F3类型3与图形形状变化相关的探究题
1.4从三个方向看物体的形状练习及答案讲解
轻松尝试应用 5
4.如图,是从上面看由一些小立方体搭成的几何体的形状图,小正方 形内的数字表示该位置小立方体的个数,则从正面可看到 块小立方体.
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8
答案
11
快乐预习感知 1
互动课堂理解 2 3 4
轻松尝试应用 5
5.5 个棱长为 1 的正方体组成如图所示的几何体.
(1)该几何体的体积是 (立方单位),表面积是 单位); (2)画出该几何体从正面与左面所看到的图形.
解析:由正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数可知, 该几何体从左面看到的图形中,左边是 2 个小正方形,中间是 3 个小 正方形,右边是 1 个小正方形,所以应选 B.
答案:B
6
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轻松尝试应用
7
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1.如左下图,该几何体是由 4 个相同的小正方体组成,其从正面看到 的形状为( ).
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D
答案
8
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2.从正面看图中所示几何体的形状是(
).
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A
答案
9
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3.在下列几何体中,从正面、左面与上面看到的图形都是相同的圆, 该几何体是( ).
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A
答案
10
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C
答案
2
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3.画出下图中各物体分别从正面、左面、上面所看到的形状图.
数形生长变化型规律探索题赏析——以2011年各地中考试题为例
作者简介 ：苑建广 （ ７ 一） １ ３ ，男，河北晋 州人， 中学高级教师 ，河北省优 秀教师 ， 学教研组长，主要从事中学数学教育教 学及 中考命题研 究 ９ 数
２１
７ ＋１ ＝ｎ ＋ｎ个 棋 子 ． ＂ Ｚ （ ） 。
解析 ：类 似例 ２中的 ４种 方法 ，均可得第 ｎ个 图案中需 要
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第 １ 个
第 ２个
第 ３个
图２
第 ４个
解析 ：（ 法 １ 方 ：直观 处理）观察 比较邻 图 ，可见矩形 “ 点
题 目的主要特征在于 “ 计数 ” ，重在探讨图形 的构成元素 在 阵” 的短边呈 １ ，３ ，…的变化规律 ，第 ／个 图案短边上 ，２ ，４ Ｚ “ ”上 的变化规律．如 ，探究构成 图形 的点 的个数 、线的条数 、 有 ｎ个棋 子 ； 数 面的个数 ，以及线 间交点数 目等 的发展 （ 变化）规 律．问题 的解 决相当于求解 一个数列 的通项公式．
第 ３个 图案 第 ４个 图案
１ ２＝２＋４＋６ ２ ０＝２＋４出的 “ 统一化”的发展 与变化规律 ，
例 １ （ 江卷 ） 图 １ 按 照 一 定规 律 画 出 的 “ 形 图 ” 浙 是 树 ，经
收 稿 日期 ：２ １ — ２ １ ０ １ １— ７
ｎ
矩形 “ 阵 ”的长 边呈 ２ 点 ，３ ，５，…的变化 规律 ，第 ，４
个图案长边上有（ ｎ＋１个 棋 子 ． ）
和图形变换有关的探究题
Ｂ
●
Ｄ
Ｉ ｏ
ｊ
图１
图２
（ ） Ｐ 第 １次 与 点 Ｄ 重 合 前 与边 相 碰 １点
— —
图４
图５
次 ； Ｐ从 点 Ａ出发 到 第 １次 与点 Ｄ 重 点 — ｃ ｍ．
合时所 经过 的路 径 的总长是—
例 ２ 探究
中点 分别 为 ，
（） １ 如图４ 已知线段 Ａ ，Ｄ， ， Ｂ Ｃ 其
２ 与 平移 有关 的操作型 探究题
解决这类问题的方法是由特殊值到一般规律 ， 以静制动． 将平移后所得点的坐标根据横、 纵坐标
的几何 意义把 它表示 出来 ， 到一 个用 变量表 示 的 得
定值 ， 以不变应 万变．
Ｊ
请你参 考小 贝 的思路 解决 下列 问题 ：
ｃ
。
Ｉ Ｉ
对称 知识进 行探究 ． （ ） 题 的解 法 可 根据 阅读 第 １小
材料 中小 贝 的思 考 ： 将 矩 形 Ａ Ｄ沿 直 线 Ｃ “ ＢＣ Ｄ折
方 向作 直线运 动 ， 每次 碰 到矩 形 的一边 ， 会 改 变 就 运 动方 向 ， 着 与 这 条 边 成 ４ 。 方 向 作 直 线 运 沿 ５的 动， 并且 它一直按 照 这 种 方式 不 停 地运 动 ， 当点 即 Ｐ碰 到边 Ｂ 沿着 与边 Ｂ Ｃ， Ｃ成 ４ 。 ５ 的方 向作 直线 运 动， 当点 Ｐ碰 到边 Ｃ 再沿 着 与边 Ｃ Ｄ， Ｄ成 ４ 。 ５ 的方 向作 直线运 动 ， …… ， 图 １所示． 如 问点 Ｐ第 １次与 点 Ｄ 重合前 与 边相 碰几 次 ， Ｐ第 １ 与 点 Ｄ 重 点 次 合时所 经过 的路 线 的总 长 是 多少 ？小 贝 的思 考是 这样开 始 的 ： 图 ２ 将 矩 形 Ａ Ｃ 沿 直 线 Ｃ 如 ， ＢＤ Ｄ折 叠 ， 到 矩 形 ＡＢ Ｃ ．由 轴 对 称 的 知 识 ， 得 得 ，Ｄ 可
初中数学图形变换综合题探究专题(word版+详解答案)
图形变换综合题探究专题【考题研究】本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。
【解题攻略】图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法。
2.结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法。
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等。
【解题类型及其思路】1.变换中求角度注意平移性质：平移前后图形全等，对应点连线平行且相等．2．变换中求线段长时把握折叠的性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上．3．变换中求坐标时注意旋转性质：对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角.4．变换中求面积，注意前后图形的变换性质及其位置等情况。
【典例指引】类型一【图形的平移】【典例指引1】1．两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．【举一反三】如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ 与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．类型二【图形的轴对称--折叠】【典例指引2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点(点不与点，重合)，沿着折叠该纸片，得点的对应点.(Ⅰ)如图①，当时，求点的坐标；(Ⅱ)如图②，当点落在轴上时，求点的坐标；(Ⅲ)当与坐标轴平行时，求点的坐标(直接写出结果即可).【举一反三】如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求CEDE的值．类型三【图形的旋转】【典例指引3】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【举一反三】（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．类型四【图形的位似】【典例指引4】如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．【举一反三】如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1；(2)把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，写出点A2，B2，C2的坐标，并画出△A2B2C2；(3)把△ABC以点O为位似中心放大得到△A3B3C3，使放大前后对应线段的比为1∶2，写出点A3，B3，C3的坐标，并画出△A3B3C3.【新题训练】1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）写出点B的坐标；（3）将△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，画出平移后的图形△A′B′C′；（4）计算△A′B′C′的面积﹒（5）在x轴上存在一点P，使PA+PC最小，直接写出点P的坐标.2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC．（1）请写出点C的坐标为，点D的坐标为，S四边形ABDC；（2）点Q在y轴上，且S△QAB＝S四边形ABDC，求出点Q的坐标；（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．3．（问题情境）在综合实践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图①，先将一张长为4，宽为3的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形ABCD ，3AD =，4BD =，则拼得的四边形ABCD 的周长是_____.（操作发现）将图①中的ABE △沿着射线DB 方向平移，连结AD 、BC 、AF 、CE ，如图②.当ABE △的平移距离是12BE 的长度时，求四边形AECF 的周长. （操作探究）将图②中的ABE △继续沿着射线DB 方向平移，其它条件不变，当四边形ABCD 是菱形时，将四边形ABCD 沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长.4．如图，在66⨯的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，ABC V 是一个格点三角形．()1在图①中，请判断ABC V 与DEF V 是否相似，并说明理由；()2在图②中，以O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC V 的位似比为2：1()3在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与ABC V 相似，且有一条公共边和一个公共角．5．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3. 6．如图，长方形OABC 在平面直角坐标系xOy 的第一象限内，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点D 、E 分别是OC 、BC 的中点，30∠=︒CDE ，点E 的坐标为()2,a .（1）求a 的值及直线DE 的表达式；（2）现将长方形OABC 沿DE 折叠，使顶点C 落在平面内的点'C 处，过点'C 作y 轴的平行线分别交x 轴和BC 于点F ，G .①求'C 的坐标；②若点P 为直线DE 上一动点，连接'PC ，当'PC D ∆为等腰三角形，求点P 的坐标.（说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）7．如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB=OD ，OC=OA+AB ，AD=m ，BC=n ，∠ABD+∠ADB=∠ACB ．（1）填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；（2）求mn的值；（3）将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD（如图2），连接BA′，与CD相交于点P．若CD=5+12，求PC的长．8．如图，直线：y＝﹣33x+4与x轴、y轴分别別交于点M、点N，等边△ABC的高为3，边BC在x轴上，将△ABC沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点O重合时，解答下列问题：（1）点A1的坐标为．（2）求△A1B1C1的边A1C1所在直线的解析式；（3）若以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．9．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．10．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：操作1：將正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，B'E与AB交于点P．则P即为AB的三等分点，即AP：PB=2：1．解决问题（1）在图1中，若EF与MN交于点Q，连接CQ．求证：四边形EQCM是菱形；（2）请在图1中证明AP：PB=2：l．发现感悟若E为正方形纸片ABCD的边AD上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：（3）如图2．若DEAE=2．则APBP=；（4）如图3，若DEAE=3，则APBP=；（5）根据问题（2），（3），（4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．11．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）. 12．已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，90BAO ∠=︒，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．(1) 如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE (填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；(2) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α(045α︒<<︒)，如图2，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；(3) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式 ；13．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.14．已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．15．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其点B，C，D的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E点和A点的坐标；(2)试以点B为位似中心，作出位似图形A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为3∶1；(3)直接写出图形A1B1C1D1E1的面积．16．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为»AB，P是半径OB上一动点，Q是»AB上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求»BQ的长；（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．17．（本小题10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．图①（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B 重合时，求点M 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M 与OB 相交于点C ，试用含m 的式子表示S ； （Ⅲ）当S=324时，求点M 的坐标（直接写出结果即可）． 18．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA =时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．图形变换综合题探究专题【考题研究】本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。
