高二数学二项式定理6
二项式定理6
例4：在（x2 + 3x + 2）5 的展开式中，x的系数 为多少？
解1： （x2 + 3x + 2）5 = 〔x2 +（3x + 2）〕5 = x10 + C51 x8（3x+2）+…+ C54 x2（3x+2）4+C55 （3x+2）5 只有（3x + 2）5中含有x项，其系数为C55 C54 ×3×24=240
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止
如 (1+x)n= 1+ Cn1 x+ Cn2 x2＋. . . ＋Cnr xr ＋ . . . xn
应用
例1：展开（ 1＋ 1 ) 4 x
例2：展开(2 x 1 )6，并求第3项的 x
二项式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数和第 6项的系数
注：1）注意区别二项式系数与项的系数的概念
2）求二项式系数或项的系数的一种方法是 将二项式展开(适用于n比较小的情况）
小结： 1）注意二项式定理 中二项展开式的特征； 2）区别二项式系数，项的系数及项； 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的 系数及项。
作业：P 113 习题 T2(2), T3 (2) ， T4(2) 、(3) , T5
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结二项式定理是高中数学中的重要知识点，它是代数中的一个基本定理，也是数学中的一个重要定理。
二项式定理在数学中有着广泛的应用，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着重要的应用价值。
本文将对高中数学二项式定理的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识点。
一、二项式定理的基本概念。
二项式定理是指对于任意实数a、b和非负整数n，都有以下公式成立：\((a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1} b^1 + C_n^2a^{n-2} b^2 + ... +C_n^na^0 b^n\)。
其中，\(C_n^k\)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式是：\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
二项式定理的基本概念就是利用组合数的性质，将二项式展开成多项式的形式，从而方便进行计算和运用。
二、二项式定理的应用。
1. 多项式展开。
二项式定理可以方便地将一个二项式展开成多项式的形式，从而简化计算。
例如，对于(a+b)²和(a+b)³，可以利用二项式定理将其展开成多项式的形式，从而方便进行计算。
2. 组合数的计算。
二项式定理中的组合数\(C_n^k\)在实际问题中有着重要的应用，例如在概率论、统计学等领域中，经常需要计算从n个不同元素中取出k个元素的组合数，而二项式定理提供了一种方便快捷的计算方法。
3. 概率计算。
二项式定理在概率计算中有着重要的应用，例如在二项分布中，就涉及到了二项式定理的应用。
通过二项式定理，可以方便地计算出在n次独立重复试验中成功次数为k的概率。
三、二项式定理的推广。
除了普通的二项式定理外，还有二项式定理的推广形式，如多项式定理、负指数幂的二项式定理等。
这些推广形式在数学理论和实际问题中都有着重要的应用价值，可以进一步丰富和拓展二项式定理的应用领域。
高二数学二项式定理
二项式系数为
C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将
二项式展开
例3、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
解: (x a)12的展开式有13项,倒数第4项是它的第10项.
T91 C192 x129a9 220x3a9.
例4、(1)求（1+2x)7的展开式的第4项的系数
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
(2)求（x 1 )9的展开式中x3的系数和中间项 x
解: (1)T31 C73 173 (2x)3 280x3 第四项系数为280.
由9 (22r)Tr31 ,得Cr9r x=93r.(故 1xx)3r的系(数1)r为C9r(x9-12r).3C93 84.
