2020双基测试卷数学+解析

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【数学】云南省昆明一中2020届高中新课标高三第三次双基检测数学(理)(扫描版)

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是以（1 ，0）为焦点，直线 x = − 1 为准线的抛物线，所以曲线 C 的方程为 y2 = 2x ．………5 分
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（2）易知 M (2，2) ，设点 A(x1，y1) ， B(x2，y2 ) ，直线 AB 的方程为： x = my + b ，
联立
x = my +
y
2
=
2x
b
，得
y2
−
2my
X1
2
3
P p1 (1 − p1 ) p2 (1 − p1 ) (1 − p2 )
所以 E ( X ) = 1 p1 + 2 (1 − p1 ) p2 + 3 (1 − p1 ) (1 − p2 ) = p1 p2 − 2 p1 − p2 + 3 .
因为 E ( X ) = p1 p2 − 2 p1 − p2 + 3 = (2 − p2 ) (1 − p1 ) + 1 ，且1 p1 p2 p3 ，
……6 分
（2）由（1）可知
g
(
x)
在区间
(−
,
0)
存在唯一极小值点
x0
，所以
g
(
x0
)
g
(−
2
)
=
−
e2
−1
0
,
又 g(0) = 1 0 ， g(− ) = e− 0 ，结合零点存在性定理知：存在唯一 x1 (− , x0 ) 使得 g ( x1 ) = 0 ，
存在唯一 x2 (x0, 0) 使得 g ( x2 ) = 0 ，故当 x (− , x1)∪(x2, 0) 时， g ( x) 0 ，当 x ( x1, x2 ) 时， g ( x) 0 ，

【全国百强校】云南昆明一中2020届高中新课标高三第二次双基检测数学(理)试题含答案

昆明第一中学2020届高中新课标高三第二次双基检测理科数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2670A x x x =--<，{}210B x x =+>，则A B ⋃=（）A.(),1-∞-B.11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C.()1,-+∞D.()7,+∞2.设1iiz -=，则z 的虚部是（） A.1B.1-C.iD.i -3.已知向量1,22a ⎛= ⎝⎭r ，2b =r ，且1a b ⋅=r r ，则a r 与b r 的夹角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为kc 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A.2123kcq x x RB.2123kcq x x R -5.在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级-一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩.经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则加学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是（） A.平均数B.方差C.中位数D.众数6.已知实数ln3a =，2e ln 3b =，4log 9c =，则（）A.b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a b c <<7.下列命题中，正确的是（）A.直线1l ，2l 与平面α所成的角相等，则12l l ∥B.α，β，γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则αγ∥C.1l ，2l ，3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l ∥D.1l ，2l 为两条直线，α，β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，2l α⊥，则2l α⊥8.双曲线1C ：22122x y -=与抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线交于A ，B 两点，若AB =则p =（） A.2B.4C.6D.89.设函数()33sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称 D.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 10.若()0,θπ∈，1tan 6tan θθ+=，则sin cos θθ+=（）B.C. D.2311.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点为1F ，2F ，P 是双曲线右支上的一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（）C.5312.已知定义[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列选项不正确的是（）A.函数()f x 的值域为[]0,4B.关于x 的方程()12nf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ）有24n +个不相等的实数根C.当12,2n n x -⎡⎤∈⎣⎦（n *∈N ）时，函数()f x 的图象与x 轴围成封闭图形的面积为2 D.存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将一段长为3米木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为______.14.已知函数()21,0,0x x f x ax b x ->⎧=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=______.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b =，c =，sin 2B B +=，则角C =______.16.已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，12n n n a S S -=-⋅（2n ≥）. （1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求1221111n S S S ++++L . 18.（本小题满分12分）甲、乙两个排球队在采用5局3胜制排球决赛中相遇，已知每局比赛中甲获胜的概率是35.（1）求比赛进行了3局就结束的概率；（2）若第1局甲胜，两队又继续进行了X 局结束比赛，求X 的分布列和数学期望 19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，点D 是棱AC 的中点，AC BD ⊥，点E 是棱AP 上一点，且ADE APC ∠=∠.（1）证明：AP ⊥平面BDE ；（2）若1BD =，3PA =，点F 在棱PB 上，且23FB PB =，求直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：10x my -+=（0m ≠）交椭圆C ：22143x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为P ，直线OP 与椭圆C 交于M ，N 两点（1）求直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）若2AP PM PN =，求直线l 的方程. 21.（本小题满分12分）已知函数()()()2e 1ln 112x f x x a x a =-+-+（0a >）的导函数为()g x .（1）求()g x 的最小值；（2）若e a =，实数1x ，2x 满足121x x <<且()()121f x f x +=，证明：122x x +<.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出圆C 和直线l 的普通方程；（2）P 为直线l 上一点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 点的直角坐标. 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）若a ，b ，()0,c ∈+∞，且1a b c ++=（1）证明：13ab bc ac ++≤；（2）求()222149a b c +++的最小值.2020届昆一中高三联考卷第二期理科数学参考答案及评分标准一、选择题1.解析：因为{}17A x x =-<<，12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}1A B x x =>-U ，选C.2.解析：因为1i z =--，所以1i z =-+，选A.3.解析：由已知1a =r ，得1cos ,2a b a b a b ⋅==r rr r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，选C. 4.解析：221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222121211221111x x x x x x x x kcq R R R R R R R ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21232kcq x x R=-. 选D.5.解析：一组数据中每个数字都增加相同的数字之后，不发生变化的是方差，平均数、中位数、众数都发生了改变，选B.6.解析：因为2e 33<，所以2e ln ln 33b a =<=，又因为e 2>，42log 9log 3c ==，所以2ln 3log 3<，a c <，所以b a c <<，选A.7.解析：由1l β⊥，2l β⊥得12l l ∥，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，选D.8.解析：由已知，点A的坐标为,2p ⎛- ⎝，代入双曲线1C 得：222122p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，所以4p =，选B. 9.解析：()222f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称，选C.10.解析：因为221sin cos sin cos tan 6tan cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=+==，所以1sin cos 6θθ=，所以()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=，而1tan 60tan θθ+=>，且()0,θπ∈，所以0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 3θθ+=，选A. 11.解析：由双曲线性质知，1F M b =，即14PF b =，22PF c =，由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，即422b c a -=，离心率为53e =，选C.12.解析：先画出()388,123168,22x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩的图象，然后向右每次将横坐标变为原来的2倍时，纵坐标变为原来的12，从图象可知，A ，C 是对的，对于B 选项，当1n =时，直线12y =与()f x 有7个交点，故B 不成立，对于D 选项，当04x =，()006x f x =满足题意，选B. 二、填空题13.解析：只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13.14.解析：设0x <，则0x ->，所以()()21f x x f x -=--=-，所以()21f x x =+，所以()21,021,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，则3a b +=.15.解析：由sin 2B B +=可得2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以6B π=，由正弦定理得sin sin c B C b ==，又因为c b >，所以C B >，所以3C π=或23π. 16.解析：取SC ，CD 的中点为G ，F ，由题意知，AC ⊥平面GEF ，动点P 的轨迹为GEF ∆，则GE GF ==EF =P三、解答题（一）必考题17.解析：（1）因为12n n n a S S -=-⋅（2n ≥），所以112n n n n S S S S ---=-⋅，可得11112n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，以2d =为公差的等差数列所以()()11112212n n d n n S S =+-=+-= （2）()()1321111212322121321n n n S S S ++++=⨯+⨯+++=++++⎡⎤⎣⎦L L L ()()()211212212n n n +++=⨯=+18.解析：（1）由题意知，每局比赛中乙胜的概率是25，比赛进行了3局就结束包括甲3:0胜和乙3:0胜两种情况，所以所求概率为333275525P ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意知X 的可能取值为2，3，4，239(2)525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31232323684435555125125125P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+=+=⎪⎝⎭， ()22113332332210872180364555555625625625125P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，X 的分布列为所以()9443636623425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 19.证明：（1）因为PC ⊥平面ABC ，且BD ⊂平面ABC ，所以PC BD ⊥，又AC BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，故AP BD ⊥，因为ADE APC ∠=∠，PAC DAE ∠=∠，所以PCA ∆与DEA ∆相似，因为PC ⊥平面ABC ，所以PC CA ⊥，所以90DEA PCA ∠=∠=︒，所以AP DE ⊥，AP ⊥平面BDE ；（2）解：因为1BD =，3PA =，则1DC DA ==，PC =过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，因为PC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ，又因为BD AC ⊥，故可以DB ，DA ，DG 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则部分点坐标为：()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0A，(0,P -，则()1,0,0DB =u u u r，(0,DP =-u u u r，(0,AP =-u u u r ，PC AC ⊥ 因为点F 在棱PB 上，且23FB PB =，则23FB PB =u u u r u u u r ，则()23DB DF DB DP -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有2133DF DP DB =+u u u r u u u r u u u r ，即12,33DF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，由（1）知AP ⊥平面BDE ，设直线DF 与平面BDE 所成角为θ，则14sin cos ,15DF AP DF AP DF AP θ⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值为1415.20.解：（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()2222121211043x x y y -+-=，即()()()()121212121143x x x x y y y y -+=--+，所以()()12012034y y x x x y -=--，所以()()12012034AB OP y y y k k x x x -=⋅=--. （2）直线l 的方程为1x my =-，与椭圆C 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2234690m y my +--=，所以 122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12023234y y m y m +==+，所以2243,3434m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，()()()222222222169916343434m m OP m m m +=+=+++()2212134m AB m +==+，所以()()2222223611234m AP AB m +⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 过OP 的直线方程为：34y mx =-，联立2214334x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221634x m =+ 而()()22222224916169162434163434m m MN OM m m m +⎛⎫==+⋅= ⎪+++⎝⎭，因为()()()2222214AP PM PN OM OP ON OP OM OP MN OP ==-+=-=-，所以()()()()222222222361491619164343434m m m m m m +++=⋅-+++，所以()22121916m m +=+，所以243m m =⇒= 所以直线l的方程为1x =-，即330x ±+=. 21.证明：（1）()()1ln 1x g x f x e x a a '==⋅-+-，则()1e 1x g x a '=⋅-，当ln x a <时，()0g x '<，则()g x 在(),ln a -∞上单调递减，当ln x a >时，()0g x '>，则()g x 在()ln ,a +∞上单调递增，则()()ln min 1ln e ln ln 10a g x g a a a a==⋅-+-=，所以()0g x ≥. 证明：（2）当e a =时，()211e e 2x f x x =⋅-⋅，由（1）可知()0g x ≥，则()f x 在(),-∞+∞内单调递增，()112f =，构造()()()()2222211111e 21e e 2e 22e 2e 2e e x x x x F x f x f x x x x x -⎛⎫=+--=⋅-⋅+⋅-⋅-=⋅+-+- ⎪⎝⎭，令()()21e e 22e e x x G x F x x ⎛⎫'==⋅--+ ⎪⎝⎭，则()21e e 220e e x x G x ⎛⎫'=⋅+-≥= ⎪⎝⎭，故函数()G x 在(),-∞+∞内单调递增，又()10G =，故对任意1x >，都有()()0G x F x '=>，即()F x 在[)1,+∞内单调递增，又()()12110F f =-=，所以对任意1x >，都有()0F x >，取2x x =有()()()222210F x f x f x =+-->，即()()2221f x f x ->-，即()()212f x f x ->，因为()f x 在(),-∞+∞内单调递增，所以212x x ->，即122x x +<.（二）选考题：第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为：0x -+=圆C 的直角坐标方程为：(223x y +=（2）设,3212P t t +⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为圆心)C所以PC ==当0t =时PC 的最小值为()0,3P .23.解：（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以222ab bc ac a b c ++≤++，又因为()21a b c ++=，所以2222221a b c ab bc ac +++++=，所以13ab bc ac ++≤ 当且仅当13a b c ===时取等号. （2）因为()111123123a b c a b b ++=⋅++⋅+⋅- 所以()111123223a b b ⋅++⋅+⋅= 所以()()22211111122311492349a b b a b c ⎛⎫⎡⎤⋅++⋅+⋅≤+++++ ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以()22214414949a b c +++≥，当且仅当2349a =，1849b =，849c =时取等号 ()222149a b c +++的最小值为14449.。

