中职数学基础模块下册《直线、平面垂直的判定与性质》word教案
直线平面垂直的判定及其性质教学案
直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果直线l 和平面α内的__________一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α垂直，记作__________．(2)直线与平面垂直的判定方法： ①判定定理：一条直线与一个平面内的两条__________都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．②结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒__________.(3)直线与平面垂直的性质：①由直线和平面垂直的定义知：直线垂直于平面内的__________直线． ②性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒__________.③垂直于同一直线的两平面平行，即a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.(4)斜线与平面所成的角．斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做斜线和平面所成的角． 2．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义：两平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条__________，那么这两个平面互相垂直．简述为“线面垂直，则面面垂直”，记为：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βl ⊂α⇒__________. (3)平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．用符号可表示为：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l m ⊂αm ⊥l⇒__________.1．“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，则AC 的长为( )．A.2aB.22aC.32a D ．a3．(2012北京模拟)已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )．A．CD∥平面PAF B．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PAB D．CF⊥平面PAD4．设α，β，γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．5．在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.一、直线与平面垂直的判定与性质【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.方法提炼证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用面面垂直的性质定理；(3)利用结论：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；(4)利用结论：a⊥α，α∥β⇒a⊥β.请做演练巩固提升1,3二、平面与平面垂直的判定与性质【例2】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA .(1)求证：平面EFG ⊥平面PDC ；(2)求三棱锥P MAB 与四棱锥P ABCD 的体积之比． 方法提炼1．证明平面与平面垂直，主要方法是判定定理，通过证明线面垂直来实现，从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决．2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想，其中线线垂直是最基本的，在转化过程中起穿针引线的作用，线面垂直是纽带，可以把线线垂直与面面垂直联系起来．请做演练巩固提升2要善于挖掘图形中存在的关系及添加辅助线【典例】 (12分)(2012课标全国高考)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 规范解答：(1)由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2分)又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°， 所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .(4分) 又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(6分) (2)设棱锥B DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.(8分)又三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V ＝1，(10分) 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.(12分)答题指导：解决垂直问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注： (1)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面； (2)对几何体体积、面积及线面角的计算不准确；(3)不善于挖掘图形中存在的关系，缺乏通过添加辅助线解题的能力．另外要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达．1．已知α，β为不重合的两个平面，直线m α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．下列命题中错误的是( )．A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF ＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.4．(2012北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.图1 图2(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)任意l⊥α(2)①相交直线②b⊥α(3)①任意一条②a∥b2．(1)直二面角(2)垂线α⊥β(3)m⊥β基础自测1．B2．D 解析：取BD的中点E，连接AE，EC，则BD⊥AE，BD⊥EC，∠AEC是直二面角的平面角，即∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝EC＝2a2，于是AC＝AE2＋EC2＝a.3．D 解析：A中，∵CD∥AF，AF⊂面PAF，CD⊄面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.4．①②解析：③中l∥α也满足；④中α与β可能相交．5．证明：连接A1E，EC，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.设AD＝x，则BD＝22－x，∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝ 2.∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.考点探究突破【例1】证明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.又AC⊥CD，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD.而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.①又由∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，得PA＝AC.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD.∴AE⊥PD.②由①②，得PD⊥平面ABE.【例2】 (1)证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，得PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.所以BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，因此BC ⊥平面PDC .在△PBC 中，因为G ，F 分别为PB ，PC 的中点， 所以GF ∥BC ，因此GF ⊥平面PDC . 又GF ⊂平面EFG ，所以平面EFG ⊥平面PDC .(2)解：因为PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1， 则PD ＝AD ＝2，所以V P ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PD ＝83.由于DA ⊥面MAB ，且PD ∥MA ，所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离，V P MAB ＝13×12×1×2×2＝23，所以V P MAB ∶V P ABCD ＝1∶4. 演练巩固提升1．A 解析：根据面面垂直的判定定理可知若m ⊂α，m ⊥β⇒α⊥β，反之则不一定成立．2．D 解析：对于命题A ，在平面α内存在直线l 平行于平面α与平面β的交线，则l 平行于平面β，故命题A 正确．对于命题B ，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B 正确．对于命题C ，设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，在平面γ内取一点P 不在l 上，过P 作直线a ，b ，使a ⊥m ，b ⊥n .∵γ⊥α，a ⊥m ，则a ⊥α，∴a ⊥l ，同理有b ⊥l .又a ∩b ＝P ，a ⊂γ，b ⊂γ， ∴l ⊥γ.故命题C 正确．对于命题D ，设α∩β＝l ，则l ⊂α，但l ⊂β. 故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D 错误． 3．证明：(1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形． 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形． 所以CF ⊥EG .所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.4．解：(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP. 所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
直线、平面垂直的判定及其性质教案
教案学生姓名 _______ 科目______ 年级_______ 编号_____授课老师______ 授课时间___________上课日期__________ 总课时 ______ 本次课时_____ 剩余课时______教学重难点：1、直线与平面垂直（1）定义（2）线面垂直的判定定理（2）线面垂直的性质定理2、平面与平面垂直（1）定义（2）面面垂直的判定定理（3）面面垂直的性质定理教学过程(内容)：1、课前基础知识梳理，（问答式、填空式、回顾式）；2、学生自行完成基础自测环节，旨在检验基础知识应用情况；3、教师进行课堂考点讲解，使学生明确考点，有的放矢；4、考题演练，难度系数较第二环节高，可检验本次课教学情况；作业：1、本节所学课后务必再多加练习以期全部掌握；2、重在熟练解题思路、掌握解题模式、体会相关思想方法、习得突破口技能。
3、课时作业（四十一）课堂反馈：家长反馈意见：学生签字：家长签字：人的一生会经历风风雨雨，不是每一件事都由我们所控制，有些事的结果甚至会出乎我们的意料。
无论结果怎样，这对我们都不是最重要的，重要的是我们曾为它而经历过、拼搏过，只要有这个过程，我们就不会后悔。
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 知识梳理1、直线和平面垂直定义 线面垂直的判定定理线面垂直的性质定理 线 面 垂 直a α∀⊂，有l a ⊥ 记作: l α⊥ ,,l a lb a b O l a b αα⊥⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⎭I 即：线线垂直⇒线面垂直 ,//a b a b αα⊥⊥⇒ 即：线面垂直⇒线线平行2、平面与平面垂直定义 面面垂直的判定定理 面面垂直的性质定理 面面垂直如果两个平面所成的二面角是直二面角, 我们就说这两个平面互相垂直。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
即：线面垂直⇒面面垂直 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
语文版中职数学基础模块下册9.3《直线、平面垂直的判定与性质》word教案
A．平行B．异面C．不相交D．相交或异面
3.四面体ABCD中，E、F、G分别是棱BC、CD、DA的中点.
求证：GF//平面ABC；
四.课堂总结
1、通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2、通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？
3、本节课蕴含哪些数学思想？
4、通过本节课的学习，你还有哪些疑惑。
五.课外作业
1、《教与学新方案》P105 7\8\9
学生口答
学生小结
教师补充
（2）直线和平面的三种位置关系下它们的交点个数情况是怎样的？
（3）是不是一条直线只要和一个平面内的一条直线平行，这条直线就会和这个平面平行？
（4）一条直线和一个平面平行后，这条直线就会和这个平面内的每一条直线都平行？
2．思考并完成下列问题.
（1）指出下列图形的画法是否合理，不合理的修正过来
直线在平面内直线和平面相交
（2）直线 在平面 外是指直线和平面的_________________位置关系.
