吉林省通榆县第一高中2020-2021学年高三上学期第四次质量检测(11月)数学(理)试卷 含答案

通榆一中高三第四次质量检测试题数学(理科)考生须知：1． 本试卷满分120分，考试时间为120分钟.2． 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内.3． 请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效.4． 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.5． 保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}{}20,1,0,1,2M x x x N =-≤=-，则（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,22.设11i z i=-+（i 为虚数单位），z =（ ） A ．1 BC ．12D ． 14 3.3x ≤是27120x x -+≥的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知1sin 264απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3cos 23πααπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ． 72 B ．72- C. 732 D ．732-5. 若,a b c d >>,则下列结论正确的是（ ）A ． 22a b >B ．22ac bc >C. a c b d +>+ D ．ac bd >6. 如图,在梯形ABCD 中,// ,2AB DC AB DC =,点P 在线段BC 上,且2BP PC =,则（ ）A ．2132AP AB AD =+ B ．1223AP AB AD =+ C. 2233AP AB AD =+ D ．3322AP AB AD =+ 7. 已知正数,x y 满足,则2x y +的最小值为（ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．88. 36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为223623=⨯,所以36的所有正约数之和为()()222222()2213332322323++⨯+⨯++⨯+⨯++()()2212213391=++++=.参照上述方法,可得100的所有正约数之和为（ ）A ． 217B ．273 C. 455 D ．6519. 已知()()2212xa f x a R -=∈+是奇函数,且实数k 满足()1213f k -<,则k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ． ()1,-+∞C. (),0-∞ D ．()0,+∞10. 已知数列{}n a 满足121,4a a ==,且()112222,121n n n na a a n n N n n n -+=+≥∈---,则当取得最大值时,n =（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．411. 在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且三边互不相等,若11,,4cos 06a B b C b π==++=,则ABC ∆的面积是（ ） A ．B．1 12. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[]6,8上为减函数,且满足()()()()4,61,80f x f x f f +===.若函数()y f x k =有两个零点,则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,2 C. [)0,3 D ．[)0,4二.填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13. 函数3()10,1()a y log x a a =-+>≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线1mx ny +=上,其中0,0m n >>,则mn 的最大值为 ．14. 若实数,x y 满足约束条件10203230x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则目标函数45z x y =-的最大值为 ．15. 已知三棱锥P ABC -中, 2AC BC AB ==,且90APB ︒∠=,则三棱锥P ABC -的体积与三棱锥P ABC -的外接球的体积之比的最大值为 ．16. 已知函数()242()()()f x sin ax a x R x x =-∈+在区间[]2,2ππ-+上的最大值与最小值的和为8,则a = ．三.解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2x uy u =⎧⎨=⎩(u 为参数);以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系﹐直线l 的极坐标方程为()sin 03a a πρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭()1求直线l 和曲线C 的直角坐标方程;()2设直线l 和曲线C 交于,A B 两点,直线,,OA OB AB 的斜率分别为12,,k k k ,求证：12k k k +=18.在等差数列{}n a 中,其前n 项和为n S ,且3103,55.a S ==()1求数列{}n a 的通项公式;()2设2n n n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n T 19. 如图,在四棱锥P ABCD -中,2,2AB AD PA PD ====,且90,120ABC BCD ADC ︒︒∠=∠=∠=()1求证:;AD PB ⊥()2若平面PAD ⊥平面ABCD ,求直线AD 与平面PBC 所成角的正弦值.20. 已知在四边形ABCD 中,2,3,1,180AB AD BC CD B D ︒====∠∠=＋. ()1求AC 的长及四边形ABCD 的面积;()2点P 为四边形ABCD 所在平面上一点,若P B ∠=∠,求四边形APCD 面积的最大值及此时点P 的位置.21. 