江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷(三)(5月份)

高考数学模拟试卷（5月份）题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B=______．2.若复数z=1+i（i为虚数单位），则=______．3.某批产品共100件，将它们随机编号为001，002，…，100，计划用系统抽样方法随机抽取20件产品进行检测，若抽取的第一个产品编号为003，则第三件产品的编号为______．4.已知双曲线过点P（2，3），且有一条渐近线方程为，则其标准方程为______．5.若α∈Z，条件p：α=1，条件q：函数在（0，+∞）上是单调递减函数，则条件p是条件q成立的______条件．6.口袋内有大小、形状完全相同的红球、白球各两个，现从中随机摸出两个球，则摸出的两球颜色恰好相同的概率为______．7.一个算法的伪代码如图所示，最后输出的值为______．8.若，则=______．9.已知边长为2的正方形纸片ABCD，现将其沿着对角线AC翻折，使得二面角B-AC-D的大小等于45°，则四面体ABCD的体积为______．10.过原点作函数f（x）=x3-2x2+2图象的切线，设切点为P（x0，y0），则=______．11.已知等差数列{a n}的公差d＞0，a2=-11，，则S15=______．12.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切，P为圆上任意一点，且满足，则x+y的最大值为______．13.已知函数，若函数g（x）=f（x）-kx有且只有三个零点，则实数k的取值范围为______．14.已知单位圆的一内接△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（B-A+C）+sin（A-B+C）+sin（A-C+B）=，则abc的值为______．二、解答题（本大题共10小题，共138.0分）15.已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=，平面PAD⊥平面ABCD．（1）若Q为AD的中点，证明：BQ⊥平面PAD；（2）若M为PA中点，平面BCM∩PD=N，证明：N为PD的中点．16.已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象的一部分如图所示，C（，0）是图象与x轴的交点，A，B分别是图象的最高点与最低点且AB=5．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数，x∈[0，]的最大值．17.为了纪念五四青年节，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高三（1）班李明同学将班级长AB=4米、宽BC=2米的黑板做如图所示的区域划分：取AB中点F，连接CF，以AB为对称轴，过A、C两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点P，作PE⊥AB垂足为E，作PG∥AB交CF于点G．在四边形PEFG内设计主题LOGO ，其余区域用于文字排版．（1）设PE=x，求PG的长度f（x）；（2）求四边形PEFG面积的最大值．18.已知椭圆，直线l：与椭圆交于A，B两点，P为椭圆右顶点．（1）若k=1，求△PAB的面积；（2）设△PAB的外接圆与x轴另有一个交点Q（x0，0），求x0的取值范围．19.已知f（x）=e x ln x，．（1）求函数y=g（x）的极小值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）证明：f（x）+g（x）＞1．20.已知如下数阵：1，2，31，2，3，41，2，3，1，2，3，4，5……其排列规则为：第一行为1，2，3；第n（n≥2）行从左至右依次排列着第1行、第2行、……第n-1行的各项且保留它们间的原有顺序不变，最后一项为n+2．（1）设第n行的项数为a n，求a5；（2）设该数阵第n行所有项之和为S n，求S n；（3）设数阵的第i行、第j项为b i，j，求b i，2019．21.已知矩阵A=，且AX=，求X．22.在极坐标系中，已知曲线C1：与曲线C2：ρ=2cosθ相交于A，B两点，求OA•OB的值（O为极点）．23.已知抛物线y2=4x，过点P（1，2）作两直线l1，l2与抛物线另交于A，B两点，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1k2=1．证明：直线AB过定点．24.n个同学A1，A2，…，A n在操场上围成一圈进行传球游戏，规则如下：从A1开始传球，每人只能将球随机传给自己左边或右边相邻的同学，球从一名同学传到另一名同学后记为一次传球，若第k（k≤n-1）次传球后球又回到A1，则游戏结束；否则第n次传球后，游戏也必须结束．（1）若n=3，求3次传球后，球恰好又回到A1的概率；（2）若n=7，记游戏结束时传球的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列与E（ξ）．答案和解析1.