D_九年级数学上册21.2.1解一元二次方程配方法课时练习(含解析)
新人教21.2.1配方法解一元二次方程(第2课时)
1 x1 1, x 2 . 2
2 3 3 x 6x 4 0
移项，得
3 x 6 x 4,
2
二次项系数化为1，得
2
4 x 2x , 3
2
为什么方程 两边都加12？
配方
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时， (x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
整理得：X2+6X－16 =0 怎样解这 个方程？
想一想解方程x 6 x 16 0的流程怎样 ? x 6 x 16 0
2
2
移项
2
x 2 6 x 16
两边加上32,使左边配成
x 2bx b 的形式
2
2
x 6 x 3 16 3
2 2
左边写成完全平方形 式 ( x 3) 25 降次
2
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得: x1 2, x2 8
以上解法中,为什么在方程x2+6x=16两边加 不行. 9?加其他数行吗? 像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法. 2＋10x＋ 25 =(x＋ 2 (1)x ) 5 填空：
化二次项系数为1.
移项:把常数项移到方程的右边;
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
2.解下列方程 3x 2 6 x 4 0 ; 4 x 2 6 x 3 0; ３ ４
2 2
2
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方 x2－8x+42=－1+42 , 为什么方 程两边都加上 42？加其他数 行吗？
人教版九年级数学上册第21章配方法解一元二次方程专项练习(含答案)
方。
19. C
20. 解：(1) t2- 7 t-2=0，t2- 7 t+ 49 = 81 ，∴（t- 7 ）2= 81 ∴t- 7 =± 9 ，∴
2
2 16 16
4 16 4 4
t1=4，t2=-1；
(2)x2-2x- 1 =0，x2-2x+1= 4
3
3
∴（x-1）2= 4 3
∴x-1=±
2
3 3
22. 用配方法解方程 2y2- 5 y=1 时，方程的两边都应加上（ ）
5
A.
2
5
B.
4
5
C.
4
5
D.
16
23. a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b-
)2
24. 用配方法解下列方程：
(1)2x2+1=3x；
(3)3x2-4x+1=0；
25. 已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2 的值.
12. 用配方法解下列方程：
(1)x2-6x-16=0；
(2)x2+3x-2=0；
(3)x2+2 3 x-4=0；
22
(4)x2- x- =0.
33
13. 已知直角三角形的三边 a. b. b，且两直角边 a. b 满足等式(a2+b2)2-2(a2+b2)-15=0，求斜
边 c 的值。
14. 填空：
17 2
，∴x1=
3 2
17 ，
3 x2= 2
17 ；
(3)x2+2 3 x+3=7，（x+ 3 ）2=7，∴x+ 3 =± 7 ，∴x1= 3 7 ， x2= 3 7 ；
人教版九年级上册数学：21.2解一元二次方程---配方法(解析版)
人教版九年级上册数学：21.2解一元二次方程---配方法一．选择题（共10小题）1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（）A．1B．2C．4D．﹣12．将一元二次方程x2+6x+7＝0进行配方正确的结果应为（）A．（x+3）2+2＝0B．（x﹣3）2+2＝0C．（x+3）2﹣2＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0 3．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0，正确的是（）A．（x+）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝4．用配方法解下列方程错误的是（）A．m2﹣2m﹣99＝0可化为（m﹣1）2＝100B．k2﹣2k﹣8＝0可化为（k﹣1）2＝9C．x2+8x+9＝0可化为（x﹣）2＝25D．3a2﹣4a﹣2＝0可化为（a﹣）2＝5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣4）2＝22C．（x﹣2）2＝10D．（x﹣2）2＝8 6．用配方法解方程，应在方程两边同时（）A．加上B．减去C．加上D．减去7．把方程（2x+1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（）A．4，1B．6，1C．5，1D．1，68．方程3x2+x﹣6＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．B．C．D．9．用配方法解方程x2+4x＝10的根为（）A．2±B．﹣2±C．﹣2+D．2﹣10．下列说法正确的是（）A．将方程x2＝0.04两边进行平方得x1＝0.02，x2＝﹣0.02B．一元二次方程x2＝6x的根是x＝3C．方程4x2﹣x＝0可以转化为（2x﹣）2＝D．若m≠1时，方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程二．填空题（共10小题）11．解方程：9x2﹣6x+1＝0，解：9x2﹣6x+1＝0，所以（3x﹣1）2＝0，即3x﹣1＝0，解得x1＝x2＝．12．将下列各式配方：（1）x2﹣4x+＝（x﹣）2；（2）x2+12x+＝（x+）2；（3）x2﹣x+＝（x﹣）2；（4）x2+2x+＝（x+）2．13．将方程x2﹣10x+16＝0化为（mx+n）2＝p（p≥0）的形式为．14．把方程x2﹣6x+5＝0化成（x+m）2＝k的形式，则m＝，k＝．15．完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2＝0．解：移项，得．二次项系数化为1，得．配方，．开平方，得，x1＝，x2＝．16．如果（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，那么x与y的关系是．17．用配方法解下列方程：（1）x2+4x﹣5＝0，解：移项，得x2+4x＝，方程两边同时加上4，得x2+4x+4＝，即（x+2）2＝，所以x+2＝或x+2＝，所以x1＝，x2＝．（2）2y2﹣5y+2＝0，解：方程两边同除以2，得y2﹣y＝，方程两边同加上（）2，得y2﹣y+（）2＝，所以（）2＝，解得y1＝，y2＝．18．完成下面的解题过程：用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．解：整理，得．移项，得．二次项系数化为1，得．配方，．开平方，得，x1＝，x2＝．19．化下列各式为（x+m）2＝n的形式．（1）x2﹣2x﹣3＝0．（2）x2+x+1＝0．20．用配方法解方程：x2+5x＝﹣4，方程两边都应为加上的数是．三．解答题（共4小题）21．用配方法解方程．（1）x2+2x﹣5＝0；（2）x2+22x﹣240＝0；（3）x2﹣8x+15＝0；（4）﹣y2+2y+3＝0．22．用配方法解下列关于x的方程：（1）2x2﹣x﹣30＝0；（2）x2+2＝2x；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）；（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）．23．用配方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣7＝0；（2）；（3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6．24．用配方法解下列方程：（1）2y2﹣4y＝4（2）x2+3＝2x．人教版九年级上册数学：21.2解一元二次方程---配方法参考答案一．选择题（共10小题）1．将方程x2﹣2x＝2配成（x+a）2＝k的形式，则a＝（）A．1B．2C．4D．﹣1【解答】解：x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3．所以a＝﹣1．故选：D．2．将一元二次方程x2+6x+7＝0进行配方正确的结果应为（）A．（x+3）2+2＝0B．（x﹣3）2+2＝0C．（x+3）2﹣2＝0D．（x﹣3）2﹣2＝0【解答】解：x2+6x+7＝0，x2+6x+9﹣2＝0，（x+3）2﹣2＝0，故选：C．3．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0，正确的是（）A．（x+）2＝B．（x﹣）2＝C．（x﹣）2＝D．（x+）2＝【解答】解：x2﹣x﹣1＝0x2﹣x＝1，x2﹣x+（）2＝1+（）2，（x﹣）2＝，故选：B．4．用配方法解下列方程错误的是（）A．m2﹣2m﹣99＝0可化为（m﹣1）2＝100B．k2﹣2k﹣8＝0可化为（k﹣1）2＝9C．x2+8x+9＝0可化为（x﹣）2＝25D．3a2﹣4a﹣2＝0可化为（a﹣）2＝【解答】解：A、m2﹣2m﹣99＝0，m2﹣2m＝99，m2﹣2m+1＝99+1，（m﹣1）2＝100，故本选项错误；B、k2﹣2k﹣8＝0，k2﹣2k＝8，k2﹣2k+12＝8+1，（k﹣1）2＝9，故本选项错误；C、x2+8x+9＝0，x2+8x＝﹣9，x2+8x+42＝﹣9+42，（x+4）2＝7，故本选项正确；D、3a2﹣4a﹣2＝0，3a2﹣4a＝2，a2﹣a＝，a2﹣a+（）2＝+（）2，（a﹣）2＝，故本选项错误；故选：C．5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0，变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝0B．（x﹣4）2＝22C．（x﹣2）2＝10D．（x﹣2）2＝8【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0，移项得：x2﹣4x＝6，配方得：x2﹣4x+4＝10，即（x﹣2）2＝10．故选：C．6．用配方法解方程，应在方程两边同时（）A．加上B．减去C．加上D．减去【解答】解：方程两边都加上（）2＝，故选：C．7．把方程（2x+1）（3x+1）＝x化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是（）A．4，1B．6，1C．5，1D．1，6【解答】解：（2x+1）（3x+1）＝x，6x2+5x+1＝x，6x2+4x+1＝0，这个方程的一次项系数为4，常数项为1．故选：A．8．方程3x2+x﹣6＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：3x2+x﹣6＝0，x2+x﹣2＝0，x2+x＝2，x2+x+＝，＝．故选：B．9．用配方法解方程x2+4x＝10的根为（）A．2±B．﹣2±C．﹣2+D．2﹣【解答】解：∵x2+4x＝10，∴x2+4x+4＝10+4，∴（x+2）2＝14，∴x＝﹣2±，故选：B．10．下列说法正确的是（）A．将方程x2＝0.04两边进行平方得x1＝0.02，x2＝﹣0.02B．一元二次方程x2＝6x的根是x＝3C．方程4x2﹣x＝0可以转化为（2x﹣）2＝D．若m≠1时，方程（m﹣1）x2﹣4x＝0是关于x的一元二次方程【解答】解：A、将方程x2＝0.04两边进行平方得x1＝0.2，x2＝﹣0.2，应为“将方程x2＝0.04两边进行开方得x1＝0.2，x2＝﹣0.2”；B、一元二次方程x2＝6x的根是x＝6或x＝0；C、将（2x﹣）2＝转化为一般式为4x2﹣2x＝0，与原方程不符；D、根据一元二次方程的概念，二次项系数m﹣1≠0，即m≠1．故选：D．二．填空题（共10小题）11．解方程：9x2﹣6x+1＝0，解：9x2﹣6x+1＝0，所以（3x﹣1）2＝0，即3x﹣1＝0，解得x1＝x2＝．【解答】解：据题意得x1＝x2＝．12．将下列各式配方：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（2）x2+12x+36＝（x+6）2；（3）x2﹣x+＝（x﹣）2；（4）x2+2x+2＝（x+）2．【解答】解：（1）（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2；（2）x2+12x+36＝（x+6）2；（3）x2﹣x+＝（x﹣）2；（4）x2+2x+2＝（x+）2；故答案为：4，2；36，6；，；2，．13．将方程x2﹣10x+16＝0化为（mx+n）2＝p（p≥0）的形式为（x﹣5）2＝9．【解答】解：∵x2﹣10x+16＝0∴x2﹣10x＝﹣16∴x2﹣10x+25＝﹣16+25∴（x﹣5）2＝9．14．把方程x2﹣6x+5＝0化成（x+m）2＝k的形式，则m＝﹣3，k＝4．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x＝﹣5，配方得：x2﹣6x+9＝4，即（x﹣3）2＝4，可得m＝﹣3，k＝4，故答案为：﹣3，4．15．完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2＝0．解：移项，得3x2+6x＝﹣2．二次项系数化为1，得x2+2x＝﹣．配方x2+2x+1＝﹣+1，（x+1）2＝．开平方，得x+1＝±，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．【解答】解：移项，得3x2+6x＝﹣2．二次项系数化为1，得x2+2x＝﹣．配方x2+2x+1＝﹣+1，（x+1）2＝．开平方，得x+1＝±，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．16．如果（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，那么x与y的关系是x﹣y＝1．【解答】解：方程变形得：（x﹣y﹣1）2＝0，解得：x﹣y＝1．故答案为：x﹣y＝1．17．用配方法解下列方程：（1）x2+4x﹣5＝0，解：移项，得x2+4x＝5，方程两边同时加上4，得x2+4x+4＝9，即（x+2）2＝9，所以x+2＝3或x+2＝﹣3，所以x1＝1，x2＝﹣5．（2）2y2﹣5y+2＝0，解：方程两边同除以2，得y2﹣y＝﹣1，方程两边同加上（）2，得y2﹣y+（）2＝，所以（y﹣）2＝，解得y1＝2，y2＝．【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，∴x2+4x＝5，⇒x2+4x+4＝5+4，∴（x+2）2＝9，∴x+2＝±3，∴x+2＝3或x+2＝﹣3解得x1＝1，x2＝﹣5．（2）∵2y2﹣5y+2＝0，∴y2﹣y＝﹣1，∴y2﹣y+＝﹣1+，∴（y﹣）2＝，∴y＝，解得y1＝2，y2＝．18．完成下面的解题过程：用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．解：整理，得4x2﹣8x﹣8＝0．移项，得4x2﹣8x＝8．二次项系数化为1，得x2﹣2x＝2．配方x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3．开平方，得x﹣1＝±，x1＝1+，x2＝1﹣．【解答】解：（2x﹣1）2＝4x+9，4x2﹣4x+1﹣4x﹣9＝0，4x2﹣8x﹣8＝0，4x2﹣8x＝8，x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝3，（x﹣1）2＝3，x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．19．化下列各式为（x+m）2＝n的形式．（1）x2﹣2x﹣3＝0（x﹣1）2＝4．（2）x2+x+1＝0（x+）2＝﹣．【解答】解：（1）移项得x2﹣2x＝3，配方得x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4；（2）移项得x2+x＝﹣1，配方得x2+x+＝﹣1+，即（x+）2＝﹣．20．用配方法解方程：x2+5x＝﹣4，方程两边都应为加上的数是（）2．【解答】解：∵x2+5x＝﹣4，两边加上得，x2+5x+＝﹣4+，∴．三．解答题（共4小题）21．用配方法解方程．（1）x2+2x﹣5＝0；（2）x2+22x﹣240＝0；（3）x2﹣8x+15＝0；（4）﹣y2+2y+3＝0．【解答】解：（1）移项得x2+2x＝5，配方得x2+2x+1＝5+1，即（x+1）2＝6，开方得x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．（2）移项得x2+22x＝240，配方得x2+22x+121＝240+121，即（x+11）2＝361，开方得x+11＝±19，∴x1＝8，x2＝﹣30．（3）移项得x2﹣8x＝﹣15，配方得x2﹣8x+16＝﹣15+16，即（x﹣4）2＝1，开方得x﹣4＝±1，∴x1＝5，x2＝3．（4）移项得y2﹣2y＝3，配方得y2﹣2y+1＝3+1，即（y﹣1）2＝4，开方得y﹣1＝±2，∴y1＝3，y2＝﹣1．22．用配方法解下列关于x的方程：（1）2x2﹣x﹣30＝0；（2）x2+2＝2x；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O）；（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O）．【解答】解：（1）2x2﹣x﹣30＝0，2x2﹣x＝30，x2﹣x＝15，x2﹣x+＝15，（x﹣）2＝；x﹣＝±，x1＝＝3，x2＝﹣＝﹣；（2）x2+2＝2x，x2﹣2x＝﹣2，x2﹣2x+3＝﹣2+3；（x﹣）2＝1，x﹣＝±1，x1＝1+，x2＝﹣1+；（3）x2+px+q＝O（p2﹣4q≥O），x2+px＝﹣q，x2+px+＝﹣q+，（x+）2＝，∵p2﹣4q≥O，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝；（4）m2x2﹣28＝3mx（m≠O），（mx）2﹣3mx﹣28＝0，（mx﹣7）（mx+4）＝0，mx＝7或mx＝﹣4，∵m≠0，∴x1＝，x2＝．23．用配方法解下列方程：（1）2x2﹣5x﹣7＝0；（2）；（3）（x+1）（x﹣1）＝2x2﹣4x﹣6．【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝，配方得：x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝，开方得：x﹣＝±，解得：x1＝，x2＝﹣1；（2）方程变形得：y2﹣y＝19，配方得：y2﹣y+＝，即（y﹣）2＝，开方得：y﹣＝±，解得：y＝；（3）整理得：x2﹣4x＝5，配方得：x2﹣4x+4＝9，即（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝±3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．24．用配方法解下列方程：（1）2y2﹣4y＝4（2）x2+3＝2x．【解答】解：（1）2y2﹣4y＝4，y2﹣2y＝2，y2﹣2y+1＝2+1，（y﹣1）2＝3，y﹣1＝，y1＝1+，y2＝1﹣；（2）x2+3＝2x，x2﹣2x＝﹣3，x2﹣2x+3＝﹣3+3，（x﹣）2＝0，x﹣＝0，x1＝x2＝．。