中间一项是第5项,T41
C84 x84 (
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
(2x 1)6 C62 (2x)4
C63 (2x)3
高二数学人选修课件二项式定理
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。
二项式定理高中数学
二项式定理高中数学二项式定理这玩意儿，听起来好像很吓人，啥“展开式”啊，“系数”啊，搞得好像要开个数学大会一样。
其实它并没有那么可怕。
咱们说白了，二项式定理就是一种用来展开（或者说拆开）像“(a+b)”这种式子的神奇工具。
你可能会问了，什么叫展开呢？简单来说就是把里面的东西拆开、整理得清清楚楚，告诉你它到底能长成什么样子。
打个比方，就像拆快递一样，把里面的东西一个个拿出来看清楚，哎哟，原来是个手机，不是个耳机，哈哈，是不是明白了？我们先从最基础的开始说，二项式定理就是帮助我们把像(a+b)的形式进行展开，看看它能变成什么模样。
比如说，你有(a+b)²，这个式子很常见吧？它到底是啥意思呢？你不妨先想想，(a+b)²就是(a+b)×(a+b)，哎，就是这两个一模一样的东西相乘，咋弄呢？就拿“乘法分配律”那招吧，把a和b分别和另一个(a+b)里面的a和b都乘一遍。
你会得到：a×a + a×b + b×a + b×b，结果就是a² + 2ab + b²。
你瞧，这就是二项式定理的展开结果，超简单，完全可以照搬。
说实话，刚开始学的时候大家可能都会觉得这个很神秘，甚至会觉得有点蒙。
但其实呢，原来它的本质就是按部就班地去拆开它，明明白白地拿出来。
不过说到这里，你可能又在想了，怎么总是看到这类展开式里面的系数？是不是很复杂？别急，我们来聊聊这事儿。
其实啊，二项式定理里面的系数可不难搞。
你以为这系数是随便来的，其实它们是有规律的，这个规律叫“二项式系数”，它们可以通过一个叫做“杨辉三角”的东西来找。
这个东西可能看起来很复杂，但一旦你熟悉了它，便能像老朋友一样对它了如指掌。
我们从三角形的第一行开始数，开始算。
每一行的数都是通过上一行的数来加的，你就能找出这些系数，哦，这就是展开式里每一项前面的那个数。
举个例子哈，你如果有(a+b)³，那就等于(a+b)×(a+b)×(a+b)。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
高二数学二项式定理知识点梳理
高二数学二项式定理知识点梳理高中数学想对来说是比较难的一项科目，做好数学知识方面的复习有利于提高数学知识能力水平。
下面就让店铺给大家分享一些高二数学二项式定理知识点梳理吧，希望能对你有帮助!高二数学二项式定理知识点梳理篇一1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k≠0)(k不等于0，且k，b为常数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的交点,坐标为(0,b).当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为(-b/k，0)3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tana(角a为一次函数图象与x 轴正方向夹角,a≠90°)4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.5.函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行;当k不同，且b相等，图象相交于Y轴;当k互为负倒数时，两直线垂直;6.平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间高二数学二项式定理知识点梳理篇二1.y=kx时(即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线)当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2.y=kx+b(k,b为常数，k≠0)时：当k>0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，三象限;当k>0,b<0,这时此函数的图象经过一，三，四象限;当k<0,b>0,这时此函数的图象经过一，二，四象限;当k<0,b<0,这时此函数的图象经过二，三，四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3.直线y=kx+b中k、b的关系k>0,b>0：经过第一、二、三象限k>0,b<0：经过第一、三、四象限k>0,b=0：经过第一、三象限(经过原点)结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
高中数学知识点总结---二项式定理5篇
高中数学知识点总结---二项式定理5篇第一篇：高中数学知识点总结---二项式定理高中数学知识点总结---二项式定理0n01n-1rn-rrn0n1.⑴二项式定理：(a+b)n=Cnab+Cnab+Λ+Cnab+Λ+Cnab.展开式具有以下特点：① 项数：共有n+1项；012rn② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,Λ,Cn,Λ,Cn;③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（a+b)n展开式中的第r+1项为：Trn-rrbr+1=Cna(0≤r≤n,r∈Z).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．I.当n是偶数时，中间项是第n2n+1项，它的二项式系数C2n最大；II.当n是奇数时，中间项为两项，即第最大.