2018高考(江苏专版)大一轮(文)复习检测：第9课 二次函数、幂函数
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数课件理
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课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) .
②顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) .
③零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) .
答案 解析
m2 m2 m f(x)＝2(x－ 4 ) ＋3－ 8 ，由题意 4 ＝2，
∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的
[1，2] 取值范围为________.
答案 解析
几何画板展示
如图，由图象可知m的取值范围是[1，2].
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有
1 ，＋ ∞ 2 f(x)>0，则实数a的取值范围为___________.
答案
解析
2 2 由题意得 a>x－x2对 1<x<4 恒成立，
1 1 2 2 1 1 1 2 又x －x2＝－2x－2 ＋2，4< x<1， 2 2 1 1 ∴x－x2max＝2，∴a>2.
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点
一定是原点.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 2 4ac－b 2 (1)二次函数y＝ax ＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .( × ) 4a (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.( × )
高考(江苏专版)大一轮数学(文)复习检测：第9课 二次函数、幂函数 Word版含答案
第9课二次函数、幂函数A 应知应会1.函数y=2x2-8x+2在区间[-1,3]上的值域为.2.若函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为.3.已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:则不等式f(|x|)≤2的解集是.4.若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围为.5.已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上有一个最大值,此最大值为-5,求实数a的值.6.已知a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;(2)写出函数f(x)的单调区间.B 巩固提升1.若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=.2.已知对任意的x∈R,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点,则实数a的取值范围是.3.(2016·浙江模拟改编)已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.若b>2a,且函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为2,最小值为-4,则函数f(x)的最小值为.(第4题)4.(2015·北京海淀区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C(t,2),且与x轴交于A,B 两点.若AC⊥BC,则实数a=.5.已知关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2.(1)求(1+x1)(1+x2)的值;(2)求证:x1<-1且x2<-1;(3)如果∈,求a的最大值.6.已知函数f(x)=ax2+bx+1,x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;(2)在(1)的条件下,若f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.第9课二次函数、幂函数A 应知应会1.[-6,12]【解析】y=2(x-2)2-6,当x=2时,y取得最小值,为-6;当x=-1时,y取得最大值,为12.2.2【解析】由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3,符合题意;当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0,不合题意.综上,m=2.3.{x|-4≤x≤4}【解析】由f=⇒α=,故f(|x|)≤2⇒|x≤2⇒|x|≤4,故其解集为{x|-4≤x≤4}.4.[25,+∞)【解析】由题意知≤-2,所以m≤-16,所以f(1)=9-m≥25.5.【解答】由题意知f(x)=-4-4a,其图象的顶点坐标为,对称轴为直线x=.当≥1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,此时f(x)的最大值为f(1)=-4-a2,则-4-a2=-5,解得a=±1<2,舍去.当0<<1,即0<a<2时,f(x)的最大值为f=-4a,则-4a=-5,解得a=∈(0,2).当≤0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,此时f(x)的最大值为f(0)=-4a-a2,则-4a-a2=-5,即a2+4a-5=0,解得a=-5或a=1(舍去).综上所述,a=或a=-5.6.【解答】(1)当a=0时,f(x)=x|x|,因为定义域为R,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.当a≠0时,因为f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),所以f(x)是非奇非偶函数.(2)当a=0时,f(x)=x|x|=则f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);当a>0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为和(a,+∞),f(x)的单调减区间为;当a<0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为(-∞,a)和,f(x)的单调减区间为.B 巩固提升1. 1【解析】因为f(x1)=f(x2)且f(x)的图象关于直线x=-对称,所以x1+x2=-,所以f(x1+x2)=f=a·-b·+1=1.2.(2,+∞)【解析】由题意得f(x)为偶函数.因为f(x)有4个零点,又f(0)=1>0,所以当x>0时,f(x)=x2-ax+1有2个零点,所以解得a>2.3.-【解析】因为a∈N*,所以二次函数的图象开口向上.由b>2a得函数图象的对称轴x=-<-1,则函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故f(x)min=f(-1)=a-b+c=-4,f(x)max=f(1)=a+b+c=2,两式相减得b=3.又因为a<且a∈N*,所以a=1,c=-2,所以f(x)=x2+3x-2,则f(x)min=f=-.4.-【解析】设y=a(x-x1)(x-x2),由题设知a(t-x1)(t-x2)=2.又AC⊥BC,利用斜率关系得·=-1,所以a=-.5.【解答】(1)因为x1+x2=-,x1x2=,所以(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-+=1.(2)令f(x)=ax2+x+1(a>0),由Δ=1-4a≥0,得0<2a≤,所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=-≤-2<-1.又f(-1)=a>0,所以f(x)的图象与x轴的交点都在点(-1,0)的左侧,故x1<-1且x2<-1.(3)由(1)知x1=-1=-,所以=-∈,所以-∈,所以a==-·=-=+,故当-=时,a取得最大值.6.【解答】(1)由题意知f(-1)=a-b+1=0,且-=-1,所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+1,其单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞).(2)f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,即x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],有k<g(x)min.因为g(x)在[-3,-1]上单调递减,所以g(x)min=g(-1)=1.所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1).。
2018届高三数学文一轮总复习江苏专用课件：第二章 第五节 二次函数与幂函数 精品
考点一 幂函数的图象与性质基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则 n 的值为________． 解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1， 解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 适合题意． 答案：1
3．设函数 y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为 g(x)， 求 g(x)．
解：∵函数 y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线 x＝1， 当－2<a≤1 时，函数在[－2，a]上单调递减， 则当 x＝a 时，y 取得最小值， 即 ymin＝a2－2a； 当 a>1 时，函数在[－2,1]上单调递减， 在[1，a]上单调递增，则当 x＝1 时，y 取得最小值， 即 ymin＝－1. 综上，g(x)＝a－2－1，2aa，>1－. 2<a≤1，
3．(教材习题改编)函数 f(x)＝x2＋2x－3，x∈[0,2]的值域为 ________．
解析：由 f(x)＝(x＋1)2－4，知 f(x)在[0,2]上单调递增，所 以 f(x)的值域是[－3,5]． 答案：[－3,5]
4．(教材习题改编)函数 f(x)＝x－2＋x2＋2x－2x－1，1x，∈x∈[0，－＋∞∞，，0 的单调增区间是________． 答案：R
[由题悟法] 求二次函数解析式的方法
[即时应用] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的 线段长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)， 求 f(x)的解析式．
解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2. 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3. 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3.