2020年辽宁省大连市高三双基测试数学（文科）试题Word版含解析

2020年辽宁省大连市高三双基测试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={2A={2，，3，4}4}，，B={x|2x＜16}16}，则，则A ∩B=B=（（）A ．∅B ．{2}C {2} C．．{2{2，，3，4}D ．{2{2，，3}2．设复数z 满足z+i=i z+i=i（（2﹣i ），则=（）A ．1+3iB ．﹣．﹣1+3i 1+3iC ．1﹣iD ．﹣．﹣1+i 1+i3．已知函数f （x ）=，则f （f （2））的值为（）A ．﹣B ．﹣．﹣3C 3 C 3 C．．D ．34．长方体长，宽，高分别为3，2，，则长方体的外接球体积为（）A ．1212ππB ．πC ．8πD D．．4π5．等差数列．等差数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4+a 10=20=20，则，则S 13=（）A ．6B ．130C 130 C．．200D 200 D．．2606．已知直线y=mx 与x 2+y 2﹣4x+2=0相切，则m 值为（）A ．±B ．±C ．±D ．±．±117．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（中，一个四面体的顶点坐标分别是（11，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A ．B ．1C ．2D ．48．函数f （x ）=sinx+cosx 的图象向右平移t （t ＞0）个单位长度后所得函数为偶函数，则t 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．已知过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若=3，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．C ．D D．．1010．等差数列．等差数列．等差数列{a {a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 1=3=3，，S n 为数列a n 的前n 项和，则S n 的最大值为（的最大值为（） A ．8B ．6C ．5D ．41111．若正整数．若正整数N 除以正整m 后的余数为n ，则记为N=n N=n（（modm modm）），例如10=410=4（（mod6mod6））．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2a=2，，b=3b=3，，c=5c=5，则输出的，则输出的N=N=（（）A ．6B ．9C ．12D ．211212．．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（是（） A ．男护士．男护士 B ．女护士．女护士 C ．男医生．男医生 D ．女医生二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）1313．已知如图所示的矩形，长为．已知如图所示的矩形，长为1212，宽为，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为颗，则可以估计出阴影部分的面积约为．1414．若实数．若实数x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+y 的最大值为的最大值为．1515．在锐角△．在锐角△．在锐角△ABC ABC 中，=3，=x +y ，则= ．1616．已知函数．已知函数f （x ）=|xe x|﹣m （m ∈R ）有三个零点，则m 的取值范围为的取值范围为．三、解答题（本题共60分）1717．．（12分）已知△分）已知△ABC ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ﹣cos 2C ﹣sin 2A=sinAsinB A=sinAsinB．．（1）求角C ；（2）若c=2，△，△ABC ABC 的中线CD=2CD=2，求△，求△，求△ABC ABC 面积S 的值．1818．．（12分）为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，进行成绩统计分析，其中成绩其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：分数段 [50[50，，60]（6060，，70] （7070，，80] （8080，，90] （9090，，100]频数910215723女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表优秀非优秀合计男生 a b 女生 c d 合计根据此数据你认为能否有99.9%99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：参考公式：K K 2=，（n=a+b+c+d n=a+b+c+d））． P （K 2≥k 0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.828（2）在这220人中，学校男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优良的学生中抽取6人进行培训，最后再从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，求这2人是一男一女的概率．1919．．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，是菱形，PD PD PD⊥平面⊥平面ABCD ABCD，，E 为PB 上任意一点．（1）证明：平面EAC EAC⊥平面⊥平面PBD PBD；；（2）试确定点E 的位置，使得四棱锥P ﹣ABCD 的体积等于三棱锥P ﹣ACE 体积的4倍．2020．．（12分）已知函数f （x ）=lnx+（a ∈R ）．（1）若函数f （x ）在区间（）在区间（11，4）上单调递增，求a 的取值范围；（2）若函数y=f y=f（（x ）的图象与直线y=2x 相切，求a 的值．2121．．（12分）已知椭圆E ：+=1=1（（a ＞b ＞0）的左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，椭圆E 的离心率为，过点M （m ，0）做斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于A ，C 两点，点P （，0），且•为定值．（1）求椭圆E 的方程；（2）求m 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]2222．．（10分）在极坐标系下，点P 是曲线ρ是曲线ρ=2=2=2（（0＜θ＜π）上的动点，＜θ＜π）上的动点，A A （2，0），线段AP 的中点为Q ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（2）若轨迹C 上的点M 处的切线斜率的取值范围是处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]，求点M 横坐标的取值范围．[选修4-5：不等式选讲] 2323．设函数．设函数f （x ）=|x+4|=|x+4|．．（1）若y=f y=f（（2x+a 2x+a））+f +f（（2x 2x﹣﹣a ）最小值为4，求a 的值；（2）求不等式f （x ）＞）＞11﹣x 的解集．2020年辽宁省大连市高三双基测试数学（文科）试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合A={2A={2，，3，4}4}，，B={x|2x＜16}16}，则，则A ∩B=B=（（） A ．∅B ．{2}C {2} C．．{2{2，，3，4}D ．{2{2，，3}【分析】由指数函数的性质求出B ，由交集的运算求出A ∩B ．【解答】解：由题意得，【解答】解：由题意得，B={x|2B={x|2x＜16}={x|x 16}={x|x＜＜4}4}，，又A={2A={2，，3，4}4}，则，则A ∩B={2B={2，，3}3}，，故选：故选：D D ．【点评】本题考查交集及其运算，以及指数函数的性质，属于基础题．2．设复数z 满足z+i=i z+i=i（（2﹣i ），则=（） A ．1+3iB ．﹣．﹣1+3i 1+3iC ．1﹣iD ．﹣．﹣1+i 1+i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵【解答】解：∵z+i=i z+i=i z+i=i（（2﹣i ），∴，∴z=i+1z=i+1z=i+1．．则=1=1﹣﹣i ．故选：故选：C C ．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知函数f （x ）=，则f （f （2））的值为（）的值为（）A ．﹣B ．﹣．﹣3C 3 C 3 C．．D ．3【分析】由已知中函数f （x ）=，将x=2代入可得答案．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （2）=﹣1，∴f （f （2））=f =f（﹣（﹣（﹣11）=，故选：故选：C C【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档．4．长方体长，宽，高分别为3，2，，则长方体的外接球体积为（，则长方体的外接球体积为（）A ．1212ππB ．π C ．8π D D．．4π【分析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：=4外接球的体积V==故选B ．【点评】本题是基础题，考查长方体的外接球．关键是长方体的对角线就是外接球的直径．5．等差数列．等差数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4+a 10=20=20，则，则S 13=（） A ．6B ．130C 130 C．．200D 200 D．．260【分析】由等差数列前n 项和公式及通项公式得S 13=（a 1+a 13）=（a 4+a 10），由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列【解答】解：∵等差数列{a {a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4+a 10=20=20，， ∴S 13=（a 1+a 13）=（a 4+a 10）=20=13020=130．．故选：故选：B B ．【点评】本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知直线y=mx 与x 2+y 2﹣4x+2=0相切，则m 值为（值为（） A ．±B ．±C ．±D ．±．±11【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得m 的值．【解答】解：圆x 2+y 2﹣4x+2=00的标准方程为（的标准方程为（x x ﹣2）2+y 2=2=2，， ∴圆心（∴圆心（22，0），半径为∵直线y=mx 与x 2+y 2﹣4x+2=0相切， ∴=∴m=1或﹣或﹣11 故选：故选：D D ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离等于半径是解题的关键．7．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（中，一个四面体的顶点坐标分别是（11，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4【分析】若正视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为长方形，长宽分别为1，2，即可得出结论．【解答】解：若正视图以yOz 平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为长方形，长宽分别为1，2，面积为2，故选C ．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定该四面体左（侧）视图为长方形，长宽分别为1，2是关键．8．函数f （x ）=sinx+cosx 的图象向右平移t （t ＞0）个单位长度后所得函数为偶函数，则t 的最小值为（的最小值为（） A ．B ．C ．D ．【分析】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y 轴对称得到t=﹣k π﹣，k ∈Z ，再结合t ＞0，从而得到最小值．【解答】解：【解答】解：y=sinx+cosx=y=sinx+cosx=sin sin（（x+）然后向右平移t （t ＞0）个单位后得到y=sin sin（（x﹣t+）的图象为偶函数，关于y 轴对称， ∴﹣∴﹣t+t+=k =kππ+，k ∈Z ，可得：，可得：t=t=t=﹣﹣k π﹣，k ∈Z ，∵t ＞0，∴当k=k=﹣﹣1时，时，t t 的最小值为．故选：故选：C C ．【点评】本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移，属于基础题．9．已知过抛物线y 2=4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若=3，则直线l 的斜率为（的斜率为（） A ．2B ．C ．D D．．【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC AC、、BD BD，过，过B 作BE BE⊥⊥AC 于E ．由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt Rt△△ABE 中，中，cos cos cos∠∠BAE=，得∠，得∠BAE=60BAE=60BAE=60°，°，即直线AB 的倾斜角为6060°，从而得到直线°，从而得到直线AB 的斜率k 值．【解答】解：作出抛物线的准线l ：x=x=﹣﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC AC、、BD BD，过，过B 作BE BE⊥⊥AC 于E ． ∵=3，∴设AF=3m AF=3m，，BF=m BF=m，由点，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC=3m AC=3m，，BD=m BD=m．．因此，因此，Rt Rt Rt△△ABE 中，中，cos cos cos∠∠BAE=，得∠，得∠BAE=60BAE=60BAE=60°° 所以，直线AB 的倾斜角∠的倾斜角∠AFx=60AFx=60AFx=60°，°，得直线AB 的斜率k=tan60k=tan60°°=，故选：故选：D D ．【点评】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题．1010．等差数列．等差数列．等差数列{a {a n }的公差d ≠0，且a 3，a 5，a 15成等比数列，若a 1=3=3，，S n 为数列a n 的前n 项和，则S n 的最大值为（的最大值为（） A ．8B ．6C ．5D ．4【分析】设出等差数列的公差，由a 3，a 5，a 15成等比数列建立关系式，用a 1=3和公差d 表示出a 3，a 5，a 15求解d ，求解数列a n 的前n 项和S n 可得最大值【解答】解：设等差数列的公差为d ，a 1=3=3，， ∴a 3=3+2d =3+2d，，a 5=3+4d =3+4d，，a 15=3+14d =3+14d，，由a 3，a 5，a 15成等比数列，可得（可得（3+4d 3+4d 3+4d））2=（3+2d 3+2d））（3+14d 3+14d））， ∵d ≠0 解得：解得：d=d=d=﹣﹣2，∴S n ==4n =4n﹣﹣n 2．当n=2时，时，S S n 最大为4．故选：故选：D D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．1111．若正整数．若正整数N 除以正整m 后的余数为n ，则记为N=n N=n（（modm modm）），例如10=410=4（（mod6mod6））．如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定律”的某一环节，执行该框图，输入a=2a=2，，b=3b=3，，c=5c=5，则输出的，则输出的N=N=（（）A ．6B ．9C ．12D ．21【分析】模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为1，即可得出结论．【解答】解：模拟运行程序，可得程序的作用是先求2，3的最小公倍数，再除以5，余数为1，故N=6N=6，，故选A ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确理解每次循环得到的mod mod（（n ，i ）的值是解题的关键．1212．．“一支医疗救援队里的医生和护士，包括我在内，总共是13名，下面讲到人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化，在这些医务人员中：①护士不少于医生；②男医生多于女护士；③女护士多于男护士；④至少有一位女医生．”由此推测这位说话人的性别和职务是（是（）A ．男护士．男护士B ．女护士．女护士C ．男医生．男医生D ．女医生【分析】设女护士人数为a ，男护士人数为b ，女医生人数为c ，男医生人数为d ，根据已知构造不等式组，推理可得结论．【解答】解：设女护士人数为a ，男护士人数为b ，女医生人数为c ，男医生人数为d ，则有：（一）（一）a+b a+b a+b≥≥c+d （二）（二）d d ＞a （三）（三）a a ＞b （四）（四）c c ≥1得出：得出：d d ＞a ＞b ＞c ≥1 假设：假设：c=1c=1仅有：仅有：a=5a=5a=5，，b=4b=4，，d=6d=6，，c=1时符合条件，又因为使abcd 中一个数减一任符合条件，只有b ﹣1符合，即男护士，假设：假设：c c ＞1则没有能满足条件的情况综上，这位说话的人是女医生，故选：故选：D D ．【点评】本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）1313．已知如图所示的矩形，长为．已知如图所示的矩形，长为1212，宽为，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600颗，则可以估计出阴影部分的面积约为颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 36 ．【分析】设阴影部分的面积为S ，由题意可得=，解之即可．【解答】解：设图中阴影部分的面积为S ，由题意可得=，解得S=36 故答案为：故答案为：3636【点评】本题考查几何概型的应用，属基础题．1414．若实数．若实数x ，y 满足约束条件，则目标函数z=3x+y 的最大值为的最大值为 6 ．【分析】【分析】先画出约束条件的可行域，先画出约束条件的可行域，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，再求出可行域中各角点的坐标，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=3x+y 的最大值．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A （2，0），解得B （，），C （0，﹣，﹣11）将三个代入z=3x+y 得z 的值分别为6，，﹣，﹣11，直线z=3x+y 过点A A （（2，0）时，）时，z z 取得最大值为6；故答案为：故答案为：66．【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．1515．在锐角△．在锐角△．在锐角△ABC ABC 中，=3，=x+y，则= 3 ．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，求出x 、y 的值即可．【解答】解：如图所示，锐角△锐角△ABC ABC 中，=3， ∴==（﹣）， ∴=+=﹣=﹣（﹣）=+；又=x+y ，∴x=，y=，∴=3=3．．故答案为：故答案为：33．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．1616．已知函数．已知函数f （x ）=|xe x|﹣m （m ∈R ）有三个零点，则m 的取值范围为的取值范围为（0，）．【分析】函数f （x ）=|xe x|﹣m （m ∈R ）有三个零点，转化为方程）有三个零点，转化为方程|xe |xe x|=m 有三个不相等的实数解，即y=m 与函数y=|xe x|的图象有三个交点，利用导数法分析f （x ）=xe x的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe x|的图象，数形结合可得答案．【解答】解：函数f （x ）=|xe x |﹣m （m ∈R ）有三个零点，令g （x ）=xe x，则g ′（′（x x ）=（1+x 1+x））e x，当x ＜﹣＜﹣11时，时，g g ′（′（x x ）＜）＜00，当x ＞﹣＞﹣11时，时，g g ′（′（x x ）＞）＞00，故g （x ）=xe x在（﹣∞，﹣在（﹣∞，﹣11）上为减函数，在（﹣）上为减函数，在（﹣11，+∞）上是减函数， g （﹣（﹣11）=﹣，又由x ＜0时，时，g g （x ）＜）＜00，当x ＞0时，时，g g （x ）＞）＞00，故函数y=|xe x |的图象如下图所示：故当m ∈（∈（00，）时，）时，y=m y=m 与函数y=|xe x|的图象有三个交点，即方程即方程|xe |xe x|=m 有三个不相等的实数解，故m 的取值范围是（的取值范围是（00，），故答案为：（0，）．【点评】【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数，本题考查的知识点是根的存在性及根的个数，本题考查的知识点是根的存在性及根的个数，函数的极值的求法，函数的极值的求法，函数的极值的求法，其中结合函数图象其中结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe x|的图象，是解答的关键．三、解答题（本题共60分）1717．．（12分）已知△分）已知△ABC ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2B ﹣cos 2C ﹣sin 2A=sinAsinB A=sinAsinB．．（1）求角C ；（2）若c=2，△，△ABC ABC 的中线CD=2CD=2，求△，求△，求△ABC ABC 面积S 的值．【分析】（1）利用余弦定理表示出cosC cosC，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求，把已知等式利用正弦定理化简，整理后代入计算求出cosC 的值，即可确定出C 的度数．（2）设∠）设∠ADC=ADC=ADC=α，则∠α，则∠α，则∠CDB=CDB=CDB=π﹣α．在△π﹣α．在△π﹣α．在△ADC ADC 与△与△ADB ADB 中，由余弦定理可得：中，由余弦定理可得：b b 2+c 2=20=20，在△，在△ABC 中，由余弦定理可得：中，由余弦定理可得：b b 2+c 2+bc=24+bc=24．可得．可得bc=4bc=4．即可得出．．即可得出．【解答】解：（1）∵△）∵△ABC ABC 的三个内角为A ，B ，C ，且cos 2B ﹣cos 2C ﹣sin 2A=sinAsinB A=sinAsinB．．sin 2C ﹣sinAsinB=sin 2A+sin 2B ，∴由正弦定理化简得：∴由正弦定理化简得：c c 2﹣ab=a 2+b 2， ∴cosC=，可得：可得：cosC=cosC=∵0＜C ＜π， ∴C=．（2）设∠）设∠ADC=ADC=ADC=α，则∠α，则∠α，则∠CDB=CDB=CDB=π﹣α．π﹣α．在△在△ADC ADC 中，由余弦定理可得：中，由余弦定理可得：b b 2=﹣，在△在△ADB ADB 中，由余弦定理可得：中，由余弦定理可得：c c 2=﹣2×cos cos（π﹣α）（π﹣α）， ∴b 2+c 2=20=20，，在△在△ABC ABC 中，由余弦定理可得：=b 2+c 2﹣2bc ，化为：，化为：b b 2+c 2+bc=24+bc=24．．∴bc=4bc=4．． ∴S △ABC =bcsin=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1818．．（12分）为了增强中小学生运动健身意识，某校举办中小学生体育运动知识竞赛，学校根据男女比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，进行成绩统计分析，其中成绩其中成绩在80分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生成绩频数分布表以及女生成绩频率分布直方图如图：男生成绩：分数段 [50[50，，60]（6060，，70] （7070，，80] （8080，，90] （9090，，100]频数910215723女生成绩：（如图）（1）根据以上数据完成下列2×2列联表优秀非优秀合计男生 a b 120 女生 c d 100 合计120100220根据此数据你认为能否有99.9%99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关？参考公式：参考公式：K K 2=，（n=a+b+c+d n=a+b+c+d））． P （K 2≥k 0）0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 03.8415.0246.6357.87910.828（2）在这220人中，学校男、女比例采用分层抽样的方式从成绩优良的学生中抽取6人进行培训，最后再从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，求这2人是一男一女的概率．【分析】（1）由列联表数据代入公式求出K 2，从而得到有99.9%99.9%以上的把握认为体育运动知识以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关；（2）由题意男女比例为2：1，抽取的6人中，男生4人，女生2人，从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，共有方法=15种，这2人是一男一女的方法有8种，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，男生成绩优秀的人数为57+23=80人，非优秀的人数为40人，女生成绩优秀的人数为100100×（×（×（0.25+0.30.25+0.30.25+0.3））=40=40，非优秀的人数为，非优秀的人数为6060，，K 2=≈15.64415.644＞＞10.82810.828，，∴有99.9%99.9%以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关；以上的把握认为体育运动知识竞赛是否优秀与性别有关；（2）由题意男女比例为2：1，抽取的6人中，男生4人，女生2人，从中随机抽取2人参加全市体育运动知识竞赛，共有方法=15种，这2人是一男一女的方法有8种，∴这2人是一男一女的概率是．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查独立性检验知识的运用，是中档题．1919．．（12分）如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，是菱形，PD PD PD⊥平面⊥平面ABCD ABCD，，E 为PB 上任意一点．（1）证明：平面EAC EAC⊥平面⊥平面PBD PBD；；（2）试确定点E 的位置，使得四棱锥P ﹣ABCD 的体积等于三棱锥P ﹣ACE 体积的4倍．【分析】（1）连结AC AC，，BD BD，推导出，推导出AC AC⊥⊥BD BD，，AC AC⊥⊥PD PD，从而，从而AC AC⊥平面⊥平面PBD PBD，由此能证明平面，由此能证明平面EAC ⊥平面PBD PBD．．（2）由=，能求出E 为PB 的中点．【解答】证明：（1）连结AC AC，，BD BD，， ∵底面ABCD 是菱形，∴是菱形，∴AC AC AC⊥⊥BD BD，， ∵PD PD⊥平面⊥平面ABCD ABCD，，AC ⊂平面ABCD ABCD，， ∴AC AC⊥⊥PD PD，，∵BD BD∩∩PD=D PD=D，∴，∴，∴AC AC AC⊥平面⊥平面PBD PBD，， ∵AC ⊂平面EAC EAC，∴平面，∴平面EAC EAC⊥平面⊥平面PBD PBD．．解：（2）∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积等于三棱锥P ﹣ACE 体积的4倍， ∴=，设P 到平面ABCD 的距离为h ，则===，解得h=PD PD，，故此时E 为PB 的中点．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．2020．．（12分）已知函数f （x ）=lnx+（a ∈R ）．（1）若函数f （x ）在区间（）在区间（11，4）上单调递增，求a 的取值范围；（2）若函数y=f y=f（（x ）的图象与直线y=2x 相切，求a 的值．【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得f ′（′（x x ）≥对任意x ∈（∈（11，4）恒成立，分离参数a ，可得a ≥，利用导数求出函数g （x ）=在（在（11，4）上的最大值得答案；（2）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，可得切线斜率，再由两函数在切点处的函数值相等求得a 的值．【解答】解：（1）函数f （x ）=lnx+，则f ′（′（x x ）=，∵函数f （x ）在区间（）在区间（11，4）上单调递增， ∴≥0在x ∈（∈（11，4）上恒成立．即a ≥在x ∈（∈（11，4）上恒成立．令g （x ）=，则g ′（′（x x ）=．当x ∈（∈（11，3）时，）时，g g ′（′（x x ）＞）＞00，当x ∈（∈（33，4）时，）时，g g ′（′（x x ）＜）＜00． ∴g （x ）在（）在（11，3）上为增函数，在（）上为增函数，在（33，4）上为减函数， ∴g （x ）max =g =g（（3）=．则a ≥；（2）设切点坐标为（）设切点坐标为（x x 0，y 0），则f ′（′（x x 0）=+，则+=2f （x 0）=lnx 0+=2x 0，②联立①，②解得：联立①，②解得：x x 0=2=2，，a=．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，训练了恒成立问题的求解方法，考查计算能力，属中档题．2121．．（12分）已知椭圆E ：+=1=1（（a ＞b ＞0）的左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合，椭圆E 的离心率为，过点M （m ，0）做斜率存在且不为0的直线l ，交椭圆E 于A ，C 两点，点P （，0），且•为定值．（1）求椭圆E 的方程；（2）求m 的值．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得出椭圆E 的左焦点F 1，从而求出c ；由离心率求出a ，再求出b 2，即可写出E 的标准方程；（2）设过点M （m ，0）的直线l 为y=k y=k（（x ﹣m ），代入+y 2=1=1，消去，消去y ，设出A 、C 坐标，利用跟与系数的关系得出x 1+x 2与x 1x 2，计算•，根据•为定值求出m 的值．【解答】解：（1）抛物线y 2=﹣4x 的焦点坐标为（﹣的焦点坐标为（﹣11，0），且椭圆E 的左焦点F 1与抛物线y 2=﹣4x 的焦点重合， ∴F 1（﹣（﹣11，0），∴，∴c=1c=1c=1，，又e==，得a=c=，∴b 2=a 2﹣c 2=﹣12=1=1．．∴椭圆E 的标准方程为+y 2=1=1；；（2）设过点M （m ，0）的直线l 为y=k y=k（（x ﹣m ），代入+y 2=1=1，消去，消去y 得，（2k 2+1+1））x 2﹣4k 2mx+2k 2m 2﹣2=02=0；；设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=，∴•=（x 1﹣）（x 2﹣）+y 1y 2=x 1x 2﹣（x 1+x 2）++k 2（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）=（k 2+1+1））x 1x 2﹣（﹣（k k 2m ﹣）（x 1+x 2）+（+k 2m 2）=﹣+（+k 2m 2） =+； ∴•为定值， ∴为定值，令3m 2+5m +5m﹣﹣2=2=﹣﹣4，则3m 2+5m+2=0+5m+2=0，，解得m=m=﹣﹣1或m=m=﹣﹣．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的定义与性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的位置关系应用问题，是综合性题目．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]2222．．（10分）在极坐标系下，点P 是曲线ρ是曲线ρ=2=2=2（（0＜θ＜π）上的动点，＜θ＜π）上的动点，A A （2，0），线段AP 的中点为Q ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（2）若轨迹C 上的点M 处的切线斜率的取值范围是处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]，求点M 横坐标的取值范围．【分析】（1）曲线ρ）曲线ρ=2=2=2（（0＜θ＜π），即ρ2=4=4，，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：，化为直角坐标方程：x x 2+y 2=4=4（（0＜y ≤2）．设线段AP 的中点Q （x ，y ），A （x ′，′，y y ′），则，y=，解得x ′=2x =2x﹣﹣2，y ′=2y =2y．代入方程（．代入方程（．代入方程（x x ′）2+（y ′）2=4=4，即可得出．，即可得出．（2）轨迹C 的方程为：的方程为：y=y==，设M （x 0，y 0）．y ′=，根据迹C 上的点M 处的切线斜率的取值范围是处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]，可得≤≤，解出即可得出．【解答】解：（1）曲线ρ曲线ρ=2=2（0＜θ＜π），即ρ2=4=4，，（0＜θ＜π），化为直角坐标方程：化为直角坐标方程：x x 2+y 2=4（0＜y ≤2）．设线段AP 的中点Q （x ，y ），A （x ′，′，y y ′），则，y=，解得x ′=2x =2x﹣﹣2，y ′=2y =2y．． ∵（∵（x x ′）2+（y ′）2=4=4，∴（，∴（，∴（2x 2x 2x﹣﹣2）2+（2y 2y））2=4=4，化为：，化为：（x ﹣1）2+y 2=1=1．．由y ′∈（′∈（00，2]2]，可得，可得0＜2y 2y≤≤2，解得0＜y ≤1．∴点Q 的轨迹C 的直角坐标方程：（x ﹣1）2+y 2=1=1（（0＜y ≤1）．（2）轨迹C 的方程为：的方程为：y=y==，设M （x 0，y 0）． y ′==，∵迹C 上的点M 处的切线斜率的取值范围是处的切线斜率的取值范围是[[﹣，﹣]， ∴≤≤，解得：≤x 0≤．∴点M 横坐标的取值范围是．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、利用导数研究曲线切线的斜率、坐标变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]2323．设函数．设函数f （x ）=|x+4|=|x+4|．．（1）若y=f y=f（（2x+a 2x+a））+f +f（（2x 2x﹣﹣a ）最小值为4，求a 的值；（2）求不等式f （x ）＞）＞11﹣x 的解集．【分析】（1）求出y 的解析式，利用绝对值不等式即可求解a 的值．（2）函数含有绝对值，即可考虑到分类讨论去掉绝对值号，分别讨论当x=x=﹣﹣4时，当x ＞﹣＞﹣44时，当x ＜﹣＜﹣44的情况，可得不同解析式求解不等式即可．【解答】解：（1）由题意，函数f （x ）=|x+4|=|x+4|．．那么y=f y=f（（2x+a 2x+a））+f +f（（2x 2x﹣﹣a ）=|2x+a+4|+|2x =|2x+a+4|+|2x﹣﹣a+4|a+4|≥≥|2x+a |2x+a﹣﹣4﹣（﹣（2x 2x 2x﹣﹣a+4a+4））|=|2a| ∵最小值为4，即，即|2a|=3|2a|=3|2a|=3，，∴a= （2）函数f （x ）=|x+4|= ∴不等式f （x ）＞）＞11﹣x 等价于，解得：，解得：x x ＞﹣＞﹣22或x ＜﹣＜﹣44 故得不等式f （x ）＞）＞11﹣x 的解集为的解集为{x|x {x|x {x|x＞﹣＞﹣＞﹣22或x ＜﹣＜﹣4}4}4}．．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题。

