2020深圳高三期末考试·理数答题卡
2020届广东省深圳市罗湖区高三上期末理科数学试卷参考答案及评分细则
2019-2020学年第一学期期末质量检测理科数学评分细则与参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 24y x =-； 14. 0.88； 15. p =2，（2分）k =（3分）; 16. 1818.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分) 解：（1）2222sin a c b ac C +=+………………………………………… …………2分………… …………4分………… ……………………6分ABC ∆的面积sin 22S bc A ==,又4A =，所以bc =…………………… …8分 由正弦定理sinA sin sin a b c B C ==，sin sin ,sin sin a B a C b c A A== 所以22222sin sin 52sin sin 2sin cos sin sin 88884a B C bc a a a A πππππ=====， ………… …10分 所以28a =，a =． …………………… ……………………………… ……………………12分 18．(12分）解：(1) 由题意,又AB=2，所以AE ⊥BE ，又平面PEB平面ABED EB =,且平面PEB ⊥平面ABED ,所以AE ⊥平面PEB ， (2)分 故AE ⊥PB,又PB ⊥PE,且AEPE=E,所以PB ⊥平面PEA ． (4)分 （2）以BE 的中点O 为坐标原点，以OP 的方向为z 轴正方向，过点O 分别做AB 和AD 的平行线，分别为x 轴和y 轴的方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． …………………………………………5分则31,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P ⎛ ⎝⎭， ……………………………………6分 设()111,,x y z =n 为平面ADP 的法向量，则有则00AD AP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n，即11110310222y x y =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取,0,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭n =，……………………………… 8分 设()222,,x y z =m 为平面AEP 的法向量，则有则00AE AP ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩m m，即222220310222x y x y z --=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，可取(1,=-m ，…………………………… 10分 所以cos ,m n =|∙n m |n ||m=11． 则二面角D PA E --. ………………………………………………………… 12分19．(12分）解：(1)由题意2222ab c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得224,1a b ==, 所以椭圆的方程2214x y += ……………………………………………………………………………… 4分 （Ⅱ）设直线l 的方程设为12y x t =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，……………………………………… 5分 联立221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得 2224440x tx t ++-= ……………………………………… 6分 则有212122,22x x t x x t +=-=- ………………………………………7分且()22168440t t t =-->⇒<<又1112y x t =+，2212y x t =+， ()2212121212111122422t t y y x t x t x x x x t -⎛⎫⎛⎫=++=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()1212122y y x x t t +=++= …………………………………………………………… 8分 由AB 为直径的圆过点71(,)66P -,得0,PA PB ⋅=……………………………………………………9分 所以，1212771106666x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得()()12121212749110636636x x x x y y y y -++++++= 所以()22271125422200626189t t t t t t ---⨯-+++=+-=，则 ……………………………… 10分 解得1214,33t t ==-，又4133<-<< 所以直线l 的方程为1123y x =+或1423y x =- …………………………………………………… 12分20．(12分）（1）证明：方法1：若1a =，则[]2()1sin ,0,f x x x x π=+-∈又211x +≥，0sin 1x ≤≤，故0sin 1x ≥-≥-，所以21sin 0x x +-≥，……………………………2分又(0)1f =， 2ππ()=24f ，2(π)=π+1f ，当ππ(0)(,π)22x ∈⋃，时，1sin 0x -<-<， 所以21sin 0x x +->恒成立，所以当1a =时，函数()f x 在区间[]0,π没有零点．…………………………………………………… 4分方法2：若1a =，则[]2()1sin ,0,f x x x x π=+-∈[]()2cos ,0,f x x x x π'=-∈ ，()2sin 0f x x ''=+≥，故函数()f x '递增，又(0)10f '=-<，()210f ππ'=+>，所以()f x '在[]0,π有一个零点，设为0x ，所以在区间[)00,x 上，函数()f x 递减，在区间(]0x π，上，函数()f x 递增，故2000()()1sin f x f x x x ≥=+-又000()2cos 0f x x x '=-=，得00cos 2x x =， ………………………………………2分 所以2200000cos sin 5()()1sin sin 444x x f x f x x x ≥=+-=--，又01sin 0x ≥≥， 所以200sin 5sin 044x x --≥，当且仅当0sin 1x =，即02x π=时等号成立， 又当02x π=时00cos 2x x ≠，即02x π≠，故0()()0f x f x ≥>， 所以当1a =时，证明：函数()f x 在区间[]0,π没有零点．………………………………………… 4分（2）解： []()2cos ,0,f x x a x x π'=-∈，故2cos sin 0x a x a x a -++≤，设()2cos sin g x x a x a x a =-++，[]0,x π∈， …………………………………………… 6分 由(0)00g =≤，()220g a a πππ=+≤⇒≤-，()2sin cos 24g x a x a x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭ ……………………………………………… 8分 由a π≤-，得0a <，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x '单调减，2(0)()()24a g g x g π'''+=≥≥=+在区间,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()g x '2()()()24g g x g a ππ'''+=≤≤=-又a π≤-，所以(0)20g a '=+<，()204g π'=+<，()20g a π'=->………………………10分故()g x ' 在区间,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一零点区间0x ，由()g x '的单调性可知， 在区间[]00,x 上()0g x '≤，()g x 单调减，在区间(]0,x π上()0g x '≥，()g x 单调增，()(0)0()()0g x g g x g π≤=⎧⎨≤≤⎩，故a π≤-． ……………………………………………… 12分21．(12分）解: (1)设模型 6.90570.0195y x ∧=+和 6.86390.1012ln y x ∧=+的相关指数分别是21R 和22R , 则210.01485570.0619319R =-,220.00487810.0619319R =-, 因为0.0148557>0.0048781,所以21R <22R所以模型 6.86390.1012ln y x ∧=+的拟合效果更好. …………………………………………… 3分（2）2020年5月份的对应月份代码为18，由(1)知,模型 6.86390.1012ln y x ∧=+的拟合效果更好,利用该模型预测可得,这个小区2020年5月份的在售二手房均价为()6.86390.1012ln18 6.86390.1012ln 22ln 37.16y ∧=+=++≈万元/平方米 ，………… 6分 (ⅰ)设该购房者应支付的购房金额为h 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以①当5090s ≤≤时，契税为计税价格的1%故7.16(1%1)7.2316h s s =⨯⨯+=②当90144s <≤时，契税为计税价格的2%故7.16(2%1)7.3032h s s =⨯⨯+=③当144160s <≤时，契税为计税价格的4%故7.16(4%1)7.4464h s s =⨯⨯+= 故7.2316,5090,7.3032,90144,7.4464,144160.s s h s s s s ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪<≤⎩………………………………………………… 9分 所以当5090s ≤≤时，购房金额为7.2316s 万元；当90144s <≤时，购房金额为7.3032s 万元；当144160s <≤时，购房金额为7.4464s 万元.(ⅱ)设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为t 平方米，由（ⅰ）知，当5090s ≤≤时，应支付的购房金额为7.2316s 万元，又7.23167.231690760s ≤⨯<，又因为房屋均价约为7.16万元/平方米，7.16144760⨯>，所以t<144,所以90144t ≤<. 由7.3032760t ≤，解得760104.17.3032t ≤≈， 所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为104平方米．……………………………………… 12分22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解: （1）由2x t y kt=-⎧⎨=⎩，消去参数t 得1l 的普通方程()2y k x =-， ………………………… 2分 由2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数m 得2l 的普通方程()12y x k =+， ………………………… 4分 设P (),x y ，由题意得()()212y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2210x y y +=≠， ……………………………5分 （2）由（Ⅰ）曲线1C 的坐标方程为()20,ρθθπ=≠≠， ……………………………6分由题意4sin 2ρθρ=⎧⎨=⎩得1sin 2θ=，故6πθ=或56πθ= 所以曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭．………………………………………… 10分23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）解:（1）当1,2b a ==时，()23,1145,1423,4x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩这时函数()f x 的最小值为5． ………………………………………… 4分（2）由0a b >> ，故()10b a b -<-，20a > ()()()()()()()222222112,111,12,x a x b a b b a b f x x x a a x a b a b b a b b a b x a x a b a b ⎧-+-<-⎪--⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨---⎪⎪-+>⎪-⎪⎩，……………………………8分 【别解()()()()222111x x a x x a a b a b b a b b a b ⎛⎫++-≥+--=+ ⎪ ⎪---⎝⎭……………………… 8分】故()()21f x a b a b ≥+- 又()a b a b =+-≥()214b a b a ≥-， 故()()222144f x a a b a b a ≥+≥+≥-，当且仅当2a b ==，时等号成立． …… 10分。
2020年深圳市普通高中高三年级线上统一真题测试理科数学试题(含答案)
定理．设点 O ， H 分别是△ ABC 的外心、垂心，且 M 为 BC 中点，则
A． AB + AC = 3HM + 3MO
B． AB + AC = 3HM − 3MO
C． AB + AC = 2HM + 4MO
D． AB + AC = 2HM − 4MO
12．已知定义在[0，π] 上的函数 f (x) = sin(x − π)( 0) 的最大值为 ，则正实数 的取值个数
A． 3
B． 5 2
6．已知 tan = −3 ，则 sin 2( + π ) = 4
C． 5
D. 2
A． 3 5
B． − 3 5
7． (x − 2 )7 的展开式中 x3 的系数为 x
C． 4 5
D． − 4 5
A．168
B． 84
C． 42
D. 21
深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 1 页 共 5页
+
y2 4
= 1 上，动点 N
在以 M第为9 题圆图心，半径长为 | MF1 |
的圆上，则 | NF2 | 的最大值为
A． 2
B． 4
C． 8
D．16
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到
外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线
A． (−1,3)
B． (−1,3]
C． (0,3)
D． (0,3]
2．设 z = 2 + 3i ，则 z 的虚部为 3 − 2i
A． −1
B．1
【2019-2020高三理科数学试卷】人教A版2020届高三第二次联考 答题卡及参考答案
