2019届河北衡水中学高三文上学期四调考试数学试卷【含答案及解析】
2019-2020学度河北衡水中学高三(上)四调数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学度河北衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）（解析版）【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、15．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、49．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、1211．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c 的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．2019-2016学年河北省衡水中学高三〔上〕四调数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在以下四个选项中，只有一个是符合题目要求的．〕1．在空间，以下命题错误的选项是〔〕A、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交B、一个平面与两个平行平面相交，交线平行C、平行于同一平面的两个平面平行D、平行于同一直线的两个平面平行【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据面面平行的性质可判断A；根据面面平行的性质定理可判断B；根据面面平行的性质可判断C；根据空间线面平行的几何特征及面面位置关系的定义和分类，可判断D、【解答】解：根据面面平行的性质可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个相交，故A正确；根据面面平行的性质定理可得：一个平面与两个平行平面相交，交线平行，故B正确；根据面面平行的性质可得：平行于同一平面的两个平面平行，故C正确；平行于同一直线的两个平面，可能平行也可能相交，故D错误；应选：D【点评】此题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．2．设集合P={x|}，m=30.5，那么以下关系中正确的选项是〔〕A、m⊈PB、m∉PC、m∈PD、m⊄P【考点】集合关系中的参数取值问题；元素与集合关系的判断．【专题】计算题．【分析】解出集合P中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与P的关系，从而得到答案．【解答】解：∵P={x|x2﹣x≤0}，∴，又m=30.5=故m∉P，应选B、【点评】此题考查元素与集合的关系，一元二次不等式的解法．3．如下图，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，那么该建筑物的高度为〔〕A、〔30+30〕mB、〔30+15〕mC、〔15+30〕mD、〔15+15〕m【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；解三角形．【分析】要求建筑物的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，sin15°=sin〔45°﹣30°〕=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=由正弦定理得：=30〔+〕，∴建筑物的高度为PBsin45°=30〔+〕×=〔30+30〕m，应选A、【点评】此题是实际应用题用到正弦定理和特殊角的三角函数值，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边．4．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A、+B、1+C、D、1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，分别求出它们的体积，相加可得答案．【解答】解：根据可得该几何体是一个四分之一圆锥，与三棱柱的组合体，四分之一圆锥的底面半径为1，高为1，故体积为：=，三棱柱的底面是两直角边分别为1和2的直角三角形，高为1，故体积为：×1×2×1=1，故组合体的体积V=1+，应选：B【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图判断出几何体的形状是解答的关键．5．正数组成的等比数列{a n}，假设a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为〔〕A、20B、25C、50D、不存在【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式得a 7+a14≥2=2=2=20．【解答】解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a1•a20=a7•a14=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．应选：A、【点评】此题考查等比数列性质的应用，结合基本不等式是解决此题的关键．注意均值定理的合理运用．6．设x，y满足不等式组，假设z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、[﹣2，1]C、[﹣3，﹣2]D、[﹣3，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：那么A〔1，1〕，B〔2，4〕，∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，假设a=0，那么y=z，此时满足条件，假设a＞0，那么目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，假设a＜0，那么目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，那么目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，应选：B、【点评】此题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决此题的关键．注意要进行分类讨论．7．假设函数y=f〔x〕的导函数为y=f′〔x〕，且，那么y=f〔x〕在[0，π]上的单调增区间为〔〕A、B、C、和D、和【考点】复合三角函数的单调性；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】为了求函数的一个单调递增区间，必须考虑到，据此即可求得单调区间，再利用自变量x的取值范围[0，π]，即可得到答案．【解答】解：由于，得到，解得，取k=0，k=1，又x∈[0，π]，那么和．故答案为：D【点评】此题以余弦函数为载体，考查复合函数的单调性，关键是利用导函数求函数的单调增区间．8．不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，那么常数a的最小值为〔〕A、1B、2C、3D、4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|﹣|y|≤|y+4﹣y|=4，从而将问题转化为2x+≥f〔y〕max=4，令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，从而可得答案．【解答】解：令f〔y〕=|y+4|﹣|y|，那么f〔y〕≤|y+4﹣y|=4，即f〔y〕max=4．∵不等式|y+4|﹣|y|≤2x+对任意实数x，y都成立，∴2x+≥f〔y〕max=4，∴a≥﹣〔2x〕2+4×2x=﹣〔2x﹣2〕2+4恒成立；令g〔x〕=﹣〔2x〕2+4×2x，那么a≥g〔x〕max=4，∴常数a的最小值为4，应选：D、【点评】此题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．9．己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，那么棱锥S﹣ABC 的体积为〔〕A、B、 C、 D、【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【专题】计算题．【分析】由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，那么进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB，所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．应选C、【点评】此题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB 的平面与SC垂直是此题的解题关键，常考题型．10．，，与的夹角为，那么等于〔〕A、2B、6C、D、12【考点】平面向量数量积的运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用．【分析】求出〔4﹣〕2，开方得出答案．【解答】解：=1×=1，〔4﹣〕2=162﹣8+=12．∴|4﹣|=2．应选：C、【点评】此题考查了向量的模与向量的数量积运算，是基础题．11．设过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x〔e为自然对数的底数〕上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么实数a的取值范围为〔〕A、[﹣1，2]B、〔﹣1，2〕C、[﹣2，1]D、〔﹣2，1〕【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数f〔x〕=﹣e x﹣x的导函数，进一步求得∈〔0，1〕，再求出g〔x〕的导函数的范围，然后把过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f〔x〕=﹣e x﹣x，得f′〔x〕=﹣e x﹣1，∵e x+1＞1，∴∈〔0，1〕，由g〔x〕=ax+2cosx，得g′〔x〕=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f〔x〕=﹣e x﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g〔x〕=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，那么，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．应选：A、【点评】此题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，是中档题．12．设函数f〔x〕满足x2f′〔x〕+2xf〔x〕=，f〔2〕=，那么x＞0时，f〔x〕〔〕A、有极大值，无极小值B、有极小值，无极大值C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值【考点】函数在某点取得极值的条件；导数的运算．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】令F〔x〕=x2f〔x〕，利用导数的运算法那么，确定f′〔x〕=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．【解答】解：∵函数f〔x〕满足，∴令F〔x〕=x2f〔x〕，那么F′〔x〕=，F〔2〕=4•f〔2〕=．由，得f′〔x〕=，令φ〔x〕=e x﹣2F〔x〕，那么φ′〔x〕=e x﹣2F′〔x〕=．∴φ〔x〕在〔0，2〕上单调递减，在〔2，+∞〕上单调递增，∴φ〔x〕的最小值为φ〔2〕=e2﹣2F〔2〕=0．∴φ〔x〕≥0．又x＞0，∴f′〔x〕≥0．∴f〔x〕在〔0，+∞〕单调递增．∴f〔x〕既无极大值也无极小值．应选D、【点评】此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．【二】填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13．α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，那么〝α⊥β〞是〝m⊥β〞的必要不充分条件〔从〝充分不必要〞、〝必要不充分〞、〝充要〞、〝既不充分也不必要〞中选出一种填空．〕【考点】充要条件．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】可以想象两平面垂直，平面内的直线和另一平面的位置有：和平面平行，和平面斜交，和平面垂直，在平面内，所以由α⊥β得不出m⊥β，而由m⊥β，能得到α⊥β，这根据面面垂直的判定定理即可得到，所以α⊥β是m⊥β的必要不充分条件．【解答】解：由m⊂α，α⊥β得不出m⊥β，因为两平面垂直，其中一平面内的直线可以和另一平面平行；假设m⊂a，m⊥β，那么根据面面垂直的判定定理得到α⊥β；∴α⊥β，是m⊥β的必要不充分条件．故答案为必要不充分．【点评】考查面面垂直时平面内的直线和另一平面的位置关系，面面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．14．函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=3．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用导函数求解函数值即．【解答】解：函数f〔x〕=，那么f〔〕+f〔﹣1〕=log3〔10﹣1〕+2﹣1+1=2+1=3．故答案为：3．【点评】此题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．设向量，〔n∈N*〕，假设，设数列{a n}的前n项和为S n，那么S n的最小值为1．【考点】数列与向量的综合．【专题】计算题；函数思想；转化思想；平面向量及应用．【分析】利用向量共线求出数列的通项公式，然后求解数列的前n项和．【解答】解：向量，〔n∈N*〕，假设，可得a n==2〔〕．S n=a1+a2+a3+…+a n=2[1+…+]=．数列{S n}是递增数列，S n的最小值为：S1=1．故答案为：1．【点评】此题考查向量与数列相结合，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．16．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是四棱锥，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，结合图形求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是四棱锥M﹣PSQN，把该四棱锥放入棱长为2的正方体中，如下图；所以该四棱锥的体积为V=V三棱柱﹣V三棱锥=×22×2﹣××22×2=．故答案为：．【点评】此题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．【三】解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．函数f〔x〕=2sin2〔x+〕﹣cos2x，x∈[，]．设x=α时f〔x〕取到最大值．〔1〕求f〔x〕的最大值及α的值；〔2〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α﹣，且sinBsinC=sin2A，求b﹣c的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的求值．【分析】〔1〕利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x﹣的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．〔2〕利用正弦定理把角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b﹣c的值．【解答】解：〔1〕依题．又，那么，故当即时，f〔x〕max=3．〔2〕由〔1〕知，由sinBsinC=sin2A即bc=a2，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，那么b2+c2﹣bc=bc即〔b﹣c〕2=0，故b﹣c=0．【点评】此题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．〔1〕求证：PC⊥AD；〔2〕求点D到平面PAM的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕取AD中点O，由题意可证AD⊥平面POC，可证PC⊥AD；〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，可证PO为三棱锥P﹣ACD的体高．设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD可得h的方程，解方程可得．【解答】解：〔1〕取AD中点O，连结OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，∴OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP=O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，∴PC⊥AD、〔2〕点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由〔1〕可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．在Rt△POC中，，，在△PAC中，PA=AC=2，，边PC上的高AM=，∴△PAC的面积，设点D到平面PAC的距离为h，由V D﹣PAC=V P﹣ACD得，又，∴，解得，∴点D到平面PAM的距离为．【点评】此题考查点线面间的距离计算，涉及棱锥的结构特征以及垂直关系的证明和应用，属中档题．19．等比数列{a n}的公比q＞1，a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列．数列{b n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣8n．〔Ⅰ〕分别求出数列{a n}和数列{b n}的通项公式；〔Ⅱ〕设c n=，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，求实数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】〔I〕利用等差数列与等比数列的通项公式可得a n，再利用递推式可得b n．〔II〕，由c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，作差c n+1﹣c n对n分类讨论即可得出．【解答】〔Ⅰ〕解：∵a1=2且a1，a2，a3﹣8成等差数列，∴2a2=a1+a3﹣8，∴，化为q2﹣2q﹣3=0，∴q1=3，q2=﹣1，∵q＞1，∴q=3，∴，当n=1时，．当n≥2时，，当n=1时，2×1﹣9=b1满足上式，∴．〔Ⅱ〕，假设c n≤m，对于∀n∈N*恒成立，即m≥c n的最大值，，当c n+1=c n时，即n=5时，c5=c6，当c n+1＞c n时，即n＜5，n∈N*时，c1＜c2＜c3＜c4＜c5，当c n+1＜c n时，即n＞5，n∈N*时，c6＞c7＞c8＞c9＞…，∴c n的最大值为，即．∴m的最小值为．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=．〔1〕证明：BC1∥平面A1CD；〔2〕求异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕当AB=时，求三棱锥C﹣A1DE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】〔1〕连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，利用矩形的性质、三角形中位线定理可得：DF∥BC1，再利用线面平行的判定定理即可证明．〔2〕由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，在△A1DF中，由余弦定理即可得出．〔3〕利用面面垂直的性质定理可得：CD⊥平面ABB 1A1，利用=﹣S△BDE﹣﹣可得，再利用三棱锥C﹣A1DE的体积V=即可得出．【解答】〔1〕证明：连接AC1与A1C相交于点F，连接DF，由矩形ACC1A1可得点F是AC1的中点，又D是AB的中点，∴DF∥BC1，∵BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD；〔2〕解：由〔1〕可得∠A1DF或其补角为异面直线BC1和A1D所成角．不妨取AB=2，═==1，A1D===，=1．在△A1DF中，由余弦定理可得：cos∠A1DF==，∠A1DF∈〔0，π〕，∴∠A1DF=，∴异面直线BC1和A1D所成角的大小；〔3〕解：∵AC=BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，∴CD⊥平面ABB1A1，CD==．=﹣S△BDE﹣﹣=﹣﹣﹣=，∴三棱锥C﹣A1DE的体积V===1．【点评】此题考查了直三棱柱的性质、矩形的性质、三角形中位线定理、线面平行的判定定理、异面直线所成角、余弦定理、勾股定理、线面面面垂直的性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．f〔x〕=xlnx，g〔x〕=，直线l：y=〔k﹣3〕x﹣k+2〔1〕函数f〔x〕在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值〔2〕假设至少存在一个x0∈[1，e]使f〔x0〕＜g〔x0〕成立，求实数a的取值范围〔3〕设k∈Z，当x＞1时f〔x〕的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】〔1〕先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h〔x〕=的最小值即可．