中考数学探究性试题之图形的变换训练
中考数学探究性试题之图形的变换训练1．如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是．（2）问题探究：如图②，将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO′E，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．试判断PQ与BQ之间的数量关系，并证明；（3）拓展延伸：如图③，将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到△AO′E，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求线段PQ的长.2．如图，已知△ABC，BC边的中点M，（1）分别以AB和AC为腰，向△ABC的外侧作等腰三角形，其中AD＝AB，AC＝AE，且∠BAE＝∠DAC＝90°，如图1所示．①若∠BAC＝70°，求∠DAE的度数；②求证：DE＝2AM；（2）分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，其中∠ADB＝∠AEC ＝90°，如图2所示，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．3．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +4的图象过点A （3，0）和B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）若在该二次函数的对称轴上有一点M ，使BM +CM 的长度最短，求出M 的坐标．（3）动点D ，E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒32个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D ，E 两点相遇时，它们都停止运动．设D ，E 同时从点O 出发t 秒时，△ODE 的面积为S ．请直接写出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．[特例感知]（1）在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为 ．②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为 ．[猜想论证]（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）[拓展应用]（3）如图4，在四边形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD为边在四边形ABCD内部作等边△PCD，连接AP，BP．若△P AD是△PBC的“旋补三角形”，请直接写出△PBC的“旋补中线”长及四边形ABCD的边AD长．5．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，请问△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠A+∠B＝120°，BC＝12√3，CD＝6，DA ＝6√3，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△P AB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出△PDC 的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．6．我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC 的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC=12．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF＝kEF，则k＝；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE﹣DE＝2CF；（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD 中点，求线段CF长度的取值范围．8．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）并缩短一半得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC 的“旋半中线”，点A叫做“旋半中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”，连接OD，求OD的最大值是多少？并请直接写出当OD最大时点D的坐标．9．已知，△ABC中，AB＝6，AC＝4，M是BC的中点，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG，MA的延长线交EG于点N，（1）如图1，若∠BAC＝90°，求证：AM=12EG，AM⊥EG；（2）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；（3）将正方形ACFG绕点A顺时针旋转至B，C，F三点在一条直线上，请画出图形，并直接写出AN的长．10．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD 与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2√2，直接写出线段BF的范围．11．定义：如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，当∠BAC+∠DAE＝180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补三角形”，AM，AN是“顶心距”．①如图2，当∠BAC＝90°时，AM与DE之间的数量关系为AM＝DE；②如图3，当∠BAC＝120°，BC＝6时，AN的长为．猜想论证：（2）在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，AD＝AB，CD＝BC，∠B＝90°，∠A＝60°，CD＝2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得△P AD与△PBC互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，并求△PBC的“顶心距”的长；若不存在，请说明理由．12．我们定义：在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'叫△ABC 的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．下面各图中，△AB'C'均是△ABC的“旋补三角形”，AD均是△ABC的“旋补中线”．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，BC＝8，则AD的长等于；（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：AD=12BC；（3）如图3，若△ABC为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．13．将△ABC的边AB绕点A顺时针旋转α得到AB′，边AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，α+β＝180°，连接B′C′，作△AB′C′的中线AD．【初步感知】（1）如图①，当∠BAC＝90°，BC＝4时，AD的长为；【探究运用】（2）如图②，△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明．【应用延伸】（3）如图③，已知等腰△ACB，AC＝BC＝m，延长AC到D，延长CB到E，使CD＝CE＝n，将△CED绕点C顺时针旋转一周得到△CE′D′，连接BE′、AD′，若∠CBE′＝90°，求AD′的长度（用含m、n的代数式表示）．14．（1）问题发现在等腰三角形ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME．填空：线段AF，AG，AB之间的数量关系是；线段MD，ME之间的数量关系是．（2）拓展探究在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；（3）解决问题在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，若MD＝2，请直接写出线段DE的长．15．我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2√3，AB＝2√39．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．。
新人教版五年级数学下册图形的运动(三)练习题及答案解析
一、填空1．图形旋转有三个关键要素，一是旋转的（），二是旋转的（），三是旋转的（）。
考查目的：图形的旋转。
答案：中心；方向；角度。
解析：考查了对图形旋转三个关键要素的理解和掌握情况。
需要注意的是，因为三个要素共同决定了图形的旋转，所以允许答案有先后顺序的改变。
2．图形（1）是以点（）为中心旋转的；图形（2）是以点（）为中心旋转的；图形（3）是以点（）为中心旋转的。
考查目的：旋转的中心。
答案：B；A；D。
解析：把一个图形绕着某一点转动一定角度的图形变换叫做旋转。
通过观察题目可知，图形（1）是以B点为中心旋转的；图形（2）是以A点为中心旋转的；图形（3）是以D点为中心旋转的。
3．如图，指针从A开始，顺时针旋转了90°到（）点，逆时针旋转了90°到（）点；要从A旋转到C，可以按（）时针方向旋转（）°，也可以按（）时针方向旋转（）°。
考查目的：依据图形旋转的知识看图填空。
答案：D；B；顺；180；逆；180。
解析：观察图形可知，A、B、C、D四个点与圆心的连线把这个360°的圆心角平均分成了四份，每份所对应的角度是90°。
指针从A点开始，顺时针旋转90°到D，逆时针旋转90°到B；而要从A点旋转到C点，既可以按顺时针方向，也可以按逆时针方向，旋转的角度都是180°。
4．观察图形，填写空格。
①号图形是绕A点按（）时针方向旋转了（）°；②号图形是绕（）点按顺时针方向旋转了（）°；③号图形是绕（）点按（）时针方向旋转了90°；④号图形是绕（）点按（）时针方向旋转了（）。
考查目的：图形的旋转。
答案：顺；90；B；90；C；逆；D；顺；90。
解析：根据图形旋转的特征，一个图形绕某点顺时针（或逆时针）旋转一定的度数，某个点的位置不动，其余各点（边）均绕某个点按相同的方向旋转了相同的度数。
通过仔细观察，依据图形旋转的中心、方向和角度这三个关键答题。
类型三：图形形状变化引起的类比探究综合题-中考数学二轮复习
