·a， 即向量数量积满足 交换律。
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其 中λ是标量，即向量 数量积满足结合律。
若向量a和b垂直， 则它们的数量积为0， 即a·b = 0。
VS
性质与应用
向量数量积具有交换律、分配律等性质， 在物理、工程、计算机图形学等领域有广 泛应用，如计算力、功、能量等物理量， 以及进行向量的投影、旋转等操作。
对未来研究的展望
深入研究高维向量数量积的性质和应用
随着数据维度的增加，高维向量的数量积运算将变得更加复杂，需要 进一步研究其性质和应用。
探索向量数量积在机器学习等领域的应用
在物理中，向量的数量积常用 来表示力、功等物理量。
04 向量的数量积坐标运算方 法
直接计算法
定义
直接计算法是指根据向量数量积的定义，通过计算两个向 量的模长和它们之间的夹角余弦值来求得数量积的方法。
公式
设两个向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则它们的数量积 a · b = |a| * |b| * cosθ，其中 |a| 和 |b| 分别是向量 a 和 b 的模长，θ 是向量 a 和 b 之间的夹角。
高中数学讲义微专题37 向量的数量积——坐标化解决向量问题
微专题37 向量的数量积——坐标法在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。
一、基础知识 1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量12,e e u r u u r 不共线，则对于平面上的任一向量a r ，存在,x y R ∈，使得12a xe ye =+r u r u u r，且这种表示唯一。
其中()12,e e u r u u r 称为平面向量的一组基底，而有序实数对(),x y 称为在()12,e e u r u u r基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底,i j r r，在方向上它们分别与,x y 轴的正方向同向，在长度上，1i j ==r r，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量a r ，均有a xi y j =+r r r，其坐标为(),x y ，从图上可观察到恰好是将向量a r 起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r（可记为“终”-“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。
另外,,A B AB u u u r 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设()()1122,,,a x y b x y ==r r，则有：（1）加减运算：()1212,a b x x y y ±=±±r r（2）数乘运算：()11,a x y λλλ=r（3）数量积运算：1212a b x x y y ⋅=+r r（4）向量的模长：2211a x y =+r3、向量位置关系的判定：（1）平行：1221a b x y x y ⇔=r r∥（2）垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r（3）向量夹角余弦值：121222221122cos ,a b a b a b x y x y ⋅==⋅+⋅+r rr r r r4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。
向量数量积坐标运算
向量数量积表示两个向量在几何空间中的投影面积之和，即它们在x轴和y轴上的投影面积的乘积之和。
当两个向量垂直时，它们的数量积为0；当两个向量平行或同向时，它们的数量积等于它们模长的乘积。
计算能量
在保守力场中，势能等于位置矢量与力的向量数量积，可以用来计算势能和做功。
在物理中的应用
判断向量共线
两个向量共线当且仅当它们的数量积为零，可以利用这个性质来判断向量的共线性。
计算向量的模
向量的模等于其自身与单位向量的数量积的平方根，可以用于计算向量的长度或大小。
求解线性方程组
向量数量积可以用于求解线性方程组，通过构造向量和矩阵，利用向量数量积的性质进行求解。
向量点积与向量加法的结合律
对于任意向量$vec{a}$、$vec{b}$和$vec{c}$，有$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$。
向量点积与向量减法的结合律
对于任意向量$vec{a}$和$vec{b}$，有$vec{a} - vec{b} = (vec{a} + (-vec{b}))$，且$(vec{a} - vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} - vec{b} cdot vec{c}$。
使用计算器或软件进行验证
计算错误
注意单位换算
如果需要将不同单位的向量进行数量积运算，需要进行适当的单位换算，以确保结果的准确性。
向量数量积的坐标表示、模、夹角
其中，A·B表示向量A和B 的数量积，||A||和||B||分别 表示向量A和B的模长。
ABCD
cosθ = (A·B) / (||A|| ||B||)
通过计算cosθ的值，可 以进一步求得θ的值。
向量夹角的性质
01
向量夹角具有对称性，即向量 A与向量B的夹角等于向量B与 向量A的夹角。
02
当两个向量的夹角为0或π时， 它们共线；当夹角为π/2时，它 们垂直。
03
向量夹角的余弦值与两个向量 的数量积和它们的模长之积的 比值相等。
05 向量数量积的坐标表示
数量积的定义与性质
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
定义
两个向量$vec{a}$和 $vec{b}$的数量积（也 称为点积）定义为 $vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| times |vec{b}| times cos theta$，其 中$theta$是$vec{a}$ 和$vec{b}$之间的夹角。
向量的运算
向量的数乘
设向量a=(x,y)，实 数λ，则数λ与向量a 的积为λa=(λx,λy)。
向量的模
设向量a=(x,y)，则 向量a的模为 |a|=√(x²+y²)。
向量的加法
设向量a=(x1,y1)， b=(x2,y2)，则向量 a与b的和为 a+b=(x1+x2,y1+y 2)。
向量的数量积
向量模的性质
非负性
向量的模总是非负的，即 |a| ≥ 0。
零向量的模为零
如果向量 a 是零向量，则 |a| = 0。
向量模的乘法性质
对于任意实数 k 和向量 a，有 |ka| = |k| × |a|。
向量数量积的坐标运算与度量公式课件
