2020高考数学 最后突破抢分：第5讲 指数与指数函数
【高考数学总复习】(第5讲)指数及指数函数(33页)
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2． 2
2．定义域为[1,1]，由单调性可知
( 1 )1 ≤ ( 1 ) 1x2 ≤ ( 1 )0，即 1 ≤ y ≤ 1.
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3．（1）函数的定义域为 R.函数的值域为（0, 1 ]. 256
（2）函数 y ( 1 )x26 x17在[3, )上是减函数. 2
同理可知 y ( 1 )x26 x17在(, 3]上是增函数. 2
(2)由图象指出其单调区间.
解 (2)由图象知函数 y (1)|x1|在 , 1上是增
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函数,在 1, 上是减函数.
数形结合思想
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回顾反思
（1）思想方法：指数型函数的作图一般从最基本的 （2）指知数能函提数升入：手带,有通绝过对平值移的,伸函缩数,图对象称，变一换般得有到两. 种方法，一是去掉绝对值作图，二是不去绝对值, 如 y f ( x )可依据函数是偶函数，先作出函数 f ( x)( x ≥ 0)的图象； x 0时的图象只需将函数 f ( x)( x ≥ 0)的图象关于 y 轴对称即可；又如函数 y f ( x) 的图象，可先作出函数 y f ( x)的图 象，然后保留 x 轴上方图象，将下方图象关于 x 轴 对称即可得函数 y f ( x) 的图象.
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解 原式 [(2 3)2 ]2 - (33 )6 (24 )4 - 2 (23 )3 25 25
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2 3 3 8 8 2 4.
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决战2020年高考数学(理)函数与导数专题： 指数与指数函数(解析版)
函数与导数函数 指数与指数函数一、具体目标：指数函数（1） 了解指数函数模型的实际背景.（2） 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3） 理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4） 体会指数函数是一类重要的函数模型.二、知识概述： 根式和分数指数幂 1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质(注意逆用) (1),(,,0)rsr sa a a r s Q a +⋅=∈>(2),(,,0)r s r s a a a r s Q a -÷=∈>【考点讲解】(3)(),(,,0)r s rs a a r s Q a =∈>．(4)(),(,0,0)s s sab a b s Q a b =∈>> 2.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1； 当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3. 指数型函数有如下的性质： 形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y aa a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域；（3）()(0,1)f x y aa a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),u u f x y a ==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【真题分析】1.【2019优选题】若4a 2－4a ＋1＝3（1－2a ）3，则实数a 的取值范围是________．【解析】左边＝（2a －1）2＝||2a －1，右边＝1－2a, 即||2a －1＝1－2a, ∴2a －1≤0，解得a ≤12.【答案】⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ≤122.【2019优选题】计算14030.75333264()(2)162---⎡⎤--++⎣⎦= . 【解析】化简:4164164331==-，1612])2[(4343==--，81161161161643434375.0====--，原式=11191416816-++=-.【答案】916-3.【2019优选题】若x ,x-1122为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，则-33222232x x x x -+-=+-________． 【解析】因为-1122x ,x 为方程x 2－3x ＋a ＝0的两根，所以-11223x x ,+=所以3322x x-+=()111221x x x x --⎛⎫+⋅+- ⎪⎝⎭2111122223x x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝3×(32－3)＝18，x 2＋x -2＝()212x x-+-x x -⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦22112222＝(32－2)2－2＝47，所以33222232x x x x --+-=+-18314723-=-.【答案】134.【2018优选题】函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，则a 的值为________．【解析】∵函数y ＝(a 2－5a ＋5)a x 是指数函数，∴a 2－5a ＋5＝1，解得a ＝1或a ＝4.又∵指数函数y ＝a x 的底数a 需满足a >0且a ≠1，∴a ＝4. 【答案】45.【2018优选题】函数y ＝a x +2－2(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过点(m ，n )，则2m n a -=_______．【解析】令x ＋2＝0，则x ＝－2, y ＝a x +2－2＝a 0－2＝－1，∴函数y ＝a x +2－2的图像恒过点(－2，－1)，即m ＝－2，n ＝－1，∴m-n-a a a +===22201.【答案】16. 【2015山东，5分】已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1) 的定义域和值域都是[]－1，0，则a ＋b ＝________． 【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是增函数，∴f (0)为函数最大值，f (－1)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,无解，不符合题意，舍去；当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在定义域上是减函数，∴f (－1)为函数最大值，f (0)为函数最小值，∴1110b a b -+=-⎧⎨+=⎩,,解得b ＝－2，a ＝12，∴a ＋b ＝－32.【答案】－327.【2019优选题】若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)【解析】∵2x (x －a )<1，∴x －a <12x .∵存在正数x 使2x (x －a )<1成立，即存在正数x 使x －a <12x 成立，即存在正数x 使函数y ＝x －a 的图像在函数y ＝12x 的图像的下方．在坐标系中画出图像，如下图：由图像可知当－a <1，即a >－1时，存在正数x 使2x (x －a )<1成立． 【答案】D8. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<．故选B ． 【答案】B9.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则（ ） A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确.故选C ． 【答案】C10.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合； 当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【答案】D11.【2019优选题】比较大小：(Ⅰ)a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1434-⎛⎫⎪⎝⎭，则它们的大小关系是________．(Ⅱ)a ＝(－3)3，b ＝-125，c ＝.π03，则它们的大小关系是________．(Ⅲ) 53532a ,b ,c ===，则它们的大小关系为________．【解析】：(Ⅰ) 113433,55a b --⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 函数y ＝⎝⎛⎭⎫35x为减函数,11433355--⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭315⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴a >b >1.14110441434555154434b c ---⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭===>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∵， ∴b >c ，∴a >b >c .(Ⅱ)∵a ＝(－3)3<0，0<b ＝125-<50＝1, c ＝π0.3>π0＝1，∴a <b <c .(Ⅲ)∵53532a ,b ,c ===，∴101021055525a (),c ====(2)10＝25＝32，∴a 10<c 10，∴a <c .∵b 6＝(33)6＝32＝9，c 6＝(2)6＝23＝8，∴b 6>c 6，∴b >c .综上，a <c <b . 【答案】(Ⅰ)a >b >c (Ⅱ)a <b <c (Ⅲ)a <c <b12.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==.（1）求方程()2f x =的根； （2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。
2020年 名师讲解 高考数学 提分宝典 必做题之指数与指数函数
第5讲 指数与指数函数一、填空题 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋×42－＝________.解析 原式＝＝2.答案 22．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．解析 ∵a 2－2a －3＝0，∴a ＝3或a ＝－1(舍)．函数f (x )＝3x 在R 上递增，由f (m )>f (n )，得m >n . 答案 m >n3．(2017·衡水中学模拟改编)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝x 2，c ＝x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是________(从小到大)． 解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝x <0，所以c <a <b . 答案 c <a <b4.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，给出下列结论：①a >1，b <0； ②a >1，b >0； ③0<a <1，b >0； ④0<a <1，b <0.其中判断正确的结论有________(填序号)．解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.答案 ④5．(2017·南京、盐城一模)已知c ＝则a ，b ，c 的大小关系是________．解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 b <c <a6．(2017·南京调研)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)＝________. 解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0. 又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 17．(2017·南通调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 答案 [2，＋∞)8．(2017·安徽江南十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________． 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 二、解答题9．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)． (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}． 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )． ∴f (x )是偶函数． (2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0， 即1a x －1＋12>0，即a x ＋12(a x －1)>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2. (2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )< －f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1， 即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 11．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1，所以a >－1.