高一数学(人教A版)必修2课件：1-3-2 球的体积和表面积
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高一数学人教A版必修二课件：1.3.2 球的体积和表面积
多得10分,是考试中最不该失分的地方.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
1.两个球的体积之比为1∶27,那么两个球的表面积之比为
()
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
答案:A
2.三个球的半径比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两
球体积和的( ) A.1倍B.2倍 C.3倍 D.8倍
答案:C
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
三、有关几何体的外接球与内切球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接,解题时要
明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出
过球心的截面图.
一二三
知识精要 思考探究 典题例解 迁移应用
1.若一正方体边长为 a,则该正方体的内切球与外接球半径与 a
∴表面积 S 球=4πR2=64π(cm2),
体积 V 球=43πR3=2536π(cm3).
(2)∵S 球=4πR2=144π,∴R=6. ∴V 球=43πR3=43π×63=288π. (3)∵V 球=43πR3=5030π,∴R=5. ∴S 球=4πR2=4π×52=100π.
一二三
知识精要 典题例解 迁移应用
有什么关系? 提示:该正方体内切球直径应等于边长,所以半径 r=���2���,该正方体
外接球直径应等于正方体的体对角线长,所以半径 R= 23a. 2.若从球面上一点出发的三条弦两两垂直,其长分别为 a,b,c,则
该球的半径 R 与 a,b,c 有怎样的关系?
提示:从球面上一点出发的三条弦两两垂直,则以这三条弦为棱
������球
=
2 5πℎ2 4πℎ 2
优化课堂2016秋数学人教A版必修2课件：1.3.2 球的体积和表面积
第一章 空间几何体
(1)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积， 最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数 据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积 或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接， 避免重叠或交叉．
即
4R2＝6a2，所以
R＝
6 2 a.
从而 V 半球＝23πR3＝23π 26a3＝ 26πa3，V 正方体＝a3.
因此 V 半球∶V ＝ 正方体 26πa3∶a3＝ 6π∶2.
栏目 导引
第三十一页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
栏目 导引
第三十二页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
第一章 空间几何体
栏目 导引
第二十一页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
(2)设内切球 O1 的半径为 r， 因为△SAB 的周长为 2×(12 2＋4 2)＝32 2， 所以12r×32 2＝12×8 2×16.所以 r＝4. 所以内切球 O1 的体积 V 球＝43πr3＝2536π.
栏目 导引
第二十八页，编辑于星期日：六点 三十分。
第一章 空间几何体
1．把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后铸成
一个铁球，则这个铁球的半径为( )
A.r
h 2
B．r24h
3 r2h C. 4
D．r22h
解析：选 C.因为13πr2h＝43πR3，所以 R＝
3
r2h 4.
栏目 导引
栏目 导引
第十六页，编辑于星期日：六点 三十分。
2020版人教A数学必修2：1.3.2 球的体积和表面积
解析:(1)根据几何体的三视图,得该几何体是后部为半径等于2的半球 体,前部为正方体,棱长为2;所以该几何体的表面积是S=4×22+2π·22+ 22π=16+12π.故选C. 答案:(1)C
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球 的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底 面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:
(2)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
.
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个组合体,上半部分是半径为 1 的球的
(D)3 倍
解析:设小球半径为 1,则大球的表面积 S 大=36π,S 小+S 中=20π, 36π = 9 . 20π 5
解得 R= 6 ;所以外接球的体积为 V = 外接球 4π ×( 6 )3=8 6 π.故选 B
答案:(1)B
3
(2)(2018·广东靖远县高一期末)在三棱锥 S-ABC 中,SA=BC= 41 ,SB=AC=5,
SC=AB= 34 ,则三棱锥 S-ABC 外接球的表面积为
.