在数列{}n a 中,12211,4,34n n n a a a a a ++===-.()1求证:数列{}1n n a a +-是等比数列﹔()2若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S m m ≥-对任意正整数n 恒成立,求实数m 的取值范围.22.已知函数()2x f x e ae x =-.()1讨论()f x 的单调区间;()2当0a <时,证明: ()2ln f x e x >通榆一中高三第四次质量检测试题·数学(理科)参考答案、提示及评分细则1.C 因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，所以{}0,1M N ⋂=故选C2.B 因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-所以2z == 故选B3.A 记“27120x x -+≥”的解集为集合B ,则{}34B x x x =≤≥或所以3x ≤是27120x x -+≥的充分不必要条件故选A 4.A 221cos cos 212sin 12736226412cos cos sin 42326226ππααπααπαππαπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭====⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A5.C 当1,2a b ==-时,22a b < ,故A 选项不正确;当0c =时,22ac bc =,故B 选项不正确;因为,a b c d >>,根据不等式性质知a c b d +≥+,故C 选项正确;当1,1,0,2a b c d ==-==-时,ac bd ≤,故D 选项不正确.故选C6.C 因为1122BC AB AD DC AB AD AB AD AB =-++=-++=-，221333BP BC AD AB ==- 所以21223333AP AB BP AB AD AB AB AD =+=+-=+7. B 由题意，得0,1x y >>，法一：()221115x y x y +=+-+≥= 当且仅当21x y =-，即1,3x y ==时，2x y +的最小值为5，故选B法二：由()12x y -=得21x y =-则()4211151x y y y +=+-+≥=- 当且仅当21x y =-，即1,3x y ==时的最小值5，故选B8. A 类比36的所有正约数之和的方法,有100的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2210025=⨯,所以100的所有正约数之和为22()(12215)5217++++=.可求得100的所有正约数之和为217故选A 9.D 因为()2212xa f x -=+是定义域为R 的奇函数,所以()00f =,可得1a =, 此时()1221221121212x x x x x f x ---+===-++++ 易知()f x 在R 上为减函数又因为()()12113f k f -<=- 所以211k ->-所以0k >故选D10.B 因为()11222,111n n n na a a n n N n n n -+=+≥≤-+- 所以()()()112112,n n n na n a n a n n N -+=-++≥∈所以数列{}n na 是等差数列，又121,4a a ==听以数列{}n na 是以1为首项，212721a a -=-为公差的等差数列， 所以76n na n =- 所以2*22767617496,1224n a n n N n n n n n -⎛⎫==-=--+∈ ⎪⎝⎭ 所以当2n =时，n a n 取最大值 故选B11.C 因为14cos 0b C b++= 所以22211402b b c b b++-+•= 化简得22213b c +=又2222cos a c ac B b +-=即221c b +=两式联立消去b 得260c -+=,因为三边互不相等,解得c =c =. 又1sin 2S ac B =所以S =故选C12.C 函数()y f x k =+的定义域为[]0,4 由()()4f x f x +=，得()()()4f x f x f x -=-=所以函数关于2x =对称，()()()0480f f f ===，()()261f f ==根据曲线()y x f =关于直线0x =和2x =对称以及()f x 在区间[]6,8上为减函数 可画出()f x 图象的示意图,如图所示;考查函数24y x x k =--+可化为()()()2224x y k y k -+-=≤如图所示，当3k >时，曲线24y x x =--k +与()(),04y f x x =≤≤无公共点 当3k =时，曲线24y x x =--k +与曲线()(),04y f x x =≤≤只有一个交点 当03k ≤<时，曲线24y x x =--k +与曲线()(),04y f x x =≤≤有两个交点 当0k <时，曲线24y x x =--k +与曲线()(),04y f x x =≤≤无公共点综上，当03k ≤<时，曲线24y x x =--k +与曲线()(),04y f x x =≤≤有两个交点. 故选C13. 116函数()log 310,1,()a y x a a =-+>≠ 4x =时, 1y =∴函数恒过定点()4,1A点在直线1mx ny +=上,即41m n +=.根据基本不等式,得14244m n mn mn =+≥=即116mn ≤. 当且仅当18m =，12n =时取等号,故mn 的最大值为116 14.54- 画出可行域(如图阴影部分),利用图形可得, 当直线45z x y =-过点()5,6A 时,z 取最小值,最小值为10-；当直线过点59,24B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时,z 取最大值,最大值为54-l5. 14π 设AC m =, 则,2BC m AB m ==.所以222,90AC BC AB ACB ︒+=∠=取AB 的中点O 连接,.PO CO由于90,90ACB APB ∠=︒∠=︒,所以22OA OB OC OP m ====、 故点O 为三棱锥РABC -的外接球的球心,外接球的半径为33242,233O m V R m ππ==球. 