度量公式的应用实例
1 2
计算向量之间的距离
给定向量的坐标，可以通过度量公式计算出两 个向量之间的距离。
计算点到直线的距离
给定点的坐标和直线的方程，可以通过度量公 式计算出点到直线的距离。
3
判断向量是否平行
给定两个向量的坐标，可以通过度量公式判断 它们是否平行。
度量公式的扩展应用
判断三点共线
给定三个点的坐标，可以通过度量公式判断它们 是否共线。
对于任意向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，有$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (\mathbf{b} \cdot \mathbf{a})$
用坐标计算向量数量积
对于给定向量$\mathbf{a} = (a_1,a_2,\ldots,a_n)$和$\mathbf{b} = (b_1,b_2,\ldots,b_n)$
向量数量积的坐标运算与度量公式 课件
xx年xx月xx日
目 录
• 向量数量积的基础知识 • 向量数量积的坐标运算 • 度量公式的应用 • 向量数量积与度量公式的综合应用 • 总结与展望
01
向量数量积的基础知识
向量的定义与性质
向量的定义
向量是一个既有大小又有方向的量，它可以用一个带有箭头的线段表示。
向量的性质
向量具有方向性、模和零向量等基本性质。
向量的表示与坐标化
向量的表示
一个向量可以用一个有序数对表示，称为向量的坐标表示。
向量的坐标化
将一个向量表示成一组坐标，可以通过将向量起点移到坐标原点实现。
向量数量积的概念与性质
向量数量积的性质
结合律：`(a+b)·c=a·c+b·c`
向量的数量积和坐标运算 教师版
第三节 向量的数量积和坐标运算一、基础知识 1.数量积的定义已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为θ，则 a 和 b 的数量积(或内积)⋅=a b a b cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即a ⋅=00，这里要特别注意向量的起点与向量间的夹角.2.平面向量数量积的运算律(1)⋅=⋅a b b a (交换律).(2)⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b )()((结合律).(3)⋅⋅=⋅+⋅a b c a c b c )((分配律).3.向量数量积的应用 1.模长(1)公式：= a a 22推导过程（=⋅= a a a a cos022） (2)坐标运算：=,a x y )(，=+a x y 222.垂直公式：a b a b a b ⊥⇔⋅=⋅︒=cos900)(3.夹角已知两个非零向量 a 和 b ，记=a ，=b ，则AOB θθ0180∠=︒≤≤︒)(，叫做向量a 与b 的夹角.公式：cos cos θθ⋅=⋅⇔=⋅a b a b a b a b4.投影（1）向量 a 在向量 b 方向上的投影为cos ,a ab ，向量 b 在向量 a 方向上的投影为cos , b a b ，其中,a b 为向量 a ， b 的夹角.（2）数量积的几何意义：数量积⋅a b 等于 a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos θ的乘积. 二、课堂练习 1.数量积的定义1．已知向量==a m b (1,),(2,5)，若⊥a b ，则=m ( ) A ．1 B ．31C ．−52D ．25 【答案】C【解答】解：因为⊥a b ， 所以=+=a b m 250， 所以=−m 52，故选：C ．变式1．已知=a (1,1)，=b m (2,)，⊥−a a b ()，则=b ||( )A ．2 BC ．1D ．0【答案】A【解答】解：−=−−a b m (1,1)；⊥−a a b ()；∴−=−+−=a a b m ()110； ∴=m 0；∴=b (2,0)； ∴=b ||2． 故选：A ．变式2．已知=ααa (sin ,cos )，=b (3,1)，且⊥a b ，那么+=απ3sin() ．【答案】±21【解答】解：⊥a b ；∴=+=ααa b 3sin cos 0；∴=ααcos ；∴+=+=ααααcos sin 3sin sin 12222；∴⎩⎪=−⎪⎨⎪⎪=⎧αα2cos 2sin 1或⎩⎪=⎪⎨⎪⎪=−⎧αα2cos 2sin 1；∴+=+=−=−αααπ32442sin()sin 1131或+=−+=απ3442sin()131． 故答案为：±21．2.数量积的应用 2.1模长例1．如图，在∆ABC 中，O 为BC 中点，若=AB 1，=AC 3，<AB ，>=︒AC 60，则=OA || ．【解答】解：如图所示， 根据题意，O 为BC 中点， ∴=+AO AB AC 2()1，=++OA AB AB AC AC 4||(2)1222=+⨯⨯⨯︒+4(1213cos603)122 =413； ∴=OA ||13．变式1．已知向量==a b ||||2，若+=−a b a b |3|||，则+=a b |2|| ． 【答案】2【解答】解：向量==a b ||||2，且+=−a b a b |3|||，∴+=−a b a b (3)()22；∴=−a b 4；∴+=+=++==a b a b a a b b |2|(2)4442222；故答案为：2．变式2．平行六面体ABCDA B C D 1111中，向量AB 、AD 、AA 1两两的夹角均为︒60，且=AB ||1，=AD ||2，=AA ||31，则AC ||1等于 ．【答案】5【解答】解：由平行六面体ABCDA B C D 1111可得：=++AC AB AD AA 11，∴=+++++AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA 22211112222=+++︒⨯+⨯+⨯1232cos60(121323)222=25，∴=AC ||51． 故答案为：5． 2.2夹角例1．已知向量a ，b 满足=a ||1，=b ||2，+=a b |3|5，则a ，b 的夹角为( ) A ．π4B ．π3C ．π32 D ．π43 【答案】D【解答】解：由=a ||1，=b ||2，+=a b |3|5，所以+=++=⨯+⨯⨯⨯+=θa b a a b b (3)9691612cos 25222，化简得=−θ6，解得=−θ2cos ； 又∈θ[0，π]，所以=θπ43， 所以a ，b 的夹角为π43．变式1．若两个非零向量a ，b 满足，+=a b ||2，−=a b ||2，=b ||1，则向量+a b 与b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．π32 D ．π65 【答案】B【解答】解：根据题意，设向量+a b 与b 的夹角为θ， 又由+=a b ||2，−=a b ||2，则有=+−−=a b a b a b 4()()022， 则++===++θa b b a b b a b b a b b ||||||||2cos ()12，则=θπ3，即向量+a b 与b 的夹角为π3； 故选：B ．