（3）判断下列命题的正确与否错误的说明理由.
如果直线 平行于平面 内的无数条直线，则 ；
若直线 在平面 外，则 ；
若直线 ，则 ；
若直线 ，那么直线 平行于平面 内的无数条直线.
南通工贸技师学院
教学内容、方法和过程
附记
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教案首页
授课
日期
班级
16高造价
课题：§9.3直线与平面的位置关系
教学目的要求：
理解直线与平面平行的定义；了解直线与平面的位置关系；能够正确画出直线与平面各种位置关系的图形；理解并掌握直线与平行平面的判定定理。
直线与平面垂直的判定(教学设计)
教学设计直线与平面垂直的判定一．教材分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直关系转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
二．学情分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线〔共面或异面〕互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论〞的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。
三．教学目标根据新课标要求和和教学内容的构造特征，学生获得知识、技能、方法及情感、态度、价值观等方面的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：〔1〕使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；〔2〕使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；〔3〕引导学生学会观察、发现问题、提炼结论，使他们在直观感知，操作确认的根底上学会归纳、概括结论。
〔1〕通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；〔2〕通过学生动手实践，亲身经历数学知识的形成过程，体验探究的乐趣，增强学习数学的兴趣。
培养学生学会从“感性认识〞到“理性认识〞过程中获取新知。
培养学生认真参与积极交流的主观意识；勇于探索新知的精神。
渗透由具体到抽象的思想及事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
四．教学重点、难点依据新课标要求及本节课在高中数学中的地位和作用确定以下重点和难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：直线与平面垂直定义的正确理解；判定定理的探究和线线垂直与线面垂直关系的灵活相互转化。
五．教法和学法教法：讲授法；探究法；多媒体辅助教学法。
学法：本节课注重让学生认真观察分析、积极思考、主动探索、合作交流，尽可能增加学生参与课堂的时间；通过练习使学生稳固知识，熟练应用知识解决简单问题。
六．教学环境和教学用具教学环境：多媒体教室；教学用具：利用计算机多媒体课件辅助教学，黑板、三角板，自制三角形纸片，正方体模型，课本〔表示平面、书脊表示直线〕。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面垂直的概念。
2. 让学生掌握直线与平面垂直的判定方法。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 直线与平面垂直的定义。
2. 直线与平面垂直的判定方法。
3. 直线与平面垂直的性质。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面垂直的判定方法。
2. 教学难点：如何运用判定方法判断直线与平面是否垂直。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线与平面垂直的定义、判定方法和性质。
2. 利用几何模型和实物道具，直观展示直线与平面垂直的关系。
3. 开展小组讨论，让学生互相交流、合作解决问题。
4. 布置适量练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾直线、平面垂直的相关概念。
2. 讲解直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直是指直线在平面上的投影为一点。
3. 讲解直线与平面垂直的判定方法：（1）利用垂直线段判定法：若直线与平面内一条线段垂直，则该直线与平面垂直。
（2）利用垂线判定法：若直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直。
4. 讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的线段长度相等。
（2）直线与平面垂直的线段构成的角为直角。
5. 课堂练习：让学生运用判定方法判断给出的直线与平面是否垂直。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
7. 布置作业：布置一些有关直线与平面垂直的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对直线与平面垂直的定义、判定方法和性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时是否能灵活运用所学知识，判断其运用能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作与交流能力。
七、教学反馈：1. 收集学生作业，分析其对直线与平面垂直知识的掌握情况。
2. 听取学生对教学内容的建议和意见，不断调整教学方法。
直线与平面垂直的判定简略教案
直线与平面垂直的判定简略教案一、教学目标1. 理解直线与平面垂直的概念和性质；2. 能够判定给定的直线与平面是否垂直；3. 掌握判定直线与平面垂直的方法；4. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学内容1. 直线与平面垂直的定义；2. 判定直线与平面垂直的方法；3. 实际问题的应用。
三、教学过程1. 导入通过一个具体的例子引入直线与平面垂直的概念，让学生了解该概念的实际意义。
2. 理论讲解2.1 直线与平面垂直的定义首先，明确直线与平面垂直的定义：当且仅当直线上任意一条射线在平面上的投影为一个点，且该点与直线上的任意一点连线垂直于平面时，称直线与平面垂直。
2.2 判定直线与平面垂直的方法接着，介绍判定直线与平面垂直的方法：方法一：利用直线的斜率- 如果直线的斜率为0，则与平面垂直；- 如果直线的斜率不存在，则与平面垂直。
方法二：利用直线上的点和平面上的法向量- 如果直线上的一点与平面上的任意一点的连线与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
方法三：利用平面的法向量- 如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直。
3. 实例演练通过多个实例让学生掌握判定直线与平面垂直的方法，引导学生进行思考和解答，并给予必要的提示和指导。
4. 拓展应用将直线与平面垂直的概念和方法应用于实际问题，如建筑设计、工程施工等，让学生理解它们的实际应用场景，并启发他们思考其他相关问题。
5. 总结归纳对学生进行知识点的总结归纳，强调直线与平面垂直的判定方法，并与学生一起梳理该知识点的关键内容。
四、教学反思本教案通过引导学生理解直线与平面垂直的概念和性质，通过实例演练和应用场景拓展，使学生掌握了判定直线与平面垂直的方法。
同时，通过启发思考和问题解决，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
在教学过程中，需要注意适度引导学生思考，并给予必要的示范和指导，以提高学生的学习效果。
《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计
《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计一、教学目标1.学习直线与平面垂直的定义；2.熟悉直线与平面垂直的判定方法；3.掌握直线与平面垂直的性质；4.培养学生的思维能力和实际应用能力。
二、教学重难点1.直线与平面垂直的判定；2.直线与平面垂直的性质。
三、教学方法讲授法、讨论法、示例法、归纳法四、教学内容及进度安排第一节、直线与平面垂直的定义（15分钟）1.导入请同学们思考，什么情况下我们说一条直线与一个平面垂直？2.讲解定义直线与平面垂直的概念，并举例说明。
第二节、直线与平面垂直的判定（30分钟）1.导入先请学生们想一下，有什么方法可以判断一条直线与平面相交成什么角度？2.讲解介绍判定直线与平面垂直的三种方法：（1）垂直判定法；（2）垂线判定法；（3）向量法。
第三节、直线与平面垂直的性质（30分钟）1.导入请同学们回忆下平行四边形的性质，然后想想，在直线与平面垂直的情况下，这条直线有哪些特殊性质呢？2.讲解介绍直线与平面垂直的三大性质：（1）交点处的垂线是直线所在平面的法线；（2）直线上任意一点到平面的距离相等；（3）直线所在平面内的任意一条直线与该直线垂直。
第四节、应用举例（25分钟）1.导入请同学们尝试解决以下问题：一艘船在湖面上运行，船头向北，航向角为45度，湖面水平。
如果船速为10km/h，请问1小时后船与湖面的夹角是多少度？2.讲解将学习到的知识应用于实际问题，引导学生分析应用。
五、教学反思本节课通过理论讲解、示例分析，并运用相关知识到解决实际应用问题，使学生以掌握相关知识点的同时，提高了思维能力、解决问题的能力。
2.3(3)直线平面垂直的判定及其性质(教学设计)
2.3（3）直线与平面垂直的判定及其性质（教学设计）2.3.3直线与平面垂直的性质院 2.3.4平面与平面垂直的性质一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.2、过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）经历面面垂直到线面垂直再到线线垂直的思维过程.3、情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认，推理证明”，形成空间思维意识,会用图形和符号表达空间图形，体验数学的应用价值.二、教学重点、难点重点：线面垂直和面面垂直的性质定理的证明及应用.难点：线面垂直和面面垂直的两个性质定理的应用.三、教学方法与教学用具（1）教学方法：直观感知、操作确认，猜想与证明.（2）教学用具：长方体模型四、教学设计（一）复习回顾1、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