答案 (－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论：①a <0，b <0，c <0；②a <0，b ≥0，c >0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.其中一定成立的是________(填序号)． 解析作出函数f (x )＝|2x －1|的图象如图中实线所示， ∵a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知a <0,0<c <1， ∴0<2a <1,1<2c <2， ∴f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， ∴f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又f (a )>f (c )，即1－2a >2c －1，∴2a ＋2c <2. 答案 ④13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，g (x )，x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0.∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x .答案 －2x (x <0)14．(2017·常州市教育学会期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )＝e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立， ∴f (x )在R 上是增函数．又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)存在．由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立，⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立， ⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0，又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。
2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》
2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》考纲解读1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R)；(2)mm n n a a a -=( m ,n ∈R)(3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R)；(4)(ab )m=a m b m (m ∈R)；(5)pp a a-=1(p ∈Q)(6)mn a m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数yx题型归纳及思路提示题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4的值；(2)若x x-+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.-=--1==.当a =2，b =4，原式===12. (2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327， ()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723. (3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ，且a b+=112，则m =( ).A.B. 10C. 20D. 100解析 解法一： 2111111,55,22m m m m m m m m ba b a b b a a ==∙=⇒==⇒=+10),0(10522=>=⇒⨯=m m m 。
20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.5 指数及指数函数(原卷版)
第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝x n，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.2．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．23．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ）【套路总结】指数函数xy a =形如，指数函数的需要同时满足①01a a >≠且②系数为1③次数为1【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）A ．2B ．1C ．3D ．2或−1考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第二章 第5讲 指数与指数函数
－32 －32
＝85.
指数函数的图象及应用 (1)函数 f(x)＝21－x 的大致图象为( )
(2)函数 f(x)＝|ax＋b|(a>0，a≠1，b∈R)的图象如图所示，则 a ＋b 的取值范围是________．
(3)若方程|3x－1|＝k 有一解，则 k 的取值范围为________．
【解析】 (1)函数 f(x)＝21－x＝2×12x，单调递减且过点(0， 2)，选项 A 中的图象符合要求． (2)因为根据图象得 a>1，f(12)＝0，b<0. 所以 a＋b＝0，所以 a＋b＝a－ a>1－ 1＝0.
(3) 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个 单位后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到 的，函数图象如图所示．
当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一 的交点，所以方程有一解． 【答案】 (1)A (2)(0，＋∞) (3){0}∪[1，＋∞)
作出直线 x＝1，分别与四个图象自上而下交于点 A(1，a)，B(1， b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c ＞d＞0.根据 y 轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高” 来记忆．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n＝a.( × )
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数 的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的 构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增 异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的 问题加以解决． [提醒] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系 不明确时，要分类讨论．
2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文-精装版
教学资料范本2020高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx 最新高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第5讲指数与指数函数分层演练文一、选择题1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a·b－÷的结果为( ) ．－A 8a b ．－BC ．－D ．－6ab 23－－b －a 原式＝C.解析：选 ＝－6ab －1＝－，故选C.3．已知实数a ，b 满足等式＝，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b.其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B.函数y1＝与y2＝的图象如图所示．由＝得，a ＜b ＜0或0＜b ＜a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．4．若函数f(x)＝a|2x －4|(a>0，a ≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选B.由f(1)＝得a2＝，所以a ＝或a ＝－(舍去)，即f(x)＝.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.5．设a ＝1.90.9，b ＝0.91.9，c ＝0.99.1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 解析：选A.因为函数y ＝0.9x 在R 上是减函数，所以0.91.9＞0.99.1，且0.91.9＜0.90＝1.即c ＜b ＜1.又函数y＝1.9x在R上是增函数．所以1.90.9＞1.90＝1即a＞1.所以a＞b＞c.故选A. 6．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( ) B．(－1，0)A．(－∞，－1)C．(0，1) D．(1，＋∞)解析：选C.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，所以a＝1，所以f(x)>3即为>3，当x>0时，2x－1>0，所以2x＋1>3·2x－3，解得0<x<1；当x<0时，2x－1<0，所以2x＋1<3·2x－3，无解．所以x的取值范围为(0，1)．二、填空题7．函数y＝的值域是________．解析：因为4x>0，所以16－4x<16，所以0≤16－4x<16，即0≤y<4.答案：[0，4) 8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a＝________．解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±，又因为a>1，所以a＝.当0<a<1时，f(x)＝ax－1在[0，2]上为减函数，又因为f(0)＝0≠2，所以0<a<1不成立．综上可知，a＝.答案：3 9．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．解析：因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图象关于x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.答案：110.已知函数y ＝ax ＋b(a>0，且a ≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，如图所示，则＋的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝ax ＋b(a>0且a≠1，b>0)的图象经过点P(1，3)，得a ＋b ＝3，所以＋＝1，又a>1，则＋＝(＋)＝2＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a ＝，b ＝时取等号，所以＋的最小值为.23，答案： 三、解答题11．已知函数f(x)＝b ·ax(其中a ，b 为常量，且a>0，a ≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．若不等式＋－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解：把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·ax，⎩⎨⎧6＝ab ，24＝b·a3，得 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3.，解得≠1a ，且a>0结合 所以f(x)＝3·2x.要使＋≥m 在x∈(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝＋在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝＋在(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝＋有最小值.所以只需m≤即可．即m 的取值范围为.12．已知函数f(x)＝.(1)若a ＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x ＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝在R 上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g(x)＝ax2－4x ＋3，f(x)＝，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a ＝1，即当f(x)有最大值3时，a 的值为1.。
高考数学2020届一轮复习专题速递《指数与指数函数》
)
3 a·
a2
1
5
7
3
A.a2
B.a6
C.a6
D.a2
解析 由题意得 答案 C
a2
11 7
＝ a2－2－3＝ a6.
32 a· a
x
5.(2017 北·京卷 )已知函数
f(x)＝ 3x－
1 3
，则 f(x)(
)
A.是偶函数，且在 R 上是增函数 B.是奇函数，且在 R 上是增函数 C.是偶函数，且在 R 上是减函数 D.是奇函数，且在 R 上是减函数
a b.
ab2a－3b3
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利
用法则计算，但应注意： (1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺
序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 .
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 .