变式2．在∆ABC 中，=AB (1,3)，=BC 2(1，x )，若∠=︒B 120，则x 的值为( )A．2B ．0 C．2D ．0或2【答案】B【解答】解：在∆ABC 中，=AB (1,3)，=BC 2(1，x )，∠=︒B 120，∴<>===︒AB BC AB BC AB BC 2||||cos ,cos6021， 解得=x 0．∴x 的值为0．故选：B ．变式3．已知向量==+a m b m (1,),(1,2)，若a 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围为 【答案】−∞(,⋃−−2)(2,−3)1【解答】解：向量==+a m b m (1,),(1,2)，若a 与b 的夹角为钝角， 则=++<a b m m (1)20，且a 、b 不共线，即+−≠m m (1)20， 求得<−m 31，且≠−m 2，故选：D ．则实数m 的取值范围为−∞(，⋃−−2)(2，−3)1，故答案为：−∞(，⋃−−2)(2，−3)1．变式4．在二面角−−αβAB 中，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB ，已知==AB AC 2，=BD 4，若=CD 4，则向量DB 与AC 所成的角为 ．【答案】π32 【解答】解：根据题意，设向量DB 与AC 所成的角为θ，则有=++DC DB BA AC ， 则有==++=+++++DC DC DB BA AC DB BA AC DB BA DB AC BA AC ||()()222222222， 又由==AB AC 2，=BD 4，=CD 4，且⊥AC AB ，⊥BD AB ， 则有=+++⨯⨯⨯θ164416242cos ， 解可得=−θ2cos 1，则=θπ32；故答案为：π32． 2.3投影7．已知向量=a (1,2)，=−b (2,1)，=c x y (,)，若+⊥a b c ()，则b 在c 上的投影为( )A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解答】解：向量=a (1,2)，=−b (2,1)，=c x y (,)， 若+⊥a b c ()，∴+=−a b c ()(1，3)(x ，=−+=y x y )30，∴=c (y 3，y )．设b 与c 的夹角为θ，则=−+=−==θθb c y y y b c y 2315||||cos 510||cos ，求得=−−θy y2||cos 2，∴b 在c 上的投影为=−=±−θy b y ||||cos 5()210， 故选：A ．例1．已知向量a ，b 满足=b ||2，a 与b 的夹角为︒60，则b 在a 上的投影是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．−1【答案】A【解答】解：向量a ，b 满足=b ||2，a 与b 的夹角为︒60， 则=︒==a b a b a a 2||||cos60||2||1， 则b 在a 上的投影=a a b||1． 故选：A ．变式1．已知点=−A (1,1)、=B (1,2)、=−C (3,2)，则向量AB 在AC 方向上的投影为( )A ．−53B C ． D ．53【答案】C【解答】解：由已知可得，=AB (2,1)，=−AC (2,1)，∴=⨯−+⨯=−AB AC 2(2)113，=AC ||5， 设AB ，AC 的夹角为θ，则向量AB 在AC 方向上的投影为：===−−θAC AB AB AC 5||||cos 335．故选：C ．变式2．设e 1，e 2为单位向量．且e 1，e 2的夹角为π3，若=+−a xe x e (1)12，∈x [0，1]，=b e 21则向量a 在b 方向上的投影的取值范围是( )A ．2[1，1]B ．[0，2]C ．[0，1]D ．[1，3]【答案】A【解答】解：由题意可得=⨯⨯=πe e 3211cos112，=+−=+a b x x x 22(22)11，=b ||2，则向量a 在b 方向上的投影为=+b a b x ||21． 再根据∈x [0，1]，则∈+x 22[11，1]，即向量a 在b 方向上的投影的取值范围是2[1，1]， 故选：A ．变式3．在∆ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D，已知=AD ，且=−∈λλAB AD AC R 3()1，则AB 在AD 方向上的投影是( )A ．1B ．23 C ．3 D．2【答案】D【解答】解：由=−λAB AD AC 31可得：=+λAD AB AC 31，B ，C ，D 三点共线，故+=λ311，即=λ32．∴=+AD AB AC 3321． 以A 为原点，以AB 为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D ， 设B m (,0)，C n ()，由=+AD AB AC 3321得：=⎪⎪=+⎧m n 33321，解得=m 3，=n 3．故B (3,0)，∴AB 在AD上的投影为︒=AB ||cos30． 故选：D ．三、课后练习1．已知向量=a m (,1)，=b (3,3)，且−⊥a b b ()，则=m ( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解答】解：−=−−a b m (3,2)；−⊥a b b ()；∴−=−−=a b b m ()3(3)60； ∴=m 5．故选：C ．2．若=−a (3,1)，=b t (1,)，且+⊥a b a (2)，则=t ． 【答案】23【解答】解：由题意计算+=−+a b t 2(7,2)， 又+⊥a b a (2)， 则+=a b a (2)0，即⨯+−⨯−+=t 37(1)(2)0， 解得=t 23． 故答案为：23．3．已知平面向量a ，b ，c 满足=a ||3，=b ||2，a ，b 的夹角等于π6，且−−=a c b c ()()0，则c ||的取值范围是 ．【答案】 【解答】解：因为−−=a c b c ()()0，即有=+−=+−⨯=+−ααπc a b c a b a b c a b c 6()||||cos 32cos||||cos 32，其中α为+a b 与c的夹角，又因为+=++=++⨯=πa b a b a b 6()234232cos 13222，所以+=a b ||13，所以=−αc c 13||cos 32，解得=+αc c 13||cos 32，因为απ0，−α1cos 1，所以+c c 13||132，即有−+c c ||13||302，解得−+c 2||131131，故答案为−2[1，2]1． 4．已知平面向量a b ,满足==a b ||23,||4，且a b ,的夹角为︒30，则( ) A ．