（二）创设情景，导入新课设问：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？（三）师生互动，新课讲解1、思考引出线面垂直的性质定理思考1：观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？思考2：已知直线a ⊥α 、b ⊥α、那么直线a 、b 一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？证明:假定b 不平行于a,设O b =⋂α, b ’是经过点O 的两直线a 平行的直线.a ∥b ’, a α⊥,∴ b ’ α⊥即经过同一点O 的两直线b ,b ’都与α垂直,这是不可能的,因此b ∥a.定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案教案标题：直线与平面垂直的判定教案教学目标：1. 理解直线与平面垂直的概念，并能判断给定直线与平面是否垂直。
2. 掌握判定直线与平面垂直的条件。
3. 运用所学知识解决相关问题并拓展思维。
教学内容：1. 直线与平面垂直的概念2. 判定直线与平面垂直的条件3. 相关问题的解决和应用教学步骤：Step 1: 引入新概念在课堂一开始，通过问题或实例引入直线与平面垂直的概念。
可以使用身边的物体作为例子，如直线与桌面的垂直关系等，引起学生的兴趣。
Step 2: 讲解直线与平面垂直的概念通过讲解和示意图，向学生明确直线与平面垂直的定义。
强调直线与平面的交角为90度。
Step 3: 判定直线与平面垂直的条件详细讲解判定直线与平面垂直的条件，并提供示例进行讲解和演示。
可通过几何性质、垂直投影等方法探讨。
Step 4: 练习与巩固让学生进行一些练习，巩固所学内容。
可以包括选择题、判断题、填空题和应用题等多种形式，以检验学生的理解和掌握。
Step 5: 拓展思维针对学生思维的扩展，提供一些拓展问题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发学生的思考和创造力。
Step 6: 总结与归纳对直线与平面垂直的判定条件进行总结和归纳，让学生对所学知识形成更加清晰的概念框架。
Step 7: 实例分析选择一个实际问题，如垂直过马路的斑马线设计等，引导学生运用所学知识分析并解决该问题，培养学生应用知识解决实际问题的能力。
Step 8: 作业布置布置相关作业，包括练习题和思考题，让学生巩固所学内容，并鼓励他们在课外积极拓展学习。
Step 9: 教学反思回顾教学过程，总结教学效果，尝试找出不足之处，以便今后的教学改进。
教学资源：1. 手绘的直线与平面垂直示意图2. 相关练习题和答案3. 讲义和教学课件（可选择性使用）教学评估：通过课堂练习、问题解答以及作业的批改等方式进行学生的教学评估。
评估可以分为定性和定量评估，以全面了解学生对直线与平面垂直判定的掌握情况。
中职数学基础模块下册《直线、平面平行的判定与性质》word教案
中职数学基础模块下册《直线、平⾯平⾏的判定与性质》word教案直线与平⾯平⾏的判定和性质⼀、教学⽬标（⼀）本节知识点直线与平⾯的位置关系，直线与平⾯平⾏的判定定理，直线与平⾯平⾏的性质定理。
（⼆）课时安排在学习了前⾯关于平⾯、空间直线等⽴体⼏何中的基础概念之后接触到的⽴体⼏何中的⼜⼀研究重点直线与平⾯的位置关系，所以本节内容处于⼀个承上启下的位置。
安排⽤三个课时来完成。
（三）本堂课教学⽬标1．教学知识⽬标进⼀步熟悉掌握空间直线和平⾯的位置关系。
理解并掌握直线与平⾯平⾏的判定定理及直线与平⾯平⾏的性质定理。
2．能⼒训练：掌握由“线线平⾏”证得“线⾯平⾏”和“线⾯平⾏”证得“线线平⾏”的数学证明思想。
进⼀步熟悉反证法；进⼀步培养学⽣的观察能⼒、空间想象⼒和类⽐、转化能⼒，提⾼学⽣的逻辑推理能⼒。
3．德育渗透：培养学⽣的认真、仔细、严谨的学习态度。
建⽴“实践――理论――再实践”的科学研究⽅法。
（四）教学重点、难点重点：直线与平⾯平⾏的判定和性质定理。
难点：灵活的运⽤数学证明思想。
（五）教学⽅法：启发式、引导式、找错教学。
多注重观察和分析，理论联系实际。
（六）教具：模型、尺、多媒体设备⼆、教学过程（⼀）内容回顾师：在上节课我们介绍了直线与平⾯的位置关系，有⼏种？可将图形给以什么作为划分的标准？出引导作答直线与平⾯有两个公共点——直线在平⾯内(直线上所有的点都在这个平⾯内）直线与平⾯只有⼀个公共点——直线与平⾯相交外（⼆）新授内容1．如何判定直线与平⾯平⾏师：请同学回忆，我们昨天是受⽤了什么⽅法证明直线与平⾯平⾏？有直线在平⾯外能不能说明直线与平⾯平⾏？①⽣：借助定义，⽤反证法说明直线与平⾯没有公共点（证明直线在平⾯外不能说明直线与平⾯平⾏）②直线与平⾯平⾏的判定定理如果平⾯外⼀条直线与这个平⾯内的⼀条直线平⾏，那么这条直线和这个平⾯平⾏。
已知：a α，b ?α，且a ∥ b从学⽣的直观感求证：a∥α觉⼊⼿如：怎样师：你们会采⽤什么⽅法证明定放置跳⾼竿，使证明：∵ a ∥b ∴经过a,b 确竿⼦和地⾯平⾏∵a ?α，b ?α∴α与β是两个不同的平⾯。
《直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质》教学设计(优质课)
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；3．情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明” ，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.（二）教学重点、难点两个性质定理的证明.（三）教学方法学生依据已有知识和方法，在教师指导下，自主地完成定理的证明、问题的转化.1．问题：已知直线a、b 和平面，如果a ,b ，那么直线a、b 一定平行吗？已知 a ,b 求证：b∥a.证明：假定b 不平行于a，设b =0 b′是经过O与直线a 平行的直线∵a∥b′，a∴b′⊥a即经过同一点O 的两线b、b′都与垂直这是不可能的，因此b∥a.2．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行简化为：线面垂直线线平行AA′、BB′、CC′、DD′ 所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间相互平行，所以结论成立.师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a、b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，有这种情况下，我们采用“反证法” 师生边分析边板书.学，培养几何直观能力. ，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.探索新知二、平面与平面平行的性质定理1．问题黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？2．例1 设，=CD，AB ，教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题生：借助长方体模型，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，面A′ADD′⊥面本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.2．平面和平面垂直的性质补充完善 .归纳知识提高3．面面垂直 线面垂直 线线垂直自我整合知识的能力. 课后作业2.3 第三课时 习案 学生独立完成固化知识提升能力备选例题例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面，另一条直 桌面所在的平面 垂直，a 是 内一条直线，若斜边 AB 与 a 垂 是否与 a 垂直？a AC 解析】 ACa AB aAC AB A评析】若 BC 与 垂直，同理可得 AB 与 也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： “线线垂直→线面垂直→线线垂直”例 2 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已 知 ⊥r ， ⊥r ， ∩ = l ，求证： l ⊥r ．【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面 、 垂 直．或由面面垂直的性质易在 、 内作出平面 r 的垂线，再设法证明 l 与其平行即可．【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b ，在 r P ．过点 P 在r 内作直线 m ⊥ a ，n ⊥b ．∵ ⊥r ， ⊥r ，∴ m ⊥ a ，n ⊥ （面面垂直的性质） 又 ∩ = l ，a 平面 ABC BC 平面 ABCa BC角边 AC 与 直，则 BC内任取一点∴ l ⊥ m ，l ⊥n ．又 m ∩n = P ，m ，n r ∴l ⊥r ．法二：如图，设 ∩r = a ， ∩r ∵ ⊥r ， ⊥r ， ∴m ⊥r ，n ⊥r ． ∴ m ∥ n ，又 n ，m ， ∴ m ∥ ，又 ∩ = l ，m ，b ，在 内作 m ⊥a ，在 内作 n ⊥ b ．∴ m ∥ l ， 又 m ⊥r ，∴l ⊥r ．【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键．证法 面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化；证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化．此题是线线、面面垂直转化的典型题，通过一题多解，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益 的．充分利用面。
直线、平面垂直的判定与性质教案
课时计划课题： 9.4 直线与平面垂直的判定与性质课型：综合课教学目标：（一）知识与技能1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中直线与平面垂直的判定和性质.2.能运用直线与平面垂直的判定定理、性质定理和已经获得的结论证明一些空间图形中的垂直关系的简单命题。
（二）过程与方法通过对实例的分析及练习的巩固，理解线面垂直的判定与性质，掌握线面垂直关系的综合应用。
（三）情感、态度与价值观学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.培养学生善于和他人合作的精神.体会数学知识与现实世界的联系。
通过线面垂直的判定与性质的应用及线面垂直关系的综合的应用，培养逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养。