③系数和：Cn+Cn+Λ+Cn=2C024n+Cn+Cn+01nn13n+Cn+n+12项和第n+12n-1n+12n+1项，它们的二项式系数C2n=CΛ=CΛ=2n-1 附：一般来说(ax+by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．⎧Ak≥Ak+1,⎩Ak≥Ak-1⎧Ak≤Ak+1或⎨(Ak为TA≤Ak-1⎩k解.当a≠1或b≠1时，一般采用解不等式组⎨的绝对值）的办法来求解.k+1的系数或系数⑷如何来求(a+b+c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中(a+b+c)=[(a+b)+c]n-rnnp,q,r∈N,且p+q+r=n把rn-rr(a+b)C，另一方面在视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a+b)中含有bq的项为pqrCn-raqn-r-qb=Cn-rabqqpq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的项为(n-r)!n!r!q!p!pqrn-pCrCnCn-rabc.其系数为CnCn-r=rqrqn!r!(n-r)!q!(n-r-q)!⋅==CnC.2.近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分Cn2a2+Cn3a3+Λ+Cnnan很小，可以忽略不计。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的定义二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的整数次幂可以被展开为一系列项的和。
这个定理可以表示为：\( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)其中，\( a \) 和 \( b \) 是任意实数或复数，\( n \) 是非负整数，\( \binom{n}{k} \) 是组合数，表示从 \( n \) 个不同元素中取出\( k \) 个元素的组合数。
二、组合数的计算组合数 \( \binom{n}{k} \) 可以通过以下公式计算：\( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)其中，\( n! \) 表示 \( n \) 的阶乘，即 \( n \) 乘以所有小于\( n \) 的正整数的乘积。
三、二项式展开式的通项公式二项式定理中的第 \( k+1 \) 项（从 0 开始计数）可以表示为：\( T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \)这个公式用于直接计算二项式展开式中的特定项。
四、二项式定理的性质1. 二项式定理适用于所有实数和复数的二项式。
2. 当 \( a = b = 1 \) 时，二项式定理可以用来计算 \( 2^n \)。
3. 二项式定理中的项数总是等于指数 \( n+1 \)。
4. 当 \( n \) 为奇数时，展开式中的中间项的系数是最大的。
五、二项式定理的应用1. 计算概率论中的概率组合问题。
2. 解决物理学中的组合问题，如碰撞问题。
3. 在代数中，用于简化多项式的乘法和开方运算。
4. 在几何学中，用于计算多边形的对称性质。
六、特殊情形1. 当 \( n = 0 \) 时，二项式定理简化为 \( (a + b)^0 = 1 \)。
2. 当 \( a = 1 \) 时，二项式定理可以用来计算 \( (1 + b)^n \)的值。
高二数学二项式定理6
1999年9月，马云先生带着一个18人的团队和50万人民币 在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此 时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美 金。经过10年的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳定
发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十。
来!""对,找蛮神过来,灭了这帮草包!"兽修这边群情激愤,两帮人互喷,现在已经差不多快要打起来了丶不过大家也不是傻子,没必要在外面打群架,已经有人去联系这蛮古城忠の兽修强者了丶誓要教训壹下,这台上の无知小尔,真以为自己了不起呀丶虎王不过是在这蛮古城有些小名望の 家伙,但是修为连准至尊之境都没有进入,算不得真正の强者丶要不然也不会在这擂台上来比武了,无非就是修为不够,还得在这里练级而已丶而擂台忠の这个钟华,这个年轻人倒是壹脸の淡定,自己摆了张桌子悬浮在半空忠喝起了酒了丶惬意の不行,这副架势更是将场外の这些兽修给激 怒了,这完全是藐视他们兽修の威严丶壹个看上去弱不禁风の臭小子,竟敢无视他们兽亭の尊严丶"看来有些效果了呢丶"场忠の钟华,面带微笑,自顾自の喝着酒,半躺在半空忠眯了起来准备先小睡壹会尔丶外人并不知道,此时有壹道道,他们根本就看不见の信仰之力,正朝这个家伙の眉心 忠飘来丶不错,此人不是别人,正是这根汉同学,他化名钟华在这里进入了擂台了丶现在场边の近万人修,为他提供了将近壹千道の信仰之力,虽然说不多但是已经初见成效了丶根汉要の就是这个效果,而这个效果还会加倍の扩散,他要在这里引得更多人の注意丶其实他更想要の是兽修の 信仰之力,因为他发现,同阶の人修和兽修,他们の信仰之力の强度有时候相差好几倍丶兽修の信仰之力,比同阶の人修要强大几倍,可能是与他们の信仰の方式有关系,兽修壹旦信仰什么东西可能更加の坚定丶再加上兽修の本尊,都是强大の兽亭,
高二数学二项式定理6
练习： 1 求二项式 2 3x 展开式所有项系数的和。
10
2 若 1 x 2 x
2 4
a0 a1 x a2 x a8 x
2
8
求a0 a2 a4 a6 a8的值。
例2 已知:
1 x 3 x
式 系数 C 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C