2020届高三第二次联考理科数学试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}2xA y y ==，(){}ln 1B x y x ==-，则AB =（ ）． A ．[)0,+∞B ．()0,1C ．(),1-∞D ．[)1,+∞2．设复数z 满足1i z --=z 的最大值为（ ）．AB ．2C ．D ．43．下列关于命题的说法错误．．的是（ ）． A ．“1ω=”是“函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为2π”的充要条件 B ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” C ．命题“若随机变量()1,4X N ~，()0P X m ≤=，则()0212P X m <<=-”为真命题 D ．若命题0:P n N ∃∈，021000n >，则:P n N ⌝∀∈，21000n ≤4．设0.23x =，3log 2y =，cos2z =，则（ ）． A ．z y x <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．x z y <<5．已知平面向量()1,a m =，()2,5b =，(),3c m =，且()()a c ab +-P ，则m =（ ）．A ．3-或1B ．2或1-C ．32-± D ．32±6．已知椭圆22142x y +=上一点P ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若12F PF △为直角三角形，则满足条件的点P 有（ ）． A ．8个B ．6个C ．4个D ．2个7．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（ ）． A ．1B ．3C ．5D ．78．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）．A ．3213log 2+B ．2log 3C ．4D ．29．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请100名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如某次统计结果是28m =，那么本次实验可以估计π的值为（ ）． A ．227B ．4715C ．7825D ．531710．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点P ，Q ，若2PQ QF =，60PQF ∠=︒，则该双曲线的离心率为（ ）．AB ．1C ．2+D ．4+11．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分别为1AD ，1B C 上的动点，且满足1AP B Q =，则下列4个命题中，所有正确命题的序号是（ ）． ①存在P ，Q 的某一位置，使AB PQ P②BPQ △的面积为定值③当0PA >时，直线1PB 与直线AQ 一定异面④无论P ，Q 运动到何位置，均有BC PQ ⊥A ．①②④B ．①③C ．②④D ．①③④12．设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=且()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则函数()()()cos πg x x f x =-在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点的和为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．等比数列{}n a 中，n S 表示前n 项和，3221a S =+，4321a S =+，则公比q 为______．14．在四面体P ABC -中，3PA BC ==，2PB AC ==，PC AB ==积为______．15．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为______． 16．设函数()()πsin 05f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ．已知角A ，B ，C 成等差数列，C 为钝角，且满足2222sin 0a bc C b c +--=．（1）求角A ，B ，C 的大小； （2）若2a =，求ABC △的面积S 的值． 18．（本小题满分12分）如图1，PAD △是以AD 为斜边的直角三角形，1PA =，BC AD P ，CD AD ⊥，22AD DC ==，12BC =，将PAD △沿着AD 折起，如图2，使得2PC =．图1图2（1）证明：面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --大小的余弦值． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知曲线C 上的动点P 到点1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线1:4l x =-的距离相等．（1）求曲线C 的轨迹方程；（2）过点()1,1M 分别作射线MA 、MB 交曲线C 于不同的两点A 、B ，且M A M B⊥．试探究直线AB是否过定点？如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值． 21．（本小题满分12分） 已知函数()()ln 01x xf x a a x =-<-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间并判断单调性；（Ⅱ）若()()()2h x x x f x =-⋅，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．22．选修4-4：坐标系与参数方程(10分)在直线坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）写出1C 的普通方程和极坐标方程； （2）设A ，B 是1C 上的两点，且OA OB ⊥，求2211OAOB+的值．23．选修4-5：不等式选讲(10分)已知函数()21f x m x =--，m ∈R ，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤． （1）求m 的值 ；（2）若a ，b ，c 都为正数，且111232ma b c ++=，证明：239a b c ++≥．2020届高三第二次联考理科数学试卷答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）二、填空题（本题满分20分）13 . 14.15.16.三、解答题（本题满分70分）班级 姓名 座号密 封 装 订 线2020届高三第二次联考理科数学试卷参考答案1．B 集合()0,A =+∞，集合(),1B =-∞，故()0,1AB =．2．C复数z 对应复平面上的点是以()1,1为圆心，为半径的圆，故z 的最大值即为圆的直径．3．A“1ω=”是“函数()π3sin 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭最小正周期为2π”的充分不必要条件． 4．A ∵0.231>，∴30log 21<<，cos20<．5．D因为()1,3a c m m +=++，()1,5a b m -=--，而()()a c ab +-P ，∴()()153m m m +-=--，∴2320m m --=，解得m =． 6．B 7．C∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+， ∴12a =，∴45a =． 8．D 9．C∵0101x y <<⎧⎨<<⎩而满足构成钝角三角形，则需22110x y x y +>⎧⎨+-<⎩，如图．弓形面积：28π110042=-，∴78π25=．10．B如图，三角形OQF 为正三角形，QF c =，2QF a c '=+Rt FQF '△，π3QFF '∠=，∴2a c c+=1e =． 11．D①当P ，Q 分别为棱1AD ，1B C 的中点时满足，正确．②取特殊位置BPQ △的面积为变化，故错误．同理③④正确．12．C由于函数()f x 与函数()cos πy x =都为偶函数，故在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点和为0，只需求在13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦零点和，而两函数都关于直线1x =对称，且1x =为零点，另外两零点和为2，故所有零点和为3． 13．3q =由3221a S =+，4321a S =+得()4332322a a S S a -=-=，∴433a a =，∴433a q a ==．14 由于三棱锥相对的棱长对应相等，构造长方体模型，相对的棱长即为长方体面的对角线长． 15．58设事件()1,2,3,4i A i =表示“该软件能通过第i 轮考核”，由已知得()156P A =，()235P A =，()334P A =，()413P A =， 设事件C 表示“该软件至多进入第三轮”，则()()()()()112123112123P C P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++15253156656548=+⨯+⨯⨯=．16．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 分析：由于()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则令π5π5x ω+=， 解得24π2π5x ω=≤，得125ω≥， 再令π6π5x ω+=，解得29π2π5x ω=>，得2910ω<． 17．解：（1）因为A ，B ，C 成等差数列，∴2B A C =+，又πA B C ++=，∴3πB =，π3B =． 由2222sin 0a bc C b c +--=和余弦定理可得222πsin cos sin 22b c a C A A bc +-⎛⎫===+ ⎪⎝⎭． ∵C 为钝角，而π2A +也是钝角， ∴π2C A =+， ① 又2π3A C +=， ② 联立①②解得π12A =，7π12C =，∴π12A =，π3B =，7π12C =为所求． （2）由2a =和正弦定理sin sin a c A C=可得1ππ7π22sin 2sin 234124πππsin sin 1234c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭====+⎛⎫- ⎪⎝⎭∴(11sin 243222S ac B ==⨯⨯+⨯=+ 所以ABC △的面积S的值是3+18．解：（1）法一 证明：∵1DC =，2PC =，PD == ∴222PD CD PC +=，即CD PD ⊥．又CD AD ⊥，PD AD D =，∴CD ⊥面PAD ，CD ⊂面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ．法二 过P 作PO AD ⊥①，垂足为O ，连结OC ．∵1PA =，∴12AO =，2PO =，222134OC OD CD =+=，22213344OC PO PC +=+=， ∴PO OC ⊥， ②又AD OC O = ③，所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊂面PAD ，所以面PAD ⊥平面ABCD ．得证．（2）如图，以O 为坐标原点，垂直OD 方向为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直线坐标系．10,,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0B ，31,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭． 设面BPC 的法向量为()111,,m x y z =，由00m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得112x z =，10y =，取()3,0,2m = 设面PAB 的法向量为()222,,n x y z =，由00n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22302x y +=，22202x y z --+=，取3,n ⎛=- ⎝ ∴13301cos ,m n m n m n ⋅==⋅，由图形可知二面角A PB C --为钝角，所以二面角A PB C --大小的余弦值为． 19．解：（1）设，依题意14PF x =+14x =+， 化简得2y x =，∴曲线C 的轨迹方程为2y x =．（2）直线AB 经过定点()2,1-证明：如图，依题意，直线AB 斜率不能为0，所以设直线AB 的方程为x my t =+联立2y x =得20y my t --=，240m t ∆=+> ①， 设()1,A x y 、()2,B x y ，则12y y m +=，12y y t =-．又MA MB ⊥，∴0MA MB ⋅=，即()()()()121211110x x y y --+--=， 即()()12121212110x x x x y y y y -+++-++=，又211y x =，222y x =，∴()()()2212121212320y y y y y y y y -++-++=， ∴()()()22223232120t t m m t t m m t m t m ---+=--+-=+---=， 依题意，直线AB 不经过M ，∴1m t +≠，所以，2t m =+．此时代入①式恒成立．而当2t m =+时，直线AB 方程为2x my m =++，即()()210x m y --+=， 即直线AB 过定点()2,1-．综上，直线AB 过定点()2,1-．20．解：（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+． ∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532．（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--． 当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =． 21．解：（Ⅰ）依题意，定义域为()()0,11,+∞，()()21ln 1x x f x x --'=- 设()1ln g x x x =--，则()11g x x'=-， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，∴()()10g x g >=，∴()0f x '>，∴()f x 在()0,1上单调递增．当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，∴()()10g x g >=，∴()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上单调递增．综上可得，函数()f x 的单调增区间为()0,1，()1,+∞．（Ⅱ）()()22ln 0h x x x ax ax a =-+<，∴()2ln 2h x x x x ax a '=+-+， 设()()m x h x '=，∴()2ln 23m x x a '=-+，∴()m x '在()0,+∞上单调递增， 当0x →时，()0m x '<，()1320m a '=->，∴必存在()0,1α∈，使得()0m α'=，即2ln 230a α-+=，∴()h x '在()0,α上单调递减，在(),α+∞上单调递增，又()20h a αα'=-<，()110h a '=->，设()00h x '=，则()00,1x ∈， ∴()h x 在()00,x 上单调递减，在()0.,x +∞上单调递增， 又()10h =，不妨设12x x <，则100x x <<，021x x <<，由（Ⅰ）知()()()()()()()()()()21011102202022,h x f x x x f x f x f x f x h x f x x x ⎧>-⎫⎪⎪⇒⎬⎨><-⎪⎪⎭⎩， ∴()()()()()()2202221011f x x x h x h x f x x x ->=>-，∴()()()()222211212110x x x x x x x x ---=-+->，∴121x x +>． 22．解：（1）曲线1C的参数方程为2cos y x αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 移项后两边平方可得2222cos sin 143x y αα+=+= 即曲线1C 的普通方程是22143x y +=． 因为cos x ρα=，sin y ρα=，代入上式可得1C 的极坐标方程为2222cos sin 143ραρα+=． 即2221cos sin 43ααρ=+． （2）因为A ，B 是1C 上的两点，且OA OB ⊥， 所以不妨设()1,A ρθ，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 由()1,A ρθ在曲线1C 上可知22211cos sin 43θθρ=+． 同理，2π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上可知222222ππcos sin 1sin cos 224343θθθθρ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+． 所以，22222222121111cos sin sin cos 11743434312OA OB θθθθρρ+=+=+++=+=．23．解：（1）()21f x m x =--，m ∈R ，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 即20m x -≥的解集为{}11x x -≤≤， 又因为20m x -≥解集为22m m x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭， 所以12m =，即2m =． （2）因为a ，b ，c 都为发，所以111123a b c ++=， 所以()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 232332332b a a c b c a b c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭39≥+=， 当且仅当233a b c ===时，等号成立， 即239a b c ++≥，得证．。
2020届深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)参考答案
函数 f (x) 在区间[−1,3] 上有两个零点，
f (−1) = 2t 0
则
f
(3)
=
8
−
−1 t 3
6t
0
，解得
0
t
4 3
，
V= 4t 2 + 4 0
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
sin A
2
2
（法二） acos B + bsin A = c ，
又 acos B + bcos A = c ，
acos B + bsin A = acos B + bcos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A = cos A，又 A(0, π) ， A = π . ……………………………………………9 分 4
a2 + b2 − c2 = absin C ， …………………………………………………………………2 分
在△ ABC 中，由余弦定理得 cosC = a2 + b2 − c2 = absin C = sin C ，
2ab
2ab
2
sin C=2cosC ， …………………………………………………………………………4 分
在 Rt NAD 中， sin = AN = 1 = 2 ， …………11 分 ND 2 2
= π ， = π ，
4
2
二面角 N − BD − M 的正弦值为1 .