教学重、难点及解决办法：重点：直线与平面垂直的判定和性质难点：运用直线与平面垂直的判定定理、性质定理教具准备：缺勤登记：板书设计纲要一、基础知识1．直线和平面垂直的定义直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． 2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言 图形语言 符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a 、b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥al ⊥b⇒l ⊥α 推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 3．直线与平面垂直的性质定理文字语言 图形语言 符号语言 性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 二、考点考向例1、如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，PD 垂直平面ABCD ，F 为PD 中点， 求证：⊥AC 平面PBD例2、正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．求证：11B D AE ⊥例3、如图,已知PA ⊥圆O 所在平面,AB 为圆O 的直径,C 是圆周上的任意一点,过点A 作AE ⊥PC 于点E.求证:AE ⊥平面PBC.FPCABDA1D 1C 1B 1A E D CB解：因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为AC⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC,所以BC⊥AE.又因为PC⊥AE,BC∩PC=C,PC⊂平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC.例4、如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE.(2)PD⊥平面ABE.解：(1)∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,又∵AC⊥CD,且PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD,而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.三、课堂小结1、直线与平面垂直的定义具有双重作用:判定和性质,证题时常用它作为性质使用,即“如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线就垂直于平面内的任意一条直线”,在证明线面垂直时,要注意此性质的应用.2、证明线面垂直的常用方法:(1)利用勾股定理的逆定理.(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线.(3)利用线面垂直的定义.(4)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.四、课后作业1、如图,在四棱锥E-ABCD中,AD⊥CD,DA=DC=DE=2,EA=EC=2,M是EA的中点.证明:AE⊥平面MCD.解：(1)因为AD⊥CD,DA=DC=2,所以AC=2,又因为EA=EC=2,所以△AEC为等边三角形,又因为M是EA的中点,所以AE⊥DM,AE⊥MC,又因为DM∩MC=M,DM,MC⊂平面MDC,所以AE⊥平面MCD.2、如图,在四棱锥P-ABCD中, AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC 的中点. 求证:(1)AP∥平面BEF; (2)BE⊥平面PAC.解：(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC,如图所示.因为E为AD的中点,AB=BC=1/2AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC 的中点,因此在△PAC中,可得AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF.(2)由题意知ED∥BC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,因此AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以BE⊥平面PAC.五、教学反思。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案一、教案概要1.教学目标：了解直线与平面垂直的定义和性质，掌握判定直线与平面垂直的方法。
2.教学重点：掌握垂直的概念和性质。
3.教学难点：掌握判定直线与平面垂直的方法。
4.教学方法：讲解法、示范法、练习法。
5.教学工具：黑板、彩色粉笔、投影仪、多媒体教学课件。
二、教学内容1.直线与平面垂直的定义和性质。
2.判定直线与平面垂直的方法。
三、教学过程1.导入（10分钟）通过展示一些与平面垂直的事物，引出直线与平面垂直的概念，让学生了解直线与平面垂直的概念和性质。
2.讲解与示范（20分钟）通过黑板、投影仪或多媒体教学课件展示直线与平面垂直的定义和性质，让学生了解直线与平面垂直的特点和性质。
3.判定直线与平面垂直的方法（30分钟）（1）垂直的定义：直线与平面相交的角为90度。
（2）判定方法：根据两个性质来判定直线与平面垂直。
性质1：过直线一点且垂直于直线的直线与这个平面垂直。
性质2：过直线与平面有2点的直线与这个平面垂直。
通过讲解与示范，让学生理解垂直的定义和两个判定方法。
4.练习与巩固（30分钟）根据教师提供的习题和案例，让学生进行练习和巩固，检验学生对判定直线与平面垂直方法的掌握情况。
五、总结（10分钟）对本节课的重点和难点进行总结，并强调直线与平面垂直的概念和性质在几何学中的重要性。
六、布置作业（5分钟）布置作业，要求学生进一步巩固判定直线与平面垂直的方法，掌握几何图形的性质。
七、教学反思通过本节课的教学，学生对直线与平面垂直的定义和性质有了初步的了解，并且掌握了判定直线与平面垂直的方法。
通过练习和巩固，学生的理解和运用能力也得到了提高。
但是在教学过程中，应该注重激发学生的学习兴趣，增加互动性，让学生更加主动参与到教学中。
《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计
《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计[教学目标]1、知识与技能目标：掌握直线和平面垂直的定义及判定定理、性质定理；掌握判定直线和平面垂直的方法；掌握直线和平面垂直的性质。
培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法目标：感受直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情感态度与价值观目标：培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
[教学重点]直线与平面垂直的定义和判定定理。
[教学难点]直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
[教学方法]实践操作、师生互动、共同探究的方法[教学手段]多媒体辅助课堂教学[课时安排]1课时教学过程（一）创设情景，揭示课题举例：旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系。
模型演示：直棱柱的侧棱与底面的位置关系。
[设计意图]生活中处处有数学的存在.学生对一些实例虽然熟悉，但往往知其然，不知其所然，用这样的实例导入，学生必然有要探个究竟的心理.激发出了学生探究的兴趣和主动性。
（二）研探新知1、直线与平面垂直的定义：直线l与平面内α的任意一条直线都垂直。
记作：l⊥α。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，垂线与平面的交点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定：（1）探究：准备一块三角形纸片。
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。
①折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？（AD是BC边上的高）（2）思考：①有人说，折痕AD所在直线已桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α，你同意他的说法吗？②如图，由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？[设计意图]通过实践活动，让学生经历观察、实践、猜测、验证、推理与交流等数学活动，发现折纸法可以验证直线和平面垂直的判定定理的原因，提高了学生的数学认识，激发了学生的数学情感，促进了学生数学水平的提高.有助于学生逐步形成对数学知识的理解和有效的学习策略.同时对比折纸探索的过程，体会思维实验和符号化的理性思维。
第四节 直线、平面垂直的判定与性质 教案
第四节 直线、平面垂直的判定与性质核心素养立意下的命题导向1.会推导直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．2．常与几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性质定理证明空间的线、面垂直关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．直线与平面垂直(1)定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定 定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a ，b ⊂αa ∩b ＝Ol ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α 性质 定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α4.谨记五个结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(线面垂直的充分必要性的判断)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a 与平面M垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．2．(判定平面与平面垂直)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．3．(由线面垂直判定线线垂直)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB4．(由线线垂直判定面面垂直)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB ⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：7二、易错点练清1．