辽宁省大连市2023届高三上学期期末双基测试数学试题解析版

2023年大连市高三双基测试数学注意事项：1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷━．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A.{}5 B.{}3,5 C.{}1,3,5 D.{}2,4【答案】C 【解析】【分析】逐一验证集合{}1,2,3,4,5A =中的元素是否也属于集合12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5A =，12x B xZ ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭可得1x =时，11012Z B -=∈⇒∈；2x =时，211222Z B -=∉⇒∉；3x =时，31132Z B -=∈⇒∈；4x =时，413422Z B -=∉⇒∉；5x =时，51252Z B -=∈⇒∈；综上，集合,A B 的公共元素为1,3,5，所以A B = {}1,3,5，故选：C.2.i 是虚数单位，若复数543i z =+，则z 的共轭复数z =（）A.43i 55+ B.43i 55- C.43i 55-+ D.43i 55--【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算可化简得到z ，由共轭复数定义可得结果.【详解】()()()543i 543i 43i 43i 43i 43i 555z --====-++- ，43i 55z ∴=+.故选：A.3.已知命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+<，则p ⌝是（）A.0x ∃∈R ，20010x x -+≥ B.0x ∀∈R ，20010x x -+<C.x ∀∈R ，210x x -+≥ D.x ∀∈R ，210x x -+>【答案】C 【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定可知p 为：x ∀∈R ，20010x x -+≥.故选：C.4.开普勒（Johannes Kepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（）A.0.66aB.0.70aC.0.76aD.0.96a【答案】C 【解析】【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，根据题意可得1123a a =，进而结合332.512 2.1>>，即可得出结果.【详解】设金星运行轨道的半长轴为1a ，金星和地球的公转周期分别为1t ，2t ，由开普勒定律得3312212a a t t =.因为1223t t =，所以33149a a =，即13a a =.因为函数3y x =在(),-∞+∞上单调递增，且12592611281000>>，且3312592612.5, 2.181000==，所以332.512 2.1>>，因此112 2.50.700.933a a a a <=<<，故选：C.5.若二项式()6210ax a x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A.10B.15C.25D.30【答案】B 【解析】【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解1a =，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项.【详解】令1x =，则所有的项的系数和为()6164a +=，由于0a >，所以1a =，621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6263166C C r r r r rr T x x x ---+==，故当630r -=时，即2r =，此时展开式中的常数项为26C 15=,故选：B6.若ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2π1cos cos 222αα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．则tan α=（）A.B.2C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式化简得21cos 2cos sin 2ααα-=-，进而根据齐次式以及弦切互化即可求解.【详解】由2π1cos cos 222αα⎛⎫++=-⎪⎝⎭得22221cos 2cos sin 1cos 2cos sin 2cos sin 2αααααααα--=-⇒=-+，进而得212tan 11tan 2αα-=-+，化简得：2tan 4tan 30αα-+=，所以tan 3α=或tan 1α=，由于ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 1α>，故tan 3α=，故选：C7.已知()4324ln 32ea -=，1e b =，c =，则（）A.a c b<< B.c<a<b C.a b c<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，其中0x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出()4ln 32e a f -=、()e b f =、()2c f =，比较4ln 32e -、2、e 的大小关系，结合函数()f x 在(]0,e 上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞.因为()()4ln3244ln32324ln 324ln 32e e e a f ----==，()e e 1b f ==，()e log 4ln 42ln 2ln 224442c f ======，因为24ln 3242e e e 12648-⎛⎫==< ⎪⎝⎭，则4ln 32e 2e -<<，则()()()4ln 32e 2ef f f -<<，故a c b <<.故选：A.8.已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A.21-B.22- C.23- D.24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.将函数()()cos 2πf x x =-图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A.()g x 的最小正周期为πB.()g x 图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭C.()g x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D.()g x 的图象与函数πsin 26⎛⎫=-- ⎪⎝⎭y x 的图象重合【答案】ABC 【解析】【分析】根据三角函数平移变换和诱导公式可得()πcos 23g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭；根据余弦型函数最小正周期可知A 错误；利用代入检验法可知B 错误；根据余弦型函数单调区间的求法可知C 正确；利用诱导公式化简()g x 解析式可得()πsin 26g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，知D 错误.【详解】由题意知：()πππcos 2πcos 2633g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭；对于A ，()g x 的最小正周期2ππ2T ==，A 正确；对于B ，当7π12x =时，π7ππ3π23632x +=+=，此时()3πcos02g x =-=，7π,012⎛⎫∴ ⎪⎝⎭是()g x 的一个对称中心，B 正确；对于C ，令()ππ2π22π3k x k k -+≤+≤∈Z ，解得：()2ππππ36k x k k -+≤≤-+∈Z ，即()π5πππ36k x k k +≤≤+∈Z ，()g x ∴的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，C正确；对于D ，()π2ππππcos 2πcos 2cos 2sin 233266g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴与πsin 26⎛⎫=--⎪⎝⎭y x 图象不重合，D 错误.故选：ABC.10.下列结论正确的有（）A.若随机变量()2~1,N ξσ，()40.77P ξ≤=，则()20.23P ξ≤-=B.若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3119D X -=C.已知回归直线方程为10.8y bx=+ ，且4x =，50y =，则9.8b = D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22【答案】AC 【解析】【分析】根据正态分布对称性知A 正确，计算()()32920D X D X +==，B 错误，将()x y代入回归直线，计算得到C 正确，讨论三种情况得到可能数据的和为12，D 错误，得到答案.【详解】对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确；对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确；对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b= ，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10-；当35x <<时，中位数为x ，此时31327xx ++=，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确.故选AC.11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，11,CC BB 的中点，则（）A .直线1D D 与直线AF 垂直B.直线1A G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点1A 与点D 到平面AEF 的距离相等【答案】BCD 【解析】【分析】根据棱柱的结构特征，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法即可判断A ，根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，如图所示：E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则()0,0,0D ，()10,0,1D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于A,()10,0,1DD = ，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1102DD AF ⋅=≠ ，故A 错误；对于B ：连接1AD ,1D F ，1//AD EF ，A ∴,1D ,E ,F 四点共面，由于11//A D GF ,11=A D GF ,所以四边形11A D FG 为平行四边形，故11//AG D F ，又1AG ⊂/平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ，1//A G ∴平面AEF ，故B 正确，对于C ，连接1AD ，1FD ，1//AD EF ，∴四边形1AD FE 为平面AEF截正方体所得的截面，1AD ==2EF =，12D F AE ===，∴四边形1AD FE324=，则四边形1AD FE的面积为192248⎫⨯+⨯=⎪⎪⎭，故C 正确；对于D,连接1A D 交1AD 于点O ，故O 是1A D 的中点，且O 是线段1A D 与平面1AD FE 的交点，因此点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等，故D 正确．故选：BCD ．12.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，直线AB的斜率为k ，且0k >，C ，A 两点在x 轴上方，则（）A.3OC OD ⋅=-B.四边形ABCD 面积最小值为64C.1114AB CD += D.若16AF BF ⋅=，则直线CD 的斜率为【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长||AB ，同理可得||CD 的值，由均值不等式可得四边形的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【详解】由抛物线的方程可得焦点(1F ，0)，由题意可得直线AB ，CD 的斜率存在且不为0，设直线CD 的方程为：1(0)x my m =+<，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，整理可得：2440y my --=，显然0∆>，124y y m +=，124y y =-，21212()242x x m y y m +=++=+，21212()116y y x x ==，所以12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=-，所以A 正确；由于21244CD x x p m =++=+,1AB CDk k =-,所以将CD 中的m 换成1m -代入CD 中得2144AB m=+,()()22222411114182823222ACBDm S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形，当且仅当1m =-时等号成立，所以四边形的最小面积为32，所以B 不正确；设3(A x ,3)y ，4(B x ,4)y ，若||||16AF BF ⋅=，即343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=，整理可得4343()116x x x x +++=，即21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得213m =，即33m =±，而直线CD 的斜率10k m =<，所以直线CD的斜率为D 正确；可得弦长()2||41CD m =+,21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++，所以C 正确；故选：ACD第Ⅱ卷三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.设向量()(),2,2,1a m b == ，且222||a b a b +=+ ,则m =_________．【答案】1-【解析】【分析】根据向量模长的坐标公式即可代入求解.【详解】由()(),2,2,1a m b == 得()2,3a b m +=+ ，根据222||a b a b +=+ 得()2222925m m ++=++，解得1m =-，故答案为：1-14.若直线3y ax =-为函数()1ln f x x x=-图像的一条切线，则a 的值是________．【答案】2【解析】【分析】根据切点求解函数()f x 的切线方程，列方程组得02000112,ln 13a x x x x +=--=-，进而可求解0x ，即可得a .【详解】设()1ln f x x x =-的切点为00(,)x y ，其中0001ln y x x =-，由()211f x x x'=+得切线的斜率为()020011k f x x x '==+，所以切线方程为：()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即02000112ln 1y x x x x x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，直线3y ax =-是()f x 的切线，所以2000112ln 13a x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩，记()2ln 2,g x x x =-+则()2120g x x x'=+>，所以()g x 在定义域内单调递增，而()10g =，所以方程2ln 20x x-+=的根为1x =，因此01x =，进而得200112a x x =+=，故答案为：215.已知()()12,0,,0F c F c -为椭圆2222:1x y C a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y 轴上），12PF F △的重心为G ，内心为M ，且12//GM F F ，则椭圆C 的离心率为___________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据重心坐标公式以及内切圆的半径，结合等面积法，得到,a c 的关系，即可求解离心率.【详解】设()()000,0P x y x ≠，由于G 是12PF F △的重心，由重心坐标公式可得00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，由于12//GM F F ，所以M 的纵坐标为03M y y =，由于M 是12PF F △的内心，所以12PF F △内切圆的半径为03y r =，由椭圆定义得12212,2PF PF a F F c +==，()2121210120122111223PF F MF F MF P MPF y S S S S F F y F F PF F P =++⇒⋅=++ ，()001222232y c y a c a c e =+⇒=⇒=，故答案为：1216.已知菱形ABCD 边长为6，2π3ADC ∠=，E 为对角线AC 上一点，3AE =ABD △沿BD 翻折到A BD ' 的位置，E 移动到E '且二面角A BD A '--的大小为π3，则三棱锥A BCD -'的外接球的半径为______；过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为__________．【答案】①.21②.9π【解析】【分析】设AC BD O = ，证明出BD ⊥平面A CO ¢，分析可知π3AOA '∠=，以点O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ，根据题意可得出关于x 、y 、z 的方程组，可求得球心M 的坐标，即可求出球M 的半径长，求出ME '，可求得截面圆半径的最小值，再利用圆的面积公式可求得截面圆面积的最小值.【详解】设AC BD O = ，翻折前，在菱形ABCD 中，则AC BD ⊥，即AO BD ⊥，CO BD ⊥，翻折后，则有A O BD '⊥，所以，二面角A BD A '--的平面角为π3AOA '∠=，在菱形ABCD 中，2π3ADC ∠=，则π3BAD ∠=，又因为6AB AD ==，所以，ABD △是边长为6的等边三角形，同理可知，BCD △是边长为6的等边三角形，因为A O BD '⊥，CO BD ⊥，A O CO O '⋂=，A O '、CO ⊂平面A CO ¢，BD ∴⊥平面A CO ¢，以点O 为坐标原点，OC 、OB 所在直线分别为x 、y 轴，平面AOA '内过点O 且垂直于AC 的直线为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()0,3,0B、()C 、()0,3,0D -、339,0,22A ⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭、()E '，设三棱锥A BCD -'的外接球球心为(),,M x y z ，由MB MDMB MC MB MA ⎧='⎪=⎨⎪=⎩可得()()()(()222222222222222222333339322x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧⎪+-+=+++⎪⎪⎪+-+=-++⎨⎪⎪⎛⎛⎫+-+=+++-⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩，解得03x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，三棱锥A BCD -'的球心为)M，球M的半径为MB =.ME '=，设球心M 到截面α的距离为d ，平面α截球M 的截面圆的半径为r，则d ME '≤=，3r ∴=≥=，过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为2π39π⨯=.；9π.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.四、解答题：（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明x 证明过程或演算步骤）17.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①248S S S 、、成等比数列，②251072a a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件①②分别列出关于首项1a 与公差d 的方程，解出d 的值，即可计算出数列{}n a 的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{}n b 的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n 项和n T ．【小问1详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，方案一：选择条件①41121816,43442822,8S a d a S a d d d S a +=+==+⨯=+，根据248S S S 、、成等比数列得2428S S S =,代入得()()()1121462828a d d a a d +=++，又11a =，化简整理，可得220d d -=，由于0d >，所以2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n ∈N ．方案二：选择条件②由251072a a a -=，可得()()211149(6)2a d a d a d ++-+=，又11a =，解得2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-，*n ∈N 【小问2详解】由（1）可得111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭21nn =+．18.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-．（1）求B 的值；（2）若ABC，2b =，求ABC 周长．【答案】（1）π3B =（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得cos B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得ac 的值，再利用余弦定理可求得a c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：由()()()sin sin sin sin b c B C A C a +-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，所以，222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 22a c b B ac +-==，()0,πB ∈ ，因此，π3B =.【小问2详解】解：因为1sin 24ABC S ac B ac === ，4ac ∴=，由余弦定理可得()()22222222cos 3124b a c ac B a c ac a c ac a c =+-=+-=+-=+-=，4a c ∴+=，因此，ABC 的周长为6a b c ++=.19.如图多面体ABCDEF ，正方形ABCD 的边长为4，AF ⊥平面ABCD ，2AF =，//AF DE ，DE AF <．（1）求证：//CE 平面ABF ；（2）若二面角B CF E --的大小为α，且310cos 10α=，求DE 长．【答案】（1）证明见解析（2）1DE =【解析】【分析】（1）利用线面平行和面面平行的判定可证得平面//CDE 平面ABF ，由面面平行的性质可证得结论；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设()02DE t t =<<，利用二面角的向量求法可构造方程求得t 的值，即为DE 的长.【小问1详解】//AF DE ，//AB CD ，DE ⊄平面ABF ，CD ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，//DE ∴平面ABF ，//CD 平面ABF ，CD DE D = ，,CD DE ⊂平面CDE ，∴平面//CDE 平面ABF ，CE ⊂ 平面CDE ，//CE ∴平面ABF .【小问2详解】以A 为坐标原点，,,AB AD AF正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设()02DE t t =<<，则()4,0,0B ，()4,4,0C ，()0,0,2F ，()0,4,E t ，()0,4,0BC ∴= ，()4,4,2CF =-- ，()4,0,CE t =-，设平面BCF 的法向量(),,n x y z =，则404420BC n y CF n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令1x =，解得：0y =，2z =，()1,0,2n ∴= ；设平面CEF 的法向量(),,m a b c =，则442040CF m a b c CE m a tc ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4c =，解得：a t =，2b t =-，(),2,4m t t ∴=- ；cos cos ,10m n m n m n α⋅∴=<>==⋅ ，解得：1t =或134t =（舍），1DE =∴.20.某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有()*N ,2k k k ∈≥份样本，有以下两种检验方案，方案一，逐份检验，则需要检验k 次；方案二：混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份样本的阳性样本，则对k 份本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k 份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费．假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为()01p p <<．（1）若()*N ,2k k k ∈≥份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X ，求X 分布列及数学期望；（2）①若5,k p =>性；②若p =，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k 的最大值．参考数据：ln20.7,ln3 1.1,ln7 1.9,ln10 2.3,ln11 2.4=====【答案】（1）见解析（2）①见解析，②k 的最大值为11【解析】【分析】（1）X 的可能值为1和1k +，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解,（2）①结合期望公式，求出方案二的期望，再结合作差法，即可求解．②结合期望公式，以及利用导数研究函数的单调性，即可求解．【小问1详解】X 的可能值为1和1k +，(1)k P X p ==，(1)1k P X k p =+=-，所以随机变量X 的分布列为：所以()1(1)[1]1【小问2详解】①设方案二总费用为Y ，方案一总费用为Z ，则1620Y X =+，所以方案二总费用的数学期望为：()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+，又5k =，所以55()16[65]2080116E Y p p =-+=-+，又方案一的总费用为51680Z =⨯=，所以()55()80801168036Z E Y p p --+=--=，当p >50.451p <<，508036p <-，，所以()>Z E Y ，所以该单位选择方案二合理．②由①方案二总费用的数学期望()16()2016[1]20k E Y E X k kp =+=+-+，当p =79()1612016(e )4k k E Y k k k k -⎡⎤=+-+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，又方案一的总费用为16Z k =，令()<E Y Z 得：7916e 164kk k k -⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，所以79e4kk ->，即79ln e ln 4k k -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以9ln ln 074k k -->，设9()ln ln [2,)74x f x x x =--∈+∞，所以117(),[2,)77-=-=∈+∞'x f x x x x，令()0f x '>得27x <，()0f x '<得7x >，所以()f x 在区间[2，7)上单调递增，在区间(7,)+∞上单调递减，()max ()7f x f =ln712(ln3ln2)0.10=---=>，888(8)3ln22(ln3ln2)5ln22ln3 1.30777f =---=--=->，999(9)2ln32(ln3ln2)2ln2 1.40777f =---=-=->，1010(10)ln102(ln3ln2) 1.5077f =---=->，1111(11)ln112(ln3ln2) 1.6077f =---=->，121212(12)ln122(ln3ln2)4ln2ln3 1.70777f =---=--=-<，所以k 的最大值为11．21.已知双曲线222:1x Q y a-=的离心率为，经过坐标原点O 的直线l 与双曲线Q 交于A ，B 两点，点()11,A x y 位于第一象限，()22,C x y 是双曲线Q 右支上一点，AB AC ⊥，设113,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求双曲线Q 的标准方程；（2）求证：C ，D ，B 三点共线；（3）若ABC 面积为487，求直线l 的方程．【答案】（1）2214x y -=（2）证明见解析（3）13y x =【解析】【分析】（1）根据离心率即可求解2a =，（2）利用坐标运算，结合点差法以及向量共线的坐标表示即可求解，（3）根据三角形面积公式，利用联立方程，韦达定理，代入化简即可得到关于k 的方程，【小问1详解】由双曲线222:1x Q y a -=，所以152e a ==，解得2a =，所以双曲线Q 的标准方程为2214x y -=【小问2详解】由()11,A x y 得()11,B x y --,又()22,C x y ，所以()11,OA x y =,()2121,AC x x y y =--，由OA AC ⊥得()()1211210x x x y y y -+-=①，由于()11,A x y ，()22,C x y 在双曲线上，所以222212121,144x x y y -=-=，相减得()221222121212121244y y x x x xy y y y x x -+-=+⇒=--②由①②得1211214x x x y y y =-++③，()2121111,,2,,2BC x x y y BD x y ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭ 由于110,0x y >>，所以()21212121111121222y y x x y y x x x x y y ++++-=+-，将③代入得()()212121112111112012224y y x x y y x x y y x y y y ⎛⎫+-+++-=⎪⎝- ⎭+=，所以//BC BD，因此C ，D ，B 三点共线【小问3详解】设直线l 的方程为()0y kx k =>，联立直线l 与双曲线的方程为：()222214414y kx k x x y =⎧⎪⇒-=⎨-=⎪⎩，故2114002k k ->⇒<<，所以212414x k =-，直线AC 的方程为()111y y x x k -=--，联立()21121111222148144014y y x x x x k x y x y k k k k x y ⎧-=--⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒-++-+-=⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪-=⎪⎩，所以()111228,04x ky x x k ++=-∆>-由于//AD y 轴，10y >，所以152AD y =，所以()()()()211111111121122281551010224444ABC x y ky x ky x ky S y x x y y k k k+++=⨯+=⨯=⨯=⨯--- ，由于11y kx =，212414x k =-代入得()()()()3232323211122224221440101010401414444174417ABC k k k kx k x k k x k k k k S k k k k k k k ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭-=====----+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，令10k t k+=>，则240484257ABC t S t ==- ，化简得224351500t t --=，由于0t >，所以103t =，因此1103k k +=，解得3k =或13k =由于102k <<，所以13k =，故直线l 方程为13y x =【点睛】方法点睛：解析几何中的弦长以及面积问题以及最值是常见的类型，对于这类问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.22.已知函数()()()22111ln ln ,e 22ex f x x x kx k g x x f x =++-=--，（1）若–1k ≤时，求证：函数()f x ）只有一个零点；（2）对12x x ∀≠时，总有()()12122g x g x x x ->-恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1e k ≤-【解析】【分析】（1）求导，利用导数确定函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求解，（2）将问题等价转化为()2g x x -在定义域内单调递增，构造函数()()2F x g x x =-，只需要证明()0F x '≥，进而分离参数，问题转化成21()=e e ln 12x x p x x x----，只()k p x ≤恒成立，利用导数求解最值即可.【小问1详解】由()21ln ln 2f x x x kx k =++-得()ln 1x f x k x x'=++，记()()()2ln 1ln ,x x h x f x k h x x x x -''==++=，则当01x <<时，()0h x '>，当1x >时，()0h x '<，因此()h x 在01x <<单调递增，在1x >单调递减，故()()11h x h k ≤=+，当1k ≤-时，10k +≤，所以()0h x ≤，因此()0f x '≤，所以()f x 在定义域()0,∞+单调递减，而()10f =，因此函数()f x ）只有一个零点【小问2详解】不妨设12x x <，则由()()12122g x g x x x ->-得()()()()()12121122222g x g x x x g x x g x x <-<-⇒--，故函数()2g x x -在定义域内单调递增，记()()2F x g x x =-，则()0F x '≥，即()()()22112e 2ln 12e e 0e x x F x x k x xg x f x '''=-=-------=≥-，所以21n 2e e l 1x x k x x----≥，记21()=e e ln 12x x p x x x----，只需要()k p x ≤恒成立即可，22222ln ln 2e ()=2e x xx x x x p x x =+'+，记()()22ln ,=2e 0x q x x x x +>，()()21=41e 0x q x x x x'++>，所以()q x 在()0,∞+单调递增，()2221e 112e 0,2e 12e 10e q q -⎛⎫=>=-<-< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00q x =，即022002n 0e l x x x +=，所以0200000l 11ln 2n 1e x x x x x x ==-，由于01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()01ln 0,1x ∈，令()e x t x x =，由于当0x >时，0,e 0x x >>，且函数,e x y x y ==均为单调递增的函数，所以()ex t x x =由020001ln 12e x x x x =得()0012ln t x t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以0012ln x x =，即0201e x x =，当00x x <<时，()0p x '<，()p x 单调递减，当0x x >时，()0p x '>，()p x 单调递增，所以()()()0002min 0000112ln 111e 122e e ex x x x x x p x p x ---==---==---，故1ek ≤-【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.。