⊥+a a b () B ．⊥+b a b ()C ．⊥−b a b ()D ．⊥−a a b ()【答案】D【解答】解：平面向量a b ,满足==a b ||23,||4，且a b ,的夹角为︒30，∴对于+=+=+⨯⨯︒=≠A a a b a a b :()(23)234cos3024022； 对于+=+=+⨯⨯︒=≠B b a b b a b :()4423cos3028022； 对于−=−=−⨯⨯︒=≠C b a b b a b :()4423cos302022； 对于−=−=−⨯⨯︒=D a a b a a b :()(23)234cos30022；∴⊥−a a b () 故选：D ．5．向量+=−a b a b ||3||，且+⊥−a b a b ()()，则b 与+a b 2所成角的余弦值是( )A ．7B C D ．0【答案】B 【解答】解：+⊥−a b a b ()()，∴+−=−=a b a b a b ()()022，即=a b ||||．向量+=−a b a b ||3||，∴++=a a b b 2322−+a a b b 6322，即+=a b a b 422，∴=a a b 242，∴+=++=a b a a b b a |2|447||22，∴+<+>===+a b a b b a b b a b a 7|||||2|cos ,2(2)2||2722． 故选：B ．6．已知平面上两个力的合力F 的大小为N 8，其中F 1的大小为N 10，若F 与F 2垂直，则F 1，F 2夹角的余弦值为( )A ．−54B ．54 C ．−53D ．53【答案】C【解答】解：如图，根据题意，在∆Rt ACD 中，=AC 8，=AD 10，∠=︒ACD 90，∴∠===CAD 105sin 63，设F 1，F 2的夹角为θ，则=∠+︒=−∠=−θCAD CAD 5cos cos(90)sin 3．故选：C ．7．已知=a ||8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为π3时，a 在e 方向上的投影为( )A ．B ．4C ．D ．+8【答案】B【解答】解：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即： ==⨯⨯=πa e a e 32||||cos8141故选：B ．8．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若=+a e e 312，=b e 21，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A ．21 B ．25 C ．−23D ．−2【答案】B【解答】解：由题意可得，==πe e e e 32||||cos 111212，=+a e e 312，=b e 21，∴=+=+=a b e e e e e e (3)(2)2651211122，=b ||2， 则向量a 在b 方向上的投影为=b a b ||25． 故选：B ．9．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为︒60，若=+a e e 212，则a 在−a e 21方向上的投影为 ．【答案】2 【解答】解：=+a e e 212，∴−=a e e 212，又向量e 1，e 2为单位向量且夹角为︒60，∴a 在−a e 21方向上的投影为： −==+=⨯⨯⨯︒+=−+a e e e e e a a e e e e |2|||2||211cos6012(2)(2)1212211222．。
高中数学向量的数量积与向量积
高中数学向量的数量积与向量积高中数学中，向量是一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
向量的数量积和向量积是向量运算中的两个重要概念，本文将重点介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、向量的数量积数量积，也称为内积或点积，是两个向量的一种运算，通常用点号（·）表示。
设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积的计算公式为：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角。
从计算公式可以看出，数量积的结果是一个标量（即一个实数），而不是一个向量。
数量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a·b = b·a，即交换律成立。
2. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2，即自身与自身的数量积等于向量的模的平方。
3. 若两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则称这两个向量垂直或正交。
4. 若两个非零向量的数量积为正数，则它们的夹角为锐角；若数量积为负数，则夹角为钝角。
数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，可以利用数量积来判断两个向量是否垂直；在物理学中，可以利用数量积计算功、力等物理量。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量的一种运算，通常用叉号（×）表示。
设有两个向量a和b，它们的向量积表示为a×b。
向量积的计算公式为：a×b = |a| * |b| * sinθ * n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模（长度），θ表示a和b之间的夹角，n为一个垂直于a和b所在平面的单位向量。
向量积的性质如下：1. 对于任意向量a和b，有a×b = -b×a，即对换律成立。
2. 对于任意向量a，有a×a = 0，即自身与自身的向量积等于零向量。
3. 向量积不满足交换律，即a×b ≠ b×a。
向量数量积的坐标表示
05
向量数量积的扩展
向量点乘的坐标表示
总结词
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。
详细描述
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$，向量$mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
在工程中的应用
机械系统分析
向量数量积可以用于分析机械系 统的运动状态，例如分析机器人 的关节运动、车辆的行驶轨迹等。
控制系统分析
向量数量积可以用于控制系统的 分析和设计，例如分析系统的稳 定性、设计控制算法等。
信号处理
在信号处理中，向量数量积可以 用于分析信号的频率和相位，例 如进行频谱分析和滤波器设计等。
$mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (a_1(b_2c_3 - b_3c_2), a_2(b_3c_1 - b_1c_3), a_3(b_1c_2 - b_2c_1))$。
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mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A}
+
mathbf{பைடு நூலகம்}) cdot mathbf{C} = mathbf{A}
cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot
mathbf{C}$。
数量积为0当且仅当两个向量垂直，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$当且仅当 $mathbf{A} perp mathbf{B}$。
向量的数量积坐标运算
向量的数量积坐标运算全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量的数量积，又称点积或内积，是向量运算中的一种重要的运算方式。
在向量的数量积坐标运算中，我们可以利用向量的坐标来进行计算，从而得到两个向量之间的数量积。
本文将介绍向量的数量积的基本概念、性质和计算方法，以及向量的数量积坐标运算的具体过程和应用场景。
1. 向量的数量积的基本概念向量的数量积是两个向量之间的一种运算方式，用于描述两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a和b，它们的数量积记作a·b，表示两个向量之间的数量积。
数量积的计算公式如下：a·b = |a| |b| cosθ|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
从公式可以看出，数量积的值与两个向量的模长和夹角有关，两个向量夹角越小，数量积的值越大；夹角为锐角时，数量积为正；夹角为直角时，数量积为0；夹角为钝角时，数量积为负。
2. 向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）数量积为0的条件：若a·b = 0，则a与b垂直从以上性质可以看出，数量积是满足交换律和分配律的，并且两个垂直向量之间的数量积为0。
3. 向量的数量积坐标运算的具体过程在向量的数量积坐标运算中，我们通常将向量表示为坐标形式，然后利用坐标形式进行计算。
设有两个向量a=(x1, y1)和b=(x2, y2)，它们之间的数量积可以表示为：a·b = x1x2 + y1y2通过将向量拆分为横坐标和纵坐标，我们可以将数量积的计算简化为坐标之间的乘法和加法运算。
这种坐标运算的方法不仅简单直观，而且具有很高的可操作性，适用于各种类型的数学和物理问题的求解。
高B数学必修四课件向量数量积的坐标运算与量公式
02
坐标运算的基本原理与方法
坐标系的选择与建立
直角坐标系
在平面上选择两个互相垂直的数轴， 分别作为x轴和y轴，建立直角坐标系 。
极坐标系
在平面上选择一个点作为极点，以极 点为起点引出一条射线作为极轴，通 过极角和极径确定点的位置，建立极 坐标系。
向量的坐标表示法
向量的坐标
在直角坐标系中，一个向量可以用其终点坐标减去起点坐标得到，即向量 a=(x2-x1, y2-y1)。
夹角余弦值
数量积$vec{a} cdot vec{b}$除以两向量模的乘积等于两向量夹角的余弦值，即$cos theta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$。当$theta = 90^circ$时，两向量垂直；当$theta = 0^circ$时，两向量同向；当$theta = 180^circ$时，两向量反向。
量公式在解决实际问题中的应用
01
02
03
物理中的应用
在物理中，向量数量积的 坐标运算公式可以用来计 算力、速度等物理量的合 成和分解。
工程中的应用
在工程中，向量数量积的 坐标运算公式可以用来计 算机器人的路径规划、物 体的碰撞检测等问题。
数学中的应用
在数学中，向量数量积的 坐标运算公式可以用来解 决解析几何、线性代数等 领域的问题。
计算向量的夹角
通过向量数量积可以计算两个非零向量之间的夹角，即 $cos theta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|}$。
向量在轴上的投影
向量在某一坐标轴上的投影长度可以通过向量与该坐标轴单位向量的 数量积得到。
平面向量的数量积与坐标
平面向量的数量积与坐标平面向量是我们在平面上研究问题时经常使用的工具。
在平面向量中，有一个重要的运算叫做数量积，也称为点积或内积。
数量积可以帮助我们计算向量的长度，夹角以及方向等信息。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积以及与坐标之间的关系。
1. 数量积的定义数量积（点积）是指两个向量相乘后对应分量相加的运算。
设有两个平面向量A和B，它们的数量积（记作A·B或AB）定义为：A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
2. 数量积的坐标表示通常情况下，我们用坐标来表示平面向量。
设有向量A = (x₁, y₁)和向量B = (x₂, y₂)，那么A·B的计算可以通过坐标之间的运算得到。
根据数量积的定义，我们有：A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
这个式子就是平面向量的数量积的坐标表示。
3. 数量积的性质数量积具有以下几个性质：- 交换律：A·B = B·A，即数量积的结果与顺序无关。
- 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C，即对一个向量的和进行数量积的结果等于对每个向量进行数量积后再相加。
- 数量积的零向量：A·0 = 0，即任何向量与零向量的数量积都等于零。
- 向量与自身的数量积：A·A = |A|²，即向量与自身的数量积等于该向量的模长的平方。
4. 数量积与夹角通过数量积的定义，我们可以得到向量A·B的形式为：A·B = |A| |B| cosθ。
根据三角函数的定义，我们可以得到cosθ = A·B / (|A| |B|)。
由此可见，向量的数量积与其夹角是密切相关的。
通过求解数量积，我们可以计算向量的夹角。
如果两个向量的数量积为正，则夹角为锐角；如果数量积为负，则夹角为钝角；如果数量积为零，则夹角为直角。
平面向量的数量积和叉积的坐标变换
平面向量的数量积和叉积的坐标变换在学习平面向量的时候，数量积和叉积是两个重要的概念。
它们在向量运算和几何应用中有着广泛的应用。
而理解坐标变换在数量积和叉积中的作用，可以帮助我们更好地应用这些概念。
在本文中，将介绍平面向量的数量积和叉积以及它们的坐标变换性质。