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.9_幂函数、指数函数与对数函数(测)(有解析)
专题2.9 幂函数、指数函数与对数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．【答案】32【解析】试题分析：由题意得11,422k αα==⇒=∴32k α+=2. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1(4,)2，则1()4f 的值为 ． 【答案】2 【解析】试题分析：设()y f x x α==，则11422αα=⇒=-，因此1211()()244f -==3. 已知f (x )＝2x ＋2－x，若f (a )＝3，则f (2a )等于________． 【答案】7【解析】由f (a )＝3得2a＋2－a＝3，两边平方得22a＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f (2a )＝74. 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 【解析】因为x ∈[－3,2]，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34。
当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57。
所以所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，575.函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间（1,02-）内单调递增，则a 的取值范围是【答案】3[,1)46.若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的取值范围是 . 【答案】(0,1)【解析】根据幂函数的性质，由于1223<，所以当01x <<时2132x x <，当1x >时，2132x x >，因此()0f x <的解集为(0,1).7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为 . 【答案】14m ≤-或1m ≥ 【解析】观察213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象可知，当12x =时，函数max ()f x =14；对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，即2max 3(),4f x m m ≤-所以21344m m ≤-， 解得14m ≤-或1m ≥， 故答案为14m ≤-或1m ≥．8.设函数y ＝f (x )在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，fx k ，k ， f x k .若函数f (x )＝log 3|x |，则当k ＝13时，函数f k (x )的单调减区间为________．【答案】(－∞，－33)⎝⎛⎭⎫或－∞，－33]9.已知函数f (x )＝a log 2x －b log 3x ＋2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＝4，则f (2 014)的值为________．【答案】0【解析】令g (x )＝f (x )－2＝a log 2x －b log 3x ，可得g (x )满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－g (x )．所以由g ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014－2＝2，得g (2 014)＝－2，所以f (2 014)＝0.10.已知函数1()()2x f x =，12()log g x x =，记函数h(x)＝()()()()()(),,f x f x g x g x f x g x ≤⎧⎪⎨>⎪⎩，则不等式h(x)≥2的解集为________． 【答案】(0，12] 【解析】记f(x)与g(x)的图象交点的横坐标为x ＝x 0，∴不等式h(x)≥2的解集为(0，12]． 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
(江苏专用)2018年高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件
3
.
22
思路分析 利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f( 2),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递 减即可求得a的取值范围.
C组 教师专用题组
1.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)= ex x a (a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存
a,b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 b<a<c
解析 本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在 (0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.
3.(2017江苏泰州中学第一学期第一次质量检测,10)已知函数f(x)=
x x
ln x 5,0 9 m, x
x 1
x
1
1,
的值域为R,
则实数m的取值范围为
.
答案 m≤1
解析 当0<x≤1时,f(x)=x+ln x+5∈(-∞,6],当x>1时,f(x)=x+ 9 +m=x+1+ 9 +m-1≥2
在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第9练二次函数与幂函数理含解析
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题2函数第9练二次函数与幂函数理含解析[基础保分练]1．若函数y ＝x 2＋(2a －1)x ＋1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．2．(2019·苏州调研)已知幂函数y ＝f (x )的图象通过点(2,22)，则该函数的解析式为________． 3．若幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是________． 4．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．5．(2019·徐州质检)幂函数f (x )＝(m 2－8m ＋16)·243m m x -+在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为________．6．已知函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c 满足关系：f (x )＝f (4－x )，则f (－2)，f (0)，f (5)的大小关系为____________．7．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为________．8．已知函数f (x )＝1－ax －x 2，若∀x ∈[a ，a ＋1]，都有f (x )>0成立，则实数a 的取值范围是________．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则f (1)的最小值为________．10．(2019·扬州诊断)已知幂函数f (x )＝x －m 2－2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)＝____________.[能力提升练]1．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx －2，如果f (x 1)＝f (x 2) (x 1≠x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.2．函数f (x )＝1ax 2＋4ax ＋3的定义域为(－∞，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 3．已知函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，若存在a ∈R ，当x ∈[1，m ](m >1)时，使得f (x ＋a )≤4x 成立，则m 的最大值为________．4．(2018·镇江调研)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是________．5．已知函数f (x )＝12x ，给出下列命题：①若x >1，则f (x )>1；②若0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；③若0<x 1<x 2，则x 2f (x 1)<x 1f (x 2)；④若0<x 1<x 2，则f x 1＋f x 22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中正确命题的序号是________．6．(2019·盐城模拟)若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．答案精析基础保分练1.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32 2.y ＝32x 3.(－∞，0) 4．(－3，＋∞) 5.56．f (－2)<f (5)<f (0) 7.c <b <a8.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 9.4 10．16解析 ∵幂函数f (x )＝223m m x--+(m ∈Z )为偶函数， ∴幂指数为偶数，∵幂函数f (x )＝223m m x --+(m ∈Z )在区间(0，＋∞)上是单调增函数．∴幂指数为正数，即－m 2－2m ＋3>0，解得－3<m <1，∴m ＝－2，－1,0，∴对m 取值，得到当m ＝－1时，幂指数为4，符合题意， ∴解析式为f (x )＝x 4，则f (2)＝16.能力提升练 1．－2 2.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 3.9 4．(0,1]∪[3，＋∞)解析 根据题意，知y ＝(mx －1)2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞上为增函数；函数y ＝x ＋m 为增函数．分两种情况讨论：①当0<m ≤1时，有1m≥1，在区间[0,1]上，y ＝(mx －1)2为减函数，且其值域为[(m －1)2,1]，函数y ＝x ＋m 为增函数，其值域为[m,1＋m ]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当m >1时，有1m <1，y ＝(mx －1)2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 上为减函数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1上为增函数，函数y ＝x ＋m 为增函数，在x ∈[0,1]上，其值域为[m,1＋m ]，若两个函数的图象有1个交点，则有(m －1)2≥1＋m ，解得m ≤0或m ≥3.