初中数学人教版九年级上册课堂练习试卷(21.2.1 配方法)(含答案)
四川绵阳富乐国际学校初中数学人教版九年级上册课堂练习试卷班级姓名21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法一、选择题1.(2019新疆北大附中月考)方程x2+4x+1=0的解是( )A.x1=2+,x2=2-B.x1=2+,x2=-2+C.x1=-2+,x2=-2-D.x1=-2-,x2=2+1.(2019湖北武汉黄陂月考,8,★★☆)已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么p+q的值为( )A.5B.-1C.2D.12.(山东济南长清五中月考,3,★★☆)用配方法解下列方程,其中应在左右两边同时加上4的是( )A.x2-2x=5B.x2-8x=4C.x2-4x-3=0D.x2+2x=54.(上海黄浦期中)若方程25x2-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则k的值为( )A.-9或11B.-7或8C.-8或9D.-6或75.(2019湖北武汉江岸月考)方程4x2-1=0的根是( )A.x=B.x1=,x2=-C.x=2D.x1=2,x2=-26.方程2(x+2)2=18的根是( )A.x1=-1,x2=-3B.x1=-1,x2=1C.x1=1,x2=-5D.x1=-2+,x2=-2-7.(2019福建泉州期末)用配方法解方程x2-6x+1=0,下列配方正确的是( )A.(x+3)2=8B.(x-3)2=8C.(x+3)2=9D.(x-3)2=98.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为( )A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4)2=17或(x+4)2=17二、填空题9.已知方程x2+4x+n=0配方后为(x+m)2=3,则(n-m)2 020= .10.(独家原创试题)将一元二次方程x2-8x-8=0化成(x-a)2=b的形式,其中a,b是常数,则方程ax2-b=0的解为.11.对于任意的两个实数a、b,定义运算※:a※b=若x ※2=8,则x的值是.12.(独家原创试题)将一元二次方程x2+8x+13=0通过配方法转化成(x+a)2=b的形式(a,b为常数),则两边长为a,b的直角三角形的第三条边的长为.13.(2018浙江温州期末)已知关于x的方程ax2-bx-c=0(a≠0)的系数满足4a-2b-c=0,且c-a-b=0,则该方程的根是.14.(四川成都成华模拟)定义新运算:a*b=a(b-1),若a、b是关于x的一元二次方程x2-x+m=0的两实数根,则b*b-a*a的值为.15.(2019江苏南京秦淮期中,14,★★☆)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)配方后为(x+1)2=d(d为常数),则= .三、解答题16.解方程:(1)(2x-3)2=25;(2)x2-4x-3=0.17.用配方法解下列方程:(1)x2+12x-15=0;(2)3x2-5x=2;(3)x2-x-4=0.参考答案和解析1.答案 C 移项得x2+4x=-1,配方得x2+4x+4=-1+4,即(x+2)2=3,解得x1=-2+,x2=-2-.故选C.2.答案 A x2-6x+q=0,移项得x2-6x=-q,配方得x2-6x+9=9-q,即(x-3)2=9-q,根据题意知p=3,9-q=7,即q=2,∴p+q=3+2=5.故选A. 3.答案 C 选项A中,x2-2x+1=5+1,不符合题意;选项B中,x2-8x+16=4+16,不符合题意;选项C中,x2-4x=3,x2-4x+4=3+4,符合题意;选项D中,x2+2x+1=5+1,不符合题意.故选C.4.答案 B 由题意可得3x2=12,即x2=4,解得x1=2,x2=-2,故选B.5.答案 B 方程整理得x2=,直接开平方得x=±,∴x1=,x2=-.故选B.6.答案 C 方程两边都除以2,得(x+2)2=9,则x+2=3或x+2=-3,解得x=1或x=-5.故选C.7.答案 B 移项得x2-6x=-1,配方得x2-6x+9=8,即(x-3)2=8.故选B.8.答案 D ∵方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,即x2-2qx+q2-15=0,∴-p=-2q,q2-15=1,解得q=4,p=8或q=-4,p=-8.当p=8时,方程为x2-8x-1=0,配方为(x-4)2=17;当p=-8时,方程为x2+8x-1=0,配方为(x+4)2=17.故选D.9.答案 1解析由(x+m)2=3,得x2+2mx+m2-3=0,∴2m=4,m2-3=n,∴m=2,n=1,∴(n-m)2 020=1.10.答案x1=,x2=-解析x2-8x-8=0,移项得x2-8x=8,配方得x2-8x+16=8+16,即(x-4)2=24,∴a=4,b=24.由题意得方程ax2-b=0可化为4x2-24=0,移项得4x2=24,即x2=6,直接开平方得x=±,即x1=,x2=-.11.答案-或4解析根据题中的新定义得,当x≤2时,x※2=x2+2=8,解得x=(不合题意,舍去)或x=-;当x>2时,x※2=2x=8,解得x=4,所以x的值为-或4.12.答案 4解析∵x2=(ab>0),∴x=±,∴方程的两个根互为相反数,∴m+1+2m-4=0,解得m=1,∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2,-2,∴±=±2,∴=4.13.答案 A 根据题意知-(k-1)=±2×5×1,∴1-k=±10,即1-k=10或1-k=-10,得k=-9或k=11,故选A.14.答案5或解析x2+8x+13=0,移项得x2+8x=-13,配方得x2+8x+16=-13+16,即(x+4)2=3,∴a=4,b=3.若a和b为两直角边的长,则斜边长为=5;若a为斜边的长,则第三条边的长为-=.15.答案 1解析ax2+bx+c=0,移项得ax2+bx=-c,系数化为1得x2+x=-,配方得x2+x+=-+,即=-,∴=1.16.解析(1)直接开平方,得2x-3=±5,解得x1=4,x2=-1.(2)移项,得x2-4x=3,配方,得x2-4x+4=7,即(x-2)2=7,∴x-2=±,解得x1=2+,x2=2-.17.解析(1)移项,得x2+12x=15,配方,得x2+12x+62=15+62,即(x+6)2=51,∴x+6=±,解得x1=-6+,x2=-6-.(2)系数化为1,得x2-x=,配方,得x2-x+-=+-,即-=,∴x-=±,解得x1=2,x2=-.(3)移项,得x2-x=4,系数化为1,得x2-4x=16,配方,得x2-4x+(-2)2=16+(-2)2, 即(x-2)2=20,∴x-2=±2,解得x1=2+2,x2=2-2.。
人教版九年级数学上册课时练 第二十一章 一元二次方程 21.2.1 配方法
人教版九年级数学上册课时练 第二十一章 一元二次方程 21.2.1 配方法一、选择题（30分）1．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ）A ．2(2)3x +=B ．2(2)5x +=C ．2(2)3x -=D ．2(2)5x -=2．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x += 3．用配方法解方程2520x x ++=时，四个学生在变形时，得到四种不同的结果，其中配方正确的是（ ）A ．2517()24x += B ．2521()24x +=C ．2525()24x +=D ．2533()24x += 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x +=5．代数式22244619x xy y x -+++的最小值是（ ）A ．10B ．9C ．19D ．116．新定义，若关于x 的一元二次方程：21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=，称为“同族二次方程”．如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程：22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”．那么代数式22018ax bx ++能取的最小值是（ ）A ．2011B ．2013C ．2018D ．2023 7．多项式22225122451xxy y x y -++-+的最小值为（ ） A ．41 B ．32 C ．15 D ．128．对于两个实数a ，b ，用()max ,a b 表示其中较大的数，则方程()max ,21x x x x ⨯-=+的解是（ ）A ．1，1B ．1，1C ．1-，1D ．1-，19．已知下面三个关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=，2bx cx a 0++=，2cx ax b 0++=恰好有一个相同的实数根a ，则a b c ++的值为（ ，A ．0B ．1C ．3D ．不确定10．设一元二次方程（1x +）（3x -）=m （m ＞0）的两实数根分别为α、β且α＜β，则α、β满足（ ） A ．-1＜α＜β＜3B ．α＜-1且β＞3C ．α＜-1＜β＜3D ．-1＜α＜3＜β二、填空题（15分）11. 代数式x 2，4x，7的最小值为____，12．已知a 、b 、c 为ABC 的三边长，且a 、b 满足2264130a a b b -+-+=，c 为奇数，则ABC 的周长为______． 13．已知实数x ，y 满足2330x x y ++-=，则x+y 的最大值为_______．14．设实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，则23M xy yz zx =++的最大值为__________．15．对于有理数,a b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b ≥时，}{min ,a b b =；当a b ≤时，}{min ,a b a =.若}{22min 13,6413m n m n ---=，则n m 的值等于____．三、解答题（75分）16．定义一种新运算“*a b ”：当a b ≥时，*3a b a b =+；当a b <时，*3a b a b =-．例如：()()()3*431296*1263642-=+-=-=--=-，．（1）填空：(43)*-=_ ；若*6()8x x +=-，则x =_ ；（2）已知()()37*326x x -->-，求x 的取值范围；（3）小明发现，无论x 取何值，计算()()2223*25x x x x -+-+-时，得出结果总是负数，你认为小明的结论正确吗？请说明理由．17．阅读理解：已知22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵ 22m 2mn 2n 8n 160-+-+=∴()()22228160m mn nn n -++-+= ∴22()(4)0m n n +--=∴22(m n)0,(n 4)0-=-=∴4,4n m ==．方法应用：（1）已知22104290a b a b +-++=，求a 、b 的值；（2）已知 44x y +=．①用含 y 的式子表示 x ： ；②若2610xy z z --=，求 x z y+的值．18．实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表②如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果． 归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．19．阅读材料：在实数范围内，当0a >且0b >时 ，我们由非负数的性质知道20≥，所以0a b -≥，即:a b +≥，当且仅当a =b 时，等号成立，这就是数学上有名的“均值不等式”，若a 与b 的积为定值(0)p p >. 则+a b有最小值请问： 若 0x >， 则当x 取何值时，代数式82x x+取最小值？ 最小值是多少？ 20．解下列关于x 的方程：（1）ax+x=2（x -2）(1a ≠）（2））b 2x = 2x +1（b>1） 21．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a ＞0，b ＞0时：，）2=a ﹣b ≥0，a +b ，当且仅当a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．22．阅读以下材料，解决后续问题：材料：①我们学习过完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，其中形如222a ab b ±+的式子叫完全平方式，有时我们可以通=1==，==1==.②完全平方数：一个自然数能写成一个整数的平方，则称这个自然数为完全平方数，例如2648=，则64是一个完全平方数.完全平方数有如下因数特征：若N ab =(a 、b 为互质的整数)为完全平方数，则a 、b 均为完全平方数. 问题：(1)化简：.(2)已知m 、n 均为正整数，设()118N m n =+33<，求m n +的值.23．选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：2242(2)2x x x -+=--；②选取二次项和常数项配方：()2242(4x x x x -+=-+，或(2242(4x x x x -+=+-+；③选取一次项和常数项配方：22242x x x -+=-．根据上述材料，解决下面问题： ()1写出284x x -+的两种不同形式的配方；()2若22330x y xy y ++-+=，求xy 的值；()3若关于x 的代数式()2962x m x m -++-是完全平方式，求m 的值；() 4用配方法证明：无论x 取什么实数时，总有2451x x ++≥恒成立．【参考答案】1．D 2．D 3．A 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A 10．B11．312．813．414．3415．1916．（1）-13，-5；（2）823x ≤<或1029x <<；（3）小明结论正确，理由略 17．（1）a=5，b=-2；（2）①x=4-4y ；②2．18．探究一：（3）7；（4）23n -（3n ≥，n 为整数）；探究二：（1）4,（2）38n - ；探究三：415,n -归纳结论：21an a -+ （n 为整数，且3n ≥，1＜a ＜n ）；问题解决：476；拓展延伸：（1）29个或7个；（2）()211a n a +-+． 19．x=2时，最小值是8．20．（1）41x a =--；（2）12x x ==． 21．（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．22．(1)1；②2-；(2)4m n +=，9，16，23，30，37.23．，1，①选取二次项和一次项配方：2284(4)12x x x -+=--，②选取二次项和常数项配方：2284(2)4x x x x -+=--，()2 2xy =-，()36m =或18m =，，4，略，。
21.2.1配方法解一元二次方程
1. 证明:代数式x2+4x+ 5的值不小于1.