…………………12ຫໍສະໝຸດ 分（法二）由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 − 2AD ABcosDAB = 3，
2020届广东省深圳市罗湖区普通高中高三年级上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省深圳市罗湖区普通高中2020届高三年级上学期期末教学质量监测数学(理)试题(解析版)2020年1月本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填写在答题卡上.2.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3.非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.设复数11z i i =--，则z =（ ）A. 12B. 14 D. 2【答案】D【解析】【分析】先将z 整理为a bi +的形式,进而求解即可【详解】由题,()()11111111222i i z i i i i i i i ++=-=-=-=-+--+,所以2z ==,故选:D【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法法则的应用2.已知集合{}2|280M x x x =+-≤,{}|21x N x =<,则MN =（ ） A. {}|42x x -≤≤ B. {}|40x x -≤< C. {}2|0x x <≤D. {}|48x x -≤<【答案】B【解析】【分析】先解不等式可得{}|42M x x =-≤≤,{}|0N x x =<,再由交集的定义求解即可【详解】由题,则{}|42M x x =-≤≤,{}|0N x x =<,所以{}|40M N x x ⋂=-≤<,故选:B【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式,考查解指数不等式3.已知平面向量()2,0a =,2b =,2a b ⋅=,则2a b -=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】对2a b -平方处理,进而求解即可 【详解】由题,222222442424212a b a a b b -=-⋅+=-⨯+⨯=,所以223a b -=,故选:A【点睛】本题考查向量的模,属于基础题4.为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异,召集了男女志愿者各200名,要求他们同时完成多个任务,包括解题、读地图、接电话.下图表示了志愿者完成任。
(8开)2020高考、模拟考广东全套答题卡模板(语文、理数、文数、英语、理综、文综)(免排版、可编辑)
图形插入区图形插入区图形插入区图形插入区2019年广东高考满分作文：热爱劳动，从我做起尊敬的老师，亲爱的同学：我今天演讲的题目是：热爱劳动，从我做起。
——大家收听过美术片《小猫钓鱼》主题歌《劳动最光荣》吗？歌词是：“太阳光金亮亮，雄鸡唱三唱，花儿醒来了，鸟儿忙梳妆，小喜鹊造新房，小蜜蜂采蜜糖，幸福的生活从哪里来？要靠劳动来创造！……小蝴蝶贪玩耍，不爱劳动不学习，我们大家不学它！……劳动的快乐说不尽，劳动的创造最光荣！”——小动物都懂得劳动创造幸福生活、劳动快乐的道理，更何况我们人类呢？让我们更加热爱劳动吧！大家学过历史知识知道，劳动创造了人类本身！劳动使我们双手更灵巧，心灵更纯洁，劳动使我们的生活更幸福，劳动使我们的生活充满阳光！我国古代魏晋诗人陶渊明在《劝农》诗中写道：“民生在勤，勤则不匮”——就是说：人生在世须勤奋，勤奋衣食不发匮。
只要勤劳就不会缺少物资。
说明了：劳动是财富的源泉，也是幸福的源泉。
苏联作家高尔基曾经说过：“劳动是世界上一切欢乐和一切美好事物的源泉。
”劳动者是最光荣的！有了农民伯伯的辛勤劳作，才有了五谷飘香；有了司机师傅的安全驾驶，端午小长假里我们才能和家人团聚；有了“白衣天使”的无私奉献，患者才绽放如花的笑脸……劳动是如此的美好和光荣！我想到了老师——孜孜不倦，教书育人；像冉冉的蜡烛在默默的燃烧……我们长大了，老师的额头也现出皱纹。
在此，我和大家要向辛勤的园丁致敬！向老师学习！我们要向一切勤奋工作的人们看齐，提倡大家带头做到：热爱劳动，从我做起！我有一本书叫《诗经鉴赏辞典》，写道：“夙兴夜寐，洒扫庭内，维民之章”就是说：应该早起又晚睡，里外洒扫除尘垢，为民表率要带头！热爱劳动是中华民族的优秀传统，绵延至今。
可是，现实生活中，也有一些同学不理解劳动，不愿意劳动。
有的说：“我们学习这么忙，劳动太占时间了！”有的说：“科技进步这么快，劳动的事，以后可以交给人工智能啊！”也有的说“劳动这么苦，这么累，干吗非得自己干？花点钱让别人去做好了！”——这些出自校园的不和谐音，显然是不对的！也是幼稚的！忘记了先辈的教诲，成了“四体不勤，五谷不分”的小懒汉。
广东省深圳市南山区2023届高三上学期期末数学试题(解析版)
南山区2022-2023学年度第一学期期末质量监测高三数学试题2023.1注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-<<，(){}20N x x x =-≤，则M N ⋂=（）A.(]1,2- B.(]1,0- C.[)0,1 D.(]0,2【答案】C 【解析】【分析】先求出集合N 中元素范围，再根据交集的概念可得答案.【详解】(){}]200,2N x x x =-≤=，{}11M x x =-<<[)0,1M N ∴= 故选：C.2.命题“存在无理数m ，使得2m 是有理数”的否定为（）A.任意一个无理数m ，2m 都不是有理数B.存在无理数m ，使得2m 不是有理数C.任意一个无理数m ，2m 都是有理数D.不存在无理数m ，使得2m 是有理数【答案】A 【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题得命题“存在无理数m ，使得2m 是有理数”的否定为“任意一个无理数m ，2m 都不是有理数”故选：A.3.若()()313x a x --的展开式的各项系数和为8，则=a （）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】直接令1x =计算可得答案.【详解】令1x =得()()31138a --=，解得2a =故选：C.4.已知随机变量X 的分布列如下：X12Pmn若()53E X =，则m =（）A.16 B.13C.23D.56【答案】B 【解析】【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.【详解】由已知得5231m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得13m =故选：B.5.设3log 4a =，0.50.4b =，0.52c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.<<c a bB.b a c <<C.c b a <<D.<<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造对数函数和幂函数，利用其单调性来比较大小.【详解】函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，33log 4log 31a =>=，函数0.5y x =在[)0,∞+上单调递增，50.0.50.505.0.40.5121b c -<=<===<<b c a∴故选：D.6.在,,A B C 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5:6:9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（）A.0.032B.0.048C.0.05D.0.15【答案】B 【解析】【分析】由题意可知，分别求出此人来自,,A B C 三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【详解】设事件D 为“此人是流感患者”，事件123,,A A A 分别表示此人来自,,A B C 三个地区，由已知可得123569()0.25,()0.3,()0.45569569569P A P A P A ======++++++，123()0.06,()0.05,()0.04P D A P D A P D A ===，由全概率公式得112233()()()()()()()0.250.060.30.050.450.040.048P D P A P D A P A P D A P A P D A =++=⨯+⨯+⨯=故选：B7.若函数()cos f x x x =在区间1ln ,ln a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为m ，最大值为M ，则下列结论正确的为（）A.0m M += B.0mM = C.1mM = D.1m M +=【答案】A 【解析】【分析】求出函数在1ln ,ln a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为奇函数，数形结合得到最小值与最大值的和为0，推导出0mM <.【详解】1lnln a a=-，由题意得：ln 0a ->，故()0,1a ∈，1ln ,ln a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于原点对称，且()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，故()cos f x x x =为奇函数，则0m M +=，A 正确，D 错误；故,m M 一定异号，所以0mM <，BC 错误.故选：A8.已知交于点P 的直线1l ，2l 相互垂直，且均与椭圆22:13x C y +=相切，若A 为C 的上顶点，则PA 的取值范围为（）A.B.⎡⎣C.⎤⎦D.[]1,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设(),P m n ，由条件联立直线与椭圆方程，得到点P 的轨迹是圆，从而得到结果.【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设(),P m n ，且过P 与椭圆相切的直线方程为：()y n k x m -=-，联立直线与椭圆方程()2213x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得，2221()2()()103k x k n km x n km ++-+--=所以()()2222144103k n km k n km ⎛⎫⎡⎤∆=--+--= ⎣⎦⎝⎭，即()2223210mkkmn n -++-=，设12,k k 为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以121k k ×=-，所以22113n m-=--，即2231m n -=-，所以2224(3)m n m +=≠，当椭圆的切线斜率不存在时，此时，1m n ==±，也满足上式，所以224m n +=，其轨迹是以()0,0为圆心，2为半径的圆，又因为A 为椭圆上顶点，所以()0,1A ，当点P 位于圆的上顶点时，min 211PA =-=，当点P 位于圆的下顶点时，max 213PA =+=，所以[]1,3PA ∈，故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数12i z =-，22i z =（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A.2z 是纯虚数B.12z z -对应的点位于第二象限C.123z z +=D.12iz =+【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的概念判断A ；算出12z z -判断B ；算出12z z +判断C ；求出1z 判断D.【详解】对于A ：22i z =，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ：1223i z z -=-，其在复平面上对应的点为()2,3-，在第四象限，B 错误；对于C ：212i z z +=+，则12z z +==，C 错误；对于D ：12i z =-，则12i z =+，D 正确.故选：AD.10.下列等式能够成立的为（）A.1sin15cos152︒︒=B.sin 75cos15cos75sin151︒︒+︒︒C.cos105cos75sin105cos151︒︒-︒︒=-D.cos151︒+︒=【答案】BC 【解析】【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式及倍角公式逐一计算判断.【详解】对于A ：11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，A 错误；对于B ：()sin 75cos15cos 75sin15sin 7515sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，B 正确；对于C ：()cos105cos 75sin105cos15cos 10575cos1801︒︒-︒︒=︒+︒=︒=-，C 正确；对于D ()cos152sin 15302sin 45︒+︒=︒+︒=︒=，D 错误.故选：BC.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在双曲线()22:0C xy λλ-=>的右支上运动，平行四边形OAPB 的顶点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）A.直线AO ，AP 的斜率之积为1-B.C 的离心率为2C.PA PB +D.四边形OAPB 的面积可能为23λ【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为0x y ±=，设P 点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形OAPB 为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.【详解】由题意可知：双曲线()22:0C x y λλ-=>，故选项B 错误；由方程可知：双曲线()22:0C xy λλ-=>的渐近线方程为0x y ±=，不妨设点A 在渐近线0x y +=上，点B 在渐近线0x y -=上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形OAPB 为矩形，则1AP OB k k ==，1OA k =-，所以直线AO ，AP 的斜率之积为1-，故选项A 正确；设点00(,)P x y ，由题意知：OAPB 为矩形，则,PB OB PA OA ⊥⊥，由点到直线的距离公式可得：PA ==，PB ==PA PB +≥PA PB =，也即P 为双曲线右顶点时取等，所以PA PB +，故选项C 正确；由选项C 的分析可知：2PA PB λ⋅==，因为四边形OAPB 为矩形，所以2OAPB S PA PB λ=⋅=，故选项D 错误，故选：AC .12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的为（）A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为定值C.当1CM MD ⊥时，CM 与平面1ACD 所成角最大D.当AMC 的周长最小时，三棱锥11M CB D -的外接球表面积为16π【答案】BCD 【解析】【分析】A.利用面面平行的性质定理，判断A ；B.利用等体积转化，可判断B ；C.利用垂直关系的转化，结合线面角的定义，即可判断C ；D.首先确定点M 的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可判断D.【详解】A.如图，11//A C AC ，且11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理1BC 平面1ACD ，且11AC ⊂平面11ABC ，1BC ⊂平面11A BC ，且1111A C BC C Ç=，所以平面11//A BC 平面1ACD ，且1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，故A 错误；B.如图，过点M 作ME BC ⊥于点E ，1MF CC ⊥于点F ，根据面面垂直的性质定理可知，ME ⊥平面ACD ，MF ⊥平面1DCD ，2ME MF BE EC BC +=+==，11A MCD D MCD M ACD M DCD V V V V ----+=+()1111333ACD D CD ACD S ME S MF S ME MF =⨯⨯+⨯=⨯⨯+ 114222323=⨯⨯⨯⨯=.故B 正确；C.因为11D C ⊥平面1BCC ，MC ⊂平面1BCC ，所以11D C MC ⊥，且1MD MC ⊥，且1111D C D M D = ，11D C ⊂平面11D C M ，1D M ⊂平面11D C M ，所以MC ⊥平面11D C M ，且1MC ⊂平面11D C M ，所以1CM MC ⊥，即1CM BC ⊥，点M 是1BC 的中点，此时线段MC 最短，又因为11//BC AD ，且1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，即1BC 上任何一个点到平面1ACD 的距离相等，设为h ，设CM 与平面1ACD 所成角为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin h MC θ=,当1CM MD ⊥时，线段MC 最短，所以此时sin θ最大，所以θC 正确；D.AMC 的周长为AM MC AC ++，AC 为定值，即AM MC +最小时，AMC 的周长最小，如图，将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面，当点,,A M C 共线时，此时AM MC +最小，作CN AB ⊥，垂足为N ，BM AB CN AN =⇒=，解得：2=-BM，如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，()0,2,0C ,2,2M，连结1AC ，1AC ⊥平面11CB D ，且经过11CB D 的中心，所以三棱锥11M CB D -外接球的球心在1AC 上，设球心(),2,2O a a a --，则OC OM =,即()()(()(2222222222222a a a a a a +--+-=-+--+--+，解得：0a =，224R OC ==，所以外接球的表面积2416S R ππ==，故D 正确.附：证明1AC ⊥平面11CB D ，因为AB ⊥平面1BCC ，1B C ⊂平面1BCC ，所以1AB B C ⊥，又因为11B C BC ⊥，且1AB BC B =I ，AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ,1AC ⊂平面1ABC ，所以11B C AC ⊥，同理111B D AC ⊥，且1111B C B D B ⋂=，所以1AC ⊥平面11CB D ，且三棱锥111C CB D -是正三棱锥，所以1AC 经过11CB D 的中心.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查空间几何的综合应用，难点是第四个选项的判断，充分利用数形结合和空间向量的综合应用，解决三棱锥外接球的球心问题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a =r ，()2,b m =-r ，若a b ⊥，则b = ______.【答案】【解析】【分析】先利用a b ⊥求出m ，再利用模的坐标公式计算即可.【详解】a b⊥220a b m ∴⋅=-+=，解得1m =，()2,1b ∴=-r，b ∴=.14.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】1##0.52【解析】【分析】根据基本不等式可得2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，再计算()222212x y xy x y xy =+-=-+的范围即可求解.【详解】因为1x y +=，所以2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立，所以()222112121242x y xy x x y y =+-=--⨯=+≥，所以22xy +的最小值为12，故答案为：12.15.