类型三：图形形状变化引起的类比探究综合题方法点睛解决图形形状变化引起的类比探究题的一般思路1．形状变化的一般形式(1)等边三角形或等腰直角三角形等腰三角形 一般三角形； (2)等腰直角三角形直角三角形 一般三角形； (3)正方形矩形或菱形．2．解题方法先探究特殊图形情况下的相关结论，再推广到一般图形，将用图形之间相通或不变的性质，结合相同的思路去解决问题．关键是对试题中的变量过程进行分析，把握原有图形的特点，探究变化量的特点，常用类比思想逐步解题．一般情况下，每问采取的方法步骤基本相同，这类题目往往是数形结合思想、转化、从一般到特殊、类比思想和方程思想的综合运用，要将各种情形逐一分析，避免出错．可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”． 典例分析例 2019年河南省中考第22题在ABC △中，CA CB =，ACB α∠=．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ．(1)观察猜想如图1，当60α=时，BD CP 的值是 ，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是 ； (2)类比探究如图2，当90α=时，请写出BD CP 的值及直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由； (3)解决问题当90α=时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．图1 图2思路点拨(1)如下图中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．证明()SAS CAP BAD △≌△，即可解决问题．(2)如下图中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．证明△DAB ∽△PAC ，即可解决问题．②如下图中，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA=DC ，解决问题．解析(1)如图1中，延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O ．∵60PAD CAB ∠=∠=，∵CAP BAD ∠=∠，∵CA BA =，PA DA =，∵()SAS CAP BAD ≅△△，∵PC BD =，ACP ABD ∠=∠，∵AOC BOE ∠=∠，∵60BEO CAO ∠=∠=， ∵1BDPC =，线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是60，故答案为1，60．(2)如图2中，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E ．∵45PAD CAB ∠=∠=，∵PAC DAB ∠=∠，∵ABADAC AP ==∵DAB PAC △△，∵PCA DBA ∠=∠，BDABPC AC ==∵EOC AOB ∠=∠，∵45CEO OABB ∠=∠=，∵直线BD 与直线CP 相交所成的小角的度数为45．(3)如图，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．∵CE EA =，CF FB =，∵EF AB ∥，∵45EFC ABC ∠=∠=，∵45PAO ∠=，∵PAO OFH ∠=∠，∵POA FOH ∠=∠，∵H APO ∠=∠，∵90APC ∠=，EA EC =，∵PE EA EC ==，∵EPA EAP BAH ∠=∠=∠，∵H BAH ∠=∠，∵BH BA =，∵45ADP BDC ∠=∠=，∵90ADB ∠=，∵BD AH ⊥，∵22.5DBA DBC ∠=∠=，∵90ADB ACB ∠=∠=，∵A ，D ，C ，B 四点共圆，22.5DAC DBC ∠=∠=，22.5DCA ABD ∠=∠=，∵22.5DAC DCA ∠=∠=，∵DA DC =，设AD a =，则DC AD a ==，PD ，∵2AD CP ==-如图，当点P 在线段CD 上时，同法可证：DA DC =，设AD a =，则CD AD a ==，PD ，∵PC a =，∵2AD PC ==+ 专题过关1、(2018年河南省)如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M ．填空： ①AC BD的值为 ； ②∠AMB 的度数为 ．（2）类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由；【详解】（1）问题发现：①如图1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB ，∵OC=OD ，OA=OB ，∴△COA ≌△DOB （SAS ），∴AC=BD ， ∴1AC BD，= ②∵△COA ≌△DOB ，∴∠CAO=∠DBO ，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD ）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD ）=180°-140°=40°，（2）类比探究：如图2，AC BD =，∠AMB=90°，理由是：Rt △COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴30OD tan OC ︒＝，同理得：303OB tan OA ︒＝， ∴OD OB OC OA＝， ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD ，∴△AOC ∽△BOD ，∴AC OC BD OD=＝，∠CAO=∠DBO ， 在△AMB 中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM ）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO ）=90°；（3）拓展延伸：①点C 与点M 重合时，如图3，同理得：△AOC ∽△BOD ，∴∠AMB=90°，AC BD＝设BD=x ，则x ，Rt △COD 中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x -2，Rt △AOB 中，∠OAB=30°，，∴，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，)2+(x −2)2＝)2，x 2-x -6=0，（x -3）（x+2）=0，x 1=3，x 2=-2，∴②点C 与点M 重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，AC BD设BD=x ，则x ，在Rt △AMB 中，由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，)2+（x+2）2)2.x 2+x -6=0，（x+3）（x -2）=0，x 1=-3，x 2=2，∴.综上所述，AC 的长为．2、(2014年河南省)（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空：①△AEB 的度数为 ；②线段AD ，BE 之间的数量关系为 ．（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ，请判断△AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题解答：解：（1）①如图1，△△ACB和△DCE均为等边三角形，△CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=90°．△△ACD=△BCE．在△ACD和△BCE中，△△ACD△△BCE．△△ADC=△BEC．△△DCE为等边三角形，△△CDE=△CED=60°．△点A，D，E在同一直线上，△△ADC=120°．△△BEC=120°．△△AEB=△BEC﹣△CED=60°．故答案为：60°．②△△ACD△△BCE，△AD=BE．故答案为：AD=BE．（2）△AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如图2，△△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△CA=CB，CD=CE，△ACB=△DCE=90°．△△ACD=△BCE．在△ACD和△BCE中，△△ACD△△BCE．△AD=BE，△ADC=△BEC．△△DCE为等腰直角三角形，△△CDE=△CED=45°．△点A，D，E在同一直线上，△△ADC=135°．△△BEC=135°．△△AEB=△BEC﹣△CED=90°．△CD=CE，CM△DE，△DM=ME．△△DCE=90°，△DM=ME=CM．△AE=AD+DE=BE+2CM．（3）△PD=1，△点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．△△BPD=90°，△点P在以BD为直径的圆上．△点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH△BP，垂足为H，过点A作AE△AP，交BP于点E，如图3①．△四边形ABCD是正方形，△△ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，△BAD=90°．△BD=2．△DP=1，△由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD．△=2AH+1．△AH=．②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH△BP，垂足为H，过点A作AE△AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD．△=2AH﹣1．△AH=．综上所述：点A到BP的距离为或．3、已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出BFAE的值；（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时DFDC的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵线段CE 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，∴EC ＝EF ，∠CEF ＝60°，∴△EFC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，EC ＝CF ，∠ACB ＝∠ECF ＝60°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ， ∴BF AE＝1．（2）不成立，结论：AE BF ＝2． 证明：连接BF ，∵AB ＝AC ，D 是BC 中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠BAC ＝∠CEF ＝90°，∴△ABC 和△CEF 为等腰直角三角形，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，∴∠ACE ＝∠BCF ，∴AC BC ＝CE CF ＝2， ∴△ACE ∽△BCF ，∴∠CBF ＝∠CAE ＝α，∴AE BF ＝AC BC ＝2． （3）结论：当点E 为AD 的中点时，DF DC 的值最小，最小值为sin α． 连接BF ，取AC 的中点M ，连接EM ，∵AB=AC ，EC ＝EF ，∠BAC ＝∠FEC ＝2α，∴∠ACB ＝∠ECF ，∴△BAC ∽△FEC ，AC BC ∴＝EC CF， ∴∠ACE ＝∠BCF ，∴△ACE ∽△BCF ，∵D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， ∴DF EM ＝BC AC ＝22DC AM ＝DC AM， ∴DF DC ＝EM AM ， ∵当E 为AD 中点时，又∵M 为AC 的中点，∴EM ∥CD,∵CD ⊥AD ，∴EM ⊥AD, 此时，EM AM 最小=sin α， ∴DF DC的最小值＝sin α． 4、在图1，2，3中，已知ABCD ，120ABC ∠=︒，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且120EAG ∠=︒．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，CEF ∠=_______︒；（2）如图2，BE AB >，连接AF ．①填空：FAD ∠______EAB ∠（填“>”，“<”，“=”）；①求证：点F 在ABC ∠平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA 的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，请直接写出BC AB的值． 【详解】解：（1）∵四边形AEFG 是菱形，∴∠AEF ＝180°﹣∠EAG ＝60°，∴∠CEF ＝∠AEC ﹣∠AEF ＝60°，故答案为：60；∴∠F AE ＝60°，∴∠F AD ＝∠EAB ，故答案为：＝；∵当BA BE <时，如图2，作FM BC ⊥于M ，FN BA ⊥交BA 的延长线于N ，则90FNB FMB ∠=∠=︒，60NFM ∴∠=︒，又∵60AFE ∠=︒，AFN EFM ∴∠=∠，EF EA =，60FAE ∠=︒，AEF ∴为等边三角形，FA FE ∴=，在AFN 和EFM △中，AFN EFM FNA FME FA FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AFN EFM ∴△≌△()AASFN FM ∴=，又∵FM BC ⊥，FN BA ⊥，∴点F 在ABC ∠的平分线上；（3）∵四边形AEFG 是菱形，∠EAG ＝120°，∴∠AGF ＝60°，∴∠FGE ＝∠AGE ＝30°，∵四边形AEGH 为平行四边形，∴GE ∥AH ，∴∠GAH ＝∠AGE ＝30°，∠H ＝∠FGE ＝30°， ∴∠GAN ＝90°，又∵∠AGE ＝30°，∴GN ＝2AN ，∵∠DAB ＝60°，∠H ＝30°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝AH ＝GE ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ，∴BC ＝GE ，∵∠HAE ＝∠EAB ＝30°，∴平行四边形ABEN 为菱形，∴AB ＝AN ＝NE ，∴GE ＝3AB ， BC点N 是AD 的中点．（1）问题发现,如图1，当60α=时，MN PC的值是 ，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数是 ； （2）类比探究，如图2，当120α=时，请写出MN PC的值及直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；（3）解决问题，如图3，当90α=时，若点E 是CB 的中点，点P 在直线ME 上，MN =，请直接写出点B ，P ，D 在同一条直线上时PD 的长． 【详解】解：如图1中，连接PC ，BD ，延长BD 交PC 于K ，交AC 于G ．∵CA ＝CB ，∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB ＝∠PAD ＝60°，AC ＝AB ，∴∠PAC ＝∠DAB ，∵AP ＝AD ，∴△PAC ≌△DAB （SAS ），∴PC ＝BD ，∠ACP ＝∠ABD ，∵AN ＝ND ，AM ＝BM ，∴BD ＝2MN ， ∴MN PC ＝12． ∵∠CGK ＝∠BGA ，∠GCK ＝∠GBA ，∴∠CKG ＝∠BAG ＝60°，∴BK 与PC 的较小的夹角为60°，∵MN ∥BK ，∴MN 与PC 较小的夹角为60°． 故答案为12，60°．（2）MN PC =，直线MN 与直线PC 相交所成的较小角的度数为30° 如图设MN 交AC 于F ，延长MN 交PC 于E ．∵CA ＝CB ，PA ＝PD ，∠APD ＝∠ACB ＝120°，∴△PAD ∽△CAB ，∴AP AN AC AM= ∵AM ＝MB ，AN ＝ND ， ∴AP AN AC AM = ∴△ACP ∽△AMN ，∴∠ACP ＝∠AMN，2MN AM PC AC == ∵∠CFE ＝∠AFM ，∴∠FEC ＝∠FAM ＝30°．（3）PD 的长为2，或+2由题意可知MN，2MN AM PC AC == ∴PC ＝2∵ME 是△ABC 的中位线，∠ACB ＝90°，∴ME 是线段BC 的中垂线，∴PB ＝PC ＝2，∵MN 是△ADB 的中位线，∴DB ＝2MN ＝，如图3﹣1中，当点P 在线段BD 上时，PD ＝DB ﹣PB ＝（2－2，如图3﹣2中，PD ＝DB+PB ＝（+2，5、如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=60°，D 为BC 边上一点，(不与点B 、C)重合，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，连接EC ，则∠ACE 的度数是__________，线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是_______________.