一、数量积的定义和坐标表示数量积，又称点积或内积，是平面向量的一种运算。
对于平面向量a和a，它们的数量积定义为：a·a = |a| |a| cos a，其中|a|和|a|分别表示向量a和a的模，a表示向量a和a之间的夹角。
在坐标表示中，对于平面向量a = (a₁, a₁)和a = (a₂, a₂)，它们的数量积可以表示为：a·a = a₁a₂ + a₁a₂。
由此可见，数量积的坐标表示就是两个向量坐标的对应分量之积的和。
二、数量积的性质和应用1. 数量积的交换律：a·a = a·a。
这意味着数量积满足交换律，即两个向量的数量积与它们的顺序无关。
2. 数量积的分配律：a·(a + a) = a·a + a·a。
这意味着数量积满足分配律，即向量与向量之和的数量积等于分别与这两个向量的数量积的和。
3. 应用：数量积可以用来计算向量的夹角、判断向量的正交性以及计算向量在某个方向上的投影等。
它在几何、物理等领域中有着广泛的应用。
三、叉积的定义和坐标表示叉积，又称矢积或向量积，是平面向量的一种运算。
对于平面向量a和a，它们的叉积定义为：a×a = |a| |a| sin a a，其中|a|和|a|分别表示向量a和a的模，a表示向量a和a之间的夹角，a为垂直于a和a 的单位向量。
在坐标表示中，对于平面向量a = (a₁, a₁)和a = (a₂, a₂)，它们的叉积可以表示为：a×a = a₁a₂ - a₂a₁。
由此可见，叉积的坐标表示可以通过计算两个向量坐标的对应分量之积的差来得到。
高考数学中的向量积及其坐标计算技巧
高考数学中的向量积及其坐标计算技巧向量积是高中数学中的重要内容，也是高考数学中常见的考点之一。
在三维空间中，向量积可以表示两个向量之间的一种运算关系，常用于计算面积、判定向量之间的垂直关系等。
本文将着重介绍向量积的坐标计算技巧。
1. 向量积的定义和性质向量积又称叉积，表示为$ \vec{a}\times\vec{b} $，其定义为：$ \vec{a}\times\vec{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} $向量积有以下性质：(1) $ \vec{a}\times\vec{b} $垂直于$ \vec{a} $和$ \vec{b} $；(2) 若$ \theta $为$ \vec{a} $和$ \vec{b} $之间的夹角，则$ |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta $；(3) 若$ \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b} $，则$ |\vec{c}| $表示以$ \vec{a} $和$ \vec{b} $为相邻边所构成的平行四边形的面积；(4) 若$ \vec{a}\cdot\vec{b}=0 $，则$ \vec{a} $和$ \vec{b} $垂直；(5)$(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times \vec{c}$。
2. 向量积的坐标计算向量积的坐标计算是求出向量积的各个分量，需要掌握一些技巧。
(1) 将$ \vec{a} $和$ \vec{b} $的坐标写成行向量：$ \vec{a}=\begin{bmatrix}a_1& a_2&a_3\end{bmatrix},\vec{b}=\begin{bmatrix}b_1& b_2&b_3\end{bmatrix} $(2) 将向量积的结果写成列向量：$ \vec{a}\times\vec{b} = \begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}^T $(3) 采用交错矩阵（也称反对称矩阵）的方法，将向量积的坐标计算转化为矩阵乘法的形式：$ \vec{a}\times\vec{b} = \begin{bmatrix} 0& -a_3& a_2 \\ a_3& 0& -a_1 \\ -a_2& a_1& 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\b_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0& -b_3& b_2 \\ b_3& 0& -b_1 \\ -b_2& b_1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix} $上述方法中，$ \vec{a}\times\vec{b} $的坐标由矩阵$ A $和列向量$ \vec{b} $的乘积得到，$ A $的元素与$ \vec{a} $的坐标有关。
向量的数量积与向量的投影
向量的数量积与向量的投影向量的数量积（又称内积、点积）和向量的投影是线性代数中重要的概念。
它们在物理学、计算机图形学等应用领域中有着广泛的应用。
本文将详细介绍向量的数量积与向量的投影，并探讨它们的性质和应用。
1. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积运算，结果为一个实数。
假设有两个向量A和B，它们的数量积可以表示为A·B，即A和B的数量积。
计算数量积的方法可以有几种，其中最常见的是使用向量的坐标表示法进行计算。
A·B = |A| |B| cosθ其中，A·B表示向量A和向量B的数量积，|A|和|B|表示向量A和B的长度（或模），θ表示向量A和B之间夹角的余弦值。
这个公式表明，两个向量的数量积等于它们的长度乘积与夹角余弦值的乘积。
向量的数量积具有以下重要性质：- 若A·B = 0，则向量A和向量B垂直（即夹角为90度）。
- 若A·B > 0，则向量A和向量B夹角小于90度，即两向量之间的夹角为锐角。
- 若A·B < 0，则向量A和向量B夹角大于90度，即两向量之间的夹角为钝角。
2. 向量的投影向量的投影是指一个向量在另一个向量上所形成的投影，它也是一个向量。
掌握向量的投影运算可以对向量进行分解和计算，使得复杂的向量运算变得简单易懂。
假设有一个向量A和一个非零向量B，那么向量A在向量B上的投影记作projB A。
计算向量A在向量B上的投影可以使用以下公式：projB A = |A| cosθ * n其中，projB A表示向量A在向量B上的投影，|A|和θ的含义同上，n表示向量B的单位向量。
向量的投影具有以下性质：- 向量A在向量B上的投影是A与B的数量积与B的单位向量所得的乘积。
- A与它在B上的投影之间的夹角为90度。
- 向量A在向量B上的投影的长度等于A在向量B上的投影的模。
3. 应用举例向量的数量积和投影在物理学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
向量数量积的坐标表示及应用课件-2024学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，画出知识框架图.