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为1C ，2C ，3C ，4C ，则142C C C =______.【答案】163##153【解析】【分析】观察图形可知{}n C 是首项为13C =，公比为43的等比数列，即可求得结果.【详解】通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个图形周长的基础上增加了其周长的13，即1111433n n n n C C C C ---=+=，所以数列{}n C 是首项为13C =，公比为43的等比数列，即4321144644339,C C C C ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此14264316943C C C ⨯==.故答案为：16316.若关于x 的方程2ln 0x a x x --=在区间()1,+∞上有且仅有一个实数根，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,+∞【解析】【分析】设()2ln f x x a x x =--，()1,x ∈+∞，将方程的根转换为函数零点问题，讨论函数单调性从而确定函数的变化趋势，结合零点存在定理，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：设()2ln f x x a x x =--，()1,x ∈+∞，则()2221a x x af x x x x--'-=-=，令()0f x '=得220x x a --=，所以22a x x =-，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()1,x ∈+∞，所以()g x 在()1,x ∈+∞单调递增，则()()1,g x ∈+∞，于是可得，当1a ≤时，方程220x x a --=在()1,x ∈+∞无解，即()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，又()10f =，所以此时方程2ln 0x a x x --=在区间()1,+∞上无零点，不符合题意；当1a >时，方程220x x a --=在()1,x ∈+∞的根为1184x +=或1184x =（舍），当1181,4x ⎛+∈ ⎝⎭，()0;f x '<当118,4x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭，()0;f x '>所以()f x 在1181,4x ⎛+∈ ⎝⎭单调递减，在118,4x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，又()10f =，所以104f ⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭，又1a >，()()2ln ln 1f a a a a a a a a =--=--，设()1ln h aa a =--，1a >，所以()1110a h a a a-'=-=>恒成立，则()h a 在()1,a ∈+∞上单调递增，故()()10h a h >=，则()()ln 10f a a a a =-->，且当1a >时，()()()22411816161610a a a a a a --+=-=->，即14a <，故0118,4x a ⎛⎫∃∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，即方程2ln 0x a x x --=在区间()1,+∞上有且仅有一个实数根综上，实数a 的取值范围为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点睛】关键点睛：本题考查方程的根与函数零点的关系，结合导数进行判断，属于中等题.解决本题的关键是，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，构造函数()2ln f x x a x x =--，()1,x ∈+∞，利用导数确定单调性时要分类讨论.当1a ≤，函数()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，结合特殊值()10f =，得不符合题意，当1a >时，得()f x 在11,4x ⎛+∈ ⎪⎝⎭单调递减，在1,4x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，判断()1f ，14f ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，()f a 的符号，结合零点存在定理可得a 的范围.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211log log n n n b a a +=⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.【答案】（1）2n n a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-计算整理得12n n a a -=，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）将n b 变形为111n b n n =-+，利用裂项相消法求n T ，进一步观察证明不等式.【小问1详解】()22*n n S a n =-∈N ①，∴当2n ≥时，1122n n S a --=-②，①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，2n n a ∴=；【小问2详解】由（1）得()1221111log 2log 211n n n b n n n n +===-⋅++，1111111122311n T n n n ∴=-+-++-=-++ ，因为101n >+，1n T ∴<18.某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.（1）请完成下表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.性别体质测试合计优良非优良男生女生合计（2）100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：()()22221111111mnmm m iji i i i j i i i a c bc a a m a c m m =====⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑2211111nn n j j j j j j b b n b c n n ===⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑【答案】（1）根据小概率事件0.1α=的独立性检验，不可以认为全校学生体质测试的优良率与性别有关.（2）均值14.8；方差3.6【解析】【分析】（1）根据题意，由独立性检验的计算公式，代入计算即可判断；（2）根据题意，可得男生，女生的人数，结合均值方差的性质，代入计算即可得到结果.【小问1详解】性别体质测试合计优良非优良男生501060女生301040合计80200100()()()()()()222100500300 1.042 2.70660408020n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，根据小概率事件0.1α=的独立性检验，不可以推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.【小问2详解】男生人数60，女生人数40，则设男生的成绩为()1,2,,60,i a i = 女生的成绩为()1,2,,40,j b j = 所以均值为()11460164014.8100⨯+⨯=，所以()()22604060606022111111114.814.86014.86060iji i i i j i i i a ba a a =====⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑22404040111114014.84040j j j j j j b b b ===⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()6022114601414.8i i a ==-+-+∑()()4022116401614.8jj b=-+-∑()21.660601414.8=⨯+-+()24.240401614.8360⨯+-=，所以样本中所有学生100米短跑成绩的方差为3603.6100=19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AC BC ⊥，且E 为1AA 的中点.（1）证明：平面EBC ⊥平面11ACC A ；（2）若AC BC =，且1EC EC ⊥，求平面1EBC 与平面ABC 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）先根据已知证明11AC BCC B ⊥平面，即可得到ACBC ⊥，又通过11ACC A ABC ⊥平面平面即可证明11BC ACC A ⊥平面，即可证明答案；（2）设1AC BC ==，AE x =，先通过已知与勾股定理求出1x =，建立空间直角坐标系，即可通过二面角的向量求法求出答案.【小问1详解】证明： 侧面11ACC A 为矩形，1AC CC ∴⊥，1AC BC ⊥ ，1BC 、111CC BCC B ⊂平面，且111BC CC C ⋂=，11AC BCC B ∴⊥平面，AC BC ∴⊥，11ACC A ABC ⊥ 平面平面，且平面11ACC A 平面ABC AC =，11BC ACC A ∴⊥平面，BC EBC ⊂ 平面，11EBC ACC A ∴⊥平面平面；【小问2详解】设1AC BC ==，AE x =，由题意可得EC =，1EC EC ⊥ ，1CC ∴=，E 为1AA 的中点，112AE AA CC ∴==，1EC EC ⊥2x ∴=，解得1x =，即1AE =，1122AE AA CC ===，根据第一问与题意可得：ACBC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC ⊥，则以C 为原点，以CA ，CB ，1CC分别为x ，y ，z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()1,0,1E ，则()11,0,1C E =- ，()10,1,2C B =-，设平面1EBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则11020C E n x z C B n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1z =，则()1,2,1n = ，由题意可得平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面1EBC 与平面ABC 的夹角为α，且由图得α为锐角，则cos cos ,6n m n m n m α⋅===⋅.20.在ABC中，AB =，2AC =，D 为边BC 上一点.（1）若sin 2sin BAD CAD ∠=∠，求BDCD的值；（2）若BD CD =，且1AD =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2）152.【解析】【分析】（1）在ABD △、ACD 中分别利用正弦定理，结合已知条件可求得BDCD的值；（2）由平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量的数量积运算可得出cos BAC ∠的值，利用同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠，可得2sin sin CAD CD ADC∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，可得()sin πsin BAD BADBD ADC ADC ∠∠==-∠∠，因此，6sin sin sin 2sin BD BAD ADCCD ADC CAD∠∠=⋅=∠∠.【小问2详解】解：因为BD CD =，则BD DC = ，即AD AB AC AD -=- ，2AD AB AC ∴=+，所以，()222242AD AB ACAB AC AB AC =+=++⋅，即6422cos 4BAC ++∠=，即6BAC ∠=-，解得cos 4BAC ∠=-，()0,πBAC ∠∈ ，故BAC ∠为钝角，所以，10sin 4BAC ∠==，故1sin 22ABC S AB AC BAC =⋅∠=△.21.已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，且与x 轴交于点()(),00M a a >，过点A ，B 分别作直线1:l x a =-1A ，1B ，动点N 在1l 上.（1）当1a =，且N 为线段11A B 的中点时，证明：AN BN ⊥；（2）记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）2λ=.【解析】【分析】（1）取AB 的中点D ,连接DN .利用几何法，分别证明出AN ,BN 为11,A AD B BD ∠∠的角平分线，即可证明；（2）利用“设而不求法”分别表示出123,,k k k ，解方程求出λ.【小问1详解】如图示：当1a =时，()1,0M 恰为抛物线2:4C y x =的焦点.由抛物线的定义可得：11,AM AA BM BB ==.取AB 的中点D ,连接DN ,则DN 为梯形11ABB A 的中位线，所以()1112DN AA BB =+.因为D 为AB 的中点,所以()1112DA DB AA BB ==+,所以DA DN =.在ADN △中，由DA DN =可得：AND NAD ∠=∠.因为DN 为梯形11ABB A 的中位线，所以1//DN AA ，所以1AND A AN ∠=∠，所以1NAD A AN ∠=∠.同理可证：1NBD B BN ∠=∠.在梯形11ABB A 中，11180A AB B BA ∠+∠=︒,所以11180A AN NAD DBN NBB ∠+∠+∠+∠=︒，所以1180902NAD DBN ∠+∠=⨯︒=︒，所以90ANB ∠=︒,即AN BN ⊥.【小问2详解】假设存在实数λ，使得123k k k λ+=.由直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，可设:l x my a =+.设()()1122,,,A x y B x y ,则24y xx my a⎧=⎨=+⎩，消去x 可得：2440y my a --=，所以124y y m +=，124y y a =-.则()()()()()121211212212121212122222222222y y y y y y y y y y m y y x a x a my a my a my a my ak k ++------+-=----++=+++=()()()()()2212122222212124444222424244m y y y y m m a m a m y y ma y y a m a ma m a ⎡⎤⎡⎤-+----⎣⎦⎣⎦==-⎡⎤⎡⎤+++-+⋅+⎣⎦⎣⎦.而1230222y y m m a a a ak +-===----.所以2m m a a λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：2λ=.22.已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x =.（1）若R a ∈，讨论()f x 的单调性；（2）若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）1[,)e+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，再分类讨论解()0f x ¢>和()0f x '<作答.（2）当01x <≤时，可得a 为任意正数，当1x >时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答.【小问1详解】函数()e ax f x =，0x >，求导得：()e e e ax ax ax f x '=+=，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当a<0时，由()0f x '>得102x a <<-，由()0f x '<得12x a >-，则()f x 在1(0,)2a-上递增，在1(,)2a-+∞上递减，所以当0a ≥时，函数()f x 的递增区间是()0,∞+；当a<0时，函数()f x 的递增区间是1(0,2a -，递减区间是1(,)2a-+∞.第21页/共21页【小问2详解】因为0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln (ax a x x ax≥恒成立，当01x <≤时，0a ∀>，2e ln (0ax a x x ax>≥恒成立，因此0a >，当1x >时，2e ln ()2ln e 2ln ln(ln )ln()ax a ax x a a x x ax x ax ≥⇔-≥-2ln e ln(ln e )2ln ln(ln )ax ax a a x x ⇔+≥+，令()2ln g x ax x =+，原不等式等价于(ln e )(ln )ax g g x ≥恒成立，而1()20g x a x'=+>，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，因此1,ln e ln ax x x ∀>≥，即ln 1,ln x x ax x a x ∀>≥⇔≥，令ln (),1x h x x x =>，21ln ()x h x x -'=，当1e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，函数()h x 在(1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，max 1()(e)e h x h ==，因此1e a ≥，综上得1ea ≥，所以实数a 的取值范围是1[,)e +∞.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学(理科)参考答案
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 5 页 共 10页
y−
y0
=
1 (x − x0 +1
x0 ) ，
设直线 l 与曲线 y = g(x) 相切于点 B(x1, ex1 ) ，
又 (e
−1)
=
−
e
1 −1
0
， (e2
−1)
=
e2 e2
−2 −1
0
，
所以函数(x) 在 (e −1, e2 −1) 上有唯一的零点，又因为(x) 在 (0, +) 单调递增，
所以方程 ln(x0
+ 1)
−
x0 +1 x0
=
0
在
(0, +) 上存在唯一的根，
故在区间 (0, +) 上存在唯一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y = g(x) 相切．………………12 分
因为 g(x) = ex ，
……………………9 分
所以
e x1
y0
= =
1 ,
x0 +1 ln(x0 +
1),
e x1
−
y0
=
1 x0 +1 (x1
−
x0 ),
消去 x1 并整理，得
ln( x0
+ 1)
−
x0 +1 x0
=
0
,
……………11 分
由（1）可知，当 a = 1时，函数(x) = ln(x +1) − x +1（x −1) 在 (0, +) 单调递增， x
2020届深圳市高三二模理科数学答案
2
2
显然与 | | π 矛盾，从而可知结论②错误；
对于结论③， [1 ,1) ，且 f (x) 在区间[− π , π ] 上单调递增，
2
+1 +1
（ −π+1π++16π）+
π 2 π 6
−
π 2
，
=
1 2
，故结论③正确；
对于结论④，下证不等式 n cos π 1(n 3) ， n
（法一）当 n 3 时， cos π cos π = 1 ， n cos π 3 1(n 3) ，即 n cos π 1(n 3) ，
令 g() = 2 cos sin2 ， ( π , π ) ， 42
则[g( )]2 = 2cos2 sin4 = (2 − 2sin2 )sin2 sin2
[(2 − 2sin2 ) + sin2 + sin2 ]3 = 8 ，
3
27
（当且仅当 2 − 2sin2 = sin2 ，即 sin =
CE ⊥ FB1 ， AB =
2 AA1
=
23 3
EB1 .
