2018届北京市石景山区九年级上学期期末考试数学试题及答案 精品

石景山区2017—2018学年度第一学期期末考试试卷初三数学考 生须 知 1．本试卷共8页．全卷共五道大题，25道小题．2．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、学校、姓名和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分） 在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．1．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =3，则sin A 的值是 A ．34B ．43C ．54D ．532．如图，A ，B ，C 都是⊙O 上的点，若∠ABC =110°，则∠AOC 的度数为 A ．70° B ．110°C ．135°D ．140°3．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点第1题 第2题 第3题FE DC BAOCABCBAF ．则△EFC 与△BFA 的面积比为 A ．2:1B ． 1∶2C ．1∶4D ．1∶84．将抛物线22x y =向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是A ．()212+=x yB ．()212-=x yC ．122-=x yD ．122+=x y5．将762++=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，h ，k 的值分别为 A ．3，2- B ．3-，2- C ．3，16-D ．3-，16-6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆10米的A 处，测得旗杆顶部B 的仰角为α，则旗杆的高度BC 为7．已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法中正确的是A ．0>++c b aB ．0>abC ．02=+a bD ．当0y >时，13x -<<A ．αtan 10B ．αtan 10 C ． αsin 10 D ．αsin 10第6题 第7题CAB8．如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →D →C 的路径运动，到达点C 时运动停止．设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A BC D第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）10.写出一个反比例函数()0k y k x=≠，使它的图象在各自象限内，y 的值随x 值的增大而减小，这个函数的表达式为 .ACD BPaxyO()21a+()22a+2aaxyO a2a a()21a+()22a+2axyOa()21a+()22a+aa()21a+()22a+2axyOa11. 如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE＝ ．位于坐标12．二次函数23x y =的图象如图，点A 0原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…=∠A n-1B n A n =120°.则A 1的坐标为 ； 菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．14．已知：二次函数()k x k x y 32322-++-=（1）若二次函数的图象过点()0,3A，求此二次函数图象的对称D A BC轴；（2）若二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求此时k 的值． 15．如图，⊙O 与割线AC 交于点B ，C ，割线AD过圆心O ，且∠DAC =30°．若⊙O的半径OB=5，AD =13，求弦BC 的长．16． 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，AB的长．3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC和17．一次函数 22y x =+与反比例函数 (0)k y k x=≠的图象都过点()1,A m ，22y x =+的图象与x 轴交于点B ．（1）求点B 坐标及反比例函数的表达式；（2）()0,2C -是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．18． 已知：如图，△ABD 中，BDAC ⊥于C ，1=CE ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，2tan =D ，求ECB ∠sin 和AD 的长．EADCBBCAODC BA四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平．20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A 点距离地面的高度为2m ，当球运行的水平距离为6m 时，达到最大高度5m 的B 处（如图），问该男生把实心球扔出多远？(结果保留根号)21．已知：如图，Rt △AOB 中，︒=∠90O ，以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接黄色红色绿色ABCP BOAAC 交OB 于点P ．（1）求证：BP =BC ；（2）若31sin =∠PAO ，且PC =7，求⊙O 的半径．22．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 边上的点，且AE=BC ，BD=CE ，BE 与AD 的交点为P ，求∠APE 的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B 作BF//AD 且BF=AD ，连接EF ，AF ，从而构造出△AEF 与△CBE 全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APE ∠的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：图1 图2PDEABCF PDE ABC图3BOAC如图3，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 、E 分别为CB ，CA 上的点，且BC AE 21=，CE BD 21=，BE 与AD 交于点P ，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin APE ∠的值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点()m D ,0作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请直接写出m 的取值范围．