2. 证明:代数式-2y2+2y-1的值不大于
1 2
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
答：道路宽1米
课堂练习
3.若实数x、y满足(x+y+2)(x+y-1)=0，
则x+y的值为（ D ）．
（A）1
（B）－2
（C）2或－1 （D）－2或1
4.对于任意的实数x，代数式x2－5x＋10的值
是一个（ B ）
（A）非负数 （B）正数
（C）整数 （D）不能确定的数
综合应用
例题3. 用配方法解决下列问题
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方
法. 2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方
式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
3.方程χ2=a(a≥0)的解为：χ= a
方程（χ－a）2=b（b≥0)的解为：χ= a b
小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？
小练习
1．解方程：3x2+27=0得（ ）. (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数 根 (D)方程的根有无数个 2.方程(x-1)2=4的根是( ). (A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2
2121 一元二次方程的解法(一)配方法-2021-2022学年九年级数学上练(人教版)(解析版)
21.2.1 一元二次方程的解法（一）配方法瞄准目标，牢记要点夯实双基，稳中求进直接开方法解一元二次方程原理：题型一：直接开方法解一元二次方程原理：【例题1】下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A ．240x -= B ．2(1)90x --= C ．230x x += D ．22(1)(21)x x -=+【答案】C【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案．【详解】能用直接开平方法求解的是：240x -=、2(1)90x --=和22(1)(21)x x -=+； 故选C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）． 变式训练【变式1-1】关于x 的方程()2x a b +=能直接开平方求解的条件是（ ） A ．0,0a b ≥≥B ．0,0a ≥≤知识点管理 归类探究 1 (1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义. 特别说明：用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a≠0）；（x+a ）2=b （b≥0）；a （x+b ）2=c （a ，c 同号且a≠0）．C ．a b ，为任意数D ．a 为任意数且0b ≥【答案】D【分析】根据一个数的平方是非负数，可得0b ≥． 【详解】∵()20x a +≥，∵0b ≥，a 为任意数，故选：D ．【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：2x a =（a≥0）．形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解题型二：形如关于x 的一元二次方程2x a ，可直接开平方求解【例题2】一元二次方程290x 的解是（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．123,3x x ==-D ．12=3,3x x =-【答案】C【分析】先变形得到x 2=9，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：x 2=9，x =±3，所以x 1=3，x 2=-3． 故选：C ．【点睛】本题考查了直接开平方法：形如x 2=p 或（nx +m ）2=p （p ≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 变式训练【变式2-1】方程280x -=的解为（ ） A ．14x =，24x =-B ．122x =，222x =-2 若0a则x a =±；表示为1,2x a x a ==- 方程有两个不等实数根 若=0a 则x=O 表示为120x x == 方程有两个相等的实数根 若0a则方程无实数根特别说明：(1)先移项，再开方；(2)形如2x a =的方程不一定有解，需要分情况讨论.C ．10x =，222x =D ．22x =【答案】B【分析】移项得x 2=8，然后利用直接开平方法解方程即可．【详解】解：移项得28x =，两边开方的：22x =±，即1222,22x x ==-，故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【变式2-2】方程x 2＝0的解为（ ） A ．0x = B ．120x x ==C ．无解D ．以上都不对【答案】B【分析】直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵x 2＝0，∵x 1=x 2=0．故选：B.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握直接开平方的方法是解本题的关键． 【变式2-3】一元二次方程224x =-的解是（ ） A ．2x =- B ．2x =C ．无解D ．12x =，22x =-【答案】C形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解题型三：形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解 【例题5】方程2(1)4x +=的解为（ ）A ．121,1x x ==-B ．121,3x x =-=C ．122,2x x ==-D ．121,3x x ==-【答案】D【分析】根据直接开平方法即可求解．3 形如关于x 的一元二次方程2()(0,0)ax n m a m +=≠≥，可直接开平方求解，两根是12,n m n mx x a a-+--==． 特别说明：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【详解】解2(1)4x +=x+1=±2∵x+1=2或x+1=-2 解得121,3x x ==- 故选D ．【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知直接开平方法的运用． 变式训练【变式5-1】2(31)9x -= 【答案】（1）x 1=43，x 2=23-；【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】解：（1）2(31)9x -=， 两边开方得：313x -=±， 解得：x 1=43，x 2=23-；【变式5-2】解方程：（1）22(2)180x +-= （2）229(2)4(25)x x -=+ （1）解：22(2)180x +-=， ∵22(2)18x +=， ∵2(2)9x +=， ∵23x +=或23x，解得：x 1=1，x 2=-5；（2）解：∵9（x -2）2=4 （2x +5）2．∵3（x -2）=2（2x +5）或3（x -2）=-2（2x +5）， 解得x 1=-16，x 2=47-配方法解一元二次方程题型四：用配方法给方程变形【例题3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）用配方法解方程241x x -=时，原方程应变形为（ ） A ．2(2)1x -= B ．2(2)5x +=C ．2(2)1x +=D ．2(2)5x -=【答案】D【分析】移项，配方，变形后即可得出选项． 【详解】解：x 2-4x =1， x 2-4x +4=1+4， ∵（x -2）2=5，4 1．配方法的定义通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．2．用配方法解一元二次方程的一般步骤①通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，把原方程化为20(0)ax bx c a ++=≠的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，形如；⑤一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成的形式，那么就有：（1）当p ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；（2）当p =0时，原方程有两个相等的实数根；（3）当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有，所以原方程无实数根. . 特别说明：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式．2()x n p +=2()x n p +=12x n p x n p =--=-+，12x x n ==-2()0x n +≥故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 变式训练【变式4-1】（2021·浙江杭州市·八年级期中）方程26100x x --=变形时，下列变形正确的为（ ） A ．2(3)1x += B ．2(3)1x -=C ．2(3)19x +=D ．2(3)19x -=【答案】D【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程移项得：x 2-6x =10，配方得：x 2-6x +9=19，即（x -3）2=19，故选：D ．【变式4-2】（2021·浙江杭州市·八年级期中）一元二次方程2660x x --=经配方可变形为（ ） A ．2(3)10x -= B ．()2642x -=C ．2(6)6x -=D ．2(3)15x -=【答案】D【分析】把方程左边化为完全平方式的形式即可．【详解】解：原方程可化为x 2-6x +32-32=6，即（x -3）2=15．故选：D ．【变式4-3】（2021·浙江杭州市·八年级期中）若方程280x x m -+=可通过配方写成2() =6x n -的形式，则285++=x x m 可配方成（ ） A ．2(5)1x n -+= B ．2()1x n +=C ．2(5)11x n -+=D ．2()11x n +=【答案】D【分析】已知方程x 2-8x +m =0可以配方成（x -n ）2=6的形式，把x 2-8x +m =0配方即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值，再利用配方法即可确定x 2+8x +m =5配方后的形式． 【详解】解：∵x 2-8x +m =0， ∵x 2-8x =-m ， ∵x 2-8x +16=-m +16，∵（x -4）2=-m +16， 依题意有n =4，-m +16=6， ∵n =4，m =10，∵x 2+8x +m =5是x 2+8x +5=0， ∵x 2+8x +16=-5+16， ∵（x +4）2=11， 即（x +n ）2=11． 故选：D【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 题型五：配方法解一元二次方程【例题5】（2019·湖北黄冈市·九年级期中）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0．【答案】x 1x 2 【分析】用配方法解一元二次方程即可. 【详解】解：∵2x 2﹣4x ﹣1=0， ∵2x 2﹣4x=1，则x 2﹣2x=12， ∵x 2﹣2x+1=32，即（x ﹣1）2=32，则x ﹣∵x 1=22+x 2=22． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程, 解题时要注意解题步骤的准确使用, 把左边配成完全平方式, 右边化为常数.变式训练【变式5-1】（2018·芜湖市繁昌区第三中学）解方程： 22310x x --=（用配方法）【答案】14x =，24x =；【分析】先两边同时除以2，再将原方程配方即可得出答案.【详解】解：231x 022x --= 2223331x 02442x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2317x 416⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵1x =2x = 【变式5-2】（2018·全国九年级单元测试）x 2－4x ＋2＝0(配方法);【答案】x 1＝2x 2＝2【分析】方程的常数项移到方程右边,两边都加上4,左边化为完全平方式,右边合并,开方转化为两个一元一次方程来求解;【详解】解方程变形得: x 2－4x=-2 配方得: x 2-4x+4=2,即(x -2) 2=2,开方得:x -2=±解得:12x =22x =【变式5-3】（2019·江苏期中）解方程：x 2+6x ﹣2=0.【答案】x=﹣.【分析】利用配方法可求出一元二次方程的解. 【详解】∵x 2+6x ﹣2=0，∵x 2+6x=2，则x 2+6x+9=2+9，即（x+3）2=11， ∵x+3=±11， ∵x=﹣3±11.配方法的应用题型六：配方法用于比较大小【例题6】（2020·福建省永春第五中学九年级期中）已知7115P m =-,2815Q m m =-,（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为（ ） A ．P ＞Q B ．P=QC ．P ＜QD ．不能确定【答案】C【分析】由题意表示出，再根据化简后的代数式的特征即可作出判断.【详解】解：∵∵P Q <故选C.【点睛】用不等式比较代数式的大小是初中数学的重点，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握. 变式训练【变式6-1】（2020·四川遂宁市·八年级期中）已知22862M x y x =-+-，29413N x y =++，则M N-5 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 特别说明：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．的值 （ ） A ．为正数 B ．为负数C ．为非正数D ．不能确定【答案】B【分析】将M -N 整理成-（x -3）2-（y+2）2-2，从而说明M -N 的值为负数． 【详解】∵M -N=8x 2-y 2+6x -2-（9x 2+4y+13） =-x 2+6x -y 2-4y -15=-[（x 2-6x+9）+（y 2+4y+4）+2]=-（x -3）2-（y+2）2-2， ∵M -N 的值为负数，故选：B ．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式6-2】（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）若代数式238M x =+，224N x x =+，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M N ≥ B ．M N ≤C ．M N >D ．M N <【答案】C【解析】∵223824M x N x x =+=+，，∵222238(24)48(2)40M N x x x x x x -=+-+=-+=-+>， ∵M N >.故选C.【变式6-3】（2021·河北九年级专题练习）已知M=29a ﹣1，N=a 2﹣79a （a 为任意实数），则M 、N 的大小关系为（ ） A ．M ＜N B ．M=NC ．M ＞ND ．不能确定【答案】A【详解】∵M =219a -，N =279a a -（a 为任意实数），∵N -M =21a a -+=21324a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵N ＞M ，即M ＜N ，故选A ． 题型七：配方法用于求待定字母的值【例题7】（2018·全国九年级单元测试）已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5-B ．10C ．0D ．5【答案】C【分析】将已知三个式子相加后，配方即可得到a 、b 、c 的值，从而得出结论． 【详解】由a 2﹣4b =﹣18，b 2+10c =7，c 2﹣6a =﹣27得：a 2﹣4b +b 2+10c +c 2﹣6a +38=0，∵（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c +5）2=0，∵a =3，b =2，c =﹣5，∵a +b +c =0． 故选C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 变式训练【变式7-1】（2020·江苏南通市·八年级期中）若x 2+y 2+4x ﹣6y+13=0，则式子x ﹣y 的值等于（ ） A ．﹣1 B ．1C ．﹣5D ．5【答案】C【分析】把给出的式子进行配方，根据非负数的性质求出x ，y 的值，再代入要求的式子即可得出答案． 【详解】∵x 2＋y 2＋4x−6y ＋13＝0， ∵x 2＋4x ＋4＋y 2−6y ＋9＝0， ∵（x ＋2）2＋（y−3）2＝0，∵x ＝−2，y ＝3， ∵x−y ＝−2−3＝−5； 故选C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是非负数的性质，通过配方求出x ，y 的值是解题的关键． 【变式7-2】（2021·黑龙江大庆市·八年级期末）已知三角形三边长为a 、b 、c ，且满足247a b -=，246b c -=-， 2618c a -=-，则此三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．无法确定【解析】∵a 2﹣4b =7，b 2﹣4c =﹣6，c 2﹣6a =﹣18，∵a 2﹣4b +b 2﹣4c +c 2﹣6a =7﹣6﹣18，整理得：a 2﹣6a +9+b 2﹣4b +4+c 2﹣4c +4=0，即（a ﹣3）2+（b ﹣2）2+（c ﹣2）2=0，∵a =3，b =2，c =2，∵此三角形为等腰三角形． 故选A ．【变式7-3】若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解:22228160m mn n n -+-+=，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，4,4n m ∴==.题型八：配方法用于求最值【例题8】（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）阅读下面的解题过程，求21030y y -+的最小值．解：∵21030y y -+=()()222102551025555y y y y y -++=-++=-+，而()250y -≥，即()25y -最小值是0； ∵21030y y -+的最小值是5 依照上面解答过程，（1）求222020m m ++的最小值； （2）求242x x -+的最大值． 【答案】（1）2019；（2）5．【分析】(1)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，利用非负数的性质解答即可； 【详解】（1）2222020212019m m m m ++=+++ ()212019m =++∵()210m +≥，∵()2120192019m ++≥，∵222020m m ++的最小值为2019；（2）()2242215x x x x -+=--++()215x =--+，∵()210x -≥， ∵()210x --≤， ∵()2155x --+≤， ∵242x x -+的最大值是5.变式训练【变式8-1】（2019·辽宁大连市·八年级期末）已知关于x 的多项式24x mx -++的最大值为5，则m 的值可能为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】B【分析】利用配方法将24x mx -++进行配方，即可得出答案.