(忽视平面到空间的变化)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________．解析：若a，b，c在同一个平面内，则由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c 的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．答案：平行、相交或异面2．(忽视线面垂直性质定理的条件)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线n满足n ⊥l，则n与β________(填“一定”或“不一定”)垂直．解析：当n⊂α时，若α∩β＝l，且n⊥l，则n⊥β，否则不一定有n⊥β.答案：不一定考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[方法技巧]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[针对训练]1．已知S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又AB⊥BC，∴DE⊥AB.∵SA＝SB，E为AB的中点，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD.又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.2.如图，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD . 证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，∵N 为PC 的中点，∴NE ∥CD 且NE ＝12CD ，又AM ∥CD 且AM ＝12AB ＝12CD ，∴NE 綊AM ，∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN ∥AE . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD ， 又AD ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ，∴MN ⊥CD . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，又∠PDA ＝45°，∴△PAD 为等腰直角三角形， 又E 为PD 的中点，∴AE ⊥PD .由(1)知CD ⊥AE ，又CD ∩PD ＝D ，∴AE ⊥平面PCD . 又AE ∥MN ，∴MN ⊥平面PCD .考点二 平面与平面垂直的判定与性质[典例] 如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是棱DD 1上的一点，AA 1⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AA 1＝AB ＝2AD ＝2DC . (1)若M 是DD 1的中点，证明：平面AMB ⊥平面A 1MB 1；(2)设四棱锥M -ABB 1A 1与四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积分别为V 1与V 2，求V 1V 2的值．[解] (1)证明：因为AA 1⊥平面ABCD ， 所以AA 1⊥AB ，又AB ⊥AD ，AA 1∩AD ＝A ，所以BA ⊥平面AA 1D 1D ， 又MA 1⊂平面AA 1D 1D ，所以BA ⊥MA 1.因为AD ＝DM ，所以∠AMD ＝45°，同理∠A 1MD 1＝45°， 所以AM ⊥MA 1，又AM ∩BA ＝A ， 所以MA 1⊥平面AMB ，又MA 1⊂平面A 1MB 1，故平面AMB ⊥平面A 1MB 1. (2)设AD ＝1，则四棱锥M -ABB 1A 1的底面ABB 1A 1的面积S 四边形ABB 1A 1＝4，高为AD ＝1，所以四棱锥M -ABB 1A 1的体积V 1＝13S 四边形ABB 1A 1×AD ＝43.四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的面积S四边形ABCD ＝32，高为AA 1＝2，所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积V 2＝S 四边形ABCD ×AA 1＝3， 所以V 1V 2＝49.[方法技巧] 面面垂直判定的两种方法与一个转化两种 方法 (1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)一个 转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直[针对训练]1.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝∠AA 1C ＝90°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC . (1)求证：AA 1⊥A 1B ；(2)若AA 1＝2，BC ＝3，∠A 1AC ＝60°，求点C 到平面A 1ABB 1的距离．解：(1)证明：因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，又AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以BC ⊥AA 1.因为∠AA 1C ＝90°，所以AA 1⊥A 1C ， 又因为BC ∩A 1C ＝C ，所以AA 1⊥平面A 1BC ，又A 1B ⊂平面A 1BC ， 所以AA 1⊥A 1B .(2)由(1)可知A 1A ⊥平面A 1BC ，A 1A ⊂平面A 1ABB 1， 所以平面A 1BC ⊥平面A 1ABB 1，且交线为A 1B .所以点C 到平面A 1ABB 1的距离等于△CA 1B 的A 1B 边上的高，设其为h . 在Rt △AA 1C 中，A 1A ＝2，∠A 1AC ＝60°，则A 1C ＝2 3. 由(1)得，BC ⊥A 1C ，所以在Rt △A 1CB 中，BC ＝3，A 1B ＝21，h ＝BC ·A 1C A 1B ＝6321＝677.故点C 到平面A 1ABB 1的距离为677.2.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，EB ＝2FD ＝4. (1)求证：EF ⊥AC ；(2)求几何体EF -ABCD 的体积． 解：(1)证明：如图，连接DB .∵DF ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ， ∴EB ∥FD ，∴E ，F ，D ，B 四点共面． ∵EB ⊥平面ABCD ，∴EB ⊥AC . 设DB ∩AC ＝O .∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥DB . ∵DB ∩EB ＝B ，∴AC ⊥平面EFDB . ∵EF ⊂平面EFDB ，∴AC ⊥EF . (2)由(1)知EB ∥FD .∵EB ⊥平面ABCD ，∴EB ⊥BD ， ∴四边形EFDB 为直角梯形．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2， ∴BD ＝2，AO ＝CO ＝3，∴梯形EFDB 的面积S ＝(2＋4)×22＝6.∵AC ⊥平面EFDB ，∴V EF -ABCD ＝V A -EFDB ＋V C -EFDB ＝13S ·AO ＋13S ·CO ＝4 3. 考点三 平行与垂直的综合问题1．平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”． 2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[典例]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝12BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝12BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG. 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.[方法技巧]平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间”到“平面”、“低维”到“高维”的转化关系．[针对训练](2021·广州模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝6，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．(1)求证：FG∥平面BED；(2)求证：BD⊥平面AED；(3)求点F到平面BED的距离．解：(1)证明：如图，取BD的中点O，连接OE，OG.在△BCD中，因为G是BC的中点，所以OG∥DC且OG＝12DC＝1.因为EF∥AB，AB∥DC，EF＝1，所以EF∥OG且EF＝OG，所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.又FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED.(2)证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理，得BD＝AD2＋AB2－2×AD×AB×cos∠BAD＝ 3. 所以BD2＋AD2＝3＋1＝4＝AB2，所以BD⊥AD.因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，所以BD⊥平面AED.(3)由(1)知FG∥平面BED，所以点F到平面BED的距离等于点G到平面BED的距离．设点G到平面BED的距离为h，如图，过点E作EM⊥DA，交DA 的延长线于点M，连接DG，EG，则EM⊥平面ABCD，所以EM 是三棱锥E-DBG的高．由余弦定理，得cos∠ADE＝DE2＋AD2－AE22DE·AD＝23，所以sin∠ADE＝53，所以EM＝DE·sin∠ADE＝ 5.易知DB ⊥BC ，BD ⊥DE ，所以S △DBG ＝12BD ·BG ＝34，S △BDE ＝12BD ·DE ＝332.由V 三棱锥G -BDE ＝V 三棱锥E -DBG ，即13S △BDE ·h ＝13S △DBG ·EM ，解得h ＝56. 所以点F 到平面BED 的距离为56.创新考查方式——领悟高考新动向立体几何中的动态问题立体几何中的“动态问题”是指空间图形中的某些点、线、面的位置是不确定的、可变的一类开放型问题，因其某些点、线、面位置的不确定，往往成为学生进行一些常规思考、转化的障碍；但又因其是可变的，开放的，更有助于学生空间想象能力及综合思维能力的培养，本节利用运动变化的观点对几种动态问题的类型加以分析，探求解决此类问题的若干途径．