〔3〕分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．【解答】解：〔1〕∵f′〔x〕=1+lnx，∴f′〔e〕=1+lne=k﹣3∴k=5，〔2〕由于存在x0∈[1，e]，使f〔x0〕＜g〔x0〕，那么ax02＞x0lnx0，∴a＞设h〔x〕=那么h′〔x〕=，当x∈[1，e]时，h′〔x〕≥0〔仅当x=e时取等号〕∴h〔x〕在[1，e]上单调递增，∴h〔x〕min=h〔1〕=0，因此a＞0．〔3〕由题意xlnx＞〔k﹣3〕x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F〔x〕=，∴F′〔x〕=，令m〔x〕=x﹣lnx﹣2，那么m′〔x〕=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m〔x〕在〔1，+∞〕上单调递增，且m〔3〕=1﹣ln3＜0，m〔4〕=2﹣ln4＞0，所以在〔1，+∞〕上存在唯一实数x0〔x0∈〔3，4〕〕使m〔x〕=0当1＜x＜x0时m〔x〕＜0即F′〔x〕＜0，当x＞＜x0时m〔x〕＞0即F′〔x〕＞0，所以F〔x〕在〔1，x0〕上单调递减，在〔x0，+∞〕上单调递增，F〔x〕min=F〔x0〕===x0+2∈〔5，6〕故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5【点评】此题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．选做题122．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE 交AB于点F，且AB=2BP=4，〔1〕求PF的长度．〔2〕假设圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【专题】计算题．【分析】〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF 的长度；〔2〕根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．【解答】解：〔1〕连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC•PD=PA•PB=12，故．〔2〕假设圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT那么PT2=PB•PO=2×4=8，即【点评】本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．选做题223．〔2019•邯郸一模〕选修4﹣5：不等式选讲函数f〔x〕=log2〔|x﹣1|+|x+2|﹣a〕．〔Ⅰ〕当a=7时，求函数f〔x〕的定义域；〔Ⅱ〕假设关于x的不等式f〔x〕≥3的解集是R，求实数a的取值范围．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】〔Ⅰ〕由题意可得，|x﹣1|+|x+2|＞7，故有：，或，或，把各个不等式组的解集取并集，即得所求．〔Ⅱ〕由不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥a+8恒成立，再由|x﹣1|+|x+2|的最小值等于3，故有a+8≤3，由此求得实数a的取值范围．【解答】解：〔Ⅰ〕由题设知：|x﹣1|+|x+2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或…〔3分〕解得函数f〔x〕的定义域为〔﹣∞，﹣4〕∪〔3，+∞〕；…〔5分〕〔Ⅱ〕不等式f〔x〕≥3，即|x﹣1|+|x+2|≥a+8，∵x∈R时，恒有|x﹣1|+|x+2|≥|〔x﹣1〕﹣〔x+2〕|=3，…〔8分〕∵不等式|x﹣1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，∴a的取值范围是〔﹣∞，﹣5]．…〔10分〕【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，表达了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
河北省衡水中学高三数学上学期四调考试试题 文(含解析)
数学（文）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识试卷长度、题型比例配置与《考试说明》一致，全卷重点考查中学数学主干知识和方法；侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
全面考查了考试说明中要求的内容，在全面考查的前提下，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向.本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（选择题共60分）【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设集合的范围是【知识点】集合 A1a≤，故选B【答案】【解析】B 解析：由子集的概念可知1【思路点拨】根据子集的概念可知集合中元素的取值范围.【题文】2．已知空间直线L不在平面a内，则“直线L上有两个点到平面口的距离相等”是的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【知识点】充分条件与必要条件 A2【答案】【解析】B解析：直线不在平面内分为直线与平面平行与相交两种情况，有两个点到lα，必要不充分条件.B为正确选平面的距离相等，则直线与平面也是平行或相交，所是是//项.【思路点拨】根据条件与结论之间的关系可知正确结果.【题文】3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为C．200 D． 240【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由三视图可知几何体为底面是等腰梯形的四棱柱，所以它的体积为()1284102002V Sh ==+⋅⋅=，所以正确选项为C.【思路点拨】由三视图可知几何体的形状，再根据几何体的直观图求出体积. 【题文】4．已知函数，则下列结论中正确的是A ．函数的最小正周期为B ．函数的最大值为1C ．将函数的图像向右平移的图像D ．将函数的图像向左平移的图像【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 C4 【答案】【解析】C 解析：∵，∴f（x ）=cosx ，g （x ）=sinx∴f（x ）g （x ）=sinxcosx=sin2x ，T=，排除A ，，排除B ；将f （x ）的图象向左平移个单位后得到y=cos （x+）=﹣sinx≠g（x ），排除D ；将f （x ）的图象向右平移个单位后得到y=cos （x ﹣）=sinx=g （x ），故选C ．【思路点拨】先将函数f （x ），g （x ）根据诱导公式进行化简，再求出f （x ）g （x ）的解析式，进而得到f （x ）g （x ）的最小正周期和最大值可排除A ，B ；再依据三角函数平移变换法则对C ，D 进行验证即可． 【题文】5．直线分割成的两段圆弧长之比为A ．1：1B ．1：2C ．1：3D ．1：4【知识点】直线与圆 H4【答案】【解析】B 解析：因为圆心到直线的距离为12d =，所以劣弧所对的圆心角为120︒，优弧所对的圆心角为240︒，所以两段的弧长之比与圆心角之比相等为1:2，所以B 正确. 【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可求出圆心角的大小. 【题文】6．已知的最小值是A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】基本不等式 E6【答案】【解析】A 解析：因为由对数的运算可知3lg2lg8lg2lg231 x y x y x y++==∴+=，所以()11113324 333y xx yx y x y xy⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭，33y xx y+=能取等号，所以A 正确. 【思路点拨】根据对数的运算求出x,y的关系，再根据基本不等式求出最小值.【题文】7．椭圆的一个焦点为F1若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF，相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质 H5【答案】【解析】D 解析：设线段PF的中点为M ，另一个焦点F′，由题意知，OM=b，又OM 是△FPF′的中位线，∴OM=PF′=b，PF′=2b，由椭圆的定义知 PF=2a﹣PF′=2a﹣2b，又 MF=PF=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF=c，直角三角形OMF中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．【思路点拨】设线段PF 的中点为M ，另一个焦点F′，利用OM是△FPF′的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF的三边之长，使用勾股定理求离心率【题文】8．已知等差数列项和为时为递增数列，则实数λ的取值范围为【知识点】数列的函数特性 D1【答案】【解析】D 解析：∵an=2n+λ，∴a1=2+λ，∴Sn===n2+（λ+1）n，又因为n∈N由二次函数的性质和n∈N可知＜7.5即可满足数列{Sn}为递增数列，解不等式可得λ＞﹣16故选：D【思路点拨】Sn==n2+（λ+1）n，利用函数的单调性，列不等式即可求解．【题文】9．已知双曲线的一条渐近线与函数的图像相切，则双曲线的离心率等于【知识点】双曲线的简单性质 H6【答案】【解析】D 解析：设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，∵y=1+lnx+ln2，∴y′=，∴=，∴n=1，m=，∴=2，∴e===．故选：D．【思路点拨】设切点（m，n），则n=m，n=1+lnm+ln2，求导数，利用渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，求出=2，即可求出双曲线Γ的离心率．【题文】10．已知实数x、y满足不等式组的取值范围是【知识点】简单的线性规则 E5【答案】【解析】B 解析：作出不等式组对应的可行域如图，为三角形AOB及其内部．其中B（1，0），A（0，2）作直线：ax+by=0∵a＞0，b＞0，∴直线ax+by=0经过2，4象限，那么z=ax+by最优解为B（1，0）或A（0，2）∵ax+by≤1∴将B（1，0）代入，a≤1，即A（0，2）代入得2b≤1，b≤∴0＜a+b≤,即a+b的取值范围是（0，]，故选：B．【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，判断出区域的形状，求出a，b的范围，进一步求出a+b的范围．【题文】11．抛物线的焦点为F，M足抛物线C上的点，若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为的值为A．2 B．4 C．6 D．8【知识点】抛物线的简单性质 H7【答案】【解析】D 解析：∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径∵圆面积为36π，∴圆的半径为6，又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|=，∴+=6，∴p=8，故选：D．【思路点拨】根据△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，可得△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，由此可求p的值【题文】12．定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x，()f x'是它的导函数，且恒有()()tanf x f x x'<成立，则【知识点】导数的运算 B11【答案】【解析】A 解析：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0．由f（x）＜()f x'tanx，得f（x）cosx＜()f x'sinx．即()f x'sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=x∈（0，），则．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则，即，所以，即．故选A．【思路点拨】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g （x ）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则，整理后即可得到答案．第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【题文】13．函数的所有零点之和为____．【知识点】函数的零点 B9【答案】【解析】4 解析： 由题意可知函数的零点就是1sin 1x x π=-的根，由图像可知y sin x π=是周期为2的函数，与1y 1x =-交点有四个，根据周期性可知四个根的和为4.【思路点拨】根据函数的图象可得到交点的性质.【题文】14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0．6180339887．人们称该数列为“斐波那契数列”，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值是 。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。
衡中2019上四调答案(文数)
2018～2019 学年度上学期高三年级四调考试数学（文科）试卷答案一、BCBAD CACBA DA二．13.1+ 14. 15. 16.1.【解析】集合，集合=，根据集合交集的概念得到.故选 B.2.【解析】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.故选 C.3.【解析】设为坐标原点，∵，∴为直角三角形．又的中点，∴ ．∵ ，∴ ，∴ 为正三角形，∴直线的倾斜角为，∴．∴离心率．故选B．4.【解析】.故选A5.【解析】当a∩α＝P 时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P 时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a∥b，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．．故选D．6.【解析】因为，故选C.7.【解析】由题意，PA ⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=2，因为平面ABC，和平面PBC 都是是直角三角形，则角 ABC 为直角，此时满足 BC 垂直于 PA，BC 垂直于 AB 进而得到 BC 垂直于 PB，此时满足面 PBC 为直角三角形，底面外接圆的圆心是斜边 AC 的中点，球心在过底面圆心并且和 PA 平行的直线上，24⎣50⎥ 50并且球心到圆心的距离为1，直角三角形外接圆的半径为r=．∴R2=r2+1，即R=．∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选A．()()()k =y1-y2 =y1-y2=4= 3,8【解析】设A x , y, B x , y , C x , y ，则AB x -x y 2 y 2y +y1 12 23 31 2 1 - 2 1 24 4得y +y =4.同理y +y=4=2，y+y =4=-2 ，三式相加得y +y +y= 0 .1 2 3 2 3 6 3 3 1 - 2 1 2 3故与前三式联立，得y1 =-3 , y2= 2, y3=-3y2，x1=141 y2=, x2=29 4y2= 1, x3=34=4，9则x1+x2+x3 =14.故所求重心的坐标为⎛14,0⎫.故选C.3 27⎪⎝27 ⎭9.【解析】由题知，f (-x )+f (x )= 1 -1 + 1-1= 0 ，可得f (x)为奇函数.又f (x)是R 上的减函数，故f(m2-2n)+f(n2-2m)≥0⇒2-x +1 2 2x +1 2f(m2-2n)≥-f(n2-2m)=f (2m -n2 )⇒m2-2n≤2m-n2⇒(m-1)2+(n-1)2≤2，所以满足条件的(m,n)表示的区域是圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部（含边界），则点(m,n)到直线x+7y+4=0的距离d=∈⎡⎢12-2,12+ 2⎤，所以m + 7n + 4 的取值范围是[2,22].故选B.⎦10.【解析】由函数的图象可得，则，可得再由五点作图法可得，可得,故函数的解析式为由故将函数的图象向左平移个单位长度可得到的图象,故选。
河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文数试题 Word版含解析
河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数32i z i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.2. 设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】试题分析：满足条件的集合B 可以是{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4，所以满足A B ⊆的B 的个数是4，故选B. 考点：集合的表示及集合间的关系.3. 抛物线23y x =的焦点坐标是（ ）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】试题分析：抛物线23y x =的标准方程为213x y =，所以其焦点坐标为10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选C. 考点：抛物线的标准方程及几何性质.4. 设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（ ）A ．72-B ．12- C.32 D ．52【答案】B【解析】试题分析：2(12,4),2(2,3)a b m a b m +=-+-=--,因为向量2+a b 与2-a b 平行，所以(12)34(2)m m -+⨯=⨯--，解之得12m =-，故选B. 考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.5. 圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（ ）A ．k ≤-k ≥．k ≤- C.2k ≥ D ．k ≤-2k >【答案】B考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件.6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（ ）A ．3B ．303 C.3- D ．303-【答案】A【解析】试题分析：由201620172016(1)0a a a q +=+=得1q =-，所以10113S a ==，故选A. 考点：等比数列的性质与求和.7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ．18-B ．18 C.116 D ．132 【答案】A。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)四调数学试卷试题及答案(解析版)(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．46．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．128．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．211．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．2712．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合A＝{x|x（x﹣1）≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣a）}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x＞a}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；∴a＜0；∴实数a的取值范围为（﹣∞，0）．故选：A．2．AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（）A．2B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+1＝4，∴＝，故选：C．3．如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC的中点H，连接EH，AH，∠EHA＝90°，设AB＝2，则BH＝HE＝1，AH＝，所以AE＝，连接ED，ED＝，因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成角即为∠EAD，在△EAD中cos∠EAD＝＝，故选：D．4．