n-1 2 n
n 2 n
、
C
n+1 2 n
相等，且同时取得最大值。
二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C + C + C +…… + C = 2
0 n
1 n
2 n
n n
n
这就是说， (a + b)n 的展开式的各二项式系 n 数的和等于： 2 同时由于C 1，上式还可以写成：
2、
增减性与最大值
1
1
4 5
3
6 10
3
4 10
1
1 5 1
最中间的二项式系数最大
1
3、
各二项式系数和
1
6
15
20
15
6
1
( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为 2n
内容小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规 n 律 (a b) 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： 1 1 1 (a b) 2 (a b) 1 2 1 3 1 3 3 1 (a b) 4 (a b) 1 4 6 4 1 5 (a b) 1 5 10 10 5 1 6 (a b) 1 6 15 20 15 6 1
二项式定理公式高中
二项式定理公式高中好嘞，以下是为您生成的关于“二项式定理公式高中”的文章：在高中数学的学习中，二项式定理公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多数学难题的大门。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测，但实际上，只要咱掌握了窍门，也能轻松应对。
咱先来说说二项式定理公式到底是啥。
它的表达式是这样的：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n - 1)b^1 + C(n, 2)a^(n - 2)b^2 + … +C(n, r)a^(n - r)b^r + … + C(n, n)a^0 b^n 。
这一堆字母和符号看着眼晕吧？别慌，咱慢慢捋。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个同学一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“同学们，想象一下，咱们要开一家水果店，店里有苹果和香蕉两种水果。
现在咱们要搞促销，有 n 种组合方式，每种组合里苹果和香蕉的数量都不一样，那怎么快速算出有多少种不同的组合呢？这二项式定理公式就能派上用场啦！”就拿 (x + 1)^3 来说吧，用二项式定理公式展开就是：C(3,0)x^3×1^0 + C(3, 1)x^2×1^1 + C(3, 2)x^1×1^2 + C(3, 3)x^0×1^3 ，算出来就是 x^3 + 3x^2 + 3x + 1 。
再比如说，求 (2x - 3y)^4 的展开式。
咱们一步一步来，先算出各项的系数 C(4, 0)、C(4, 1) 、C(4, 2) 、C(4, 3) 、C(4, 4) ，然后再把对应的项组合起来，经过一番计算，就能得到 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4 。
在做练习题的时候，不少同学容易在系数的计算上出错。
这可得小心，一个不留神，答案就跑偏啦。
还有啊，展开式中各项的指数也要搞清楚，别张冠李戴。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结1. 二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下公式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个的组合数，也叫做二项系数。
公式中的每一项称为二项式展开式的项。
2. 二项式系数的计算二项系数C(n, k)的计算可以使用组合数公式表示，即：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
我们可以通过简化计算以及利用性质来计算二项系数。
例如，根据性质C(n, k) = C(n, n-k)，我们可以利用对称性简化计算。
3. 二项式定理的应用3.1. 求幂和根的近似值通过二项式定理，我们可以近似地计算某些幂和根的值。
例如，对于一个实数x和一个很小的实数y，我们可以利用二项式定理近似计算 (x + y)^n 的值。
3.2. 求组合数组合数是二项式系数的另一种常见应用。
在组合数学中，我们常常需要计算从n个元素中选择k个的组合数。
例如，在概率论中，我们需要计算选择k个事件发生的可能性。
3.3. 求多项式系数二项式定理还可以用来计算多项式的系数。
例如，对于一个多项式的展开式，我们可以通过二项式定理将其展开并求得各项系数。
4. 二项式定理的证明二项式定理可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们证明当n=1时定理成立。
然后，我们假设当n=k时定理成立，并证明当n=k+1时也成立。
根据这个逻辑推理，我们可以得出结论二项式定理对于所有非负整数n都成立。
5. 二项式定理的拓展在高等数学中，二项式定理还有一些拓展形式。
高二下学期数学人教A版必修第三册6.3.1二项式定理课件
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C
0 2
a
2
C21ab
C22b2；
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3 ；
(a＋b)4＝_a_4＋__4_a_3_b_＋__6_a_2_b_2＋__4_a_b_3_＋__b_4__ C40a4 C41a3b C42a2b2 C43ab3 C44b4 ；
)r
(1)r
C9r
x 92r
设9 2r 3,解得r 3.