(2)2，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为BC 边上一点(不与点B 、C 重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接EC ，请写出∠ACE 的度数及线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3，在Rt △DBC 中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，若点A 满足AB=AC ，∠BAC=90°，请直接写出线段AD 的长度.【详解】(1)∵在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=60°，∴∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAE(SAS)，∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE ，∴BC=BD+CD=EC+CD ，∴AC=BC=EC+CD ；故答案为60°，AC=DC+EC ；(2)BD 2+CD 2=2AD 2，理由如下：由(1)得，△BAD ≌△CAE ，∴BD=CE ，∠ACE=∠B=45°，∴∠DCE=90°，∴CE 2+CD 2=ED 2，在Rt △ADE 中，AD 2+AE 2=ED 2，又AD=AE ，∴BD 2+CD 2=2AD 2；(3)如图3，作AE ⊥CD 于E ，连接AD ，∵在Rt △DBC 中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，∴∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴，∠ABC=∠ACB=45°，∵∠BDC=∠BAC=90°，∴点B ，C ，A ，D 四点共圆，∴∠ADE=45°，∴△ADE 等腰直角三角形，∴AE=DE ，∴CE=5−DE ，∵AE 2+CE 2=AC 2，∴AE 2+(5−AE)2=17，∴AE=1，AE=4，∴或AD=6、几何探究：【问题发现】（1）如图1所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等边三角形，BD 、CE 的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）【类比探究】（2）如图2所示，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的含有30角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；【拓展延伸】（3）如图3所示，△ADE 和△ABC 是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE 绕点A自由旋转，若BC =B 、D 、E 三点共线时，直接写出BD 的长．【详解】（1）相等;提示：如图4所示．∵△ADE 和△ABC 均为等边三角形，∴,AD AE AB AC ==60∠∠︒DAE BAC ==∴DAE BAE BAC BAE ∠-∠=∠-∠∴BAD CAE ∠=∠在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴BD CE =．（2）不成立；理由如下：如图5所示．在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，∵30DAE BAC ∠=∠=︒∴DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠60AED ACB ∠=∠=︒∴BAD CAE ∠=∠∵sin 60AD AB AE AC ==︒= ∴△ABD ∽△ACE∴2BD AB CE AC ==∴BD =故（1）中的结论不成立；（3）BD =或BD =． 提示:分为两种情况：①如图6所示．易证：△ABD ≌△ACE （SAS ）∴,45BD CE ADB AEC =∠=∠=︒∴454590DEC ∠=︒+︒=︒∴CE BD ⊥由题意可知：12DE BC ==设BD CE x ==,则BE x =在Rt △BCE 中,由勾股定理得：222CE BE BC +=∴((222x x +-=解之得:x =（x =舍去）∴BD =；②如图7所示．易证：△ABD ≌△ACE （SAS ），CE BD ⊥设BD CE x ==，则BE x =在Rt △BCE 中，由勾股定理得：222CE BE BC +=∴((222x x ++=解之得：=x （x =∴BD =.综上所述，2BD =或2BD =．7、（1）（问题发现）如图1，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点B ，D ，E 在同一条直线上．填空：①线段BD ，CE 之间的数量关系为 ；②∠BEC = °．（2）（类比探究）如图2，△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠AED =90°，AC=BC ，AE =DE ，点B ，D ，E 在同一条直线上，请判断线段BD ，CE 之间的数量关系及∠BEC 的度数，并给出证明．（3）如图3，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB = 5，点D 在AB 边上，DE ⊥AC 于点E ，AE = 3，将△ADE 绕点A 旋转，当DE 所在直线经过点B 时，CE 的长是多少？（直接写出答案）【详解】解：（1）∵ABC 和ADE 均为等边三角形，,,60AB AC AD AE BAC DAE ADE AED ∴==∠=∠=∠=∠=︒ ，,120BAD CAE ADB ∴∠=∠∠=︒ ．在BAD 和CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩BAD CAE ∴≅ ，,120BD CE ADB AEC ∴=∠=∠=︒ ，60BEC AEC AED ∴∠=∠-∠=︒ ；（2）BD =，45BEC ∠=︒．理由如下：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，∴45BAC ABC ADE DAE ∠=∠=∠=∠=︒，90ACB AED ∠=∠=︒，∴BAD CAE ∠=∠，135ADB ∠=︒，∵Rt ABC △和Rt ADE △中，sin AC ABC AB ∠=， sin AE ADE AD ∠=，sin 452=°，∴AC AE AB AD ==， ∴AB AC AD AE =， 又BAD CAE ∠=∠∴ABD ACE ，∴135ADB AEC ∠=∠=︒，BD AB AD CE AC AE ==， ∴45BEC AEC AED ∠=∠-∠=︒，∵2AC AE AB AD ==，∴AB AC =∴BD AB CE AC==∴BD =； （3）如图，将△ADE 绕点A 逆时针旋转，DE 所在直线经过点B 时，DE AE ⊥ ，90AED ∴∠=︒ ．30BAC DAE ∠=∠=︒ ，60ABC ADE ∴∠=∠=︒ ．3,tan 60AE =︒= ，tan 60AE DE ∴==︒． 30BAC DAE ∠=∠=︒ ，BAD CAE ∴∠=∠ ．sin AC AE ABC ADE AB AD ∠==∠==，AC AE AB AD ∴==，3AB AC ∴= ， ABD ACE ∴△△ ，3AB BD AC CE ∴== ． 5,3,90AB AE AED ==∠=︒ ，4BE ∴== ，4BD ∴=-，32CE ∴= ； 如图，将△ADE 绕点A 顺时针旋转，DE 所在直线经过点B 时，同理可得32CE =，综上所述，CE 的长度为32或32． 8、问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF ＝45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，从而发现EF ＝BE +FD ，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF ＝BE +FD ．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD ．已知AB ＝AD ＝80米，∠B ＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD ＝150°，道路BC 、CD 上分别有景点E 、F ，且AE ⊥AD ，DF ＝40（﹣1）米，现要在E 、F 之间修一条笔直道路，求这条道路EF 的长（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG ≌△ABE ，∴AG ＝AE ，∠DAG ＝∠BAE ，DG ＝BE ，又∵∠EAF ＝45°，即∠DAF +∠BEA ＝∠EAF ＝45°，∴∠GAF ＝∠FAE ，在△GAF 和△FAE 中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴GF＝EF，又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF；【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝80×＝40，HF＝HD+DF＝40+40（﹣1）＝40故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．9、（1）问题发现如图1，ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若60ADE ∠=︒，则AB ，CE ，BD ，DC 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究如图2，ABC 是等腰三角形，AB AC =，B α∠=，点D ，E 分别在边BC ，AC 上．若ADE α∠=，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）解决问题如图3，在ABC 中，30B ∠=︒，4AB AC cm ==，点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A B →方向匀速运动，同时点M 从点B /s 的速度沿B C →方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动．连接PM ，在PM 右侧作30PMG ∠=︒，该角的另一边交射线CA 于点G ，连接PG ．设运动时间为()t s ，当APG 为等腰三角形时，直接写出t 的值．【详解】（1）AB BD DC CE=， ∵ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠ADB=180°-60°=120°，60ADE ∠=︒，∴∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，∴∠BAD=∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ， ∴AB BD DC CE=； （2）成立，∵AB AC =，B α∠=，∴B C α∠=∠=，∴∠BAD+∠ADB=180α︒-，∵ADE α∠=，∴∠CDE+∠ADB=180α︒-，∴∠BAD=∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB BD DC CE=； （3）∵30B ∠=︒，4AB AC cm ==，∴∠B=∠C=30°，∴∠BPM+∠PMB=180°-30°=150°，∵30PMG ∠=︒，∴∠CMG+∠PMB=180°-30°=150°，∴∠BPM=∠CMG ，又∠B=∠C=30°，∴△PBM ∽△MCG ， ∴BP BM MC CG=，由题意可知AP t =，BM =，即4BP t =-， 如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，∵30B ∠=︒，4AB AC ==，∴AH=2，BH ==∵AB AC =，AH ⊥BC ，∴2BC BH ==∴MC =，=3CG t =， 当G 点在线段AC 上时，若APG 为等腰三角形时，则AP=AG ，如图3，此时AG=AC -CG=43t -，∴43t t -=，解得1t =，当G 点在CA 延长线上时，若APG 为等腰三角形时，如下图，此时∠PAG=180°-120°=60°，则APG 为等边三角形，AP=AG ， 此时AG=CG -AC=34t -，∴34t t -=，解得2t =，∴当APG 为等腰三角形时，t 的值为1或2．10、某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：【问题发现】（1）如图①，在等边三角形ABC 中，点M 是BC 边上任意一点，连接AM ，以AM 为边作等边三角形AMN ，连接CN ，则∠ABC 和∠ACN 的数量关系为 ；【变式探究】（2）如图②，在等腰三角形ABC 中，AB ＝BC ，点M 是BC 边上任意一点（不含端点B ，C ，连接AM ，以AM 为边作等腰三角形AMN ，使∠AMN ＝∠ABC ，AM ＝MN ，连接CN ，试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由；【解决问题】（3）如图③，在正方形ADBC 中，点M 为BC 边上一点，以AM 为边作正方形AMEF ，点N 为正方形AMEF 的中心，连接CN ，AB ，AE ，若正方形ADBC 的边长为8，CN ＝，直接写出正方形AMEF 的边长．解：（1）∵△ABC 与△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN ＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN ，在△ABM 与△ACN 中，，∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴∠ABC ＝∠ACN ，故答案为：∠ABC ＝∠ACN ；（2）∠ABC ＝∠ACN ，理由如下：∵AB ＝BC ，AM ＝MN ，∴＝＝1． ∴＝，又∠ABC ＝∠AMN ， ∴△ABC ∽△AMN ．∴＝，∵∠BAC ＝∠MAN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，∴△ABM ∽△ACN ，∴∠ABC ＝∠ACN ；（3）∵四边形ADBC ，AMEF 为正方形，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠MAN ＝45°，∴∠BAC ﹣∠MAC ＝∠MAN ﹣∠MAC ，即∠BAM ＝∠CAN ，∵＝＝，∴＝， 又∠BAM ＝∠CAN ，∴△ABM ～△ACN ，∴＝，即＝，∴BM ＝2，∴CM ＝6，在Rt △AMC ，AC ＝8，CM ＝6，AM ＝＝10，答：正方形AMEF 的边长为10．