【答案】{1，2，3}【解析】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}．故答案为：{1，2，3}由集合A与B，求出两集合的并集即可．此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2.【答案】【解析】解：∵z=1+i，∴=1+i+=1+i+==．故答案为：．把z=1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】013【解析】解：某批产品共100件，将它们随机编号为001，002， (100)计划用系统抽样方法随机抽取20件产品进行检测，则抽样间隔为f==5，抽取的第一个产品编号为003，则第三件产品的编号为：003+005×2=013．故答案为：013．求出抽样间隔为f==5，由抽取的第一个产品编号为003，能求出第三件产品的编号．本题考查样本编号的求法，系统抽样的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4.【答案】=1【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属基础题．设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，转化求解即可．【解答】解：双曲线一条渐近线方程为，设双曲线方程为：，又过点P（2，3），可得，所以λ=-2，所求双曲线方程为：=1．故答案为：=1．5.【答案】充要【解析】解：函数在（0，+∞）上是单调递减函数，则α2-2α＜0得0＜α＜2，∵α∈Z，∴α=1，即p是q的充要条件，故答案为：充要求出条件q的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数单调性性质求出α的等价条件是解决本题的关键．6.【答案】【解析】解：记红球为a，b，白球为A，B，则从中随机摸出两个球，有ab，aA，aB，bA，bB，AB共6种情况，其中两球颜色恰好相同由ab，AB共2种情况，故摸出的两球颜色恰好相同的概率为=，故答案为：．记红球为a，b，白球为A，B，则从中随机摸出两个球，有ab，aA，aB，bA，bB，AB 共6种情况，其中两球颜色恰好相同由ab，AB共2种情况，根据概率公式计算即可．考查古典概型的概率计算，属于基础题．7.【答案】12【解析】解：模拟算法的运行过程，知该程序运行后计算并输出S=0+2+4+6=12．故答案为：12．模拟算法的运行过程，即可得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序语言的应用问题，是基础题．8.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵，∴=cos[-（2α+）]=cos（2α-）=cos2（α-）=1-2sin2（α-）=1-2×（）2=．故答案为．9.【答案】【解析】解：如图，连接AC，BD，设AC与BD相交于E，则BE⊥AC，DE⊥AC，∴∠BED为二面角B-AC-D的平面角，大小等于45°，且AC⊥平面BED，在平面BED中，过B作BO⊥平面ACD，则O在DE上，∵原正方形的边长为2，∴，BE=，则BO=1．∴四面体ABCD的体积为．故答案为：．由题意画出图形，找出二面角B-AC-D的平面角，再由已知求得三角形ACD的面积及B 到平面ACD的距离，代入棱锥体积公式求解．本题考查二面角的平面角及其求法，考查多面体体积的求法，是中档题．10.【答案】3【解析】解：函数f（x）=x3-2x2+2的导数为f′（x）=3x2-4x，切点为P（x0，y0），可得=3x02-4x0，而y0=x03-2x02+2，可得x03-x02=1，y0+x02=x03-x02+2=1+2=3．故答案为：3．求得f（x）的导数，可得切线的斜率，结合两点的斜率公式，可得x03-x02=1，整体代入技术可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两点的斜率公式和化简变形能力，属于基础题．11.【答案】15【解析】解：等差数列{a n}的公差d＞0，a2=-11，，∴a5=-a10＜0．∴a1+d=-11，a1+4d=-（a1+9d），解得：a1=-13，d=2．则S15=-13×15+=15．故答案为：15．等差数列{a n}的公差d＞0，a2=-11，，可得a5=-a10＜0．利用通项公式可得：a1+d=-11，a1+4d=-（a1+9d），解得：a1，d．利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】2【解析】解：如图以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（0，2），C（2，0），斜边BC所在直线的方程为x+y=2，设P（m，n），则=（m，n），=（0，2），=（2，0），∵，∴（m，n）=x（2，0）+y（0，2）=（2x，2y），∴，∴，∴x+y=，∵P为半径为的圆O在三角形外与斜边BC相切上的任意一点，∴与圆O相切且与直线BC平行的直线L的方程为：x+y=4，∴根据上图可知，m+n∈[2，4]，∴x+y=∈[1，2]，∴x+y的最大值为：2．