所以当三棱锥P ABC -的体积最大时,三棱锥P ABC -的体积与三棱锥P ABC -的外接球的体积之比最大.当PO ⊥平面P ABC -时,三棱锥P ABC -的体积最大,此时3112232212P ABC V m m m m -=⨯⨯⨯⨯=三棱锥, 所以三棱锥33O2112423P ABC m V V m ππ-==三棱锥球 16.2 令2x t -=，则2x t =+且[],t ππ∈-所以原函数变为()[]()24sin 2,y t t st a t ππ=-++∈- 设()()24sin g t t t at =-+ 则()()2f x g t a =+所以()()max max 2f x g t a =+，()()min min 2f x g t a =+所以()()()()max min max min 4f x f x g t g t a +==+因为()()24sin g t t t at =-+是[],ππ-上的奇函数, 所以()()max min 0g t g t +=所以()()max min 48f x f x a +==所以2a =17.()1解:由sin 3a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 得13sin cos 2i a θρθ•-•= 则直线l 的直角坐标方程为320x y a -+=曲线C 的直角坐标方程为2x y = ()2证明:将2x u y u=⎧⎨=⎩代入320x y a -+=, 得2320u u a -=由直线l 和曲线C 交于,A B 两点且0a >,得380.a ∆=+≥设方程220u a -=的两根分别为12,u u ,则12u u +=而yu x=以表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率, 所以12,k u k u ==，所以1212k k u u +=+= 又直线l的斜率为k =所以12.k k k +=18. 解:()1设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意,得()11231010110552a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得111a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式是n a n =()2由()1知2n nn b =则12311231···,22222n n n n nT --=+++++① ①式两边同乘以12,得22341112231 (2222222)n n n n nT +-=++++++②①-②，得223111111111221122+?··-=11222222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++-=---所以222n n n T +=-19. ()1证明:如图,取AD 的中点E ,连接,,.PE BE BD因为AP DP ==E 为AD 的中点.所以AD PE ⊥因为90,120ABC BCD ADC ︒︒∠=∠=∠=， 所以//AB DC 且60BAD ︒∠=, 又因为2AB AD ==所以2AB DC =且ABD ∆是等边三角形, 又E 为AD 的中点, 所以.AD BE ⊥又,,BE PE E BE PE ⋂=⊂平面PEB , 所以AD ⊥平面PBE 又因为BP ⊂平面PBE , 所以AD BP ⊥()2解:由()1知AD PE ⊥,又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ⋂平面,ABCD AD PE =⊂平面,PAD 所以PE 上平面ABCD , 又,AE BE ⊂平面ABCD , 所以,PE AE PE BE ⊥⊥ 又由()1知AD BE ⊥所以以E 为坐标原点,分别以,,EA EB EP 的方向为x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系E xyz -如图所示:则()()()()0,0,0,1,0,0,3,0,1,0,0E A B D - 因为()21,3,0AB DC ==-所以33,,022C⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为2,2PA PD AD===所以1PE=所以()0,0,1P则()()332,0,0,,,0,0,3,122AD BC PB⎛⎫=-=--=-⎪⎪⎝⎭设平面PBC的一个法向量为(),,n x y z=则332230n BC x yn PB y z⎧•=--=⎪⎨⎪•=-=⎩取3y=，得()1,3,3n=-设直线AD与平面PBC所成角为α,则213 sin cos,131392n ADn ADn ADα•====++⨯⨯20.解:()1设AC x=,在ABC∆中,由余弦定理,得22222491321212AB BC AC x xcosBAB BC+-+--===⋅.同理在ACD∆中,254xcosD-=因为180B D ∠+∠=︒, 所以0cosB cosD += 所以11,22cosB cosD ==-, 又(),0,B D π∈, 所以60,120B D =︒=︒，所以1123602112022ABC ACD ABCD S S S sin sin ∆∆=+=⨯⨯⋅︒+⨯⨯⋅︒==四边形()2要使四边形APCD 的面积最大,则点Р和点D 应在AC 的两侧, 且使得APC ∆的面积最大.在APC ∆中,2222AC PA PC PA PCcosP =+-⋅，所以2272PA PC PA PC PA PC PA PC PA PC =+-⋅≥⋅-⋅=⋅， 当且仅当PA PC =时,等号成立， 即当PA PC =时,()7max PA PC ⋅=. 