∴展开式中有含x3项的系数为(1)3 C93 84.
(2)由于( x a)12的展开式共有13项,所以倒数第4项是展开式 的第10项,即
T10 T91 C192 x a 129 9 C132 x 3a 9 220x 3a9 .
……
(a＋b)n＝_C_n0_a_n__C__n1a__n_1b___C__n2a_n__2_b_2 ___ ___C_nk_a_n_k_b_k___ ___C__nn_b_n _. _
二项式定理：
(a
b)n
C n0a n
Cn1an1b Cn2a n2b2
C
k n
a
n
k
b
k
Cnnbn .
巩固训练2 求 (3 x 2 1 )10 展开式中的常数项. x
解： 展开式的通项为Tr1 C1r0 (3 x2 )10r (
1 x
)r
310 r
C
r 21
20 5 r
x2
.
设20 5 r 0,解得r 8. 2
∴ (3 x2 1 )10 的展开式中的常数项为 x
T9 C180 32 405.
高二下数学知识点二项式
高二下数学知识点二项式高二下数学知识点：二项式在高二下学期的数学学习中，二项式是一个重要的知识点。
二项式的概念是数学中的基础，掌握了二项式的性质和运算法则，可以帮助我们解决各种与二项式相关的问题。
本文将详细介绍二项式的定义、展开和理解以及与其相关的一些常用公式和应用。
一、二项式的定义在数学中，二项式是指形如(a + b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是实数或者变量，n 是一个非负整数。
这个表达式可以通过二项式定理展开成一个多项式。
二、二项式的展开利用二项式定理，我们可以将二项式展开为多项式。
二项式定理的一般形式如下：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1)* a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k) 表示在 n 个元素中选取 k 个元素的组合数，也称为二项式系数。
三、二项式的性质和运算法则1. 二项式展开后，系数之和等于 2^n，即 C(n,0) + C(n,1) +C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n。
2. 二项式展开后，每一项的次数之和等于 n，即 n = 0 * C(n,0) + 1 * C(n,1) + 2 * C(n,2) + ... + n * C(n,n)。
3. 二项式展开后，a 的次数从 n 递减至 0，b 的次数从 0 递增至n。
4. 二项式的系数对称，即 C(n,k) = C(n,n-k)。
5. 二项式展开后的每一项都是一个数列，相邻项的系数之比等于 a:b，即 C(n,k)/C(n,k+1) = a:b。
四、与二项式相关的常用公式和应用1. 二项式系数的性质：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
2. 杨辉三角形：杨辉三角形中的数值就是二项式系数，利用杨辉三角形可以快速求解二项式系数。
高中二项式定理
高中二项式定理引言在高中数学中，二项式定理是一个非常重要的概念。
它在代数中扮演了重要角色，对于解决各种数学问题和推导数学公式起着关键作用。
通过学习二项式定理，我们可以更好地理解和应用代数学中的各种概念和技巧。
二项式的定义在代数学中，“二项式”是由两个项相加或相乘而成的多项式。
一般形式可以表示为：(a + b)^n或(a - b)^n，其中a和b为实数，n为非负整数。
二项式定理的表述二项式定理是一种表示二项式幂展开结果的公式。
对于任意非负整数n，二项式定理可以表述为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * b^n。
其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合方式数量。
二项式定理的推导我们可以通过数学归纳法来推导二项式定理。
基础步骤当n=0时，(a + b)^0 = 1，是一个基础步骤。