初中数学双基测试卷及答案

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）A. -2B. -3C. 2D. 32. 已知a、b是方程x^2-4x+4=0的两个实数根，则a+b的值是（）A. 2B. 4C. 0D. -23. 下列各数中，有最小正整数解的是（）A. x^2+2x-3=0B. x^2-2x-3=0C. x^2+2x+3=0D. x^2-2x+3=04. 若a=1，则下列代数式中，值为0的是（）A. a^2-1B. a^2+1C. a^2-aD. a^2+a5. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，3）6. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 下列图形中，是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 等腰三角形D. 等边三角形8. 已知三角形ABC中，AB=AC，则三角形ABC是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 直角等腰三角形9. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到原点O的距离是（）A. 2B. 3C. √13D. 510. 下列方程中，与方程2x-3=5同解的是（）A. 2x+3=5B. 2x-3=5C. 2x+3=2D. 2x-3=2二、填空题（每题3分，共30分）11. 已知x+y=5，则x^2+y^2的最小值为______。

12. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是______。

13. 等差数列1，4，7，...的第10项是______。

14. 下列图形中，是轴对称图形的是______。

15. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）到原点O的距离是______。

三、解答题（每题10分，共40分）16. 解下列方程：（1）x^2-5x+6=0（2）2x^2-3x+1=017. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的前n项和。

2020届辽宁省大连市高三双基考试数学(理)试题(解析版)

【答案】-1.
【解析】根据定义域为R的奇函数满足 ,代入即可求得的值.
【详解】
因为是定义在R上的奇函数
所以满足
代入可得
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了奇函数的性质与简单应用,注意只有当定义域为R时奇函数才满足 ,属于基础题.
15．我国南宋数学家秦九留撰写的名著《数书九章》第五卷提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为“海伦—秦九韶”公式，现有一个三角形的边长满足，，则三角形面积的最大值为________.
当时,满足 ,即
因为 ,所以方程无解.即不存在时使得在点A和点B处的切线互相垂直
当时,满足 ,即 .因为 ,所以
所以 ,所以A、B错误;
对于C,可知 ,令 ,
所以
令 ,得
所以当时, ,则在时单调递减
所以在时取得极小值,即最小值为 ,无最大值,所以C错误;
对于D,可知
令 ,
则
令 ,解得
【详解】
设直线的方向向量，，
所以分别是平面的法向量，
二面角的大小为60°，
的夹角为或，
因为异面直线所的角为锐角或直角，
所以与所成的角为 .
故选:C.
【点睛】
本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.
6．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）
A． B． C． D．
【答案】 . .
【解析】（1）将代入条件等式，化简可得，由，
可得，结合的范围，求得；

2020届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测数学(理)试题(解析版)