第 5 节 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义， 了解实数
指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函 11
数图像通过的特殊点，会画底数为 2，3，10， 2， 3的指数函数的图像； 4.体会指 数函数是一类重要的函数模型 .
解析 函数 f(x)的定义域为 R，
f(－x)＝3－x－
1 3
－x
＝
1 3
x
－3x＝－ f(x)，
∴函数 f(x)是奇函数 .
x
又 y＝ 3x 在 R 上是增函数，函数
1 y＝ 3
在 R 上是减函数，
∴函数
f(x)＝3x－
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题05 指数函数、对数函数、幂函数(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题05 指数函数、对数函数、幂函数【主题考法】本主题主要考题类型为选择、填空题，考查指数式、对数式的计算与求值，考查利用二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质比较大小、解含指数、对数式的不等式或方程、基本初等函数的图象与性质、基本初等函数的应用，难度为基础题、中等题或难题，分值5-10分左右。
【主题考前回扣】1.指数与对数式的七个运算公式(1)a m·a n＝a m＋n；(2)(a m)n＝a mn；(3)log a(MN)＝log a M＋log a N；(4)log a MN＝log a M－log a N；(5)log a M n＝n log a M；(6)a log a N＝N；学科-网(7)log a N＝log b Nlog b a(注：a，b>0且a，b≠1，M>0，N>0).2.指数函数的图象和性质y＝a x a>10<a<1图像定义域R值域(0，＋∞)当x>0时，y>1；x<0时，当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1 性质0<y<1过定点(0,1) 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3．对数函数的图像与性质a>10<a<1图像定义域(0，＋∞)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值 当0<x <1，y <0 当x >1时，y >0； 正负当0<x <1时，y >0当x >1时，y <0；4.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈]2,(ab--∞上单调递减；在x ∈),2[+∞-a b上单调递增在x ∈),2[+∞-ab上单调递减； 在x ∈]2,(ab --∞上单调递增对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称5. 幂函数图象与性质在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 【易错点提醒】1.准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性容易忽视字母a 的取值讨论，忽视a x ＞0；对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．2.在运算性质log log n a a M n M = (0a >且1,0)a M ≠>时，要特别注意条件，在无0M >的条件下应为log log n a a M n M = (n N *∈，且n 为偶数)．3.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 【主题考向】考向一 指数与对数运算【解决法宝】熟练掌握指对数的概念、运算性质、对数换底公式常用对数恒等式，是快速正确地对指对数式进行运算的关键。
2020年高考数学一轮复习教案：第2章 第5节 指数与指数函数(含解析)
第五节指数与指数函数[考纲传真] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式n 次方根概念 如果x n ＝a ，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n ＞1，n ∈N *表示 当n 是奇数时，a 的n 次方根x ＝na当n 是偶数时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根0的任何次方根都是0，记作n0＝0根式概念 式子n a 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数性质 (na )n ＝a当n 为奇数时，na n ＝a当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0－a ，a ＜0(1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝a x a＞10＜a＜1图象定义域R值域(0，＋∞)性质(0,1) 过定点当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在R上是增函数在R上是减函数[常用结论]指数函数的图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)4(－4)4＝－4. ()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1. ()(3)函数y ＝2x －1是指数函数．( )(4)若a m ＜a n (a ＞0且a ≠1)，则m ＜n . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A ．－9B ．7C ．－10D ．9 B [原式＝(26) 12－1＝8－1＝7.]3．(教材改编)若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)等于( )A.22 B. 2C.14D ．4B [由题意知12＝a 2，所以a ＝22， 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22-1＝ 2.]4．函数y ＝a x －a (a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C DC [令y ＝a x －a ＝0，得x ＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.]5．指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． (1,2) [由题意知0＜2－a ＜1， 解得1＜a ＜2.]指数幂的化简与求值1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17 B.12(－3)4＝3－3 C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33D [39＝(913)12＝916＝313＝33，故选D.]2．若a ＞0，b ＞0，则化简＝________.ab －1 [原式＝＝＝ab －1.]3．化简－10(5－2)－1＋3π0＋59＝________.－16 [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫82723＋50012－105－2＋3＋59 ＝49＋105－10(5＋2)＋3＋59 ＝－16.]4．若x 12＋x -12＝3，则＝________.25[由x 12＋x -12＝3得x ＋x －1＋2＝9. 所以x ＋x －1＝7.同理由x ＋x －1＝7可得x 2＋x －2＝47.x 32＋x －32＝(x 12＋x －12)(x ＋x －1－1)＝3×6＝18. 所以[规律方法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题.易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.