11、(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∵ADF=∵ACF=90°时，求AE FC的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC的值．【详解】解：（1）∵DE ∥AB∴∠ABC=∠EDC=60°，∠BAC=∠DEC=60°∴△DEC 是等边三角形，∠AED=120°∴DE=DC ，∵将AD 绕点D 顺时针旋转60°得到DF ，∴∠ADF=60°=∠EDC ，AD=DF∴∠ADE=∠FDC ，且CD=DE ，AD=DF∴△ADE ≌△FDC （SAS ）∴AE=CF ，∠AED=∠DCF=120°∴∠ACF=60°，故答案为AE=CF ，60°（2）∵∠ABC=90°，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°∴tan ∠BAC=AB BC= ∵DE ∥AB∴∠EDC=∠ABC=90°∵∠ADF=90°，∴∠ADE=∠FDC∵∠ACF=90°，∠AED=∠EDC+∠ACB ，∠FCD=∠ACF+∠ACB∴∠AED=∠FCD ，且∠ADE=∠FDC∴△DAE ∽△DFC AE DE FC DC∴= ∵DE ∥AB∴△EDC ∽△ABCDE AB DC BC∴=AE AB FC BC∴==（3）∵AB ∥DE∴∠ABC=∠BDE=∠ADF ，∠BAC=∠E∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB∴∠ADE=∠CDF ，∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF ，且∠ACF=∠ABC∴∠BAC=∠DCF=∠E，且∠ADE=∠CDF∴△ADE∽△FDCAE DE∴=FC DC∵DE∥AB∴△EDC∽△ABCDE AB∴=DC BC∵B C : A B=mAE AB1∴==FC BC m12、.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∵DAB=∵ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt∵ABC与Rt∵ABD中，∵C=∵D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt∵ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∵α＜∵BAC）得到Rt∵AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∵PA=PD，PC=PB，∵∵PAD=∵PDA，∵PBC=∵PCB，∵∵DPB=2∵PAD，∵APC=2∵PBC，即∵PAD=∵PBC，∵∵APC=∵DPB，∵∵APC∵∵DPB（SAS），∵AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∵AD′B=∵D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∵∵ED′B=∵EBD′，∵EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F∵CE 于F ，∵D′F∵AC ，∵∵ED′F∵∵EAC ， ∵D F ED AC AE''=， 即 4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∵S ∵ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S ∵BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S ∵ACE ﹣S ∵BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∵D′BC=∵ACB=90°时，过点D′作D′E∵AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∵四边形ECBD′是矩形，∵ED′=BC=3，在Rt∵AED′中，根据勾股定理得：，∵S ∵AED′=12AE×ED′=12×3=2，S 矩形ECBD′=CE×CB=（4）×3=12﹣， 则S 四边形ACBD′=S ∵AED′+S 矩形ECBD′+12﹣=12． 13、（1）问题发现：如图1，在△ABC 中和△DCE 中，，，，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．填空：①的值为 ； ②∠ABE 的度数为 ． （2）类比探究：如图2，在△ABC 中和△DCE 中，，，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．请判断的值及∠ABE 的度数，并说明理由； （3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若，请直接写出BE 的长．【详解】解：（1）①∵，，∴为等边三角形∴∴∴∴的值为1； 故答案为：1；②∵AB AC =DC DE =60BAC CDE ∠=∠=︒AD BE90BAC CDE ∠=∠=︒30ABC DEC ∠=∠=︒AD BE AB =CD =AB AC =DC DE =60BAC CDE ∠=∠=︒,ABC CDE △△,,BC AC CE CD DCE DCF ACB DCF ==∠-∠=∠-∠BCE ACD ≅AD BE =AD BEBCE ACD ≅∴∵∴∴∵∴故答案：90°． （2） ,.理由如下： 在Rt △ABC 中，，.∴. 同理：. ∴. 又.∴.∴△ACD ∽△BCE.∴,. ∴.（3）当点E 在AF 右边时，如图2所示：∵，， ∴，∴∵ ∴； 当点E 在AF 左边时，如图3所示同理，可得，∵∴CBE CAD ∠=∠AF BC ⊥90AFC ∠=︒90CAD ACB ∠+∠=︒60ABC ACB ∠=∠=︒90ABE CBE ABC ∠=∠+∠=︒12AD BE =60ABE ∠=︒90BAC ∠=︒30ABC ∠=︒12AC BC =12DC EC =AC DC BC EC=60ACB DCE ∠=∠=︒ACD BCE ∠=∠1=2AD AC BE BC =CAD CBE ∠=∠60ABE ABC CBE ABC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒AB =CD =90BAC CDE ∠=∠=︒30ABC DEC ∠=∠=︒1AC =603090ACD ∠=︒+︒=︒3AD ==12AD BE =BE =1,30,AC DAC CBE ACD BCE =∠=∠=︒∠=∠CF sin CDF CD ∠==60CDF ∠=︒∴∴ ∵∵ ∴ 综上所述，BE. 14、（1）操作：如图，点为线段的中点，直线与相交于点，请利用图画出一对以点为对称中心的全等三角形，（不写画法）.根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：（2）探究一：如图，在四边形中，为边的中点，与的延长线相交于点，试探究线段与，之间的等量关系，并证明你的结论. （3）探究二，如图，相交于点，交于点，且，若，求的长度.【详解】（1）如图所示连接，过点作交于点.（2）解：，理由如下：如图，延长交的延长线于点.，，，，.为中点，，，（3）延长交的延长线于点，如图，，，，30ACD DAC ∠=∠=︒3AD CD ==12AD BE =3BE =1O MN PQ MN O 1O 2ABCD //,AB DC E BC ,BAE EAF AF ∠=∠DC F AB AF CF 3DE BC E BA DE A :1:2,,//BE EC BAE EDF CF AB =∠=∠5,1AB CF ==DF 1MG N //NH MG PQ H AB AF CF =+2AE DC G //AB DC BAE EAF ∠=∠G BAE EAF ∴∠=∠=∠B ECG ∠=∠AF FG ∴=E BC ,BE CE ∴=()ABE GCE AAS ∴∆≅∆AB CG ∴=CG GF CF AF CF =+=+AB AF CF ∴=+DE CF G 3//,AB CF BAE EDF ∠=∠,G BAE EDF B ECG ∴∠=∠=∠∠=∠DF FG ∴=ABE GCE ∆∆AB BE CG CE∴=5,:1:2AB BE CE ==10CG ∴=1CF =9GF CG CF ∴=-=9DF ∴=15、已知，，()．（1）观察猜想如图1，当时，请直接写出线段与的数量关系： ；位置关系： ；（2）类比探究如图2，已知，分别是，，，的中点，写出与的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）解决问题如图，已知：，，分别是，，，的中点，将绕点旋转，直接写出四边形的面积的范围(用含的三角函数式子表示)．【详解】（1）如图∵∴∵，，∴∴，=∵∴故答案为：，（2），．理由如下：AC AB =AD AE =CAB DAE α∠=∠=090α︒<≤︒90α=︒CD BE 60α=︒,,,F G H M CE CB BD DE GM FH 2AB =3AD =,,,F G H M CE CB BD DE ABC ∆A FGHM SαCAB DAE α∠=∠=CAD BAE ∠=∠AC AB =AD AE =CAD BAE ≅△△C B ∠=∠CD BE CFA BFH ∠=∠90CHB BAC ∠=∠=︒CD BE =CD BE⊥GM =GM FH⊥连接，，交于，∵，∴∵，，∴，∴，，∴，连接，∵分别是的中点，∴，，，，，， ∴，，∴四边形是菱形，∴∵， ∴． （3） 如图，由（2）同理可知，四边形是菱形，，将绕点旋转过程中，则菱形的边长GF 范围为过F 做 于K菱形的面积为写出四边形的面积的范围为： 16、已知，在Rt △ABC 中，，点在边上，点在边上，，过点作交的延长线于点．（1）如图1，当时：①的度数为__________；②求证；；（2）如图2，当时，求的值（用含的式子表示）． 【详解】（1）①）①∵∠A=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，CD BE CD BE O 60CAB DAE ∠=∠=︒60CAD BAD BAE ∠=∠+︒=∠AC AB =AD AE =CAD BAE ∆∆≌CD BE =ACD ABE ∠=∠60BOC BAC ∠=∠=︒,,,GF FM MH HG ,,,F G H M ,,,CE CB BD DE //GF BE //HM BE //FM CD //GH CD 12GF HM BE ==12FM GH CD ==60FGH ∠=︒GF FM MH HG ===FGHM FH GM⊥2tan 602GMGM FH FH︒===GM =125sin sin 44S αα≤≤FGHM FGH α∠=ABC ∆A 15CD ≤≤FGHM 1522GF ≤≤FK HM ⊥2sin sin FM HM GF αα⋅⋅=FGHM S 125sin sin 44S αα≤≤90A ∠=︒D BC E AB 12BDE C ∠=∠B BF DE ⊥DEF AB AC =EBF ∠2DE BF =AB kAC =BF DEk∵，∠F=90°， ∴∠DBF=67.5°，∴∠EBF=∠DBF -∠ABC=22.5°；②证明：如图1，过点作DN ∥AC ，与的延长线交于，与交于点，则，，， 又∵，，，，，，又， ，．（2）如图2，过点作DN ∥AC ，与的延长线交于点，与交于点，则同理可证： ．，，，，，即， 又DN ∥AC ，，，， 则． 17、（1）如图1，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，连接CD ，BE 交于点F ．＝ ；∠BFD ＝ ； （2）如图2，在矩形ABCD 和△DEF 中，AB ＝AD ，∠EDF ＝90°，∠DEF ＝60°，连接AF 交CE 的延长线于点G ．求的值及∠AGC 的度数，并说明理由． （3）在（2）的条件下，将△DEF 绕点D 在平面内旋转，AF ，CE 所在直线交于点P ，若DE ＝1，AD，求出当点P 与点E 重合时AF 的长．122.52BDE C ∠=∠=︒D BF N AB M NDB C ∠=∠90NMB DMB A ∠=∠=∠=︒1122BDF C NDB FDN ∠=∠=∠=∠DF DF ==90BFD NFD ∠=∠︒BDF NDF ∴△≌△22BN BF NF ∴==AB AC =90A ∠=︒45ABC C NDB ∴∠=∠=∠=︒12252FDB C EBF ∠=∠=︒=∠．Rt DEM Rt BNM ∴△≌△2DE BN BF ∴==D BF N AB M BDF NDF △≌△2BN BF ∴=90NMB DMB ∠=∠=︒FBE MDE ∠=∠NBM EDM ∴△∽△BM DM BN DE ∴=2BM BF DM DE=MB AB D C ∴△∽△BM BA k DM CA ∴==2BF k DE∴=12BF k DE =BE CD 3AF CE【详解】解：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ＝30°，∴∠BAC +∠BAD ＝∠DAE +∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAE ，∵AC ＝AB ，AD ＝AE ，∴△CAD ≌△BAE （SAS ），∴CD ＝BE ，∴＝1， ∵△CAD ≌△BAE （SAS ），∴∠ACD ＝∠ABE ，∴∠BFD ＝∠DCB +∠CBE ＝∠DCB +∠ABE +∠ABC ＝∠DCB +∠ACD +∠ABC ＝∠ACB +∠ABC ＝180°﹣∠BAC ＝150°， 故答案为1，150°；（2）如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，AB ＝CD ，∵AB ＝AD ， ∴， 在Rt △DEF 中，∠DEF ＝60°，∴tan ∠DEF ＝， ∴， ∴，∵∠EDF ＝90°＝∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴△ADF ∽△CDE ，∴，∠DAF ＝∠DCE ，AD 与CD 的交点记作点O ， ∵∠DCE +∠COD ＝90°，∴∠DAF +∠AOG ＝90°，∴∠AGC ＝90°；（3）如备用图，连接AC ，在Rt △ADC 中，AD ，∴AB ， 根据勾股定理得，AC ＝，由（2）知， ∴AF CE ，设CE ＝x ．则AF ，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝60°，DE ＝1，∴EF ＝2，∴AE ＝AF ﹣EF x ﹣2，由（2）知，∠AEC ＝90°， BE CD3AD CDDF DE DF DEAD DF CD DE=AF AD CE CD ==AF CE=在Rt △ACE 中，AE 2+CE 2＝AC 2，x ﹣2）2+x 2＝28，∴x x＝∴AF x ＝6．