已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵、，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，∵sinα＜sinβ且α，β均为锐角，∴0＜α＜β＜，∴﹣＜α﹣β＜0，又sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝﹣＝﹣，∴α﹣β＝﹣．故选：C．5．设a∈R，b∈[0，2π]，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴或，k∈Z，∴a＝3，b＝或a＝﹣3，b＝，k∈Z．∵a∈R，b∈[0，2π]，∴当k＝﹣1时，b＝或k＝0时，b＝，满足条件，∴满足条件的有序实数对（a，b）为（3，）和（﹣3，），共2对．故选：B．6．已知F是双曲线C：﹣＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，不妨设F为双曲线C：﹣＝1的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝4，b2＝5，则，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2+y2＝9．联立，解得P（，）．∴．故选：B．7．已知等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若S3，S9，S27成等比数列，则＝（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：设等差数列{a n}的公差d不为零，S3，S9，S27成等比数列，可得S92＝S3S27，即有（9a1+36d）2＝（3a1+3d）（27a1+351d），化为d＝2a1，则＝＝＝9，故选：C．8．在△ABC中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（λ＞0，μ＞0），则λ+μ的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC中，，点P满足，∴∴∵，（λ＞0，μ＞0），∴因为B，P，C三点共线，所以，，λ＞0，μ＞0∴λ+μ＝（λ+μ）（）＝1+≥1+＝当且仅当μ＝λ时取“＝”，则λ+μ的最小值为故选：B．9．如图，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：对于①，由题意知AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；对于②，连接A1B，A1C1，A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故③错误；对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选：C．10．过三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）的圆截直线x+ay+2＝0所得弦长的最小值等于（）A．2B．4C．D．2【解答】解：根据三点A（1，3）、B（4，2）、C（1，﹣7）坐标，设圆心的坐标为P（a，﹣2），利用r2＝（1﹣a）2+（3+2）2＝（4﹣a）2+（2+2）2，解得a＝1，所以P（1，﹣2，）由于直线x+ay+2＝0经过定点Q（﹣2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，所以l ＝2，所以最小弦长为4．故选：B．11．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的高为6，点D，E分别在线段A1C1，B1C上，A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E．点A，D，E所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC的面积为6，则较大部分的体积为（）A．22B．23C．26D．27【解答】解：如图，延长AD与CC1的交点为P，连接PE与C1B1的交点为N，延长PE交B1B为M，与面ABC交于点Q，得到截面为DNMA，∵A1C1＝3DC1，B1C＝4B1E，∴M，N分别为C1B1，B1B的中点，下部分体积V下＝V P﹣AQC﹣V﹣V M﹣ABQ＝﹣＝23．故选：B．12．设D＝+a+2．其中e≈2.71828，则D的最小值为（）A．B．C．+1D．+1【解答】解：由题意可得a≥0，D＝+a+2，由表示两点C（x，e x）与点A（a，2）的距离，而A在抛物线y2＝4x（x≥0）上，抛物线的焦点F（1，0），准线为x＝﹣1，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和A与F的距离的和再加上1，由图象可得当F，A，C三点共线，且QF为曲线y＝e x的法线，D取得最小值，即Q为切点，设为（m，e m），由•e m＝﹣1，可得m+e2m＝1，设g（m）＝m+e2m，则g（m）递增，且g（0）＝1，可得切点Q（0，1），即有|FQ|＝＝，则D的最小值为+1．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．已知函数，则＝﹣4．【解答】解：∵，∴f（）＝＝﹣3∴．故答案为：﹣4．14．已知F1，F2分别为椭圆C：+＝1的左、右焦点，且点A是椭圆C上一点，点M 的坐标为（2，0），若AM为∠F1AF2的角平分线，则|AF2|＝．【解答】解：由题意可知：∠F1AM＝∠MAF2，设A在y轴左侧，∴＝3，由|AF1|+|AF2|＝2a＝10，A在y轴右侧时，|AF2|＝＝，故答案为：．15．如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．16．设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P点为函数y＝h（x）的“类对称中心点”，则函数f（x）＝+lnx的“类对称中心点”的坐标是．【解答】解：由题意得，f′（x）＝，f（x0）＝（x＞0），即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：y﹣（）＝（）（x﹣x0），则g（x）＝（）（x﹣x0）+（），设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝+lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]，则F（x0）＝0，所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）＝﹣（）＝＝＝当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时，当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时，∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．若x0＝e，＝＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0，故，即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，又f（e）＝＝，所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是，故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．在平面四边形ABCD中，∠A+∠C＝π，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2（1）求∠C；（2）若E是BD的中点，求CE．【解答】解：（1）由余弦定理得：BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C＝13﹣12cos C，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C＝，故C＝60°．（2）由，＝，所以CE＝18．如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，P A＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面P AB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面P AB内的正投影，∴DE⊥面P AB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又P A＝PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面P AB内，过点E作PB的平行线交P A于点F，F即为E在平面P AC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥P A，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥P A，EF⊥PC，因此EF⊥平面P AC，即点F为E在平面P AC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG．由题设可得PC⊥平面P AB，DE⊥平面P AB，所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A＝6，可得DE＝2，PG＝3，PE＝2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2．所以四面体PDEF的体积V＝×DE×S△PEF＝×2××2×2＝．19．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＜0）与椭圆交于P，Q两点，直线l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为：，（Ⅱ）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2＞x1＞0）．则Q（﹣x1，﹣y1）．∵△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，∴|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣（﹣x1）]，∴x2＝5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y＝6．由，可得＞0．由，可得，⇒，⇒18k2+25k+8＝0，解得k＝﹣或k＝﹣．由＞0．可得k，故k＝﹣，20．如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，DE＝3，BC＝EF＝1，AE＝，∠BAD＝60°，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，∵G是BC的中点，∴OG∥DC，且OG＝DC＝1，又∵EF∥AB，AB∥DC，∴EF∥OG，且EF＝OG，即四边形OGEF是平行四边形，∴FG∥OE，∵FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，∴FG∥平面BED；（2）证明：在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理可得BD＝，仅而∠ADB＝90°，即BD⊥AD，又∵平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD＝AD，∴BD⊥平面AED，∵BD⊂平面BED，∴平面BED⊥平面AED．（Ⅲ）∵EF∥AB，∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED＝ED，由（2）知AH⊥平面BED，∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD＝1，DE＝3，AE＝，由余弦定理得cos∠ADE＝，∴sin∠ADE＝，∴AH＝AD•，在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值21．设抛物线Γ的方程为y2＝2px，其中常数p＞0，F是抛物线Γ的焦点．（1）若直线x＝3被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p的值；（2）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求的最大值；（3）设p＝2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F的直线，l1与抛物线Γ交于点A，B，l2与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4＝+++，求点G的轨迹方程．【解答】解：（1）由x＝3可得y＝±，可得2＝6，解得p＝；（2）A是点F（，0）关于顶点O的对称点，可得A（﹣，0），设过A的直线为y＝k（x+），k＝tanα，联立抛物线方程可得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线和抛物线相切可得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，解得k＝±1，可取k＝1，可得切线的倾斜角为45°，由抛物线的定义可得＝＝，而α的最小值为45°，的最大值为；（3）由y2＝4x，可得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，即有x1+x2＝2+，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k＝，由两直线垂直的条件，可将k换为﹣，可得x3+x4＝2+4k2，y3+y4＝﹣4k，点G满足4＝+++，可得4（x，y）＝（x1+x2+x3+x4﹣4，y1+y2+y3+y4），即为4x＝x1+x2+x3+x4﹣4＝4k2+，4y＝y1+y2+y3+y4＝﹣4k+，可得y2＝（k﹣）2＝k2+﹣2＝x﹣2，则G的轨迹方程为y2＝x﹣2．22．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）＝3x2﹣12x﹣3a（a ﹣4）＝3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）＝0，解得x＝a，或x＝4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）＝e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）＝1，f'（x0）＝0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0＝a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0＝a时，f（x）≤f（a）＝1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）＝a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b＝1，得b＝2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）＝2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）＝6x2﹣12x，令t'（x）＝0，解得x＝2（舍去），或x＝0．∵t（﹣1）＝﹣7，t（1）＝﹣3，t（0）＝1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
故选 B. 【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离
公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.
C
是边长为
2
的等边三角形，已知向量
a
，
b
满足
2a
，
C
2a
b
，则下列结论正确的是
（）
A. b 1
【详解】设双曲线方程为 x2 y2 ， 9 16
将点 (3, 2 3 ) 代入双曲线方程，
2
解得 1 , 4x2 y2 1 . 4 94
从而所求双曲线方程的焦点坐标为
5 2
,
0
,一条渐近线方程为
y
4 3
x
，
即 4x-3y=0，
所以焦点到一条渐近线的距离是 10 2 ， 9 16
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，下列每小题所给选项只有一项符合题
意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1.设集合 M 1, 2,3 ， N a 2, a2 2 ，且 M N 3 ，则实数 a 的值为(
1 2
4
0
．
4a
b
BC ．故 D 正确．
考点：1 向量的加减法；2 向量的数量积；3 向量垂直．
【此处有视频，请去附件查看】
6.存在函数 f (x) 满足，对任意 x R 都有（ ） A. f (sin 2x) sin x
2019届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(文)试题 word版
河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合},32|{A x x y y B ∈-==，则=B A （ ）A ．}1,0,1{-B ．}1,1{-C ．}2,1,1{-D ．}2,1,0{2．已知复数),(R y x yi x z ∈+=，若i y x i )1(1-+=+，则=||z （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4 3．已知双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，21,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足021=⋅PF ，若02130=∠F PF，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．22 D ．34．已知n S 是等比数列}{n a 前n 项的和，若公比2=q ，则=++6531S a a a （ ） A ．31 B ．71 C ．32 D ．73 5．设P 表示一个点，b a ,表示例题直线，βα,表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①αα⊂⇒∈∈a P a P ,； ②ββ⊂⇒⊂=a b P b a , ；③αα⊂⇒∈∈⊂b a P b P a b a ,,,// ④b P P P b ∈⇒∈∈=βαβα,, .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④6．若43tan =x ，则=-++)42tan()42tan(ππx x （ ） A ．2- B ．2 C ．23 D ．23- 7．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥ABC P -为鳖臑，⊥PA 平面ABC ，2==AB PA ，22=AC ，三棱锥ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π16C ．π20D ．π248．已知抛物线x y 42=上有三点C B A ,,，CA BC AB ,,的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）A ．)1,914(B ．)0,914(C ．)0,2714(D ．)1,2714( 9．已知函数21121)(-+=x x f ，n m ,满足0)2()2(22≥-+-m n f n m f ，则|47|++n m 的取值范围是（ ）A ．]12,2[B ．]22,2[C ．]22,12[D ．]21012,21012[+-10．函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中2||,0πϕ<>A ）的图象如图所示，为了得到x x g ωcos )(=的图象，则只要将)(x f 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：1222=+y x 和2C ：1422=+y x ，又A 点坐标为)1,3(-，N M ,是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个12．已知函数x x x f a +=log )(，)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ，若存在实数0x 使得)()(00x g x f =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量,夹角为060，且1||=，10|2|=-，则=|| .14．如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为3与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为 .15．已知数列}{n a 满足341=a ，}12{--n n a a 是公比为2的等比数列，则n a a a a a a a a a ⋅++++213212111111 = .16．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左，右焦点分别为21,F F ，以O 为圆心，21,F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a ，}{n b 满足411=a ，)1)(1(,11n n n n n n a a b b b a +-==++. （1）设11-=n n b c ，求数列}{n c 的通项公式； （2）若13221++++=n n n a a a a a a S ，求n S .18.如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点），记βα=∠=∠ADC BAD ,.