又m 为正数，故m ≥3.综上所述，m 的取值范围是(0,1]∪[3，＋∞)．5．①④解析 结合函数的解析式逐一考查所给的说法：①函数f (x )＝12x 单调递增，且f (1)＝1，据此可知，若x >1，则f (x )>1，①正确； ②令x 1＝1，x 2＝4，满足0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝124－121＝1，而x 2－x 1＝4－1＝3，不满足f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，②错误； ③令x 1＝1，x 2＝4，满足0<x 1<x 2，而x 2f (x 1)＝4×121＝4，x 1f (x 2)＝1×124＝2，不满足x 2f (x 1)<x 1f (x 2)，③错误；④如图所示的幂函数f (x )＝12x 图象上有两点A ，B ，满足x A <x B ，不妨设点A 的横坐标为x 1，点B 的横坐标为x 2，则AB 中点N 的横坐标为x 1＋x 22， 则f x 1＋f x 22的值为N 点的纵坐标y N ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的值为M 点的纵坐标y M ， 很明显y N <y M ， 即f x 1＋f x 22<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 综上可得，正确命题的序号是①④.6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14解析 x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝－(x 2＋x )， 令y ＝－(x 2＋x )，分析可得，y ≤14，若方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则必有⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥14，当且仅当0≤a ≤14时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14，当且仅当0≤a ≤14时，存在x ，使得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝－(x 2＋x )成立，即x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，可得实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题文一轮：一课双测A+B精练九二次函数与幂函数
高考数学高三模拟考试试卷压轴题（文）一轮：一课双测A+B 精练(九)二次函数与幂函数1．已知幂函数f(x)＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f(x)122则不等式f(|x|)≤2的解集是( ) A ．{x|0<x ≤2}B ．{x|0≤x ≤4} C ．{x|－2≤x ≤2}D ．{x|－4≤x ≤4}2．已知函数y ＝ax2＋bx ＋c ，如果a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )3．已知f(x)＝x 12，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是( )A ．f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f(b)<f(a)C ．f(a)<f(b)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(a)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f(b) 4．已知f(x)＝x2＋bx ＋c 且f(－1)＝f(3)，则( )A ．f(－3)<c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c<f(－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3)<cD ．c<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f(－3)5．设二次函数f(x)＝ax2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]6．若方程x2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞7．对于函数y ＝x2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．8．(·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f(x －1)<x 的解集为________．9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y2的最小值为________．10．如果幂函数f(x)＝x －12p2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．11．已知二次函数f(x)的图象过点A(－1,0)、B(3,0)、C(1，－8)． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f(x)≥0的解集．12．已知函数f(x)＝ax2－2ax ＋2＋b(a ≠0)，若f(x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．1．已知y ＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．1 2．(·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a ，b]上的两个函数，若函数y ＝f(x)－g(x)在x ∈[a ，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a ，b]上是“关联函数”，区间[a ，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x ＋4与g(x)＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．3．(·滨州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x>0，－f x ，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(九)A 级1．D2.D3.C4.D5．选D 二次函数f(x)＝ax2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x)＝2a(x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a>0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m ≤2.6．选B 设f(x)＝x2－2mx ＋4，则题设条件等价于f(1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m>52.7．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．解析：因为f(x)＝x2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x2－3x ＋2<0得1<x<2.答案：0{x|1<x<2}9．解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知 0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y2＝3y2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，tmin ＝34.答案：3410．解：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p2＋p ＋32>0，即p2－2p －3<0. ∴－1<p<3.又∵f(x)是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f(x)＝x2.11．解：(1)由题意可设f(x)＝a(x ＋1)(x －3)， 将C(1，－8)代入得－8＝a(1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f(x)＝2(x ＋1)(x －3)＝2x2－4x －6. (2)f(x)＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f(x)min ＝f(1)＝－8，f(x)max ＝f(3)＝0. (3)f(x)≥0的解集为{x|x ≤－1，或x ≥3}． 12．解：(1)f(x)＝a(x －1)2＋2＋b －a. 当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b<1，∴a ＝1，b ＝0， 即f(x)＝x2－2x ＋2.g(x)＝x2－2x ＋2－mx ＝x2－(2＋m)x ＋2， ∵g(x)在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6. B 级1．选D 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f(x)min ＝f(－1)＝0，f(x)max ＝f(－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．解析：由题意知，y ＝f(x)－g(x)＝x2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 3．解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f(x)＝(x ＋1)2.则F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x>0，－x ＋12，x<0.故F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f(x)＝x2＋bx ，原命题等价于－1≤x2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为 （AB ）32（CD ）2（12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
【三维设计】高三数学文(江苏专用)一轮总复习练习：2.5二次函数与幂函数(含答案解析)