指数函数的图象及应用【例1】 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0(2)已知函数f (x )＝3＋a 2x －4的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________． (3)若曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝k 只有一个公共点，则实数k 的取值范围为________．(1)D(2)(2,4)(3){0}∪[1，＋∞)[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点．][规律方法]指数函数图象应用的4个技巧(1)画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.(1)函数y＝xa x|x|(a＞1)的图象大致是()A B C D(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )A B C D(3)已知a ＞0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．(1)B (2)B (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 [(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ＞0，－a x ，x ＜0，又a ＞1，故选B.(2)函数f (x )＝2|x －1|的图象可由y ＝2|x |的图象向右平移1个单位得到，故选B. (3)①当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜3a ＜2，即0＜a ＜23； ②当a ＞1时，如图②，而y ＝3a ＞1不符合要求．图① 图②所以0＜a ＜23.]指数函数的性质及应用►考法1 比较指数式的大小【例2】 已知a ＝343，b ＝925，c ＝12113，则( ) A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜bA [因为a ＝343＝923＞925＝b ，c ＝12113＝1123＞923＝a ，所以c ＞a ＞b .故选A.]►考法2 解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．(1)C (2)12 [(1)当a ＜0时，不等式f (a )＜1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－7＜1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＜8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0＜12＜1，所以a ＞－3，此时－3＜a ＜0；当a ≥0时，不等式f (a )＜1可化为a ＜1，所以0≤a ＜1.故a 的取值范围是(－3,1)．故选C.(2)当a ＜1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a ＞1时，代入不成立．故a 的值为12.]►考法3 与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.(2)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．(1)－32 (2)52[(1)当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.(2)y ＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，由0≤x ≤2得1≤t ≤4，又y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12， ∴当t ＝1时，y 有最大值，最大值为52.] ►考法4 复合函数的单调性、值域或最值【例5】 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间是________，值域是________．(－∞，1] ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ [令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上是减函数，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋2x ＋1的单调递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则f (x )≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞.][规律方法] 应用指数函数性质综合的常考题型及求解策略数的性质 等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．(1)(2019·信阳模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a(2)(2019·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)(3)已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a 的取值范围为________．(4)函数y ＝2－x 2＋2x的值域为________．(1)D (2)B (3)[6，＋∞) (4)(0,2] [(1)c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32-34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，则⎝ ⎛⎭⎪⎫35-13＞⎝ ⎛⎭⎪⎫35-14＞⎝ ⎛⎭⎪⎫278-14，即a ＞b ＞c ，故选D. (2)y ＝4x ＋2x ＋1＋1＝(2x )2＋2·2x ＋1， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1，故选B.(3)由题意知，函数u ＝－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，则a2≥3，即a ≥6.(4)－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，则0＜y ≤2. 即函数y ＝2－x 2＋2x 的值域为(0,2]．]。
2020届高考数学(理)一轮复习讲义2.5指数与指数函数
§2.5指数与指数函数最新考纲1.认识指数函数模型的实质背景．2.理解有理数指数幂的含义，认识实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3.理解指数函数的观点及其单一性，掌握指数函数图象经过1 1的特别点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．4.领会指数函数是一类重要的函数模型.考情考向剖析直接考察指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考察函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度 .1．分数指数幂m n m(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a n＝a m(a>0，m，n∈N＋，且n为既约分数)；正数m m1的负分数指数幂的意义是 a n＝n (a>0， m， n∈ N＋，且n 为既约分数 )； 0 的正分数指数幂a m等于 0； 0 的负分数指数幂没存心义．α β＋αβαβαα αa a ＝ a ，(a ) ＝a ， (ab) ＝ ab ，此中 a>0， b>0，α，β∈ Q.(2)有理指数幂的运算性质：α β2．指数函数的图象与性质y＝ a x a>1 0<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0 ，＋∞ )(3)过定点 (0,1)(4)当 x>0 时， y>1 ；(5)当 x>0 时， 0<y<1 ；性质当 x<0 时， 0<y<1 当 x<0 时， y>1(6)在 (－∞，＋∞ )上是增函数(7)在 (－∞，＋∞ )上是减函数概念方法微思考1．