（1）求βαcos cos 2-的最大值；（2）若71cos ,1==βBD ，求ABD ∆的面积.19.如图所示，四棱锥ABCD S -中，平面⊥SAD 平面ABCD ，AD SA ⊥，BC AD //，4234====AD AB BC SA .（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；（2）若AC AB =，在（1）的条件下，求三棱锥AED S -的体积.20．如图，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，离心率为21，过点)2,0(-的直线l 交椭圆于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为C ，直线BC 交x 轴于Q 点.（1）求椭圆方程；（2）探究：||||OQ OP ⋅是否为常数？21.设常数2>t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(F ，直线l ：t x =，曲线Γ：)0,0(82≥≤≤=y t x x y .l 与x 轴交于点A ，与Γ交于点Q P B ,,分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3=t ，2||=FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP ∆的面积；（3）设8=t ，是否存在以FQ FP ,为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．设函数)(,)1(ln )(R a x a x x f ∈+-=.（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）当函数)(x f 由最大值且最大值大于13-a 时，求a 的取值范围.河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（文）试题答案解析【题号】1【答案】B【题号】2【答案】C【题号】3【答案】B【题号】4【答案】A【题号】5【答案】D【题号】6【答案】C【题号】7【答案】A【题号】8【答案】C【题号】9【答案】B【题号】10【答案】A【题号】11【答案】D【题号】12【答案】A【题号】13 【答案】17+【题号】14 【答案】5【题号】15 【答案】12121+-+n n 【解题思路】 由题知，12--n n a a n n a a 2212111=⋅--=-，则12)22(212221++=++=-n n n n n a ，所以12212)22(212)22(212)22(211211021+=++++⋅++=+-n n n n n a a a ，故12121211++=n n a a a ， 所以113221321211212121212121111++-+=++++=⋅++++n n n n n a a a a a a a a a . 【知识点、能力点】本题考查等比数列求和，属于中等难度题.【题号】16 【答案】31-【解题思路】由题可知0260=∠POF ，02101190,30=∠=∠=∠PF F OPF O PF ， 所以c PF c PF c F F 3||,||,2||1221===，由椭圆定义可知a c PF PF 2)13(||||12=+=+ 所以离心率13132-=+==a c e .【知识点、能力点】本题考查椭圆和圆的定义，以及斜率和直线倾斜角的关系，属于基础题【题号】17【答案】（1）3--=n c n ；（2）)4(4+=n n S n . 【解题思路】（1）∵12111--=-+n n b b ，∴11112111-+-=--=-+n n n n b b b b ， ∵41111-=-=b c ，∴数列}{n c 是以4-为首项，1-为公差的等差数列， ∴3)1)(1(4--=--+-=n n c n .（2）由（1）知，311--=-=n b c n n ，∴32++=n n b n ， 从而311+=-=n b a n n ， 13221++++=n n n a a a a a a S 4141)4)(3(1651541+-=++++⨯+⨯=n n n )4(4+=n n .【知识点、能力点】本题第一问考查利用构造数列求一般数列的通项公式，第二问考查利用裂项相消求数列的和，属于基础题.【题号】18【答案】（1）3 （2）332 【解题思路】（1）由ABC ∆是等边三角形，得3παβ+=，30πα≤≤， 故βαcos cos 2-)3sin(3)3cos(cos 2παπαα+=+-=，故当6πα=时，即D 为BC 中点时，原式取得最大值3.（2）由71cos =β，得734sin =β，故14333sin cos 3cos sin )3sin(sin =-=-=πβπβπβα， 由正弦定理得BAD BD ADB AB ∠=∠sin sin ，故3811433734sin sin =⨯==BD AB αβ， 故3322313821sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆B BD AB S ABD . 【知识点、能力点】同角三角函数关系转化；应用三角函数和差公式；应用正弦定理解决三角形边角问题及面积公式.【题号】19【答案】（1）存在 （2）352=-AED S V 【解题思路】（1）证明线面平行先证线线平行，通过取中点找中位线，构造平行四边形得到平行关系，从而证出线面平行；（2）锥体体积需要底面积和高，将题中各边分别找出所在相应平面，再利用平面几何知识算出锥体底面积和高，进而用锥体体积公式求出该体积.（1）证： 如图，取SB 中点M ，SC 中点E ，连接DE ME AM ,,，∴ME 是BCS ∆的中位线，∴BC ME //，BC ME 21=，由题得，BC AD 21//，BC AD 21=， 则有ME AD ME AD =,//，∴四边形AMED 为平行四边形，∴AM ED //∵⊄ED 平面SAB ，⊂AM 平面SAB ，∴//ED 平面SAB .（2）解：∵平面⊥SAD 平面ABCD ，平面 SAD 平面AD ABCD =，⊂⊥SA AD SA ,平面SAD ，故⊥SA 平面ABCD∵E 是SC 中点，∴E 到平面ABCD 的距离等于S 到平面ABCD 距离的一半，且⊥SA 平面ABCD ，4=SA ，∴三棱锥ACD E -的高为2 ，AED S ACD E V V --=，在等腰ABC ∆中，3==AB AC ，4=BC ，BC 边上的高为52322=-，AD BC //，∴C 到AD 的距离为5，∴55221=⨯⨯=∆ADC S ， ∴3522531=⨯⨯=-AED S V . 【知识点、能力点】立体几何线面平行的证明，立体几何求锥体体积【题号】20【答案】（1）椭圆方程为13422=+y x （2）||||OQ OP ⋅为常数4 【解题思路】（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===2222142cb a ac a 解得1,3,2===c b a 所以椭圆方程为13422=+y x 直线l 方程为2-=kx y ，则P 的坐标为)0,2(k设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(11y x C -，直线BC 方程为121121x x x x y y y y --=++，令0=y ，得Q 的横坐标为 4)()(22212121211221-+-=++=x x k x x x kx y y y x y x x ① 又⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134222y x kx y 得0416)43(22=+-+kx x k ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+2212214344316k x x k k x x 代入①得k k k k k k x 21224)43(416162822=--=+-⋅-= 得422||||||=⋅=⋅=⋅k k x x OQ OP Q P ∴||||OQ OP ⋅为常数4.【知识点、能力点】本题考查了椭圆定义、离心率公式、直线方程与椭圆方程联立，求交点，考查了化简整理运算能力【题号】21【答案】（1）2||+=t BF （2）63737321=⨯⨯=S （3）存在，)554,52(P 【解题思路】（1）由题意可知，设)22,(t t B ，由抛物线的性质可知，22||+=+=t p t BF ，∴2||+=t BF ； （2）)0,2(F ，2||=FQ ，3=t ，则1||=FA ， ∴3||=AQ ，∴)2,3(Q ，设OQ 的中点D ，)22,23(D ， 3223023-=--=QF k ，则直线PF 方程：)2(3--=x y ，联立得0122032=+-x x ， 解得32=x ，6=x （舍去）， ∴AQP ∆的面积637321⨯⨯=S （3）存在，设),8(),,8(22m m E y y P ，则1682822-=-=y y y y k PF ，y y k QF 8162-=， 直线QF 方程为)2(8162--=x yy y ， ∴yy y y y Q 4348)28(81622-=--=，)4348,8(2y y Q -， 根据FE FQ FP =+，则)448,68(22yy y E ++， ∴)68(8)448(22+=+y y y ，解得5162=y ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且)554,52(P . 【知识点、能力点】本题主要考查抛物线的几何性质，属于难题.【题号】22【答案】（1）当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）)0,1(-【解题思路】（1）通过求导，分类讨论即可得到结果，（2）根据第一问，得到函数有最大值的条件（a 取值范围），以及最大值，通过构造函数求得a 的取值范围.（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx a a x x f )1(1)1(1)(+-=+-= ①当01≤+a ，即1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增；②当01>+a 时，即1->a 时，令0)('=x f ，解得11+=a x i ）当110+<<a x 时，0)('>x f ，函数单调递增， ii ）当11+>a x 时，0)('<x f ，函数单调递减， 综上所述，当1-≤a 时，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减 （2）由（1）可知当1-≤a 时，0)('>x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无最大值，不满足题意，当1->a 时，在)11,0(+a 上，函数单调递增，在),11(+∞+a 上，函数单调递减，所以)11()(max +=a f x f 111ln -+=a ，由题意可知13111ln ->-+a a ，即03)1ln(<++a a ，令a a a g 3)1ln()(++=，所以0)0(=g ，且)(a g 在),1(+∞-上单调递增，所以0)0()(=<g a g 在),1(+∞-上恒成立，所以01<<-a ，故a 的取值范围为)0,1(-.【知识点、能力点】本题考查函数导数计算，导数在研究函数的应用，属于中等难度题。
2019届河北省衡水高三上学期四调考试数学（理）试题
2019届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知}{n a 是公差为1的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，若484S S =，则=4a （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4 3．已知双曲线)(122R m x my ∈=-与抛物线y x 82=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 31±= D ．x y 33±= 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条A ．40B ．60C ．80D ．1205．函数||22)(x x x f -=的图象大致是（ ）3x xA ．2-B ．2C ．43D ．43- 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到B A ,两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ）A ．72B ．56C ．57D ．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3696+πB ．4872+πC ．9648+πD ．4824+π9．已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论不正确的是（ ）A ．)(x f y =的图象关于点)0,(π中心对称B ．)(x f y =既是奇函数，又是周期函数C ．)(x f y =的图象关于直线2π=x 对称D ．)(x f y =的最大值为23 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A ．92000πB ．274000π C ．π81 D ．π128060=∠AFB ，则=||AB （ ）A ．674B ．374C ．4D ．3 12．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤=-0),2(0,)(12x a ax e x x x x f x 是减函数，且bx x f +)(有三个零点，则b 的取值范围为（ ） A ．),1[)22ln ,0(+∞-e B ．)22ln ,0( C ．),1[+∞-e D ．),1[}22ln {+∞-e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量n m ,夹角为060，且1||=m ，10|2|=+n m ，则=||n .14．已知直三棱柱111C B A ABC -中，1,2,12010====∠CC BC AB ABC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .15．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种.16．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为正三角形，外接球表面积为π12，则三棱锥ABC P -的体积ABC P V -的最大值为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．数列}{n a 满足61=a ，nn n a a a 961-=+（*N n ∈）. （1）求证：数列}31{-n a 是等差数列； （2）求数列}{lg n a 的前999项和.18.在四棱锥ABCD P -，CD AB //，2,900====∠PD CD BC ABC ，BD PA AB ⊥=,4，平面⊥PBC 平面PCD ，N M ,分别是PB AD ,中点.（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值.19．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A c C ac a c b cos cos 2222+=-+.（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5=a ，求C B sin sin +. 20.如图，直线⊥AQ 平面α，直线⊥AQ 平行四边形ABCD ，四棱锥ABCD P -的顶点P 在平面α上，7=AB ，3=AD ，DB AD ⊥，2,//,==AQ AQ OP O BD AC ，N M ,分别是AQ 与CD 的中点.（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角Q CB M --的余弦值.21．如图，椭圆1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为23，过抛物线2C ：by x 42=焦点F 的直线交抛物线于N M ,两点，当47||=MF 时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接),MO NO 并延长分别交1C 于B A ,两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设=λOABOMN S S ∆∆.（2）求λ的取值范围.22．已知函数32ln )(23--=x ax x f 的图象的一条切线为x 轴. （1）求实数a 的值；（2）令|)(')(|)(x f x f x g +=，若存在不相等的两个实数21,x x 满足)()(21x g x g =，求证：121<x x .河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题答案解析【题号】1【答案】C【解题思路】①由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故①对；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形ABC ，AC AB =，直线AC AB ,与直线BC 所成的角相等，而直线AC AB ,不平行，故②错；③两两相交的三条直线，比如墙角处的三条交线可以确定三个平面，故③对；④如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故④错.综上，选C.【知识点、能力点】考查空间直线与平面的位置关系，线线、面面的位置关系，以及确定平面的条件，并考查了举一反三的能力.【题号】2【答案】C【解题思路】∵}{n a 是公差为1的等差数列，484S S =， ∴)21344(42178811⨯⨯+⨯=⨯⨯+a a 解得211=a ，则2713214=⨯+=a ，故选C.【题号】3【答案】A【解题思路】∵抛物线y x 82=的焦点为)2,0(∴双曲线的一个焦点为)2,0(，∴411=+m ，∴31=m ∴双曲线的渐近线方程为x y 3±=所以A 选项是正确的.【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并考查了推理能力与计算能力.【题号】4【答案】B【解题思路】由题意，从A 到C 最短路径有35C 10=条，由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，最短路径有624=C 条，∴它可以爬行的不同的最短路径有60610=⨯条，所以B 选项是正确的.【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力.【题号】5【答案】B【解题思路】通过将所给函数)(x f 转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出2x 和||2x 的图象，通过图象之间的上下距离也就是函数之差判断选项.【知识点、能力点】函数与方程思想、图象的平移变换、观察与分析能力.【题号】6【答案】C【解题思路】将题干所给等式利用tan 两角和差公式打开，然后求出2tan x 的值，再利用tan 的二倍角公式求出x tan . 【知识点、能力点】公式应用能力、运算能力、三角恒等变换公式.【题号】7先将两个全科老师用排列的方式分给语文一个，数学一个，然后再进行分组，最后分给两个学校，运用的是先分组后分人的排列组合模型.【知识点、能力点】分析问题能力、逻辑思维能力、排列组合知识与运算能力.【题号】8【答案】D【解题思路】将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式进行求解.【知识点、能力点】空间想象能力、公式运用、锥体体积公式.【题号】9【答案】D【解题思路】A ：)(2sin cos )2(2sin )2cos()2(x f x x x x x f -=-=--=-πππ，正确；B ：)(2sin cos )(2sin )cos()(x f x x x x x f -=-=--=-，为奇函数，周期函数，正确；C ：)(2sin cos )(2sin )cos()(x f x x x x x f ==--=-πππ，正确；D ：]1,1[,22sin 2sin 2cos sin 332-∈-=-==t t t x x x x y ]1,1[,62'2-∈-=t t y ，23934|31max <===t y y ，错误. 【知识点、能力点】三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值.【题号】10【答案】B【解题思路】设小圆柱体底面半径为θcos 5，所以高为ϑsin 55+，)2,0(πθ∈)1(125),1,0(,sin ),sin 55()cos 5(232++--=∈=+⋅=t t t V t t V πθθθπ，31),1)(13(125'=++-=t t t V π时，274000max π=V ，选B. 【知识点、能力点】空间想象能力，利用导数判断函数最值【题号】11设)2,(),2,(2211x x B x x A ，012>>x x ，因为QB QA k k =，即12121122+=+x x x x ，整理化简得121=x x ， 2122122)22()(||x x x x AB -+-=，1||1+=x AF ，1||2+=x BF ，代入余弦定理022260cos ||||2||||||BF AF BF AF AB -+=整理化简得： 31021=+x x ，又因为121=x x ，所以311=x ，32=x ， 374)22()(||212212=-+-=x x x x AB ，选B. 【知识点、能力点】设计变量，并找到变量间的等式关系，利用余弦定理解决.