课时追踪检测（八）二次函数与幂函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．二次函数的图象过点(0,1) ，对称轴为x ＝ 2 ，最小值为－ 1 ，则它的分析式为________________ ．分析：依题意可设f(x) ＝a(x－ 2)2－1，∵图象过点 (0,1) ，∴ 4a－1＝ 1，∴ a＝1 . 2∴ f(x) ＝1(x－ 2)2－ 1. 212答案： f(x) ＝ (x－ 2)－ 122．已知幂函数 f(x) ＝ k·xα的图象过点1，2，则 k＋α＝________.22分析：由幂函数的定义知1＝2，因此 1 α213 k＝ 1.又 f＝2，解得α＝，进而 k＋α＝ .222223答案：23．函数 f(x) ＝2x2－ mx＋ 3，当 x∈[ － 2，＋∞ )时， f (x) 是增函数，当x∈ (－∞，－ 2]时， f(x) 是减函数，则f(1) 的值为 ________．2m m 分析：函数 f(x) ＝ 2x－ mx＋ 3 图象的对称轴为直线x＝4，由函数 f(x) 的增减区间可知4＝－ 2，∴ m＝－ 8，即 f(x) ＝ 2x2＋ 8x＋ 3，∴ f(1) ＝ 2＋ 8＋ 3＝ 13.答案： 134．函数 f(x) ＝(m2－ m－ 1)x m是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是 ________．分析： f(x) ＝ (m2－ m－ 1)x m是幂函数 ? m2－ m－ 1＝1? m＝－ 1 或 m＝ 2.又 x∈ (0，＋∞)上是增函数，因此 m＝2.答案： 25．若幂函数 y＝ f(x) 的图象过点2，则 y＝ f(x 2－ 2x)的单一减区间为 ________．2，2αα21111分析：设 f(x) ＝ x ，则由 2 ＝2＝ 2－2，得α＝－2，因此 f(x) ＝ x－2＝x，该函数是定义在 (0，＋∞)上的单一减函数．而u＝ x2－ 2x 在(－∞， 1)上为单一减函数，在(1，＋∞)上为单一增函数，且 u＝ x2－2x>0 ，得 x>2 或 x<0 ，故所求函数 y＝ f(x 2－ 2x)的单一减区间为 (2，＋∞)．答案： (2，＋ ∞)二保高考，全练题型做到高考达标n1，则 mn ＝________. 1．若幂函数 y ＝ mx (m ， n ∈R)的图象经过点8，4 分析：依据幂函数的观点得 1 n － 2 3n2 2 m ＝ 1，且 ＝ 8 ，即 2 ＝ 2 ，因此 n ＝－，因此 mn ＝－ .43 32 答案：－ 32．若函数 f(x) ＝ (1 － x 2)(x 2＋ ax － 5) 的图象对于直线 x ＝ 0 对称，则 f(x) 的最大值是________ ．分析：依题意，函数 f(x) 是偶函数， 则 y ＝ x 2＋ ax － 5 是偶函数， 故 a ＝ 0，f(x) ＝ (1－x 2)(x 2－ 5)＝－ x 4＋ 6x 2－ 5＝－ (x 2－ 3)2＋ 4，当 x 2＝ 3 时， f(x) 取最大值为 4.答案： 43． (2016 无·锡调研 )若幂函数 y ＝ (m 2－ 3m ＋ 3) ·xm 2－ m － 2 的图象可是原点，则m ＝________.分析：由幂函数性质可知m 2－ 3m ＋ 3＝ 1，∴ m ＝ 2 或 m ＝ 1.又幂函数图象可是原点， ∴m 2 － m － 2≤0，即－ 1≤m ≤2，∴ m ＝ 2 或 m ＝ 1. 答案：2或14．设函数 f(x) ＝ x 2－ 23x ＋ 60，g(x) ＝f(x) ＋ |f(x)| ，则 g(1)＋ g(2)＋ ＋g(20) ＝________.分析：由二次函数图象的性质得， 当 3≤x ≤20时，f(x) ＋ |f(x)| ＝0，∴g(1)＋ g(2) ＋ ＋ g(20)＝ g(1)＋ g(2)＝ 112.答案： 1125．(2015 南·京调研 )若函数 y ＝ x 2－ 3x － 4 的定义域为 [0，m]，值域为 －25，－ 4 ，则 m4的取值范围是 ________．3325分析：二次函数图象的对称轴为x ＝ 2，且 f 2＝－4 ， f(3) ＝ f(0)3＝－ 4，由图得 m ∈ 2， 3 .答案：3， 326．若函数 y ＝ x 2＋ (a ＋2)x ＋ 3， x ∈ [a ，b]的图象对于直线 x ＝ 1 对称，则 b ＝ ________.分析：由已知得－ a ＋ 2＝ 1，解得 a ＝－ 4.又由于 a ＋ b＝ 1，因此 b ＝ 2－ a ＝ 6.22答案： 67．设二次函数 f(x) ＝ ax 2＋ 2ax ＋ 1 在 [－ 3,2] 上有最大值 4，则实数 a 的值为 ________． 分析：此函数图象的对称轴为直线x ＝－ 1.当 a>0 时，图象张口向上， 因此 x ＝ 2 时获得最大值，f(2) ＝ 4a＋ 4a＋ 1＝ 4，解得a＝ 3；当8a<0时，图象张口向下，因此x＝－ 1时获得最大值，f( － 1)＝ a－ 2a＋ 1＝ 4，解得a＝－ 3.答案：－3 或388．已知幂函数f(x) ＝ x－12，若f(a＋ 1)＜ f(10－ 2a)，则 a 的取值范围是________．分析：∵1f(x)＝x－2＝ 1x(x＞ 0)，易知x∈ (0，＋∞)时为减函数，又f(a＋ 1)＜ f(10－ 2a)，a＋1＞ 0，a＞－ 1，∴ 10－2a＞ 0，解得a＜ 5，∴ 3＜ a＜ 5.a＋ 1＞10－ 2a，a＞ 3，答案： (3,5)9． (2016 金·陵中学检测 )已知函数 f(x) ＝ x－ 2m2＋ m＋ 3(m∈ Z) 是偶函数，且f(x) 在 (0，＋∞)上单一递加．(1) 求 m 的值，并确立 f(x) 的分析式；(2)g(x) ＝ log2 [3－ 2x－ f(x)] ，求 g(x) 的定义域和值域．解：(1) 由于 f(x) 在 (0，＋∞)单一递加，由幂函数的性质得－2m 2＋ m＋ 3>0，解得－ 1<m<3.2由于 m∈Z ，因此 m＝ 0 或 m＝ 1.当m＝0 时，f(x) ＝x3不是偶函数；当 m＝ 1 时， f(x) ＝x2是偶函数，因此 m＝1， f(x) ＝x2 .(2)由 (1)知 g(x) ＝ log2(－ x2－ 2x ＋3)，由－ x2－ 2x＋ 3>0，得－ 3<x<1 ，因此 g(x) 的定义域为 (－ 3,1)．设 t＝－ x2－2x＋ 3， x∈ (－ 3,1)，则 t∈ (0,4] ，此时 g(x) 的值域就是函数y＝ log 2t， t∈ (0,4] 的值域．又 y＝ log2t 在区间 (0,4] 上是增函数，因此 y∈ (－∞， 2]，因此函数 g(x) 的值域为 (－∞， 2]．10． (2016 南·师附中月考)已知函数f(x) ＝ax2＋ bx＋ 1(a， b 为实数， a≠0， x∈ R)．(1)若函数 f(x) 的图象过点 (－ 2,1)，且方程 f(x) ＝ 0 有且只有一个根，求f(x) 的表达式；(2)在 (1)的条件下，当 x∈ [ － 1,2] 时，g(x) ＝ f(x) － kx 是单一函数，务实数k 的取值范围．解： (1)由于 f( －2) ＝1，即 4a－ 2b＋ 1＝ 1，因此 b＝ 2a.由于方程 f(x) ＝0 有且只有一个根，因此＝b2－ 4a＝ 0.2因此 4a － 4a＝ 0，因此 a＝ 1，b＝ 2.2因此 f(x) ＝ (x＋ 1) .(2)g(x) ＝ f(x) － kx＝ x2＋ 2x＋ 1－kx ＝ x2－ (k－2)x ＋1＝ x－k－22＋ 1－－2.42由 g(x) 的图象知，要知足题意，则k－ 2k－ 22≥2或2≤－1，即 k≥6或 k≤0，∴所务实数 k 的取值范围为 (－∞， 0]∪ [6，＋∞)．三登台阶，自主选做志在冲刺名校1．设 f(x) 与 g(x) 是定义在同一区间[a，b] 上的两个函数，若函数y＝ f(x) － g(x) 在 x∈ [a，b]上有两个不一样的零点，则称f(x) 和g(x) 在 [a， b]上是“关系函数”，区间 [a， b]称为“关系区间”．若 f(x) ＝x2－ 3x＋ 4 与 g(x) ＝2x＋ m 在 [0,3] 上是“关系函数”，则 m 的取值范围为 ________．分析：由题意知， y＝ f(x) － g(x) ＝ x2－ 5x＋ 4－m 在 [0,3] 上有两个不一样的零点．在同向来角坐标系下作出函数y＝ m与y＝x2－5x＋ 4(x ∈ [0,3])的图象如下图，联合图象可知，当x ∈ [2,3] 时，y ＝ x2－ 5x ＋ 4∈－9，－ 2 ，故当 m∈ －9，－ 2 时，函数 y＝m 与 y＝ x2－ 5x＋ 4(x ∈ [0,3]) 44的图象有两个交点．9答案：－4，－22．已知二次函数 f(x) ＝ x2－ x＋ k，k∈ Z，若函数 g(x) ＝ f(x) － 2 在－ 1，3上有两个不2同的零点，则f2＋ 2的最小值为 ________．分析：若函数2－ x ＋ k－ 2 在－1，3上有两个不一样的零点，k ∈ Z ，则g(x) ＝ x2－，3解得 k＝ 2.g 2 >0 ，＝ 1－－，因此二次函数f(x) ＝ x2－ x＋ 2，其值域为7，＋∞，42]＋ 2＝ f(x) ＋27，此中 f(x) ≥，4此时 f(x) ＋2单一递加，72＋ 281因此当 f(x) ＝4时，获得最小值28.答案： 81283． (2016 镇·江四校联考 )已知函数 f(x) ＝ x2－1， g(x) ＝ a|x－ 1|.(1)若当 x∈R 时，不等式f(x)≥ g(x)恒建立，务实数 a 的取值范围；(2)求函数 h(x) ＝ |f(x)| ＋ g(x) 在区间 [0,2] 上的最大值．解： (1)不等式 f(x) ≥g(x)对 x∈ R 恒建立，即x2－ 1≥a|x－ 1|(*) 对 x∈ R 恒建立．①当 x＝ 1时， (*) 明显建立，此时a∈ R；②当 x≠1时， (*) 可变形为x2－ 1，a≤|x－ 1|x2－ 1x＋ 1，x>1 ，令φ(x)＝＝－＋， x<1.|x－ 1|由于当 x>1 时，φ(x)>2，当 x<1 时，φ(x)>－ 2，因此φ(x)>－ 2，故此时 a≤－ 2.综合①②，得所务实数 a 的取值范围是(－∞，－ 2]．－x2－ ax＋a＋ 1， 0≤x<1，(2)h(x) ＝0， x＝1，x2＋ ax－ a－ 1， 1<x≤2.①当－2a≤0时，即 a≥0， (－ x2－ ax＋a＋1)max＝ h(0)＝ a＋ 1，(x2＋ ax－ a－ 1)max＝ h(2)＝ a＋ 3.此时， h(x) max＝ a＋ 3.②当 0<－a2≤1时，即－ 2≤a<0， (－ x2－ ax＋ a＋ 1)max＝ h －a2＝a＋ a＋ 1， (x2＋ ax－ a－ 1)max 24＝h(2)＝ a＋3.此时 h(x) max＝ a＋ 3.a③当 1<－2≤2时，即－ 4≤a<－ 2，(－ x2－ ax＋ a＋ 1)max＝ h(1) ＝0，0，－ 4≤ a<－ 3，(x2＋ ax－ a－ 1)max＝ max{h(1) ， h(2)} ＝ max{0,3 ＋ a} ＝3＋a，－ 3≤ a<－ 2.0，－ 4≤ a<－ 3，此时 h(x) max＝3＋ a，－ 3≤ a<－2.a④当－2>2 时，即 a<－ 4， (－ x2－ ax＋a＋ 1)max＝ h(1)＝ 0，(x2＋ ax－ a－ 1)max＝ h(1)＝ 0.此时 h(x) max＝ 0.3＋ a，a≥－ 3，综上： h(x) max＝0， a<－ 3.。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.9_幂函数、指数函数与对数函数(讲)(有解析)