（1）证明： EF ⊥平面 CEB1 ；
A1
C1
B1 F
（2）求直线 EF 与平面 CFB1 所成角的大小.
A
C
E
B （第 18 题图）
理科数学试题答案及评分参考第5页（共19页）
解：（1）证明：（法一）设 AA1 = 2a ，
∵ AB =
5 )n
− (1− 2
5 )n ]，则数列{an} 即为斐波那契数列，
an (
2 )11 5
，即 an2
211 5
深圳市2020届高三年级第二次调研考试(理数)
深圳市2020届高三年级第二次调研考试数 学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3. 非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设21(1)iz i +=-则|z|=A ．12B ．2C ．1D2． 已知集合2{|2},{|320},xA y yB x x x ===-+…则A ．=B A I ∅B ．R =B A YC ．B A ⊆D ．A B ⊆3． 设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4． 已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为AB ．2CD ．35．已知定义在R 上的函数)(x f 满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12B ．2C ．18D ．86． 若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则32,32,3221+++n x x x ，Λ的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a +3，2bD ．2a +3，4b7． 记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若244,2,S S ==则6S =A ．－6B ．－4C ．－2D ．08．函数()()14sin 2xxx fx -=的部分图象大致为9． 已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF |=|FP |,则C 的方程为A ．221123x y += B ．22183x y += C ．22163x y += D ．22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，)N (*12∈+=++n a a a n n n 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1515()(.225n n n a ⎡⎤-=-⎥⎦(设n 是不等式112])51()51[(log 2+>--+x x x 的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r有下列结论：①n 的值可能为2；②当n=3，且|φ|<π时，)(x f 的图象可能关于直线x =-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式nω>1恒成立. 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线x x y ln =在点(1,0)处的切线方程为 .14．若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 .15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 种分配方案.16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A －EBCDF 体积的最大值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次测试统一测试数学(理科)(含参考答案)
x | <2 ⎨ 绝密★启用前 试卷类型： A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 A = ⎧ 1x≤ 2⎫ ， B = ⎧x | ln(x - 1 ) ≤ 0⎫，则 A ⎨2 ⎬ ⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭A ． ∅B ． ⎛-1,1 ⎤C ． ⎡ 1 ,1⎫D ． (-1,1]2 ⎥ ⎢ 2 ⎪ ⎝⎦⎣ ⎭2. 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位） 是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于55A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． - 7 < a < 24B ． a = 7 或a = 24C ． a < 7 或a > 24⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 24 < a < 74. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是A. (0,1)B ． ⎛ 0,1 ⎫C. ⎡ 1 , 1 ⎫D ． ⎡ 1 ,1⎫2 ⎪ ⎢⎣ 6 2 ⎪ ⎢ 6 ⎪⎝ ⎭5. 在∆ABC 中， D 是 BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = ⎭ ⎣ ⎭3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ AD =A. 2B. 2C.3 D ．3( RB ) =332 6. 已知一个四棱锥的高为3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为 A.B ． 6C ． 13D ． 2 7. 在等差数列{a n } 中， S n 为其前n 项的和，已知3a 8 = 5a 13 ，且a 1 > 0 ，若 S n 取得最大值，则n为A ． 20B ． 21C ． 22D ． 238. 已知抛物线 y 2= 8x ，过点 A (2, 0) 作倾斜角为 π的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点，弦 BC 3的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 8 9. 已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |<π) 的最小正周期是π ，把它图象向右平移 π个单位后 2 3得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论： ①函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 5π对称②函数 f (x ) 的图象关于点(π, 0) 对称 1212③函数 f (x ) 在区间⎡- π , -π ⎤上单调递减 ④函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦其中所有正确结论的编号是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③10. 甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6．设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以3 :1 获胜的概率是 A ． 0.0402B ． 0.2592C ． 0.0864D ． 0.172811. 设 f (x ) 是定义在 R 上以2 为周期的偶函数，当 x ∈[2,3]时， f (x ) = x ，则 x ∈[-2,0]时， f (x )的解析式为A ． f (x ) = 2+ | x +1|B ． f (x ) = 3- | x +1|C ． f (x ) = 2 - xD ． f (x ) = x + 4223y 12. 如图,长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 、F 分别为棱 AB 、A 1D 1A 的中点．直线 DB 与平面 EFC 的交点O ,则 DO的值为14 31 OB 12 A.B ．C ．D ．5533二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为． 14. 已知S n 为数列{a n } 的前n 项和，若 S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = .15. 某市公租房的房源位于 A , B , C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4 位申请人中，申请的房源在2 个片区的概率是.16.在平面直角坐标系中，过椭圆 x a 2 2+ = 1( a > b > 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点， b 2C 为椭圆的右焦点，且∆ABC 是等腰直角三角形，且∠A = 90︒ ，则椭圆的离心率为．三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.22Dy 如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ．（1） 在棱 SD 上是否存在一点 P ，使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论； （2） 求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．SABC19．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x 2+ = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1） 求∠AMB 的最大值，并证明你的结论； （2） 设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 320．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）．（1） 讨论函数ϕ(x ) = f (x ) -x + a 在定义域内极值点的个数；x（2） 设直线l 为函数 f (x ) 的图象上一点 A (x 0 , y 0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切．22020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2 月29 日，该省已累计确诊1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布N(μ,15.22 ) ，其中μ近似为这100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（≥ 70 ）的患者比例；（2）截至2 月29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20 名密切接触者随机地按n （1<n < 20 且n 是20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20 人的化验总次数最少的n 的值．数为Xn参考数据：若Z ~ N (μ,σ2) ，则P(μ-σ<Z <μ+σ) = 0.6826 ，P(μ- 2σ<Z <μ+ 2σ) = 0.9544 ，P(μ- 3σ<Y <μ+ 3σ) = 0.9973 ，0.94≈ 0.66 ，0.95≈ 0.59 ，0.910≈ 0.35 .⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β， 中，直线 1 ：⎨y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.2a -16 绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. C3. A4. C5. D6. D7. A8. A9. D10. B11. B12. A二、填空题：13.1 414. 3215. 142716.-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.2解：（1）由正弦定理可得a sin A =b sin B =c sin C= 2R ，∴s in A = a ，s in B = 2Rb ，sin C = 2Rc ， ................................. 2 分2R∵ sin 2 B = sin A sin C ，∴b 2 = ac ，… .................. 4 分a 2 + c 2 -b 2∴ c os B =≥2ac - ac = 1 ，2ac而0 < B < π2ac 2∴0 < B ≤ π ..................................................................................................................6 分332 （2）2 sin 2 A + C+ sin B -1 2= -cos(A + C ) +sin B= cos B + sin B =2 sin(B + π) ， ................................... 8 分 4由（1）知0 < B ≤ π，3∴ π< B + π ≤7π， ............................................. 10 分4 4 12∴1 <2 sin(B + π) ≤4即2 s in 2A + C + sinB -1的取值范是(1, 22] ....................................... 12 分18．(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ． （1）在棱 SD 上是否存在一点 P ,使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论； （2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．证明：（1））当点 P 为棱 SD 的中点时, CP // 平面 SAB .证明如下:取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则FP // AD 且 FP = 1AD ， ................... 2 分2 ∵ AD / / BC ， BC = 1AD = 1 ，2∴ FP / /BC 且 FP = BC ，∴四边形 FBCP 为平行四边形， ............... 4 分 ∴ C P / /BF ，∵ CP ⊄ 平面 SAB ， BF ⊂平面 SAB ，x∴ CP // 平面 SAB ． ......................... 6 分（2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax ， ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ AD ， SA ⊥ Ax ，∴直线 AS 、 Ax 和 AD 两两垂直，以点 A 为原点，分别以直线 Ax 、 AD 和 AS 为 x 、 y 和 z 建立如图所示的直角坐标系， 过点 B 作 BE ⊥ AD 交直线 AD 于 E ，zSF PAED yBC3 3 3 ( 3, -3, 0) ⋅ ( 3, 3, 6) ( 3)2 + (-3)2 ⋅ ( 3)2 + 32 + 62 3 x 0 + 2 3 2 3 - x 03 1 y ∠ == ∠ = =∵ AD / / BC ， AB = BC = CD = 1， AD = 2 ，∴ AE = 1 ， BE =3 ，22B ( 1 3从而可得 A (0, 0, 0)， , , 0) ， C ( , , 0) ， D (0, 2, 0) ， S (0, 0,1) ，则2 22 2AS = (0, 0,1) ， AB = (, , 0) ， SD = (0, 2, -1) ， DC = ( 2 2 3 , - 1 , 0) ，………8 分 2 2设平面 SAB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1 ) ，平面 SCD 的法向量为n 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ AS = 0, ⎧⎪n 2 ⋅ SD = 0,⎨ ⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ AB = 0, ⎪⎩n 2 ⋅ DC = 0,⎧z 1 = 0, ⎪ ⎧2 y 2 - z 2 = 0, ⎪ ∴ ⎨ 3 x + 1y = 0, ⎨ 3 x - 1 y= 0, ⎩⎪ 2 1 2 1 ⎩⎪ 2 2 2 2取 x 1 = 3 ， x 2 = ，可得n 1 = ( 3, -3, 0) ， n 2 = ( 3, 3, 6) ， ........................................ 10 分∴ cos == - 1,4∴平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为1 ...............................................12 分419．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x2 + = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1） 求∠AMB 的最大值，并证明你的结论； （2） 设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 3解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 M (x 0 , y 0 ) (-2 < x 0 < 2 3, 0 < y 0 ≤ 2) .过点 M 作 MH ⊥ x 轴，垂足为 H ，则 H (x 0 , 0) (0 < y 0 ≤ 2) ， ................ 1 分于是，有tan AMH | AH |， tan BMH | BH | ， | MH | y 0 | MH | y 0n , n = n 1 ⋅ n 2 1 2| n | ⋅ | n |1 2 24 3y 0 2 3 x 0 + 2 3 x 0 - 2 30 0 y 0 0∴ tan ∠AMB = tan(∠AMH + ∠BMH ) = tan ∠AMH + tan ∠BMH1- tan ∠AMH tan ∠BMH = x 2 + y 2-12 ，…3 分∵点 M (x 0 , y 0 ) 在椭圆C 上，x 2y 2∴ 0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ，12 4∴ tan ∠AMB = -， .............................................. 5 分y 0而0 < y 0 ≤ 2 ，∴ tan ∠AMB = -y 0∵点0 < ∠AMB < π ， ∴ ∠AMB 的最大值为2π，此时 y = 2 ，即点 M 为椭圆C 的上顶点.3根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时， ∠AMB 取最大值，其最大值为 2π . ……………7 分3（2） 设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k =y 0 ， k ' = y ，2∴ k ⋅ k ' = 0 ，x 2-12x 2 y 2又0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ， 12 4∴ k ⋅ k ' = - 1 ， ......................................................... 10 分 3∵ k ∈(- 1 , - 1) ，2 3∴ 2 < k ' < 1 ，32故直线 BM 的斜率的取值范围为( ,1) ................................................................................ 12 分320．（本小题满分 10 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）． 2 3 ≤ - 3 ，-2 +a+22>-（1）讨论函数ϕ(x) = f (x) -x +a在定义域内极值点的个数；x（2）设直线l 为函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线y =g(x) 相切．解：（1）ϕ(x) =f (x) -x +axx +a= ln(x +1) -（x 1且x ≠ 0) ，xϕ'1 a x2+ax +a(x) =+x +1= ，x2(x +1)x2令h(x) =x2+ax +a ，∆=a2 -4a ，........................................ 1 分①当∆=a2 - 4a ≤ 0 时，即当0 ≤a ≤ 4 时，ϕ'(x) ≥ 0 ，此时，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点；................................................................ 2 分②当∆=a2-4a > 0 时，即当a < 0 或a > 4 时，函数h(x) =x2+ax +a 有两个零点,x1x2=，（i）当a < 0 时，因为-1-x1 ==< 0 ，所以x2 > 0 >x1 >-1，…………………………………3分所以函数ϕ(x)在(-1, x1) 单调递增，在( x1，0) 和(0，x2) 上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增，此时函数ϕ(x) 有两个极值点； ....................................................4 分（ii）当a > 4 时，-因为1-x2 =2=0 ，2所以x1<x2<-1，此时ϕ'(x) >0 ，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点.