高中数学第二章变化率与导数22导数的几何意义学案北师大版2-2.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课 课件
练习 1.求下列函数的导函数 1 3 ⑴y x ⑵y x ⑶ y x2 2 x 3 3
解:⑴ y
y x
x x 1
x
x x x x
x x x y y lim lim x 0 x x 0
2013-8-20
D
3.已知 f ( x0 ) 0 , f ( x 0 )
1 ,则 lim △ x 0 2
19 2 8 f ( x 3△ x ) ___ . 3 △x 2
0
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1.过点 ( 1, 0) 作抛物线 y x 2 x 1的切线， 则其中一条切线为 ） （ (A) 2 x y 2 0 (B) 3x y 3 0 (C) x y 1 0 (D) x y 1 0 解析：设 ( x1 , y1 ) 为作抛物线 y x 2 x 1上一点，则在该点处切 线的斜率为 y 2 x1 1 ,于是过点 ( x1 , y1 ) 的抛物线的切线的方程为
C
.
9 x 4 y 12 0 或 y 0
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1 3 3 9 练习 3.⑴如图已知曲线 y x 上的一点 P ( , ) , 3 2 8 求点 P 处的切线方程. 9 2 解:∵ y x ,∴ y | 3 . x 4 2 9 即点 P 处的切线的斜率等于 . 4 ∴在点 P 处的切线方程 9 9 3 是 y (x ) , 8 4 2 即 9 x 4 y 12 0 .
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练习 1.求下列函数的导函数 1 3 2 y x ⑴y x ⑵ ⑶ y x 2x 3 3
解:⑶ △ y ( x △x)2 2( x △x ) 3 ( x 2 2 x 3)
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2
探究一
探究二
探究三
思维辨析
导数的定义 【例1】 如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为 y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数. 分析:根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题.
2 解:∵Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3������1 ·Δt+3t1(Δt)2+(Δt)3,
§2.2 导数的概念及其几何意义
学 习 目 标 思 1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化 率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导 数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关 问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.
维 脉 络
1.导数的概念 定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到 f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������(������0 +������)-������(������0 ) , ������
(2)求平均变化率Δ������ = (3)取极限,得导数
������
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ; Δ������ ������y f'(x0)= lim ������x. Δ������ →0
1 【做一做2】 函数y=f(x)= ������在x=1处的切线方程为
高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案
第2章 变化率与导数导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx →02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝( )A ．2f ′(x )B ．12f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )C [lim Δh →0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh →0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]导数的几何意义的应用3(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，① 又y 1＝f (x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)∵点P (1,1)在y ＝1x上，∴k ＝y ′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数(1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x－2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx .思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y ＝(1＋x 2)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2sin x . (2)∵y ＝ln x x－2x ，∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x2－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2＋bx .y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′＝e u·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2＋bx .运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x； (3)y ＝1＋ln 2x .[解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2，∴y ′＝3x 2－2x3.(2)∵y ＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y ′＝3(x 32)′－x ′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x . y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v ·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x ·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f (x )＝ax ＋x ＋b(a ，b ∈Z )，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f (x )的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2，则依题意f ′(2)＝0，f (2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f ′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为 y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1， 即切线与直线x ＝1的交点为⎝⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1； 令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x，由题意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P (1,1)．。
高中数学第二章变化率与导数2.2.1导数的概念2.2.2导数的几何意义学业分层测评含解析北师大版选修2_2
2.2.1 导数的概念2.2.2 导数的几何意义(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝()A.4B.－4C.－2D.2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D.【答案】D2.(2016·衡水高二检测)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则() A.f ′(x 0)>0B.f ′(x 0)＝0C.f ′(x 0)<0D.f ′(x 0)不存在【解析】 切线的斜率为k ＝－2，由导数的几何意义知f ′(x 0)＝－2<0，故选C.【答案】C3.已知曲线f (x )＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( )A.(1，1)B.(－1，1)C.(1，1)或(－1，－1)D.(2，8)或(－2，－8) 【解析】 因为f (x )＝x 3，所以Δy Δx ＝（x ＋Δx ）3－x3Δx ＝[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1.故点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1).【答案】C4.(2016·银川高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l的方程为() A.4x －y －4＝0B.x ＋4y －5＝0C.4x －y ＋3＝0D.x ＋4y ＋3＝0 【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵ΔyΔx ＝（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2，4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】A5.曲线f (x )＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( ) A.2 B.－4 C.3D.14 【解析】 因为Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x2＋x·Δx ＝－1x2， 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为 k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4. 【答案】B 二、填空题6.(2016·太原高二检测)若f ′(x 0)＝1，则f （x0－k ）－f （x0）2k＝__________. 【解析】f （x0－k ）－f （x0）2k＝－12f （x0－k ）－f （x0）－k ＝－12f ′(x 0)＝－12. 【答案】 －12 7.曲线f (x )＝x 2－2x ＋3在点A (－1，6)处的切线方程是__________. 【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为A (－1，6)，所以斜率k ＝f ′(－1)＝（－1＋Δx ）2－2（－1＋Δx ）＋3－（1＋2＋3）Δx ＝(Δx －4)＝－4， 所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝0 8.若曲线f (x )＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________.【解析】 设P (x 0，y 0)，则 f ′(x 0)＝（x0＋Δx ）2＋2（x0＋Δx ）－x20－2x 0Δx ＝(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.＝(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.。
高中数学第二章变化率与导数22导数的几何意义学案北师大版2-2.