24．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B =60°，D 为AB 的中点，∠EDF =90°，DE 交AC 于点G ，DF 经过点C ． （1）求∠ADE 的度数；（2） 如图2，将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（︒<<︒600α），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1，∠E 2DF 2 ， DE 1交直线AC 于点P ，DF 1交直线BC 于点Q ，DE 2交直线AC 于点M ，DF 2交直线BC 于点N ，求PMQN的值；（3）若图1中∠B =()︒<<︒9060ββ，（2）中的其余条件不变，判断PM QN的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，点()0,4-D ，8OC =，若抛物线213y x =平移后经过C ，D 两点，得到图1中的抛物线W .（1）求抛物线W 的表达式及抛物线W 与x 轴另一个交点A 的坐标；（2）如图2，以OA ，OC 为边作矩形OABC ，连结OB ，若矩形OABC从O 点出发沿射线OB 方向匀速运动，速度为每秒1个单图1F EGDBAC图2E 1F 1F 2E 2Q MNPDBAC位得到矩形''''O A B C ，求当点'O 落在抛物线W 上时矩形的运动时间；（3）在（2）的条件下，如图3，矩形从O 点出发的同时，点P从'A 出发沿矩形的边C B B A ''→''以每秒25个单位的速度匀速运动，当点P 到达'C 时，矩形和点P 同时停止运动，设运动时间为t 秒.①请用含t 的代数式表示点P 的坐标；②已知：点P 在边''A B 上运动时所经过的路径是一条线段，求点P 在边''A B 上运动多少秒时，点D 到CP 的距离最大.yxDCAOy xC'B'A'D B C A O O'yx PC'B'A'BDCAOO'yxC'B'A'DB C A O O'图1 图2 图3 备用图草稿纸草稿纸石景山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分） 题 号 1 2 345678 答 案 CDC B B A CA二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．π2； 10．只要0>k 即可； 11．38或23； 12．()32,01A ；n 2．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13.解：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8.=222213322⨯+⨯-……………………………4分=6323-. ……………………………5分14.解：（1）将()0,3A 代入二次函数表达式，求得2=k ………………1分将2=k 代入得二次函数表达式为：6822-+-=x x y ……2分 配方得：()2222+--=x y ∴二次函数图象的对称轴为2=x …………3分 （2）由题意得：0=∆ …………………………………4分ABCDOE求得32=k . ……………………………………………………………5分15.解：过点O 作BC OE ⊥于点E ……1分∵AD 过圆心O ，AD =13，⊙O 的半径是5，∴AO =8 ………2分∵∠DAC =30°∴OE =4 ………3分 ∵OB =5, ∴ 勾股得BE =3………4分 ∴BC =2BE =6 ………5分16．解：过点A 作BC AD ⊥，交CB 的延长线于点D ………1分在△ABC 中，3=∆ABC S ，2=BC32==∴∆BCS AD ABC………2分135=∠ABC 45=∠∴ABD∴232==AD AB (3)分3==AD BD ……… 4分在Rt △ADC 中，5=CD ，3422=+=CD AD AC (5)分17．解：（1）由题意: 令0y =,则1x =-∴()1,0B - ……………1分∵A 在直线22y x =+上∴()1,4A (2)分DCBA∵()1,4A 在反比例函数 (0)k y k x=≠图象上∴4k =∴反比例函数的解析式为：4y x=……………3分（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴()2,2D (4)分∴()2,2D 在反比例函数4y x=的图象上 ……5分 18． 解：∵BD AC ⊥，∴︒=∠=∠90ACD ACB ∵E 是AB 的中点，1=CE∴22==CE AB ………1分∵ 23=CDBC ∴设x BC 3=，x CD 2=在Rt △ACD 中，2tan =D∴ 2=CDAC，x AC 4= (2)分在Rt △ACB 中由勾股定理x AB 5=， ∴54sin sin ===∠ABAC B ECB ………3分由2=AB ，得52=x ………4分∴5545222==+=x CD AC AD ……5分 四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）19．解：（1）EA DCB开始红黄绿红黄绿红黄绿绿黄红……………….1分（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） ………2分（2）()31==93P 甲获胜………………..3分()2=9P 乙获胜 (4)分P P > （甲获胜）（乙获胜）∴游戏不公平………………..5分20．解：（说明：根据建系方法的不同，对应给分）以地面所在直线为x 轴，过点A 与地面的垂线作为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. …………………1分 则()0,2A ，()6,5B设抛物线解析式为()()2650y a x a =-+≠，∵()0,2A 在抛物线上 ∴ 代入得：112a =-∴()216512y x =--+ …………….3分 令0y =∴15261-=x （舍），26215x =+ ……………. 4分∴1526+=OCyxABCO答：该同学把实心球扔出1526+m. ……………… 5分21．