2.9 幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】内 容要 求备注A B C 函数概念与基本初等函数Ⅰ指数函数的图象与性质√1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．3．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．4．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性．5．了解幂函数的概念．6．结合函数y ＝x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝1x ，y ＝x 12的图像，了解它们的变化情况． 对数函数的图象与性质√幂函数√【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编] 如果3x＝4，则x ＝________．【解析】 由指数式与对数式的互化规则，得x ＝log 34. 2．[教材改编] 2log 510＋log 50.25＝________．【解析】 2log 510＋log 50.25＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 3．[教材改编] 函数y ＝log 2(x 2－1)的单调递增区间是________．【解析】 由x 2－1>0得x <－1或x >1.又函数y ＝log 2x 在定义域内是增函数，所以原函数的单调递增区间是(1，＋∞)． 题组二 常错题4．函数y ＝log 12(2x 2－3x ＋1)的单调递减区间为________．【解析】 由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＞1或x ＜12，易知u ＝2x 2－3x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1，＋∞)上是增函数，所以原函数的单调递减区间为(1，＋∞)．5．设a ＝14，b ＝log 985，c ＝log 83，则a ，b ，c 的大小关系是________．【解析】 a ＝14＝log 949＝log 93<log 83＝c ，a ＝log 93>log 985＝b ，所以c >a >b .题组三 常考题6．lg 52＋2lg 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－1＝________．【解析】 原式＝lg 5－lg 2＋2lg 2＋5＝lg 5＋lg 2＋5＝1＋5＝6.7．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________________．8． 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1x 2＋2，若f (x )>f (2x －1)，则x 的取值范围为________． 【解析】 由f (x )＝ln(1＋|x |)－12＋x2可知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (2x －1)，即f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，解得13<x <1.【知识清单】1 幂函数的概念、图象与性质 常用幂函数的图象与性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减2y ＝a x a >10<a <1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论．2.关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．3.从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．【重点难点突破】考点1 幂函数的概念、图象与性质【1-1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？【答案】1m=-【1-2】若幂函数y＝(m2－3m＋3)22m mx--的图象不经过原点，则实数m的值为________．【答案】1或2【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧m2－3m＋3＝1m2－m－2≤0，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.【1-3】设424999244(),(),()999a b c===，则a，b，c的大小关系是________．【答案】b c a>>【解析】∵函数49(0)y x x=>是增函数，∴c a>，又∵函数4()9xy=是减函数，∴b c>，∴b c a>>. 【思想方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y ＝x α的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．【温馨提醒】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键. 考点2 指数函数的概念、图象与性质【2-1】若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 【答案】 3【2-2】设f (x )＝|3x－1|，c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )，由在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c＋3a>2；④3c＋3a<2中一定成立的是 . 【答案】④【解析】作f (x )＝|3x －1|的图象如图所示，由图可知，要使c <b <a 且f (c )>f (a )>f (b )成立，需有c <0且a >0，所以3c<1<3a，所以f (c )＝1－3c，f (a )＝3a－1.又f (c )>f (a )，所以1－3c>3a－1，即3a＋3c<2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类讨论．指数函数与其他函数构成的复合函数问题，讨论复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．【温馨提醒】一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解． 考点3 对数函数的概念、图象与性质【3-1】已知f (x )＝log a (x ＋1)(a >0且a ≠1)，若当x ∈(－1，0)时，f (x )<0，则f (x )在定义域上单调性是 . 【答案】增函数【解析】由于(1,0)x ∈-，即1(0,1)x +∈时()0f x <，所以1a >，因而()f x 在(1,)-+∞上是增函数． 【3-2】已知f (x )＝log a (a x－1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性．【答案】（1）1a >时，定义域为(0,)+∞，01a <<时，定义域为(,0)-∞；（2）1a >时，增函数，01a << 时，减函数．【解析】(1)由a x －1>0得a x>1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)． (2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1<ax 1<ax 2， 故0<ax 1－1<ax 2－1，∴log a (ax 1－1)<log a (ax 2－1)． ∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 【3-3】已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)；（2）存在，12a =．【基础知识】a>10<a<1图像定义域(0，＋∞)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值正负当x>1时，y>0；当0<x<1，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．【温馨提醒】解决对数型函数、对数型不等式问题,一定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单调性进行求解，一定要具体问题具体分析，做到考虑问题全面周到． 如：若()()22132a a --+>-，则a 的取值范围是 ．【分析】由2y x -=的图象关于y 轴对称知，函数2y x -=在()0,+∞上是减函数，在(),0-∞上是增函数．因为()()22132a a --+>-，所以32010321a a a a ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩或32010321a a a a -<⎧⎪+<⎨⎪-<+⎩或 ()32010321a a a a ⎧->⎪+<⎨⎪->-+⎩或()32010321a a a a ⎧-<⎪+>⎨⎪-->+⎩，解得213a -<<或a ∈∅或1a <-或4a >，所以a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭U U ．【易错点】本题容易只考虑到1a +，32a -在同一单调区间的情况，不全面而致误． 【练一练】已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)，经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围。
江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4幂函数与二次函数课件文
)
解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)＝xα，故 y＝2 不是幂函数， (1)错． (3)由于当 b＝0 时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c 为偶函数，故(3)错． (4)对称轴 x＝－2ba，当－2ba小于 a 或大于 b 时，最值不是4ac4－a b2， 故(4)错． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
4．(2016·全国Ⅲ卷改编)已知 关系为________．
解析 因为 函数，所以 c>a>b. 答案 c>a>b
则 a，b，c 的大小 在(0，＋∞)上是增
5．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数， 则实数a的取值范围是________． 解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1 －a≥3，∴a≤－2. 答案 (－∞，－2]
(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a，所以要使 f(x) 在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6，即 a≤－6 或 a≥4， 故 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (3)当 a＝－1 时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3＝ x2＋2x＋3＝x＋12＋2，x≤0， x2－2x＋3＝x－12＋2，x>0， 其图象如图所示， 又∵x∈[－4,6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区 间[－1,0)和[1,6]上为增函数.