18、当图形具有邻边相等的特征时，我们可以把图形的一部分绕着公共端点旋转，这样将分散的条件集中起来，从而达到解决问题的目的如图1，等腰直角三角形内有一点连接为探究三条线段间的数量关系，我们可以将绕点逆时针旋转得到连接则___ ____是_ 三角形，三条线段的数量关系是_ ；如图2，等边三角形内一点P ，连接请借助第一问的方法探究三条线段间的数量关系．如图3 ，在四边形中，点在四边形内部，且请直接写出的长．【详解】∵绕点逆时针旋转得到∴，∠=∴∵BP⊥∴是直角三角形．∴即如图，将绕点顺时针旋转得连接则为等边三角形，()1ABC ,P ,,,135,AP BP CP APB ∠=︒,,AP BP CP ABP △A 90',ACP ',PP 'PP =,'AP CPP ,,AP BP CP ()2ABC ,,,150,AP BP CP APB ∠=︒,,AP BP CP ()3ABCD //,AD BC P ,90,PD PC CPD =∠=︒135,4,5,APB AD BC ∠=︒==AB ()1ABP △A 90'ACP 'AP AP ='PAP 90︒P P ==''CP 'CPP '2'22PP CP CP +=222PB PC +=）2222PC PB PA =+()2ABP △B 60︒',BCP ',PP 'BPP '','BP BP PP AP CP ∴===150',APB BP C ∠=︒=∠．．将绕点顺时针旋转至连接则．．，即．在中可求得，．可证则．19、阅读材料：如图，与都是等腰直角三角形，且点在边上，，的中点均为，连接，，，显然，点，，在同一条直线上，可以证明，所以解决问题：（1） 将图中的绕点旋转到图的位置， 猜想此时线段与的数量关系，并证明你的结论．（2） 如图，若与都是等边三角形，，的中点均为，上述中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出与之间的数量关系．（3） 如图， 若与都是等腰三角形，，的中点均为，且顶角，与之间的数量关系如何（用含的式子表示出来）？请直接写出结果．【详解】解：（1）猜想：，证明如下：连接，，如解图所示解图1为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，22222'' PCP P P C BP AP ∴=+=+()3APD △P 90︒',P PC ',BP '4,','AD CP AP PP ADP P CP ===∠=∠//,AD BC 180ADP PDC PCD PCB ∴∠+∠+∠+∠=︒45PDC PDC ∠=∠=︒90,ADP PCB ∴∠+∠=︒'90P CB ∠=︒'Rt BP C 'BP =135,'90APB APP ∠=︒∠=︒'135BPP ∴∠=︒',ABP P BP ≌'AB BP ==1ABC ∆DEF ∆90ACB EDF ∠=∠=D AB AB EF O BF CD CF C F O BOF COD ∆≅∆BF CD =1Rt DEF ∆O 2BF CD 3ABC ∆DEF ∆AB EF O (1)BF CD 4ABC ∆DEF ∆AB EF O ACB EDF a ∠=∠=BF CD a BF CD =OC OD 1ABC ∆O AB OB OC ∴=90BOC ∠=为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，，，，，在与中，，，；（2）中的结论不成立连接，，如解图所示解图2为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，， 为等腰直角三角形，点为斜边的中点，，，，， ，在与中，（3）如解图3所示，连接OC 、OD ，解图3∵∵ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点，DEF ∆O EF OF OD ∴=90DOF ∠=90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=+∠90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=+∠BOF COD ∴∠=∠BOF ∆COD ∆OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BOF COD SAS ∴∆≅∆BF CD ∴=(1)OC OD 2ABC ∆O AB 3tan 303OB OC ∴==90BOC ∠=DEF ∆O EF 3tan 30OF OD ∴==90DOF ∠=OB OF OC OD ∴==90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=+∠90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=+∠BOF COD ∴∠=∠BOF ∆COD ∆OB OF OC OD ==BOF COD ∠=∠~BOF COD ∴∆∆BF CD ∴=∵，∵BOC ＝90°， ∵∵DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点， ∵，∵DOF ＝90°， ∵， ∵∵BOF ＝∵BOC ＋∵COF ＝90°＋∵COF ，∵COD ＝∵DOF ＋∵COF ＝90°＋∵COF ，∵∵BOF ＝∵COD ，在∵BOF 与∵COD 中，∵，∵BOF ＝∵COD ， ∵∵BOF∵∵COD ，∵． 20、如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．（1）如图1，若和是等腰三角形，则_________，_________；（2）如图2，若，求出的度数以及的值；（3）在（1）的条件下，，，若把绕点旋转，当时，请直接写出的长度．【详解】解：（1）和是等腰直角三角形，，∴，，，，，，∴， 在中，∴（2）在中，，∴，tan 2OB OC α=tan 2OF OD α=tan 2OB OF OC OD α==tan 2OB OF OC OD α==tan 2BF CD α=ABC ADE 90BAC DAE ∠=∠=︒P BD CE ABC ADE BPC ∠=BD CE=30ADE ABC ∠=∠=︒BPC ∠BDCE6AB =4=AD ADE A 90EAC ∠=︒PB ABC ∆ADE ∆90BAC DAE ∠=∠=︒AB AC =AD AE =DAB CAE ∠=∠ADB AEC ∴∆∆≌ABD ACE ∴∠=∠BD CE ==1BD CEBPC ∆180--BPC PBC PCB ∠=∠∠180-()-(-)ABD ABC ACB ACE =∠+∠∠∠180-(+)ABC ACB =∠∠BAC =∠=9090BPC ∠=Rt ABC ∆30ABC ∠=︒AB =中，，∴，∴. ∵.∴.∴∴，在中，∴（3）情况一：如下图，点在线段上，由（1）可知：，∴，∵，∴ ∴ ∵，，∴， ∴在中，，∴ ∴ 情况二：如下图，点在的延长线上，同理可证：，Rt ADE ∆30ADE∠=︒AD =AB AD AC AE==90BAC DAE ∠=∠=︒BAD CAE ∠=∠ADB AEC ∆∆∽ABD ACE ∠=∠BD CEBPC ∆180--BPC PBCPCB ∠=∠∠180-()-(-)ABD ABC ACB ACE =∠+∠∠∠180-(+)ABC ACB =∠∠90BAC =∠=90BPC ∠=E AB ADB AEC ∆∆≌ABD ACE ∠=∠ADB PDC ∠=∠ABDPCD ∆∆AD BD DP DC==6AB AC =4AD AE ==10DC =Rt BAD ∆DB DP PB E AB AEC PEB ∆~∆∴ ∵，，∴， ∴在中，，∴ ∴综上所述：的长为21、（1）观察猜想： 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠BAC ＝∠DAE ＝45°，DE ＝AE ，将△ADE 绕点A 逆时针旋转到如图2所示的位置，连接BD ，交AC 于点C ，连接CE 交BD 于点F ，则的值为 ，∠BFC 的度数为 45° ．（2）类比探究：如图3，当∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°时，请求出的值及∠BFC 的度数． （3）拓展应用：如图4，在四边形ABDC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠BDC ＝45°．若CD ＝8，BD ＝6，请直接写出A ，D 两点之间的距离．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝45°，DE ＝AE ，∴△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴＝＝，∠ABD ＝∠ACE ，又∵∠AGB ＝∠FGC ，∴∠BFC ＝∠BAC ＝45°；故答案为：，45°；（2）∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，∴DE ＝AD ，BC ＝AB ，AE ＝DE ，AC ＝BC ，∴＝＝， ∵∠BAD ＝∠BAC +∠CAD ，∠CAE ＝∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴＝＝，∠ABD ＝∠ACE ，又∵∠AGB ＝∠FGC ，∴∠BFC ＝∠BAC ＝30°；（3）以AD 为斜边在AD 右侧作等腰直角三角形ADM ，连接CM ，如图4所示：∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠DAM ＝45°，＝＝，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAM ﹣∠DAC ，AC EC PB BE==6AB AC =4AD AE ==10EB =Rt AEC ∆EC =13BP PB 13。
1.4从三个方向看物体的形状同步习题有答案和解析
4从三个方向看物体的形状1．观察下面的图片，从上面看到的是，从左面看到的是，从正面看到的是。
2．下列四个几何体中，从左面看为圆的是（）A．B．C．D．3．（2019•十堰）下面几何体中，其从正面看与从上面看相同的是（）A．B．C．D．4．（2019•梅州）如图所示几何体的从左面看为（）A．B．C．D．5．（2019•张家界）如图是由4个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的从上面看是（）A．B．C．D．6．（2019•盐城）如图是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的从正面看的面积为．6．（2019•百色）某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是．7．（2019•冷水江市校级模拟）如图是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的从左面看和从上面看，那么组成这个几何体的小正方体的个数最少为个．8．某几何体是由几个棱长为1的小立方体搭成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积（包括下底面）为．同步小题12道一．选择题1．（2019•桂林）下列几何体分别从三个方向观察得到的图形相同的是（）A．圆柱 B．球C．圆锥 D．长方体2．（2019•娄底）下列几何体中，从正面看和从上面看都为矩形的是（）A．B．C．D．3．（2019•济宁）如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的从左面看是（）A．B．C．D．4．（2019•常德）如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的从上面看是（）A．B．C．D．5．（2019•宁夏）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是（）A．3 B．4 C．5 D．66．（2019•自贡）如图是几何体的从上面看，所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的正视图是（）A．B．C．D．二．填空题7．如图，右边的两个图形分别是由左边的物体从两种不同的方向观察得到的，请在这两种平面图形的下面填写它们各是从什么方向看得到的｡①；②．8．如图所示的几何体是由一些小正方体组合而成的，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体从上面看的面积是．9．（2019•嘉善县模拟）如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的从正面看和从左面看的面积之和是．10．（2019•黄冈校级自主招生）如图是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这个立体图形中小正方体共有块．三．解答题11．画出如图所示的几何体的从正面看、从左面看、从上面看：12．用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看如下，问这样的几何体有多少可能？它最多要多少小立方块，最少要多少小立方块，画出最多、最少时的从左面看．答案：4从三个方向看物体的形状1．③②①2．解析：因为圆柱的从左面看是矩形，圆锥的从左面看是等腰三角形，球的从左面看是圆，正方体的从左面看是正方形，所以，从左面看是圆的几何体是球．故选C3．解析：A、圆柱从正面看是矩形，从上面看是圆；B、圆锥从正面看是三角形，从上面看是圆；C、正方体的从正面看与从上面看都是正方形；D、三棱柱的从正面看是矩形与从上面看都是三角形；故选：C4．解析：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故选A5．解析：根据题意，从上面看原图形可得到．故选C6．解析：从正面看如图所示，∵由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，∴从正面看的面积为5×12=5，答案5．6．解析：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1=5个；答案：5．7．解析：由从上面看可以看出组成这个几何体的底面小正方体有4个，由从左面看可知第二层最少有1个，故组成这个几何体的小正方体的个数最少为：4+1=5（个），答案：5．8．解析：（1×1）×[（3+2+4）×2]=1×18=18．答：该几何体的表面积（包括下底面）为18．答案：18．同步小题12道1．解析：圆柱从正面看和从左面看为长方形，从上面看为圆形；球从正面、左面和上面看均为圆形；圆锥从正面看和从左面看为三角形，从上面看为带圆心的圆形；长方体从正面、左面和上面看均为长方形，但长方形的长宽不等．故选B2．解析：A、圆锥的从正面看是三角形，从上面看是带圆心的圆，故本选项错误；B、圆柱的从正面看是矩形、从上面看是矩形，故本选项正确；C、球的从正面看、从上面看都是圆，故本选项错误；D、三棱柱的从正面看为矩形和从上面看为三角形，故本选项错误．故选B3．解析：如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的从左面看是故选D4．解析：从上面看易得上面第一层中间有1个正方形，第二层有3个正方形．下面一层左边有1个正方形，故选A．5．解析：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．故选C6．解析：从正面看，如图所示：．故选B7．解析：从正面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1，∴②是从正面看得到的图形；从左面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1，∴②是从左面看得到的图形；从上面看从左往右2列正方形的个数依次为2，1，且第2列的那个正方形应在上面一行，∴①是从上面看得到的图形；从右面看从左往右2列正方形的个数依次为1，2，不在上面的图形中，答案：从上面看；从正面看或从左面看．8．解析：从上边看第二层是三个小正方形，第一层左边一个小正方形，右边一个小正方形，该几何体从上面看的面积是3+2=5，答案：5．9．解析：该几何体的从正面看的面积为1×1×4=4，从左面看的面积是1×1×3=3，所以该几何体的从正面看和从左面看的面积之和是3+4=7，答案：7．10．解析：综合从正面看，从上面看，从左面看，底层有2+2+1=5个正方体，第二层有3个正方体，第三层有1个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5+3+1=9个．答案：9．11．解：作图如下：12．解析：有两种可能；有从正面看可得：这个几何体共有3层，由从上面看可得：第一层正方体的个数为4，由从正面看可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，故：最多为3+4+1=8个小立方块，最少为个2+4+1=7小立方块．最多时的从左面看是：最少时的从左面看为：。
