2018届福建省厦门二中高三上学期期中考试理科数学试题及答案 精品

厦门二中2017-2018学年度第一学期 高三年段 数学（理）科期中考试卷第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域作答．1．已知全集U R =，集合{|||3}A x x =<，{|20}B x x =-≥，则()U A C B U 等于---------------------（ ★ ）A ．(-∞，3]B ．(-∞，3)C ．[2，3)D ．(3-，2]2．命题“1x ∀>，21x >”的否定是（ ★ ）A ．1x ∀>，21x ≤B ．1x ∀<，21x ≤C ．01x ∃>，201x ≤D ．01x ∃<，201x ≤ 3．计算：232(1)x dx -+=⎰--------------------------------------------------------------------------------------------------（ ★ ）A ．2B ．4C ．8D ．124．已知()()1,41,42xf x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f ＝----------------------------------------------------------------（ ★ ）A ．124B ．112C ． 14D ．125．若方程ln 50x x +-=在区间(a ，)b (,a b Z ∈，且1)b a -=上有一实根，则a 的值为-------------（ ★ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 6．函数),2||.0,0()sin(R x A B x A y ∈<>>++=πϕωϕω的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ★ ）A ．1)63sin(2+-=ππx yB ．1)36sin(2+-=ππx yC ．1)63sin(2++=ππx y D ．1)66sin(2++=ππx y7．用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ΛΛ” )(*∈N n 时，从“k n =到1+=k n ”时，左边应添乘的式子是（ ★ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ．112++k k D ．28．若正数x ，y 满足1x y +=，且14a xy+≥对任意x ，(0,1)y ∈恒成立，则a 的取值范围是--------（ ★ ）A ．(0，4]B ．[4，)+∞C ．(0，1]D ．[1，)+∞9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意R x ∈，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且 (1)()0x f x '-<，设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则cb a ,,三者的大小关系是------------------------------------------------（ ★ ） A ．a bc << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<10．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00|()()|1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出4组函数：①2()f x x =，()23g x x =-； ②()f x x =，()2g x x =+；③()x f x e -=，1()g x x=-； ④()ln f x x =，1()2g x x =-；其中在区间(0，)+∞上存在“友好点”的有-------------------------------------------------------------------（ ★ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分． 11．函数5123223+--=x x x y 在[]3,0上的最小值分别是 ． 12．若实数x，y满足220,4,5.x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则z x y=+的最大值为 ．13．在等差数列}{n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S = ．14．已知函数2()x f x e x =-的导函数为/()fx ，()y f x =与/()y f x =在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程/()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解，则实数a的取值范围是 ．（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在．．答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．15．（1）（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵A ＝1031⎛⎫⎪-⎝⎭，B ＝1201-⎛⎫⎪⎝⎭，则1()AB -＝ ．（2）（选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）．若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，则AB = ．（3）（选修4-5：不等式选讲）函数x x y -+-=51的最大值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若()R B C A =∅I ，求实数a 的取值范围． 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，则462sin =C；（Ⅰ）求C sin ；（Ⅱ）若2=c ，A B sin 2sin =，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1b ，3b ，9b 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若*2())(1)n nc n N n b =∈+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知向量33(cos ,sin ),(cos(),sin())444343x x x x a b ππ==+-+r r ；令2()(),f x a b =+r r（Ⅰ）求()f x 解析式及单调递增区间；（Ⅱ）若5[,]66x ππ∈-，求函数()f x 的最大值和最小值； （Ⅲ） 若()f x =52，求sin()6x π-的值．20．（本小题满分12分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC ， 其中OAE 是一个游泳池，计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l （宽度不计），切点为M ，并把该地块分为两部分．现以点O 为坐标原点，以线段OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象，且点M到边OA 距离为24()33t t ≤≤．（Ⅰ）当23t =时，求直路l 所在的直线方程；（Ⅱ）当t 为何值时，地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？21．（本小题满分14分）已知函数2()ln(1)f x a x ax x =+--． （Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）讨论()f x 在定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意正整数n ，222134232)1ln(nn n +++++<+Λ．参考答案：一、选择题：（共１０小题，每小题５分，满分５０分）BCBAC ABDCD二、填空题：（共５小题，每小题４分，满分24分）11．15-； 12． 9； 13． 88； 14．. 2a ≥ 15．（1）7231-⎛⎫ ⎪-⎝⎭（214（3）22 14．（解法一）设/2()()()2()x a g x f x f a e x e a =-=---令/()2x g x e =->0，则ln 2x >，所以()g x 在(,ln 2)-∞单调递增，在(ln 2,)+∞单调递减要使满足题意，则2220(1)()0(ln 2)022ln 20(2)ln 2ln 2(3)a a a e a e a g a g e a a a ⎧--+≥---≥⎧⎪⎪<⇒--+<--⎨⎨⎪⎪<<---------⎩⎩由（1），（3）可知2a ≥设2()22ln 2a h a e a =--+，/()20a h a e a =-+<在2a ≥恒成立 所以2()22ln 2a h a e a =--+在[2,)+∞上单调递减， 所以2()(2)62ln 20h a h e ≤=--< 所以（2）对任意的a R ∈都成立 综上所述2a ≥. （解法二）/()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解⇔函数/12()()y f x y f a ==与有两交点/1(),(,]y f x x a =∈-∞---表示右端点位置变化的函数2()y f a =--------表示与x 轴平行的一组直线，它的高低与()f a 的值有关 所以a一定在/1(),(,]y f x x a =∈-∞的极值点右侧，同时2()()y f a g a =≥三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解：（１）集合A ：2230x x -->， 解得：{|1A x x =<-或3}x >集合Ｂ：()g x 图象单调递增，()4a g x a-<≤-，则{|4}B y a y a =-<≤- (8)分（２）{|13}R C A x x =-≤≤，由()R B C A =∅I ，结合数轴，41a -<-或3a -≥，解得3a ≤-或5a >．..….13分17. （本题满分12分）解：由已知：（１）462sin =CΘ，41)46(212sin 21cos 22=⨯-=-=∴C C 又π<<C 0Θ，415)41(1cos 1sin 22=-=-=∴C C ． (5)分（２）A B sin 2sin =Θ，∴由正弦定理得a b 2=， 由余弦定理，得C ab b a c cos 2222-+=，得1=a ，从而2=b ．4154152121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC..….13分18．（本题满分１３分）解：（１）当2n ≥，时11222n n n n n n a S S +-=-=-=又21112222a S ==-==，也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =112b a ==，设公差为d ，则由1b ，2b ，9b 成等比数列，得 2(22)2(28)d d +=⨯+ 解得0d =（舍去）或2d = 所以数列{}n b 的通项公式为2n b n = (7)分（２）解：21(1)(1)n n c n b n n ==++ 数列{}n c 的前n 项和1111122334(1)n T n n =++++⨯⨯⨯⨯+L11111111223111nn n n n =-+-++-=-=+++L ..….13分19.解：22233()()212[cos cos()sin sin()]144344322cos()3x x x x f x a b a a b b x πππ=+=+⋅+=++-++=++r r r r r r…2分当223k x k ππππ-≤+≤，2k ∈，即：422,33k k k Z πππππ-≤≤-∈时， ()f x 单调递增，()f x ∴增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,342ππππk k ，k Z ∈ …5分（Ⅱ）由5[,],66x ππ∈-得7[,]366x πππ+∈，1cos()3x π-≤+≤当6x π=-时()max 2f x =当23x π=时，()min 0f x = …9分（3）51()22cos()cos()3234f x x x ππ=++=∴+=，所以1sin()sin()cos()6634x x x πππ-=--=-+=-。