导数的几何意义★ 学习目标1．通过函数的图像直观理解导数的几何意义。
2．拓展曲线在一点的切线的概念的理解。
3．会求简单函数在某点的切线方程。
★ 学法指导经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。
★ 知识点归纳1．函数()x f y =在0x 处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2．函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为： ； ★ 重难点剖析重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法；难点：理解导数的几何意义；剖析：函数()x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k =()0x f '，函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=- 。
函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。
★ 典例分析 例1 已知曲线331)(x x f y ==上一点)38,2(P ； 求（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程；分析：求点P 处的切线的斜率，也即求函数在2=x 处的导数值。
变式练习1求曲线x x x f y 32)(2-==在点)0,0(A 处的切线方程。
例2 在曲线2)(x x f y ==上过哪一点的切线（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0562=+-y x ；分析：过点),(00y x P 的切线的斜率为)(0x f k '=，利用斜率和导数的关系建立相应的关系式。
变式练习2直线)0(≠+=a a x y l ：和曲线C ：1)(23+-==x x x f y 相切．求切点的坐标及a 的值；★ 基础训练1．已知曲线3313-==x x f y )(上一点)25,1(-P ，则过点的切线的倾斜角为（ ） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο135 D ．ο1652．已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（ ）A ．4B ．16C ． 8D ． 23．曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（ ）A ．47+=x yB ．27+=x yC ．2-=x yD ．4-=x y4．已知曲线3x y =上过点)8,2(P 的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，则曲线与切线相切的切点的坐标为（ ）A ．()8,1-B ．()8,1- 或()12,1--C ．()12,1--D ．()12,1- 或()8,1--6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线★ 能力提高1．已知点()1,0-M 、()1,0F ,过点M 的直线l 与曲线44313+-=x x y 在2=x 处的切线平行。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
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(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
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【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念
f 解： ′(1) = 4 表示该工人工作1h的时候，其生产 表示该工人工作1h的时候， 1h的时候 速度（即工作效率） 4kg/h，也就是说， 速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果 保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg 4kg的 保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的 食品。 食品。 f ′(3) = 3表示该工人上班后工作3h的时候，其 .5 表示该工人上班后工作3h的时候， 3h的时候 生产速度为3.5kg/h 也就是说， 3.5kg/h， 生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一 生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h 3.5kg/h的食 生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食 品。
14
课堂练习: 、 课堂练习 1、
2、课本 P
33
练习： 练习：1、2.
15
小结： 、瞬时速度的变化率的概念； 小结：1、瞬时速度的变化率的概念； 2、导数的概念； 、导数的概念； 3、利用导数的定义求函数的导数的方法 、 步骤： 步骤：
1、 求 函 数 的 变 化 率 y = f ( x0 + x ) − f ( x0 ) y x 2、 求 函 数 的 平 均 变 化 率 3、 求 极 限 lim
f ′(100) = −0.6
表示服药后100min时 表示服药后100min时，血液中药物 100min 的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min min）。 的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min 1min， 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血 液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min min）。 液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL min）。
最新北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念与导数的几何意义习题课课件73401PPT
间隧道，袅
《变化率与导数》导数的概念与导数的
一、教学目标：理解导数的概念，会利 用导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程。
二、教学重点：曲线上一点处的切线斜 率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
10.04.2021
⑵已知曲线 y 1 x3 和点 A(1,0) , 求过点 A 的切线方程. 3
（C） x y 1 0
（D） x y 1 0
2.已知曲线 C : y x2 2 x 3 ,直线 l : x y 4 0 ,在曲线 C
上求一点 P,使 P 到直线 L 的距离最短，并求出最短距离.