【题号】12【答案】D【解题思路】设0>x ，)2()(1a ax ex x f x -+-=-， 0))(1()2()2()('111≤--=+---+-=---a e x a e x a ax e x x f x x x即1=x 时，01=--a e x ，得1=a ，此时0)0()(=<f x f由题意知：)(x f y =与bx y -=图象有三个交点当0≥-b 时，只有一个交点，当0<-b 时，由题意知，b x -=和0=x 为两个图象交点，只需bx x f y +=)(在),0(+∞有唯一零点， 0>x 时，bx x f -=)(，即121-+=-x e b x 有唯一解 令12)(1-+=-x e x g x ，21)('1+-=-xe x g ，22ln )2ln 1()(min =+=g x g 0→x 时，1)(-→e x g ，+∞→x 时，+∞→)(x g ， 所以要使121-+=-x eb x 在),0(+∞有唯一解， 只需22ln =b 或1-≥e b ，故选D. 【知识点、能力点】分段函数单调性，函数零点问题，利用导数判断函数最值.【题号】13【答案】17- 【解题思路】反复利用模的平方等于向量的平方，以及向量的数量积解题. 1044)2(|2|2222=+⋅+=+=+n n m m n m n m因为||21cos ||||,||,1||2222n n m n m n n m m ==⋅===θ， 所以10||||242=++n n ，解得||n 71±=， 又因为||n 0≥，所以||n 17-=.【知识点、能力点】平面向量的数量积【题号】14【答案】510 【解题思路】求解异面直线所成角一般两种方法：一是向量法（理科首选），根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，即平移法，就是将异面直线通过作平行线的方式转移到同一平面上，找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．平行线往往是利用平行四边形、作三角形中位线等．以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系．则)1,1,0(1=BC ，)1,0,0(1B ，由于0120=∠ABC ，则3120sin 0==AB y A ，所以)0,1,3(-A ，)1,1,3(1-=AB 设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，所以1011cos 11=+==θ.【知识点、能力点】异面直线所成角.【题号】15【答案】120【解题思路】本题利用捆绑法和先排有特殊要求的元素两个知识点.（1）当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有482244=⨯A A 种；（2）当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3632233=⨯⨯A A 种；（3）当甲在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共362222232322=⨯⨯+⨯A A A A A 种，因此共120363648=++种.【知识点、能力点】排列与组合.【题号】16 【答案】3【解题思路】本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.如图所示，令a AB =，h OO DB PD ==='，则==DO BO 'a 33， 在PDO Rt ∆中，222PO DP DO =+，即222)3()33(=+h a ， 即33122=+h a ，得2239h a -= )3(23)39(636324331313222h h h h h a h a PA S V ABC ABC P -=-==⋅⋅=⋅=∆-令)3(23)(3h h h f -=，233)('h h f -=， )(h f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减，所以1=h 时，3max =-ABC P V .【知识点、能力点】外接球【题号】17【答案】（1）数列}{n a 满足：61=a ，)(96*1N n a a a nn n ∈-=+ 3131)3(333)3(33961311+-=-+-=-=--=-+n n n n n nn n a a a a a a a a 所以3131311=---+n n a a ，即}31{-n a 是以311-a 31=为首项，31为公差的等差数列； （2）由（1）得31)1(3131⋅-+=-n a n ，解得n n a n )1(3+=， 所以n n nn a n lg )1lg(3lg )1(3lg lg -++=+=， 前n 项和]lg )1lg(3[(lg )2lg 3lg 3(lg )1lg 2lg 3(lg n n T n -++++-++-+=)1lg(3lg ++=n n即33lg 999)1999lg(3lg 999999+=++=T【解题思路】（1）题干求证数列}31{-n a 是等差数列，利用定义法，结合已知条件，推导出31311---+n n a a 等于一个定值即可；（2）由（1）中数列}31{-n a 是等差数列，求得n n a n )1(3+=，进而化简得n n nn a n lg )1lg(3lg )1(3lg lg -++=+=，再利用裂项相消法求得}{lg n a 前n 项和即可. 【知识点、能力点】（1）第一问求证考查利用定义法来判断一个数列为等差数列，即后一项与前一项差值为定值；（2）数列通项结合对数函数基本运算公式，再利用裂项相消法求得}{lg n a 前n 项和n T 得简化形式，进而求解.【题号】18【答案】（1）取PC 中点为Q ，则由⊥⇒⊥⇒=DQ PC DQ PD CD 平面BC DQ PBC ⊥⇒与BC CD ⊥⊥⇒BC 平面⇒PDC PDBC ⊥（*），连接BD ，在直角梯形ABCD 中，易求得22,22==AD BD ，而4=AB ，则222AB BD AD =+，即AD BD ⊥与PA BD ⊥可得⊥BD 平面PAD PD BD ⊥⇒（*），故⊥PD 平面ABCD .（2）以D 为原点，DP DB DA ,,方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则)0,0,22(A ，)0,22,0(B ，)2,0,0(P ，)0,0,2(M ，)1,2,0(N .平面PAD 的法向量为)0,22,0(=DB ，故所求线面角的正弦值为5102254|||||||,cos |=⋅==><BD MN BD MN 【解题思路】（1）题干中给出平面⊥PBC 平面PCD ，根据面面垂直性质定理可知，需要在其中一个平面内找到垂直于它们交线的直线，结合已知条件CD PD =，则可取PC 的中点Q ，接着易证PD BC ⊥；要证⊥PD 平面ABCD ，则还需在平面ABCD 中找到一条直线，证明其垂直于PD ，由已知条件BD PA ⊥锁定目标证明BD PD ⊥，即要证⊥BD 平面PAD ，即要证AD BD ⊥，在直角梯形ABCD 中，易证AD BD ⊥，故可证BD PD ⊥；（2）建系，套用空间向量法计算线面角的公式即可.【知识点、能力点】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及利用空间向量法计算线面角，难度适中.【题号】19【答案】（1）3π （2）3 详解：（1）因为A c C ac a c b cos cos 2222+=-+，所以A c C ac A bc cos cos cos 22+=即A c C a A b cos cos cos 2+=，由正弦定理得 A C C A A B cos sin cos sin cos sin 2+=，即)sin(cos sin 2C A A B +=，∵B B C A sin )sin()sin(=-=+π，∴B A B sin cos sin 2=，0)1cos 2(sin =-A B ，∵π<<B 0，∴0sin ≠B ，21cos =A ，∵π<<A 0， ∴3π=A .（2）432543sin 21===∆bc A bc S ABC ，∴25=bc ， ∵21252252cos 22222=⨯-+=-+=c b bc a c b A ，5022=+c b ， ∴10025250)(2=⨯+=+c b ，即10=+c b 。
河北省衡水中学2019届高三上学期四调考试数学(理)试题
河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知}{n a 是公差为1的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，若484S S =，则=4a （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4 3．已知双曲线)(122R m x my ∈=-与抛物线y x 82=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 31±=D ．x y 33±= 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条A ．40B ．60C ．80D ．1205．函数||22)(x x x f -=的图象大致是（ ）6．若23)42tan()42tan(=-++ππx x ，则=x tan （ ） A ．2- B ．2 C ．43 D ．43- 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到B A ,两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ）A ．72B ．56C ．57D ．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3696+πB ．4872+πC ．9648+πD ．4824+π9．已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论不正确的是（ ）A ．)(x f y =的图象关于点)0,(π中心对称B ．)(x f y =既是奇函数，又是周期函数C ．)(x f y =的图象关于直线2π=x 对称D ．)(x f y =的最大值为2310．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A ．92000πB ．274000π C ．π81 D ．π128 11．已知x y 42=的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交x y 42=于B A ,，060=∠AFB ，则=||AB （ ）A ．674B ．374 C ．4 D ．3 12．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤=-0),2(0,)(12x a ax e x x x x f x 是减函数，且bx x f +)(有三个零点，则b 的取值范围为（ ） A ．),1[)22ln ,0(+∞-e B ．)22ln ,0( C ．),1[+∞-e D ．),1[}22ln {+∞-e 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量,夹角为060，且1||=，10|2|=+，则=|| .14．已知直三棱柱111C B A ABC -中，1,2,12010====∠CC BC AB ABC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .15．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种.16．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为正三角形，外接球表面积为π12，则三棱锥ABC P -的体积ABC P V -的最大值为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．数列}{n a 满足61=a ，nn n a a a 961-=+（*N n ∈）. （1）求证：数列}31{-n a 是等差数列； （2）求数列}{lg n a 的前999项和.18.在四棱锥ABCD P -，CD AB //，2,900====∠PD CD BC ABC ，BD PA AB ⊥=,4，平面⊥PBC 平面PCD ，N M ,分别是PB AD ,中点.（1）证明：⊥PD 平面ABCD ；（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值.19．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A c C ac a c b cos cos 2222+=-+.（1）求角A 的大小； （2）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5=a ，求C B sin sin +. 20.如图，直线⊥AQ 平面α，直线⊥AQ 平行四边形ABCD ，四棱锥ABCD P -的顶点P 在平面α上，7=AB ，3=AD ，DB AD ⊥，2,//,==AQ AQ OP O BD AC ，N M ,分别是AQ 与CD 的中点.（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角Q CB M --的余弦值.21．如图，椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为23，过抛物线2C ：by x 42=焦点F 的直线交抛物线于N M ,两点，当47||=MF 时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接),MO NO 并延长分别交1C 于B A ,两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设=λOABOMN S S ∆∆.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）求λ的取值范围.22．已知函数32ln )(23--=x ax x f 的图象的一条切线为x 轴. （1）求实数a 的值；（2）令|)(')(|)(x f x f x g +=，若存在不相等的两个实数21,x x 满足)()(21x g x g =，求证：121<x x .河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题答案解析【题号】1【答案】C【解题思路】①由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故①对；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形ABC ，AC AB =，直线AC AB ,与直线BC 所成的角相等，而直线AC AB ,不平行，故②错；③两两相交的三条直线，比如墙角处的三条交线可以确定三个平面，故③对；④如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故④错.综上，选C.【知识点、能力点】考查空间直线与平面的位置关系，线线、面面的位置关系，以及确定平面的条件，并考查了举一反三的能力.【题号】2【答案】C【解题思路】∵}{n a 是公差为1的等差数列，484S S =， ∴)21344(42178811⨯⨯+⨯=⨯⨯+a a 解得211=a ，则2713214=⨯+=a ，故选C.【知识点、能力点】考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式以及推理能力与计算能力.【题号】3【答案】A【解题思路】∵抛物线y x 82=的焦点为)2,0(∴双曲线的一个焦点为)2,0(，∴411=+m ，∴31=m ∴双曲线的渐近线方程为x y 3±=所以A 选项是正确的.【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并考查了推理能力与计算能力.【题号】4【答案】B【解题思路】由题意，从A 到C 最短路径有35C 10=条，由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，最短路径有624=C 条，∴它可以爬行的不同的最短路径有60610=⨯条，所以B 选项是正确的.【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力.【题号】5【答案】B【解题思路】通过将所给函数)(x f 转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出2x 和||2x 的图象，通过图象之间的上下距离也就是函数之差判断选项.【知识点、能力点】函数与方程思想、图象的平移变换、观察与分析能力.【题号】6【答案】C【解题思路】将题干所给等式利用tan 两角和差公式打开，然后求出2tan x 的值，再利用tan 的二倍角公式求出x tan . 【知识点、能力点】公式应用能力、运算能力、三角恒等变换公式.【题号】7【答案】A【解题思路】先将两个全科老师用排列的方式分给语文一个，数学一个，然后再进行分组，最后分给两个学校，运用的是先分组后分人的排列组合模型.【知识点、能力点】分析问题能力、逻辑思维能力、排列组合知识与运算能力.【题号】8【答案】D【解题思路】将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式进行求解.【知识点、能力点】空间想象能力、公式运用、锥体体积公式.【题号】9【答案】D【解题思路】A ：)(2sin cos )2(2sin )2cos()2(x f x x x x x f -=-=--=-πππ，正确；B ：)(2sin cos )(2sin )cos()(x f x x x x x f -=-=--=-，为奇函数，周期函数，正确；C ：)(2sin cos )(2sin )cos()(x f x x x x x f ==--=-πππ，正确；D ：]1,1[,22sin 2sin 2cos sin 332-∈-=-==t t t x x x x y]1,1[,62'2-∈-=t t y ，23934|31max <===t y y ，错误. 【知识点、能力点】三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值.【题号】10【答案】B【解题思路】设小圆柱体底面半径为θcos 5，所以高为ϑsin 55+，)2,0(πθ∈)1(125),1,0(,sin ),sin 55()cos 5(232++--=∈=+⋅=t t t V t t V πθθθπ，31),1)(13(125'=++-=t t t V π时，274000max π=V ，选B. 【知识点、能力点】空间想象能力，利用导数判断函数最值【题号】11【答案】B【解题思路】 设)2,(),2,(2211x x B x x A ，012>>x x ，因为Q B Q A k k =，即12121122+=+x x x x ，整理化简得121=x x ， 2122122)22()(||x x x x AB -+-=，1||1+=x AF ，1||2+=x BF ，代入余弦定理022260cos ||||2||||||BF AF BF AF AB -+=整理化简得： 31021=+x x ，又因为121=x x ，所以311=x ，32=x ，374)22()(||212212=-+-=x x x x AB ，选B. 【知识点、能力点】设计变量，并找到变量间的等式关系，利用余弦定理解决.【题号】12【答案】D【解题思路】设0>x ，)2()(1a ax e x x f x -+-=-， 0))(1()2()2()('111≤--=+---+-=---a e x a e x a ax e x x f x x x 即1=x 时，01=--a e x ，得1=a ，此时0)0()(=<f x f由题意知：)(x f y =与bx y -=图象有三个交点当0≥-b 时，只有一个交点，当0<-b 时，由题意知，b x -=和0=x 为两个图象交点，只需bx x f y +=)(在),0(+∞有唯一零点， 0>x 时，bx x f -=)(，即121-+=-x e b x 有唯一解 令12)(1-+=-x e x g x ，21)('1+-=-x e x g ，22ln )2ln 1()(min =+=g x g 0→x 时，1)(-→e x g ，+∞→x 时，+∞→)(x g ， 所以要使121-+=-x eb x 在),0(+∞有唯一解， 只需22ln =b 或1-≥e b ，故选D. 【知识点、能力点】分段函数单调性，函数零点问题，利用导数判断函数最值.【题号】13 【答案】17-【解题思路】反复利用模的平方等于向量的平方，以及向量的数量积解题.1044)2(|2|2222=+⋅+=+=+因为||21cos ||||,||,1||2222==⋅===θ， 所以10||||242=++n n ，解得||71±=， 又因为||0≥，所以||17-=.【知识点、能力点】平面向量的数量积【题号】14 【答案】510 【解题思路】求解异面直线所成角一般两种方法：一是向量法（理科首选），根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，即平移法，就是将异面直线通过作平行线的方式转移到同一平面上，找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．平行线往往是利用平行四边形、作三角形中位线等．以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系．则)1,1,0(1=BC ，)1,0,0(1B ，由于0120=∠ABC ，则3120sin 0==AB y A ， 所以)0,1,3(-A ，)1,1,3(1-=AB设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 所以5105211||||cos 1111=⨯+==BC AB BC AB θ.【知识点、能力点】异面直线所成角.【题号】15【答案】120【解题思路】本题利用捆绑法和先排有特殊要求的元素两个知识点.（1）当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有482244=⨯A A 种；（2）当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3632233=⨯⨯A A 种；（3）当甲在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共362222232322=⨯⨯+⨯A A A A A 种，因此共120363648=++种.