归纳假设假设在n=k时，二项式定理成立：(a + b)^k = C(k,0) * a^k + C(k,1) * a^(k-1)* b^1 + C(k,2) * a^(k-2) * b^2 + ... + C(k,k-1) * a^1 * b^(k-1) + C(k,k) * b^k。
归纳步骤当n=k+1时，我们可以将(a + b)^(k+1)展开：(a + b)^(k+1) = (a + b) * (a +b)^k。
根据归纳假设，我们可以将(a + b)^k展开：(a + b)^(k+1) = (a + b) * (C(k,0) * a^k + C(k,1) * a^(k-1) * b^1 + C(k,2) * a^(k-2) * b^2 + ... + C(k,k-1) * a^1 * b^(k-1) + C(k,k) * b^k)。
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二 项 式 定 理 （binomial 二、定理推导
n
theorem）
* 1 n1 1 k n k k n n (a b) Cn0an Cn ( n N ) a b ... Cn a b ... Cn b
1.项数： n次二项展开式共有n+1项； 2.次数： 字母a的次数从n逐项递减到0，是降幂排列； 字母b 的次数从0逐项递增到n，是升幂排列； 各项次数均为二项式的次数n. 3.通项公式：
观 察 与 发 现
4
根据所得到的展开式，你能发现它们有何规律？
二 项 式 定 理 （binomial 二、定理推导
n
0 n n 1 n1 1 n k n k k n n n n
theorem）
二项展开式
* ( n N ) (a b) C a C a b ... C a b ... C b
二 项 式 定 理 （binomial 三、定理应用
theorem）
1999年9月，马云先生带着一个18人的团队，50万人民币 在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此 时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美
金。经过前10年的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳
问：按这样的发展速度，到20周年庆典时，该公司市值将 达到多少亿美金？
二、定理推导
(a b) a 2ab b
2 2 3 3 2 4 4 3
2 2 3 3
(a b) a 3a b 3ab b
2 2
(a b) a 4a b 6a b 4ab b
C C x C x C x
(a b)
n
小 试 牛 刀
பைடு நூலகம்
0 n 1 n1 k n k n Cn a Cn a (b) Cn a (b)k ... Cn (b)n 0 n 1 n1 k n k k n n Cn a Cn a b (1)k Cn a b (1)n Cn b
定发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十。 问：按这样的发展速度，到20周年庆典时，该公司市值将 达到多少亿美金？
二 项 式 定 理 （binomial 四、小结提炼
1.完成一个推导:二项式定理的推导;
2.掌握一个技能:n次二项式的展开; 3.理解三个特征:项数、次数、系数特征;
theorem）
一、问题引入
1999年9月，马云先生带着一个18人的团队和50万人民币 在杭州湖畔花苑开始了阿里巴巴神话。到2009年9月10日，此 时的阿里巴巴总部员工已经达到了17000人，公司市值100亿美 金。经过10年的快速发展期后，今后一段时期公司将进入稳定
发展期，预计每年公司市值将比前一年增加百分之十。
回味无穷
4.体会思想方法:特殊到一般;观察、归纳、类比、猜想; 5.留下一些思考？
二 项 式 定 理 （binomial 五、课后任务
1.仔细阅读教材 P29 到 P30 ；
2.完成教材课后习题1.3
theorem）
1，2，3，4
;
风水
hnq913dgk
k n k k Tk 1 Cn a b (k 0,1, 2...n)
定 理 剖 析
k C 4.二项式系数： n 叫做（第k+1项的）二项式系数.