平面向量数量 积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示 平面向量模的坐标表示 平面向量垂直、夹角的坐标表示
cos a
| a || b | x12 y12 x22 y22
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
向量数量积的坐标表示：a·b＝x1x2＋y1y2；
向量a＝(x，y)的模的坐标表示：| a | x2 y2；
向量夹角的坐标表示：cos a, b a b
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点：向量数量积的坐标表示
问题：已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). （1）若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量， 则a，b如何用i，j表示？
a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. （2）怎样用a，b的坐标表示a·b？
依题意有：i·i＝|i|2＝1，j·j＝|j|2＝1，i·j＝0， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j·j＝x1x2＋y1y2.
x1x2 y1 y2
(| a || b | 0).
| a || b | x12 y12 x22 y22
特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 已知a＝(3，2)，b=(1，－1)，求向量a与b的夹角的余弦值. 解：设向量a与b的夹角为θ，
cos a b 31 2 (1) 26 .
| n | 12 (2)2 5
学习目标
新课讲授
课堂总结
例3 用向量方法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AC2+BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋DA2.
《数量积坐标表示》课件
欢迎参加本次数量积坐标表示的PPT课件！在本课程中，我们将深入探讨用。
数量积的定义和概念
数量积，也被称为点积或内积，是一种向量间的运算。它衡量了两个向量之 间的夹角以及它们之间的相关性。
通过数量积，我们可以判断两个向量是否垂直、平行或任意夹角，从而在解 决实际问题时提供更多的信息。
数量积在几何中的应用
1
求投影
通过数量积，我们可以求一个向量在另一个向量上的投影。这对于计算几何中的 线段、直线和平面的投影非常有用。
2
计算面积
数量积还可以用于计算两个向量张成的平行四边形的面积。这在计算多边形面积 和确定三维物体的表面积时非常有用。
3
判断共线性
通过判断向量的数量积是否为零，我们可以确定它们的共线性。共线的向量位于 同一直线上。
数量积的性质
交换律
数量积满足交换律，即$A \cdot B = B \cdot A$。
分配律
数量积还满足分配律，即$(A + B) \cdot C = (A \cdot C) + (B \cdot C)$。
语法律
如果两个向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
应用实例
数量积在许多实际问题中都有广泛的应用。它可以用于计算向量的长度、判 断向量的夹角以及解决几何问题。例如，在物理学中，我们可以使用数量积 来计算物体的功和功率。
数量积的坐标表示
将向量表示为坐标形式有助于我们进行数量积的计算和分析。每个向量都可以用一组有序的数字（坐标） 来表示。
对于二维空间中的向量，我们使用$x$和$y$坐标表示；对于三维空间中的向量，我们使用$x$、$y$和 $z$坐标表示。
坐标表示的计算方法
通过坐标表示的方法，我们可以使用乘法和加法运算来计算两个向量之间的 数量积。 计算两个向量的数量积主要涉及将它们的对应坐标相乘，然后将结果相加。
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微专题37 向量的数量积——坐标法在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。
一、基础知识 1、向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量12,e e 不共线，则对于平面上的任一向量a ，存在,x y R ∈，使得12a xe ye =+，且这种表示唯一。
其中()12,e e 称为平面向量的一组基底，而有序实数对(),x y 称为在()12,e e 基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底,i j ，在方向上它们分别与,x y 轴的正方向同向，在长度上，1i j ==，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量a ，均有a xi y j =+，其坐标为(),x y ，从图上可观察到恰好是将向量a 起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =-- （可记为“终”-“起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。
另外,,A B AB 三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设()()1122,,,a x y b x y ==，则有： （1）加减运算：()1212,a b x x y y ±=±± （2）数乘运算：()11,a x y λλλ= （3）数量积运算：1212a b x x y y ⋅=+ （4）向量的模长：2a x =+3、向量位置关系的判定： （1）平行：1221a b x y x y ⇔=∥（2）垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= （3）向量夹角余弦值：2cos ,a b a b a bx ⋅==⋅+4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。
但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。
如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决（1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形（2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形（3）具备特殊角度的图形（30,45,60,120等）二、典型例题：例1：在边长为1的正三角形ABC中，设2,3BC BD CA CE==，则AD BE⋅=__________思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系：11,,0,,022A B C⎛⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下面求E坐标：令()11,,,,222E x y CE x y CA⎛⎛⎫∴=-=-⎪⎝⎭⎝⎭由3CA CE=可得：111322332x xyy⎧⎛⎫⎧-=-=⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩13E⎛∴⎝⎭350,,,266AD BE⎛⎫⎛∴=-=⎪⎝⎭⎝⎭14AD BE∴⋅=-答案：14AD BE⋅=-例2：（2012江苏，9）如图，在矩形ABCD中，2AB BC==，点E为BC中点，点F在边CD上，若2AB AF⋅=AE BF⋅的值是____________思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解，2=(2,021AB AF x x ∴⋅==⇒= ()1,2F ∴，)E()()2,1,1AE BF ∴==-212AE BF ∴⋅=-+=答案：2AE BF ⋅=例3：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________思路：本题抓住60BAD ∠=这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由2AB =，1AD =可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以AB 为x轴，过A 的垂线作为y 轴可得：()152,0,,22BD C ⎛⎛⎝⎝⎭57,,4488M P ⎛⎛⎝⎭⎝⎭73313,,,8888AP CP ⎛⎫⎛⎫∴==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7131788888AP CP ⎛⎫⎛⎫∴⋅=⋅-+⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 答案：178-例4：已知直角梯形ABCD 中，,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠===∥是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为_____________思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出3PA PB +的图形。