19 2
8
3 3.已知
f ( x0 ) 0 ,
f ( x0 )
1 ,则 lim
2
△x0
∵ f ( x) 2x 2 , ∴ 2 x0 2 1 ,
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义课件6 北师大版选修2-2
K12课件
1
什么叫函数的导数?
在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0 点的导数，通常用符号fˊ(x0)表示，记作：
f
(x0 )
lim
x1 x0
f (x1) f (x0 ) x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 ) .
x0
x
的正切值
C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
K12课件
13
2.如图已知曲线 y 1 x3上一点P(2, 8 ) ,
3
3
y
求:(1)点P处的切线的斜率; 4
4
y 1 x3 3
(2)点P处的切线方程.
3
P
2
12x-3y-16=0
x0
x
y
2x (x)2
lim
2.
x0
x
因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.
P
M
x
1j
x
-1 O 1
K12课件
12
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何 意义是( C)
A.在点x0处的函数值 B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角
K12课件
3
学习目标：
1.理解曲线的切线的概念，通过函数的图 像直观的理解导数的几何意义； 2.会用导数的几何意义解题。
K12课件
4
割线的斜率
y f(x2)
f(x1)
O
y=f(x)
B
f(x2)-f(x1)=△y
A
高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.1导数的概念课件北师大版选修2_2
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
2已知函数f(x)=5-7x,则f'(2)为( ) A.5 B.7 C.-7 D.-9 答案:C
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
= lim
Δ������→0
-
������(������0-������)-������(������0) ������
=
lim
Δ������→0
������[������0
+
(-������)]-������(������0) -������
=
−2.
答案:-2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它
的实际意义.
解:根据导数的定义,得
������ ������
=
������(2+������)-������(2) ������
=
3(2+Δ������)-3×2 Δ������
=
3.
所以
f'(2)=
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+������)-������(������0) ������
.
当������1 趋于������0, 即 Δ������趋于 0 时, 如果平均变化率趋于一个固定的值,
北师大版《选修2-2—第二章变化率与导数》第二课时《导数的概念》优质课导学案
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
总结:导数是一种________定义.
导数符号语言的几种等价形式:
1.___________________
2.___________________
当堂检测:
1.设
f (x) 是可导函数,若 lim x0
f (x0
2x) x
x
x
x
当 x 趋于 0 时,平均变化率趋于 3；
所以,水管中的水在 2 秒时的瞬时水量是 3m3/s .
总结: f '(x0 ) 反映函数 f (x) 在 x0 处变化____程度. 当堂练习:求函数 f (x) x2 在 x 1时的导数值.
三、导数符号语言
f
' (x0 )
y lim x0 x
式为:s= 1 gt 2 ；试估计小球在 t=5 这个时刻的瞬时速度.
2
析：当时间
t
从
t0
变到
t1
时，根据平均速度公式： v
s t
s(t1 ) t1
s(t0 ) t0
.
1. t1 6,t0 5 2. t1 5.1,t0 5
s(6) s(5) 176.4 122.5 53.9m / s.
f
' (x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
.
例 2：一条水管中流过的水量 y (单位:m3)是时间 x (单位:s)的函数,求
函数 y f (x) 3x 在 x 2 处的导数,并解释它的实际意义.
