高考导数题型大全及答案

高考导数题型大全及答案

第三讲 导数的应用

研热点（聚焦突破）

类型一 利用导数研究切线问题 导数的几何意义

(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；

(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． [例1] (2012年高考安徽卷改编)设函数f (x )＝a e x ＋

1

a e x

＋b (a >0)．在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值． [解析] ∵f ′(x )＝a e x －1a e

x ，

∴f ′(2)＝a e 2－

1a e 2＝32， 解得a e

2＝2或a e 2＝－12

(舍去)， 所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3， 即b ＝1

2， 故a ＝2e 2，b ＝12

.

跟踪训练

已知函数f (x )＝x 3－x .

(1)求曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程；

(2)若过x 轴上的点(a ，0)可以作曲线y ＝f (x )的三条切线，求a 的取值范围．

解析：(1)由题意得f ′(x )＝3x 2－1.曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －

t )，即y ＝(3t 2－1)·x －2t 3，将点(1，0)代入切线方程得2t 3－3t 2＋1＝0，解得t ＝1或－

1

2，代入y ＝(3t 2－1)x －2t 3得曲线y ＝f (x )的过点(1，0)的切线方程为y ＝2x －2或y ＝－14x ＋1

4

.

(2)由(1)知若过点(a ，0)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则方程2t 3－3at 2＋a ＝0有三个相异的实根，记g (t )＝2t 3－3at 2＋a .

则g′(t)＝6t2－6at＝6t(t－a)．

当a>0时，函数g(t)的极大值是g(0)＝a，极小值是g(a)＝－a3＋a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a>0且－a3＋a<0，即a>0且a2－1>0，即a>1；

当a＝0时，函数g(t)单调递增，方程g(t)＝0不可能有三个相异的实数根；

当a<0时，函数g(t)的极大值是g(a)＝－a3＋a，极小值是g(0)＝a，要使方程g(t)＝0有三个相异的实数根，需使a<0且－a3＋a>0，即a<0且a2－1>0，即a<－1.

综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

类型二利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数的关系

在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．

[例2](2012年高考山东卷改编)已知函数f(x)＝ln

x

x k

e

(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数

的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间．

[解析](1)由f(x)＝ln x＋k

e x

，

得f′(x)＝1－kx－x ln x

x e x

，x∈(0，＋∞)．

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－x ln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－x ln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0，1)时，h(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.

又e x>0，所以当x∈(0，1)时，f′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

跟踪训练

若函数f(x)＝ln x－1

2ax

2－2x存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

解析：由题知f′(x)＝1

x

－ax－2＝－

ax2＋2x－1

x

，因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)

＝－ax2＋2x－1

x≤0有解．又因为函数的定义域为(0，＋∞)，则应有ax2

＋2x－1≥0在(0，＋∞)

上有实数解．

(1)当a>0时，y＝ax2＋2x－1为开口向上的抛物线，所以ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上恒有解；

(2)当a<0时，y＝ax2＋2x－1为开口向下的抛物线，要使ax2＋2x－1≥0在(0，＋∞)上有实数解，则Δ＝44a

>0，此时－1

(3)当a＝0时，显然符合题意．

综上所述，实数a的取值范围是(－1，＋∞)．

类型三利用导数研究函数的极值与最值

1．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根x

；

(3)检查f′(x)在x＝x

左右的符号；

①左正右负⇔f(x)在x＝x

处取极大值；

②左负右正⇔f(x)在x＝x

处取极小值．

2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)；

(2)将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小