建立直角坐标系，找出点P的横纵坐标与x+y的关系，然后结合图象可得x+y的最大值．本题考查了平面向量基本定理的应用，关键是利用坐标运算的应用，属中档题．13.【答案】（]【解析】【分析】本题考查了方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，属较难题．由方程的解的个数与函数图象交点个数的关系，先作出函数y=f（x）的图象，再观察当y=f（x）的图象与直线y=kx有3个交点时实数k的取值范围即可得解．【解答】解：由函数，则函数g（x）=f（x）-kx有且只有三个零点等价于y=f（x）的图象与直线y=kx有3个交点，y=f（x）的图象与直线y=kx的位置关系如图所示：当直线y=kx与f（x）=1-相切时，设切点,则易得k=，此时作为临界点，有四个零点，当y=kx于f(x)=左上方相交的临界点,此时k=1,由图可知，当y=f（x）的图象与直线y=kx有3个交点时，实数k的取值范围为（，1]，故答案为：（，1]．14.【答案】【解析】解：∵sin（B-A+C）+sin（A-B+C）+sin（A-C+B）=，即sin（π-2A）+sin（π-2B）+sin（π-2C）=，即sin2A+sin2B+sin2C=，∵sin2B+sin2C=sin[（B+C）+（B-C）]+sin[（B+C）-（B-C）]=2sin（B+C）cos（B-C）∴sin2A+sin2B+sin2C=2sin A cosA+2sin（B+C）cos（B-C）=2sin A cosA+2sin A cos（B-C）=2sin A[cos A+cos（B-C）]=2sin A[-cos（B+C）+cos（B-C）]=2sin A（2sin B sin C）=4sin A sin B sin C=，∴sin A sin B sin C=∵r=2，∴abc=8sin A sin B sin C=故答案为：由已知结合诱导公式化简可得sin2A+sin2B+sin2C=，结合拆角技巧2B=B+C）+（B-C），2C=sin[（B+C）-（B-C），结合和差角公式进行化简可求4sin A sin B sin C，然后结合正弦定理即可求解本题主要考查了和角公式，拆角技巧及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题15.【答案】证明：（1）连接BD．因为底面ABCD是菱形，∠BAD=，所以△ABD是等边三角形．因为Q为AD的中点，∴BQ⊥AD．因为面PAD⊥面ABCD，面ABCD∩面PAD=AD，BQ⊂面ABCD，所以BQ⊥平面PAD；（2）因为底面ABCD是菱形，所以BC∥AD．因为AD⊄面BCM，BC⊂面BCM，所以AD∥面BCM．因为AD⊂面PAD，面BCM∩面PAD=MN，所以MN∥AD．因为点M是PA的中点，所以N是PD的中点．【解析】（1）根据BQ⊥AD证得结论；（2）由已知条件推知MN∥AD即可证得结论．考查了直线与平面垂直，掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平面与直线垂直的判定等知识点，属于中档题．16.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ）及A，B分别是图象的最高点与最低点，设A（x1，2），B（x2，-2），因为AB=5，所以（x1-x2）2+42=52，由此解得：|x1-x2|=3，所以函数y=f（x）的最小正周期为6，所以=，…3分因为C（，0）是图象与x轴的交点，所以sin（+φ）=0，因为：-＜φ＜，所以＜+φ＜，可得：+φ=π，解得：φ=，…6分所以函数解析式为：f（x）=2sin（x+）…7分（2）函数g（x）=f（x）+f（x+）=2sin（x+）+2sin（x++）=2sin（x+）+2cos（x+）=2sin（x+），…11分因为0＜x＜，所以：＜x+＜，所以x+=时，即x=时，函数y=g（x）取得最大值为2…14分【解析】（1）由题意设A（x1，2），B（x2，-2），由AB=5，解得：|x1-x2|=3，利用周期公式可求=，由sin（+φ）=0，结合范围-＜φ＜，可求φ的值，即可得解函数解析式．（2）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求g（x）=2sin（x+），结合范围0＜x＜，可求＜x+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质以及三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．17.【答案】解：以A为坐标原点，以AB，AD所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．所以A（0，0），C（4，2），B（4，0），F（2，0）．