高中数学 第2章 变化率与导数 2 2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义学案 北师大版选修2-
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1．理解导数的概念及导数的几何意义．(重、难点)2．会求导数及理解导数的实际意义．(重点) 3.掌握利用导数求切线方程的方法．(难点)1．通过导数几何意义的学习，培养了学生直观想象的核心素养. 2．通过求函数的导数的学习，提升了学生数学运算的核心素养. 3.通过导数实际意义的学习，培养了学生数学抽象的核心素养.1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．1．设函数y ＝f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．以上都不对A [由f (x )在x ＝1处的导数的定义知，应选A.]2．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在A [由切线方程可以看出其斜率是2，又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数．]3．抛物线y ＝x 2＋4在点(－2,8)处的切线方程为__________． 4x ＋y ＝0 [因为y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x ，所以k ＝－4，故所求切线方程为4x ＋y ＝0.]求函数在某点处的导数【例1】 (1)若lim Δx →000Δx＝k ，则lim Δx →0f (x 0＋2 Δx )－f (x 0)Δx等于( )A ．2kB ．kC ．12k D ．以上都不是(2)函数y ＝x 在x ＝1处的导数是________． (3)求函数f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数． 思路探究：根据导数的概念求解． (1)A (2)12 [(1)lim Δx →0 f (x 0＋2 Δx )－f (x 0)Δx＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2k .(2)∵Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， 当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12，∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.](3)[解] ∵f (x )＝2x 2＋4x ， ∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx . ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. 当Δx 趋于0时，ΔyΔx＝16，∴f ′(3)＝16.1．本题(2)中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤 (1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0ΔyΔx .1．若f (x )＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．3 3C [∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3－x 30＝3x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2， ∴f ′(x 0)＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2]＝3x 20， 由f ′(x 0)＝3，得3x 20＝3，∴x 0＝±1．]求曲线在某点处切线的方程【例2】 已知曲线C ：f (x )＝3x 3＋3.(1)求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？思路探究：(1)先求切点坐标，再求f ′(2)，最后利用导数的几何意义写出切线方程． (2)将切线方程与曲线C 的方程联立求解． [解] (1)将x ＝2代入曲线C 的方程得f (2)＝4， ∴切点P (2,4)．f ′(2)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0[4＋2Δx ＋13(Δx )2]＝4.∴k ＝f ′(2)＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4，y ＝13x 3＋43，可得(x －2)(x 2＋2x －8)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－4.从而求得公共点为P (2,4)或M (－4，－20)，即切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．1．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)写出切线方程，即y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．特别注意：若在点(x 0，y 0)处切线的倾斜角为π2，此时所求的切线平行于y 轴，所以直线的切线方程为x ＝x 0.2．曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．2．求曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线方程．[解] 在曲线f (x )＝x 2＋1上的点A (1,2)的附近取一点B ，设B 点的横坐标为1＋Δx ，则点B 的纵坐标为(1＋Δx )2＋1，所以函数的增量Δy ＝(1＋Δx )2＋1－2＝(Δx )2＋2Δx ，所以切线AB 的斜率k AB ＝ΔyΔx ＝Δx ＋2，∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，这表明曲线f (x )＝x 2＋1在点A (1,2)处的切线斜率k ＝2． ∴所求切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.求曲线过某点的切线方程1．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？[提示] 区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数． 联系：函数f (x )在x 0处的导数就是导函数f ′(x )在x ＝x 0时的函数值． 2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示] 不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程与过某点(x 0，y 0)的曲线的切线方程有何不同？ [提示] 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x 0，y 0)的曲线f (x )的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．【例3】 已知曲线f (x )＝1x.(1)求曲线过点A (1,0)的切线方程； (2)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．思路探究：(1)点A 不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A (1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)设出切点坐标，由该点斜率为－13，求出切点，进而求出切线方程．[解] (1)lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x 2.设过点A (1,0)的切线的切点为P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x，则f ′(x 0)＝－1x 20，即该切线的斜率为k ＝－1x 20.因为点A (1,0)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x在切线上， 所以1x 0－0x 0－1＝－1x 20，解得x 0＝12.故切线的斜率k ＝－4.故曲线过点A (1,0)的切线方程为y ＝－4(x －1)， 即4x ＋y －4＝0.(2)设斜率为－13的切线的切点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ， 由(1)知，k ＝f ′(a )＝－1a 2＝－13，得a ＝± 3.所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，33或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－33. 故满足斜率为－13的曲线的切线方程为y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)， 即x ＋3y －23＝0或x ＋3y ＋23＝0.1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．3．求曲线y ＝f (x )＝x 2＋1过点P (1,0)的切线方程．