【详解】解：22244,24m m x mx x ⎛⎫-++=--++ ⎪⎝⎭故245,4m += 解得： 2.m =± 故选B.【变式8-2】（2020·全国八年级课时练习）不论,a b 为任何实数，2261035a b a b +-++的值都是（ ） A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．非正数【答案】B【分析】利用完全平方公式配方，进而利用偶次方的性质得出答案． 【详解】2261035a b a b +-++22(3)(5)10a b =-+++>， ∵a 2＋b 2−6a ＋10b ＋35的值恒为正数．故选：B ．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用以及偶次方的性质，正确配方得出是解题关键． 【变式8-3】（2020·山东威海市·八年级期中）若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤-【答案】D【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∵不论a 取何值，x ≤﹣3． 故选D ．【真题1】（2016·湖北荆州市·中考真题）将二次三项式x 2＋4x ＋5化成(x ＋p)2＋q 的形式应为____. 【答案】(x ＋2)2＋1 【详解】试题分析：原式=2x +4x+4+1=()221x ++ 故答案为：()221x ++【真题2】（2010·河北中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++1链接中考2(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【真题3】（2010·江苏镇江市·中考真题）已知实数的最大值为______.【答案】4 【解析】变形的配方试题，2230x x x y +++-=223x y x x +=--+ 2(211)3x y x x +=-++-+ 2(1)3x y x +=-+++12(1)4x y x +=-++ 所以当1x =-时x y +的最大值为4【拓展1】（2020·全国九年级课时练习）解方程：2232mx x -=+()1m ≠【答案】当1m 时，原方程的解是x =1m <时，原方程无实数解【分析】先移项，再合并同类项可得()215m x -=，根据1m ≠求出251x m =-，再讨论10m -<时，10m ->，分别计算出方程的解.【详解】解：移项得：2223mx x -=+， 化简得：()215m x -=，1m ≠，251x m ∴=-， 当10m -<时，2501x m =<-， ∴原方程无实数解，当10m ->时，2501x m =>-， 满分冲刺1x ∴==2x ==∴当1m 时，原方程的解是x ==当1m <时，原方程无实数解．【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键.【拓展2】（2020·渠县崇德实验学校七年级期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∵（x +2）2+1≥1，∵x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x 、y 的值，再求x ＋y 的值； （3）将两式相减，再配方即可作出判断． 【详解】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0，∵（x﹣1）2+1＞0，∵x2﹣1＞2x﹣3．【点睛】本题考查了配方法的综合应用，配方的关键步骤是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．【拓展3】（2019·全国九年级单元测试）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4，∵（y+2）2≥0，∵（y+2）2+4≥4，∵y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程，求x2-x+4的最小值和6-2x-x2的最大值．【答案】154；7.【分析】（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．【详解】解：（1）x2-x+4=（x-12）2+154，∵（x-12）2≥0，∵（x-12）2+154≥154．则x2-x+4的最小值是154；（2）6-2x-x2=-（x+1）2+7，∵-（x+1）2≤0，∵-（x+1）2+7≤7，则6-2x-x2的最大值为7．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．配方法：先加上一次项系数一半的平方，使式中出现完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．。
人教版九年级数学上册21.2.1配方法同步测试及答案解析【精华版】
解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时 用直接开平方法解一元二次方程[见B 本P2]1．一元二次方程x 2－25＝0的解是( D )A ．x 1＝5，x 2＝0B ．x ＝－5C ．x ＝5D ．x 1＝5，x 2＝－52．一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )A ．x －6＝－4B ．x －6＝4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－43．若a 为一元二次方程(x －17)2＝100的一个根，b 为一元二次方程(y －4)2＝17的一个根，且a ，b 都是正数，则a －b 等于( B )A ．5B ．6 C.83 D ．10－17【解析】 (x －17)2＝100的根为x 1＝－10＋17，x 2＝10＋17，因为a 为正数，所以a ＝10＋17.(y －4)2＝17的根为y 1＝4＋17，y 2＝4－17，因为b 为正数，所以b ＝4＋17，所以a －b ＝10＋17－(4＋17)＝6.4．解关于x 的方程(x ＋m )2＝n ，正确的结论是( B )A ．有两个解x ＝±nB ．当n ≥0时，有两个解x ＝±n －mC ．当n ≥0时，有两个解x ＝±n －mD ．当n ≤0时，无实数解5．若关于x 的方程(3x －c )2－60＝0的两根均为正数，其中c 为整数，则c 的最小值为( B ) A ．1 B ．8 C ．16 D ．61【解析】 原方程可化为(3x －c )2＝60，3x －c ＝±60，3x ＝c ±60，x ＝c ±603.因为两根均为正数，所以c ＞60＞7，所以整数c 的最小值为8.故选B.6．一元二次方程x 2－4＝0的解是__x ＝±2__．7．当x ＝__－7或－1__时，代数式(x －2)2与(2x ＋5)2的值相等．【解析】 由(x －2)2＝(2x ＋5)2，得x －2＝±(2x ＋5)，即x －2＝2x ＋5或x －2＝－2x －5，所以x 1＝－7，x 2＝－1.8．若x ＝2是关于x 的方程x 2－x －a 2＋5＝0的一个根，则a 的值为__±7__．【解析】 把x ＝2代入方程x 2－x －a 2＋5＝0得22－2－a 2＋5＝0，即a 2＝7，所以a ＝±7.9．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a ☆b ＝a 2－b 2，则方程(4☆3)☆x ＝13的解为x ＝__±6__．【解析】 4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x ＝72－x 2，∴72－x 2＝13.∴x 2＝36.∴x ＝±6.10．如果分式x 2－4x －2的值为零，那么x ＝__－2__． 【解析】 由题意得x 2－4＝0且x －2≠0，∴x ＝－2.11．求下列各式中的x .(1)x 2＝36；(2)x 2＋1＝1.01；(3)(4x －1)2＝225；(4)2(x 2＋1)＝10.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6；(2)x 1＝0.1，x 2＝－0.1；(3)x 1＝4，x 2＝－72； (4)x 1＝2，x 2＝－2.12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根．则m 的取值范围是( B )A ．m ≥－34B ．m ≥0C ．m ≥－1D ．m ≥2【解析】 (x ＋1)2－m ＝0，(x ＋1)2＝m ，∵一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有两个实数根，∴m ≥0.13．已知等腰三角形的两边长分别是(x －3)2＝1的两个解，则这个三角形的周长是( C )A ．2或4B ．8C ．10D ．8或10【解析】 开方得x －3＝±1，即x ＝4或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，则周长为10.故选C.14．解下列方程：(1)[2012·永州](x －3)2－9＝0；(2)(2x －3)(2x －3)＝x 2－6x ＋9；(3)(2x ＋3)2－(1－2)2＝0.解：(1)(x －3)2＝9，x －3＝±3，∴x 1＝0，x 2＝6；(2)原方程可化为(2x －3)2＝(x －3)2，两边开平方得2x －3＝±(x －3)，即2x －3＝x －3或2x －3＝－(x －3)，∴x 1＝0，x 2＝2；(3)原方程可化为(2x ＋3)2＝(1－2)2，∴2x ＋3＝±(1－2)．∴2x ＋3＝1－2或2x ＋3＝－(1－2)．∴x 1＝－1－22，x 2＝－2＋22. 15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s (单位：米)与标枪出手的速度v (单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s ＝v 29.8＋2，如果抛出48米，试求标枪出手时的速度(精确到0.1米/秒)．解：把s ＝48代入s ＝v 29.8＋2， 得48＝v 29.8＋2，v 2＝46×9.8， ∴v 1≈21.2，v 2≈－21.2(舍去)．答：标枪出手时的速度约为21.2米/秒．16．已知2m －1＝3m，求关于x 的方程x 2－3m ＝0的解． 解：2m －1＝3m，方程两边同时乘m (m －1)， 得2m ＝3(m －1)，解得m ＝3，经检验m ＝3是原方程的解．将m ＝3代入方程x 2－3m ＝0，则x 2－9＝0，解得x ＝±3，即关于x 的方程x 2－3m ＝0的解为x 1＝3，x 2＝－3.17．已知a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，若19a 2＋150ab ＋19b 2的值为2 012，求n .解：∵19a 2＋150ab ＋19b 2＝19(a ＋b )2－38ab ＋150ab ＝19(a ＋b )2＋112ab ，且a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1， 又19a 2＋150ab ＋19b 2的值为2 012，∴19×(4n ＋2)2＋112×1＝2 012，即(4n ＋2)2＝100，∴4n ＋2＝±10，当4n ＋2＝10时，解得n ＝2；当4n ＋2＝－10时，解得n ＝－3.故n 为2或－3.第2课时 用配方法解一元二次方程 [见A 本P4]1．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝22．用配方法解方程13x 2－x －4＝0时，配方后得( C ) A.⎝⎛⎭⎫x －322＝394 B.⎝⎛⎭⎫x －322＝－394C.⎝⎛⎭⎫x －322＝574D ．以上答案都不对 【解析】 先把方程化为x 2－3x －12＝0，再移项得x 2－3x ＝12，配方得⎝⎛⎭⎫x －322＝574. 3．若一元二次方程式x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 之值为( D )A ．－57B ．63C ．179D ．181【解析】 x 2－2x －3 599＝0，移项得x 2－2x ＝3 599，x 2－2x ＋1＝3 599＋1，即(x －1)2＝3 600，x －1＝60，x －1＝－60，解得x ＝61或x ＝－59.∵一元二次方程式x 2－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，∴a ＝61，b ＝－59，∴2a －b ＝2×61－(－59)＝181.4．关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋p 2－2p ＋5＝0的一个根为1，则实数p 的值是( C )A ．4B ．0或2C ．1D ．－1【解析】 把x ＝1代入原方程有1－5＋p 2－2p ＋5＝0，即p 2－2p ＋1＝0，∴(p －1)2＝0，∴p ＝1.5．把下列各式配成完全平方式：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2±__x __＋14＝⎝⎛⎭⎫x ± 12 2. 6．若方程x 2＋6x ＝7可化为(x ＋m )2＝16，则m ＝__3__．7．当m ＝__±12__时，x 2＋mx ＋36是完全平方式．【解析】 ∵x 2＋mx ＋36＝x 2＋mx ＋62是完全平方式，∴m ＝±2×1×6，∴m ＝±12.8．用配方法解一元二次方程：(1)x 2－2x ＝5；(2)2x 2＋1＝3x ；(3)2t 2－6t ＋3＝0；(4)6x 2－x －12＝0；(5)2y 2－4y ＝4；(6)x 2＋3＝23x ；(7)x 2－2x ＝2x ＋1.解：(1)配方，得(x －1)2＝6，∴x －1＝±6，∴x 1＝1＋6，x 2＝1－6；(2)移项得2x 2－3x ＝－1，二次项系数化为1得x 2－32x ＝－12， 配方得x 2－32x ＋⎝⎛⎭⎫342＝－12＋⎝⎛⎭⎫342， 即⎝⎛⎭⎫x －342＝116， ∴x －34＝±14，解得x 1＝1，x 2＝12； (3)移项、系数化为1得t 2－3t ＝－32，配方得t 2－3t ＋94＝－32＋94， 即⎝⎛⎭⎫t －322＝34， 开方得t －32＝±32， ∴t 1＝3＋32，t 2＝3－32. (4)移项，得6x 2－x ＝12，二次项系数化为1，得x 2－x 6＝2， 配方，得x 2－x 6＋⎝⎛⎭⎫1122＝2＋⎝⎛⎭⎫1122， 即⎝⎛⎭⎫x －1122＝289144， ∴x －112＝±1712， ∴x 1＝32，x 2＝－43； (5)系数化为1，得y 2－2y ＝2，配方，得y 2－2y ＋1＝2＋1，即(y －1)2＝3，∴y －1＝±3；∴y 1＝1＋3，y 2＝1－3；(6)移项，得x 2－23x ＝－3，配方，得x 2－23x ＋(3)2＝－3＋(3)2，即(x －3)2＝0，∴x 1＝x 2＝3；(7)移项得x 2－4x ＝1，配方得x 2－4x ＋22＝1＋22，即(x －2)2＝5，∴x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.9．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312（x －4）<13（x －4）时，求出方程x 2－2x －4＝0的根． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312（x －4）<13（x －4）求得⎩⎨⎧2<x x <4， 则2<x <4，解方程x 2－2x －4＝0可得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 52<5<3，而2<x <4，所以x ＝1＋ 5.10．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p )2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p )2＝5B ．(x －p )2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝5【解析】 由x 2－6x ＋q ＝0，得x 2－6x ＋9－9＋q ＝0，即(x －3)2－9＋q ＝0，∴(x －3)2＝9－q .∴q ＝2，p ＝3.∴x 2－6x ＋q ＝2即为x 2－6x ＋2＝2，x 2－6x ＝0，x 2－6x ＋9＝9，(x －3)2＝9，即(x －p )2＝9.故选B.11．用配方法解方程：(1)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7.(2)5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．解：(1)(2x －1)2＝x (3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＝－8，(x －3)2＝1，x －3＝±1，x 1＝2，x 2＝4.(2)5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )，整理得：5x 2＋85＝6x 2＋12x ，x 2＋12x －85＝0，x 2＋12x ＝85，x 2＋12x ＋36＝85＋36，(x ＋6)2＝121，x ＋6＝±11，x 1＝5，x 2＝－17.12．利用配方法比较代数式3x 2＋4与代数式2x 2＋4x 值的大小．解：∵(3x 2＋4)－(2x 2＋4x )＝3x 2＋4－2x 2－4x＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2≥0，∴3x 2＋4≥2x 2＋4x .13．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪a c ⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪a c ⎪⎪⎪b d ＝ad －bc .例如：⎪⎪⎪13 ⎪⎪⎪24＝1×4－2×3＝－2，⎪⎪⎪－23⎪⎪⎪45＝(－2)×5－4×3＝－22. (1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪57 ⎪⎪⎪68的值； (2)按照这个规定请你计算当x 2－4x ＋4＝0时，⎪⎪⎪x ＋1x －1⎪⎪⎪2x 2x －3的值． 解：(1)⎪⎪⎪57 ⎪⎪⎪68＝5×8－7×6＝－2； (2)由x 2－4x ＋4＝0得x ＝2，⎪⎪⎪x ＋1x －1 ⎪⎪⎪2x 2x －3＝⎪⎪⎪31⎪⎪⎪41＝3×1－4×1＝－1. 14．已知关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，求关于x 的方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解．解：x 1＝－4，x 2＝－1. 15．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下面问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方；(2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值．解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x＝(x －2)2－4x ；(2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x ＋y 2)2＋34(y －2)2＝0，x＋y2＝0，y－2＝0，x＝－1，y＝2，则x y＝(－1)2＝1.。
九年级数学 第二 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第2课时作业
12/7/2021
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14．用配方法解方程： (1)(2018·梧州)2x2－4x－30＝0；
(2)2x2＝1＋5x.