(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
江苏高考数学复习幂函数与二次函数专题练习(含答案)
江苏高考数学复习幂函数与二次函数专题练习（含答案）当a0时,需解得-30,综上可得-30.【误区警示】本题易忽视a=0这一情况而误选A,失误的原因是将关于x的函数误认为是二次函数.8.【解析】选C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得f(x)=当x0时,由f(x)=x得x2+4x+2=x,解得x=-2或x=-1.当x0时,由f(x)=x得x=2.故关于x的方程f(x)=x的解的个数是3个.9.【解析】选C.由b0知,二次函数对称轴不是y轴,结合二次函数的开口方向及对称轴位置,二次函数图像是第③个.从而a2-1=0且a0,a=-1.10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,∵x(0,],g(a)为增加的.当x=时满足:a++10即可,解得a-.方法二:由x2+ax+10得a-(x+)在x(0,]上恒成立,令g(x)=-(x+),则知g(x)在(0,]上是增加的,g(x)max=g()=-,a-.11.【思路点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,则一次项系数为0可求b.值域为(-,4],则最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,则其图像关于y轴对称.2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-,4],2a2=4,f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+412.【解析】设f(x)=x2+a|x|+a2-9,则f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9=x2+a|x|+a2-9=f(x),即函数f(x)是偶函数.由题意知,f(0)=0,则a2-9=0,a=3或a=-3,经检验a=3符合题意,a=-3不合题意,故a=3.答案:313.【思路点拨】由题意知二次函数的图像开口向上,且关于直线x=2对称,则距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式问题.【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,|1-2x2-2||1+2x-x2-2|,即|2x2+1||x2-2x+1|,2x2+10的否定为:对于区间[0，1]内的任意一个x都有f(x)0.即解得a1或a-2.二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)0的实数a的取值范围是(-2，1).答案:(-2，1)幂函数与二次函数专题练习分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
2018高考一轮江苏数学文练习第2章 第9课 对数与对数函数 含答案 精品
第9课对数与对数函数[最新考纲]1．对数的概念如果a x＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a＞0，且a≠1)．(2)换底公式：log a b＝log c blog c a(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N，③log a Mn＝n logaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg [(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2017·启东中学高三第一次月考)函数f (x )＝1(log 2x )2－1定义域为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) [由⎩⎨⎧(log 2x )2－1>0x >0，得0<x <12或x >2.] 3．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知1log 2a ＋1log 3a ＝2，则a ＝________.6 [∵1log 2a ＋1log 3a ＝2，∴log a 2＋log a 3＝2， ∴log a 6＝2， ∴a 2＝6，a >0， ∴a ＝ 6.]4．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图9-1，则下列结论成立的是________．(填序号)图9-1①a ＞1，c ＞1； ②a ＞1,0＜c ＜1； ③0＜a ＜1，c ＞1； ④0＜a ＜1,0＜c ＜1.④ [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]5．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1. 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．](1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于________．(2)(2017·南通第一次学情检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝103，a b ＝b a ，则a ＋b ＝________.(1)10 (2)43 [(1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m ＝10. (2)∵log b a ＝1log ab ，∴由log a b ＋log b a ＝103得log a b ＝3或log a b ＝13. 又∵a >b >1，∴log a b ＝13，即a ＝b 3. 又a b ＝b a ，∴a ＝3b ，∴a ＝33，b ＝3， ∴a ＋b ＝4 3.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b ＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为________．(2)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.(1)24 (2)433 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24.(2)∵a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23， ∴2a＋2－a＝2log 23＋2－log23＝3＋2log 233＝3＋33＝433.](1)(2017·南通二调)已知函数f (x )＝loga (x ＋b )(a ＞0，a ≠1，b ∈R )的图象如图9-2所示，则a ＋b 的值是________．图9-2(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172048】(1)92(2)(1，＋∞) [(1)由题图可知 ⎩⎨⎧log a (b －3)＝0，log a b ＝－2，解得b ＝4，a ＝12，∴a ＋b ＝92. (2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[变式训练2] 如图9-3，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝________.图9-33 [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2(m ＋3)＋2＝n ＋1，解得m ＝ 3.]☞角度1 比较对数值的大小(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则下列选项中正确的是________．(填序号)①log a c ＜log b c ； ②log c a ＜log c b ； ③a c ＜b c ； ④c a ＞c b .② [对于①：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于②：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴②正确．对于③：利用y ＝x c (0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c ＞b c ，∴③错误．对于④：利用y ＝c x (0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a ＜c b ，∴④错误．]☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考改编)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若loga b >1，则下列说法正确的是________．(填序号)①(a －1)(b －1)<0； ②(a －1)(a －b )>0； ③(b －1)(b －a )<0； ④(b －1)(b －a )>0.④ [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有④正确．法二：取a ＝2，b ＝3，排除①，②，③，故选④.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝loga (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 【导学号：62172049】[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧3－2a ＞0，log a (3－a )＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，log a b＞0；当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，log a b＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(九)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]2．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________.【导学号：62172050】(－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]3．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [由log 23(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]4．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．a ＝b ＞c [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]5．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图9-4所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)图9-4① ② ③ ④② [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.选项①，y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；选项②，y ＝x 3符合；选项③，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； 选项④，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是________.【导学号：62172051】5 [由题意可知f (1)＝log 21＝0， f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.]7．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(2,4)上单调递增，则a 的取值范围是____________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由函数y ＝log 2(ax －1)在(2,4)上单调递增，得⎩⎨⎧a ＞0，a ·2－1＞0， 解得a ＞12，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.] 8．(2017·苏锡常镇调研二)已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (log 1a 3)>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172052】(0,1)∪(3，＋∞) [∵f ′(x )＝3x 2＋2>0，∴f (x )为R 上的递增函数，又f (－x )＝－x 3－2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．由f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1a 3>0得f (1)>－f (log 1a 3)＝f ()log a 3， ∴log a 3<1，即a >3或0<a <1.]9．(2017·盐城期中)设函数f (x )＝lg(x ＋1＋mx 2)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，∴lg(－x ＋1＋mx 2)＋lg(x ＋1＋mx 2)＝lg(1＋mx 2－x 2)＝0，∴(m －1)x 2＝0，即m ＝1.]10．(2017·无锡期中)若函数f (x )＝ln|x －a |(a ∈R )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )在(－∞，m )单调递减，则实数m 的最大值等于________．