数学中考图形变换题选择题
数学中考图形变换题选择题1. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形2. 一个图形经过旋转后，它的角度发生了变化，但大小和形状保持不变，这个变换称为什么？3. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形4. 一个图形经过轴对称变换后，它的形状和大小保持不变，但方向发生了变化，这个变换称为什么？5. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形6. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形7. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形8. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形9. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形10. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形11. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？B. 矩形C. 圆形D. 菱形12. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形13. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形14. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形C. 圆形D. 菱形15. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形16. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形17. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形D. 菱形18. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形19. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形20. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形21. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形22. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形23. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形24. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形25. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形26. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形27. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形28. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形29. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形30. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形31. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形32. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形33. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？B. 矩形C. 圆形D. 菱形34. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形35. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形36. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形C. 圆形D. 菱形37. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形38. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形39. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形D. 菱形40. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形41. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形42. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形43. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形44. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形45. 下列哪个图形经过反射后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形46. 下列哪个图形经过轴对称变换后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形47. 下列哪个图形经过翻折后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形48. 下列哪个图形经过缩放后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形49. 下列哪个图形经过平移后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形50. 下列哪个图形经过旋转后可以得到下面的图形？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 菱形。
从三个方向看物体的形状重难点题型
从三个方向看物体的形状-重难点题型【知识点1 从不同的方向观察物体】我们常从物体的正面、上面和左面（或右面）三个不同的方向观察物体，然后秒绘出观察到的形状，这样就可以把一个立体图形的特征转化为平面图形的特征．【知识点2 从三个方向看到的物体的形状图】（1）从正面看到的物体的形状和从上面看到的物体的形状，共同反映了物体左右方向的尺寸。
（2）从正面看到的物体的形状和从左面看到的物体的形状，共同反映了物体上下方向的尺寸。
（3）从上面看到的物体的形状和从左面看到的物体的形状，共同反映了物体前后方向的尺寸。
【题型1 由立体图形判断物体三个方向的形状图】【例1】（2021春•道里区期末）从上面看如图几何体得到的平面图形是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2021•阜南县模拟）如图所示的几何体从上面看到的形状是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2020•西山区模拟）如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2021•江宁区二模）如图（1），将正方体左上部切去一个小三棱柱（图中M、N都是正方体的棱的中点），得到如图（2）所示的几何体，从正面、上面、左面看（2）中的几何体，看到的图形面积分别为S正、S上、S左，则（）A．S正＝S上＝S左B．S正＜S上＝S左C．S上＜S左＜S正D．S上＜S左＝S正【题型2 由组合图形判断物体三个方向的形状图】【例2】（2020•延边州模拟）如图，大正方体上面正中间放置小正方体，小正方体6个表面写了数字1到6，且所相对面两个数字之和都是7，则这个几何体从左面看到的形状为（）A．B．C．D．【变式2-1】（2020•开福区模拟）图①是一个正四棱锥，切去上面小的正四棱锥后得到一正四棱台（上、下底均为正方形），如图②所示，箭头所指是从上面观察，则其从上面看到的形状是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2020秋•铁西区期末）如图1是用5个相同的小立方块搭成的几何体，若由图1变化至图2，则从正面、上面、左面看到的形状图发生变化的是（）A．从正面看到的形状图B．从左面看到的形状图C．从上面看到的形状图D．从上面、左面看到的形状图【变式2-3】（2020秋•辽阳期末）如图所示的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体从三个方向看到的形状图，正确的是（）A．仅从正面看到的形状图不同B．仅从左面看到的形状图不同C．仅从上面看到的形状图不同D．从三个方向看到的形状图都相同【知识点3 判断几何体的形状】根据从不同方向观察物体得到的形状图所具有的特征来判断物体的形状.（1）长宽高的关系：从正面看到的图形和从上面看到的图形长度相等，从正面看到的图形和从左面看到的图形高度相等。
小学三年级数学练习题认识形的几何变换
小学三年级数学练习题认识形的几何变换小学三年级数学练习题：认识形的几何变换在小学三年级的数学学习过程中，认识形的几何变换是一个重要的内容。
通过学习形状的变换，孩子们可以更好地理解几何概念，并培养他们的观察力和逻辑思维能力。
本文将介绍几种常见的几何变换，并提供一些相关的练习题供孩子们巩固和应用所学内容。
一、平移平移是一种基本的几何变换，它将一个图形按照一定的规律移动到另一个位置，而不改变其形状和大小。
在平移中，所有点的位置都同时保持不变。
例如，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，我们可以获得它的平移图形。
以下是一些平移练习题：1. 将一个正方形图形沿着向右的方向平移3个单位，得到的图形是什么？2. 将一个三角形图形沿着向下的方向平移5个单位，得到的图形是什么？二、旋转旋转是指将一个图形按照一定的角度围绕某个点进行转动。
在旋转中，图形的形状和大小保持不变，只是方向发生了改变。
我们可以通过旋转来观察图形的对称性和不对称性。
以下是一些旋转练习题：1. 将一个正方形图形以其一个顶点为中心逆时针旋转90度，得到的图形是什么？2. 将一个长方形图形以其一个边中点为中心顺时针旋转180度，得到的图形是什么？三、翻折翻折是指将一个图形沿着一条直线对折，使得对折前后的图形重合。
在翻折中，图形的形状和大小都保持不变，只是位置发生了改变。
通过翻折，我们可以观察图形的对称性。
以下是一些翻折练习题：1. 将一个正方形图形沿着对角线进行翻折，得到的图形是什么？2. 将一个长方形图形沿着其中一条边进行翻折，得到的图形是什么？四、对称对称是指当一个图形绕着某个轴线折叠时，两边的形状完全相同，但位置相反。
通过观察图形的对称性，我们可以培养孩子们的空间想象能力和判断能力。
以下是一些对称练习题：1. 找出下列图形中对称的图形：图形A: [描述图形A]图形B: [描述图形B]图形C: [描述图形C]图形D: [描述图形D]2. 画出下列图形的对称轴线：图形1: [描述图形1]图形2: [描述图形2]图形3: [描述图形3]图形4: [描述图形4]通过以上的练习题，孩子们可以巩固他们对平移、旋转、翻折和对称的理解，提高他们的观察和逻辑思维能力。
15专题七 类比、拓展探究题类型三 图形形状变化引起的探究(word版习题)