3
3
x＋1＜3x－3，
15．当 x 满足条件 1（x－4）＜1（x－4）时，求出方程 x2－2x－4＝0 的根．
x＋1＜3x－3， 2
3
解：由
1（x－4）＜1（x－4），得
(1)写出 x2－8x＋4 的两种不同形式的配方； (2)已知 x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求 xy 的值．
解：(1)x2－8x＋4＝x2－8x＋16－16＋4＝(x－4)2－12；x2－8x＋4＝(x－2)2＋4x
－8x＝(x－2)2－4x (2)x2＋y2＋xy－3y＋3＝0 可化为(x2＋xy＋1y2)＋(3y2－3y＋3)
)
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16
B
C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
2．如果一元二次方程通过配方能化成(x＋n)2＝p 的形式，那么(1)当 p＞0 时，方
程有__两个(liǎ_nɡ_的ɡè)实不相数等根，x1_＝_－n－ p_，_；x2＝－n＋ p
(2)当 p＝0 时，方程有两__个相_等_的实数根，_x_1＝x2_＝_；－n (3)当 p＜0 时，方程__无实数根 ． 练习 2：下列方程①(x－2)2＝5；②(x－2)2＝0；③(x－2)2＋5＝0，其中有解的方
解：设折成的矩形的长为x厘米(lí mǐ)，则宽为(10－x)厘米，由题意，
得x(10－x)＝16.解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝8.∴10－x＝2(厘米)， ∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米
17．若△ABC 的三边分别是 a，b，c，且满足 a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac.判断△ABC 的形状．
人教版九年级上数学21.2.1配方法同步练习含答案详解
21.2.1配方法测试时间:15分钟一、选择题1.一元二次方程(x-2019)2+2018=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根2.方程2(x-3)2=8的根是()A.x1=2,x2=-2B.x1=5,x2=1C.x1=-5,x2=-1D.x1=-5,x2=13.(2018辽宁大连沙河口期末)用配方法解方程x2-x-1=0时,应将其变形为()A.-=B.=C.-=0D.-=4.一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为()A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4)2=17或(x+4)2=17二、填空题5.小明设计了一个如图所示的实数运算程序,若输出的数为5,则输入的数x为.输入x x2-1输出6.已知方程x2+4x+n=0配方后为(x+m)2=3,则(n-m)2019=.三、解答题7.解方程:(1)(2x-3)2=25;(2)x2-4x-3=0.(配方法)8.用配方法解下列方程:(1)x2+12x-15=0;(2)3x2-5x=2;(3)x2-x-4=0.21.2.1配方法一、选择题1.答案D由原方程得(x-2019)2=-2018.∵(x-2019)2≥0,-2018<0,∴该方程无解.故选D.2.答案B由原方程,得(x-3)2=4,则x-3=±2,解得x1=5,x2=1.故选B.3.答案D∵x2-x-1=0,∴x2-x=1,∴x2-x+=1+,∴-=.4.答案D∵方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15,即x2-2qx+q2-15=0,∴-p=-2q,q2-15=1,解得q=4,p=8或q=-4,p=-8.当p=8时,方程为x2-8x-1=0,配方为(x-4)2=17;当p=-8时,方程为x2+8x-1=0,配方为(x+4)2=17.故选D.二、填空题5.答案±解析根据题意知x2-1=5,∴x2=5+1,∴x2=6,x=±,则输入的数x为±.6.答案-1解析由(x+m)2=3,得x2+2mx+m2-3=0,∴2m=4,m2-3=n,∴m=2,n=1,∴(n-m)2019=-1.三、解答题7.解析(1)2x-3=±5,x1=4,x2=-1.(2)x2-4x=3,x2-4x+4=7,(x-2)2=7,x-2=±,∴x1=2+,x2=2-.8.解析(1)移项,得x2+12x=15,配方,得x2+12x+62=15+62,即(x+6)2=51,∴x+6=±,解得x1=-6+,x2=-6-.(2)系数化为1,得x2-x=,配方,得x2-x+-=+-,即-=,∴x-=±,解得x1=2,x2=-.(3)移项,得x2-x=4,系数化为1,得x2-4x=16,配方,得x2-4x+(-2)2=16+(-2)2,即(x-2)2=20,∴x-2=±2,解得x1=2+2,x2=2-2.。
人教版九年级数学上册 21.2《解一元二次方程》(配方法)课时练习
九年级数学21.2《解一元二次方程》（配方法）课时练习一、选择题：1、方程x 2＝16的解为( )A ．x ＝4B ．x ＝－4C ．x 1＝4，x 2＝－4D ．x 1＝16，x 2＝－16 2、若x 2-mx+4一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．16B ．-4C ．±4D ．43、若方程x 2－8x ＋7＝0配方的结果为(x －4)2＝m ，则能配方成(x ＋4)2＝m －1的方程为( )A ．x 2－8x －6＝0B ．x 2＋8x －6＝0C ．x 2＋8x ＋8＝0D ．x 2－8x －8＝0 4、用配方法解一元二次方程12x 2－3x －72＝0时，可将方程变形为( )A ．(x －6)2＝43B ．(x ＋6)2＝43C ．(x ＋3)2＝16D ．(x －3)2＝165、将方程122=-x x 进行配方，可得 （ ）A. 2)1(2=+xB. 5)2(2=-xC. 2)1(2=-xD.1)1(2=-x6、一元二次方程y 2﹣y ﹣34=0配方后可化为（ ）A ．（y +12）2=1B ．（y ﹣12）2=1C ．（y +12）2=34D ．（y ﹣12）2=34 7、一元二次方程x 2－4x －1＝0配方后可化为( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x ＋2)2＝5C ．(x －2)2＝3D ．(x －2)2＝58、若关于x 的方程a(x ＋m)2＋n ＝0(a≠0)的解是x 1＝－2，x 2＝3，则关于x 的方程a(x ＋m －5)2＋n ＝0的解是( )A ．x 1＝－2，x 2＝3B ．x 1＝－7，x 2＝－2C ．x 1＝3，x 2＝－2D ．x 1＝3，x 2＝8二、填空题：9、将下列各式配成完全平方式:①x 2+6x+ =（x+ ）2 ②x 2－10x+ =（x － ）2； ③x 2+ 4x+ =（x+ ）2 ④x 2－12x+ =（x － ）210、将x 2-2x-3=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，所以方程的根为___ ___．11、将x 2-6x-7=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____.12、若9x 2 -ax +4是一个完全平方式，则a 等于 .13、关于x 的方程 (k 2 -6k +12)x 2 = 3 - (k 2 -9)x 是一元二次方程的条件是k .14、已知把一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0配方后为(x ＋n )2＝22，那么一元二次方程x 2－mx － 3＝0配方后为 .三、解答题：15、配方法解下列方程：（1）x 2+2x-8=0 （2）x 2+12x-13=0(3)(x ＋13－x )2＝4； (4)4(2x －1)2－25(x ＋1)2＝0.16、配方法解下列方程：（1）4x 2 -4x -1 = 0； （2）7x 2 -28x +7= 0.(3)2x 2－2x －30＝0； (4)(2x －3)(2x －3)＝x 2－6x ＋9.17、某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，18、我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，求平均每次下调的百分率参考答案一、选择题：1、C2、 C3、C4、D5、 C6、B7、D8、D二、填空题：9、 ①9 3; ②25 5；③4 2; ④36 610、(x-1)2=2 x=3或x=-111、 （x-3）2=1612、12或-1213、k 取任何实数14、(x ＋5)2＝28或(x －5)2＝28三、解答题：15、（1）x 1=2,x 2=-4；（2）x 1=1,x 2=-13；(3) x 1＝－52，x 2＝72. (4) x 1＝－7，x 2＝－13.16、（1）122121,2x x ； （2）1232,32x x ； (3) x 1＝32，x 2＝－52 2. (4) x 1＝2，x 2＝0. 17、11.8%18、10%。
人教版 九年级数学上册 21.2 解一元二次方程 课时训练(含答案)
人教版九年级数学21.2 解一元二次方程课时训练一、选择题1. 一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根2. 方程x2－2020x＝0的根是()A．x＝2020 B．x＝0C．x1＝2020，x2＝0 D．x＝－20203. 对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是()A．一定为正数B．一定为负数C．正、负都有可能D．一定小于－14. 当b＋c＝5时，关于x的一元二次方程3x2＋bx－c＝0的根的情况为() A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5. 关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0根的判别式的值为()A．1－m2B．m2－4 C．m2＋4 D．m2＋16. 定义新运算：a★b＝a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋14m＝0(m＜1)的两根，则b★b－a★a的值为()A. 0B. 1C. 2D. 与m无关7. 代数式x2－4x－2020的最小值是()A．－2018 B．－2020 C．－2022 D．－20248. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝－1D．有两个相等的实数根二、填空题9. 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2－8x＋15＝0的根，则该等腰三角形的周长为________．10. 三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为________．11. 配方法解一元二次方程x2－2 2x＋1＝0，所得结果是x1＝________，x2＝________．12. 小明在解方程x2－2x－1＝0时出现了错误，其解答过程如下：x2－2x＝－1.(第一步)x2－2x＋1＝－1＋1.(第二步)(x－1)2＝0.(第三步)x1＝x2＝1.(第四步)(1)小明的解答过程是从第________步开始出现错误，其错误原因是________________；(2)请写出此题正确的解答过程．13. 已知关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2－c＝0有两个相等的实数根，则1a＋c的值为________．14. 若一元二次方程x2－2x－3599＝0的两根分别为a，b，且a＞b，则2a－b的值为________．15. 在△ABC中，BC＝2，AB＝2 3，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．16. 已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为________．三、解答题17. 解下列方程：(1)2(x－3)2＝x2－9；(2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0.18. 关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．19. 已知多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．示例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)·(x＋________)；(2)应用请用上述方法．．．．解方程：x2－3x－4＝0.20. 古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以a 2和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝a2，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；(2)请利用公式法说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．21. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)设x1，x2是方程的两根且x12＋x22＋x1x2－17＝0，求m的值．人教版九年级数学21.2 解一元二次方程课时训练-答案一、选择题1. 【答案】B【解析】代入数据求出根的判别式Δ＝b 2－4ac 的值，根据Δ的正负即可得出结论．∵Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2. 【答案】C3. 【答案】B [解析] ∵－x 2＋4x －5＝－(x 2－4x ＋4)－1＝－(x －2)2－1＜0，∴原式的值一定为负数．4. 【答案】A [解析] 因为b ＋c ＝5，所以c ＝5－b.因为Δ＝b 2－4×3×(－c)＝b 2－4×3×(b －5)＝(b －6)2＋24>0，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根．5. 【答案】C6. 【答案】A 【解析】∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0的两根，∴a 2－a ＝－14m ，b 2－b ＝－14m ，a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b －b 2－a ＋a 2＝－(b 2－b )＋(a 2－a )＝14m －14m ＝0.7. 【答案】D [解析] x 2－4x －2020＝x 2－4x ＋4－4－2020＝(x －2)2－2024.∵(x －2)2≥0，∴(x－2)2－2024≥－2024，即代数式x2－4x－2020的最小值是－2024.8. 【答案】A[解析] 由题意得x＝－1是方程x2＋4x＋c－2＝0的一个根，∴(－1)2＋4×(－1)＋c－2＝0，解得c＝5.∴原方程为x2＋4x＋5＝0.∵Δ＝b2－4ac＝42－4×1×5＝－4＜0，∴原方程没有实数根．二、填空题9. 【答案】19或21或23【解析】解方程x2－8x＋15＝0，得x1＝3或x2＝5，等腰三角形的一边为9，则有这样几种情况：3、9、9；5、9、9；5、5、9，周长分别为21或23或19.10. 【答案】12【解析】解一元二次方程x2－13x＋40＝0得x1＝5，x2＝8.当x ＝5时，∵3＋4>5，∴3，4，5能构成三角形，此时三角形周长为：3＋4＋5＝12；当x＝8时，∵3＋4<8，不满足三角形的三边关系，∴3，4，8不能构成三角形．故此三角形的周长为12.11. 【答案】2－12＋112. 【答案】解：(1)一移项时没有变号(2)x2－2x＝1.x2－2x＋1＝1＋1.(x－1)2＝2.x －1＝±2.所以x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.13. 【答案】2 [解析] 根据题意，得Δ＝4－4a(2－c)＝0，整理，得4ac －8a ＝－4，即4a(c －2)＝－4.∵方程ax 2＋2x ＋2－c ＝0是一元二次方程，∴a≠0.等式两边同时除以4a ，得c －2＝－1a ，则1a ＋c ＝2.故答案为2.14. 【答案】181 [解析] x 2－2x －3599＝0，x 2－2x ＝3599，x 2－2x ＋1＝3599＋1，(x －1)2＝3600，所以x －1＝60或x －1＝－60，所以x ＝61或x ＝－59.又因为a ＞b ，所以a ＝61，b ＝－59，所以2a －b ＝2×61－(－59)＝181.15. 【答案】2 [解析] 因为关于x 的方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝(－4)2－4b ＝16－4b ＝0，得AC ＝b ＝4.因为BC ＝2，AB ＝2 3，所以BC 2＋AB 2＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形，AC 为斜边，则AC 边上的中线长为斜边的一半，为2.16. 【答案】1 [解析] 设方程a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋1＝0的两根为x 3，x 4，则x 3＋1＝x 1，x 4＋1＝x 2，∴x 3＝0，x 4＝1，∴x 3＋x 4＝1.三、解答题17. 【答案】解：(1)将原方程化为2(x －3)2＝(x ＋3)(x －3)．移项，得2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0.提取公因式，得(x －3)[2(x －3)－(x ＋3)]＝0，即(x －3)(x －9)＝0.于是得x －3＝0或x －9＝0.所以x 1＝3，x 2＝9.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0，即(2x ＋3)2＝0，所以2x ＋3＝0，所以x 1＝x 2＝－32.18. 【答案】解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(2m －1)＝4－8m ＋4＝8－8m≥0，∴m≤1.又∵m为正整数，∴m＝1，此时方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.19. 【答案】[解析] (1)把8分解成2×4，且2＋4＝6.(2)把－4分解成1×(－4)，且1＋(－4)＝－3.解：(1)2 4(2)x2－3x－4＝0，(x＋1)(x－4)＝0，所以x＋1＝0或x－4＝0.所以x1＝－1，x2＝4.20. 【答案】12解：(1)∵∠ACB＝90°，BC＝a2，AC＝b，∴AB＝b2＋a2 4，∴AD＝b2＋a24－a2＝－a＋4b2＋a22.(2)方程x2＋ax＝b2整理，得x2＋ax－b2＝0.Δ＝a2－4×1×(－b2)word 版 初中数学 11 / 11 ＝a 2＋4b 2>0，∴x ＝－a±a 2＋4b 22， 即x 1＝－a ＋4b 2＋a 22，x 2＝－a －4b 2＋a 22. 正确性：AD 的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．21. 【答案】解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m ＋1)2－4(m 2－1)＝4m ＋5.因为原方程有两个不相等的实数根，所以4m ＋5>0，解得m>－54.(2)由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－(2m ＋1)，x 1x 2＝m 2－1，所以x 12＋x 22＋x 1x 2－17＝0可化为(x 1＋x 2)2－x 1x 2－17＝0，即(2m ＋1)2－(m 2－1)－17＝0，解得m 1＝53，m 2＝－3.因为m>－54，所以m ＝53.。