如图是指数函数 (1)y＝ a x，(2)y＝ b x， (3)y＝ c x，(4)y＝ d x的图象，则a， b， c， d 与 1 之间的大小关系为 ________．提示c>d>1> a>b>02．联合指数函数 y＝ a x(a>0， a≠1) 的图象和性质说明a x>1( a>0， a≠ 1)的解集跟 a 的取值有关．提示当 a>1 时， a x>1 的解集为 { x|x>0} ；当 0< a<1 时， a x>1 的解集为 { x|x<0} ．题组一思虑辨析1．判断以下结论能否正确(请在括号中打“√”或“×” )n n(1) a n＝ ( a)n＝ a(n∈ N＋ )． ( × )m m(2)分数指数幂a n能够理解为n个 a 相乘． ( ×)x x＋1(3)函数 y＝ 3·2 与 y＝2都不是指数函数． ( √)(4)若 a m<a n (a>0，且 a≠1) ，则 m<n.( ×)－(5)函数 y＝ 2 x在 R 上为单一减函数． (√)题组二教材改编42．化简 16x 8y 4(x<0， y<0)＝ ________.答案 － 2x 2y3．若函数 f(x)＝a x (a>0，且 a ≠ 1)的图象经过点P 2， 1 ，则 f(－1) ＝________.2答案 2分析由题意知 1＝ a 2，所以 a ＝ 2，2 2 所以 f(x)＝2 x ，所以 f( － 1)＝ 2 －1＝ 2.2 23 4．已知 a ＝51 3， b ＝ 35 1 4， c ＝ 323 4，则 a ， b ， c 的大小关系是 ________．答案c<b<a分析∵ y ＝35 x是 R 上的减函数，11∴3 3>3 4>3 55 5， 即 a>b>1，又 c ＝323 43 <2＝ 1，∴ c<b<a.题组三易错自纠112 233743× －0＋84× 2－5．计算：6 3＝ ________.2答案 213 113 32 3分析 原式＝× 242 ×1＋ 24－＝ 2.36．若函数 f(x)＝ (a 2－ 3) ·a x 为指数函数，则 a ＝ ______. 答案 2a 2－ 3＝1，分析 由指数函数的定义可得a>0， 解得 a ＝2.a ≠ 1，7．若函数 y ＝(a 2－1) x 在 (－∞，＋∞ )上为减函数， 则实数 a 的取值范围是 ________________ ．答案(－ 2，－ 1)∪ (1， 2)分析由题意知 0< a 2－ 1<1，即 1<a 2<2，得－ 2<a<－ 1 或 1<a< 2.8．已知函数 f(x)＝ a x (a>0， a ≠ 1)在 [1,2] 上的最大值比最小值大1 3 答案 2或2分析 当 0<a<1 时， a － a 2＝a，2∴ a ＝12或 a ＝ 0(舍去 )．当 a>1 时， a 2－ a ＝a， 2∴ a ＝32或 a ＝ 0(舍去 )．13综上所述， a ＝ 或 .a，则 a 的值为 ________． 2题型一 指数幂的运算1．若实数 a>0，则以下等式建立的是()－2B ． 2a －3＝ 13A ．(－ 2) ＝ 42a14C ．(－2)0 ＝－ 1D ． a 4＝1a答案 D分析 对于 A ，(－ 2) －21A 错误；对于－32 0＝ ，故 B,2a＝3，故 B 错误；对于 C ， (－2) ＝ 1，4a14故 C 错误；对于 D ，a 4 ＝ 1，故 D 正确．a27 213－ 12 2．计算：＋ 0.002 － 10( 5－ 2) ＋π＝ ________.8167答案 － 91分析 原式＝ － 3 －2＋ 5002－10 5＋ 2＋ 1 25－ 2 5＋ 2＝4＋10 5－ 10 5－ 20＋ 1＝－ 16799.1 3．化简：4134ab121 (a>0， b>0)＝ ________.133 0.1 b 2a答案8 523 3 3分析 原式＝ 2× a 2 b 2 ＝21 ＋ 3× 10－81＝ .3 3 510 a 2 b 24 1 23 a 24．化简：a 38a 3b2 3 ba ＝ ________(a>0)．232a 3a5a 3 a4b 32 aba 3答案 a21131 32 12a3a33a a2b113分析 原式＝a 32b 3121112a1115a3a32b32b3a 2 a 31115aa 62a 3 a 3 2b 3.111aa 3 2b 3 a 6思想升华 (1) 指数幂的运算第一将根式、分数指数幂一致为分数指数幂，以便利用法例计算，还应注意：① 一定同底数幂相乘，指数才能相加；② 运算的先后次序．(2)当底数是负数时，先确立符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不可以同时含有根号和分数指数，也不可以既有分母又含有负指数．题型二 指数函数的图象及应用例 1 (1) 函数 f(x)＝ a x －b 的图象如下图，此中a ，b 为常数，则以下结论正确的选项是( )A ． a>1， b<0B ．a>1， b>0C ．0<a<1，b>0D ． 0<a<1，b<0 答案 D分析 x －b的图象能够察看出，函数 x －b在定义域上单一递减，所以由 f( x)＝ a f(x)＝ a 函数 f(x)＝ a x －b 的图象是在 y ＝ a x 的基础上向左平移获得的，所以b<0.(2)已知函数 f(x)＝ |2x －1|， a<b<c 且 f(a)>f( c)>f(b)，则以下结论中，必定建立的是 (A ． a<0， b<0 ， c<0B ． a<0， b ≥ 0，c>0C ．2 －a<2 cacD ． 2 ＋2 <2答案 D分析作出函数 f(x)＝ |2x － 1|的图象，如图，0<a<1，)∵a<b<c 且 f( a)> f(c)>f(b)，联合图象知，0<f(a)<1， a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝ |2a－ 1|＝ 1－ 2a<1，∴f(c)<1 ，∴ 0< c<1.∴1<2c<2 ，∴f(c)＝ |2c－ 1|＝ 2c－1，又∵ f(a)>f(c)，∴1－ 2a>2c－ 1，∴2a＋ 2c<2，应选 D.思想升华 (1) 已知函数分析式判断其图象一般是取特别点，判断选项中的图象能否过这些点，若不知足则清除．(2)对于相关指数型函数的图象可从指数函数的图象经过平移、伸缩、对称变换而获得．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确准时应注意分类议论．追踪训练 1 (1)已知实数a， b 知足等式 2 019a＝ 2 020b，以下五个关系式：①0<b<a；② a<b<0 ；③ 0<a<b；④ b<a<0；⑤ a＝ b.此中不行能建立的关系式有()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个答案 B分析如图，察看易知，a， b 的关系为a<b<0 或0<b<a 或a＝b＝ 0.(2)方程 2x＝ 2－ x 的解的个数是 ________．答案 1分析方程的解可看作函数y＝ 2x和y＝ 2－ x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象 (如图 )．由图象得只有一个交点，所以该方程只有一个解．题型三指数函数的性质及应用命题点 1 比较指数式的大小4 2 1例 2 (1) 已知 a＝23 ， b＝45，c＝253，则()A ． b<a<c B． a<b<c C．b<c<a D． c<a<b 答案 A4 15415分析由 a15＝23 ＝ 220，b15＝25＝212，c15＝255>220，可知b15<a15<c15，所以b<a<c.1(2)若－ 1<a<0 ，则 3a，a3 ， a3的大小关系是 __________ ． (用“ >”连结 )1答案3a>a3> a31 13a>0 ，a3 <0 ， a3<0，又由－ 1< a<0，得 0<－ a<1 ，所以 (－ a)3<分析易知 a 3，即－a3<1 1 1－a3，所以a3> a 3，所以3a>a3> a3.命题点 2解简单的指数方程或不等式4x， x≥ 0，例3 (1)(2018包·头模拟)已知实数a≠ 1，函数f(x)＝2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则 a的值为 ______ ．答案12分析当 a<1 时， 41－ a ＝ 21，解得 a ＝1；2当 a>1 时，代入不建立．故a 的值为 1 .2(2)若偶函数 f(x)知足 f(x)＝ 2x － 4(x ≥0) ，则不等式 f(x － 2)>0 的解集为 ________________ ．