解析:(2)将三棱锥补成一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体,
以AB,BD和CD为棱,把三棱锥A-BCD补充为长方体, 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,且长方体的对角线是外接球 的直径; 所以(2R)2=AB2+BD2+CD2=1+2+1=4,所以外接球O的表面积为4πR2=4π. 故选D. 答案:(1)D
(2)(2018·安徽六安高一期末)球内切于正方体的六个面,正方体的棱长为
(A) 9 π +12 2
(C)9π +42
(B) 9 π +18 2
(D)36π +18
解析:(1)由三视图可得这个几何体是由上面一个直径为 3 的球,下面一个底 面为正方形且边长为 3,高为 2 的长方体所构成的几何体,则其体积为:
【课件】球的表面积和体积课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的 定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=
l
=
2 2 2
√a +b +c
(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引 入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l
例题讲解
4. 一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000
cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在
水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
3
由题意知 V水槽 80 60 55 264000(cm ).
4 3
R 2
V球
这是我生平最
∴
3 3 .
V圆柱 2 R
3 即球与圆柱的体积之比为2:3. 得意的 定理
问题2 球的表面积与圆柱的侧面积之比呢？与圆柱的表面积呢？
S球 = 4πR2
S圆柱 = 2πR×2R=4πR2
球的体积是圆柱体积的 2/3 ， 圆柱容球
球的表面积也是圆柱全面积的2/3
.
课堂练习
解：作出截面图如图示.
由图可知，球的直径等于正方体D
的体对角线长，即
A
4 R 1 2 3 14.
2
∴ 球的表面积为 S球 4 R 14 .
2
2
2
2
D
C
A
•
O
O
B
结论：长方体外接球的直径等于长方体的体对角线.
R=
l
=
2 2 2
√a +b +c
(a,b,c是长方体的棱长)
第八章
立体几何初步
8.3.3 球表面积和体积
引 入
圆柱
圆锥
• O'
h
圆台
r'• O'
S
l
h
r •O
2πr
l
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
必修2课件：1-3-2 球的体积和表面积
15 3π
15 B. 3 π
D.43π＋
15 3π
[答案] D
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由三视图知此几何体为一个球和一个圆锥，V＝V 球＋V圆锥＝43×π×13＋13π×12× 15＝43π＋ 315π，故选D.
第一章 1.3 1.3.2
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由三视图知，此几何体是一个半径为1的半球和 一个棱长为2的正方体组成，
(1)S＝S半球＋S正方体表面积－S圆 ＝12×4π×12＋6×2×2－π×12 ＝24＋π(m2)
(2)V＝V半球＋V正方体 ＝12×43π×13＋23 ＝8＋23π(m3)
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为64π，求它的体积． [分析] 借助公式，求出球的半径，再根据表面积或体 积公式求解．
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长 方体的体对角线为 2a2＋a2＋a2 ＝ 6 a，又长方体的外接球 的直径2R等于长方体的体对角线，所以2R＝ 6a，则S球＝4πR2 ＝4π 26a2＝6πa2.
学法指导 求球的表面积与体积的方法：
(1)把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝
人教A版高中数学必修二 1.3.2球的表面积和体积 课件
的玻璃小球浸没于容器的水中。若同时取出这两个小
球，则容器中的水面将下降
5
cm.
3
5、半径为R的三个小球两两外切放在桌面上，与这三 个小球都外切的第四个小球与桌面也相切，求这个小 球的半径。
6、在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们截得
的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积。
7.如图是一个奖杯的三视图,单位是cm，
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
练一练
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍2 .