所以直线FC为x-y-2=0，因为抛物线是以AB为对称轴，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），因为点C在抛物线上，所以p=，所以y2=x，因为PE=x，所以P（x2，x），G（x+2，x），所以f（x）=-x2+x+2，（0＜x＜），（2）因为PE⊥AB，PG∥AB，所以四辺形PEFG的面积S=（EF+PG）PE=（2-x2+x+2-x2）x=-x3+x2+2x，设g（x）=-x3+x2+2x，由g′（x）=-3x2+x+2=0，解得x=1，x变化时，g（x），g′（x）的变化情况：x（0，1）1（1，）g′（x）+0-g（x）单调递增极大值单调递减∴即当x=1时，g（x）取得极大值同时也是最大值，最大值为g（1）=-1++2=，即当x=1m时，四边形PEFG面积取得最大值为m．【解析】（1）建立平面坐标系求出对应点的坐标，利用待定系数法求出抛物线方程，进行求解即可，（2）构造函数，求出函数的导数，利用函数最值极值和导数之间的关系求最值即可．本题主要考查函数的应用问题，利用待定系数法坐标法建立坐标系，结合导数与最值之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力．18.【答案】解：（1）因为k=1，所以直线l为y=x+，由，消y，得：5x2+4x-3=0，则x1+x2=-，x1x2=-．设A（x1，y1），B（x2，y2）所以|AB|===•=．点P到直线l的距离为d==，所以△PAB的面积为|AB|•d=．（2）设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．令y=0，则x2+Dx+F=（x-2）（x-x0）．所以△PAB的外接圆的方程为x2+y2-（2+x0）x+Ey+2x0=0．由，消去y，得（1+k2）x2+（k+Ek-x0-2）x+2x0++=0．所以x2+x+=0 （*）由，消去y，得（1+4k2）x2+4kx-3=0所以x2+x-=0 （**）因为（*）与（**）的解都是A、B两点的横坐标，所以（*）与（**）是同一方程．所以，由第二个方程得：E=，将此方程代入第一个方程化简得-2x0==1+3．因为直线l过定点（0，）在椭圆的内部，所以直线l与椭圆一定相交，所以k的取值范围为k≠-，设n=k+1，n≠．所以=．①n=0时，=0，②n≠0且n≠-时，=，可设h（n）=，则h′（n）=4-．所以函数h（n）在（-∞，-）和（，+∞）为单调增函数：函数h（n）在（-，0）和（0，）为单调减函数，所以h（n）≤-4-8或h（n）≥4-8．所以≤≤且≠0．综上：的取值范围为[，]．所以x0的取值范围是[，]．【解析】本题第（1）题可根据题意联立直线l与椭圆的两个方程得出A，B两点的距离|AB|，然后根据点到直线距离公式得到点P到直线l的距离d，这样再用三角形面积公式即可求出△PAB的面积；第（2）题根据题意可设△PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．再将Q点坐标代入，与直线l的方程联立，消去y，即可得到与A、B两点横坐标的一元二次方程，再与椭圆的方程联立，消去y，仍然得到与A、B两点横坐标的一元二次方程，由此可得两个方程为同一方程，于是得到系数相等的关系，从其中可得到x0与k的关系式，然后将x0看成k的函数式，从函数的值域去求x0的取值范围．本题第（1）题主要考查联立直线l与椭圆的两个方程得出A，B两点的距离|AB|，以及点到直线的距离，三角形面积的求法；第（2）题主要考查三角形的外接圆方程，用同一法去找到系数相同，然后将问题转化成函数，采用函数思想去解决问题，以及用导数的方法求出函数的值域问题，本题是一个综合性很强的问题．本题是一道很难的偏难题．19.【答案】解：（1）g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．g′（x）=，∴当x＜0或0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴当x=1时，g（x）取得极小值g（1）=2．（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=e x ln x+=e x（ln x+），令h（x）=ln x+，则h′（x）=-=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=1＞0，∴f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．∴f（x）的增区间为（0，+∞），没有减区间．（3）证明：要证f（x）+g（x）＞1．即证e x ln x+＞1，只需证x lnx+＞，设h（x）=x lnx+，则h′（x）=ln x+1，故当0＜x＜时，h′（x）＜0，当x＞时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（）=．设p（x）=（x＞0），则p′（x）=，∴当0＜x＜1时，p′（x）＞0，当x＞1时，p′（x）＜0，∴p（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴p（x）≤p（1）=．∴h（x）＞p（x）恒成立，∴x lnx+＞，即f（x）+g（x）＞1．【解析】（1）利用导数判断g（x）的单调性，再计算极值；（2）判断f′（x）的符号，得出f（x）的单调区间；（3）不等式等价于x lnx+＞，利用函数单调性分别计算左右两侧函数的极值即可得出结论．