二 项 式 定 理 （binomial 三、定理应用
求下列二项式的展开式：
theorem）
(1 x)
0 n
n
1 n k n k n n n
160条
很多，不厌其烦地说道，“这几年啤酒厂效益还算不错，企业人数不断扩大，进了不少人，目前共有七百多人。部门有单位办公室、财 务科、生产科、质量科、供应科、物管科、总务科、销售科、人保科、宣教科、党委、工会、能计科、技改办、医务室、杂工组，还有 幼儿园和计划生育办公室，反正该设的部门都设了，也许是为了和管理相关部门对接的方便。”“呵！人还真不少，为什么还要到外面 去招人？”马启明不解地问道。张钢铁不是一般的健谈，而是相当健谈，对马启明的提问都能做出圆满地回答。马启明也尽量想从张钢 铁那里了解啤酒厂的过去、现在。不是有一句话，忘记历史就等于背叛，为了更好地开创未来嘛。“你们是大学生，是技术人员，厂里 很需要你们这些人，目前厂内有文凭的人还真不多。你们来的那天，厂长、总工都请你们吃饭，这说明啥？说明厂子对你们重视，好好 干吧。你们将来大有用武之地。”“张主任，这个厂年产啤酒是多少？”马启明紧接着又问道，面对马启明接二连三的提问，张钢铁谈 性更浓了，可以说是汹涌澎拜了。他立刻答道：“当初每年只有3000吨啤酒，现在每年啤酒产量大概是3万多吨。八十年代，花开啤酒 在轻工部举办的全国啤酒竞赛中还获得了金奖，这在当时，真的是天大的荣誉。”张钢铁沉浸在美好的记忆当中，喜悦和自豪之情溢于 言表。马启明激情被点燃了，脑海中突然灵光一动，迸出一个想法并脱口而出：“花开啤酒,雄鹰！”当初牛顿被苹果砸到头的时候， 也是这样的吗！“花开啤酒，雄鹰，你说的是什么杲梓？”张钢铁有点丈二高的和尚——摸不着头脑。看着张钢铁不解的表情，马启明 突然笑了：“我也不知怎地‘呼’地一下子感到花开啤酒就像一只展翅翱翔的雄鹰。”张钢铁仔细地想了一下，笑着说道：“对对对， 花开啤酒就像一只雄鹰，在天空中翱翔的雄鹰，这个比喻比得好，花开啤酒就像雄鹰一样。”说着，他用欣喜的目光看着马启明，心想 看来马启明没有把书念到狗肚里，这比喻打得贴切生动。马启明也迷茫地望着他，显而易见，刚才“杲梓”两字在他的脑子里还是一片 空白。“杲梓是什么意思？”马启明问道。“杲梓是我们这个地方方言，就是东西的意思。言归正传，说到花开啤酒在全国啤酒竞赛中 获得金奖的事，就不能不提到一个人，就是我们厂的总工程师、高级工程师、我国第一代啤酒专家、啤酒界的技术权威冯力雄。有一次 我陪他出去参加全国性的啤酒技术研讨会，他在大会上做的专题报告，题目到现在我还记得，叫做《啤酒生产新技术与装备发展与展 望》。演讲时整个会场鸦雀无声，会后向他请教的人挤得密密匝匝，那场面至今还历历在目，全国啤酒研讨会呀！”张钢铁看了一眼马 启明、自豪地说。马启明也注意到，他在
证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时选a或选b, 当每个(a+b)中的a或b选定后,得到展开式的一项，所 以展开的每一项次数是n次,由分步计数原理合并同类项 前展开式有2n项,每项都是an-kbk(k=0,1, … ,n)的形式. (a+b)n的展开式中an-kbk的系数是在n个括号中，恰有k个 括号中取b(其余括号中取a)的组合数 C nk ,那么展开式中