2020届云南省昆明市第一中学高三第二次双基检测数学（理）试题一、单选题 1．设1iiz -=，则z 的虚部是（） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A【解析】先化简复数z 为代数形式，再根据共轭复数概念求z ，最后根据复数虚部概念得结果. 【详解】因为1i z =--，所以1i z =-+，z 的虚部是1，故选：A 【点睛】本题考查共轭复数概念以及复数虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.2．已知向量12a ⎛= ⎝⎭r ，2b =r ，且1a b ⋅=r r ，则a r 与b r的夹角为（） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】直接根据向量夹角公式求解. 【详解】由已知1a =r ，得1cos ,2a b a b a b⋅==r rr r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒，故选：C. 【点睛】本题考查求向量夹角，考查基本分析求解能力，属基础题.3．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D【解析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-.故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.4．在第二次高考模拟市统测结束后，某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平，登记了全班同学的卷面成绩.经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得，则学业水平考试加分22分前后相比，不变的数字特征是（） A ．平均数 B ．方差C ．中位数D ．众数【答案】B【解析】根据加分前后平均数、方差、中位数、众数的变化进行分析，可得出结论. 【详解】学业水平考试加分22分前后相比，平均数、中位数、众数都在原来的基础上加上了22，而全班的成绩波动性没发生变化，即方差没变. 故选：B. 【点睛】本题考查在样本数据上加上同一个数后样本数字特征的变化，分析样本各数字特征的变化是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．已知实数ln3a =，2ln 3e b =，4log 9c =，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a b c <<【答案】A【解析】利用对数函数ln y x =的单调性比较a 、b 的大小关系，再利用换底公式结合不等式的性质可得出a 、c 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】对数函数ln y x =在()0,∞+上为增函数，因为233e <，所以2e ln ln 33b a =<=，0ln 2ln 1e <<=Q ，ln30>，42ln 3log 9log 3ln 3ln 2c a ===>=，所以b a c <<，故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及对数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．下列命题中，正确的是（）A ．直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B ．α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC ．1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D ．1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥ 【答案】D【解析】利用正四面体可判断A 选项的正误；根据面面的位置关系可判断B 选项的正误；根据空间中线线的位置关系可判断C 选项的正误；根据线面垂直的性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，在正四面体ABCD 中，AB 、AC 与平面BCD 所成角相等，但AB 与AC相交，A 选项错误；对于B 选项，若αβ⊥，γβ⊥，则α与γ平行或相交，B 选项错误；对于C 选项，若13l l ⊥，23l l ⊥，则1l 与2l 平行或相交，C 选项错误；对于D 选项，由1l β⊥，2l β⊥得12//l l ，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.7．双曲线1C ：22122x y -=与抛物线2C ：22y px =（0p >）的准线交于A ，B 两点，若AB =，则p =（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】先确定A 点坐标，再代入双曲线方程解得结果. 【详解】由已知，点A的坐标为,2p ⎛- ⎝，代入双曲线1C 得：222122p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=，所以4p =，故选：B 【点睛】本题考查求抛物线方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．设函数()33sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称D ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称【答案】C【解析】利用辅助角公式和诱导公式化简函数()y f x =的解析式为()f x x =，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭计算出2x 的范围，可判断出函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，结合余弦函数的对称轴方程即可得出结论. 【详解】()3222442f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，02x π<<，所以()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，令()()22k x k k Z x k Z ππ=∈⇒=∈，当1k =时，可得知函数()y f x =的图象关于直线2x π=对称.故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性与对称性的判断，一般采用整体代入法，考查推理能力，属于中等题.9．若()0,θπ∈，1tan 6tan θθ+=，则sin cos θθ+=（）A ．3B ．3-C ．3±D ．23【答案】A【解析】利用切化弦化简技巧结合1tan 6tan θθ+=可得出1sin cos 6θθ=，再由()0,θπ∈可得出sin 0θ>，cos 0θ>，再由()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+可计算出sin cos θθ+的值. 【详解】因为221sin cos sin cos tan 6tan cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=+==，所以1sin cos 6θθ=， ()0,θπ∈Q ，则sin 0θ>，cos 0θ>，sin cos 0θθ∴+>.所以()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=，所以23sin cos 3θθ+=，故选：A. 【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，P 是双曲线右支上的一点，满足212PF F F =，直线1PF 与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．23B ．3C ．53D ．43【答案】C【解析】设1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，可得出14PF b =，22PFc =，然后利用双曲线的定义可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，即可计算出该双曲线的离心率. 【详解】设1PF 与圆222x y a +=相切于点M ，过点2F 作21F N PF ⊥，则N 为1PF 的中点，设双曲线的焦距为()20c c >，易知1OM PF ⊥，则222211F M OF OMc a b =-=-=，O Q 为12F F 的中点，M ∴为1F N 的中点，则111244PF F N FM b ===，由双曲线的定义得122PF PF a -=，即422b c a -=，即2b a c =+，()()222244a c b c a ∴+==-，则44c a c a +=-，可得35c a =.因此，该双曲线的离心率为53c e a ==.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，解答的关键就是得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．已知定义[)1,+∞上的函数()348,1221,222x x f x x fx ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列选项不正确的是（）A ．函数()f x 的值域为[]0,4B ．关于x 的方程()()12nf x n *⎛⎫=⎪⎝⎭∈ N 有24n +个不相等的实数根C ．当()12,2n n x n *-⎡⎤∈⎣∈⎦N 时，函数()f x 的图象与x 轴围成封闭图形的面积为2D ．存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立【答案】B【解析】作出函数()y f x =的图象，可判断A 选项的正误；取1n =可判断B 选项的正误；当()12,2n n x n -*⎡⎤∈∈⎣⎦N 时，求出函数()y f x =图象最高点的纵坐标，可判断C 选项的正误；取04x =可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当[]1,2x ∈时，()388,123168,22x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，然后向右每次将横坐标变为原来的2倍时，纵坐标变为原来的12，得到草图如下所示：可知，函数()y f x =的值域为[]0,4，A 选项正确；对于C 选项，当[]1,2x ∈时，()max 4f x =，当[]2,4x ∈时，()max 2f x =，当[]4,8x ∈时，()max 1f x =，由此可得知，当12,2n nx -⎡⎤∈⎣⎦时，()13max1422n n f x --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，此时，函数()y f x =的图象与x 轴围成封闭图形的面积为1312222n n--⨯⨯=，C 选项正确；对于B 选项，当1n =时，如下图所示，当[]1,8x ∈时，直线12y =与函数()y f x =的图象有6个交点，当[]8,16x ∈时，()max 12f x =，此时，直线12y =与()y f x =的图象只有一个交点，当[)16,x ∈+∞时，()14f x ≤，此时，直线12y =与()y f x =的图象没有交点.综上所述，当1n =时，方程()12f x =有7个实根，B 选项错误；对于D 选项，当04x =时，()()0036422f x f x ==>=，所以，存在[]01,8x ∈，使得不等式()006x f x ≥能成立，D 选项正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数及运用，考查函数的表达式和值域以及方程根的个数问题，考查数形结合思想的应用与推理能力，属于中档题．二、填空题12．已知集合{}2670A x x x =--<，{}210B x x =+>，则A B =U （） A ．(),1-∞- B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．()7,+∞【答案】C【解析】先解一元二次不等式得集合A ，再解一元一次不等式得集合B ，最后求并集. 【详解】因为{}17A x x =-<<，12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}1A B x x ⋃=>-，故选：C 【点睛】本题考查解一元二次不等式以及集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 13．将一段长为3米木棒锯成两段，则这两段木棒长度都不少于1米的概率为______. 【答案】13【解析】先确定满足题意的锯断点位置，再根据几何概型概率公式求结果. 【详解】根据题意:只要在木棒的两个三等分点之间锯断就能符合要求，所求概率为13. 故答案为：13【点睛】本题考查几何概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知函数()21,0,0x x f x ax b x ->⎧=⎨+<⎩为奇函数，则a b +=______.【答案】3【解析】利用奇函数的定义计算出函数()y f x =在0x <时的解析式，可得出a 、b 的值，由此可计算出+a b 的值. 【详解】设0x <，则0x ->，所以()()21f x x f x -=--=-，所以()21f x x =+，所以()21,021,0x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，则213a b +=+=.故答案为：3. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式中的参数，考查运算求解能力，属于基础题.15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，c =，sin 2B B =，则角C =______.【答案】3π或23π 【解析】利用辅助角公式得出sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角B 的取值范围可求出B 的值，再利用正弦定理可求出角C 的值. 【详解】由sin 2B B =可得2sin 23B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 13B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0B Q π<<，4333B πππ∴<+<，则32B ππ+=，6B π∴=.由正弦定理得sin sin c B C b ==，又因为c b >，所以C B >，所以3C π=或23π. 故答案为：3π或23π. 【点睛】本题考查利用正弦定理求角，在利用正弦定理求角时，可能会存在两解，要注意大边对大角定理的应用，考查计算能力，属于基础题.16．已知四棱锥S ABCD -的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E 是BC 的中点，动点P 在棱锥表面上运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为______.【解析】先根据线面垂直确定点P 的轨迹，再解三角形得周长. 【详解】设底面的中心为O ，则SO ⊥面ABCD SO AC ∴⊥,由正方形ABCD 得,AC BD SO BD O AC ⊥=∴⊥I 面SBD取SC ，CD 的中点为G ，F ，易得面//SBD 面GEF ，所以AC ⊥面GEF ，因此动点P 的轨迹为GEF ∆，因为1,2223SO BD BOSB ==∴=∴=32GE GF ∴==，2EF =，因此动点P 的轨迹的周长为32+.32【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112a =，12n n n a S S -=-⋅（2n ≥）. （1）证明：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求1221111n S S S ++++L . 【答案】（1）见解析（2）()221n +【解析】（1）先根据和项与通项关系化简条件得11112n n S S --=，再根据等差数列定义证明；（2）先求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，再根据等差数列求和公式得结果. 【详解】（1）因为12n n n a S S -=-⋅（2n ≥），所以112n n n n S S S S ---=-⋅，可得11112n n S S --=，所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11112S a ==为首项，以2d =为公差的等差数列所以()()11112212n n d n n S S =+-=+-= （2）()()1321111212322121321n n n S S S ++++=⨯+⨯+++=++++⎡⎤⎣⎦L L L ()()()211212212n n n +++=⨯=+【点睛】本题考查等差数列定义以及等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.18．甲、乙两个排球队在采用5局3胜制排球决赛中相遇，已知每局比赛中甲获胜的概率是35. （1）求比赛进行了3局就结束的概率；（2）若第1局甲胜，两队又继续进行了X 局结束比赛，求X 的分布列和数学期望【答案】（1）725；（2）分布列见解析，()366125E X =. 【解析】（1）根据题意可知，比赛进行了3局就结束包含两种情况：一是3局全都是甲赢，二是3局全都是乙赢，然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有2、3、4，利用独立事件的概率乘法公式计算出X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的概率分布列，进而可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）由题意知，每局比赛中乙胜的概率是25，比赛进行了3局就结束包括甲3:0胜和乙3:0胜两种情况，所以所求概率为333275525P ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意知X 的可能取值为2、3、4，()2392525P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31232323684435555125125125P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯+=+= ⎪⎝⎭，()22113332332210872180364555555625625625125P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，随机变量X 的分布列为X234P9254412536125所以()9443636623425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查随机变量分布列与数学期望的计算，同时也考查了利用独立事件的概率乘法公式计算概率，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=o ，点D 是棱AC 的中点，AC BD ⊥，点E 是棱AP 上一点，且ADE APC ∠=∠.（1）证明：AP ⊥平面BDE ；（2）若1BD =，3PA =，点F 在棱PB 上，且23FB PB =，求直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1415.【解析】（1）证明BD ⊥平面PAC ，可得出PA BD ⊥，再证明ADE APC ∆∆:可得出DE PA ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，然后以点D 为坐标原点，DB 、DA 、DG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，计算出DF u u u r的坐标，并计算出平面BDE 的法向量，利用空间向量法能计算出直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值. 【详解】（1）因为PC ⊥平面ABC ，且BD ⊂平面ABC ，所以PC BD ⊥，又AC BD ⊥，PC AC C =I ，所以BD ⊥平面PAC ，AP ⊂Q 平面PAC ，故AP BD ⊥，因为ADE APC ∠=∠，PAC DAE ∠=∠，ADE APC ∴∆∆:，因为PC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PC AC ⊥，所以90AED ACP ∠=∠=o ，所以AP DE ⊥，又BD DE D ⋂=，AP ∴⊥平面BDE ；（2）因为1BD =，3PA =，则1AD CD ==，5PC =，过点D 作PC 的平行线交PA 于点G ，因为PC ⊥平面ABC ，所以DG ⊥平面ABC ，又因为BD AC ⊥，故可以DB 、DA 、DG 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则部分点坐标为：()0,0,0D ，()1,0,0B ，()0,1,0A ，(0,5P -，则()1,0,0DB =u u u r，(0,5DP =-u u u r ，(0,5AP =-u u u r ，因为点F 在棱PB 上，且23FB PB =，则23FB PB =u u u r u u u r ，则()23DB DF DB DP -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即有2133DF DP DB =+u u u r u u u r u u u r，即1225,33DF ⎛=- ⎝⎭u u u r ，由（1）知AP ⊥平面BDE ，则AP u u u r为平面BDE 的一个法向量，设直线DF 与平面BDE 所成角为θ，则14sin cos ,15DF AP DF AP DF APθ⋅=<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u ur u u u r ，即直线DF 与平面BDE 所成角的正弦值为1415. 【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．在平面直角坐标系xOy 中，直线():100l x my m -+=≠交椭圆22:143x y C +=于A 、B 两点，且线段AB 的中点为P ，直线OP 与椭圆C 交于M 、N 两点（1）求直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）若2AP PM PN =⋅，求直线l 的方程. 【答案】（1）34-；（2）330x ±+=. 【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，将点A 、B 的坐标代入椭圆的方程，并将所得两式相减，利用点差法可计算出直线l 与直线OP 斜率的乘积；（2）将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x ，列出韦达定理，求出点P 的坐标，计算出2214AP AB =，由（1）可知，直线OP 的方程为34m y x =-，与椭圆C 的方程联立，求出2MN ，再由2AP PM PN =⋅可得出关于m 的方程，解出即可得出直线l 的方程. 【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()2222121211043x x y y -+-=，即()()()()121212121143x x x x y y y y -+=--+，所以01212034x y y x x y -=-⋅-，所以01212034AB OP y y y k k x x x -=⋅=--；（2）直线l 的方程为1x my =-，与椭圆C 联立得221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去x 得()2234690m y my +--=，所以122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12023234y y m y m +==+，所以2243,3434m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，()()()222222222169916343434m m OP m m m +=+=+++，()2212134m AB m +==+，所以()()2222223611234m AP AB m +⎛⎫==⎪⎝⎭+，直线OP 的方程为：34y mx =-，联立2214334x y y mx⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得221634x m =+ 而()()22222224916169162434163434m m MNOM m m m +⎛⎫==+⋅= ⎪+++⎝⎭， ()()()2222214AP PM PN OM OP ON OP OM OPMN OP ==-+=-=-Q ，所以()()()()222222222361491619164343434m m m m m m +++=⋅-+++，所以()22121916m m +=+，所以243m m =⇒=所以直线l 的方程为1x=-，即330x ±+=. 【点睛】本题考查利用点差法求解直线斜率的乘积问题，同时也考查了利用弦长的关系式求直线方程，考查运算求解能力，属于中等题.21．已知函数()()()()21ln 1102x e f x x a x a a =-+-+>的导函数为()g x .（1）求()g x 的最小值；（2）若a e =，实数1x 、2x 满足121x x <<且()()121f x f x +=，证明：122x x +<. 【答案】（1）0；（2）证明见解析.【解析】（1）求出函数()y g x =的解析式，利用导数分析函数()y g x =在R 上的单调性，可得出函数()y g x =的最小值；（2）由题意得出()112f =，构造函数()()()21F x f x f x =+--，利用导数证明出函数()y F x =在[)1,+∞上单调递增，由()()210F x F >=可得出()()212f x f x ->，再由函数()y f x =在(),-∞+∞上为增函数可得出122x x +<.【详解】（1）()()1ln 1x g x f x e x a a '==⋅-+-，则()11x x e ag x e a a-'=⋅-=. 当ln x a <时，()0g x '<，则函数()y g x =在(),ln a -∞上单调递减；当ln x a >时，()0g x '>，则函数()y g x =在()ln ,a +∞上单调递增. 则()()ln min 1ln e ln ln 10ag x g a a a a==⋅-+-=，因此，函数()y g x =的最小值为0；（2）当a e =时，()2112x f x e x e =⋅-⋅，由（1）可知()0g x ≥，则函数()y f x =在(),-∞+∞内单调递增，且()112f =，构造()()()()222111121222x x F x f x f x e x e x e e -=+--=⋅-⋅+⋅-⋅-，22122x x e e x x e e ⎛⎫=⋅+-+- ⎪⎝⎭，令()()2122x x e G x F x e x e e ⎛⎫'==⋅--+ ⎪⎝⎭，则()21220x x e G x e e e ⎛⎫'=⋅+-≥= ⎪⎝⎭，故函数()y G x =在(),-∞+∞内单调递增，又()10G =，故对任意1x >，都有()()0G x F x '=>，即函数()y F x =在[)1,+∞内单调递增，又()()12110F f =-=，所以对任意1x >，都有()0F x >，取2x x =有()()()222210F x f x f x =+-->，即()()2221f x f x ->-，即()()212f x f x ->，因为函数()y f x =在[)1,+∞内单调递增，所以212x x ->，即122x x +<. 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用导数证明不等式，考查极值点偏移的问题，构造对称函数并利用导数分析对称函数的单调性是解答的关键，考查计算能力与推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2132x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=. （1）写出圆C 和直线l 的普通方程；（2）P 为直线l 上一点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 点的直角坐标. 【答案】（1）(223x y -+=，0x -+=（2）()0,3P【解析】（1）根据加减消元法得直线l 的普通方程，根据222,cos x y x ρρθ==+得圆C 的直角坐标方程；（2）根据两点间距离公式得PC ，再根据二次函数性质求最值，即得结果. 【详解】解：（1）直线l的直角坐标方程为：0x -+= 圆C的直角坐标方程为：(223x y -+=（2）设,3212P t +⎫⎪⎪⎝⎭，因为圆心)C所以PC ==当0t =时PC 的最小值为()0,3P . 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及参数方程简单应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题. 23．若a ，b ，()0,c ∈+∞，且1a b c ++= （1）证明：13ab bc ac ++≤（2）求()222149a b c +++的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14449【解析】（1）根据均值不等式以及三个数和的平方公式证明结果；（2）根据柯西不等式直接可得结果. 【详解】解：（1）因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，所以222ab bc ac a b c ++≤++，又因为()21a b c ++=，所以2222221a b c ab bc ac +++++=，所以13ab bc ac ++≤ 当且仅当13a b c ===时取等号. （2）因为()111123123a b c a b b ++=⋅++⋅+⋅- 所以()111123223a b b ⋅++⋅+⋅= 所以()()22211111122311492349a b b a b c ⎛⎫⎡⎤⋅++⋅+⋅≤+++++ ⎪⎣⎦⎝⎭ 所以()22214414949a b c +++≥，当且仅当2349a =，1849b =，849c =时取等号 ()222149a b c +++的最小值为14449. 【点睛】本题考查均值不等式以及柯西不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。