【知识点、能力点】排列与组合.【题号】16 【答案】3【解题思路】本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等.如图所示，令a AB =，h OO DB PD ==='，则==DO BO 'a 33，在PDO Rt ∆中，222PO DP DO =+，即222)3()33(=+h a ， 即33122=+h a ，得2239h a -= )3(23)39(636324331313222h h h h h a h a PA S V ABC ABC P -=-==⋅⋅=⋅=∆- 令)3(23)(3h h h f -=，233)('h h f -=， )(h f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减，所以1=h 时，3max =-ABC P V .【知识点、能力点】外接球【题号】17【答案】（1）数列}{n a 满足：61=a ，)(96*1N n a a a nn n ∈-=+ 3131)3(333)3(33961311+-=-+-=-=--=-+n n n n n nn n a a a a a a a a 所以3131311=---+n n a a ，即}31{-n a 是以311-a 31=为首项，31为公差的等差数列； （2）由（1）得31)1(3131⋅-+=-n a n ，解得n n a n )1(3+=， 所以n n nn a n lg )1lg(3lg )1(3lg lg -++=+=， 前n 项和]lg )1lg(3[(lg )2lg 3lg 3(lg )1lg 2lg 3(lg n n T n -++++-++-+=)1lg(3lg ++=n n即33lg 999)1999lg(3lg 999999+=++=T【解题思路】（1）题干求证数列}31{-n a 是等差数列，利用定义法，结合已知条件，推导出31311---+n n a a 等于一个定值即可；（2）由（1）中数列}31{-n a 是等差数列，求得n n a n )1(3+=，进而化简得n n nn a n lg )1lg(3lg )1(3lg lg -++=+=，再利用裂项相消法求得}{lg n a 前n 项和即可. 【知识点、能力点】（1）第一问求证考查利用定义法来判断一个数列为等差数列，即后一项与前一项差值为定值；（2）数列通项结合对数函数基本运算公式，再利用裂项相消法求得}{lg n a 前n 项和n T 得简化形式，进而求解.【题号】18【答案】（1）取PC 中点为Q ，则由⊥⇒⊥⇒=DQ PC DQ PD CD 平面BC DQ PBC ⊥⇒与BC CD ⊥ ⊥⇒BC 平面⇒PDC PD BC ⊥（*），连接BD ，在直角梯形ABCD 中，易求得22,22==AD BD ，而4=AB ，则222AB BD AD =+，即AD BD ⊥与PA BD ⊥可得⊥BD 平面PAD PD BD ⊥⇒（*），故⊥PD 平面ABCD .（2）以D 为原点，,,方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则)0,0,22(A ，)0,22,0(B ，)2,0,0(P ，)0,0,2(M ，)1,2,0(N .平面PAD 的法向量为)0,22,0(=DB ，故所求线面角的正弦值为5102254||||||,cos |=⋅==><BD MN 【解题思路】（1）题干中给出平面⊥PBC 平面PCD ，根据面面垂直性质定理可知，需要在其中一个平面内找到垂直于它们交线的直线，结合已知条件CD PD =，则可取PC 的中点Q ，接着易证PD BC ⊥；要证⊥PD 平面ABCD ，则还需在平面ABCD 中找到一条直线，证明其垂直于PD ，由已知条件BD PA ⊥锁定目标证明BD PD ⊥，即要证⊥BD 平面PAD ，即要证AD BD ⊥，在直角梯形ABCD 中，易证AD BD ⊥，故可证BD PD ⊥；（2）建系，套用空间向量法计算线面角的公式即可.【知识点、能力点】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及利用空间向量法计算线面角，难度适中.【题号】19【答案】（1）3π （2）3 详解：（1）因为A c C ac a c b cos cos 2222+=-+，所以A c C ac A bc cos cos cos 22+=即A c C a A b cos cos cos 2+=，由正弦定理得 A C C A A B cos sin cos sin cos sin 2+=，即)sin(cos sin 2C A A B +=，∵B B C A sin )sin()sin(=-=+π，∴B A B sin cos sin 2=，0)1cos 2(sin =-A B ，∵π<<B 0，∴0sin ≠B ，21cos =A ，∵π<<A 0， ∴3π=A .（2）432543sin 21===∆bc A bc S ABC ，∴25=bc ， ∵21252252cos 22222=⨯-+=-+=c b bc a c b A ，5022=+c b ，∴10025250)(2=⨯+=+c b ，即10=+c b 。
河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷
河北省衡水中学2018--2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学(文科)试卷高三文科数学试题 第3页(共6页) 高三文科数学试题 第4页(共6页)河北省衡水中学2019～2019学年度上学期四调考试高三年级数学试卷（文）本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．集合A={x }2221≤≤∈x Z ，B=},cos {A x x y y ∈=，则B A I =( )A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知复数z 满足2(3)(1i z ii+=+为虚数单位），则复数z 所对应的点所在象限为 （ ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ．第四象限 3. 函数2()2ln f x x xbx a=+-+ (0,)b a R >∈在点(),()b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A.22B.2C.3D.14.若抛物线22(0)ypx p =>上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线方程为（ ）A.24y x= B.236yx= C.24yx=或236yx=D.28yx=或232y x=5. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==-N n b b a a nn n n ,211, 则数列{}na b 的前10项的和为 （ ）A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3110-6．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）高三文科数学试题第5页(共6页) 高三文科数学试题第6页(共6页)C．-3≤a≤a≤7 D．a≥7或a ≤—312．在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y=-+-为两点11(,)P x y,22(,)Q x y之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0=x；④到(1,0),(1,0)M N-两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有（）A．1个 B．2 个 C．3 个D．4个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
河北省衡水中学2019届高三上学期四调考试数学(理)试题 Word版含答案【KS5U 高考】
河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列命题正确的个数为①梯形一定是平面图形；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A ．0B ．1C ．2D ．32．已知}{n a 是公差为1的等差数列，n S 为}{n a 的前n 项和，若484S S =，则=4a （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4 3．已知双曲线)(122R m x my ∈=-与抛物线y x 82=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 31±= D ．x y 33±= 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条A ．40B ．60C ．80D ．1205．函数||22)(x x x f -=的图象大致是（ ）6．若23)42tan()42tan(=-++ππx x ，则=x tan （ ） A ．2- B ．2 C ．43 D ．43- 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到B A ,两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为（ ）A ．72B ．56C ．57D ．638．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3696+πB ．4872+πC ．9648+πD ．4824+π9．已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论不正确的是（ ）A ．)(x f y =的图象关于点)0,(π中心对称B ．)(x f y =既是奇函数，又是周期函数C ．)(x f y =的图象关于直线2π=x 对称D ．)(x f y =的最大值为23 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A ．92000πB ．274000π C ．π81 D ．π128 11．已知x y 42=的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交x y 42=于B A ,，060=∠AFB ，则=||AB （ ） A ．674 B ．374 C ．4 D ．3 12．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤=-0),2(0,)(12x a ax e x x x x f x 是减函数，且bx x f +)(有三个零点，则b 的取值范围为（ ）A ．),1[)22ln ,0(+∞-e Y B ．)22ln ,0( C ．),1[+∞-e D ．),1[}22ln {+∞-e Y 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量,夹角为060，且1||=，10|2|=+，则=|| . 14．已知直三棱柱111C B A ABC -中，1,2,12010====∠CC BC AB ABC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 . 15．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 种.16．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为正三角形，外接球表面积为π12，则三棱锥ABC P -的体积ABC P V -的最大值为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．数列}{n a 满足61=a ，nn n a a a 961-=+（*N n ∈）. （1）求证：数列}31{-n a 是等差数列； （2）求数列}{lg n a 的前999项和.18.在四棱锥ABCD P -，CD AB //，2,900====∠PD CD BC ABC ，BD PA AB ⊥=,4，平面⊥PBC 平面PCD ，N M ,分别是PB AD ,中点.（1）证明：⊥PD 平面ABCD ；（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值.19．在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知A c C ac a c b cos cos 2222+=-+.（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积4325=∆ABC S ，且5=a ，求C B sin sin +. 20.如图，直线⊥AQ 平面α，直线⊥AQ 平行四边形ABCD ，四棱锥ABCD P -的顶点P 在平面α上，7=AB ，3=AD ，DB AD ⊥，2,//,==AQ AQ OP O BD AC I ，N M ,分别是AQ 与CD 的中点.（1）求证：//MN 平面QBC ；（2）求二面角Q CB M --的余弦值.21．如图，椭圆1C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为23，过抛物线2C ：by x 42=焦点F 的直线交抛物线于N M ,两点，当47||=MF 时，M 点在x 轴上的射影为1F ，连接),MO NO 并延长分别交1C 于B A ,两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，设=λOABOMN S S ∆∆.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）求λ的取值范围.22．已知函数32ln )(23--=x ax x f 的图象的一条切线为x 轴. （1）求实数a 的值；（2）令|)(')(|)(x f x f x g +=，若存在不相等的两个实数21,x x 满足)()(21x g x g =，求证：121<x x .河北省2018—2019学年度上学期衡水中学高三年级四调考试数学（理）试题答案解析【题号】1【答案】C【解题思路】①由于梯形是有一组对边平行的四边形，易知两平行线确定一平面，所以梯形可以确定一个平面，故①对；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，比如等腰三角形ABC ，AC AB =，直线AC AB ,与直线BC 所成的角相等，而直线AC AB ,不平行，故②错；③两两相交的三条直线，比如墙角处的三条交线可以确定三个平面，故③对；④如果两个平面有三个公共点，比如两平面相交有一条公共直线，如果这三个公共点不共线，则这两个平面重合，故④错.综上，选C.【知识点、能力点】考查空间直线与平面的位置关系，线线、面面的位置关系，以及确定平面的条件，并考查了举一反三的能力.【题号】2【答案】C【解题思路】∵}{n a 是公差为1的等差数列，484S S =， ∴)21344(42178811⨯⨯+⨯=⨯⨯+a a 解得211=a ，则2713214=⨯+=a ，故选C. 【知识点、能力点】考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式以及推理能力与计算能力.【题号】3【答案】A【解题思路】∵抛物线y x 82=的焦点为)2,0(∴双曲线的一个焦点为)2,0(，∴411=+m ，∴31=m ∴双曲线的渐近线方程为x y 3±=所以A 选项是正确的.【知识点、能力点】考查抛物线的标准方程及几何性质、双曲线的标准方程及几何性质；并考查了推理能力与计算能力.【题号】4【答案】B【解题思路】由题意，从A 到C 最短路径有35C 10=条，由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，最短路径有624=C 条，∴它可以爬行的不同的最短路径有60610=⨯条，所以B 选项是正确的.【知识点、能力点】考查排列组合中的组合问题，并考查了分析解决问题的能力.【题号】5【答案】B【解题思路】通过将所给函数)(x f 转化成两个函数之差，通过在一个坐标系下画出2x 和||2x 的图象，通过图象之间的上下距离也就是函数之差判断选项.【知识点、能力点】函数与方程思想、图象的平移变换、观察与分析能力.【题号】6【答案】C【解题思路】将题干所给等式利用tan 两角和差公式打开，然后求出2tanx 的值，再利用tan 的二倍角公式求出x tan .【知识点、能力点】公式应用能力、运算能力、三角恒等变换公式.【题号】7【答案】A【解题思路】先将两个全科老师用排列的方式分给语文一个，数学一个，然后再进行分组，最后分给两个学校，运用的是先分组后分人的排列组合模型.【知识点、能力点】分析问题能力、逻辑思维能力、排列组合知识与运算能力.【题号】8【答案】D【解题思路】将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式进行求解.【知识点、能力点】空间想象能力、公式运用、锥体体积公式.【题号】9【答案】D【解题思路】A ：)(2sin cos )2(2sin )2cos()2(x f x x x x x f -=-=--=-πππ，正确；B ：)(2sin cos )(2sin )cos()(x f x x x x x f -=-=--=-，为奇函数，周期函数，正确；C ：)(2sin cos )(2sin )cos()(x f x x x x x f ==--=-πππ，正确；D ：]1,1[,22sin 2sin 2cos sin 332-∈-=-==t t t x x x x y ]1,1[,62'2-∈-=t t y ，23934|31max <===t y y ，错误. 【知识点、能力点】三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值.【题号】10【答案】B【解题思路】设小圆柱体底面半径为θcos 5，所以高为ϑsin 55+，)2,0(πθ∈)1(125),1,0(,sin ),sin 55()cos 5(232++--=∈=+⋅=t t t V t t V πθθθπ，31),1)(13(125'=++-=t t t V π时，274000max π=V ，选B. 【知识点、能力点】空间想象能力，利用导数判断函数最值【题号】11【答案】B【解题思路】 设)2,(),2,(2211x x B x x A ，012>>x x ，因为QB QA k k =，即12121122+=+x x x x ，整理化简得121=x x ， 2122122)22()(||x x x x AB -+-=，1||1+=x AF ，1||2+=x BF ，代入余弦定理022260cos ||||2||||||BF AF BF AF AB -+=整理化简得： 31021=+x x ，又因为121=x x ，所以311=x ，32=x ， 374)22()(||212212=-+-=x x x x AB ，选B. 【知识点、能力点】设计变量，并找到变量间的等式关系，利用余弦定理解决.【题号】12【答案】D【解题思路】设0>x ，)2()(1a ax ex x f x -+-=-， 0))(1()2()2()('111≤--=+---+-=---a e x a e x a ax e x x f x x x即1=x 时，01=--a e x ，得1=a ，此时0)0()(=<f x f由题意知：)(x f y =与bx y -=图象有三个交点当0≥-b 时，只有一个交点，当0<-b 时，由题意知，b x -=和0=x 为两个图象交点，只需bx x f y +=)(在),0(+∞有唯一零点，0>x 时，bx x f -=)(，即121-+=-x e b x 有唯一解 令12)(1-+=-x e x g x ，21)('1+-=-xe x g ，22ln )2ln 1()(min =+=g x g 0→x 时，1)(-→e x g ，+∞→x 时，+∞→)(x g ， 所以要使121-+=-x eb x 在),0(+∞有唯一解， 只需22ln =b 或1-≥e b ，故选D.【知识点、能力点】分段函数单调性，函数零点问题，利用导数判断函数最值. 【题号】13 【答案】17- 【解题思路】反复利用模的平方等于向量的平方，以及向量的数量积解题. 1044)2(|2|2222=+⋅+=+=+n n m m n m n m 因为||21cos ||||,||,1||2222n n m n m n n m m ==⋅===θ， 所以10||||242=++n n ，解得||n 71±=， 又因为||n 0≥，所以||n 17-=.【知识点、能力点】平面向量的数量积【题号】14【答案】510 【解题思路】求解异面直线所成角一般两种方法：一是向量法（理科首选），根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，即平移法，就是将异面直线通过作平行线的方式转移到同一平面上，找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解．平行线往往是利用平行四边形、作三角形中位线等． 以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系．则)1,1,0(1=BC ，)1,0,0(1B ，由于0120=∠ABC ，则3120sin 0==AB y A ，所以)0,1,3(-A ，)1,1,3(1-=AB设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 所以5105211||||cos 1111=⨯+==BC AB BC AB θ. 【知识点、能力点】异面直线所成角. 【题号】15 【答案】120 【解题思路】本题利用捆绑法和先排有特殊要求的元素两个知识点.（1）当甲在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有482244=⨯A A 种；（2）当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3632233=⨯⨯A A 种；（3）当甲在第三位，前两位分为是丙丁和不是丙丁两种情况，共362222232322=⨯⨯+⨯A A A A A 种，因此共120363648=++种. 