……5分综上所述，当a ≥ 0 时，函数ϕ(x) 无极值点，当a < 0 时，函数ϕ(x) 有两个极值点.……6分（2）因为f '(x) =1，x +1所以函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线l 的方程可表示为11 y- y 0 =0 +1(x - x 0 ) ， ............................................ 9 分 设直线l 与曲线 y = g (x ) 相切于点 B (x , e x 1 )，因为 g '(x ) = e x ，⎧e x = 1 ,⎪ x 0 +1 ⎪ 所以⎨ y 0 = ln(x 0 +1), ⎪ x1 ⎪e 1 - y 0 = ⎪⎩x 0 +1 (x 1 - x 0 ),消去 x 1 并整理，得x 0 +1ln(x 0 +1) -= 0 , ............................................................................................. 11 分由（1）可知，当a = 1时，函数ϕ(x ) = ln(x +1) -x +1x > -1) 在(0, +∞) 单调递增，ϕ 12（ xe 2 - 2 又 (e -1) = - < 0 ，ϕ(e e -1 -1) = > 0 ， e 2-1所以函数ϕ(x ) 在(e -1, e 2 -1) 上有唯一的零点，又因为ϕ(x ) 在(0, +∞) 单调递增，所以方程ln(x 0 +1) -x 0 +1 = 0 在(0, +∞) 上存在唯一的根，x 0故在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切． .......... 12 分21．（本小题满分 12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1） 为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N (μ,15.22 ) ，其中μ近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在70 岁以上（ ≥ 70 ）的患者比例；1x x⎢1 ⎥⎣ 9 （2） 截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独 立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n （1< n < 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人 数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若 Z ~ N (μ,σ 2 ) ，则 P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ， P (μ - 3σ < Y < μ + 3σ ) = 0.9973 ，0.94 ≈ 0.66 ， 0.95 ≈ 0.59 ， 0.910 ≈ 0.35 .解：(1)μ =2 ⨯15 + 6 ⨯ 25 +12 ⨯ 35 +18⨯ 45 + 22 ⨯ 55 + 22 ⨯ 65 +12 ⨯ 75 + 4 ⨯85 + 2 ⨯ 95 = 54.8100……………………………… …2 分所以 P (54.8 -15.2 < Z < 54.8 +15.2) = P (39.6 < Z < 70) = 0.6826 ，P (Z ≥ 70) = 1- P (39.6 < Y < 70) = 1- 0.6826 = 0.1587 = 15.87% ，2 2则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70 岁以上的患者比例为15.87% ................ 5 分(2)解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 1 ， n 的可能取值为 2，4，105，10，当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ............................................................................... 7 分 n 10对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1， n +1，P (Y = 1) = ( 9 )n， P (Y = n +1) = 1- 10 ( 9 )n ，10E (Y ) =1⋅ ( 9 )n + (n +1) ⋅ ⎡ 10 - ( ) 10 n ⎤ = n +1- 9 n ( ) 10 n ， ......................... 9 分 ⎣ ⎦则20 人的化验总次数为 f (n ) = 20 ⎡n +1-9 n ⎤ ⎡1 - 9 n ⎤ ， n ⎢⎣ n ( )10 ⎥⎦ =20 ⎢1+ n (10) ⎥⎦经计算 f (2)=13.8 ， f (4) ≈ 11.8 ， f (5) ≈ 12.2 ， f (10) ≈ 15 .所以，当n = 4 时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分⎢1 ⎥ ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为 1， n 的可能取值为 2，4，5，10，10当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ..................................................................... 7 分 n 10设以n 个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y ，则Y 的可能取值为 1 ，1+ 1 ，P (Y = 1 ) = n ( 9 )n 10 P (Y = 1+ 1 ) = 1- ，n n n ( 9)n10 ， 则 E (Y ) = 1 ⋅ ( 9 )n + (1+ 1 ) ⋅ ⎡ - ( 9 )n ⎤ = 1+ 1 - ( 9 )n ， ................... 9 分 n 10 n ⎣ 10 ⎦ n 10 ⎡ 1 9 n ⎤ f (n ) = 20 ⎢1+ n - (10) ⎥则 20 人所需的化验次数为⎣ ⎦ ， f (2)=13.8 ， f (4) ≈11.8 ， f (5) ≈12.2 ， f (10) ≈15 .所以，符合题意的n = 4 ，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t c os α（ t 为参数，0＜α＜π ），曲线C⎧x = 2cos β， 中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（ β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（解法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................. 2 分 ⎨ y = ρ sin θ 代入得 1又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................................... 3 分 将θ =α 代入得 ρ 2 - 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π，233 1 ⎩ 2 1解得α = π，此时 ρ=2，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，..................... 5 分 ，） 33（解法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将C 的极坐标方程为 ρ 2- 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................ 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ，sin ∠AOC = | C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ，.................................. 4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ................................................................................5 分 ，） 3（2）由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ，.................................. 6 分 设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得 ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， .............................. 7 分121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ ，.......... 8 分 1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2 所 以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2 = = 16 ...................................... 10 分S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1）当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2）若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ，所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ..................................... 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， ..................... 4 分3OC 2 - C A 2 1 12a -11, ), )综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3. …………………………………5 分 （法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ..................... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，2即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1，...................................... 4 分2 3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 13. ……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取，………6 分又 a ∈ (1, +∞) ，故原问题等价于关于 a 的不等式2a +2a -1＜m 在(1, +∞) 上有解，…8 分又因为2a +2 a -1 =2(a -1) + 2a -1+ 2 ≥ 2 = 6 ， 当且仅当a = 2 时取等号， 所以m > 6 ，即m ∈(6, +∞) .............................................. 10 分2 a -1 2 a -1 2a -1。
深圳外国语学校2020届高三下期数学(理)试卷及答案
深圳外国语学校高三数学（理）试卷本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．客观题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}8U xx *=∈N ≤，集合{}1,3,7A =,{}2,3,8B =, 则()U A B =I ð（ ）A. {}3B. {}1,7C. {}2,8D. {}2,3,4,5,6,82.设α是平面，,m l 是空间两条不重合的直线，且l α⊥则“m l ⊥”是“//m a ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.为考察某种药物对预防新冠肺炎的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如图四个等高条形图，最能体现该药物对预防新冠肺炎有效果的图形是（ ）4．欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，i e i4π表示的复数位于复平面内（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 5.平面向量r 与b r 的夹角为60°，且3a r =，b r 为单位向量，则2a b +=r r （ ）A. 3B. 19C. 19D. 36.已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）2 B.53 C.5257.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=1,1),1ln()(cos x ex x x x f x π的图像大致是( )8．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为1，则=++ac b a （ ） A.2 B.2- C.1 D.1-9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹, 用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术, 蕴含了极致的数学美和丰富的传统文化信息。
2020-2021深圳市高三数学上期末试卷带答案
2020-2021深圳市高三数学上期末试卷带答案一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．42．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b >D ．33a b <4．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．45．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2016．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年B ．丙寅年C ．丁卯年D ．戊辰年7．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．28．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．139．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =10．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．设2z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最小值是12-，则z 的最大值为（ ） A ．9-B ．12C ．12-D ．912．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.14．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知)cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．16．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．17．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．18．在钝角ABC V中，已知1AB AC ==，若ABC V的面积为2BC 的长为______．19．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．20．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为1，则实数k 的值为______． 三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 23．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+. （1）求角C .（2）若ABC V 的面积为S ，且224()S b a c =--，2a =，求S .24．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.25．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD 129，求△ABC 的面积． 26．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.3．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D4．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.5．A解析：A【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．6．C解析：C 【解析】记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年. 故选C.7．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.9．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.10．A【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.11．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式对应的可行域，当目标函数过点A 时，z 取最小值，即min 12z =-，可求得k 的值，当目标函数过点B 时，z 取最大值，即可求出答案. 【详解】作出不等式对应的可行域，如下图阴影部分，目标函数可化为2y x z =-+， 联立20x y y k+=⎧⎨=⎩，可得()2,A k k -，当目标函数过点A 时，z 取最小值，则()2212k k ⨯-+=-，解得4k =，联立0x y y k-=⎧⎨=⎩，可得(),B k k ，即()4,4B ，当目标函数过点B 时，z 取最大值，max 24412z =⨯+=.故选：B.【点睛】本题考查线性规划，考查学生的计算求解能力，利用数形结合方法是解决本题的关键，属于基础题.12．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1，所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.14．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式 解析：n a =2,1{65,2n n n =-≥ 【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为n a =2,1{65,2n n n =-≥.考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式.15．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为 解析：75︒【解析】)acosC ccosA b -=)sinAcosC sinCcosA sinB -=，即()A C -=， ()1sin ,?3026A C A C π-=-==︒，又因为180B 120A C +=︒-=︒， 所以2150,A 75A =︒=︒， 故答案为75︒．16．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力 解析：9π【解析】 【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据cos C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=，即()1sin sin A B C R +==，22cos 3C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==. 故答案为9π 【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.17．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式解析：[﹣3，3] 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：联立13x y x y -=-+=，解得12x y ==，()1,2B ，化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22x zy =-. 