一、“动态”中研究“特定静态”——“一题多考”[例1] 如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是体对角线AC 1上的动点(点P 与A ，C 1不重合)．则下列结论中错误的是( ) A ．存在点P ，使得平面A 1DP ∥平面B 1CD 1 B ．存在点P ，使得AC 1⊥平面A 1DPC ．S 1，S 2分别是△A 1DP 在平面A 1B 1C 1D 1，平面BB 1C 1C 上的正投影图形的面积，对任意点P ，S 1≠S 2D ．对任意点P ，△A 1DP 的面积都不等于26[解析] 连接A 1B ，BD .对于A 选项，当点P 为平面A 1BD 与直线AC 1的交点时成立．因为BD ∥B 1D 1，BD ⊄平面B 1CD 1，B 1D 1⊂平面B 1CD 1，所以BD ∥平面B 1CD 1.同理A 1B ∥平面B 1CD 1，又BD ∩A 1B ＝B ，BD ⊂平面A 1DP ，A 1B ⊂平面A 1DP ，所以平面A 1DP ∥平面B 1CD 1.对于B选项，当点P 为平面A 1BD 与直线AC 1的交点时成立．连接AD 1，则A 1D ⊥AD 1.又C 1D 1⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，所以A 1D ⊥C 1D 1.又C 1D 1∩AD 1＝D 1，所以A 1D ⊥平面AC 1D 1，所以AC 1⊥A 1D .同理AC 1⊥A 1B ，又A 1D ∩A 1B ＝A 1，A 1D ⊂平面A 1DP ，A 1B ⊂平面A 1DP ，所以AC 1⊥平面A 1DP .对于选项C ，在点P 从AC 1的中点向点A 运动的过程中，S 1从14减小且逐渐趋向于0，S 2从0增大且逐渐趋向于12，在此过程中，必有某个点P 使得S 1＝S 2.对于选项D ，易知△A 1AP ≌△DAP ，所以DP ＝A 1P ，即三角形A 1PD 是等腰三角形，所以当P 到A 1D 中点的距离最小时，三角形A 1DP 的面积最小，设E 为A 1D 的中点，连接PE ，又P 在AC 1上，A 1D 和AC 1异面，所以当PE 是两异面直线的公垂线段时，P 到A 1D 中点的距离最短，此时PE ＝66，而A 1D ＝2，所以△A 1DP 的面积的最小值为S min ＝12×66×2＝36>26，所以对任意点P ，△A 1DP 的面积都不等于26.故选C. [答案] C [名师微点]本题通过P 在体对角线AC 1上的“动”考查了面面平行、线面垂直、投影图形的面积等问题，实现了一题多考，解决此类问题的关键是掌握几何体的结构特征和平行与垂直的判定定理及性质定理，需具备较强的直观想象能力． 二、“动态”中研究“以静制动”——“最值问题”[例2] (2021·湖北八校联考)已知在如图所示的正三棱锥P -ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 的长为2，底面△ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，E 为AB 的中点，M 是PD 上的动点，N 是平面PCE 上的动点，则AM ＋MN 的最小值为( ) A.6＋24 B.3＋12 C.64D.32[思路点拨] 先固定点M ，再考虑点N 的变化，要求AM ＋MN 的最小值，可将立体几何问题通过展开某几个平面转化为平面几何问题来处理．[解析] 将正三棱锥P -ABC 放入棱长为2的正方体AGIJ -PCHB 中，如图(1)所示，先固定点M ，那么MN 的最小值即点M 到平面PCE 的距离． 连接GH ，设GH 的中点为F ，连接PF ，DG . 由题意得，平面PGF ⊥平面PCE ，且交线为PF ， 故MN ⊥PF ，所以M 在PD 上运动时，N 在PF 上运动． 把平面AGP 和平面PGF 沿PG 展开，示意图如图(2)所示，作AN ′⊥PF 交PG 于M ′， 则AN ′即所求，(AM ＋MN )min ＝AN ′＝AP ·sin(45°＋30°)＝3＋12.故选B.[答案] B[名师微点]对于立体几何中的双动点问题，可先固定一个动点，如本题先固定点M，那么MN的最小值就是点M到平面PCE的距离，进而求得AM＋MN的最小值．这类题通常需要利用展开图，数形结合，达到化动为静，以静制动的目的，从而求解．三、“动态”中研究“变量”——“翻折问题”[例3](多选)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′-BCD(如图2)，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′-BCD的体积为1 6[解析]由A′B＝A′D＝1，BD＝2，得BA′⊥DA′.因为平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，进而有CD⊥BA′.由DA′∩CD＝D，得BA′⊥平面A′CD.所以BA′⊥A′C，即∠BA′C＝90°.B正确．由题意知AB＝AD＝1，则BD＝2，V A′-BCD＝13S△BCD×h＝13×12×2×1×22＝16.D正确．故选B、D. [答案]BD[名师微点]解决翻折问题，要分析翻折前后的“变量与不变量”，在翻折前要标注重要的点或重要的量，分析其在翻折后的变化情况．具体到本例，应重视垂直关系“BA′⊥DA′，CD⊥BD”，才能顺利地由平面A′BD⊥平面BCD得出CD⊥平面A′BD，CD⊥BA′，再得到BA′⊥平面A′CD，从而解决问题．[课时跟踪检测]1．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D选项A中，m与α的关系是m∥α或m⊂α，故A不正确；选项B中，n与α之间的关系是n与α相交或n∥α，故B不正确；选项C中，α与β的关系是α∥β或α与β相交，故C不正确；选项D中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.2．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α解析：选C对于A：若m⊂α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m⊄α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误．3．(2021·湖南五市联考)若α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：选D对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A 错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．故选D.4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部解析：选B连接AC1，如图．∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选B.5.一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如图，在四面体P-ABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有()A．6个B．8个C．10个D．12个解析：选C为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P-ABC为“鳖臑”，其中PA ⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面体P-AEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形，故选C.6．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°解析：选B过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，所以OA⊥EF，GF⊥CD，CD∥OB，所以∠CAO ＝∠AOB ＝40°，∠OAE ＝∠AGF ＝90°. 又因为∠EAC ＝∠FAG ，所以∠GFA ＝∠CAO ＝∠AOB ＝40°.故选B.7．(多选)(2021·济宁一模)如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1.则( ) A ．DF ∥平面BCEB ．异面直线BF 与DC 所成的角为30° C ．△EFC 为直角三角形D ．V C -BEF ∶V F -ABCD ＝1∶4解析：选BD 对A 项，因为AB ∥EF ，AB ∥CD ，所以EF ∥CD ，所以四边形CDFE 确定一个平面．由于CD ，EF 的长度不相等，则DF ，CE 不平行，即DF 与平面BCE 有公共点，故A 错误；对B 项，连接OF ，OE ，OE 与BF 交于点G . 因为OB ∥EF ，OB ＝EF ，OB ＝OF ＝1， 所以四边形OBEF 为菱形，则BE ＝OF ＝1，所以△OBE 为等边三角形． 由于点G 为OE 的中点，则∠OBG ＝12∠OBE ＝30°.因为AB ∥CD ，所以异面直线BF 与DC 所成的角为∠ABF ＝∠OBG ＝30°，故B 正确； 对C 项，由于四边形OBEF 为菱形， 则BF ＝2BG ＝212－⎝⎛⎭⎫122＝ 3.由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知，BC ⊥BE ，BC ⊥BF ， 所以CF ＝12＋(3)2＝2，CE ＝12＋12＝ 2.又EF 2＋CE 2＝3≠CF 2，所以△EFC 不是直角三角形，故C 错误； 对D 项，因为BF ＝3，BE ＝1，EF ＝1， 所以S △BEF ＝12×3×12－⎝⎛⎭⎫322＝34. 由面面垂直的性质可知，BC ⊥平面BEF ， 所以V C -BEF ＝13×34×1＝312. 过点F 作AB 的垂线，垂足为H ，则FH ＝12BF ＝32，根据面面垂直的性质可知HF ⊥平面ABCD ， 则V F -ABCD ＝13×2×1×32＝33， 所以V C -BEF ∶V F -ABCD ＝1∶4，故D 正确，故选B 、D.8．若α，β是两个相交平面，m 为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________． ①若m ⊥α，则在β内一定不存在与m 平行的直线； ②若m ⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m 垂直； ③若m ⊂α，则在β内不一定存在与m 垂直的直线； ④若m ⊂α，则在β内一定存在与m 垂直的直线．解析：若m ⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m 平行的直线，故①错误；若m ⊥α，则m 垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m 垂直，故②正确；若m ⊂α，则在平面β内一定存在与m 垂直的直线，故③错误，④正确． 