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4倍.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2. 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3. 4
所以这个奖杯的体积为
V=1828.76cm3
8、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直 径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求 该几何体的表面积和体积。 (其中BAC 30 )
A
O C
B
A
O
O1
C
B
R
R
r
l
R
A O1 l B
o
O
＝ 1
2 V球
R2 R 1 R2 R
3
球的体积计算公式：
V球
4
3
球的表面积公式
S1
R
4 R3
3
V球
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
1 3
RS球面
S球面 4R2
例1：某街心花园有许多钢球（钢的密度是 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径 等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实 心的还是空心的．如果是空心的，请你计算出 它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）．
人教版数学必修二课件：1-3-3球的体积和表面积
答案：C
图 10
这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
(2)(2019 年高三模拟)已知边长为 2 的正方形 BCDE 所在的平面与腰长为 3 的等腰
三角形 ABC 所在的平面垂直，若多面体 ABCDE 的各个顶点均在球面上，则该球的表
面积为( )
A．226π
B．113π
图5
C.238π
D.1183π
第一章 空间几何体
第三节 空间几何体的表面积与体积
第三课时 球的体积和表面积
目标导向
1．知识与技能 能运用球的表面积和体积公式解决实际问题． 2．过程与方法 直接给出球的体积与表面积公式，证明留待以后．求球的体积与表面积关键是求球 的半径． 3．情感、态度与价值观 通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的数学应用意识．
知识导学
知识点 1 V 球＝43πR3(R 为球的半径) 知识点 2 S 球面＝4πR2
重点导析
重点：能灵活运用球的表面积和体积公式解决实际问题．
思维导悟
导悟 1 球的体积和表面积 【例 1】 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． 【(3分)已析知】球的在体面积积为和5体 030积π公，式求中它，的共表面3 个积量．，半径 R 起着桥梁作用，知一可求二， 关键求半径 R. 【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
图4
(2)球心 O 在 PE 上，AE＝2 2，PA＝2 11 设 PO＝OA＝R 在 Rt△AOE 中，R2＝(6－R)2＋(2 2)2 R＝131 S＝4πR2＝4849π 【答案】 (1)27π (2)B
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
球的表面积和体积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
与球有关的切、接问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个 球是这个多面体的内切球
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，这 个球是这个多面体的外接球
正方体与球的切接问题
①正方体的内切球
②正方体的棱切球
O•
O•
③正方体的外接球
球的面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，连接球心O和每个 小网格的顶点。
O
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为： Vi 则球的体积为：
V V1 V2 V3 ..果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。
hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
1 3
Si
R
Si
R
O Vi
V
则43πR3＝43π，故 R＝1，由
3a＝2R＝2，所以
a＝
2 ，所以正方 3
体的表面积为
S＝6a2＝6×
232＝8.]
5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的
一半，且 AB＝BC＝CA＝2，则球的表面积为________．
64 9π
[设截面圆心为 O′，球心为 O，连接 O′A，
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面； 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有 下面的关系:
r R2 d2
O1
球的截面问题
【例 2】 (1)平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1. 球心 O 到
平面 α 的距离为 2，则此球的体积为( )
2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为 3，高为 8，则球的表面积为________．
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
人教A版高中数学必修二课件1-3-2球的体积和表面积(共43张PPT)
[解析] 设球半径为 R，则圆台高 h＝2R，设圆台母 线长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
高中数学课件
灿若寒星整理制作
1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
3．(1)球的半径增大为原来的2倍，则球体积是原来的 倍．8
(2)一个球的球大圆面积增为原来的100倍，那么体积 为原来的倍．1000
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
高中数学课件
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1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
3．(1)球的半径增大为原来的2倍，则球体积是原来的 倍．8
(2)一个球的球大圆面积增为原来的100倍，那么体积 为原来的倍．1000
球的表面积和体积(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】PPT完美课件
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
新课标人教A版数学必修2全部课件：1.3.2球的表面积
h i 的值就趋向于球的半径R
Si
R
O
Vi
3 1 1 V S i R S 2 R S 3 R ... S n R 3 3 3 3
1 1
1 3 R ( S i S 2 S 3 ... S n ) 1 3 RS
①
Vi
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V
推导方法：
4 3
R
3
分割
求近似和
化为准确和
2、球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S 1， S 2， S 3 ... S n
O
则球的表面积： S S 1 S 2 S 3 ... S n