答案{ x|x>4 或 x<0}分析∵ f(x)为偶函数，当 x<0 时，－ x>0，则 f(x)＝f(－ x)＝ 2－x －4，2x － 4， x ≥ 0，∴f(x)＝2－x － 4， x<0 ，当 f(x － 2)>0 时，有 x － 2≥ 0，x － 2<0，－或－ ＋2－ 4>0，2x 2－ 4>02 x解得 x>4 或 x<0.∴ 不等式的解集为 { x|x>4 或 x<0} ． 命题点 3 指数函数性质的综合应用例 4 (1)已知函数 f(x)＝ 2|2x － m|(m 为常数 )，若 f(x) 在区间 [2，＋∞ )上单一递加，则 m 的取值范 围是 ________． 答案 (－∞， 4]分析 令 t ＝ |2x － m|，则 t ＝ |2x － m|在区间m，＋ ∞ 上单一递加， 在区间 － ∞ ，m上单一递22减．而 y ＝2 t在 R 上单一递加， 所以要使函数 f(x)＝ 2 |2x －m|m≤2，在 [2，＋ ∞ )上单一递加， 则有 2即 m ≤ 4，所以 m 的取值范围是 (－ ∞ ， 4]．xx ＋1的单一增区间是 ________．(2)函数 f(x) ＝ 4 － 2 答案 [0，＋∞ )分析 设 t ＝ 2x (t>0) ，则 y ＝ t 2－ 2t 的单一增区间为 [1，＋ ∞ )，令 2x ≥ 1，得 x ≥ 0，又 y ＝2x在R 上单一递加，所以函数 f( x)＝ 4x － 2x ＋1 的单一增区间是[0，＋ ∞ )．1 (3)若函数 f(x)＝3ax 2－ 4x ＋3有最大值 3，则 a ＝ ________.答案 1分析 令 h(x)＝ ax 2－ 4x ＋ 3， y ＝ 1 h x3，所以 h(x)应有最小值－ 1，3 ( )，因为 f(x)有最大值a>0，所以必有解得 a ＝ 1，12a －16＝－ 1，4a即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值为 1.思想升华 (1) 利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是 “同底 ”原则，比较大小还能够借助中间量；(2)求解与指数函数相关的复合函数问题，要明确复合函数的组成，波及值域、单一区间、最值等问题时，都要借助“ 同增异减 ” 这一性质剖析判断．追踪训练 2 (1)函数 f(x)＝ x 2－ bx ＋ c 知足 f(x ＋ 1)＝f(1－ x)，且 f(0)＝ 3，则 f(b x )与 f(c x)的大小关系是 ( )A ． f(b x )≤ f(c x )B ． f(b x )≥ f(c x )C ．f(b x )>f(c x )D ．与 x 相关，不确立答案 A分析 ∵ f(x ＋ 1)＝ f(1－ x)， ∴f(x)对于 x ＝1 对称，易知 b ＝ 2， c ＝ 3，当 x ＝0 时， b 0＝ c 0＝ 1，∴ f(b x )＝ f(c x )，当 x>0 时， 3x >2x >1 ，又 f(x)在 (1，＋ ∞ )上单一递加， ∴ f(b x )<f(c x )， 当 x<0 时， 3x <2x <1 ，又 f(x)在 (－ ∞， 1)上单一递减，∴ f(b x )<f( c x ) ，综上， f(b x )≤ f(c x )．(2)已知 f(x) ＝ 2x － 2－x ，a ＝79答案f(b)<f(a)1 91 45， b ＝7 ，则 f(a)， f(b)的大小关系是 __________．分析 x－x在 R 上为增函数， 易知 f(x) ＝2 － 2又 a ＝791411＝ 9 4 > 9 5＝ b ，7 7∴ f(a)>f(b)．(3)若不等式 1＋ 2x ＋ 4x ·a ≥ 0 在 x ∈ (－∞， 1]时恒建立， 则实数 a 的取值范围是 ____________．3答案－ ，＋∞分析 从已知不等式中分别出实数a ，1111 1 1得 a ≥－ 4x＋ 2 x.∵ 函数 y ＝ 4 x ＋ 2 x 在 R 上是减函数， ∴ 当 x ∈(－∞ ，1]时， 4 x ＋ 2 x1 1 3 ，进而得－ 1 x ＋ 1 x 3 ≥ ＋ ＝ 42 ≤ － .4 2 4 4故实数 a 的取值范围为 －3，＋ ∞ .41．设 a＝ 0.60.6，b＝ 0.61.5， c＝ 1.50.6，则 a，b， c 的大小关系是 ()A ． a<b<cB ． a<c<b C． b<a<c D ． b<c<a答案 C分析因为函数y＝ 0.6x在 R 上单一递减，所以b＝ 0.61.5<a＝ 0.60.6<1.又 c＝1.50.6>1，所以b<a<c.2．已知函数 f(x)＝ 5x，若 f(a＋b)＝3，则 f(a) ·f(b)等于 ()A．3 B． 4 C．5 D．25答案 A分析∵ f(x)＝ 5x，∴ f(a＋ b)＝ 5a＋b＝ 3，∴ f(a) ·f(b)＝ 5a× 5b＝ 5a＋b＝ 3.应选 A.3． (2018 大·连模拟 )已知 a， b∈ (0,1)∪ (1，＋∞ )，当 x>0 时， 1<b x<a x，则 ()A ． 0<b<a<1 B． 0<a<b<1C．1<b<a D． 1<a<b答案C分析∵ 当x>0 时，1< b x ， ∴ b>1.∵ 当 x>0 时， b x <ax， ∴ 当 x>0 时， a b x>1.a∴b >1， ∴ a>b ，∴ 1< b<a ，应选 C.4．已知 f(x)＝ 3x －b (2≤ x ≤4， b 为常数 )的图象经过点 (2,1)，则 f(x)的值域为 ()A ． [9,81]B ． [3,9]C ．[1,9]D ． [1，＋∞ )答案C分析由 f( x)过定点 (2,1)可知 b ＝2，因为 f(x)＝ 3x －2 在 [2,4] 上是增函数，f(x) min ＝ f(2) ＝ 1， f(x)max ＝ f(4) ＝9.应选 C.|2x －4|1，则 f(x)的单一递减区间是 ()5．若函数 f(x)＝a(a>0， a ≠1)知足 f(1) ＝9A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ )C ．[－2，＋∞ )D ． (－∞，－ 2]答案 B分析 由 f(1) ＝1，得 a 2＝ 1，9 9所以 a ＝1或 a ＝－ 1(舍去 )，即 f(x)＝1|2x －4|.3 33因为 y ＝ |2x － 4|在 (－ ∞， 2]上单一递减，在 [2，＋ ∞ )上单一递加， 所以 f(x)在 (－ ∞ ， 2]上单一递加，在 [2，＋ ∞ )上单一递减．应选 B.6．已知函数 f(x)＝－1 x2 ， a ≤ x<0，的值域是 [ －8,1]，则实数 a 的取值范围是 ()－ x 2＋ 2x ， 0≤ x ≤ 4A ． (－∞，－3]B ． [－ 3,0)C ．[－3，－ 1]D ． { －3}答案B分析当 0≤ x ≤4 时， f(x)∈[ －8,1] ，当a ≤x<01 时， f(x)∈ － a ，－ 11，所以 － a ，－ 11[－ 8,1]，即－ 8≤ －2a <－1，即－ 3≤ a<0.所以实数a 的取值范围是 [－ 3， 0)．7．若“ m>a ”是“函数f(x)＝ 1 x＋ m － 1的图象可是第三象限”的必需不充分条件，则实数3 3a 能取的最大整数为 ________．答案 － 1分析 f(0)＝ m ＋ 2，∴ 函数 f(x)的图象可是第三象限等价于 m ＋ 2≥ 0，即 m ≥－ 2，∵“ m>a ”33 3 2 2 是 “m ≥ －3” 的必需不充分条件， ∴ a<－ 3，则实数 a 能取的最大整数为－ 1.－ x 2＋ 2x 1 ＋ 8．不等式 2> 2 x4的解集为 ________．答案 (－ 1,4)分析 原不等式等价于2－x 2 ＋2 x>2－x －4，又函数 y ＝ 2x 为增函数， ∴ － x 2＋ 2x>－ x － 4，即 x 2－ 3x －4<0 ， ∴－ 1<x<4.9．当 x ∈ (－∞，－1]时，不等式 (m 2－ m) ·4x － 2x <0 恒建立， 则实数 m 的取值范围是 ________．答案(－ 1,2)分析原不等式变形为m 2－ m<12 x，1因为函数 y ＝ 2 x 在 (－∞ ，－ 1]上是减函数，11 －所以2 x≥ 2 1＝ 2，当 x ∈ (－∞ ，－ 1]时， m 2－ m< 1 x恒建立等价于 m 2－ m<2，解得－ 1< m<2.2 10．已知函数 f(x)＝ 2x－1x ，函数 g( x)＝f x ， x ≥0，则函数 g(x)的最小值是 ________．f － x ， x<0 ，2答案 0分析 当 x ≥ 0 时， g(x)＝ f(x)＝ 2x－ 1x 为单一增函数，所以 g(x)≥ g(0)＝ 0；当 x<0 时， g(x)＝ 2－x1 1 －2 x 为单一减函数，所以g(x)> g(0)＝ 0，f(－ x) ＝2 － － ＝2x2 x所以函数 g(x)的最小值是 0.11．