2020届华大新高考联盟原创精准预测考试(二十)理科数学

2020届华大新高考联盟原创精准预测考试（二十）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}05|2>-=x x x A ，则C R A = A ．{}50|≤≤x x B ．{}0|<x x C ．{}5|>x xD ．{}05|≤≤-x x2．设i 是虚数单位，如果复数2a ii-+的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为A ．3B ．13C ．13-D ．3-3．若向量=（0，-2），=（3，1），则与+2共线的向量可以是 A ．（3，-1） B ．（-1，3） C ．（3-，-1） D ．（3,1--）4．设a ，b R ∈，那么“1ab>”是“0a b >>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为A ．2B ．C ．D ． 6．等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，前n 项和为n S ，则当*n N ∈时，1n nS S -的最小值与最大值的比值为 A ．125-B ．107-C ．109D ．1257．某汽车公司的A ,B 两个装配厂可装配甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可装配1辆甲型车和2辆乙型车,B 厂每小时可装配3辆甲型车和1辆乙型车.现要装配40辆甲型车和40辆乙型车,若要使所费的总工作时数最少,则这两个装配厂的工作时数分别为 A ．16,8 B ．15,9 C ．17,7D ．14,108．已知正数,x y 满足1=+y x ，则141x y++的最小值为 A ．5 B ．314 C ．92D ．29．已知函数()cos f x x x =+，把函数()f x 的图象向右平移3π个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数()g x 的图象，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x k -=有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为A ．⎡⎣B ．)2C ．[]1,2D ．[)1,210．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．12017-B ．12018-C ．12019-D ．12020-11．甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是 A ．甲是教师,乙是医生,丙是记者 B ．甲是医生,乙是记者,丙是教师 C ．甲是医生,乙是教师,丙是记者 D ．甲是记者,乙是医生,丙是教师12．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数b x ab ax x f --+=)1()(2，如果不等式()0f x >的解集为()1,3-，那么不等式()20f x -<的解集为________________.14．观察下列各式：31=1，3321+2=3，33321+2+3=6，333321+2+3+4=10，…，由此推得：33331+2+3+n = ．15．若函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>如图所示,则图中的阴影部分的面积为 . 16．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为21cm 的实心铁球，四个球两两相切，水面恰好浸没所有铁球，则需要注水体积为 cm 3.三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分 17．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N *. (1)求通项公式a n .(2)求数列{a n -n-2}的前n 项和.18．（12分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p (万元)和宿舍与工厂的距离x (km )的关系为)80(53≤≤+=x x kp ,若距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元.为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f (x )为建造宿舍与修路费用之和.(1)求f (x )的表达式(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f (x )最小并求最小值.19．（12分）如图，在四边形ABCD 中2.3ADC π∠=（1）求CAD ∠的正弦值；（2）若2BAC CAD ∠=∠，且△ABC 的面积是△ACD 面积的4倍，求AB 的长.20．（12分）各项均为正数的等比数列{}n a 中，已知152,512,n a a T ==是数列{}2log n a 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足20131011)11()11)(11(32>---n T T T 的最大正整数n 的值. 21．（12分）已知函数()ln 3f x a x ax =-- (0)a ≠． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()(1)40f x a x e +++-≤对任意2[,]x e e ∈恒成立，求实数a 的取值范围（e 为自然常数）；(3)求证：22221111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)1234n++++++++<*(2,)n n N ≥∈． (二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧ϕ=ϕ+=sin cos 1y x （ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与曲线C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数|1|)(-=x x f（1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：)(||)(ab f a ab f >.理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：13．