V 设“小锥体”的体积为： i 则球的体积为：
Si
O
Vi
V V 1 V 2 V 3 ... V n
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。 2 a
2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空 的。如果是空心的，请你计算出它的内径（π 取3.14，结果精确到1cm）。
1: 3 4
Si
R
O
Vi
3 1 1 V S i R S 2 R S 3 R ... S n R 3 3 3 3
1 1
1 3 R ( S i S 2 S 3 ... S n ) 1 3 RS
①
Vi
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V
推导方法：
4 3
R
3
分割
求近似和
化为准确和
2、球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S 1， S 2， S 3 ... S n
O
则球的表面积： S S 1 S 2 S 3 ... S n
V 设“小锥体”的体积为： i 则球的体积为：
Si
O
Vi
V V 1 V 2 V 3 ... V n
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
a 2 变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。 2 a
2
关键： 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空 的。如果是空心的，请你计算出它的内径（π 取3.14，结果精确到1cm）。
1: 3 4
新教材2023版高中数学新人教A版必修第二册：有关球的综合问题课件
3
3
2
16
3
+ AA21 ＝ ，即R2＝
题后师说
与球的接、切问题的解题策略
巩 固 训 练 2 (1)[2022·福 建 福 州 高 一 期 末 ] 已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，它的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面
积为(
)
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
答案：B
解析：依题意知正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，
所以(2R)2＝12 ＋12 ＋12 ＝3，即4R2 ＝3，所以外接球的表面积S＝4πR2 ＝3π，故
选B.
(2)[2022·江苏镇江高一期末]一个正四面体的四个顶点都在一个表面
16 2
积为24π的球面上，则该四面体的体积为________．
3
1
1
1
16π
1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为________．
3
解析：因为正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长AB＝1，侧棱长AA1＝2，
1
3
＝ ，
2 sin 60°
3
所以底面△ABC外接圆的半径r＝
设正三棱柱ABC A1B1C1外接球的半径为R，则(2R)2＝ 2r
4
16π
2
2
，所以外接球的表面积S＝4πR ＝π·(2R) ＝ .
画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以
近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚
14
度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为 πR2，设酒
3
2
杯 上 部 分 ( 圆 柱 ) 的 体 积 为 V1 ， 下 部 分 ( 半 球 ) 的 体 积 为 V2 ， 则 ＝
3
2
16
3
+ AA21 ＝ ，即R2＝
题后师说
与球的接、切问题的解题策略
巩 固 训 练 2 (1)[2022·福 建 福 州 高 一 期 末 ] 已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1，它的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面
积为(
)
A．2π
B．3π
C．4π
D．5π
答案：B
解析：依题意知正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为R，
所以(2R)2＝12 ＋12 ＋12 ＝3，即4R2 ＝3，所以外接球的表面积S＝4πR2 ＝3π，故
选B.
(2)[2022·江苏镇江高一期末]一个正四面体的四个顶点都在一个表面
16 2
积为24π的球面上，则该四面体的体积为________．
3
1
1
1
16π
1，侧棱长为2，则其外接球的表面积为________．
3
解析：因为正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长AB＝1，侧棱长AA1＝2，
1
3
＝ ，
2 sin 60°
3
所以底面△ABC外接圆的半径r＝
设正三棱柱ABC A1B1C1外接球的半径为R，则(2R)2＝ 2r
4
16π
2
2
，所以外接球的表面积S＝4πR ＝π·(2R) ＝ .
画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以
近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚
14
度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为 πR2，设酒
3
2
杯 上 部 分 ( 圆 柱 ) 的 体 积 为 V1 ， 下 部 分 ( 半 球 ) 的 体 积 为 V2 ， 则 ＝
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成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第一章 1.3 1.3.2
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课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
基础巩固训练 能力强化提升
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课前自主预习
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基础巩固训练
第一章 1.3 1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第一章 1.3 1.3.2
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成才之路·数学
人教A版 · 必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第一章 空间几何体
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第一章 1.3 1.3.2
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修2 第一章 1.3 1.3.2
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[答案] D
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[答案] D
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[答案] B
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[答案] C
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