辽宁省大连市2020届高三双基测试数学(理)试题 PDF版含答案

12020年大连市高三双基测试数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）（A ）；（2）（B ）；（3）（D ）；（4）（A ）；（5）（C ）；（6）（B ）；（7）（D ）；（8）（C ）；（9）（B ）；（10）（D ）；（11）（C ）；（12）（C ），（D ）.二.填空题（13）2；（14）1-；(15) 16． 9,42π-.三.解答题（17）(本小题满分12分)解： (I)连接AC ，CE ，ACE ∆即为所求，…………3分 ∵ABCD 是菱形，AD AB ∴=，又PA AB =，AD PA ∴=， ∵E 为PD 中点，AE PD ∴⊥，同理CE PD ⊥，又AE CE E =，AE CE α⊂，，PD α∴⊥.………6分(II)连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，且O 为AC ，BD 中点，PA PC =，AC PO ∴⊥，同理BD PO ⊥，又=AC BD O ，⊂，平面AC BD ABCD ，PO ABCD ∴⊥面，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， ················································································· 7分设2PA PC AB ===，60ABC ∠=︒，2AC ∴=，BD =(0,1,0)A -，B ，(D，P (3,0,DP =，(3,1,0)AB=，AP =，大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连2PD α⊥，α∴平面的一个法向量为(3,0,DP =， ·················· 8分设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即00y y +==⎪⎩，设1x =，则y =，1z =，(1,=n ， ········································································ 10分设平面α与平面PAB 所成的锐二面角大小为θ，则cos |cos ,|||5|||6DPDP DP θ⋅====n n |n 综上平面α与平面PAB ······················· 12分(18)(本小题满分12分)解：（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列， 21212,421a a a a ∴=⋅∴=………2分又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，2121122a a ∴-=，………4分解得1228=⎧⎨=⎩a a ………6分方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列， 11(1)12,2n n n n a n n a a a nn++++∴=∴=①………2分又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列，11122n n n n a a ++∴-=②………4分由①②解得：2nn a n =⋅1228=⎧⎨=⎩a a ………6分大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院3 （Ⅱ）1122,21-=⋅=∴=⋅n n n n n a a a n n ………7分方法一：1231231222322=++++=⋅+⋅+⋅++⋅n n n S a a a a n 234121222322+∴=⋅+⋅+⋅++⋅n n S n ………9分两式作差可得：231112(12)222222(1)2212n nn n n n S n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 1(1)22n n S n +∴=-⋅+………12分方法二：12(22)2(24)2()n n n n a n n n n N -+=⋅=-⋅--⋅∈，………9分设1(24)2n n b n -=-⋅，则1n n n a b b +=-.122132111()()()(22)22n n n n n n S a a a b b b b b b b b n ++∴=+++=-+-++-=-=-⋅+， 1(1)22n n S n +∴=-⋅+………12分 (19)(本小题满分12分) 解：(I)设事件A 表示：辩论队员甲收到队长的通知信息，则3()8P A =，5()8P A =， ··························································· 1分设事件B 表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息，则3()8P B =，5()8P B =， ··························································· 2分设事件C 表示：辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息，则2539()1()()1()864P C P A P B =-=-=，所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为3964. ··················· 4分 (II)由题意可得随机变量X 可取值为3，4，5，6， ······························· 5分则3833881(3)56C P X C C ===⋅，211865338815(4)56C C C P X C C ⋅⋅===⋅， 122875338815(5)28⋅⋅===⋅C C C P X C C ，338533885(6)28⋅===⋅C C P X C C ， ················· 9分所以随机变量X 的分布列为：大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院4························ 10分其数学期望11515539()3456565628288=⨯+⨯+⨯+⨯=E X ··················· 12分(20) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）2222121(2)1()(1)(1)(1)x a a x a x x g x x x x x x ++++++'=+==+⋅++………1分 10,222x x a a x >∴+++≥++，∴4a ≥-时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，没有单调递减区间.……………2分 4a <-时，设2()(2)1m x x a x =+++，则对称轴2020,402a xa a +=->∆=+>，解不等式()0m x >可得：(2)2a x -+>，或(2)2ax -+<. 所以此时()g x 的单调递增区间为(2)(0,2-+a 和(2)()2a -+++∞，单调递减区间是.………3分综上： 4a ≥-时，单调递增区间是(0,)+∞，没有单调递减区间； 4a <-时，单调递增区间为和)+∞，单调递减区间是(2)(2)(22a a -+-++.………4分（Ⅱ）（i ）1()()(1)ln(1)x h x f x f x ax e x ax -=-+-=-+-， 1()1x h x e a x '∴=--+在(0,)+∞单调递增，又因为(0)0h a '=-<， ln(1)1ln(1)(ln(1))0ln(1)1ln(1)1a a h a e a a a ++'+=--=>++++，大连教育学院大连教育学院大育学院连教育学院大连教育学院育学院50(0,ln(1))x a ∴∃∈+，使得0()0h x '=，且0(0,)x x ∈时，()0h x '<，0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x ∴在0(0,)x 单调递减，0(,)x +∞单调递增，()h x 在(0,)+∞上有且仅有一个零点，所以此零点为极小值点0x .………8分（ii ）由（i ）得00()0()0'=⎧⎨=⎩h x h x ，即00000101ln(1)0x x e a x e x ax ⎧--=⎪+⎨⎪-+-=⎩，解得：0011x a e x =-+，且00000(1)ln(1)01x x x e x x -⋅-++=+.………9分设()(1)ln(1)1x x u x x e x x =-⋅-+++，（(0,ln(1))x a ∈+） 22111()()1(1)(1)x x u x x e x e x x x '=-⋅-+=-⋅++++，则()u x 在(0,ln(1))x a ∈+单调递减.因为131()ln 0223u =+>，1(1)ln 202u =-+<，01(,1)2x ∴∈.………11分又因为1()1x v x e x =-+在1(,1)2单调递增，12121(),(1)232v e v e =-=-， 122132e a e ∴-<<-………12分 (21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵12c a =，∴2222143x y c c +=，又∵椭圆E 经过点3(1,)2， ∴1c =，∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ··································· 3分（Ⅱ）方法一：l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆>解得2234+>k m ，且21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++. ······ 4分大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院6 ∴12121212922224++⋅=⋅=⋅=-++++AC AD y y kx m kx m k k x x x x ， 221212(49)(418)()4360k x x km x x m ∴++++++=，222224128(49)(418)43604343m km k km m k k --+++⋅++=++ ····················· 6分化简可得：22230k km m -+=∴k m =或2k m =（舍），满足0∆> ··· 7分 ∴直线l 的方程为y kx k =+， ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································ 8分方法二：设l 的方程为x my n =+，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组22143⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my n ，化简得222(34)63120m y mny n +++-=， 0∆>解得：2234m n +>，且21212226312,3434mn n y y y y m m --+=⋅=++ ······ 4分 12121212922(2)(2)4AC AD y y y y k k x x my n my n ⋅=⋅==-++++++， 221212(94)9(2)()9(2)0m y y m n y y n ∴++++++=， ······················· 6分 222223126(94)9(2)9(2)03434n mn m m n n m m --∴+++⋅++=++ 化简可得：2320n n ++=，1n ∴=-或者2n =-（舍）满足0∆> ······· 7分 ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································ 8分方法三：设2'=-⎧⎨'=⎩x x y y ，则有22(2)()143''-+=x y ，22()()043'''∴-+=x y x ，设l 方程为1''+=mx ny ，22()()()043'''''∴-++=x y x mx ny ，大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院7 21034∴-+-=k nk m ，12194143-∴==-m k k ，1∴=m ， :1''∴+=l x ny ， 21∴++=x ny ，1∴+=-x ny ， ∴直线l 经过定点(1,0)-. ······························································ 8分（Ⅲ）方法一：l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得222(43)84120k x kmx m +++-=，由22=48(43)0∆-+>k m ，且21212228412,4343km m x x x x k k --+=⋅=++. ∵0++=OC OD OB ，∴点1212(,)B x x y y ----，又∵点B 在椭圆E 上，∴221212()()143----+=x x y y ， ∴222211221212221434343+++++=x y x y x x y y ， ∴12121432+=-x x y y . 222212121223(4)=()43-+++=+m k y y k x x km x x m k 2222222341,443043432--+=-∴--=++m m k m k k k …………………………9分212||||4==m CD m .……………10分点B 到直线l 距距离=d …………………………………………………11分大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连院大连教育学院.19||22∆==BCD S CD d . 方法二：前面同法一点O 到直线l距离d =…………………………………………………11分∴13||2OCD S CD d∆==，∴932BCD OCD S S ∆∆==. ……………………………12分方法三：设(2cos),(2cos )C D ααββ，∵0++=OC OD OB ，∴点(2cos 2cos ,)Bαβαβ--，又∵点B 在椭圆E 上，∴2(2cos 2cos )1,4αβ--+= ∴1cos()2αβ-=-，…………………………10分1|(2cos 2cos ))2BCDS αβαβ∆=--⨯-112cos )(2cos )|22ααββ---⨯(-）（………………………11分 3sin()|2αβ=-=，∴932BCD OCDS S ∆∆==. ……………………………12分(22)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：(I) 2sin 4cos ρθθ=，22sin 4cos ρθρθ∴=， ∴曲线C 的直角坐标方程为24y x =， ············································· 3分直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， ······························ 5分大连教育学院连教育学院大连育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院(II) 2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩与24y x =联立可得：22sin 4cos 80t t αα--=，0∆>，1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α=-，所以224212122222221212216cos 16()21111161sin sin 8||||()644()sin αααα++-+=+====-t t t t MA MB t t t t ．·································································································· 10分 (23)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲证明：（Ⅰ）3332+2()≥=a b ab ， 223333+()842∴≤==a bab ……5分 (II)方法一：∵3322+()()=+-+=a b a b a ab b 2()[()3]a b a b ab++- 22331()[()()]()44≥++-+=+ab a b a b a b ． ∴+4a b ≤． ··········································································· 10分方法二：∵333+2+234a a ≥⨯……………① ∵333+2+234≥⨯b b ……………② 由①+②得4812()a b ≥+． ∴+4a b ≤． ··········································································· 10分大连教大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院大连教育学院。

2020届辽宁省大连市高三双基考试数学（理科）试题（解析版）

“连续 10 日，每天新增疑似病例不超过 7 人”.过去 10 日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：总体平均数为 3，中位数为 4；乙地：总体平均数为 1，总体方差大于 0；
丙地：总体平均数为 2，总体方差为 3；丁地：中位数为 2，众数为 3；
则甲、乙、两、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（）
2
3
对于 C, y cos 2x 的最小正周期为 4 ,所以 C 错误;
对于 D, y tan x 的最小正周期为 ,在区间 π , π 上单调递增,所以 D 错误.
2
综上可知,B 为正确选项. 故选:B 【点睛】本题考查了函数的周期性与单调性的应用,根据解析式及函数的图像即可判断,属于基础题.
即 M 的横坐标是 6
故选:C 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,过焦点的直线与弦长关系,中点坐标公式及梯形中位线性质的应用,属于基础题.
9.一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形，高 1.8 米，体积 0.5 立方米，其底部是直径为 0.9 米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔 0.3 米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔 0.2 米，气体每立方米
代入可得 2
22
4c 16a 4a 2 4a 2a cos120o
化简可得 c2 7a2
c2 所以双曲线的离心率为 e a2 7
故选:D 【点睛】本题考查了双曲线的定义及简单应用,双曲线中焦点三角形中余弦定理的应用,双曲线离心率的求法, 属于基础题.
11.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是

2020年辽宁省大连市甘井子区中考数学双基试卷解析版

2020年辽宁省大连市甘井子区中考数学双基试卷一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确1．2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．3．今年参加国庆70周年阅兵的受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次，将15000用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×104D．15×1034．在平面直角坐标系中，将点A（1，3）向右平移3个单位长度，得到的点A′的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（4，3）C．（1，6）D．（1，0）5．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．正五边形D．矩形7．计算（﹣3x2）•2x3的结果是（）A．﹣5x6B．﹣6x6C．﹣5x5D．﹣6x58．不透明袋子中装有红色、黑色扑克牌各一张，除颜色外无其他差别，随机摸出一张牌后，放回并摇匀，再随机摸出一张，两次都摸到黑色牌的概率为（）A．B．C．D．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，将矩形沿对角线AC折叠，则△ACE的面积为（）A．156B．78C．60D．3010．如图，抛物线y＝x2+2x﹣1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（）A．2B．3C．4D．二、填空題（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，则∠2＝°．12．射击比赛中，10名选手的射击成绩如图所示，这些选手成绩的众数是．13．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，若AB＝4，则DE的长为．14．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有兽，六首四足；禽，四首二足六首，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？”其大意为：今有一只怪兽，有6个头4只脚；一只怪鸟，有4个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚．问：怪鸟、怪兽各有多少？若设有x只怪兽，有y只怪鸟，根据题意，可列方程组为．15．某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和（精确到0.1m．参底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为m．考数据：≈1.414，≈1.732）16．甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒，在跑步过程中，图1是乙离开起点后跑的路程y（单位：米）与所用时间t（单位：秒）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s（单位：米）与乙跑步所用时间t（单位：秒）的函数图象，则b﹣a＝．三.解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（+1）2﹣+2．18．（9分）计算：．19．（9分）如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E，求证：∠A＝∠D．20．（12分）某校为了解九年级学生“英语听力”成绩的情况，对九年级所有学生进行了一次英语听力的模拟测试，并随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行分析，以下是根据被抽取学生的成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率A240.3BCD4合计1根据以上信息解答下列问题：（1）被抽取的学生中，成绩等级为“A”的人数为人，成绩等级为“C”的人数占被抽取的学生总人数的百分比为%；（2）被抽取的学生总人数为人，成绩等级为“D”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比为%；（3）若该校九年级学生一共有600人，请估计该校九年级学生“英语听力”模拟测试成绩等级为“B”的人数．四.解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）随着全国人民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹的销售量逐年下降，某市2018年销售烟花爆竹10万箱，到2020年烟花爆竹的销售量为6.4万箱．（1）求该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率；（2）假设2021年该市烟花爆竹年销售量的平均下降率与前两年的年平均下降率相同，请你预测该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是多少万箱？22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，点B在OA的延长线上，BD⊥y轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若S△ACD＝，设点D的坐标为（0，m），求线段BC的长．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB、AD 的延长线分别相交于点E、F，且EF⊥AF．（1）求证：∠ABC+∠DCF＝90°；（2）若AF＝3，EF＝4，求⊙O的半径．五.解答题（本题共3小题，其中24小题11分，25、26小题各12分，共35分）24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别相交于点A，B，点P在射线AO上（不与原点重合），点C在射线AB上，且AC＝OP，以AP，AC为邻边作▱ACDP．设点P的坐标为（m，0），▱ACDP在y轴右侧部分的面积为S．（1）求△AOB的面积；（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD ⊥BC，且BC＝kBD，连接CD，作BE⊥CD，连接AE，探究线段AE与BD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法．小明：“通过观察和度量，发现∠ACD与∠CBE相等”；小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理计算，可以得到线段AE与BD的数量关系”；……老师：“保留原题条件，若k＝2，在图1中作CG⊥AE，垂足为F，AG⊥AC，AG、BE 的延长线分别与CG相交于点G，H（如图2），可以求出的值”．（1）求证：∠ACD＝∠CBE；（2）探究线段AE与BD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）若k＝2，求的值．26．（12分）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m．（1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝1，当﹣≤x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式；（3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y 轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．2020年辽宁省大连市甘井子区中考数学双基试卷参考答案与试题解析一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确1．2的绝对值是（）A．2B．﹣2C．D．﹣【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵2＞0，∴|2|＝2．故选：A．2．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是3个小正方形，第二层左边一个小正方形．故选：A．3．今年参加国庆70周年阅兵的受阅官兵约15000名，是近几次阅兵中规模最大的一次，将15000用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．0.15×105C．1.5×104D．15×103【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．【解答】解：15000＝1.5×104，故选：C．4．在平面直角坐标系中，将点A（1，3）向右平移3个单位长度，得到的点A′的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（4，3）C．（1，6）D．（1，0）【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：将点A（1，3）向右平移3个单位长度，得到对应点B，则点B的坐标是（1+3，3），即（4，3），故选：B．5．不等式2x﹣1≤3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵2x﹣1≤3，∴2x≤3+1，2x≤4，x≤2，故选：B．6．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．正五边形D．矩形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、直角三角形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；B、等腰直角三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C、正五边形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．7．计算（﹣3x2）•2x3的结果是（）A．﹣5x6B．﹣6x6C．﹣5x5D．﹣6x5【分析】根据单项式乘以单项式法则求出即可．【解答】解：（﹣3x2）•2x3＝﹣6x5，故选：D．8．不透明袋子中装有红色、黑色扑克牌各一张，除颜色外无其他差别，随机摸出一张牌后，放回并摇匀，再随机摸出一张，两次都摸到黑色牌的概率为（）A．B．C．D．【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：∴两次都摸到黑色牌的概率为，故选：A．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝18，将矩形沿对角线AC折叠，则△ACE的面积为（）A．156B．78C．60D．30【分析】根据矩形的性质和等腰三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵在矩形ABCD中，∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝18，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，由折叠得：∠DAC＝∠EAC，∴∠CAE＝∠ACE，∴AE＝CE，设AE＝x＝EC，则BE＝18﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：（18﹣x）2+122＝x2，解得：x＝13，∴△ACE的面积：×13×12＝78，故选：B．10．如图，抛物线y＝x2+2x﹣1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（）A．2B．3C．4D．【分析】求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解．【解答】解：函数的对称轴为直线x＝﹣1，∵CD∥AB，∴CD＝1×2＝2，故选：A．二、填空題（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，AB∥CD，CE∥GF，若∠1＝60°，则∠2＝60°．【分析】先根据平行线的性质，得∠1与∠2都等于同一个角∠CEF，再由等量代换求得∠2的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CEF，∵CE∥GF，∴∠2＝∠CEF，∴∠2＝∠1，∵∠1＝60°，∴∠2＝60°，故答案为：60．12．射击比赛中，10名选手的射击成绩如图所示，这些选手成绩的众数是9环．【分析】根据众数定义可得答案．【解答】解：射击比赛中，10名选手的射击成绩如图所示，这些选手成绩的众数是9环，故答案为：9环．13．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，垂足为D，延长BC至点E，使CE＝CD，连接DE，若AB＝4，则DE的长为2．【分析】首先利用等边三角形的性质计算BD长，再证明DE＝BD，进而可得DE的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵BD⊥AC，∴CD＝AC＝2，∠DBC＝30°，∴BD＝＝2，∵CE＝CD，∠ACB＝60°，∴∠E＝∠CDE＝30°，∴∠E＝∠DBC，∴DB＝DE＝2．故答案为：2．14．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有兽，六首四足；禽，四首二足六首，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？”其大意为：今有一只怪兽，有6个头4只脚；一只怪鸟，有4个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚．问：怪鸟、怪兽各有多少？若设有x只怪兽，有y只怪鸟，根据题意，可列方程组为．【分析】直接利用有76个头，有46只脚，分别得出等式进而组成方程组得出答案．【解答】解：设有x只怪兽，有y只怪鸟，根据题意，可列方程组为：．故答案为：．15．某矩形交通指示牌CDEF如图所示，AB的距离为5m，从A点测得指示牌顶端D点和（精确到0.1m．参底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度CD约为 3.7m．考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】根据已知和tan∠DAB＝，求出DB，根据∠CAB＝45°，求出BC，根据CD ＝DB﹣BC求出CD即可．【解答】解：在Rt△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝5，∵tan∠DAB＝，∴BD＝5•tan60°＝5，在Rt△BAC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝5，∴CD＝BD﹣BC＝（5﹣5）m≈3.7（m）．故答案为：3.7．16．甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒，在跑步过程中，图1是乙离开起点后跑的路程y（单位：米）与所用时间t（单位：秒）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s（单位：米）与乙跑步所用时间t（单位：秒）的函数图象，则b﹣a＝23．【分析】根据题意和函数图象，可以得到甲和乙的速度，再根据函数图象中的数据，即可得到a和b的值，然后即可得到b﹣a的值，本题得以解决．【解答】解：由图1可得，乙的速度为500÷100＝5（米/秒），由题意可得，a＝100，甲的速度为8÷2＝4（米/秒），b＝500÷4﹣2＝125﹣2＝123，故b﹣a＝123﹣100＝23，故答案为：23．三.解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）计算：（+1）2﹣+2．【分析】直接利用完全平方公式以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝2+1+2﹣3+2×＝2+1+2﹣3+＝3．18．（9分）计算：．【分析】分式分母能约分的先约分，然后把除法运算转化成乘法运算，再进行加减运算．【解答】解：原式＝＝＝＝．19．（9分）如图，点C，F在BE上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E，求证：∠A＝∠D．【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得结论．【解答】证明：∵BF＝CE，∴BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．20．（12分）某校为了解九年级学生“英语听力”成绩的情况，对九年级所有学生进行了一次英语听力的模拟测试，并随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行分析，以下是根据被抽取学生的成绩绘制的统计图表的一部分．成绩等级频数（人）频率A240.3BCD4合计1根据以上信息解答下列问题：（1）被抽取的学生中，成绩等级为“A”的人数为24人，成绩等级为“C”的人数占被抽取的学生总人数的百分比为20%；（2）被抽取的学生总人数为80人，成绩等级为“D”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比为5%；（3）若该校九年级学生一共有600人，请估计该校九年级学生“英语听力”模拟测试成绩等级为“B”的人数．【分析】（1）根据统计表即可得到答案；（2）利用A的人数除以对应频率可求此次抽查了80名学生的成绩，用4除以80乘以100%即可求得成绩等级为“D”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比；（3）先得到B的频率，再乘以600即可求解．【解答】解：（1）根据统计图表可知：被抽取的学生中，成绩等级为“A”的人数为24人，成绩等级为“C”的人数占被抽取的学生总人数的百分比为20%；故答案为24，20；（2）被抽取的学生总人数为：24÷0.3＝80（名）．成绩等级为“D”的学生人数占被抽取学生总人数的百分比为：×100%＝5%，故答案为80，5；（3）被抽取的学生总人数中，成绩等级为“C”的学生人数80×20%＝16，频率为：＝0.2，被抽取的学生总人数中，成绩等级为“D”的学生人数是4人，频率为：＝0.05，成绩等级为“B”的的人数对应的频率为1﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.45，600×0.45＝270（人），估计该校九年级学生“英语听力”模拟测试成绩等级为“B”的人数为270人．四.解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）随着全国人民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹的销售量逐年下降，某市2018年销售烟花爆竹10万箱，到2020年烟花爆竹的销售量为6.4万箱．（1）求该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率；（2）假设2021年该市烟花爆竹年销售量的平均下降率与前两年的年平均下降率相同，请你预测该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是多少万箱？【分析】（1）设该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意得等量关系：10万箱×（1﹣下降率）2＝6.4万箱，根据等量关系列出方程，再解即可；（2）根据（1）中的数据进行计算即可．【解答】解：（1）设该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意得：10（1﹣x）2＝6.4，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去），答：该市2018年到2020年烟花爆竹年销售量的平均下降率20%；（2）6.4×（1﹣20%）＝5.12（万箱），答：该市2021年春节期间的烟花爆竹销售量是5.12万箱．22．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，）在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，点B在OA的延长线上，BD⊥y轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD．（1）求该反比例函数的解析式．（2）若S△ACD＝，设点D的坐标为（0，m），求线段BC的长．【分析】（1）把A点代入y＝中求出k得到反比例函数解析式；（2）先利用待定系数法求∴直线OB的解析式为y＝﹣x，再表示出C（﹣，m），利用三角形面积公式得到×（m﹣）×＝，解得m＝3，则C（﹣1，3），然后计算出B点坐标，从而得到BC的长．【解答】解：（1）把A（﹣2，）代入y＝（x＜0）得k＝﹣2×＝﹣3，∴反比例函数解析式为y＝﹣（x＜0）；（2）设直线OB的解析式为y＝tx，把A（﹣2，）代入得＝﹣2t，解得t＝﹣，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，∵DB∥y轴，点D的坐标为（0，m），∴C点的纵坐标为m，当y＝m时，m＝﹣，解得m＝﹣，则C（﹣，m），∵S△ACD＝，∴×（m﹣）×＝，解得m＝3，∴C（﹣1，3），当y＝3时，﹣x＝3，解得x＝﹣4，∴B（﹣4，3），∴BC＝﹣1﹣（﹣4）＝3．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB、AD 的延长线分别相交于点E、F，且EF⊥AF．（1）求证：∠ABC+∠DCF＝90°；（2）若AF＝3，EF＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）由圆的内接四边形的性质可证∠ABC＝∠CDF，由直角三角形的性质可得结论；（2）通过证明△ECO∽△EF A，可得，可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ABC＝∠CDF，∵∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ABC+∠DCF＝90°；（2）如图，连接OC，∵AF＝3，EF＝4，∴AE＝＝＝5，∵EF是⊙O的切线，∴OC⊥EF，∴∠ECO＝∠EF A＝90°，又∵∠E＝∠E，∴△ECO∽△EF A，∴，∴，∴AO＝，∴⊙O的半径为．五.解答题（本题共3小题，其中24小题11分，25、26小题各12分，共35分）24．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别相交于点A，B，点P在射线AO上（不与原点重合），点C在射线AB上，且AC＝OP，以AP，AC为邻边作▱ACDP．设点P的坐标为（m，0），▱ACDP在y轴右侧部分的面积为S．（1）求△AOB的面积；（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【分析】（1）由直线解析式求得点A，B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（2）分四种情况：m≤﹣2；﹣2＜m＜0；0＜m＜2；2≤m＜3．画出图形，数形结合进行解答．【解答】解：（1）∵y＝﹣x+4，∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3，∴直线y＝﹣x+4与x轴的交点A的坐标为（3，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴S△AOB＝＝＝6；（2）∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，当AC≥5时，即OP≥5，∴OP≥2，∴|m|≥2，∴m≥2或m≤﹣2，∵m＜3，当2≤m＜3时，如图1，∵PD∥AC，∴＝，即OE＝，∵点P的坐标为（m，0），OA＝3，OB＝4，∴OE＝，∴S△POE＝＝•＝m2，∴S＝S△AOB﹣S△POE＝6﹣m2，∴S＝﹣m2+6（2≤m＜3）．当m≤﹣2时，如图2，则S＝（m≤﹣2），当AC＜5时，即OP＜5，∴OP＜2，∴|m|＜2，∵m≠0，∴0＜m＜2，或﹣2＜m＜0当﹣2＜m＜0时，如图3，∵FC∥OA，∴＝，即，∴BF＝4+2m，FC＝3+m，∴S＝，即S＝﹣（﹣2＜m＜0），当0＜m＜2时，如图4，∵FC∥OA，∴＝，即，∴BF＝4+2m，FC＝3+m，∵PE∥AB，∴，即，∴，∴S＝S△AOB﹣S△POE﹣S△BCF＝6﹣即S＝﹣（0＜m＜2），综上，S＝6（m≤﹣2）或S＝﹣（﹣2＜m＜0）或S＝﹣（0＜m＜2）或S＝﹣m2+6（2≤m＜3）．25．（12分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD ⊥BC，且BC＝kBD，连接CD，作BE⊥CD，连接AE，探究线段AE与BD的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法．小明：“通过观察和度量，发现∠ACD与∠CBE相等”；小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理计算，可以得到线段AE与BD的数量关系”；……老师：“保留原题条件，若k＝2，在图1中作CG⊥AE，垂足为F，AG⊥AC，AG、BE 的延长线分别与CG相交于点G，H（如图2），可以求出的值”．（1）求证：∠ACD＝∠CBE；（2）探究线段AE与BD的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；（3）若k＝2，求的值．【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可．（2）如图1中，过点A作AH⊥CD于H．证明△ACH≌△CBE（AAS），推出CH＝BE，AH＝CE，由BC＝kBD，CB⊥BD，推出tan∠DCB＝＝＝，推出CE＝kBE，AH ＝kBE，解直角三角形求出AE，再利用面积法求出BE（用BD表示）可得结论．（3）证明△ACM≌△ABE，推出CM＝BE，AM＝CE，由题意EC＝2BE，推出CM＝EM，设CM＝EM＝a，则AH＝EC＝2a，利用相似三角形的性质求出FH，GH（用a表示）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵BE⊥CE，∴∠ECB+∠CBE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∴∠ACD＝∠CEB．（2）结论：AE＝•BD．理由：如图1中，过点A作AH⊥CD于H．∵∠ACH＝∠CBE，∠AHC＝∠CEB＝90°，CA＝CB，∴△ACH≌△CBE（AAS），∴CH＝BE，AH＝CE，∵BC＝kBD，CB⊥BD，∴∠CEB＝∠CBD＝90°，∴tan∠DCB＝＝＝，∴CE＝kBE，AH＝kBE，∴AE＝＝＝•BE，∵BC＝kBD，∴CD＝＝•BD，∴BE＝＝＝•BD，∴AE＝•BD．（3）如图2中，过点A作AM⊥CD于M．∵△ACM≌△ABE，∴CM＝BE，AM＝CE，∵k＝2，∴EC＝2BE，∴CM＝EM，设CM＝EM＝a，则AM＝EC＝2a，∴AC＝AE＝＝a，∵•EC•AM＝•AE•CF，∴CF＝＝a，∵∠ECF＝∠ECH，∠CFE＝∠CEH＝90°，∴△CFE∽△CEH，∴EC2＝CF•CH，∴CH＝＝a，∴FH＝CH﹣CF＝a﹣a＝a，同法可得：CA2＝CF•CG，∴CG＝＝a，∴GH＝CG﹣CH＝a﹣a＝a，∴＝＝．26．（12分）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m．（1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）若a＝1，当﹣≤x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式；（3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y 轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围a≤﹣或0＜a≤或a≥1．【分析】（1）先将函数C1写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出n＝0时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数C2的顶点坐标；（2）先由a＝1得出函数C1的解析式，再分段讨论：①当﹣≤x≤时，②当m＞时，从而可解得m的值，则可求得C2的解析式；（3）先得出n＝1时点A，B，D的坐标，再分①当a＞0时，②当a＜0时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9a）．∵当n＝0时，点P的坐标为（0，0），∴新函数C2的顶点坐标为（﹣2，9a）；（2）∵a＝1，∴函数C1：y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9）．把x＝﹣代入函数C1，得：y1＝（﹣）2﹣4×（﹣）﹣5＝，根据抛物线的对称性可知，当x＝时y2＝．①当﹣≤x≤时，y1+y2＜7，不符合题意，舍去）．②当m＞时，y2＝﹣9，y1＝m2﹣4m﹣5，∴y1+y2＝m2﹣4m﹣5﹣9＝7，解得m1＝7，m2＝﹣3（不合题意，舍去）．∴y2＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3，∴C2的解析式为y2＝﹣x2﹣4x+3；（3）∵n＝1，函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，∴函数C2：y2＝﹣a（x+2）2+2+9a，∵当y2＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y2＝5a+2，∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5a+2）．∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5a，2）．①当a＞0时，当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图1：∴﹣5a≤﹣5，∴a≥1；当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图2：∴5a+2≤3，解得a≤，∴0＜a≤．②当a＜0时，点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图3：∴﹣5a≥1，∴a≤﹣．综上所述，a≤﹣或0＜a≤或a≥1．。