}2123|{>-<x x x 或 14．4)1(22+n n 15. 231- 16. π+)2231(三、解答题：17．解：(1)由题意得1221a a 4,a 2a 1,⎧+=⎪⎨=+⎪⎩则12a 1,a 3.⎧=⎪⎨=⎪⎩-----------------------------------2分又当n≥2时,由a n+1-a n =(2S n +1)-(2S n-1+1)=2a n ,得a n+1=3a n ,-------4分所以数列{a n }是以1为首项,公比为3的等比数列,所以a n =3n-1,n ∈N *.---6分 (2)记S n =(a 1-1-2)+(a 2-2-2)+(a 3-3-2)+……+(a n -n-2) ------8分 =(a 1+a 2+……+a n )-[3+4+5+……+(n+2)] ------10分=2513252132)23(313122nn n n n n n n n ---=+--=++--------12分 18．解(1)根据题意，距离为1km 时，测算宿舍建造费用为100万元800,513100=∴+⨯=k k-------------3分 80,6553800)(≤≤+++=∴x x x x f-------------6分 (2)5805)53(253800)(-≥-+++=x x x f =75-------------8分当且仅当)53(253800+=+x x 即x ＝5时75)(min =x f -------------11分 答：宿舍应建在离厂5km 处可使总费用f(x)最小为75万元. ------12分 19.（Ⅰ）在△ACD 中，设(0)AD x x =>，由余弦定理得2227=422cos 3x x x x +-⨯⋅π，-----------------2分 整理得277x =，解得1x =.所以1, 2.AD CD ==---------------------------------------------------4分由正弦定理得2sin sin 3DC ACDAC =∠π，解得sin DAC ∠= .......................6分（Ⅱ）由已知得4ABC ACD S S ∆∆=，所以11sin 4sin 22AB AC BAC AD AC CAD ⋅⋅∠=⨯⋅⋅∠， 化简得sin 4sin .AB BAC AD CAD ⋅∠=⋅∠ ------------------------------8分所以2sin cos 4sin ,AB CAD CAD AD CAD ⋅∠⋅∠=⋅∠于是cos 2.AB CAD AD ⋅∠=--------------------------------------------------10分因为sin 7CAD ∠=，且CAD ∠为锐角，所以cos CAD ∠==分因此AB = ...............12分 20．21．解：（1）函数的定义域为，'(1)()a x f x x-=, 2分 当0a >时，()f x 的单调增区间为(0,1]，单调减区间为[1,)+∞； 3分 当0a <时，()f x 的单调增区间为[1,)+∞，单调减区间为(0,1]； 4分 （2）令()ln 3(1)4ln 1F x a x ax a x e a x x e =--+++-=++-, 则'()a x F x x +=，令'()0a xF x x+==，则x a =- 5分 （a ）若a e -≤,即a e ≥- 则()F x 在2[,]e e 是增函数,22max()()210F x F e a e e ==++-≤ 212e e a --≤无解. 6分（b ）若2a e -≥即2a e ≤-，则()F x 在2[,]e e 是减函数,max ()()10F x F e a ==+≤ 1a ≤- 所以2a e ≤- 7分（c ）若2e a e <-<,即2e a e -<<-，()F x 在[,]e a -是减函数, 在2[,]a e -是增函数,22()210F e a e e =++-≤可得212e e a --≤ ()10F e a =+≤可得1a ≤-所以2212e e e a ---≤≤综上所述212e e a --≤ 8分（3）令1a =-（或1a =）此时()ln 3f x x x =-+-，所以(1)2f =-，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在[1,)+∞上单调递增，∴当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x f >即ln 10x x -+->，∴ln 1x x <-对一切(1,)x ∈+∞成立， 9分∵*2,n n N ≥∈，则有2211111ln(1)(1)1n n n n n n+<<=---， 10分 所以 22221111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)234n++++++++ 1111111(1)()()...()223341n n <-+-+-+--111n=-< 12分22.(1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= ，极坐标方程为2cos ρθ= ------4分(2)设11(,)P ρθ，则有2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,3πρθ== --6分 设22(,)Q ρθ，则有2sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得223,3πρθ==--8分所以2PQ = . --10分23.解：（1）f (x )＋f (x ＋4)＝|x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，x ＜－3，4，－3≤x ≤1，2x ＋2，x ＞1．当x＜－3时，由－2x－2≥8，解得x≤－5；当－3≤x≤1时，f(x)≤8不成立；当x＞1时，由2x＋2≥8，解得x≥3．……………………………………………4分所以，不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤－5，或x≥3}．……………………………5分（2）f(ab)＞|a|f(ba)，即|ab－1|＞|a－b|．…………………………………………6分∵因为|a|＜1，|b|＜1，∴|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以，|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．…………………………………10分。