(1)证明：连接OC ………………1分BC是⊙O 切线90OCB ∴∠=︒ 90OCA BCA ∴∠+∠=︒OC OA =OCA OAC ∴∠=∠90O ∠=︒ 90OAC APO ∴∠+∠=︒ APO BPC ∠=∠90OAC BPC ∴∠+∠=︒ BPC BCA ∴∠=∠BC BP ∴= (2)分(2) 延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE 在Rt AOP ∆中1sin 3PAO ∠=∴ 设,3OP x AP x ==∴ 则22AO x = ………3分AO OE = ， 22OE x ∴= 42AE x ∴=1sin 3PAO ∠=13CE AE ∴= 223AC AE ∴= 3722342x x+∴=………4分解得：x=3PBOAC EPBO AC62AO ∴= (5)分22．解：(1) ∠APE =45° ………1分 (2) 过点B 作FB//AD 且FB=AD ，连结EF 和AF∴四边形AFBD 是平行四边形，APE FBE∠=∠，DB AF = (2)分∵AB 是⊙O 直径，∴∠C =90° ∴FAE BCE ∠=∠=90° ∵2CE BD =，2BC AE =， ∴2CE AF =，∴2CEBCAFEA== ∴△AEF ∽△CBE ……3分 ∴12EF BE=，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°，即∠FEB =90° ……4分 在Rt △BEF 中，∠FEB =90°∴1tan 2EF FBE BE∠==又∵APE FBE ∠=∠∴5sin 5APE ∠=……5分五、解答题（本题共3道小题，23、24每小题各7分，25题8分，共22分）23．（1）由题意得 ()2(4)525544t t -⋅--⋅+=．……………………1分 解得 5t =．321F A O PDECB∴ 二次函数的解析式为：254y x x =-+．…………………2分（2）令0y =,解得4x =或1x = ……………………3分∴()1,0A ， ()4,0B ，令0x =，则4y =∴()0,4C 将B 、C 代入y kx b =+，解得1k =-，4b =一次函数的解析式为：4y x =-+ (4)分（3）212-<<-m 或04m << ……………………7分24．解：（1）∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点∴CD =DB ∴∠DCB =∠B ∵∠B =60°∴∠DCB =∠B=∠CDB =60° ∴∠CDA=120° ∵∠EDC =90°∴∠ADE =30° ………………2分 （2）∵∠C =90°，∠MDN =90° ∴∠DMC +∠CND=180°FEGDBAC∵∠DMC +∠PMD=180°， ∴∠CND =∠PMD 同理∠CPD =∠DQN∴△PMD ∽△QND ………4分 过点D 分别做DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H 可知DG ， DH 分别为△PMD 和△QND 的高 ∴PM DGQN DH =…………………5分∵DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H∴DG ∥BC 又∵D 为AC 中点 ∴G 为AC 中点 ∵∠C =90°，∴四边形CGDH 为矩形有CG =DH =AG Rt △AGD 中，31=AGDG即33=QNPM……………………6分(3) 是定值，值为)90tan(β-︒………7分25．解：E 1F 1F 2E 2H G QMNPD B AC（1）依题意得： )0,4(-D ,()0,8C -∴抛物线W的解析式为：212833y x x =-- ………………………1分另一交点为（6,0） ………………………………………2分 （2）解法一：依题意:在运动过程中，经过t 秒后，点'O 的坐标为：34,55t t ⎛⎫-⎪⎝⎭ ………………………3分将'O 代入212833y x x =--舍去负值得：203t =经过203秒'O 落在抛物线W上 …………………………………………4分 解法二：射线'OB 解析式为：43y x =-∴24312833y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：4163x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴16'4,3O ⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………………3分∴221620'433OO ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴经过203秒'O 落在抛物线W上 …………………………………4分 （3）① 设(),P x y(I)当020t ≤≤时，即点P 在''A B 边上，2'5A P t =，34'6,55A t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭∴365x t=+，65y t =- (5)分(II)当2035t <≤时，即点P 在''B C 边上（不包含'B 点），2'85B P t =- ,34'6,855B t t ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ ，∴1145x t =+，485y t =-- ……………………6分综上所述： ∴当020t ≤≤时，366,55P t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭当2035t <≤时，1414,855P t t ⎛⎫+--⎪⎝⎭②当点P 在''A B 运动时，020t ≤≤，点P 所经过的路径所在函数解析式为：212y x =-+ 又∵直线DC 解析式为:28y x =-- ∴DC ∥AP∴△DCP 面积为定值 ……………7分 ∴CP 取得最小值时，点D 到CP 的距离最大， 如图，当CP ⊥AP 时，CP 取得最小值 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∴∠PMC =90°∵366,55P t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭∴685CM t =-，365PM t =+∵∠DCO +∠PCM =90°，y x PC'B'A'DBCAOO'∠CPM +∠PCM =90° ∴CPM DCO ∠=∠ ∴1tan tan 2CPM DCO ∠=∠=在Rt△PMC 中，∠PMC =90° ∴2PM CM = ∴103t =检验：100203≤≤∴经过103秒时，点D 到CP的距离最大 ………………8分yxMPDCAO。