辽宁省大连市2020届高三数学下学期第一次(3月)双基测试试题文(含解析)

辽宁省大连市2020届高三数学下学期第一次（3月）双基测试试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. 1，C. D. 0，1，2，3，【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果.【详解】∵A={0，1，2，3，4}，B={-1，0，1，2}；∴A∩B={0，1，2}．故选：B．【点睛】这个题目考查了集合的交集的概念和运算，属于基础题.2.i（1+i）=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i（1+i）=i-1．故选：A．【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础.3.已知直线n与平面α，β，若n⊂α，则“n⊥β”是“α⊥β”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据课本的面面垂直的判定得到若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，进而得到答案.【详解】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”，若n⊂α，α⊥β，则n不一定垂直β，也可能平行，故n⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选：A．【点睛】这个题目考查了充分不必要条件的判断，判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p 是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的周期公式得到结果.【详解】根据三角函数的周期公式的求法，得到：函数，∵ω=2，∴T=π．故选：B．【点睛】这个题目考查了三角函数的周期公式的应用，题目比较简单.存在周期性，其最小正周期为T=.5.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（）A. 乙班的理科综合成绩强于甲班B. 甲班的文科综合成绩强于乙班C. 两班的英语平均分分差最大D. 两班的语文平均分分差最小【答案】D【解析】【分析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.【详解】由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确，甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项正确，两班的英语平均分分差最大，即选项正确，两班地理平均分分差最小，即选项错误，故选D.【点睛】本题考查了对图象数据的处理能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.6.已知2，b，8是等比数列，则实数b=（）A. 6B. 4C.D. 4或【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的性质的得到，进而得到结果.【详解】∵2，b，8成等比数列，根据等比数列的性质得到：∴b=±4．故选：D．【点睛】这个题目考查了等比数列的性质的应用，题目比较简单基础.7.函数y=（x∈R）的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质以及反比例函数的图像的性质得到结果.【详解】因为2x＞0，所以由2x+1＞1，再由反比例图象的性质得到：0＜＜1．故选：C．【点睛】这个题目考查了函数值域的求法，以及指数函数的性质的应用题目比较基础.8.已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满足atanA=bcosC+ccosB，则∠A=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式可得结果.【详解】，，由，根据正弦定理：可得，所以，那么，故选A.【点睛】本题考查正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】根据a+b≥2，当且仅当a=b=2时取等号，代入计算即可求出ab的最小值．【详解】∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，故选：D．【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2，过点P作抛物线准线的垂线交准线于点Q，则|FQ|=（）A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），根据抛物线的性质可得x1=，即可求出点P的坐标，则可求出点Q的坐标，根据两点间的距离公式可求出．【详解】不妨设点P在x轴的上方，设P（x1，y1），∵|PF|=2，∴x1+=2，∴x1=∴y1=，∴Q（-，），∵F（，0），∴|FQ|==2，故选：B．【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，抛物线的性质，两点间的距离公式，属于基础题．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用,尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.11.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）A. 40B. 43C. 46D. 47【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，三个梯形的面积之和为,故选C.【点睛】本题考查空间几何体的三视图，求解表面积,属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12.若x=0是函数f（x）=x4-ax3+1的极小值点，则实数a的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据求导公式和法则求出f′（x），由条件转化为：x=0是方程f′（x）=0的实根，通过导函数的符号，求解a的范围．【详解】由题意f（x）=x4-ax3+1得f′（x）=4x3-3ax2，∵x=0是函数f（x）的极小值点，∴x=0是方程f′（x）=0的实根，x＜0时，4x3-3ax2≤0，可得a≥0，x＞0时，4x3-3ax2≥0，可得a≤0，可得a=0．∴实数a的取值集合为{0}．故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了转化思想和分析问题能力，属于中档题．极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。

2020届云南省昆明市高三上学期第二次双基检测数学(文)试题word版含答案

2020届云南省昆明市高三上学期第二次双基检测数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|0,}M x x x R =<∈，2{|20,}N x x x x R =+-=∈，则M N =I （） A ．φ B ．{2}- C ．{1} D ．{2,1}-2. 已知复数z 满足方程2z i i •=-，则z 在复平面上对应点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设,x y 满足条件2202x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最小值是（）A ． 4B ． 6C ． 10D ． 14 4. 0000sin 20sin 50cos160sin 40-的值为（） A ．32-B ．12- C. 12D ．32 5.在ABC ∆中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4cos 5A =，2c =，ABC ∆的面积6S =，则a 的值为（）A ． 62B ． 45 C. 234 D ．726. 执行如图所示的程序框图，若输入数据5N =，则输出的s 结果为（） A ． -15 B ．-6 C. 10 D ．207.设0.43a =，4log 0.3b =，4log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．c b a >> 8. 三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱PB 的长为（）A ． 5B ．6 C. 7 D ．229. 设12,F F 分别是双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于,A B 两点，若点2F 满足120F A F B •=u u u r u u u u r，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ． 2e =B ． 21e =+ C. 3e = D ．31e =+10. 已知函数21()ln 12f x x x ax =+-+，下列结论中错误的是（） A ．当2a =时，1x =是()f x 的一个极值点 B ．当22a -<<时，函数()f x 无极值 C. 当2a >时，()f x 的极小值小于0 D ．,()a R f x ∀∈必有零点11.已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，点M 是抛物线C 上的动点，点Q 是圆22:(4)(1)1A x y -+-=上的动点，则||||MF MQ +的最小值是（） A ． 2 B ． 3 C. 4 D ．512.已知函数()()x f x xe k x R =-∈恰有两个零点，其中e 为自然对数的底数，则实数k 的取值范围是（） A ． (,0)-∞ B ．21(,2)e e - C. 1(,0)e- D ．2(0,2)e第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,1)a =-r ，(2,)b x =r，若1a b •=r r ，则x = ．14.先后抛掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为,a b ，那么25a b ≥的概率是． 15.将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后与函数cos(2)3y x π=-的图象重合，则ϕ的最小值为．16.三棱锥M ABC -的三侧棱两两垂直，底面ABC 内一点N 到三个侧面的距离分别为22,4,5，则经过点M 和N 的所有球中，体积最小的球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 是公比为16的等比数列，且2n an b =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）设12n n n S c n-=•，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，,E F 分别为,PA BD 的中点，2PA PD AD ===.（1）证明：//EF 平面PBC ；（2）若6PB =，求三棱锥A DEF -的体积.19.（12分）某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100).（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)X:y1:12:13:44:520. （12分）已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,P 3，左焦点是F ，左、右顶点分别是,A B ，过点F 的直线l 与椭圆Γ相交于,C D 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）记,ABC ABD ∆∆的面积分别为12,S S ，求12||S S -的最大值.21. 已知函数'ln 2(1)()1x f f x x x=-+. （1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明：当01x <<时，(1)()ln x f x x -<.请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin ρθθ=+，P 点极坐标为(3,)2π，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，倾斜角为3π.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程设函数()||f x x m =+.（1）若不等式(1)(2)5f f -+≥，求实数m 的取值范围；（2）当0x ≠时，若1()()f f x a x+-≥恒成立，求a 的最大值.2020届云南省昆明市高三上学期第二次双基检测数学（文）试题参考答案1. 解析：集合{}|0M x x =<，{2,1}N =-，所以{}2M N -=I ，选B ．2. 解析：因为2i12i iz -==--，所以12i z =-+，选B ． 3. 解析：由y x z 32+=，有332zx y +-=，作出可行域，由图可知，目标函数经过点)0,2(时取得最小值4，选A ．4. 解析：o o o o sin 20sin 50cos160sin 40-o o o o sin 20sin 50cos 20cos50=+o 3cos30==选D ． 5. 解析：ABC ∆中，因为4cos 5A =，所以3sin 5A =，由已知得1sin 62S bc A ==，所以10b =，故2222cos 72a b c bc A =+-=，所以2a =A ．6. 解析：因为2222123410s =-+-+=，选C ．7. 解析：因为0.431a =>，4log 0.30b =<，而40log 31<<，所以a c b >>，选A ．8. 解析：取AC 中点D ，连接,BD PD ，由正视图和侧视图得BD ⊥平面PAC ，PC ⊥平面ABC ，则90BDP ︒∠=，且2,5BD PD ==，所以7PB =C ．9. 解析：由双曲线的对称性可知2ABF ∆是等腰直角三角形，且2AF B ∠是直角，所以21AF F ∠=4π，所以21tan 1AF F ∠=, 即1121AF F F =，又21b AF a =，所以212b ac =，即222c a ac -=，化简得2210e e --=，解出21e =+，选B.10. 解析： xax x a x x x f 11)(2+-=-+=' ，)0(>x当2=a 时，0)1(1221)(22≥-=+-=-+='xx x x x x x x f ，)(x f 单调递增，无极值故A 错误；当22<<-a 时，12+-ax x 恒大于零，所以0)(>'x f ， )(x f 单调递增，无极值，B 正确；当2>a 时，令0)(='x f ，解得2421--=a a x ，2422-+=a a x ，可知)(x f 在()1,0x 和()+∞,2x 单调递增，在()21,x x 单调递减，)(x f 在2x x =处取得极小值，而2110x x <<<，所以023)1()(2<-=<a f x f ，C 正确；又当0→x 时，0)(<x f ，当+∞→x 时，0)(>x f ，而且)(x f 的图像连续，所以)(x f 必有零点，D 正确，选A ．11. 解析：抛物线C 的准线是:2l x =-，作MD l ⊥于D ，由抛物线的定义知MF MD =，所以要使MF MQ +最小，即MD +MQ 最小，只要D ，M ，Q 三点共线且M 在D 与Q 之间即可，此时MD +MQ 的最小值是：1615AD -=-=，选D ．12. 解析：函数)(x f 有两个零点，可转化为函数xxe x g =)(与k x h =)(恰有两个交点,因为)1()(+='x e x g x ，当1-<x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当1->x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增，)(x g 在1-=x 处取得极小值e1-；而当0<x 时，0)(<x g 恒成立，利用图像可知，选C ．二、填空题13. 解析：因为12=-=⋅x b a ρρ，所以1=x ．14. 解析：因为25a b ≥．符合条件的(,)a b 为(6,1)，(6,2)，(5,1)，(5,2)，(4,1)， (3,1)，所求的概率61366P ==． 15. 解析：将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位后得sin(22)y x ϕ=+的图象，因为cos 2sin 2sin 23236y x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以 226k πϕπ=+()k ∈Z ，所以ϕ的最小值为12π．16. 解析：依题意，经过点M 和N 的所有球中，体积最小的球是以MN 为体对角线，棱长分别为22,4,5的长方体的外接球．直径7MN =，所以其表面积为49π．三、解答题17. 解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是公比为16的等比数列，且2n an b =，所以114221622n n n na a a a ++-===，*n N ∈，故14n n a a +-=即数列{}n a 是首项11a =，公差为4的等差数列，所以43n a n =-，(21)n S n n =-. ………6分所以()2323n n T n =-+. ………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连接AC ，因为四边形ABCD 是菱形，F 为BD 中点，所以F 为AC 中点．又因为E 为PA 中点，所以//EF PC ，又EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ． ………6分（Ⅱ）取AD 中点O ，连接,OB OP ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥；因为菱形ABCD 中，AB AD =，60BAD ︒∠=，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥，由已知3,3BO PO ==，若6PB =，由222BO PO PB +=得PO BO ⊥，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．过E 作EG AD ⊥于G ，则EG ⊥平面ABCD ．因为E 为PA 中点，所以132EG OP ==，所以11131133324A DEF E ADF ADF V V S EG --∆==⋅=⨯⨯=． ………12分19. 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知()20.02+0.03+0.04101a +⨯=，解得0.005a =． ………4分（Ⅱ）由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(分) ………7分（Ⅲ）由频率分布直方图知语文成绩在[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90各分数段的人数依次为0.005101005⨯⨯=；0.041010040⨯⨯=；0.031010030⨯⨯=；0.021010020⨯⨯=．由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；140202⨯=；430403⨯=；520254⨯=．故数学成绩在[)50,90之外的人数为()100520402510-+++=． ………12分 20. 解：（Ⅰ）由已知得221314a b+= ① 又 22314c b a a =⇒= ②联立①、②解出24a =，21b =所以椭圆的方程是 2214x y += ………4分（Ⅱ）当l 的斜率不存在时，11(3,),(3,)22C D --，此时120S S -=；当l 的斜率存在时，设:l (3)(0)y k x k =+≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，联立直线方程与椭圆方程消y 得2222(41)83(124)0k x k x k +++-=，所以21283k x x +=，212212414k x x k -=+.所以12121222S S y y y y -=-=+122()23k x x k =++43k =，由于0k ≠，所以12S S-=，当且仅当4k =1k 时，即12k =±时，上式取等号所以12S S -max=………12分.21. 解: (Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞ ………1分因为221ln 2(1)()(1)x xf x f x x x +-''=++， ………2分所以1(1)2(1)2f f ''=+，即1(1)2f '=-， ………3分所以ln 1()1x f x x x=++，221ln 1()(1)x xxf x x x +-'=-+， ………4分令1x =，得(1)1f =，所以函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=. ………6分(Ⅱ) 因为01x <<，所以不等式等价于：22ln 101x x x+>-, ………7分因为2222ln 111(2ln )11x x x x x x x-+=+--，令21()2ln x g x x x -=+，则222221(1)()x x x g x x x -+--'==-， ………9分因为01x <<，所以()0g x '<，所以()g x 在()0,1上为减函数. 又因为(1)0g =，所以，当01x <<时，()(1)0g x g >=，此时，21()01g x x ⋅>-，即22ln 101x x x+>-， ………11分所以，当01x <<时，(1)()ln x f x x -⋅<. ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