【知识点、能力点】排列与组合. 【题号】16 【答案】3 【解题思路】本题考查外接球，首先选取一个面，使得这个图形的外心容易被找到，常见的选取面有直角三角形（斜边中点），正三角形（内心）等. 如图所示，令a AB =，h OO DB PD ==='，则==DO BO 'a 33，在PDO Rt ∆中，222PO DP DO =+，即222)3()33(=+h a ， 即33122=+h a ，得2239h a -= )3(23)39(636324331313222h h h h h a h a PA S V ABC ABC P -=-==⋅⋅=⋅=∆- 令)3(23)(3h h h f -=，233)('h h f -=， )(h f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减，所以1=h 时，3max =-ABC P V . 【知识点、能力点】外接球 【题号】17 【答案】（1）数列}{n a 满足：61=a ，)(96*1N n a a a nn n ∈-=+ 3131)3(333)3(33961311+-=-+-=-=--=-+n n n n n nn n a a a a a a a a所以3131311=---+n n a a ，即}31{-n a 是以311-a 31=为首项，31为公差的等差数列；（2）由（1）得31)1(3131⋅-+=-n a n ，解得nn a n )1(3+=， 所以n n nn a n lg )1lg(3lg )1(3lglg -++=+=， 前n 项和]lg )1lg(3[(lg )2lg 3lg 3(lg )1lg 2lg 3(lg n n T n -++++-++-+=Λ)1lg(3lg ++=n n即33lg 999)1999lg(3lg 999999+=++=T 【解题思路】（1）题干求证数列}31{-n a 是等差数列，利用定义法，结合已知条件，推导出31311---+n n a a 等于一个定值即可；（2）由（1）中数列}31{-n a 是等差数列，求得n n a n )1(3+=，进而化简得n n nn a n lg )1lg(3lg )1(3lg lg -++=+=，再利用裂项相消法求得}{lg n a 前n 项和即可. 【知识点、能力点】（1）第一问求证考查利用定义法来判断一个数列为等差数列，即后一项与前一项差值为定值；（2）数列通项结合对数函数基本运算公式，再利用裂项相消法求得}{lg n a 前n 项和n T 得简化形式，进而求解. 【题号】18 【答案】（1）取PC 中点为Q ，则由⊥⇒⊥⇒=DQ PC DQ PD CD 平面BC DQ PBC ⊥⇒与BC CD ⊥⊥⇒BC 平面⇒PDC PD BC ⊥（*），连接BD ，在直角梯形ABCD 中，易求得22,22==AD BD ，而4=AB ，则222AB BD AD =+，即AD BD ⊥与PA BD ⊥可得⊥BD 平面PAD PD BD ⊥⇒（*），故⊥PD 平面ABCD .（2）以D 为原点，DP DB DA ,,方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图的空间直角坐标系，则)0,0,22(A ，)0,22,0(B ，)2,0,0(P ，)0,0,2(M ，)1,2,0(N .平面PAD 的法向量为)0,22,0(=，故所求线面角的正弦值为5102254|||||||,cos |=⋅==><BD MN【解题思路】（1）题干中给出平面⊥PBC 平面PCD ，根据面面垂直性质定理可知，需要在其中一个平面内找到垂直于它们交线的直线，结合已知条件CD PD =，则可取PC 的中点Q ，接着易证PD BC ⊥；要证⊥PD 平面ABCD ，则还需在平面ABCD 中找到一条直线，证明其垂直于PD ，由已知条件BD PA ⊥锁定目标证明BD PD ⊥，即要证⊥BD 平面PAD ，即要证AD BD ⊥，在直角梯形ABCD 中，易证AD BD ⊥，故可证BD PD ⊥；（2）建系，套用空间向量法计算线面角的公式即可. 【知识点、能力点】本题主要考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理及利用空间向量法计算线面角，难度适中. 【题号】19 【答案】（1）3π（2）3 详解：（1）因为A c C ac a c b cos cos 2222+=-+， 所以A c C ac A bc cos cos cos 22+=即A c C a A b cos cos cos 2+=，由正弦定理得A C C A AB cos sin cos sin cos sin 2+=，即)sin(cos sin 2C A A B +=，∵B B C A sin )sin()sin(=-=+π， ∴B A B sin cos sin 2=，0)1cos 2(sin =-A B ， ∵π<<B 0，∴0sin ≠B ，21cos =A ，∵π<<A 0， ∴3π=A .（2）432543sin 21===∆bc A bc S ABC ，∴25=bc ， ∵21252252cos 22222=⨯-+=-+=c b bc a c b A ，5022=+c b ， ∴10025250)(2=⨯+=+c b ，即10=+c b 。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）四调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合}{1,2,3M =-，{}22,2N a a =++，且}{3M N ⋂=，则实数a值为( ) A. 1或-1 B. -1 C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由A 与B 的交集，得到元素3属于A ，且属于B ，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，经检验即可得到满足题意a 值． 【详解】∵A ∩B ＝{3}， ∴3∈A 且3∈B ， ∴a +2＝3或a 2+2＝3， 解得：a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，a +2＝3，a 2+2＝3，与集合元素互异性矛盾，舍去； 则a ＝﹣1． 故选B【点睛】此题考查了交集及其运算，以及集合元素的互异性，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52的【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=， 所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a =＋＋，那么35a a ＋的值等于（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】A 【解析】试题分析：由于{}n a 是等比数列，，()2465a a a =，()224354635225,a a a a a a a a ∴++=+=又0n a >35+5a a ∴=.故选A. 考点：等比中项.4.与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点(3,-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( ) A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离. 【详解】设双曲线方程22916x y λ-=，将点(3,-代入双曲线方程，解得2214,1494x y λ=⇒-=.从而所求双曲线方程的焦点坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭,一条渐近线方程为43y x =，即4x -3y =0，2=， 故选B .【点睛】本题主要考查共焦点双曲线方程的求解，双曲线的焦点坐标、渐近线方程的求解，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）A. 1b =B. a b ⊥C. 1a b ⋅=D. ()4C a b +⊥B【答案】D 【解析】 试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭．()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 【此处有视频，请去附件查看】6.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】【详解】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.考点：函数的概念7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A. B. 2+ C. 4 D. 4【答案】C 【解析】双曲线()22210x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F =，可得2a c ==，122PF PF a -==，① ()()22121212PF PF PF PF PFPF -=-+())1212122a PF PF PF PF PF PF =+=+=+=，② 由①②得12PF PF ==12PF F ∴∆的周长为12124PF PF F F ++=+ C.8.函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为A. 等腰锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰钝角三角形【答案】D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状．【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该三棱锥的主视图可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由已知中锥体的侧视图和俯视图， 可得该几何体是三棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图P-ABC 所示：顶点P 在以BA 和BC 为邻边的平行四边形ABCD 上的射影为CD 的中点O ， 故该锥体的正视图是：A 考点：三视图10.已知()sin 2019cos 201963f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数1x 、2x ，使得对任意实数x 总有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ）A.2019πB.42019πC.22019πD.4038π 【答案】C 【解析】 【分析】先化简()2sin 20193f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得2A =，根据题意即求半个周期的A 倍． 【详解】解：依题意()sin2019coscos2019sincos2019cossin2019sin6633f x x x x x ππππ=+++cos2019x x =+,2sin 20196x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2A ∴=，22019T π=， 12||22019min T x x π∴-==， 12A x x ∴-的最小值为22019π， 故选C ．【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．11.已知椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A C ，，上顶点为B ．过F B C ，，作圆P ，其中圆心P 的坐标为()m n ，．当0m n +>时，椭圆离心率的取值范围为（ ）A. 02⎛ ⎝⎭， B. 102⎛⎫⎪⎝⎭，C. 02⎛ ⎝⎭，D. 05⎛ ⎝⎭，【答案】A 【解析】 【分析】分别求出线段FA 与AB 的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P ，利用m +n ＞0，与离心率计算公式即可得出． 【详解】如图所示，线段FC 的垂直平分线为：12x =，线段BC 的中点122b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵BC k b =-，∴线段BC 的垂直平分线的斜率1k b=． ∴线段BC 的垂直平分线方程为：1122b y x b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，把x m ==代入上述方程可得：y n ==．∵0m n +>，0．化为：b 01b <<，解得12b <．∴02c e c a ⎛ ⎝⎭==，． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单几何性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，离心率，考查了推理能力与计算能力，属于中档. 12.设D 2a =+,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )B.11【答案】C 【解析】表示两点(,)x C x e 与点(,A a 距离，而点A 在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2D a =+，(,)x C x e 与点(,A a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C 三点共线时，且QF 为曲线x y e =的垂线，此时D 取得最小值，的即Q 为切点，设(,)m m e ， 由011m m e e m -⋅=--，可得21m m e +=， 设()2m g m m e =+，则()g m 递增，且(0)1g =，可得切点(0,1)Q ，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.南北朝时，张邱建写了一部算经，即《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建对等差数列研究做出了一定的贡献．例如算经中有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给”，则某一等人比其下一等人多得________斤金．（不作近似计算） 【答案】778【解析】【分析】根据题意将毎等人所得的黄金斤数构造等差数列，设公差为d ，根据题意和等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出公差d 即可得到答案．【详解】设第十等人得金1a 斤，第九等人得金2a 斤，以此类推，第一等人得金10a 斤，的则数列{}n a 构成等差数列，设公差d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得8910123443a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，即113244463a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得778d =， 所以每一等人比下一等人多得斤金778． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、前n 项和公式在实际问题中的应用，以及方程思想，属于中档题．14.已知直线l 经过抛物线2:4x C y =的焦点F ，与抛物线交于A 、B ，且8A B x x +=，点D 是弧AOB （O 为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为_____．【答案】()()22445x y -+-= 【解析】【分析】作出图形，利用两点间的斜率公式得出直线AB 的斜率，可得出直线l 的方程，再利用当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，由此求出点D 的坐标，并计算出点D 到直线l 的距离，作为圆D 的半径，由此可得出圆D 的标准方程.【详解】抛物线的标准方程为24x y =，抛物线的焦点坐标为()0,1F ，直线AB 的斜率()221424A B A B A B A B A B x x y y x x k x x x x --+====--，所以，直线l 的方程为21y x =+，即210x y -+=.当点D 到直线l 的距离最大时，圆D 的面积最大，如下图所示：设点2,4t D t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点D 在直线l 的下方，则22102t t -+>， 点D 到直线l的距离为()2212154t t t d -+--==，当4t =时，d， 此时，点D 的坐标为()4,4，因此，圆D 的标准方程为()()22445x y -+-=. 故答案为()()22445x y -+-=.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，同时也考查了抛物线上一点到直线距离的最值问题，解题的关键在于将问题转化为二次函数的最值问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1）图（2）π【答案】23【解析】【分析】解决．【详解】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R=∴A'F===2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ===2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24sin 1f x x a c x =+++的最大值的取值范围为__________．【答案】(]12,24【解析】由ABC ∆的三边分别为a ，b ，c 可得：113a b b c a b c +=++++，3a b c a b c a b b c+++++=++ 1c a a b b c∴+=++ 可知：()()()()c b c a a b a b b c +++=++222ac a c b =+-2221cos 22a cb B ac +-∴==，3B π=23R ππ=，R =2sin sin sin a b c R A B C∴===a A ∴=，c C =)233sin sin sin sin sin cos 322a c A C A A A A π⎤⎛⎫⎫+=+=+-=+ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦ 6sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 203A π<< 5666A πππ∴<+< 36sin 66A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ 可知3? 6a c <+≤()()()222sin 22f x x a c a c ⎡⎤=--++++⎣⎦ 1sin 1x -≤≤可知当sin 1x =时，()()4max f x a c =+()12424a c ∴<+≤则()()241f x cos x a c sinx =+++的最大值的取值范围为(]1224，点睛：本题主要考查了三角函数与解三角形综合题目，需要学生有一定计算能力，并能熟练运用公式进行化简求值，在解答此类题目时往往将边的范围转化为求角的范围问题，利用辅助角公式进行化简，本题还是有一定难度．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）令24()1n n b n N a *=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =+；22n S n n =+（2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式列1,a ,d 的方程组求解{}n a 再求前n 项和公式即可得出．（2）变形()22441111211n n b a n n n ===--++-，利用裂项相消求和【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ,∵37a =,5726a a +=,∴1127{21026a d a d +=+=,解得13a =,2d =,∴()32121n a n n =+-=+;()213222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）()22441111211n n b a n n n ===--++-, ∴11111111223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查裂项相消求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图,在平面四边形ABCD 中,已知AB=BC=CD=2，AD=(1)cos A C -的值;(2)记△ABD 与△BCD 的面积分别是S 1与S 2,求2212S S +的最大值,【答案】（1）12；(2)232. 【解析】试题分析：(1)在∆ABD ，∆BCD 中,分别用余弦定理,列出等式,cos A C - 的值;(2)利用(1)的结果,得到2212s s +是关于cos A 的二次函数,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求出BD 的范围,由BD 的范围求出cos A 的范围,再求出2212s s +的最大值.