人教版九年级数学上册：第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(有答案)
初中数学试卷21.2解一元二次方程 21.2.1配方法预习要点1．一般地，对于方程x 2＝p ，(Ⅰ)(1)当p ＞0时，根据平方根的意义，方程(Ⅰ)有两个不等的实数根x 1x 2(2)当p ＝0时，方程(Ⅰ)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0；(3)当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有x 2≥0，所以方程(Ⅰ)无实数根。
2．（2016春•赣县校级期中）一元二次方程x 2−1=0的根是（ ）A ．1B ．−1C ．12D ．±13．方程（x −1）2=2的根是（ ） A ．−1，3B ．1，−3C ．1− 2 ，1+ 2D ． 2 −1， 2 +14．（2016•双柏县模拟）一元二次方程2x 2−2=0的解是 ． 5．（2016春•泰山区期中）一元二次方程4x 2−9=0的根是．6．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
7．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成2p(Ⅱ) (1)当p ＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根x 1＝−n x 2＝−n+(2)当p ＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根x l ＝x 2(3)当p ＜0时，因为对任意实数x ，都有(x+n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根。
8．（2016•夏津县二模）用配方法解一元二次方程x 2+4x −5=0，此方程可变形为（ ） A ．（x+2）2=9 B ．（x −2）2=9C ．（x+2）2=1D ．（x −2）2=19．（2016•黔东南州二模）用配方法解一元二次方程2x 2−x −l=0时，配方正确的是（ ）A ．（x −14 ）2=916 B ．（x+14 ）2=916 C ．（x −12 ）2=54D ．（x+12 ）2=54同步小题12道一．选择题1．一元二次方程x2−4=0的根为（）A．x=2 B．x=−2 C．x1=2，x2=−2 D．x=42．方程（x−2）2+4=0的解是（）A．x1=x2=0 B．x1=2，x2=−2C．x1=0，x2=4 D．没有实数根3．（2016•新疆）一元二次方程x2−6x−5=0配方组可变形为（）A．（x−3）2=14 B．（x−3）2=4C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=44．（2016•富顺县校级模拟）用配方法解方程2x2−4x+1=0时，配方后所得的方程为（）A．（x−2）2=3 B．2（x−2）2=3C．2（x−1）2=1 D．2(x−1)2＝1 25．（2016•周口校级一模）用配方法解方程x2−1=6x，配方后的方程是（）A．（x−3）2=9 B．（x−3）2=1C．（x−3）2=10 D．（x+3）2=96．（2016春•绍兴期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2−12x+14的值的范围．解：2x2−12x+14=2（x2−6x）+14=2（x2−6x+32−32）+14=2[（x−3）2−9]+14=2（x−3）2−18+14=2（x−3）2−4．∵无论x取何实数，总有（x−3）2≥0，∴2（x−3）2−4≥−4．即无论x取何实数，2x2−12x+14的值总是不小于−4的实数．问题：已知x可取任何实数，则二次三项式−3x2+12x−11的最值情况是（）A．有最大值−1 B．有最小值−1C．有最大值1 D．有最小值1二．填空题7．（2016春•建湖县校级月考）一元二次方程x2=3的根是．9．（2016•云南模拟）一元二次方程x2−4x+4=0的解是．10．（2016春•当涂县期末）已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m−n）2016=三．解答题11．（1）（2016•淄博）解方程：x2+4x−1=0．（2）（2016•安徽）解方程：x2−2x=4．（3）（2016•金乡县一模）解方程：x2−6x+5=0 （配方法）12．（1）（2016•天门模拟）用配方法解方程：2x2−3x−3=0．（2）（2016春•巢湖市校级月考）用配方法解方程：2x2−4x−1=0．（3）2x2−4x−3=0．答案：21.2解一元二次方程21.2.1配方法预习要点2．【分析】首先把−1移到等号左边，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2−1=0，x2=1，两边直接开平方得：x=±1，则x1=1，x2=−1．故选：D3．【分析】根据平方根的定义首先开方，求得x−1的值，进而求得x的值．故选C4．【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=−1．答案：x1=1，x2=−18．【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：x2+4x−5=0，x2+4x=5，x2+4x+22=5+22，（x+2）2=9．故选A故选A11．【分析】先将常数项移到等号的右边为：x2−6x=−7，再配方得（x−3）2=2，故可以得出结果．【解答】解：移项，得x2−6x=−7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，x2−6x+9=−7+9，（x−3）2=2．答案：（x−3）2=2．同步小题12道1．【分析】根据开平方法，可得方程的解．【解答】解：移项，得x2=4，开方，得x1=2，x2=−2．故选：C2．【分析】先移项得到（x−2）2=−4，由实数的平方是非负数推知该方程无解．【解答】解：由已知方程得到：（x−2）2=−4，∵（x−2）2≥0，−4＜0，∴该方程无解．故选：D3．【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．【解答】解：x2−6x−5=0，x2−6x=5，x2−6x+9=5+9，（x−3）2=14，故选：A故选C5．【分析】先把方程变形为x2−6x=1，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：x2−6x=1，x2−6x+9=10，（x−3）2=10．故选C6．【分析】通过配方可得−3x2+12x−11=−3（x−2）2+1，即可知其最值情况【解答】解：−3x2+12x−11=−3（x2−4x）−11=−3（x2−4x+4−4）−11=−3（x−2）2+12−11=−3（x−2）2+1，∵无论x取何实数，总有（x−2）2≥0，∴−3（x−2）2≤0，∴−3（x−2）2+1≤1，即无论x取何实数，二次三项式−3x2+12x−11有最大值1．故选：C7．【分析】利用直接开平方法解方程．8．【分析】方程常数项移到右边，二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，配方得到结果，即可作出判断．9．【分析】先根据完全平方公式进行变形，再开方，即可求出答案．【解答】解：x2−4x+4=0，（x−2）2=0，x−2=0，x=2，即x1=x2=2．故答案为：x1=x2=2．10．【分析】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果．【解答】解：由（x+m）2=3，得：x2+2mx+m2−3=0，∴2m=4，m2−3=n，∴m=2，n=1，∴（m−n）2016=1．答案：1．11．（1）【分析】首先进行移项，得到x2+4x=1，方程左右两边同时加上4，则方程左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解．解：∵x2+4x−1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5（2）【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解解：配方x2−2x+1=4+1∴（x−1）2=5（3）【分析】利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．解：由原方程移项，得x2−6x=−5．等式两边同时加上一次项系数一半的平方32．得x2−6x+32=−5+32，即（x−3）2=4．∴x=3±2．∴原方程的解是：x1=5，x2=1．12．（1）【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：2x2−3x−3=0．（2）【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解：2x2−4x−1=0．2x2−4x=1．解：∵2x2−4x−3=0．。
21.2.1解一元二次方程之配方法 同步练习(含答案)
21.2.1 解一元二次方程（配方法）一、单选题（共10小题)1．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是（ ）A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x += 2．用配方法解方程2310x x ++=，经过配方，得到（ ）3．不论x ，y 取何实数，代数式x 2﹣4x+y 2+13总是（ ）A ．非负数B ．正数C ．负数D ．非正数4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）A ．x 2﹣2x ＝5B ．x 2+4x ＝5C ．2x 2﹣4x ＝5D ．4x 2+4x ＝55．把方程x 2﹣12x +33＝0化成（x +m ）2＝n 的形式，则式子m +n 的值是（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．36．用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是（ ）A ．2(3)9x +=B ．2(3)9x -=C ．2(3)6x +=D ．2(3)7x +=7．一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（ ） A ．m=2．n=7 B ．m=﹣2，n=7 C ．m=﹣2，n=1 D ．m=2，n=﹣78．对一元二次方程 x 2﹣ax =3 进行配方时，两边同时加上（ ）9．方程x 2-2x -5=0的左边配成一个完全平方后，所得的方程是（ ）A ．2 (1)6 x +=B ．(x -1)2=6C ．(x+2)2=9D ． 2(2)9x -= 10．用配方法解下列方程时，配方错误的是 （ ）二、填空题（共5小题)11．把关于x 的方程x 2-2x+2=0配方成为a （x -2）2+b （x -2）+c=0的形式，得________． 12．将x 2+6x+3配方成（x+m ）2+n 的形式，则n=______．13．已知方程x 2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为_____． 14．规定：a ⊗b =(a +b )b ，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若2⊗x =3，则x ＝_______.15．方程(x+1)(x -3)=-4的解为______．三、解答题（共2小题)16．用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．17．解方程：267x x +=-参考答案一、单选题（共10小题)1．（2019·江苏中考真题）用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x += 【答案】D【解析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x ++=， 289x x +=-，2228494x x ++=-+，所以()247x +=，故选D.【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 2．（2019·昆山市第二中学初二期末）用配方法解方程2310x x ++=，经过配方，得到（） A ．2313()24x +=B ．235()24x +=C ．2(3)1x +=D ．2(3)8x +=【答案】B【解析】按照配方法的步骤，先把常数项移到右侧，然后在两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可.【详解】x 2+3x+1=0，x 2+3x=-1， x 2+3x+232⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1+232⎛⎫ ⎪⎝⎭，235x 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故选B.【点评】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法的步骤以及要求是解题的关键. 3．（2018·陕西西安音乐学院附中初三期中）不论x ，y 取何实数，代数式x 2﹣4x+y 2+13总是（ ）A．非负数B．正数C．负数D．非正数【答案】B【解析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答．【详解】解：x2﹣4x+y2+13＝x2﹣4x+4+y2+9＝（x﹣2）2+y2+9，∵（x﹣2）2≥0，y2≥0，∴（x﹣2）2+y2+9＞0，即不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2+13总是正数，故选：B．【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．4．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x＝5D．4x2+4x＝5【答案】B【解析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【详解】A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；B、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；C、将该方程的二次项系数化为x 2-2x= 52，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；D、将该方程的二次项系数化为x 2 +x= 54，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方14；故本选项错误；故选B．【点评】本题考查的知识点是配方法解一元二次方程，解题关键是注意选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．把方程x 2﹣12x +33＝0化成（x +m ）2＝n 的形式，则式子m +n 的值是（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】C【解析】方程移项变形后，配方得到结果，即可确定出m 与n 的值．从而得出答案．【详解】∵x 2﹣12x +33＝0，∴x 2﹣12x ＝﹣33，则x 2﹣12x +36＝﹣33+36，即（x ﹣6）2＝3，∴m ＝﹣6，n ＝3，∴m +n ＝﹣6+3＝﹣3，故选：C ．【点评】考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程.6．（2018·湖南广益实验中学初二期中）用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是（ ） A ．2(3)9x +=B ．2(3)9x -=C ．2(3)6x +=D ．2(3)7x +=【答案】D【解析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案.【详解】解：方程2620x x ++=即为262x x +=-，在方程的两边都加上9，得26929x x ++=-+，即2(3)7x +=.故选D.【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键.7．（2018·江门市第二中学初二期末）一同学将方程2430x x --=化成了2()x m n +=的形式，则m 、n 的值应为（ ）A ．m=2．n=7B ．m=﹣2，n=7C ．m=﹣2，n=1D ．m=2，n=﹣7【答案】B【解析】先把（x+m ）2=n 展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x 2-4x -3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．