答案：②④9．(2021·宜昌模拟)在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，若CM ＝BN ，则MN 长度的最小值为________． 解析：过M 作MQ ⊥AB 于Q ，连接QN ，如图所示． ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，∴MQ ⊥平面ABEF ，又QN ⊂平面ABEF ，∴MQ ⊥QN . 设CM ＝BN ＝a (0<a <2)， 则AM ＝NF ＝2－a ， ∵MQ ⊥AB ，∴MQ ∥BC ， ∴MQ BC ＝AM AC ＝AQAB ，又知CM ＝BN ，AM ＝NF ，AC ＝BF ，∴AQ AB ＝AM AC ＝NF BF， ∴QN ∥AF ，且QN ＝22a . 同理，QM ＝1－22a .在Rt △MQN 中， MN ＝QN 2＋QM 2＝ ⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a 2＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12，∵0<a <2，∴当a ＝22时，MN 取得最小值22.即MN长度的最小值为2 2.答案：2 210．(2021·泉州模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB＝2，∠A1AB＝60°.(1)求证：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AC⊥B1C1，求该三棱柱的体积．解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.∵CA＝CB，∴AB⊥CO.∵AA1＝AB，∠A1AB＝60°，∴△ABA1是等边三角形，∴AB⊥OA1.又CO∩OA1＝O，∴AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，∴AB⊥A1C.(2)∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，A1O⊥AB，A1O⊂平面AA1B1B，∴A1O⊥平面ABC.∵AC⊥B1C1，BC∥B1C1，∴AC⊥BC.又AC＝BC，AB＝2，∴S△ABC＝12×AC×BC＝1，A1O＝3，∴三棱柱的体积V＝S△ABC·A1O＝ 3.11.(2020·全国卷Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P-ABC的体积．解：(1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC.由于△ABC是正三角形，故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，所以∠APB＝90°，∠BPC＝90°.从而PB⊥PA，PB⊥PC.因为PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC.又PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.由题设可得rl＝3，l2－r2＝2.解得r＝1，l＝ 3.从而AB＝ 3.由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，所以PA ＝PB ＝PC ＝62. 所以三棱锥P -ABC 的体积为13×12×PA ×PB ×PC ＝13×12×⎝⎛⎭⎫623＝68. 12.(2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明： (1)当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ； (2)点C 1在平面AEF 内． 证明：(1)如图，连接BD ，B 1D 1. 因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 为正方形， 所以AC ⊥BD .又因为BB 1⊥平面ABCD ， 所以AC ⊥BB 1. 因为BD ∩BB 1＝B ， 所以AC ⊥平面BB 1D 1D .因为EF ⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ⊥AC .(2)如图，在棱AA 1上取点G ，使得AG ＝2GA 1，连接GD 1，FC 1，FG . 因为D 1E ＝23DD 1，AG ＝23AA 1，DD 1綊AA 1，所以ED 1綊AG ，所以四边形ED 1GA 为平行四边形，所以 AE ∥GD 1. 因为B 1F ＝13BB 1，A 1G ＝13AA 1，BB 1綊AA 1，所以FG 綊A 1B 1，FG 綊C 1D 1，所以四边形FGD 1C 1为平行四边形，所以GD 1∥FC 1.于是AE ∥FC 1.所以A ，E ，F ，C 1四点共面，即点C 1在平面AEF 内． 13.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G ，H 分别是CE ，CF 的中点．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ； (2)求证：平面BDGH ∥平面AEF .证明：(1)因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF .(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF. 又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.设AC∩BD＝O，连接OH，如图．在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，所以OH∥AF.因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.。
《直线与平面垂直的判定》信息化教案
思路，并且已经简单了解了直线与平面垂直的定义，这为本节课进一步研究其判定提供铺垫。
而本节课的学习，又是后续学习面面垂直的基础知识，所以这是环环相扣，及其重要的一节课。
同时直线与平面垂直在建筑领域随处可见，掌握判断直线和平面垂直方法的能力是建筑专业学生必备的基础能力。
（三）资源整合。
充分利用信息资源和信息技术与教材资源整合，、准备正方体模型和三角形纸片学习学生活动创设情境导入课题钟）导入课题：《9.4.2直线与平面垂直的判定与性质》及内容。
情景导入：欣赏两幅建筑图片思考：如何用数学几何知识描述图片建筑与地面的关系。
引言：直立在地面上的建筑可以抽象成数学中的直线与平面垂直关系，而建筑打桩的笔直与否直接影响到了建筑是否垂直地面。
请同学分享课前寻找的直线与平面垂直的案例观看图片回答问题引导学生从生活实例抽象出数学直观图形。
上台分享直线与平面垂直案例Flash演示课程主要流程和内容。
应用PPT变换，完成生活实例到立体几何图形的转换。
利用云班课平台交互功能展示课前收集的案例资料，课上小组互评。
结合学生建筑施工专业特点，产生对比，感官上认识直线与平面垂直的关系体现线面垂直在建筑中的重要作用。
让学生明白研究直线与平面垂直的必要性和重要性。
让学生线上线下实时互动，分组评分、竞争交流。
温故知新剖析概念钟）一、剖析定义：导入定义：观察直立的书本，书脊与桌面的关系。
拿出书本动手操作并观察。
Flash展示书动画吸引学生注直线与平面垂直的定义：二、线面垂直的判定 1、判定：定义 三、线面垂直的性质： 1、定义：}ml l m ⊥⇒α⊥α ⊆问题：利用定义判断线面垂直不可能实现，有没有其他更简单的方法判定线面垂直？根据动态几何 直观图形回顾直线与平面垂直的定义以及相关概念：平面的垂线，直线的垂面，垂足。
动手实践：利用测量平面的垂线与平面内直线的夹角。
利用Geogebra软件动态展示直线与平面的垂直关系。
微课展示操作方法。
中职数学教学设计94 直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质
【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90o即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与1平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为 行为 意图 间9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a 和b 互相垂直，记作a ⊥b ．【想一想】演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ 介绍质疑引导分析了解 思考启发 学生思考0 5 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直．解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD .图9-43说明 强调 引领讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会10 *运用知识 强化练习1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？2．在图9−43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答了解 知识 掌握 情况14 *创设情境 兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的．如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人质疑 引导思考带领 学生 分析图9−44*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9−45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D 都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD 内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9−46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？图9−48α，CD⊥α，所以AB∥CD BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面AE∥BD，直线AE与CD交于点ACE中，因为AE＝BD＝5 cm，过 程行为 行为 意图 间所以 AC ＝22AE CE + ＝ 22512+ ＝13（cm ）．