试题解析：（1）在∆ABD 中：222BD =AB +AD -2AB AD cosA ⨯⨯⨯ ;A在∆BCD 中：222BD =BC 2cos 88cos CD BC CD C C +-⨯⨯⨯=-所以88cos A C =-1cos 2A C -=； 由题意22211AB AD sin 8sin ,2s A A ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 22221sin 4sin ;2s CB CD C C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以：2222128sin 4sin s s A C +=+ ()()22=81-cos 41cos A C +- 22=12-8cos 4cos A C - 221=12-8cos 42A A ⎫--⎪⎭2=-16cos 11A A ++223=-16cos 82A ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭224,216BD BD <<∴<<，21216A ∴<-<，解之得：-cos 4A <<所以当cos -184A ⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()2212max 232s s +=. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.19.已知抛物线C 的方程()220y px p =>，焦点为F ，已知点P 在C 上，且点P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1.（1）试求出抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在两动点,M N （,M N 在对称轴两侧），满足OM ON ⊥（O 为坐标原点），过点F 作直线交C 于,A B 两点，若//AB MN ，线段MN 上是否存在定点E ，使得·4EM EN AB =恒成立？若存在，请求出E 的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 24y x =(2)存在，且坐标为()4,0 【解析】【分析】（1）由P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，结合抛物线定义可得12p =，从而可得结果；（2）设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合OM ON ⊥，可得直线()124:4MN y x y y =-+，直线()1AB y k x =-：，与C联立，利用弦长公式求得2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，可得200241·116y EM EN y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，·4EM EN AB =时，20041616y y k-+=，从而可得结果. 【详解】（1）因为P 到点F 的距离比它到y 轴的距离大1，由题意和抛物线定义，12p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，（2）由题意，0MN k ≠， 设()22121221,,,44y y M y N y y y ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由OM ON ⊥，得1216y y =-，直线124:MN k y y =+， 2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭整理可得()1244y x y y =-+，直线:AB ①若斜率存在，设斜率为(),1k y k x =-，与C 联立得2440ky y k --=，2141AB k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 若点E 存在，设点E 坐标为()00,x y ，01·EM EN y y =-()()2120120211y y y y y y k ⎛⎫=+--++ ⎪⎝⎭20241116y y k k ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ·4EM EN AB=时，2041616y y k-+=， 解得00y =或04y k=（不是定点，舍去） 则点E 为()4,0经检验，此点满足24y x <，所以在线段MN 上，②若斜率不存在，则4,?4?416AB EM EN ===， 此时点()4,0E 满足题意， 综合上述，定点E 为()4,0.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.20.椭圆()222210x y E a b a b +=：＞＞的离心率是3P （0，1）做斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时AB = （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点M （m ，0），使得△AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在求出m 的取值范围，若不存在说明理由．【答案】(Ⅰ) 22194x y +=；(Ⅱ)见解析．【解析】 【分析】2249b a =，于是椭圆方程为2222149x y a a +=．有根据题意得到椭圆过点2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，将坐标代入方程后求得29a =，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形，则点M 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．由题意得设出直线AB 的方程，借助二次方程的知识求得线段AB 的中点C 的坐标，进而得到线段AB 的垂直平分线的方程，在求出点M 的坐标后根据基本不等式可求出m 的取值范围． 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为3，所以3c a ==，整理得2249b a =．故椭圆的方程为2222149x y a a +=．由已知得椭圆过点2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以22927144a a+=，解得29a =， 所以椭圆的E 方程为22194x y +=．（Ⅱ）由题意得直线l 的方程为1y kx =+．由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，其中2221849()427()432(31)0k k k ∆=+⨯⨯=+>+． 设()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点()00,C x y则1212221827,4949k x x x x k k+=-=-++， 所以12029249x x k x k +-==+， ∴0024149y kx k =+=+，∴点C 的坐标为2294,4949kC k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭． 假设在x 轴存在点(),0M m ，使得AMB ∆是以AB 为底的等腰三角形， 则点(),0M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点．①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程221944949k y x k k k⎛⎫=-++⎪++⎝⎭， 令0y =，则得2554499k x m k k k==-=-++．若0k >，则554129kk≤=+， ∴5012m -≤<． 若0k <，则555441299kk kk=-≥-+--，∴5012m <≤． ②当0k =时，则有0m =． 综上可得551212m -≤≤． 所以存在点M 满足条件,且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式，此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理利用变形、换元等方法进行求解．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）若直线3x =被抛物线Γ所截得的弦长为6，求p 的值；（2）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值；（3）设2p =，1l 、2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A 、B ，2l 与抛物线Γ交于点C 、D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，求点G 的轨迹方程. 【答案】（1）32p =；（2；（3）23y x =-.【解析】 【分析】（1）当3x =时，代入抛物线方程，求得y ，可得弦长，解方程可得p ；（2）求得A 的坐标，设出过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程，若要使||||PA PF 取到最大值，则直线和抛物线相切，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（3）求得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线方程，运用韦达定理和两直线垂直斜率之积为-1的条件，结合向量的坐标表示，和消元法，可求得轨迹方程【详解】（1）由3x =可得y =，可得6=，解得32p =； （2）A 是点(2p F ，0)关于顶点O 的对称点，可得(2pA -，0)，设过A 的直线为()2py k x =+，tan k α=，联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得△2242(2)0k p p k p =--=，解得1k =±， 可取1k =，可得切线的倾斜角为45︒，由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα==︒-，而α的最小值为45︒， ||||PA PF ； （3）由24y x =，可得(1,0)F ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得 23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得4(x ，1234)(4y x x x x =+++-，1234)y y y y +++，即为2123424444x x x x x k k =+++-=+①， 1234444y y y y y k k=+++=-+②， 联立①②式消元可得222211()22y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为22y x =-【点睛】本题考查抛物线的定义、方程、性质，直线和抛物线的位置关系，判别式和韦达定理的具体运用，向量的坐标表示，运算及化简求值能力，属于中档题 22.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性； (2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增 当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增. （2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin 1504a a π-->， 设()8sin154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >，因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增，因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e . 【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是： （1）求定义域； （2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.。
河北衡水中学2019高三上年末考试--数学(文)
河北衡水中学2019高三上年末考试--数学（文）高三年级数学〔文科〕试卷第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题〔每题5分，共60分。
以下每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕 1、复数()3i -1i的共轭复数．．．．是 A 、3i - B 、3i + C 、3i --D 、3i -+2、假设集合},0{2m A =，}2,1{=B ，那么“1=m ”是“}2,1,0{=B A ”的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分又不必要条件3、等差数列{}na满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=nS ，那么n 的值为A 、8B 、9C 、10D 、11 4、锐角α满足sin α·cos α=41,那么tan α的值为A.2-3B. 3C.2±3D.2+3 5.假设12,e e 是夹角为3π的单位向量，且12122,32a e e b e e =+=-+，那么a b ∙＝A.1B.－4C.72- D.726、一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，那么蜜蜂“安全飞行”的概率为 A 、81 B 、161C 、271D 、837、右面的程序框图输出S的值为A、62B、126C、254D、5108.函数2()lnf x xx=-的零点所在的大致区间是A.〔1,2〕B.〔e，3〕C.〔2，e〕D.〔e，+∞〕9、以下选项错误的选项是．．．．．．〔〕题B.“2>x”是“0232>+-xx”的充分不必要条件C.命题p：存在Rx∈,使得012<++xx，那么p⌝：任意Rx∈,都有012≥++xxD.假设p且q为假命题，那么p、q均为假命题10、设A、B、C是半径为1的圆上三点，假设AB=AB AC⋅的最大值为〔〕A、B、32C、3D11、设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0,当x>0时，有2()()xf x f xx'-<恒成立，那么不等式2()0x f x>的解集是A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-2,0)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,2)12、设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝ABcPBCSS∆∆，λ2＝ABCPCASS∆∆，λ3＝ABCPABSS∆∆，定义),,()(321λλλ=pf,假设G是△ABC的重心，f〔Q〕＝〔21，31，61〕，那么A、点Q在△GAB内B、点Q在△GBC内C、点Q在△GCA内D、点Q与点G重合第二卷〔共90分〕【二】填空题：〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13、椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(0)(0)F c F c -，，，，假设椭圆上存在点P 〔异于长轴的端点〕，使得1221sin sin c PF F a PF F ∠=∠，那么该椭圆离心率的取值范围是、14、一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)，如图3所示，那么该几何体的侧面积为cm 、 15、x 和y 满足约束条件0,210,20.y x y x y ≥⎧⎪++<⎨⎪++>⎩那么21y x --的取值范围为、16、给出以下四个结论： ①函数21()1x f x x -=+的对称中心是(1,2)-；②假设关于x 的方程1x k x-+=在(0,1)x ∈没有实数根，那么k 的取值范围是2k ≥； ③在△ABC 中，“cos cos b A a B =”是“△ABC 为等边三角形”的必要不充分条件； ④假设将函数()sin(2)3f x x π=-的图像向右平移(0)φφ>个单位后变为偶函数，那么φ的最小值是12π；其中正确的结论是：【三】解答题：本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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2019届河北衡水中学高三文上学期四调考试数学试卷
【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知复数，则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（________ ）
A．第一象限 B．第二象限______________
C．第三象限_________ D．第四象限
2. 设是全集的子集，，则满足的
的个数是（________ ）
A．5____________________ B．4______________ C．3______________ D．2
3. 抛物线的焦点坐标是（________ ）
A．____________________ B．______________ C．
______________ D．
4. 设向量，若向量与平行，则
（________ ）
A．____________________ B．________ C. ____________________ D．
5. 圆与直线有公共点的充分不必要条件是（________ ）
A．或 B．______________
C. _________________________________________________ D．或
6. 设等比数列的前项和为，若，且，则等于（________ ）
A．3 B．303
C. ______________ D．
7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的值为（________ ）
A．____________________ B．________ C. ____________________ D．
8. 函数的图象可能是（________ ）
A．（ 1 ）（ 3 ）______________________ B．（ 1 ）（ 2 ）（ 4 ）
______________
C. （ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）____________________ D．（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）
9. 在四棱锥中，底面是正方形，底面，
，，，分别是棱，，的中点，则过，，的平面截四棱锥所得截面面积为（________ ）
A． B．______________
C. ______________ D．
10. 设，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过，若，则椭圆的离心率为（________ ）
A．____________________ B．________ C. ____________________ D．
11. 四棱锥的三视图如下图所示，四棱锥的五个顶点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为（________ ）
A．____________________ B．________ C.
____________________ D．
12. 已知抛物线的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛物线的准线交于点，则的值是（________ ）
A．_________ B．______________
C. ____________________ D．
二、填空题
13. 已知直线，，若直线
，则________________________ ．
14. 在中，角、、所对的边分别为，且
，，则的面积是
________________________ ．
15. 若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是________________________ ．
16. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________________________ ．
三、解答题
17. 已知数列的前项和为，且，数列
满足 .
（ 1 ）求；
（ 2 ）求数列的前项和 .
18. 设 .
（ 1 ）求在上的最大值和最小值；
（ 2 ）把的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的单调减区间.
19. 如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，
，，，，，， .
（ 1 ）求证：平面；
（ 2 ）求该组合体的体积.
20. 已知椭圆的短轴长为 2，离心率为，直线
过点交椭圆于、两点，为坐标原点.
（ 1 ）求椭圆的方程；
（ 2 ）求面积的最大值.
21. 已知函数，且 .
（ 1 ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（ 2 ）设函数，当时，恒成立，求的取值范围.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为 .
（ 1 ）求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；
（ 2 ）若直线与曲线交于、两点，设点，求 .
23. 选修4-5：不等式选讲
设函数 .
（ 1 ）求不等式的解集；
（ 2 ）若，恒成立，求实数的取值范围 .
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】
第23题【答案】。