3 [由f (3＋x )＝f (3－x )可知，f (x )关于x ＝3对称，又f (x )＝ln|x －a |的图象关于x ＝a 对称，所以a ＝3，结合题意可知，实数m 的最大值为3.]二、解答题11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1)时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)＞－2. 【导学号：62172053】[解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12(－x )，x ＜0.(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5，即不等式的解集为(－5，5)．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知点(n ，a n )(n ∈N ＋)在y ＝e x 的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n ＞k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是________．10≤k ＜15 [因为点(n ，a n )在y ＝e x 的图象上，所以a n ＝e n ，所以T n ＝ln(e 1e 2…e n )＝n (n ＋1)2，由n (n ＋1)2＞k 时n 的最小值为5，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5(5＋1)2＞k ，4(4＋1)2≤k ，解得10≤k ＜15.] 2．(2017·南京模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)证明：f (x )为奇函数，由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x ＞1，解得0＜x ＜1， 所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．4．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.。
【小初高学习]2018年高考数学一轮总复习 专题2.4 二次函数与幂函数练习(含解析)文
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专题2.4 二次函数与幂函数考点分析从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一 幂函数的图象和性质 【例1】幂函数（是常数）的图象（ ） A. 一定经过点 B. 一定经过点C. 一定经过点D. 一定经过点【答案】C考点：幂函数的性质. 【变式训练1】幂函数的图象经过点，则是（ ）A. 偶函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是减函数C. 奇函数，且在上是增函数D. 非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】C【解析】设幂函数为 ，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在上是增函数，故选C.【变式训练2】【2017届云南曲靖一中高三上月考】已知幂函数nx x f =)(的图象过点且)2()1(f a f <+，则a 的范围是（ ） A.13<<-a B.3-<a 或1>a C.1<a D.1>a 【答案】B【解析】因为幂函数nx x f =)( 是偶函数，且在()0,+∞上递减，在(),0-∞上递增，由)2()1(f a f <+得，解得3-<a 或1>a ，故选B.考点：1、幂函数的图象与性质；2、绝对值不等式的解法.【例2】【2017届福建福州外国语学校高三上学期期中数学】已知函数是幂函数25m 3f (x )=(m m 1)x －－－－且幂函数是(0,+∞)上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．－1C ．－1或2D ．0 【答案】B【变式训练】【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（文）】已知p ：幂函数()21m y m m x =--在()0,+∞上单调递增；，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 .0C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由题意，命题:p 幂函数()21m y m m x =-- 在()0,+∞上单调递增，则211{,20m m m m --=∴=> ，故p 是q 的充分不必要条件，选A. 【知识链接】(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较【解题方法与技巧】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．考点二 二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数()()236f x x a a x c =-+-+.（1）当19c =时，解关于a 的不等式()10f >；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数a 、c 的值.【答案】（1）()2,8-;（2）3a = 9c =.【变式训练】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值； （2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为 当10<<a 时，解集为【解析】（1）由题3,1-=x 是方程022=+-+a bx ax 的两根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）当2=b 时，)1)(2(22)(2++-=+-+=x a ax a x ax x f【知识链接】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;z.xxk当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,αβ-∞+∞.命题二：二次函数的单调性【例1】【2017届福建连城县一中高三上期中数学（文）】已知函数()()2210f x ax ax a =-+<，若1212,0x x x x <+=，则()1f x 与()2f x 的大小关系是（ ） A.()()12f x f x = B.()()12f x f x > C.()()12f x f x < D.与a 的值无关【答案】C考点：二次函数图象与性质.【例2】如果函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a≤3 B．a≥﹣3 C ．a≤5 D．a≥5 【答案】B【解析】∵抛物线函数f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2开口向上， 对称轴方程是x=1﹣a ，在区间[4，+∞）上递增， ∴1﹣a≤4，解得a≥﹣3． 故选B ．【变式训练】已知函数2()2f x x ax b =-++且(2)3f =-．（1）若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 在区间[2,3]-上的值域； （2）若函数()f x 在区间[1,)+∞上递减，求实数b 的取值范围． 【答案】(1)[]1,19--；(2)3-≥b .考点：1.二次函数的值域；2.二次函数的单调性..0【例3】【2017届江苏泰州中学高三上学期月考】函数()()2212f x x a x =--+在区间[]1,4-上为单调函数，则a 的取值范围是__________． 【答案】(][),05,-∞⋃+∞所以当11-≤-a 或41≥-a 时,即0≤a 或4≥a 时函数单调,故应填答案(][),05,-∞⋃+∞. 考点：二次函数的图象和性质及运用．【变式训练1】【江苏省张家港2016-2017学年高二期中数学（文】若函数()261f x x x =-+-在区间(),12a a +上不是单调函数,则实数a 的取值范围是____. 【答案】（1，3）【解析】因为函数()261f x x x =-+-的对称轴为3x = ，函数在(),12a a + 不单调，312a a ∴<<+ ，解得： 13a <<，故答案为 ()1,3 .命题三：二次函数根的分布【例1】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 . 【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【变式训练】已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-【知识链接】设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042；【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af.推论1 210x x <<⇔0<ac . 推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】在区间(,)a b 内有且只有一根，则()()0f a f b ≤，且检验等号． 【解题方法与技巧】二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 命题四：二次函数的最值【例1】【2016-2017学年江苏省泰州中学高二期中数学（文）】若函数24y x x =-的定义域为[]4,a -，值域为[]4,32-，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]2,8【变式训练1】已知函数432--=x x y 的定义域是[]m ,0，值域为，则m 的取值范围是（ ）A. (]4,0B.【答案】C【解析】由题432--=x x y ，对称轴为：，(0)4(3)f f =-=。
(江苏专版)高考数学一轮复习 专题2.5 二次函数与幂函数(练)
专题2.5 二次函数与幂函数一、填空题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝________. 【答案】32【解析】由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫52，＋∞上是增函数，则a 的取值范围为________．【答案】[－5，＋∞)【解析】因为y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞上是增函数，由题意得－a 2≤52.所以a ≥－5. 3．已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )，f (0)的大小关系为________．【答案】f (m )＜f (0)4．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________________．【答案】f (x )＝12(x －2)2－1 【解析】依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，因为图象过点(0,1)，所以4a －1＝1，所以a ＝12. 所以f (x )＝12(x －2)2－1.5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________.【解析】由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上，所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4.【答案】－46．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－22，0 【解析】作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0， 解得－22＜m ＜0.7．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(0,1]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．【答案】1【解析】当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1.二、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 能力提升题组11．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．【答案】充分不必要12．(2017·常州期末测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值： ①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．上述结论正确的是________(填序号)．【答案】①【解析】依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x 2 015. ∴函数f (x )＝x 2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，x －13，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．【答案】(0,1)【解析】作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．。
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第9课二次函数、幂函数
A 应知应会
1. 函数y=2x2-8x+2在区间[-1,3]上的值域为.