由图可知，当直线22x zy =-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；当直线22x zy =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.18．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题【解析】 【分析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】由题意得,11sin sin 22A A =⨯⇒=又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2717BC =+-=,即BC =.故A 为钝角.此时cos A ==故27110BC =++=.即BC =【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.19．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项解析：2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.20．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的解析：9 【解析】 【分析】由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出4()()a bf f k k +的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11k a b+=，∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++19(5k k≥+=，当且仅当4a b b a=时等号成立． ∴91k=，9k =． 故答案为：9． 【点睛】本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．三、解答题21．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-， 又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题． 22．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1； （2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+.∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L 12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题. 23．（1）3C π=；（2）S =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与两角和正弦公式可得到结果；（2）由题意及三角形面积公式可得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，结合特殊角的三角函数值得到2B π=，从而得到结果.【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+， ∴2sin cos sin()sin C C A B C =+=， ∴1cos 2C =，∵(0,)C π∈， ∴3C π=.（2）222224()22sin S b a c b a c ac ac B =--=--+=，∴由余弦定理得2cos 22sin ac B ac ac B -+=， ∴sin cos 1B B +=，∴sin 42B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2B π=，∴S = 【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角恒等变换，考查计算能力与推理能力，属于中档题． 24．（1）22n a n =+；（2）63 【解析】 【分析】（1）求出公差d 和首项1a ，可得通项公式；（2）由23,b b 得公比，再得6b ，结合{}n a 通项公式求得k . 【详解】（1）由题意等差数列{n a 的公差432d a a =-=，121210a a a d +=+=，14a =， ∴1(1)4(1)222n a a n d n n =+-=+-⨯=+； （2）由（1）23378,16b a b a ====，∴321628b q b ===，446282128b b q ==⨯=， ∴22128k a k =+=，63k =. 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，掌握基本量法是解题基础. 25．（1）A ＝60°；（2）【解析】 【分析】(1)利用正弦定理，把边化为角，结合辅助角公式可求；(2)利用三角形内角关系求出sin C ，结合正弦定理求出,a c 关系，利用余弦定理可求,a c . 【详解】(1)acos C－b －c ＝0，由正弦定理得sin Acos C＝sin B ＋sin C ，即sin Acos Csin Asin C ＝sin(A ＋C)＋sin C ，又sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12. 在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B. 所以sin C ＝sin(A ＋B)＝2×17＋12×7＝14.由正弦定理得，sin 7sin 5a A c C ==. 设a ＝7x ，c ＝5x(x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BDcos B， 即1294＝25x 2＋14×49x 2－2×5x×12×7x×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5，故S △ABC ＝12acsin B ＝ 【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，合理选择公式是求解的关键. 26．（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n n n T +=-⨯. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T . 【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-L ，所以()01231132313nn T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦L ，两式相减，得()()01212233+3133n n n T n ---=+++--⋅L ()11121313313n nn ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n n n T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合，综上可得：13631243n nn T +=-⨯.【点睛】本题考查数列前n项和n S与通项n a的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相n 的情况，属于中档题.减法进行数列求和，注意考虑1。
广东省深圳市2019-2020学年高三上学期期末数学试卷(理科)(II)卷
广东省深圳市2019-2020学年高三上学期期末数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·威海期末) 若集合，B={x||x|＜3}，则集合A∪B为（）A . {x|﹣5＜x＜3}B . {x|﹣3＜x＜2}C . {x|﹣5≤x＜3}D . {x|﹣3＜x≤2}2. （2分）(2017·海淀模拟) 在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A . （1，﹣1）B . （1，1）C . （﹣1，1）D . （﹣1，﹣1）3. （2分） (2016高二下·通榆期中) 若随机变量X服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是（10，），则该随机变量的方差等于（）A . 10B . 100C .D .4. （2分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分）设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（）A . （）B . （）C . （）D . （）6. （2分）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E,延长FE交双曲线右支于点P，若,则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）在（x+ ）n的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为64，则x3的系数为（）A . 15B . 45C . 135D . 4058. （2分）(2018·银川模拟) 已知函数的图象与直线交于两点，若的最小值为，则函数的一条对称轴是（）A .B .C .D .9. （2分）已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）A . （1，+∞）B . （e，+∞）C . （0，1）D . （0，e）10. （2分）(2020·丽江模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·重庆期中) 已知拋物线的焦点是F，准线是l，M是拋物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆的个数可能是（）A . 0，1B . 1，2C . 2，4D . 0，1，2，412. （2分）若函数，则f（log43）=（）A .B .C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·南充期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是________．14. （1分）关于圆周率π，数学展史上出现过许多有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假如统计结果是m=94，那么可以估计π≈________（用分数表示）15. （1分） (2018高三上·大连期末) 已知函数若的两个零点分别为，则 ________．16. （1分） (2017高一下·泰州期中) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，ab=60，面积S△ABC=15，△ABC外接圆半径为，则c=________．三、解答题 (共8题；共60分)17. （10分） (2017高三下·武邑期中) 在数列{an}中，设f（n）=an ，且f（n）满足f（n+1）﹣2f（n）=2n（n∈N*），且a1=1．（1）设，证明数列{bn}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．18. （5分） (2017高二下·桂林期末) 某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为．假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望．19. （10分）(2018·枣庄模拟) 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形, .（1）求证：平面平面；（2）若，求锐角二面角的余弦值.20. （5分） (2016高二上·泉港期中) 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，离心率．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若经过左焦点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．21. （10分） (2015高三上·日喀则期末) 已知函数f（x）= x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[ ， ]，x1，x2∈[1，2]（x1≠x2），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜λ| ﹣ |，求正数λ的取值范围．22. （10分） (2016高三上·贵阳模拟) 如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（1）求证：DE∥AB；（2）求证：AC•BC=2AD•CD．23. （5分）设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．24. （5分）(2017·广安模拟) [选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、。
2020年深圳市高三年级统一测试试题理科数学参考答案
深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. A9. D 10. B 11. D 12. C 12. 解析：当πππ462ω->时，即83ω>时，max ()13f x ω==，解得3ω=； 当πππ462ω-≤时，即803ω<≤时，max ππ()sin()463f x ωω=-=， 令ππ()sin()46g ωω=-，()3h ωω=， 如图，易知()y g ω=，()y h ω=的图象有两个交点11(,)A y ω，22(,)B y ω，所以方程ππsin()463ωω-=有两个实根12ωω，， 又888()1()393g h =>=，所以易知有1283ωω<<，所以此时存在一个实数1ωω=满足题设，综上所述，存在两个正实数ω满足题设，故应选C.二、填空题：13. 3- 14. 63 15.415 16. 4316. 解析：由对称性不妨设m n <，易知线段MN 所在直线的方程为12y x =-， 又21122x x x +>-，∴点P 必定不在曲线C 上， 不妨设1(,)2P t t -，()m t n ≤≤，且过点P 的直线l 与曲线C 相切于点20001(,)2Q x x x +，易知0|x x PQ y k ='=，即2000011()()221x x t x x t+--+=-，整理得200210x tx --=， （法一）显然00x ≠，所以0012t x x =-， 令1()f x x x=-，[1,0)(0,3]x ∈-U ， 绝密★启封并使用完毕前试题类型：A如图，直线2y t =和函数()y f x =的图象有两个交点， 又(1)0f -=，且8(3)3f =， ∴8023t ≤≤，即403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x -≤≤，令2()21f x x tx =--， ∴函数()f x 在区间[1,3]-上有两个零点，则2(1)20(3)86013440f t f t t t -=≥⎧⎪=-≥⎪⎨-<<⎪⎪=+>⎩V ，解得403t ≤≤，∴403m n ≤<≤，∴||m n -的最大值为43，故应填43． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，222+2a b c S -=. （1）求cos C ；（2）若cos sin a B b A c +=，5a =，求b .解：（1）2221=sin 22S ab C a b c S +-=Q ，，222sin a b c ab C ∴+-=， …………………………………………………………………2分在△ABC 中，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===， sin =2cosC C ∴， …………………………………………………………………………4分又22sin +cos C=1C Q ， 255cos C=1cosC=5∴±，， 由于(0,π)C ∈，则sin 0C >，那么cosC>0，所以5………………………6分 （2）（法一）在△ABC 中，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，……………7分sin sin[π()]sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+Q ， ………………………8分sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B ∴+=+，即sin sin cos sin B A A B =，又,(0,π)A B ∈Q ，sin 0B ∴≠，sin =cosA A ，得4A π=. ……………………………9分sin sin[π()]sin()B A C A C =-+=+Q ， ……………………………………………10分sin sin cos cos sin 22B A C A C ∴=+=+=， ………………11分 在△ABC中，由正弦定理得sin 3sin 2a Bb A===. ……………………………12分 （法二）cos sin a B b A c +=Q ， 又cos cos a B b A c +=Q ，cos sin cos cos a B b A a B b A ∴+=+， …………………………………………………8分即sin cos A A =，又(0,π)A ∈Q ， π4A ∴=. ……………………………………………9分 在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a Cc A===………………………10分 cos cos b C A a C =+Q ，325c ∴==. ………………………………………………………12分 （法三）求A 同法一或法二在△ABC 中，由正弦定理得sin sin a Cc A=== ………………………10分 又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得2230b b --=，解得1b =-或3b =.所以3b =. ……………………………………………………………………………12分 （余弦定理2222cos a b c b A =+-，得2430b b -+=，解得1b =或3b =. 因为当1b =时，222+-20a b c -=<，不满足cosC>0 (不满足222+22a b c S -=-≠)，故舍去，所以3b =）【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三角形问题，检验学生的数学知识运用能力.18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点M ，N 分别在棱1C C ，1A A 上，且12C M MC =，12A N NA =.（1）求证：1//NC 平面BMD ；（2）若1322A A AB AD ===，，π3DAB ∠=，求二面角N BD M --的正弦值.解：（1）证明：（法一）如图，连接AC 交BD 于点G ，连接1C M 的中点为E ，连接AE ．………2分Q ,G M 是在△ACE 边,CA CE 的中点，∴//MG AE ， ……………………………………3分又Q 12C M MC =，12A N NA =，11//AA CC ，∴四边形1ANC E 是平行四边形，故1//NC AE ， ∴1//NC GM ， …………………………………4分 Q GM ⊂平面BMD ，∴1//NC 平面BMD . …………………………………5分（法二）如图，设E 是1BB 上一点，且12BE B E =，连接1EC 设G 是BE 的中点，连接GM . ……………………1分Q 11//BE MC BE MC =，，∴四边形1BEC M 是平行四边形，故1//EC BM ， ……2分又Q BM ⊂平面BMD ，∴1//EC 平面BMD ， …………………………………3分同理可证//NE AG ，//AG DM ，故//NE DM ，∴//NE 平面BMD ， …………………………………4分又Q 1EC NE ⊂，平面1NEC ，且1NE C E E =I ，∴平面1//NEC 平面BMD ，又1NC ⊂平面1NEC ，所以1//NC 平面BMD .……………5分 （2）（法一）设二面角N BD M --为α，二面角N BD A --为β，根据对称性，二面角M BD C --的大小与二面角N BD A --大小相等，故π2αβ=-，sin sin(π2)sin 2αββ=-=.下面只需求二面角M BD C --的大小即可. ………7分 由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=， 故222AB AD BD =+，AD BD ⊥. ……………………8分Q 四棱柱1111ABCD A B C D -为直棱柱，∴1DD ⊥底面ABCD ，1DD BD ⊥， ……………………9分又Q 1,AD D D ⊂平面11ADD A ，1AD D D D =I ，BD ∴⊥平面11BDD B ，…………………………………10分ND ⊂Q 平面11ADD A ， ND BD ∴⊥，所以二面角N BD A --的大小为NDA ∠，即NDA β∠=，在Rt NAD ∆中，sin AN ND β=== …………11分 ∴π4β=，π2α=， ∴二面角N BD M --的正弦值为1. …………………12分（法二）由余弦定理得2222cos 3BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=， 故222AB AD BD =+，AD BD ⊥. ……………………6分以D 为坐标原点O ，以1,,DA DC DD 分别为, , x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.