[解] 设切点为Q (a ，a 2＋1)，f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝(a ＋Δx )2＋1－(a 2＋1)Δx＝2a ＋Δx ，当Δx趋于0时，(2a ＋Δx )趋于2a ，所以所求切线的斜率为2a .因此，(a 2＋1)－0a －1＝2a ，解得a ＝1±2，所求的切线方程为y ＝(2＋22)x －(2＋22)或y ＝(2－22)x －(2－22)．1．导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k 切线的倾斜角f ′(x 0)>0上升k >0锐角f ′(x 0)<0 下降 k <0 钝角f ′(x 0)＝k ＝0零角(切线与x 轴平行)2．求曲线在某点的切线方程(1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在，则斜率k ＝f ′(x 0)，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝x 0，此时f ′(x 0)也不存在．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值． (3)函数f (x )＝0没有导数．( ) (4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( )A ．12 B ．3 C ．4D ．5A [由于k l ＝5－34－0＝12，∴f ′(4)＝12]3.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f (x )在A ，B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“＜”“＝”或“＞”)．＞ [f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，由图像可得f ′(a )＞f ′(b )．]4．已知直线y ＝4x ＋a 和曲线y ＝x 3－2x 2＋3相切，求切点坐标及a 的值． [解] 设直线l 与曲线相切于点P (x 0，y 0)，则lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由导数的几何意义，得k ＝f ′(x 0)＝3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ， ∴a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ， ∴a ＝－5.因此切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)， a 的值为12127或－5.。
陕西省石泉县高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.2 导数的几何意义教案 北师大版选修2-2
2.2 导数的几何意义一、复习：导数的概念及求法。
二、探究新课多媒体演示，得出以下定义：1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线，设曲线C 上的一点(,())P x f x ,过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆． 2． 切线的定义:随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时,直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3．切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动,并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率,即当x∆无限趋近于0时，()()f x x f x x +∆-∆无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．4。
导数的几何意义：函数y =f （x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 5.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程。
例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。
(1）分别对Δx =2,1,0。
5求2x y =在区间[x 0,x 0＋Δx ］上的平均变化率，并画出过点（x 0,)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2xy=y=在x0＝－2处的导数，并画出曲线2x在点(－2，4）处的切线.例2、求函数32)(x x f y ==在x =1处的切线方程。
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2.2导数的几何意义
★ 学习目标
1．通过函数的图像直观理解导数的几何意义。
2．拓展曲线在一点的切线的概念的理解。
3．会求简单函数在某点的切线方程。
★ 学法指导
经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。
★ 知识点归纳
1．函数()x f y =在0x 处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；
2．函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为： ； ★ 重难点剖析
重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法；
难点：理解导数的几何意义；
剖析：
函数()x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k =()0x f '，函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=- 。
函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。
★ 典例分析
例1 已知曲线33
1)(x x f y ==上一点)38,2(P ； 求（1）点P 处的切线的斜率；
（2）点P 处的切线方程；
分析：求点P 处的切线的斜率，也即求函数在2=x 处的导数值。
变式练习1
求曲线x x x f y 32)(2-==在点)0,0(A 处的切线方程。
例2 在曲线2)(x x f y ==上过哪一点的切线
（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0562=+-y x ；
分析：过点),(00y x P 的切线的斜率为)(0x f k '=，利用斜率和导数的关系建立相应的关系式。
变式练习2
直线)0(≠+=a a x y l ：和曲线C ：1)(23+-==x x x f y 相切．求切点的坐标及a 的值；
★ 基础训练
1．已知曲线3313-==x x f y )(上一点)2
5,1(-P ，则过点的切线的倾斜角为（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 135 D ． 165
2．已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（ ）
A ．4
B ．16
C ． 8
D ． 2
3．曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（ ）
A ．47+=x y
B ．27+=x y
C ．2-=x y
D ．4-=x y
4．已知曲线3x y =上过点)8,2(P 的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
5．如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，则曲线与切线相切的切点的坐标为（ ）
A ．()8,1-
B ．()8,1- 或()12,1--
C ．()12,1--
D ．()12,1- 或()8,1--
6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）
A ．圆
B ．抛物线
C ．椭圆
D ．直线
★ 能力提高
1．已知点()1,0-M 、()1,0F ,过点M 的直线l 与曲线443
13+-=x x y 在2=x 处的切线平行。
（1）求直线l 的方程；
（2）求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程；
2．已知曲线x
x g x x f 1)(,)(== （1）求两条曲线的交点坐标。
（2）过两曲线的交点作两条曲线的切线，求出切线方程。
★ 学后反思
参考答案
例1：答案：（1）点P 处的切线的斜率为4；（2）点P 处的切线方程：3
164-=x y ； 变式练习1：答案：x y 3-=； 例2：答案：（1）()42,；（2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4923,；
变式练习2：答案：切点坐标为：),(),(27233111-or ，相应的a 的值为：27320or ； 基础训练： 1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、B ； 5、B ； 6、D ；
能力提高：1、答案：（1）l 的方程为：1-=y （2）抛物线C 的方程是：y x 42=；
2、答案：（1）两条曲线的交点坐标为()11,。
（2）过两曲线的交点的两条曲线的切线方程分别为：
21
21
+=x y 和2+-=x y。