已知 xxy ＝ 1 x － 1 1 x＋ 2 的最大值和最小值．9 － 10·3 ＋ 9≤ 0，求函数 4 － 4 2解 由 9x －10·3x ＋ 9≤0，得 (3x － 1)(3x－ 9)≤ 0，解得 1≤ 3x ≤9，即 0≤x ≤ 2.令 12 x ＝ t ，则 14≤ t ≤ 1，y ＝ 4t 2－ 4t ＋ 2＝ 4 t － 12 2 ＋1.当 t ＝ 1，即 x ＝ 1 时， y min ＝ 1；2 当 t ＝ 1，即 x ＝ 0 时， y max ＝ 2.12．已知函数 f(x)＝ b ·a x (此中 a ， b 为常量，且 a>0， a ≠ 1)的图象经过点 A(1,6)， B(3,24) ．(1)求 f( x)的表达式；1 1(2)若不等式a x＋b x－ m≥ 0 在 (－∞， 1]上恒建立，务实数m 的取值范围．解 (1) 因为 f(x)的图象过 A(1,6) ， B(3,24)，b·a＝ 6，所以b·a3＝ 24.所以 a2＝4，又 a>0 ，所以 a＝ 2， b＝ 3.所以 f(x)＝ 3·2x.(2)由 (1)知 a＝2， b＝ 3，则当 x∈(－∞， 1]时，1 x 1 x－ m≥ 0 恒建立，即 m≤1 x 1 x2 ＋3 2 ＋ 3在 (－∞， 1]上恒建立．又因为 y＝1x与 y＝1x在 (－∞， 1]上均为减函数，所以y＝1 x＋1x在 (－∞， 1]上也是2 3 2 3减函数，所以当 x＝ 1 时，y＝1x＋1x有最小值5，所以 m≤5，即 m 的取值范围是－∞，5 2 36 6 6.3x－ 1， x<1，13． (2018 呼·和浩特调研 )设函数 f(x)＝则知足f(f( a))＝2f(a)的a的取值范围是2x， x≥1，( )2， 1B． [0,1] C. 2，＋∞D ．[1，＋∞ )A. 3 3答案 C分析令 f( a)＝ t，则 f(t)＝ 2t.当 t<1 时， 3t－ 1＝ 2t，令 g(t)＝ 3t－ 1－2t，则 g′ (t)＝ 3－2t ln 2 ，当 t<1 时， g′ (t)>0 ，g( t)在(－∞，1) 上单一递加，即g(t)<g(1) ＝ 0，则方程3t －1＝ 2t无解．当 t ≥ 1 时， 2t＝2t建立，由 f(a)≥ 1，得 a<1，且 3a－ 1≥ 1，解得23≤ a<1；a≥ 1，且 2a≥ 1，解得 a≥ 1.综上可得a 的取值范围是2，＋ ∞ 3.应选C.14．若函数 f(x)＝ 2|x ＋a|(a ∈ R )知足 f(1－ x)＝ f(1＋ x)， f(x)在区间 [m ， n]上的最大值记为 f(x)max ，最小值记为 f(x) min ，若 f(x)max － f(x)min ＝ 3，则 n － m 的取值范围是 ______________． 答案 (0,4]分析 因为 f(1－ x)＝ f(1＋ x)，所以 f(x)的图象对于直线 x ＝1 对称，所以 a ＝－ 1，x－1|.所以 f(x)＝ 2|作出函数 y ＝ f(x)的图象如下图．当 m<n ≤1 或 1≤m<n 时，离对称轴越远， m 与 n 的差越小，由 y ＝2x－1与 y ＝ 21－x 的性质知极限值为 0.当 m<1<n 时，函数 f(x)在区间 [m ，n] 上的最大值与最小值的差为 f(x)max － f(x) min ＝2| ±2|－ 20＝ 3，则 n － m 获得最大值 2－(－2)＝ 4，所以 n － m 的取值范围是 (0,4] ．15．设 f(x)＝ |2x－1－ 1|， a<c 且 f( a)> f(c)，则 2a＋ 2c______4.(选填“ >”“ <”“＝” ) 答案<分析f(x)在 (－∞，1] 上是减函数，在 [1，＋∞ )上是增函数，故联合条件知必有a<1. 若 c≤1，则 2a<2,2c≤ 2，故 2a＋ 2c<4；若 c>1，则由 f(a)>f(c)，得 1－ 2a－1>2c－1－ 1，即 2c－1＋2a－1<2 ，即 2a＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.16．已知函数1 λ＋ 4(－ 1≤ x≤ 2)．f(x)＝x－x－14 2(1)若λ＝32，求函数f(x)的值域；(2)若方程 f(x)＝ 0 有解，务实数λ的取值范围．解 (1)f(x)＝1x－xλ－1＋4 4 2＝122x－ 2λ·12x＋4( －1≤ x≤ 2)．设 t＝1x，得 g(t)＝ t 2－ 2λt＋41≤ t≤ 2 .2 4当λ＝32时， g(t) ＝t2－ 3t＋ 4＝t－32＋7 1≤ t≤2 . 2 4 4所以 g( t)max＝ g 1＝53， g(t)min＝ g3 74 16 2＝ .4所以 f(x)max＝53， f(x) min＝7，16 4753故函数 f(x)的值域为4，16 .(2)方程 f(x) ＝0 有解可转变为x＋ 1 1λ＝ 2·2·x(－1≤x≤ 2)．2 2设φ(x)＝ 2·2x＋11≤2x≤4，2·2x 2当 2x＝12，即 x＝－ 1 时，φ(x)min＝ 2；当 2x＝ 4，即 x＝ 2 时，φ( x)max＝65.865∴函数φ(x)的值域为2，8.65故实数λ的取值范围是2，8.。
2020届全国新高考数学核心考点 指数与指数函数
2020届全国新高考数学核心考点考点06 指数与指数函数2020届全国高考数学复习备考建议一、2020届全国高考数学继续坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，注重顶层设计，明确“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心功能；明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，强化对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识的全面考查。
二、回归课本，夯实基础知识和基本技能．课本是根基，在进行复习时，要回归课本，发挥课本例题或习题的作用，注重基础，抓牢基础，充分利用课本弄清问题的来龙去脉，对知识追根溯源。
全面系统掌握高考数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法，进一步强化数学学科核心素养，聚力共性通法。
三、把握复习重心，不忽略边缘线知识．在复习过程中应在核心考点函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等主干知识上花主要精力，同时，不要忽略一些边缘性的知识。
四、命题者依然坚守“重视通性通法，淡化技巧”。
因此高考数学备考复习必须遵循教学规律，认真钻研《高考数学考试说明》，重视通性通法的教学，从海量题目的众多解法中分析选择通法，着眼于传授和培养学生分析解决某一类问题的一般方法，从而提高学生的一般解题能力，对那些带规律性、全局性和运用面广的方法，应花大力气，深入研究，务必使学生理解深刻，掌握透彻。
只有这样才能得到“做一题，学一法，会一类，通一片”的功效，从而为大面积提高高考数学复习质量奠定坚实的基础。
五、重视数学思想方法的指引。
数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，它蕴涵于具体的内容与方法之中，又经过提炼与概括，成为理性认识，它直接支配数学教学的实践活动，数学概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体现与应用。
重磅!2020年高考数学专题知识考点总复习：第二章第5课时 指数函数课件.ppt
另一部分是：y＝3x(x＜0)向1―个左―单平→位移y＝3x＋1(x＜－1)．
图象如图：
(2)由图象知函数在(－∞，－1)上是增函数， 在(－1，＋∞)上是减函数． (3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1， 无最小值．
【题后感悟】 对于指数型函数图象的研究， 一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过 平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，要注 意底数a＞1与0＜a＜1的两种不同情况．
考点探究讲练互动
考点突破 考点1 指数幂的化简与求值
例1 计算下列各式：
2
(1)(0.027) 3
＋12275－
1 3
－2790.5；
(2)(2a
21
3b2
)(－6a
1
2b
1 3
)÷(－3a
1 6
5
b6
)．
【解】
(1)原式＝0.32＋12275
1 3
－
25 9
＝1900＋53－53＝1900.