所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出B 坐标，可先设高为h 。
解：以,AD CD 为轴建立直角坐标系，设梯形高为h则()()2,0,1,A B h ，设动点()0,P y ，则()()2,,1,PA y PB h y =-=-()35,34PA PB h y ∴+=-(355PA PB ∴+=≥ （等号成立：3344h y y h =⇒=） 答案：5小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。
在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。
要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例5：给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．思路：由3,2,3OB OC OB OC ==⋅=可计算出,OB OC 的夹角60BOC ∠=，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由4OA =可知A 在以O 为圆心，半径4r =的圆上。
()(3,0,B C ，BC =若要求ABCS的最大值，只需找到A 到BC 的最大值，数形结合可得距离的最大值为O BC d r -+，进而可求出ABCS 的最大值。
解：()(3,0,B C ):32BC y x ∴=--即20y +-=()max 4A BC O BC d d r --∴=+=+114222ABCA BC Sd BC -⎛⎫∴=⋅⋅=+=+⎪⎭答案：例6：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______ 思路：直角三角形直角边已知，且P 为图形内动点，所求MP 不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。
设(),P x y ，从而可得1524AN MP x ⋅=-+，而P 所在范围是一块区域，所以联想到用线性规划求解 解：以,AC BC 为轴建立直角坐标系(()11,1,0,,,0222A B M N ⎛⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭，设(),P x y11,3,,222AN MP xy ⎛⎛⎫∴=-=--⎪⎝⎝⎭111522224AN MP x y x ⎛⎫∴⋅=---=-+ ⎪⎝⎭⎭ 数形结合可得：77,44AN MP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦答案：77,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例7：平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=-==，则a b ⋅的最小值是______ 思路：本题条件中有1e =，而1,2a e b e ⋅=⋅=可利用向量数量积的投影定义得到,a b 在e 上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e 的起点为原点，所在直线为x 轴建立坐标系，则,a b 起点在原点，终点分别在1,2x x ==的直线上，从而,a b 可坐标化，再求出a b ⋅的最值即可解：如图建系可得：()()1,,2,a a b b == 由2a b -=()223ab=⇒-=而2a b ab ⋅=+，由轮换对称式不妨设a b >，则a b b a -=⇒=-(225522244a b a a a a ⎛∴⋅=+-=-+=-+≥ ⎝⎭()min 54a b ∴⋅=答案：54例8：已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .思路：本题由于l 为过M 的任一直线，所以:,:A P A B A Q A C的值不确定，从而不容易利用三边向量将,BQ CP 进行表示，所以考虑依靠等边三角形的特点，建立直角坐标系，从而,,,A B C M 坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l 方程，与,AB AC 方程联立解出,P Q 坐标，从而BQ CP ⋅可解出最大值解：以,BC AM 为轴建立直角坐标系()()(1,0,1,0,,3B C A M ⎛- ⎝⎭设直线:3l y kx =+由()()(1,0,1,0,B C A -可得：)):1,:1AB y x AC y y x =+==-):31y kx P y x ⎧=+⎪∴⎨⎪=+⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩):31y kx Q y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5333153,,k k BQ CP⎛⎫⎛++ ⎪ ∴==()()22222257593162239333k k k BQ CP k k k --+∴⋅=+=+=--- ()222226221618401406333333k k k k k ⎛⎫+-+⎛⎫===⋅+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 若直线与,AB AC相交，则33k ⎡∈-⎢⎣⎦ 21401402266333039BQ CP k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-≤-=-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 答案：229-例9：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是（ ）A. 1⎡-+⎣B. 11⎡---+⎣C. 1122⎡--+⎢⎣ D.1122⎡-+⎢⎣思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以O 为坐标原点如图建系：()()0,0,1,1O A --，确定,Q R 点的坐标是一个难点，观察两个点之间的关系，无论PQR 如何转动，23ROQ π∠=，如何从这个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），设()cos ,sin R θθ，从而[)()22cos ,sin 0,233Q ππθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，用θ的三角函数将两点坐标表示出来，从而可求出AQ OR ⋅的范围yx解：22cos 1,sin 133AQ ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()cos ,sin OR θθ=22cos cos 1sin sin 133AQ OR ππθθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴⋅=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11=cos cos 1sin sin cos 12222θθθθθθ⎡⎤⎡⎤-+++--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2211=cos cos cos sin cos sin 2222θθθθθθθθ-++--+11=sin cos 224πθθθ⎛⎫-++=-++ ⎪⎝⎭ [)0,2θπ∈ 1122AQ OR ⎡∴⋅∈---+⎢⎣答案：选C小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的23ROQ π∠=），可依靠参数的几何意义将条件充分的利用起来。