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数极值的计算，考查函数单调性与不等式恒成立问题，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵第n（n≥2）行从左至右依次排列着第1行、第2行、……第n-1行的各项且保留它们间的原有顺序不变，最后一项为n+2．∴a n=a1+a2+……+a n-1+1（n≥2）．a n-1=a1+a2+……+a n-2+1（n≥3）．相减可得：a n=2a n-1（n≥3）．∴数列{a n}从第二项起为等比数列，公比为2的等比数列．∴a5=a2•23=32．（2）依据排列规律可得：S n=S1+S2+……+S n-1+n+2，则S n-1=S1+S2+……+S n-2+n+1，（n≥3）．相减可得：S n=2S n-1+1，（n≥3）．∴S n+1=2（S n-1+1），∴数列{S n+1}从第二项起是等比数列，以11为首项，2为公比的等比数列．∴S n+1=11×2n-2，∴S n=11×2n-2-1，∴S n=．（3）由（1）可得：a n=2n（n≥2）．由2n≥2019，解得n≥11．依据排列规律可得：第5行为：1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7．第11行的最后31项为：1，2，3；1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13．∴第11行，第2048项为13，则b11，2019=2．∴b i，2019=2．（i≥11）【解析】（1）第n（n≥2）行从左至右依次排列着第1行、第2行、……第n-1行的各项且保留它们间的原有顺序不变，最后一项为n+2．可得a n=a1+a2+……+a n-1+1（n≥2）．a n-1=a1+a2+……+a n-2+1（n≥3）．相减可得：a n=2a n-1（n≥3）．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）依据排列规律可得：S n=S1+S2+……+S n-1+n+2，则S n-1=S1+S2+……+S n-2+n+1，（n≥3）．相减可得：S n=2S n-1+1，（n≥3）．变形为S n+1=2（S n-1+1），利用等比数列的通项公式可得S n．（3）由（1）可得：a n=2n（n≥2）．由2n≥2019，解得n≥11．依据排列规律可得：第5行为：1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7．第11行的最后31项为：1，2，3；1，2，3，4，5；1，2，3；1，2，3，4；1，2，3，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13．可得第11行，第2048项为13，则b11，2019=2．即可得出b i，2019=2．（i≥11）本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：由题意，可设矩阵X=．则有：AX=•==．∴，解得：．∴X=．【解析】本题根据题意可设矩阵X=，然后将X=代入AX=进行矩阵计算可得x、y的值，即可求得矩阵X．本题主要考查矩阵乘法运算以及矩阵相等的概念．本题属基础题．22.【答案】解：以原点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C1：ρsin（θ+）=，化成平面直角坐标为x+y-2=0，曲线C2：ρ=2cosθ化成平面直角坐标为：（x-1）2+y2=1，由解得或，所以OA•OB=2．【解析】化成直角坐标后联立解得交点的坐标，再用两点之间的距离公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x=ky+m，由k1k2=1，得•=•=•=1，整理得y1y2+2（y1+y2）-12=0，由，消去x，整理得y2-4ky-4m=0，∴y1+y2=4k，y1y2=-4m；∴y1y2+2（y1+y2）-12=-4m+8k-12=0，化简得m-2k+3=0；所以直线AB的方程为：x=ky+2k-3，即k（y+2）-3-x=0，令，解得，所以直线AB过定点（-3，-2）．【解析】设出直线AB的方程，将其代入抛物线方程中，通过韦达定理和斜率公式求出对应直线方程，从而判断直线过定点．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了直线斜率的计算问题和直线过定点的应用问题，是中档题．24.【答案】解：（1）球从一名同学传到另一同学的概率为，且同学之间传球相互独立．故3次传球后又回到A1的概率为=．（2）ξ的可能取值有2，4，6，7，则P（ξ=2）=2×（）2=，P（ξ=4）=2×（）4=，P（ξ=6）=4×（）6=，P（ξ=7）=1---=．∴ξ的分布列为：ξ 2 4 6 7PE（ξ）=2×+4×+6×+7×=．【解析】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．（1）根据相互独立事件的概率公式计算；（2）求出ξ的各种取值对应的概率得出分布列，再计算数学期望．。