符号表 示
n a
n ± a(a ＞0)
备注
零的 n 次 方根是零
负数没有 偶次方根
思考探究
n an与( n a)n 是否相同？ 提示：不同，( n a)n 等于 a.而 n an，当 n 为 奇数时为 a；当 n 为偶数时为|a|.
2．分数指数幂
m
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：a n ＝ ___n_a_m_____(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；正数的
(2)原式＝(－52
1
a－6
b－ 3)÷(2a13
2
11
b－3 )·a 2 b 2
＝－5a－
1 2
2020年高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第5讲指数与指数函数课件理北师大版
考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)
【例 3】 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>1.73
B.0.6－1>0.62
C.0.8－0.1>1.250.2
D.1.70.3<0.93.1
(2)已知函数 f(x)＝13ax2－4x＋3.
①若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
1
2.(教材改编)化简[(－2)6]2－(－1)0 的结果为(
A.－9
B.7
C.－10
1
解析 原式＝(26)2－1＝8－1＝7.
答案 B
) D.9
3.函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图像可能是( )
解析 函数 y＝ax－1a是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位 长度得到，A 项显然错误；当 a>1 时，0<1a<1，平移距离小于 1，所以 B 项错误；当 0<a<1 时，1a>1，平移距离大于 1，所以 C 项错误，故选 D.
②若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；
③若 f(x)的值域是(0，＋∞)，求 a 的值.
(1)解析 A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误； B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的 大小.∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第二章第5讲指数与指数函数含解析
[基础达标]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎡⎦⎤4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C. 3．下列各式比较大小正确的是( )A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中，因为函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B 中，因为y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.4．(2019·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．5．(2019·衢州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C.当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．6．已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫作函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( )A ．(0，2]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤12，2∪[)4，＋∞ 解析：选C.因为函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，所以F (x )＝f (－x )＝|2－x －t |，因为区间[1，2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数F (x )＝|2－x －t |在[1，2]上单调性相同，因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反，所以(2x －t )(2－x －t )≤0在[1，2]上恒成立，即1－t (2x ＋2－x )＋t 2≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤t ≤2x 在[1，2]上恒成立， 即12≤t ≤2，故答案为C. 7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：438．(2019·杭州中学高三月考)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________．解析：因为e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e －3y ＋(－3y )3＋(－3y )＋1＝0，所以x ＝－3y ，即x＋3y ＝0，所以e x ＋3y ＝e 0＝1.答案：19．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2－3a <0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝⎛⎦⎤23，3410．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1，2)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)， 单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.12．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.[能力提升]1．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2 解析：选D.作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.2．(2019·衢州市高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：选B.作出函数y ＝f (x )图象如图所示：再作出－y ＝f (－x )，即y ＝x 2－4x ，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C ，发现y ＝(12)x 与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B.3．(2019·杭州模拟) 已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x ＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a －1＋1b ⎝⎛⎭⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b的最小值为92.答案：92 73，234．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝e |x |，将函数f (x )的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象，函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x >5，若对于任意的x ∈[3，λ](λ>3)，都有h (x )≥g (x )，则实数λ的最大值为________．解析：依题意，g (x )＝f (x －3)＋2＝e |x －3|＋2，在同一坐标系中分别作出g (x )，h (x )的图象如图所示，观察可得，要使得h (x )≥g (x )，则有4e 6－x ＋2≥e (x －3)＋2，故4≥e 2x －9，解得：2x －9≤ln 4，故x ≤ln 2＋92，实数λ的最大值为ln2＋92.答案：ln 2＋925．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1 ＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1， 故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.6．(2019·宁波效实中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎝⎛⎭⎫13，3， 设t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎝⎛⎭⎫13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．因为m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又因为h (a )的定义域为[n ，m ]， 值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， 所以满足题意的m ，n 不存在．。
2020年高考数学复习精选课件 第5节 指数与指数函数 公开课一等奖课件
5
a 16
2
1
b-3÷(4 a 3 ·b-3) 2
2
栏目索引
=-
5
1
a 6
b-3÷( a 13 b32
)
4
=-
5
1
a 2
3
·b 2
4
=- 5 · 1 4 ab3
=- 54aabb2
.
1 1 1 1
(3)原式= a
3b2 a
15
2b3
a6b6
111 115
= a 3 2 6 ·b 2 3 6
=1
a
.
栏目索引
栏目索引
易错警示 (1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一化为分数指数幂,以便 利用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的 先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算 结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
栏目索引
1-1
27 8
2 3
1
+(0.002 ) 2
-10×( 5
-2)-1+( 2
- 3
)0=
.
答案 - 167
9
解析
原式=
27 8
2 3
+
1 500
1 2
- 10
5
2
+1
2
=
8 27
3ห้องสมุดไป่ตู้
1
+50 02 -10( 5
应使y=ax2-4x+3的值域为R,
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1
第5讲 指数与指数函数
一、知识梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N ＋..n
a 叫做根式，这里n
叫做根指数，a 叫做被开方数．
②a 的n 次方根的表示：
x n ＝a ⇒⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N ＋.，n >1时，
x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N ＋
.时.
(2)根式的性质
2
①(
n
a )n ＝a (n ∈N ＋.，且n >1)；
②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，
－a ，a <0，
n 为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a m
n ＝
n
a m (a >0，m ，n ∈N ＋.，且n >1)；
②负分数指数幂：a －m
n ＝
1
a m n
＝
1
n
a m
(a >0，m ，n ∈N ＋.，且n >1)；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
(2)有理数指数幂的运算性质
①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；
②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；
③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．
3．指数函数的图象与性质
y ＝a x (a >0且a ≠1) a >1 0<a <1
图象
定义域R
值域(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)
当x>0时，y>1；当x<0时，
0<y<1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
在R上是增函数在R上是减函数
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－1，
1
a.
2.
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与
3
1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．
二、教材衍化
1．化简4
16x8y4
(x<0，y<0)＝________．
解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)
1
4＝(16)
1
4·(x8)
1
4·(y4)
1
4＝2x2|y|＝－2x2y. 答案：－2x2y
2．函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．
解析：作出y＝2x与y＝2－x＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
x
的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．
答案：y轴
3．已知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
一、思考辨析
4
旗开得胜
5
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)
n
a n ＝(
n
a )n ＝a .( )
(2)(－1)24＝(－1)1
2＝－1.( )
(3)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( )
(4)函数y ＝ax 2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函数y ＝2x －1是指数函数．( )
(6)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
二、易错纠偏
常见误区|
Ｋ(1)忽略n 的范围导致式子
n
a n (a ∈R )化简出错；
(2)不能正确理解指数函数的概念致错；
(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；
(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．
1．计算
3
（1＋2）3＋
4
（1－2）4＝________．。