【详解】解：∵（x+m ）2=n 可化为：x 2+2mx+m 2-n=0，∴2243m m n =-⎧⎨-=-⎩，解得：27m n =-⎧⎨=⎩ 故选：B ．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可． 8．对一元二次方程 x 2﹣ax =3 进行配方时，两边同时加上（ ）A ．22a B ．24a C ．2a D ．a 2【答案】B 【解析】方程两边都加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：23x ax -=，222322a a x ax ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22324a a x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故选：B ． 【点评】考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．9．（2019·河南省实验中学初二期末）方程x 2-2x -5=0的左边配成一个完全平方后，所得的方程是（ ） A ．2(1)6 x += B ．(x -1)2=6 C ．(x+2)2=9D ． 2(2)9x -=【答案】B【解析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方．【详解】解：把方程x 2-2x -5=0的常数项移到等号的右边，得到x 2-2x=5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x 2-2x+（-1）2=5+（-1）2，配方得（x -1）2=6．故选：B ．【点评】本题考查配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．10．用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A．2x2－7x－4＝0化为(x－74)2＝8116B．2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0C．4y2＋4y－1＝0化为(y＋12)2＝12D．13x2－x－4＝0化为(x－32)2＝594【答案】D【解析】根据配方法解一元二次方程即可进行求解.【详解】A. 2x2－7x－4＝0化为(x－74)2＝8116，正确；B. 2t2－4t＋2＝0化为(t－1)2＝0，正确；C. 4y2＋4y－1＝0化为(y＋12)2＝12，正确；D. 13x2－x－4＝0化为(x－32)2＝574，故错误；故选D.【点评】此题主要考查配方法，解题的关键是熟知配方法进行求解.二、填空题（共5小题)11．（2019·南京市金陵中学河西分校初一期中）把关于x的方程x2-2x+2=0配方成为a（x-2）2+b（x-2）+c=0的形式，得________．【答案】（x-2）2+2（x-2）+2=0．【解析】此题把x-2看作整体，用配方法可化为（x-2）2+2（x-2）+2=0，即可．【详解】∵x2-2x+2=x2-4x+4+2x-4+2=（x-2）2+2（x-2）+2，∴方程x2-2x+2=0配方成为a（x-2）2+b（x-2）+c=0的形式为，（x-2）2+2（x-2）+2=0，故答案为（x-2）2+2（x-2）+2=0.【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，还考查了一个很重要的思想，整体思想．12．（2018·江苏省泗洪县新星城南学校初三期中）将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则n=______．【答案】-6【解析】根据配方法即可求出答案．【详解】原式=（x2+6x）+3=（x2+6x+9-9）+3=（x+3）2-6，∴n=-6故答案为：-6【点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．13．（2019·重庆市江津中学校初三期中）已知方程x2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为_____．【答案】14或16．【解析】先解方程的两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长．【详解】配方得，x2−10x＋25−25＋24＝0，解得x＝6或4，∵方程x2−10x＋24＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，∴这个等腰三角形的周长为14或16．【点评】本题考查了一元二次方程的解法以及实际应用，掌握解一元二次方程法方法是解题的关键．14．（2018·湖南中考真题）规定：a⊗b=(a+b)b，如：2⊗3=(2+3)×3=15，若2⊗x=3，则x＝________.【答案】1或-3【解析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可．【详解】依题意得：（2+x）x=3，整理，得x2+2x=3，所以（x+1）2=4，所以x+1=±2，所以x=1或x=-3．故答案是：1或-3．【点评】用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．15．（2019·蚌埠铁路中学初二期中）方程(x+1)(x -3)=-4的解为______．【答案】x 1=x 2=1【解析】首先将已知的方程变形可得2210x x -+=，对其进行因式分解可得()210,x -=求解即可.【详解】(x+1)(x -3)=-4 2234,x x --=-移项得：2210x x -+=即()210,x -= ∴x 1=x 2=1，故答案为：x 1=x 2=1【点评】本题是一道关于解一元二次方程的题目，解答本题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程；三、解答题（共2小题)16．（2019·内蒙古中考真题）用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．【答案】194x ＝294x +＝． 【解析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 【详解】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝， 29x x 172﹣＝， 298181x x 1721616-++＝， 29353x 416-（）＝，9x 44-±＝，所以12x x ，．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．（2019·黑龙江中考真题）解方程：267x x +=-【答案】13x =-23x =-【解析】方程两边都加上9，配成完全平方式，再两边开方即可得．【详解】解：267x x +=-，∴26979x x ++=-+，即()232x +=，则3x += ∴3x =-±即13x =-23x =-【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，必须熟练的计算,这是中考的必考题.。
人教版2020年九年级上册：21.2 《解一元二次方程》课时训练 含答案
九年级上册21.2 解一元二次方程课时训练一．选择题1．方程x2＝16的解是（）A．4B．±4C．﹣4D．82．一元二次方程（x﹣1）2﹣2＝0的根是（）A．x＝B．x1＝﹣1，x2＝3C．x＝﹣D．x1＝1+，x2＝1﹣3．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0时，下列配方正确的是（）A．（x﹣1）2+1＝0B．（x+1）2+1＝0C．（x﹣1）2﹣1＝0D．（x﹣1）2﹣2＝0 4．用配方法解下列方程时，配方错误的是（）A．x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100B．x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝25C．2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝D．3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝5．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0B．2x2﹣4x+1＝0C．2x2﹣4x﹣1＝0D．2x2+4x﹣1＝0 6．用公式法解方程x2+4x＝2，其中求得b2﹣4ac的值是（）A．16B．±4C．32D．647．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3D．x1＝2，x2＝38．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．已知（a2+b2+2）（a2+b2）＝8，那么a2+b2的值是（）A．2B．﹣4C．2或﹣4D．不确定10．对于任意实数x，多项式x2﹣2x+3的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．不能确定11．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（）A．无实数根B．有一个实根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根12．若关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＜D．k≤13．设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（）A．﹣3B．﹣1C．1D．314．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3B．﹣3C．D．﹣二．填空题15．x2﹣25＝0的根为．16．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x＝1时，应求出a，b，c的值，则：a＝；b ＝；c＝．17．将一元二次方程x2﹣6x+5＝0化成（x﹣a）2＝b的形式，则ab＝．18．填空：x2﹣2x+3＝（x﹣）2+2．19．一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝x﹣2的根是．20．已知（x2+3x）2+5（x2+3x）+6＝0，则x2+3x值为．21．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0无实数根，则k的取值范围是．22．已知方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根分别为α、β，则（α﹣1）（β﹣1）＝．三．解答题23．（1）2y2+4y＝y+2（用因式分解法）（2）x2﹣7x﹣18＝0（用公式法）（3）4x2﹣8x﹣3＝0（用配方法）24．解方程：x2﹣2x﹣3＝0．方法一：（因式分解法）方法二：（配方法）方法三：（公式法）25．关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）已知等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．26．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若这个方程的两根为x1，x2，且满足x12﹣3x1x2+x22＝1，求k的值．27．基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．28．阅读下内容，再解决问题．在把多项式m2﹣4mn﹣12n2进行因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但是经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：m2﹣4mn﹣12n2＝m2﹣4mn+4n2﹣4n2﹣12n2＝（m﹣2n）2﹣16n2＝（m﹣6n）（m+2n），像这样构造完全平方式的方法我们称之为“配方法”，利用这种方法解决下面问题．（1）把多项式因式分解：a2﹣6ab+5b2；（2）已知a、b、c为△ABC的三条边长，且满足4a2﹣4ab+2b2+3c2﹣4b﹣12c+16＝0，试判断△ABC的形状．参考答案一．选择题1．解：∵x2＝16，∴x＝±4，故选：B．2．解：（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．故选：D．3．解：x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，（x﹣1）2＝2．故选：D．4．解：A、x2﹣2x﹣99＝0化为（x﹣1）2＝100，故本选项正确；B、x2+8x+9＝0化为（x+4）2＝7，故本选项错误；C、2x2﹣7x﹣4＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；D、3x2﹣4x﹣2＝0化为（x﹣）2＝，故本选项正确；故选：B．5．解：解一元二次方程的公式为x＝．所以a＝2，b＝4，c＝1．所以方程为2x2+4x+1＝0故选：A．6．解：∵x2+4x＝2，∴x2+4x﹣2＝0，∴a＝，b＝4，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝（4）2﹣4××（﹣2）＝64；故选：D．7．解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝2，x2＝3．故选：D．8．解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．解：设a2+b2＝y，则原方程可化为：（y+2）y＝8，解得：y1＝﹣4，y2＝2，∵a2+b2＞0，∴a2+b2＝2．故选：A．10．解：多项式x2﹣2x+3变形得x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x﹣1）2+2的最小值是2，故多项式x2﹣2x+3的值是一个正数，故选：A．11．解：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，∴方程无实数根．故选：A．12．解：根据题意得△＝32﹣4（k﹣2）＞0，解得k＜．故选：C．13．解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．故选：C．14．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．二．填空题15．解：移项得x2＝25，∴x＝±5．故答案是：±5．16．解：﹣x2+3x＝1，﹣x2+3x﹣1＝0，a＝﹣1，b＝3，c＝﹣1，故答案为：﹣1，3，﹣1．17．解：x2﹣6x+5＝0，x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝﹣5+9，（x﹣3）2＝4，所以a＝3，b＝4，ab＝12，故答案为：12．18．解：x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2．故答案为：1．19．解：（x﹣3）（x﹣2）＝x﹣2，（x﹣3）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣3﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣3﹣1＝0，所以x1＝2，x2＝4．故答案为：x1＝2，x2＝4．20．解：设x2+3x＝t，则原方程变形为t2+5t+6＝0，（t+2）（t+3）＝0，所以t1＝﹣2，t2＝﹣3，当t＝﹣2时，x2+3x＝﹣2，此方程有实数解；当t＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此方程没有实数解；所以x2+3x＝﹣2．故答案为﹣2．21．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+2＝0无实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×2＜0且k≠0，解得k＞，故答案为：k＞．22．解：∵α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣3，αβ＝﹣1，∴（α﹣1）（β﹣1）＝αβ﹣（α+β）+1＝﹣1﹣（﹣3）+1＝3．故答案为：3．三．解答题23．解：（1）2y（y+2）﹣（y+2）＝0，（y+2）（2y﹣1）＝0，y+2＝0或2y﹣1＝0，所以y1＝﹣2，y2＝；（2）a＝1，b＝﹣7，c＝﹣18，△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，x＝，所以x1＝9，x2＝﹣2；（3）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．24．解：故答案为：方法一：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x＝﹣1或x＝3；方法二：x2﹣2x+1＝4，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，x＝﹣1或x＝3；方法三：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，△＝4+12＝16，x＝x＝﹣1或x＝3；25．解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2；（2）∵等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，∴方程有两个相等的实数解，∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解得m＝2，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，∴△ABC的周长＝3+3+4＝10．26．解：（1）△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴此方程总有两个实数根．（2）由根与系数关系得x1+x2＝1﹣k，x1x2＝k﹣2，∵x12﹣3x1x2+x22＝1，∴（x1+x2）2﹣5x1x2＝1，∴（1﹣k ）2﹣5（k ﹣2）＝1， 解得k 1＝2，k 2＝5．由（1）得无论k 取何值方程总有两个实数根， ∴k 的值为2或5．27．解：（1）由原方程，得x （3x ﹣1）＝0 ∴x ＝0或3x ﹣1＝0 解得：x 1＝0，x 2＝；（2）t ＝m 2+n 2（t ≥0），则由原方程，得t （t ﹣1）﹣6＝0． 整理，得（t ﹣3）（t +2）＝0． 所以t ＝3或t ＝﹣2（舍去）． 即m 2+n 2的值是3． 28．解：（1）a 2﹣6ab +5b 2 ＝a 2﹣6ab +9b 2﹣4b 2 ＝（a ﹣3b ）2﹣（2b ）2 ＝（a ﹣3b +2b ）（a ﹣3b ﹣2b ） ＝（a ﹣b ）（a ﹣5b ）；（2）4a 2﹣4ab +2b 2+3c 2﹣4b ﹣12c +16＝0 4a 2﹣4ab +b 2+b 2﹣4b +4+3c 2﹣12c +12＝0 （2a ﹣b ）2+（b ﹣2）2+3（c ﹣2）2＝0 解得，a ＝1，b ＝2，c ＝2， ∴△ABC 为等腰三角形．1、在最软入的时候，你会想起谁。