2. 若函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则实数m的值为.
3. 已知幂函数f(x)=xα的部分对应值如下表:
则不等式f(|x|)≤2的解集是.
4. 若函数f(x)=4x2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围为.
5. 已知函数f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]上有一个最大值,此最大值为-5,求实数a的值.
6. 已知a为实数,函数f(x)=x|x-a|,其中x∈R.
(1) 判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2) 写出函数f(x)的单调区间.
B 巩固提升
1. 若二次函数f(x)=ax2+bx+1满足f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= .
2. 已知对任意的x∈R,函数f(x)满足f(-x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2-ax+1.若f(x)有4个零点,则实数a的取值范围是.
3. (2016·浙江模拟改编)已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.若b>2a,且函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为2,最小值为-4,则函数f(x)的最小值为.
(第4题)
4. (2015·北京海淀区模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点C(t,2), 且与x轴交于A,B两点.若AC⊥BC,则实数a= .
5. 已知关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2.
(1) 求(1+x1)(1+x2)的值;
(2) 求证:x1<-1且x2<-1;
(3) 如果∈,求a的最大值.
6. 已知函数f(x)=ax2+bx+1,x∈R.
(1) 若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;
(2) 在(1)的条件下,若f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,求k的取值范围.
第9课二次函数、幂函数
A 应知应会
1. [-6,12] 【解析】y=2(x-2)2-6,当x=2时,y取得最小值,为-6;当x=-1时,y取得最大值,为1
2.
2. 2 【解析】由题意知m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,f(x)=x-3,符合题意;当m=-1时,m2-2m-3=0,f(x)=x0,不合题意.综上,m=2.
3. {x|-4≤x≤4}【解析】由f=⇒α=,故f(|x|)≤2⇒|x≤2⇒|x|≤4,故其解集为{x|-4≤x≤4}.
4. [25,+∞)【解析】由题意知≤-2,所以m≤-16,所以f(1)=9-m≥2
5.
5. 【解答】由题意知f(x)=-4-4a,其图象的顶点坐标为,对称轴为直线x=.
当≥1,即a≥2时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,此时f(x)的最大值为f(1)=-4-a2,
则-4-a2=-5,解得a=±1<2,舍去.
当0<<1,即0<a<2时,f(x)的最大值为f=-4a,
则-4a=-5,解得a=∈(0,2).
当≤0,即a≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,此时f(x)的最大值为f(0)=-4a-a2,
则-4a-a2=-5,即a2+4a-5=0,
解得a=-5或a=1(舍去).
综上所述,a=或a=-5.
6. 【解答】(1) 当a=0时,f(x)=x|x|,因为定义域为R,且f(-x)=-x|-x|=-f(x),所以f(x)为奇函数.当a≠0时,因为f(a)=0,f(-a)=-a|2a|,所以f(-a)≠f(a),f(-a)≠ -f(a),所以f(x)是非奇非偶函数.
(2) 当a=0时,f(x)=x|x|=则f(x)的单调增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)=则f(x)的单调增区间为和(a,+∞),f(x)的单调减区间为;
当a<0时,f(x)=
则f(x)的单调增区间为(-∞,a)和,f(x)的单调减区间为.
B 巩固提升
1. 1【解析】因为f(x1)=f(x2)且f(x)的图象关于直线x=-对称,所以x1+x2=-,所以f(x1+x2)=f=a·-b·+1=1.
2. (2,+∞)【解析】由题意得f(x)为偶函数.因为f(x)有4个零点,又f(0)=1>0,所以当x>0时,f(x)=x2-ax+1有2个零点,所以解得a>2.
3. - 【解析】因为a∈N*,所以二次函数的图象开口向上.由b>2a得函数图象的对称轴x=-<-1,则函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故f(x)min=f(-1)=a-b+c=-4,f(x)max=f(1)=a+b+c=2,两式相减得b=3.又因为a<且a∈N*,所以a=1,c=-2,所以f(x)=x2+3x-2,则f(x)min=f=-.
4. - 【解析】设y=a(x-x1)(x-x2),由题设知a(t-x1)(t-x2)=2.又AC⊥BC,利用斜率关系得·=-1,所以a=-.
5. 【解答】(1) 因为x1+x2=-,x1x2=,所以(1+x1)(1+x2)=1+(x1+x2)+x1x2=1-+=1.
(2) 令f(x)=ax2+x+1(a>0),
由Δ=1-4a≥0,得0<2a≤,
所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=-≤-2<-1.
又f(-1)=a>0,
所以f(x)的图象与x轴的交点都在点(-1,0)的左侧,故x1<-1且x2<-1.
(3) 由(1)知x1=-1=-,
所以=-∈,
所以-∈,
所以a==-·=-=+,
故当-=时,a取得最大值.
6. 【解答】(1) 由题意知f(-1)=a-b+1=0,且-=-1,所以a=1,b=2,
所以f(x)=x2+2x+1,其单调减区间为(-∞,-1],单调增区间为[-1,+∞).
(2) f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立,
即x2+x+1>k在[-3,-1]上恒成立.
设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],
有k<g(x)min.
因为g(x)在[-3,-1]上单调递减,
所以g(x)min=g(-1)=1.
所以k<1,即k的取值范围为(-∞,1).。