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2020大连双基测试卷数学(理科)+解析数学〔理科〕命题人：赵文莲、王爽、李飞、虞政华说明：1. 本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.第I 卷〔选择题共60分〕一．选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.全集{2,4,6,8,10}U =，集合A ，B 满足(){8,10},{2}U U C A B A C B ==U I ,那么集合B = 〔A 〕{4,6}(B) {4}(C) {6}(D)Φ2.复数1z i =+，那么4z = 〔A 〕4i - (B) 4i(C) 4-(D) 43．函数()f x 定义域为R ，那么命题p ：〝函数()f x 为偶函数〞是命题q ：〝000,()()x R f x f x ∃∈=-〞的〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件 (D)既不充分也不必要条件 4．执行如图的程序框图，输出的C 的值为〔A 〕3 〔B 〕5 〔C 〕8 〔D 〕13 5.互不重合的直线,a b ,互不重合的平面,αβ,给出以下四个命题，错误．．的命题是〔A 〕假设a //α，a //β，b αβ=I，那么a //b(B)假设βα⊥，a α⊥，β⊥b 那么b a ⊥(C)假设βα⊥，γα⊥，a =γβI，那么a α⊥(D)假设α//β，a //α，那么a β各得几何.〞其意思为〝甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？〞〔〝钱〞是古代的一种重量单位〕.这个问题中，甲所得为〔A 〕54钱〔B 〕43钱〔C 〕32钱〔D 〕53钱 7．ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=o，那么cos C =〔第4题图〕〔A〔B〕〔C〕〔D8．点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =-的最大值为〔A 〕7- 〔B 〕1- 〔C 〕1 〔D 〕29．假设抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，那么OFP ∆的面积为〔A 〕12〔B 〕1〔C 〕32〔D 〕210．直线m x y +=和圆122=+y x 交于B A 、两点，O 为坐标原点，假设32AO AB ⋅=u u u r u u u r ，那么实数=m〔A 〕1± 〔B 〕23±〔C 〕22± 〔D 〕21± 11．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,那么事件〝sin y x ≤〞发生的概率为〔A 〕1π〔B 〕2π〔C 〕21π 〔D 〕22π12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有3(()ln )2f f x x x --=，那么()f e =〔A 〕31e + 〔B 〕32e + 〔C 〕31e e ++ 〔D 〕32e e ++第二卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分) 13．双曲线2221x y -=的渐近线方程为 . 14．101()2x x-的展开式中，4x 项的系数为〔用数字作答〕. 15．数列{}n a 前n 项和2nn S =，那么n a = .16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，那么该多面体的外接球表面积为 . 三．解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．〔本小题总分值12分〕函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><经过点7(,2),(,2)1212ππ-，且在区间7(,)1212ππ上为单调函数. 〔Ⅰ〕求,ωϕ的值；〔Ⅱ〕设*()()3n n a nf n N π=∈，求数列{}n a 的前30项和30S . 18.〔本小题总分值12分〕〔第16题图〕2019年〝双十一〞当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：〔Ⅰ〕根据频数分布表，完成以下频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小〔其中方差大小给出判断即可，不必说明理由〕；(甲) 〔乙〕〔Ⅱ〕〔ⅰ〕根据上述数据，估计〝双十一〞当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；〔ⅱ〕现从〝双十一〞当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X ，试求出X 的期望和方差.19.〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，ο60=∠ABC .⊥PA 面ABCD ，且3=PA .F 在棱PA 上，且1=AF ，E 在棱PD 上.〔Ⅰ〕假设//CE 面BDF ，求ED PE :的值；〔Ⅱ〕求二面角A DF B --的大小.20. 〔本小题总分值12分〕椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，满足2||6AF =. 〔Ⅰ〕求椭圆C 的离心率；〔Ⅱ〕N M 、是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点〔异于椭圆C 的顶点〕，直线NP MP 、分别和x 轴相交于Q R 、两点，O 为坐标原点，假设4OR OQ ⋅=，求椭圆C 的方程.21. 〔本小题总分值12分〕设函数2)(aax e x f x--=〔x R ∈，实数[0,)a ∈+∞, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数 1.64872=⋅⋅⋅〕. ))B〔Ⅰ〕假设0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕假设m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22．〔本小题总分值10分〕选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,,DA AB CB AB DO CO ⊥⊥⊥. 〔Ⅰ〕求证：CD 是⊙O 的切线；〔Ⅱ〕设CD 与⊙O 的公共点为E ，点E 到AB 的距离为2，求11CE DE+的值. 23. 〔本小题总分值10分〕选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos a y a a x 〔ϕ为参数，实数0>a 〕，曲线2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin cos b b y b x 〔ϕ为参数，实数0>b 〕.在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线)20,0(:παραθ≤≤≥=l 与1C 交于A O 、两点，与2C 交于B O 、两点.当0=α时，1||=OA ；当2πα=时，2||=OB .〔Ⅰ〕求b a ,的值；〔Ⅱ〕求||||||22OB OA OA ⋅+的最大值. 24. 〔本小题总分值10分〕选修4－5：不等式选讲设函数|1||2|)(ax a x x f -++=〔x R ∈，实数0a <〕. 〔Ⅰ〕假设25)0(>f ，求实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕求证：2)(≥x f .〔第22题图〕2016年大连市高三双基测试数学〔理科〕参考答案及评分标准说明：【一】本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细那么．【二】对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．【三】解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．【四】只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题二．填空题13.2y x =±14. 15- 15.12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩16.34π 三．解答题 17.解：〔Ⅰ〕由题可得72,2()122122k k k Z ωππωππϕπϕπ+=-+=+∈，……………………3分解得2ω=，22()3k k Z πϕπ=-∈，∵||ϕπ<，∴23πϕ=-. ………………………6分〔Ⅱ〕∵*222sin()()33n n a n n N ππ=-∈，数列*22{2sin()}()33n n N ππ-∈的周期为3.前三项依次为9分∴32313(32)0(31)3(n n n a a a n n n --++=-⨯+-⨯=*()n N ∈，∴30123282930()()S a a a a a a =+++⋅⋅⋅+++=-………………………………12分 18. 〔Ⅰ〕频率分布直方图如以下图所示，…………………………………………………4分甲的中位数在区间)3,2[内，乙的中位数在区间[1,2)内，所以甲的中位数大. ……………………………………………………6分8分 ~X 10分 ∴65E =.12分19. 〔Ⅰ〕法一：过E 作//EG FD 交AP 于，连接，连接AC 交BD 于O ，连接FO .))∵//EG FD ，EG ⊄面BDF ，FD ⊂面BDF ， ,EG CE ⊂面CGE ,∴//EG 面BDF ，又EG CE E =I ，//CE 面BDF ，∴面//CGE 面BDF ，………………………………3分又CG ⊂面CGE ，∴//CG 面BDF ，又面BDF I 面PAC FO =，CG ⊂面PAC ， ∴//FO CG .又O 为AC 中点，∴F 为AG 中点，∴1FG GP ==， ∴E 为PD 中点，:1:1PE ED =.…………………6分法二:取BC 中点G ，连接AG ，∵ABCD 是ο60=∠ABC 的菱形，∴AG AD ⊥，又⊥PA 面ABCD ，∴分别以AG uuu r 、AD u u u r 、AP u u u r为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如下图.那么33(0,3,0),(,0),(,0),(0,0,1),(0,0,3),2222D B C F P -∴9(0,3,1),,0)2DF DB =-=-u u u r u u u r ，…………………………………………………2分设面BDF 的一个法向量(,,)n x y z =r，那么由00n DF n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r可得30902y z x y -+=⎧-=，不妨令3z =，那么解得1x y ==，∴n =r. ……………………………………………………………………………4分设(0,3,3)PE PD λλλ==-u u u r u u u r，那么3(3,33)2CE CP PE λλ=+=-+-u u u r u u u r u u u r ， ∵//CE 面BDF ，∴0n CE ⋅=u u u r r ，即93399022λλ--++-=，解得12λ=.∴:1:1PE ED =.……………………………………………………………………………6分〔Ⅱ〕法一: 过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，……………………………………………8分 ∵⊥PA 面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ， ∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI IB ⊥，∴BIH ∠是二面角A DF B --的平面角.由题易得39,22AH BH HD ===，且HI AF HD DF ==，∴20HI =，∴tan BIH∠==10分∴二面角ADFB--的大小为arctan3.……………………………………………12分法二:接〔Ⅰ〕法二，显然面PAD的一个法向量(1,0,0)m=r，………………………8分∴cos,||||13m nm nm n⋅<>==⋅r rr rr r.………………………………………………………10分∴二面角ADFB--的大小为.…………………………………………12分20.解: 〔Ⅰ〕法一：A点横坐标为c，代入椭圆得22221c ya b+=，解得22||||by AFa==，∴26bca=.……………………………………………………2分即226a c ac-=，设cea=，∴2106e e+-=，解得2e=.…………………4分法二：直角12AF F∆中，122||2,||F F c AF==，∴由勾股定理得22211||412AF c c=+，即1||AF=，……………………………………………………………………………2分∴2a=+=，∴ca=e=4分〔Ⅱ〕设00(0,),(0,),(,)M b N b P x y-，那么MP方程为0y by x bx-=+，令0y=得到R点横坐标为0bxb y-；…………………6分NP方程为0y by x bx+=-，令0y=得到Q点横坐标为0bxb y+；……………………8分222202222222200()||||4,b ya bb x bOR OQ ab y b y-∴⋅====--∴223,1c b==,∴椭圆C的方程为2214xy+=.………………………………………12分21. 解：〔Ⅰ〕法一：'()xf x e a =-.〔1〕当0a =时，()xf x e =，∴0)(≥x f 在x R ∈上恒成立；……………………1分〔2〕当0a >时，'()0f x >可得ln x a >，'()0f x <可得ln x a <.∴()f x 在(,ln )a -∞为减函数，在(ln ,)a +∞为增函数.∴()(ln )ln 2af x f a a a a ≥=--，要使得0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，必有ln 02aa a a --≥，即a ≤ 综上实数a的取值范围为.…………………………………………………………4分法二：假设0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，即1()2x e a x ≥+.(1) 当12x ≤-时，∵0a ≥，0x e >，∴原不等式显然成立；…………………………1分 (2)当12x >-时，有12x e a x ≤+，设()12xe h x x =+，那么21()2'()1()2xe x h x x -=+. ∴'()h x 在1(,)2+∞上大于0；在11(,)22-上小于0.∴()h x 在1(,)2+∞上单调递增；在11(,)22-上单调递减.min 1()()2h x h ==a ≤综上：实数a的取值范围为.………………………………………………………4分〔Ⅱ〕设()ln (0)2g x x x =+->，那么1'()(0)g x x x=>， '()0g x >，可得x >'()0g x <，可得0x <<. ∴()g x在)+∞上单调递增；在上单调递减. ……………………………8分∴()g x g ≥=1.64872=⋅⋅⋅1.6>，∴()2.3g x >.…10分由〔Ⅰ〕可得xe ≥+，∴ln x e x -的最小值大于2.3，假设m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，那么m 的最大值一定大于2.3.……………………………………………………12分 22．〔Ⅰ〕证明：由题可知,DA BC 为⊙O 的切线.∵90DOC ∠=o ，∴90AOD BOC ∠+∠=o ；∵90OBC ∠=o ，∴90OCB BOC ∠+∠=o ； ∴AOD OCB ∠=∠，∴AOD ∆∽BCO ∆，∴OC BCOD OA=，…………………………2分又∵AO OB =，∴OC BCOD OB=，∴Rt OCD ∆∽Rt BCO ∆，∴OCD ∠=BCO ∠， ∴CO 是BCD ∠的平分线，∴圆心O 到CD 的距离等于半径OB ，∴CD 是⊙O 的切线.………………………………5分〔Ⅱ〕假设DA CB =，显然可得111CE DE +=.…………6分假设DA CB ≠，不妨设DA CB >. 过E 作EF AB ⊥交AB 于F ，过C 作CG AD ⊥交AD 于G ，交EF 于H .由〔Ⅰ〕可得,DA DE CB CE ==，在CGD ∆中，有EH CE GD CD =，即2CE CE DE CE CE DE -=-+，化简得111CE DE+=.综上：111CE DE+=.………………………………………………………………………10分23.解：〔Ⅰ〕将1C 化为普通方程为222()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴12a =.……………………………………………2分将2C 化为普通方程为222()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=,由题可得当2πθ=时，||2OB ρ==，∴1b =.………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=, ∴222||||||2cos 2sin cos sin 2cos 21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++)14πθ=++，………………………………………………………………………6分52[,],)14444ππππθθ+∈++Q 最大值为1，当2,428πππθθ+==时取到.……………………………………………………………………………………………10分 24. 〔Ⅰ〕∵0<a ，∴115(0)||||2f a a a a =+-=-->，即25102a a ++>，解得2a <-或102a -<<.…………………………………………………………………4分〔Ⅱ〕13,2111()|2|||,2113,a x a x a af x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩,…………………………………………………………………………………………………6分当2a x ≥-时，1()2a f x a ≥--；当12a x a <<-时，1()2a f x a >--；当1x a ≤时，2()f x a a≥--.………………………………………………………………8分∴min 1()2a f x a =--≥=12a a-=-即a = ∴2)(≥x f .………………………………………………………………………………10分。