九年级上册数学 《21.2.1用配方法解一元二次方程》同步测试含答案
《21.2.1 用配方法解一元二次方程》一．选择题1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=22．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=73．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，194．用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（）A．加 B．加 C．减 D．减5．已知a2﹣2a+1=0，则a2010等于（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣6．一元二次方程2x2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（）A．B．C．D．7．将方程3x2+6x﹣1=0配方，变形正确的是（）A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=08．已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5二．填空题9．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为______．10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程______．11．将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n=______．12．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是______．13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k=______．14．方程（x﹣1）（x﹣3）=1的两个根是______．15．当x=______时，代数式的值是0．16．方程4x 2﹣4x+1=0的解x 1=x 2=______． 17．解方程：9x 2﹣6x+1=0， 解：9x 2﹣6x+1=0， 所以（3x ﹣1）2=0， 即3x ﹣1=0， 解得x 1=x 2=______．18．用配方法解一元二次方程2x 2+3x+1=0，变形为（x+h ）2=k ，则h=______，k=______． 三．解答题 19．用配方法解方程 （1）x 2﹣6x ﹣15=0 （2）3x 2﹣2x ﹣6=0 （3）x 2=3﹣2x（4）（x+3）（x ﹣1）=12．20．证明：不论x 为何实数，多项式2x 4﹣4x 2﹣1的值总大于x 4﹣2x 2﹣3的值．21．分别按照下列条件，求x 的值：分式的值为零．22．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x 1=x 2=1；（2）x+=的解为x 1=2，x 2=；（3）x+=的解为x 1=3，x 2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为______；（2）请猜想：关于x 的方程x+=______的解为x 1=a ，x 2=（a ≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x 2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）《21.2.1 用配方法解一元二次方程》参考答案与试题解析一．选择题1．用配方法解方程x2﹣6x﹣7=0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2=16 B．（x+3）2=16 C．（x﹣3）2=7 D．（x﹣3）2=2【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x=7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32=7+32，∴（x﹣3）2=16；故选A．2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19 B．（x+4）2=19 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7【解答】解：由原方程，得x2﹣4x=3，在等式的两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，得x2﹣4x+4=3+4，即x2﹣4x+4=7，配方，得（x﹣2）2=7；故选D．3．把方程x2﹣8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m，n的值是（）A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19【解答】解：∵x2﹣8x+3=0∴x2﹣8x=﹣3∴x2﹣8x+16=﹣3+16∴（x ﹣4）2=13 ∴m=﹣4，n=13 故选C ．4．用配方法解方程x 2+x=2，应把方程的两边同时（ ）A ．加B ．加C ．减D ．减 【解答】解：∵x 2+x=2∴x 2+x+=2+ 故选：A ．5．已知a 2﹣2a+1=0，则a 2010等于（ ）A ．1B ．﹣1C ．D ．﹣【解答】解：由原方程，得（a ﹣1）2=0， ∴a ﹣1=0，即a=1； ∴a 2010=12010=1． 故选A ．6．一元二次方程2x 2+3x+1=0用配方法解方程，配方结果是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵2x 2+3x+1=0 ∴2x 2+3x=﹣12（x 2+x ）=﹣12（x 2+x+）=﹣1+∴2（x+）2=即2（x+）2﹣=0 故选B ．7．将方程3x2+6x﹣1=0配方，变形正确的是（）A．（3x+1）2﹣1=0 B．（3x+1）2﹣2=0 C．3（x+1）2﹣4=0 D．3（x+1）2﹣1=0【解答】解：∵3x2+6x﹣1=0∴3（x2+2x）﹣1=0∴3（x2+2x+1﹣1）﹣1=0∴3（x2+2x+1）﹣3﹣1=0∴3（x+1）2﹣4=0故选C．8．已知方程x2﹣6x+q=0可以配方成（x﹣p）2=7的形式，那么x2﹣6x+q=2可以配方成下列的（）A．（x﹣p）2=5 B．（x﹣p）2=9 C．（x﹣p+2）2=9 D．（x﹣p+2）2=5【解答】解：∵x2﹣6x+q=0∴x2﹣6x=﹣q∴x2﹣6x+9=﹣q+9∴（x﹣3）2=9﹣q据题意得p=3，9﹣q=7∴p=3，q=2∴x2﹣6x+q=2是x2﹣6x+2=2∴x2﹣6x=0∴x2﹣6x+9=9∴（x﹣3）2=9即（x﹣p）2=9故选：B．二．填空题9．一元二次方程x2﹣2x+1=0的根为x1=x2=1 ．【解答】解：∵x2﹣2x+1=0 ∴（x﹣1）2=0∴x1=x2=1．10．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程（x﹣2）2=5 ．【解答】解：把方程x2﹣4x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=1方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=1+4配方得（x﹣2）2=5．11．将方程x2﹣4x﹣1=0化为（x﹣m）2=n的形式，其中m，n是常数，则m+n= 7 ．【解答】解：x2﹣4x﹣1=0，移项得：x2﹣4x=1，配方得：x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，∴m=2，n=5，∴m+n=5+2=7，故答案为：7．12．如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25=0，则此三角形的面积是．【解答】解：由方程x2﹣10x+25=0，得该方程有两个相等的实数根，即5．则此三角形的三边都是5．则该三角形的面积为S=×5×5×sin60°=×5×5×=．13．已知点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，且在其角平分线上，则k= ﹣2 ．【解答】解：∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限内，∴，解得﹣＜x＜﹣；又∵点（5﹣k2，2k+3）在第四象限的角平分线上，∴5﹣k2=﹣2k﹣3，即k2﹣2k﹣8=0，∴k1=4（不合题意，舍去），k2=﹣2．故答案是：﹣2．14．方程（x ﹣1）（x ﹣3）=1的两个根是 x 1=2+，x 2=2﹣．【解答】解：由原方程，得 x 2﹣4x+2=0， 移项，得 x 2﹣4x=﹣2，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x 2﹣4x+4=﹣2+4， 配方，得 （x ﹣2）2=2，∴x=2±，∴x 1=2+，x 2=2﹣；故答案是：∴x 1=2+，x 2=2﹣．15．当x= ﹣1 时，代数式的值是0．【解答】解：由分式的值为零的条件得（x+2）2﹣1=0，x+3≠0， 由（x+2）2﹣1=0，得（x+2）2=1， ∴x=﹣1或x=﹣3， 由x+3≠0，得x ≠﹣3． 综上，得x=﹣1． 故空中填：﹣1．16．方程4x 2﹣4x+1=0的解x 1=x 2= ．【解答】解：∵4x 2﹣4x+1=0 ∴（2x ﹣1）2=0∴x 1=x 2=．17．解方程：9x 2﹣6x+1=0， 解：9x 2﹣6x+1=0，所以（3x ﹣1）2=0， 即3x ﹣1=0，解得x 1=x 2=．【解答】解：据题意得x 1=x 2=．18．用配方法解一元二次方程2x 2+3x+1=0，变形为（x+h ）2=k ，则h= ，k=．【解答】解：原方程可以化为：，移项，得x 2+x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x 2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=比较对应系数，有：；故答案是：、．三．解答题19．用配方法解方程 （1）x 2﹣6x ﹣15=0 （2）3x 2﹣2x ﹣6=0 （3）x 2=3﹣2x（4）（x+3）（x ﹣1）=12．【解答】解：（1）移项得：x 2﹣6x=15，配方得：x 2﹣6x+9=15+9， （x ﹣3）2=24，开方得：x ﹣3=±，x 1=3+2，x 2=3﹣2；（2）移先得：3x 2﹣2x=6，x 2﹣x=2，配方得：x 2﹣x+（）2=2+（）2，（x ﹣）2=，开方得：x ﹣=±，，；（3）x 2+2x=3， 配方得：x 2+2x+1=3+1 （x+1）2=4， 开方得：x=﹣1±2， x 1=1，x 2=﹣3；（4）整理得：x 2+2x=15， 配方得：x 2+2x+1=15+1， （x+1）2=16， 开方得：x=﹣1±4， x 1=3，x 2=﹣5．20．证明：不论x 为何实数，多项式2x 4﹣4x 2﹣1的值总大于x 4﹣2x 2﹣3的值． 【解答】解：2x 4﹣4x 2﹣1﹣（x 4﹣2x 2﹣3）=x 4﹣2x 2+2=（x 2﹣1）2+1 ∵（x 2﹣1）2≥0，∴（x 2﹣1）2+1＞0，∴不论x 为何实数，多项式2x 4﹣4x 2﹣1的值总大于x 4﹣2x 2﹣3的值．21．分别按照下列条件，求x 的值：分式的值为零．【解答】解：根据题意得，x 2﹣5x ﹣6=0， 即（x+1）（x ﹣6）=0， ∴x+1=0，x ﹣6=0， 解得x=﹣1或x=6， 又x+1≠0， 解得x ≠﹣1， ∴x 的值是6．22．观察下列方程及其解的特征：（1）x+=2的解为x 1=x 2=1；（2）x+=的解为x 1=2，x 2=；（3）x+=的解为x 1=3，x 2=；…解答下列问题：（1）请猜想：方程x+=的解为 x 1=5，；（2）请猜想：关于x 的方程x+= （或） 的解为x 1=a ，x 2=（a ≠0）；（3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性．解：原方程可化为5x 2﹣26x=﹣5．（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）【解答】解：（1）x 1=5，；（2）（或）；（3）方程二次项系数化为1，得．配方得，，即，开方得，，=5，．解得x1经检验，x=5，都是原方程的解．1。
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第2课时 用配方法解一元二次方程
1．用配方法解方程2x 2－6x －1＝0时，需要先将此方程化成形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式，则下列配方正确的是( )
A ．(x －3)2＝12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝12
C.⎝
⎛⎭⎪⎫x －322＝2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝114 2．用配方法解方程2x 2－43
x －2＝0，下列变形正确的是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫x －132＝89 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝0 C.⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋132＝109 D.⎝
⎛⎭⎪⎫x －132＝109 3．用配方法使下列等式成立．
(1)x 2－2x －3＝(x － )2＋( )；
(2)3x 2－2x －2＝3(x - )2＋( )．
4．若将方程x 2＋6x ＝7化为(x ＋m )2＝16，则m ＝ .
5．用配方法解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程： .
6．用配方法解下列一元二次方程：
(1)x 2－2x ＝4；(2)x 2＋4x －1＝0；
(3)x 2＋3＝2\r(3)x; (4)2t 2－6t ＋3＝0；
(5)2x 2＋1＝3x .。
人教版九年级上册数学21.2.1 一元二次方程的解法及配方法的应用 练习
21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。
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解一元二次方程 配方法
（时间：20分钟，满分30分）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题（每题3分）
1.．用配方法解方程0342=--x x ，下列配方结果正确的是（ ）．
A ．19)4(2=-x
B ．7)2(2=-x
C ．7)2(2=+x
D ．19)4(2=+x
【答案】B．
【解析】
试题解析：∵x 2-4x-3=0
∴x 2-4x=3
∴x 2-4x+4=3+4
∴（x-2）2=7
故选B ．
考点：解一元二次方程-配方法．
2. 用配方法解方程x 2+10x+9=0，配方后可得（ ）
A ．（x+5）2=16
B ．（x+5）2=1
C ．（x+10）2=91
D ．（x+10）2=109
【答案】A
【解析】
试题分析：方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．
解：方程x 2+10x+9=0，
整理得：x 2+10x=﹣9，
配方得：x 2+10x+25=16，即（x+5）2=16，
故选：A ．
考点：解一元二次方程-配方法．
二、填空题（每题3分）
3．++x x 32 +=x ( 2)；-2x x (2=+ 2)。
【答案】2x,-,222
349，
，【解析】
试题分析：根据完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±，即可分析得到结果。
2222
3(23(232+=+⋅⋅+x x x ，2223(493+=++x x x ，222)2()2(22-=+⋅⋅-x x x ，22)2(222-=+-x x x ，
故填.2x,-,222
349，
，考点：本题考查的是完全平方公式
4．x 2+49+ = (x+7)2．
【答案】14x
【解析】解：根据完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+，可得4914)7(22++=+x x x ，故填.
14x 三、计算题
5. 用配方法解方程：（每小题6分，共18分）
（1）2410x x ++= ；
（2）2x 2﹣3x+1=0 ；
（3））2x 2+4x﹣3=0
【答案】（1） 12x =-+，22x =--；（2）x 1=1，x 2=；（3）
【解析】
试题分析：（1）先把常数项移到方程的右边，方程两边同加上一次项系数一半的平方进行配方，再开方即可求出方程的解；
（2）首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
（3）先把二次项系数化为1，再进行配方，进而开方求出方程的解；
试题解析：（1）∵2410
x x ++=∴241x x +=-24414
x x ++=-+2(2)3
x +=
∴2x +=
解得：12x =-，22x =-（2）2x 2﹣3x+1=0，
x 2﹣x=﹣，
x 2﹣x+=﹣+
，（x﹣）2=
，x﹣=±，
∴x 1=1，x 2=；
（3）∵2x2+4x﹣3=0，
∴x2+2x﹣=0，
∴x2+2x+1﹣1﹣=0，
∴（x+1）2=，
∴x+1=±，
∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；考点：解一元二次方程-配方法．。