又1602APC S PA PCsin PA PC ∆=⋅︒=⋅， 所以()4APC max S ∆=， 所以四边形APCD=, 此时APC ∆为等边三角形，即PA PC ==P 与点D 分居于AC 的两侧.21. ()1证明:由2134n n n a a a ++=-, 得214133n n n a a a ++=- 则()1112111141113333n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---所以数列{}1n n a a +-是以213a a -=为首项，13为公比的等比数列. ()2解:由()1得11211333n n n n a a -+-⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭当2n ≥时，()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-03121111333313n -=+++++⋅⋅⋅+ 2111119134122313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=-⨯ ⎪⎝⎭-当1n =时,11a =适合11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.所以11191223n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭所以1111927111273122432413nnn S n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯+- ⎪⎝⎭-法一:因为11191223n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的递增数列,且110a =>，所以n S 也关于n 单调递增﹐ 从而n S 的最小值为11S =， 法二:因为()11271127271127911114244124231332n n n n n S S n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=⨯++-⨯+=-⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎣⎦⎣⎦⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以n S 也关于n 单调递增﹐ 从而n S 的最小值为11S =，因为22n S m m ≥-恒成立,所以212m m ≥-,解得11m -≤≤+即实数m 的取值范围是1⎡⎣.22. ()1解: ()x f 的定义域为()2),(,x f x e ae -∞+-∞'=，当0a ≤时,()0,f x '≥则()x f 的增区间为(),,-∞+∞无减区间. 当0a >时,由()0,f x '= 得2x lna =+.当,2()x lna ∈+-∞时,()0,f x '< 当,()2x lna ++∞∈时,()0f x '>，所以()f x 的减区间为(),2lna +-∞,增区间2,()lna +∞+.()2证明;法一:要证明22ln x e ae x e x ->.由于当0a <时,20ae x <, 只要证20x e ae x ->. 设()2ln xg e e x x =-,则()()222',"0xxe e g e g e x xx x =-=+>.所以()'g x 在(0,)+∞上是增函数.又()()22220,'20221e e g e e g e '=-<-=>=， 所以存在()1,2o x ∈，使得()0200'0x e g x e x -==即02000,ln 2x e e x x x ==-所以当()00,x x ∈时,()0g x '<; 当()0,x x ∈+∞时,()'0g x >， 因此()g x 在0(0,)x 上是减函数， 在()0,x +∞上是增函数. 所以()g x 有极小值,且极小值()()022222222000000ln 22220x e e g x e e x e x e x e e e x x =-=--=+->-=因此()0g x ≥, 即20x e lnx -->.综上,当0a <时，()2ln f x e x >.法二:要证明22ln ,x e ae e x ->只要证222ln xe e x ae x x ->设()()220xe g ae x xx =->,则()()21'x x e g x x -=.当01x <<时,()0g x '<; 当1x >时,()'0g x >，所以()g x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数， 所以1x =是()g x 的极小值点,也是最小值点, 且()()21min g g e ae x ==-.令()()210e ln h x x x =>,则()221ln '()e x h x x =-当0x e <<时,()'0h x >; 当x e >时,()'0h x <，所以()h x 在()0,e 上是增函数,在(),e +∞上是减函数， 所以x e =是()h x 的极大值点,也是最大值点, 且()()max h x h e e ==，所以当0a <时，()()2g x e ae e h x ≥->≥,即222ln x e e x ae x x-> 综上，当0a <时，()2ln f x e x >.法三;要证明22ln ,x e ae e x -> 由于当0a <时,20ae x <, 只要证2ln 0,xe e x ->设()()()222222ln ln x x g x e e x e e x e e x e e x =-=-++--， 令()()220xh x e e x ex =-+>则()2xh x e e '=-，当02x <<时,()'0h x <; 当2x >时,()'0h x >，所以()h x 在()0,2上是减函数，在(2,)+∞上是增函数， 所以2x =是()h x 的极小值点,也是()h x 的最小值点, 即()()min 20x h h ==.设()222ln m x e x e e x =--,则()()2221'x e e m x e x x-=-=, 当01x <<时,()'0m x <; 当2x >时,()'0m x >，所以()m x 在()0,1上是减函数,在(2,)+∞上是增函数， 所以1x =是()m x 的极小值点,也是()m x 的最小值点, 即()()10min m x m ==.综上,()0h x ≥(当且仅当2x =时取等号)，()min 0m x ≥(当且仅当1x =时取等号)所以()()()0x g x h x m +=>， 故当0a <时,()2f x e lnx >.法四:设()()()22ln ln x x g x e e x e ex ex e x =-=-+-,类似法三,分别研究()xh x e ex =-和()2ln m x ex e x =-的最小值.。