依题意有(0,0,0)D，B ，(M -，N ，DB =u u u r ，(DM =-u u u u r，DN =u u u r，……7分设平面MBD 的一个法向量为(,,)n x y z r=，00n DB n DM r u u u rr u u u u r ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩， 00xz =∴-+=⎪⎩， 令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n r∴=，……………9分 同理可得平面NBD 的一个法向量为(1,0,1)m u r=-，……10分所以cos ,0||||m nm n m n ⋅<>===u r ru r r u r r ， ……………11分 所以二面角N BD M --的大小为π2，正弦值为1. …12分 【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力，考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力.19．（本小题满分12分）已知以F 为焦点的抛物线2:2(0)C y px p =>过点(1,2)P -，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r.（1）当=3λ时，求点M 的坐标；（2）当12OA OB ⋅=uu r uu u r时，求直线l 的方程.解：（1）因为(1,2)P -在22y px =上，代入方程可得2p =，所以C 的方程为24y x =，焦点为(1,0)F ， …………………………………2分 设00(,)M x y ，当=3λ时，由3OM OP OF +=uuu r uu u r uu u r，可得(2,2)M ， ………………4分 （2）（法一）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ， 由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，可得00(1,2)(,0)x y λ+-=，所以0=2y ， 所以l 的斜率存在且斜率121212042=1y y k x x y y y -===-+， ……………7分可设l 方程为y x b =+， 联立24y x by x=+⎧⎨=⎩得22(24)0x b x b +-+=，2244=16160b b b ∆=--->（2），可得1b <， ………………………………9分则1242x x b +=-，212x x b =，2121212()4y y x x b x x b b =+++=，所以21212=412OA OB x x y y b b ⋅=++=uu r uu u r， …………………………………11分解得6b =-，或2b =（舍去）， 所以直线l 的方程为6y x =-. ……………………………………………12分（法二）设l 的方程为x my n =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩得2440y my n --=，216160m n ∆=+>， ………………6分则124y y m +=，124y y n =-，21212()242x x m y y n m n +=++=+，所以2(2,2)M m n m +， …………………………………………………………7分由OM OP OF λ+=uuu r uu u r uu u r，得2(21,22)(,0)m n m λ++-=，所以1m =， …………8分 所以l 的方程为x y n =+，由16160n ∆=+>可得，1n >-， ……………………………………………9分由124y y n =-得221212()16y y x x n ==，所以21212=412OA OB x x y y n n ⋅=+-=uu r uu u r， ………………………………………11分解得6n =，或2n =-（舍去），所以直线l 的方程为6y x =-. ……………………………………………12分【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；1000100020095%（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？ 附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=.解：（1……………………………………………………………………………2分（2）根据题意，补充完整的列联表如下：则2=K 经查表，得 3.8412.0832<≈K ，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关. ……6分 （3）由题可知，该地区每1名患者潜伏期超过6天发生的概率为521000400=， ……7分 设调查的20名患者中潜伏期超过6天的人数为X ，则)52,02(~B X ,kk k C k X P -⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==02025352)(，0=k ，1，2，…，20， ………8分由⎩⎨⎧-=≥=+=≥=)1()()1()(k X P k X P k X P k X P 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-----++-k k k k k k kk k kk k C C C C 121102020291110202025352535253525352， …………10分 100061666化简得⎩⎨⎧≥--≥+k k k k 3)12(2)02(2)1(3，解得542537≤≤k , 又N ∈k ,所以8=k ,即这20名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是8人.…12分 【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养.21．（本小题满分12分）已知函数()e ln(1)xf x a x =--.（其中常数e=2.718 28⋅⋅⋅，是自然对数的底数） （1）若a ∈R ，求函数()f x 的极值点个数；（2）若函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，证明：111a a a +>+. 解：（1）易知(1)e ()1x x af x x --'=-，1x >， ………………………………………1分①若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，∴函数()f x 无极值点，即函数()f x 的极值点个数为0； ……………………2分②若0a >，（法一）考虑函数(1)e (1)x y x a x =--≥，Q 1(1)e 0a y a a a a a ++=->-=，(1)0y a =-<，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有零点0x ，且011x a <<+，Q e 0x y x '=>，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥为单调递增函数，∴函数(1)e (1)x y x a x =--≥有唯一零点0x ，∴(1)e ()1x x af x x --'=-亦存在唯一零点0x ， …………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴ 函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1， ……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1. （法二）易知函数e x y =的图象与1ay x =-(0)a >的图象有唯一交点00(,)M x y ，∴00e 1x ax =-，且01x >，…………………………………………………………………3分 ∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴ 函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1， ……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1. （注：第（1）问采用法二作答的考生应扣1分，即总分不得超过4分） （法三）对于0a ∀>，必存在*n N ∈，使得2ln an a->，即2ln na a -<， Q e 1na -<，∴1e2ln e e e 0nana na a a a a --+--<-<-=，∴1e e e (1e )0e nana nanaa f --+---'+=<， 又11e (1)=e 10a aa a f a a++-'+=->，∴函数(1)e ()1x x af x x --'=-有零点，不妨设其为0x ，显然()e (1)1xa f x x x '=->-为递增函数， ∴0x 为函数()f x '的唯一零点， …………………………………………………………4分∴当0(1,)x x ∈时，易知()0f x '<，即函数()f x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，易知()0f x '>，即函数()f x 在0(,)x +∞上单调递增，∴ 函数()f x 有极小值点0x ，即函数()f x 的极值点个数为1， ……………………5分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的极值点个数为0；当0a >时，函数()f x 的极值点个数为1. （2）Q 函数()f x 在区间(1,1+e )a-上不单调，∴存在0(1,1+e )a x -∈为函数()f x 的极值点， ……………………………………6分∴由（1）可知0a >，且1+e e e (1+e )0eaa aaa f ----⋅-'=>，即1+e e aa a -->， 两边取对数得1+e ln a a a -->，即1+e ln a a a -->， ………………………………7分（法一）欲证111a a a +>+，不妨考虑证111+e ln 1a a a a -+≥-+， 先证明一个熟知的不等式：e 1x x ≥+，令g()e 1x x x =--，则g ()e 1x x '=-，∴g (0)0'=，不难知道函数g()x 的极小值（即最小值）为g(0)0=，∴e 10x x --≥，即e 1x x ≥+， ……………………………………………………8分 （思路1：放缩思想）∴11e =e 1a a a -≤+， 即1e 1a a -≥+， ………………………9分 又111e a a -≥，∴11e a a -≤，∴11ln a a -≤，即11ln a a ≥-， ………………………11分 ∴111+e ln 1a a aa -+≥-+，∴111a a a +>+. …………………………12分 （思路2：构造函数）令1()ln 1a a a ϕ=+-，则22111()a a a a aϕ-'=-=， 不难知道，函数()a ϕ有最小值(1)0ϕ=，∴()0a ϕ≥， …………………………10分 当0a >时，1e 1e 01(1)ea a a a a a ----=>++， …………………………………………11分 ∴11ln 1e 01a a a a -+-+->+，即111+e ln 1a a a a -+≥-+， ∴111a a a +>+. …………………………………………………………………12分 （法二）令()1+e ln x F x x x -=--，则1()e 10x F x x -'=---<， ∴函数()F x 为单调递减函数，显然(2)2ln 220F <--<，且()0F a >，∴02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立； …………………………8分 ②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+， 不难证明1114173a a a +≥++，只需证明141+e ln 73a a a -≥-+， …………………………9分 令14()e ln 173a G a a a -=-+-+，12a ≤≤，则22198198()e (73)(73)a G a a a a a -'=+->-++， 当12a ≤≤时，22219849569(73)(73)a a a a a a -+-=++， 显然函数249569y a a =-+在[1,2]上单调递增，且(1)20y =>，∴()0G a '>，即函数()G a 为单调递增函数， ………………………………………10分 ∴当12a ≤<时，212e 5()(1)05e 5eG a G -≥=-=>，即()0G a >， ………………11分 141+e ln 73a a a -∴≥-+，即111a a a +>+， 综上所述，必有111a a a +>+成立. …………………………………………………12分 （法三）同（法二）得02a <<，①若01a <<，则1111a a a a +>>+，即111a a a +>+成立； …………………………8分 ②若12a ≤<，只需证111+e ln 1a a a a -+≥-+， 令11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤， 则222111()e e (1)(1)a a a G a a a a ---'=-+≥-++， 下证当12a ≤≤时，21e0(1)a a -->+，即证2e (1)a a <+，即证2e 1a a <+， ………9分 令2()e 1aH a a =--，12a ≤≤， 则21()e 12aH a '=-，当2ln2a =时，()0H a '=， 不难知道，函数()H a 在[1,2ln 2)上单调递减，在(2ln2,2]上单调递增，∴函数()H a 的最大值为(1)H ，或(2)H 中的较大值，显然(1)20H <，且(2)e 30H =-<，∴函数()H a 的最大值小于0，即()0H a <，亦即2e 1a a <+，…………………………10分 ∴21e 0(1)a a -->+，即()0G a '>， ∴函数11()e ln 11a G a a a a -=+-+-+，12a ≤≤单调递增， 易知11(1)02eG =->，∴()0G a >，即111+e ln 1a a a a -+≥-+，………………………11分 ∴当12a ≤<时，有111a a a +>+成立， 综上所述，111a a a +>+. …………………………………………………………12分【命题意图】 本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x （t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 4=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）直线1C 与2C 相交于F E ,两个不同的点，点P 的极坐标为π)，若PF PE EF +=2，求直线1C 的普通方程．解：（1）由题意得，2C 的极坐标方程为θρsin 4=，所以θρρsin 42=，………………1分 又θρθρsin ,cos ==y x ，………………2分代入上式化简可得，0422=-+y y x ，………………3分所以2C 的直角坐标方程4)2(22=-+y x ．………………4分（2）易得点P 的直角坐标为)0,32(-， 将⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,sin ,cos 32ααt y t x 代入2C 的直角坐标方程，可得 012)sin 4cos 34(2=++-t t αα，………………5分22π4sin )48=[8sin()]4803ααα∆=+-+->，解得πsin()32α+>πsin()32α+<-，不难知道α必为锐角，故πsin()3α+> 所以ππ2π333α<+<，即π03α<<,………………6分 设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则ααsin 4cos 3421+=+t t ，1221=⋅t t ，………………7分所以1t与2t同号，由参数t的几何意义可得，1212π8sin()3PE PF t t t tα+=+=+=+，12EF t t=-=8分所以π28sin()3α⨯=+，两边平方化简并解得πsin()13α+=，所以π2π6kα=+，k∈Z,因为π3α<<，所以π6α=，………………9分所以直线1C的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,21,2332tytx消去参数t，可得直线1C的普通方程为0323=+-yx．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义和三角函数等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养，考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,a b c为正数，且满足 1.a b c++=证明：（1）1119a b c++≥；（2）8.27ac bc ab abc++-≤证明：（1）因为()111111a b ca b c a b c⎛⎫++=++++⎪⎝⎭3b ac a c ba b a c b c=++++++3≥+ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………5分 （2）（法一）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，所以ac bc ab abc ++-()a b ab c ab =+-+()1a b ab a b ab =+---+（）(1)(1)()b a a b =--+(1)(1)(1)a b c =---3(1)(1)(1)8327a b c -+-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， 所以8.27ac bc ab abc ++-≤ （当且仅当13a b c ===时，等号成立）. ………………10分 （法二）因为,,a b c 为正数，且满足1a b c ++=，所以1c a b =--，且10a ->，10b ->，10c ->，()1ac bc ab abc a b c ac bc ab abc ++-=-+++++-()()()()1111a b a c a bc a =-+-+-+-()()11a b c bc =--++⎡⎤⎣⎦()()()111a b c =--- ()338327a b c -++⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦ 所以8.27ac bc ab abc ++-≤（当且仅当13a b c===时，等号成立）. ………………10分【命题意图】本题以三元不等式为载体考查二元基本不等式（三元均值不等式）的证明，涉及代数恒等变形等数学运算、充分体现了对考生的逻辑推理的核心素养及化归与转化能力的考察．。
广东省深圳高级中学2020届高三上期末数学试题(理)及答案 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
深圳市高级中学高三理科期末测试题一、选择题：1．已知复数i z i z 21,221+=+=，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A ＊B={(x, y)| x ∈A ∩B, y ∈A ∪B}，则A ＊B 中元素个数是（ ）A.7B.10C.25D.523．在右图的程序框图中，输出的s 的值为 ( )A ． 12B ． 14C ． 15D ． 20 4.已知()f x 是定义（-3,3）在上的偶函数，当0<x<3时，()f x 的图象如图所示，那么不等式()sin 0f x x <的解集是 （ ） A.(3,1)(0,1)-- B.(3,1)(0,1)(1,3)--C.(3,1)(,3)2π--D.(3,)(,3)22ππ--5.值域为{2,5,10}，其对应关系为21yx =+的函数的个数 （ ）A . 1 B. 27 C. 39 D. 86.设函数N n ),1n ,n [x ,1n )x (f ∈+∈-=，则满足方程x log )x (f 2=根的个数是（ ）A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．无数个7.在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（）3R 3R 3R D 349R π 8．袋中装有m 个红球和n 个白球,4≥>n m ,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系40≤+n m 的数组()n m ,的个数为A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题，考生只能从中选做一题.9．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+301,094y y x y x ，则x －3y 的最大值是 .10．如果随机变量ξ～N (2,1σ-),且P （13-≤≤-ξ）=0.4，则P （1≥ξ）= . 11．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ．若6320a a -=，则8S 等于 ．12．已知曲线21y x =-在0x x =点处的切线与曲线31y x =-在0x x =点处的切线互相平行，则0x 的值为 ． 13．给出下列命题中① 向量 a b 、满足a b a b ==-，则与a a b +的夹角为030； ② a ⋅b ＞0，是 a b 、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =1-x 的图象按向量a =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y =x ； ④ 若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；以上命题正确的是 （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 14．(坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆22cos 30ρρθ+-=上的动点到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离的最大值是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于D ，若AD =1，30ABC ∠=，则圆O 的面积是_________。