浙江省台州中学2014届高三上学期第二次统练数学(理)试题(含答案)

台州中学2013学年第一学期第二次统练试题高三 数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设全集是实数集R ，{|22}M x x =-≤≤，N x x =<{|}1，则N M C R ⋂)(等于（ ）A.{|}x x <-2B.{|}x x -<<21C.{|}x x <1D.{|}x x -≤<212．在复平面内,复数ii+-221对应的点的坐标为（ ） A ．()1,0B ．()1,0-C ．⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 D ．⎪⎭⎫⎝⎛53,54 3．已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则)cos(73a a +的值为（ ）A B ．-C ．12D ．12-4．“6πα=”是“1cos 22α=”的 ( ) A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅ 等于A ．4B ．4-C ．2D ．2-6．在△ABC 中，已知a b =2，B=45°，则角A= ( )A ．30︒或150︒B ．60︒或120︒C ．60︒D ．30︒7．已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为（ ） A ．51- B ．15 C ．57- D ．578．定义在R 上的函数)(x f 满足,0)()2(<'+x f x 又12(log 3)a f =， ),3(ln ),)31((3.0f c f b ==则( )A ． c b a <<B ． a c b <<C ． b a c <<D ．a b c <<9．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（x R ∈）的图像的一部分如图所示，其中0,0A ω>>，2πϕ<，为了得到函数()f x 的图像，只要将函数22()2cos 2sin 22x x g x =-（x R ∈）的图像上所有的点（ ）A ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移3π个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变10．已知函数1()1f x x=-，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有6个不同的实数解，则,b c 的取值情况不可能的是（ ）A ．10,0b c -<<=B ．10,0b c c ++>>C ．10,0b c c ++<>D ．10,01b c c ++=<<二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．函数()f x =的定义域为 ▲ ． 12．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___▲___． 13．已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，且1234,2,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的前5 项的和为___▲___．14．已知1,2a b == ，向量a 与b 的夹角为23π，2c a b =+ ，则c 等于___▲___．15．已知2)(x x f y +=是奇函数，且(1)5f =-，若()()2g x f x =-，则=-)1(g ___▲___．16．已知1tan 3α=，且sin(2)2sin αββ+=，则tan()αβ+=___▲___． 17．求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x x f x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，类比上述解题思路，方程623261310x x x x x +=+++的所有实数解之和为 ▲ ．三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0<a ；命题q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 19．(本题满分14分)设公差为d （0d ≠）的等差数列{}n a 与公比为q （0q >）的等比数列{}n b 有如下关系：211==b a ，73a b =，39b a =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}20321,,,,a a a a A =，{}20321,,,,b b b b B =，B A C =，求集合C 中的各元素之和。

20．(本题满分14分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量(,2)m b a c =- ， (cos ,cos )n B C =，且m //n ．（Ⅰ）求B 角的大小； （Ⅱ）设()cos()sin (0)2Bf x x x ωωω=-+>，且()f x 的最小正周期为π，求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 21．(本题满分15分)设函数3()f x x ax b =-+．（Ⅰ）当1,2a b ==时，求函数)(x f 在()1,(1)f 处的切线方程；（Ⅱ）当2b =时，若()0f x ≥对任意的[)0,x ∈+∞都成立，求实数a 的取值范围； （III ）若()0f x ≥对任意的[]0,2x ∈均成立，求a b -的最大值． 22．(本题满分15分)设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作 抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．台州中学2013学年第一学期第二次统练试题高三 数学（理科）答案1-10 ABDCA DADCB11．(]0,6 12．π13．31 14．2 15． 1 16．1 17．118p ⌝ 是q ⌝的必要不充分条件，∴p q 是必要不充分条件，B A ≠⊂∴，所以423-≤≥a a 或，又0<a ， 所以实数a 的取值范围是(-∞，-4]．19．解：（I ）由已知232622(1)9d q b d ⎧+=⎨+-=⎩∴2670d d +-= 得1=d 或76d =-又012>+=d q ∴1=d ⇒2q =∴1+=n a n ， 2n n b =（Ⅱ）集合A 与集合B 的相同元素和为：302222432=+++ 20．解：（1）由n m //，得,cos )2(cos B c a C b -=B a B cC b cos 2cos cos =+∴由正弦定理， 得B A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+3.21cos ,cos sin 2)sin(π=∴=∴=+B B B A C B（2）由题知)6sin(3sin 23cos 23sin )6cos()(πωωωωπω+=+=+-=x x x x x x f ， 由已知得πωπ=2，2=∴ω，)62sin(3)(π+=x x f当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，]1,21[)62sin(],67,6[62-∈+∈+ππππx x 所以，当6π=x 时，)(x f 的最大值为3；当2π=x 时，)(x f 的最大值为23-． 21.解：（1）当1,2a b ==时，3()2f x x x =-+，2()31f x x '=-，(1)2f '=函数)(x f 在()1,(1)f 处的切线方程为2y x = （2）当2b =时，320x ax -+≥32x ax +≥ 22a x x ≤+，设22()g x x x=+ 322222()2x g x x x x -'=-=∴()g x 在()0,1上递减，在在()1,+∞上递增，min ()(1)3g x g ==∴3a ≤（3）2()3f x x a '=-①当0a ≤时，()f x 在[]0,2上递增，min ()(0)0f x f b ==≥0a b ∴-≤②当012a <<时，()f x 在⎡⎢⎣上递减，2⎤⎥⎦上递增，min ()0f x f b ==≥a b a ∴-≤(02)t t =<< 设23()32h t t t =-，2()66h t t t '=-∴()h t 在()0,1上递增，在在()1,2上递减，max ()(1)1h t h ==∴a b -最大值是1③当12a >时，()f x 在[]0,2上递减，min ()(2)820f x f a b ==-+≥4a b ∴-≤-综上所述，a b -的最大值是122．解：（Ⅰ）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b =2．令y =0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c =1．所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22154x y+=． （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-==． 设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ==所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅2211215t t +=+==5≤=当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意．综上可知，MPQ ∆．。