说明求解 理解 知识 点 37 *运用知识 强化练习1．一根旗杆AB 高8 m ，它的顶端A 挂两条10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C 、D 两点，并使点C 、D 与旗杆脚B 不共线，如果C 、D 与B 的距离都是6 m ，那么是否可以判定旗杆AB 与地面垂直，为什么？2．如图所示，ABC ∆在平面α内，90BAC ∠=︒，且PA α⊥于A ，那么AC 与PB 是否垂直？为什么？提问 巡视 指导 思考 解答及时 了解 学生 知识 掌握 情况42 *创设情境 兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作βα⊥． 画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））．【做一做】请动手画出图9−50中的两个图形． [实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．质疑 引导分析观察 思考带领 学生 分析β（2）α图9−49过 程行为 行为 意图 间图 9−5048*动脑思考 探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9−51所示，如果AB β⊥，AB 在α内，那么αβ⊥．讲解 说明引领 分析理解带领 学生 分析52 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例4 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（如图9−52）中，判断平面B 1AC 与平面B 1BDD 1是否垂直．图9−52解 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1B ⊥平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，在底面正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，因此AC ⊥平面BB 1D 1D ，因为AC 在平面B 1AC 内，所以平面B 1AC 与平面B 1BDD 1垂直．说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会57 *创设情境 兴趣导入图9−51图9−54内，连结AD．又由于BD⊥AB过 程行为 行为 意图 间222223425=+=+=AD AB BD ，故 AD ＝5（cm ）．因为αβ⊥，AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，AB 为平面α与β的交线，所以AC ⊥β． 因此CA ⊥AD ．在直角三角形ACD 中，22222125169=+=+=CD AC AD ，故 CD ＝13（cm ）．讲解 说明主动 求解观察 学生 是否 理解 知识 点69 *运用知识 强化练习1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，与平面1AB 垂直的平面有 个，与平面1AB 垂直的棱有 条．2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？ 提问 巡视 指导思考 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况78 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：直线与平面垂直的判定与性质？ 平面与平面垂直的判断与性质？ 结论：直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行．平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况82A BC D D AB C第1题图第2题图【教师教学后记】。
中职信息化教学大赛作品《直线与平面垂直的判定定理与性质》-教学设计
咸阳市2019年中等职业学校教师教学能力比赛《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计《直线与平面垂直的判定与性质》教学设计教学过程教师活动学生活动一、课前准备利用蓝墨云班课给学生派发课前任务：1.复习：直线与平面的位置关系，直线与平面垂直的定义。
2.预习本节内容。
3.讨论：（1）能否用线面垂直的定义来检验旗杆与地面垂直？（2）一条直线与平面内的一条直线垂直，线面是否垂直？（3）一条直线与平面内的两条平行直线垂直，线面是否垂直？（4）一条直线与平面内的两条相交直线垂直，线面是否垂直？【设计意图】为学习本节课做好知识准备和思维导向。
二、课中实施（一）激趣导课观看过山车视频，联系实际并举例生活中直线与平面垂直的实例。
【设计意图】激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。
（二）情境导入1、旗杆与地面是垂直的，能否用直线与平面垂直的定义来检验呢？2、能否用直线与平面内的有限条直线垂直来检验线面垂直呢？【设计意图】引导学生思维从“无限”向“有限”转变。
（三）探究新知1.平面外的一条直线与平面内的一条直线垂直时，直线是否垂直于平面？联系实际举例。
【设计意图】从一条垂直于一条，向一条垂直于两条进行思维过渡。
通过云班课，思考交流，完成教师派发的课前任务观看视频，联系实际生活并举例。
经过学生课前思考，得出结论;无法证明平面外的一条直线与平面内的所有直线垂直。
得出结论：不一定垂直。
联系实际举例。
2如果一条直线垂直于平面内的两条平行直线，直线是否垂直于平面？将上述的直角三角板倾斜并沿垂直于平行直线的方向平移，观察另一直角边与桌面的位置关系。
联系生活并举例。
【设计意图】体会直线垂直于平面内的两条平行直线时，不一定有线面垂直的结论，为研究线垂直于面内的两条相交直线做好思维导向.3.如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，直线是否垂直于平面？（1）折纸游戏：用准备的三角形纸片，沿BC边上的高AD翻折纸片，观察折痕AD与BD、CD之间的位置关系；再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，且BD、CD 与桌面重合，观察BD与CD的位置关系以及折痕AD与桌面是否垂直.【设计意图】培养学生学习兴趣，初步体会当直线垂直于平面内的两条相交直线时，线与面垂直.（2）根据课本上工人师傅的做法，把直角尺的一条直角边放在板面上（画出此时的位置），看直角尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（注意：与板面重合的直角边在两次检查中不能在同一条直线上）.如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直. 得出结论：直线不一定垂直于平面。
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A ．,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒
B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒
C ．,//m m n n αα⊥⊥⇒
D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥ 变式训练3：已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：（ ）
①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①④
D ．②③
知识点二：直线与平面垂直的判定定理
定理：一条直线与平面垂直内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 图形语言: 符号语言:
题型二 直线与平面垂直的判定定理的运用
例题1：如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。
求证：PC ⊥BC
变式训练1：已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证： 1
AC ⊥面11AB D ．
题型三 ：线线 、线面垂直的相互转换
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
1
A 1
B 1
C 1
D A
B
C
D
E 1
D 1
A D
A
4
2
图5
例题1：已知正四棱柱1111D C B A ABCD -与它的侧视图（或称左视图），E 是1DD 上一点，C B AE 1⊥．求证CD B AE 1平面⊥；
知识点二：面与面垂直
二面角
角
二面角
图形
A
边 顶点 O 边 B
A
梭 l β
B α
定义
从平面内一点出发的两条射线（半
直线）所组成的图形
从空间一直线出发的两个半平面所组
成的图形
构成 射线 — 点（顶点）一 射线
半平面 一 线（棱）一 半平面
表示
∠AOB
二面角α-l-β或α-AB-β
定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
平面与平面垂直的性质定理：
m γ=,n βγ=，γ⊥，αβ⊥，则β⊥
A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面
B. 平面的垂线一定与平面相交
C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
3.已知平面α⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论：
①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。
其中真命题是：（ ）
A. ②
B. ③
C. ①、④
D. ②、③ 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：
①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ）
A. ①、②
B. ③、④
C. ①、④
D. ②、③
5.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
A ．βαβα⊥⇒⊥⊂⊥n m n m ,,
B ．n m n m ⊥⇒⊥βαβα//,,//
C ．n m n m ⊥⇒⊥⊥βαβα//,,
D ．ββαβα⊥⇒⊥=⊥n m n m ,, 6. 已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=2
1
AB=1， M 是PB 的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。