专题七类比、拓展探究题类型三图形形状变化引起的探究(2019、2019.22)试题演练1. (2019南阳模拟)(1)问题发现如图①，△和△均为等边三角形，点D在边上，连接.请填空：①∠的度数为；②线段、、之间的数量关系为．(2)拓展探究如图②，△和△均为等腰直角三角形，∠＝∠＝90°，点D在边上，连接.请判断∠的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．(3)解决问题如图③，在四边形中，∠＝∠＝90°，＝＝2，＝1，与交于点E，请直接写出线段的长度．第1题图2. 如图所示，(1)正方形及等腰△有公共顶点A，∠＝90°，连接、.将△绕点A 旋转，在旋转过程中，、具有怎样的数量关系和位置关系？结合图①给予证明；(2)将(1)中的正方形变为矩形，等腰△变为△，且＝，＝，其他条件不变．(1)中的结论是否发生变化？结合图②说明理由；(3)将(2)中的矩形变为平行四边形，将△变为△，且∠＝∠＝α，其他条件不变．(2)中的结论是否发生变化？结合图③，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段、的数量关系，用α表示出直线、形成的锐角β.第2题图3. (2019成都10分)问题背景如图①，等腰△中．＝，∠＝120°，作⊥于点D，则D为的中点，∠＝∠＝60°，于是＝2BDAB＝.迁移应用(1)如图②，△和△都是等腰三角形，∠＝∠＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接.ⅰ)求证：△≌△；ⅱ)请直接写出线段，，之间的等量关系式．拓展延伸(2)如图③，在菱形中，∠＝120°，在∠内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，.ⅰ)证明△是等边三角形；ⅱ)若＝5，＝2，求的长．第3题图4. (1)操作发现如图所示，将两个正方形和正方形如图所示放置，连接、.①图中∠＋∠＝；②设△的面积为S1，△的面积为S2，则S1与S2的数量关系为；(2)猜想论证如图②所示，将矩形绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形，连接、，设△的面积为S1，△的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；(3)拓展探究如图③所示，在△中，＝＝10 cm，∠B＝30°，把△沿翻折得到△，过点A作平行交于点D，在线段上存在点P，使△的面积等于△的面积，求的长．第4题图答案试题演练1.解：(1)①60°；【解法提示】∵△和△均为等边三角形，∴＝，＝，∠＝∠＝∠B＝60°，∴∠－∠＝∠－∠，即∠＝∠，∴△≌△()，∴∠＝∠B＝60°；②＝＋，【解法提示】由①得：△≌△，∴＝，∵＝＝＋，∴＝＋；(2)∠＝45°，＝＋，理由是：∵△和△均为等腰直角三角形，∴∠＝∠＝90°，＝，＝，∴∠－∠＝∠－∠，即∠＝∠，∴△≌△，∴＝，∠＝∠B＝45°，∵＝＋，∴＝＋，∵在等腰直角三角形中，＝，∴＝＋；(3).【解法提示】如解图，过点A作的垂线，交的延长线于点F，∵∠＝∠＝90°，＝＝2，＝1，∴＝2，＝，∵∠＝∠＝90°，∴∠＋∠＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠＝∠＝45°，∴△是等腰直角三角形，由(2)得：＝＋，.2.解：(1) ＝，⊥；证明：延长分别交、于点P、G.第2题解图①在正方形和等腰直角△中，＝，＝，∠＝∠＝90°，∴∠＝∠，∴△≌△，∴∠＝∠，＝.∵∠＋∠＝180°，∴∠＋∠＝180°，∵∠＝90°，∴∠＝180°－90°＝90°，∴⊥；(2)＝，⊥.如解图②，延长交于点H，∵＝，＝，∴＝k，＝k，∴＝，∵∠＝∠＝90°，∴∠＝∠，∴△∽△，∴＝＝k，∴＝，∵△∽△，∴∠＝∠，∵∠＋∠＝180°，∴∠＋∠＝180°，∵∠＝90°，∴∠＝180°－90°＝90°，∴⊥.第2题解图②(3)不改变．＝，β＝180°－α.如解图③，延长交的延长线于点H，第2题解图③∵＝，＝，∴＝k，＝k，∴＝，∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴△∽△，∴＝＝k，∴＝.由△∽△得∠＝∠，∵∠＋∠＝180°，∴∠＋∠＝180°，∵四边形的内角和为360°，∴∠＋∠＝180°，∴∠＝α，∠＝β，∴α＋β＝180°，∴β＝180°－α.3. (1)ⅰ)证明：由题意可知：＝，＝，∵∠＝∠，∴∠＝∠，∴△≌△()；ⅱ)解：＝＋.【解法提示】∵＝，∠＝120°，∴＝，∵＝－，∴－＝，由ⅰ)知，△≌△()，∴＝，∴－＝，即＝＋.(2)ⅰ)证明：如解图，连接，过点B作⊥于点G.第3题解图∵点C、E关于对称，∴＝，＝，∠3＝∠4，∠＝∠，在菱形中，∵∠＝120°，＝，∴＝＝，又∵⊥，∴∠1＝∠2，∴∠＝∠2＋∠3＝∠＝60°，∵在四边形中，∠＝360°－∠－∠－∠＝120°，∴∠＝60°，又∵＝，∴△为等边三角形；ⅱ)解：∵＝5，＝2，∴＝＝，＝＝2，∴＝＋＝，∵在△中，∠＝90°，∠＝30°， ∴＝cos30GF ︒＝3. 4. 解：(1)①180°，②S 1＝S 2；【解法提示】①∵四边形、都是正方形，∴∠＝∠＝90°，∵∠＋∠＋∠＋∠＝360°，∴∠＋∠＝180°；②如解图①，过点E 作⊥于M 点，过点G 作⊥交的延长线于N 点，∴∠＝∠N ＝90°，∵四边形和四边形为正方形，∴∠＝∠＝∠＝90°，＝，＝，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3.在△和△中，13EMC GNC EC CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△≌△()，∴＝，又∵S 1＝·，S 2＝·，∴S 1＝S 2； 第4题解图①(2)猜想：S1＝S2，证明：如解图②，过点E作⊥于点M，过点B作⊥交的延长线于点N，第4题解图②∴∠＝∠N＝90°，∵矩形是由矩形旋转得到的，∴＝，＝，∵∠＝∠＝∠＝90°，∴∠1＝90°－∠2，∠3＝90°－∠2，∴∠1＝∠3.在△和△中，∴△≌△()，∴＝，又∵S1＝·，S2＝·，∴S1＝S2；(3)＝或.理由：如解图③，作⊥于点M，延长，交于点N，∵＝＝10 cm，∠＝30°，∴∠＝∠＝30°，∴∠＝120°，根据对折的性质得，∠＝∠＝30°，∵∥，∴∠＝∠＝30°，∴∠＝90°，＝，∴⊥，∵＝∠·，＝10 cm，∴＝30°×10＝，∴＝×＝，∵S△＝·，S△＝·，S△＝S△，＝，∴＝＝，在△中，∠＝30°，＝10 cm，∴＝∠·＝30°×10＝5 cm，∵在上到N的距离等于的点有两个，∴P′C＝，P″C＝，∴的长为或.第4题解图③。
2019年中考数学复习第二部分热点专题突破专题三几何图形的变化与探究试题含解析
专题三几何图形的变化与探究直线型问题1. 直线型问题的计算与证明)例1 (2018，沈阳，导学号5892921)已知△是等腰三角形，＝，0°＜∠≤90°，点M在边上，点N在边上(点M，N不与所在线段端点重合)，＝，连接，，射线∥，延长交射线于点D，点E在直线上，且＝.(1)如图，当∠＝90°时．①求证：△≌△；②求∠的度数；(2)当∠＝α，其他条件不变时，∠的度数是α或180°－α；(用含α的代数式表示)(3)若△是等边三角形，＝3，N是边上的三等分点，直线与直线交于点F，请直接写出线段的长．例1题图【思路分析】(1)①根据证明即可．②根据三角形全等得∠＝∠，结合∥进行角之间的转换即可得∠的度数．(2)根据①的结论，根据与的位置关系分类讨论，结合平行线的性质，得∠与∠的数量关系．(3)根据等边三角形的性质和的长，结合全等三角形与相似三角形的性质，可求出线段的长．(1)①证明：∵＝，＝，∴－＝－，即＝.∵∠＝∠，∴△≌△.②解：由①知△≌△，∴∠＝∠.∵＝，∴∠＝∠.∵∥，∴∠＝∠＝90°，∠＝∠.∴∠＝∠.∴∠＋∠＝∠＋∠.∵∠＋∠＝180°－90°＝90°，∴∠＋∠＝90°.∴∠＝90°.(2)解：α或180°－α(3)解：的长为或4.针对训练1 (2018，邢台三模，导学号5892921)E是正方形的边所在直线上一点，连接，过点A作⊥，且＝，连接交于点G.(1)当点E在边上时，过点F作⊥于点M，连接，，如图①.求证：①△≌△；②四边形是平行四边形；(2)当点E在的延长线上时，如图②，请直接写出，，之间的数量关系．训练1题图【思路分析】(1)①判断出∠＝∠，即可得出结论．②先判断出∥，再判断出＝，即可得出结论．(2)过点F作⊥的延长线于点M.先判断出＝，＝，再判断出△≌△，即可得出结论．(1)证明：①∵∠＝90°，∴∠＋∠＝90°.∵四边形是正方形，∴＝，∠＝90°.∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.∵⊥于点M，∴∠＝90°.∵＝，∴△≌△.②∵∠＝∠＝90°，∴∥.由①知△≌△，∴＝.∵＝，∴＝.∴四边形是平行四边形．(2)解：＝＋.针对训练2 (2018，邯郸二模，导学号5892921)如图①，在等边三角形和等边三角形中，＝2，点P在△的高上(点P不与点C重合)，点D在点P的左侧，连接，.(1)求证：＝；(2)当点P与点E重合时，延长交于点F，请你在图②中作出图形，并求出的长；(3)直接写出线段长度的最小值．训练2题图【思路分析】(1)根据证明两个三角形全等．(2)先根据题意画图，可得＝＝，∠＝30°，再求得∠＝90°，根据特殊角的三角函数值可得的长．(3)先确定最小值时点P的位置，由(1)知△≌△，取的中点M，连接，则＝，长度的最小值就是长度的最小值，利用三角形中位线定理可得结论．(1)证明：∵△是等边三角形，∴＝，∠＝60°.∵△是等边三角形，∴＝，∠＝60°.∴∠＋∠＝∠＋∠.∴∠＝∠.∴△≌△()．∴＝.(2)解：作图如答图．∵△是等边三角形，∴当点P与点E重合时，＝，∠＝60°.∵⊥，∴＝.∴＝.∴∠＝∠＝∠＝30°.∵△是等边三角形，∴∠＝60°.∴∠＝90°.在△中，∵＝2，∠＝，∴＝2· 30°＝.(3)解：.训练2答图2. 直线型问题的变化与探究)例2 (2018，唐山路北区三模，导学号5892921)(1)如图①，△是等腰直角三角形，四边形是正方形，点D，F分别在边，上，请直接写出线段，的数量关系和位置关系；(2)如图②，当正方形绕点A逆时针旋转锐角θ时，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在(2)的条件下，延长交直线于点G.当＝3，＝，θ＝45°时，直接写出线段的长．例2题图【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可．(2)根据△是等腰直角三角形，四边形是正方形，易证得△≌△.根据全等三角形的性质得＝，∠＝∠，进而证明出⊥.(3)根据正方形和等腰直角三角形的性质利用相似三角形的判定和性质解答即可．解：(1)＝，⊥.(2)成立．证明：如答图，延长，分别交直线，于点M，G.∵△是等腰直角三角形，四边形是正方形，∴＝，＝，∠＝∠＝90°.∵∠＝∠－∠，∠＝∠－∠，∴∠＝∠.在△和△中，∴△≌△()．∴＝，∠＝∠.∵∠＝∠，∴∠＝∠＝90°.∴⊥.(3)＝.例2答图针对训练3 (2018，廊坊模拟，导学号5892921)如图，在△中，＝5，＝9，S△＝18，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒5个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段上由点C向点A运动，当点Q运动到点A时，P，Q 两点同时停止运动．以为边作正方形(P，Q，E，F按逆时针排序)．设点P运动时间为t s.(1)求A的值；(2)若正方形的面积为17，求出t的值；(3)当t为何值时，正方形有三个顶点落在△的边所在直线上？请直接写出t的值．训练3题图【思路分析】(1)过点B作⊥于点M.利用三角形面积公式求出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．(2)在△中，利用2＝2＋2，构建方程即可解决问题．(3)分四种情形分别求解即可解决问题．解：(1)如答图，过点B作⊥于点M.∵·＝18，∴＝4.∴在△中，＝＝3.∴A＝＝.(2)如答图，过点P作⊥于点N.∴∥.∴△∽△.∴＝＝.∴＝＝.∴＝3t，＝4t.∴＝－－＝9－8t.∵在△中，2＝2＋2，∴(9－8t)2＋(4t)2＝17.解得t＝1或t＝.∴当t为1或时，正方形的面积为17.(3)当t为或或时，正方形有三个顶点落在△的边所在直线上．训练3答图与圆有关的问题1. 与圆有关的计算与证明)例3 (2018，石家庄新华区二模，导学号5892921)如图，过半径为2的⊙O外一点P，作⊙O的切线，切点为A，连接，交⊙O于点C，过点A作⊙O的弦，使∥，连接，.(1)当C是的中点时．①求证：四边形是平行四边形；②求△的面积；(2)当＝2时，请直接写出的长度．例3题图【思路分析】(1)①连接，，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证．②过点O作⊥，垂足为E.由∥，得△的面积与△的面积相等，求出△的面积即可．(2)先判断△为等腰直角三角形，再证四边形为平行四边形，最后求出的长．(1)①证明：如答图，连接，，则有＝＝.∵是⊙O的切线，∴⊥.∵C是的中点，∴＝＝.∴＝.∴在△中，∠＝＝.∴∠＝30°.∴∠＝60°.∵∥，∴∠＝∠＝60°.∴△是等边三角形．∴＝.∴＝.∴四边形是平行四边形．②解：如答图，过点O作⊥，垂足为E.在△中，＝· 60°＝2×＝.∴S△＝·＝×2×＝.∵∥，∴S△＝S△＝.(2)解：＝2－2.例3答图针对训练4 (2018，邯郸模拟，导学号5892921)如图①，点O在线段上(不与端点A，B重合)，以点O为圆心，的长为半径画弧，线段与这条弧相切于点P，直线垂直平分线段，交于点C，交于点D，在射线上截取，使＝.已知＝6，设＝r.(1)求证：∥；(2)当∠＝30°时，求扇形的面积，并证明四边形是菱形；(3)过点O作⊥于点F，如图②所示，线段的长度是否随r的变化而变化？若不变，直接写出的值；若变化，直接写出与r的关系．训练4题图【思路分析】(1)由为⊙O的切线知⊥，结合⊥即可得证．(2)由∠＝90°，∠＝30°得∠＝120°.根据＝求得r＝2，利用扇形的面积公式计算可得．证△是等边三角形得＝，结合⊥知＝，据此得与互相垂直平分，从而得证．(3)证△∽△得＝＝＝，据此知＝＝r，＝＝(6－r)＝3－r.根据＝知＝3－r，再证四边形为矩形得＝＝r，由＝＋可得答案．(1)证明：∵为⊙O的切线，∴⊥.∵⊥，∴∥.(2)解：∵在△中，∠＝90°，∠＝30°，∴∠＝120°.∵在△中，＝，∴r＝(6－r)．解得r＝2.∴S扇形＝＝.∵⊥，∠＝30°，∴∠＝60°.∵＝，∴△是等边三角形．∴＝.∵⊥，∴＝.∵直线垂直平分线段，∴与互相垂直平分．∴四边形是菱形．(3)解：线段的长度不随r的变化而变化，且＝3.针对训练5 (2013，河北，导学号5892921)如图，在△中，＝＝10，∠＝80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交，于点M，N.(1)点P在右半弧上(∠是锐角)，将绕点O逆时针旋转80°得′.求证：＝′；(2)点T在左半弧上，若与弧相切，求点T到的距离；(3)设点Q在优弧上，当△的面积最大时，直接写出∠的度数．训练5题图【思路分析】(1)首先根据已知得出∠＝∠′，进而得出△≌△′，即可得出答案．(2)连接，过点T作⊥于点H.利用切线的性质得出∠＝90°，再利用勾股定理求出的长，进而得出的长．(3)当⊥时，△的面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．(1)证明：∵∠＝∠＋∠＝80°＋∠，∠′＝∠′＋∠＝80°＋∠，∴∠＝∠′.在△和△′中，∴△≌△′()．∴＝′.(2)解：如答图，连接，过点T作⊥于点H.∵与弧相切，∴∠＝90°.∴＝＝＝8.∵·＝·，∴×10·＝×8×6.解得＝，即点T到的距离为.(3)解：当∠的度数为10°或170°时，△的面积最大．训练5答图2. 与圆有关的变化与探究)例4 (2015，河北，导学号5892921)平面上，矩形与直径为的半圆K按图①摆放，分别延长和交于点O，且∠＝60°，＝＝3，＝2，＝＝1.让线段与矩形的位置固定，将线段连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．【发现】(1)当α＝0°，即初始位置时，点在直线上(填“在”或“不在”)．求当α是多少时，经过点B；(2)在旋转过程中，求α是多少时，点P，A之间的距离最小，请指出这个最小值；(3)如图②，当点P恰好落在边上时，求α与S阴影．【拓展】如图③，当线段与边交于点M，与边交于点N时，设＝x(x>0)，用含x的代数式表示的长，并求x的取值范围．【探究】当半圆K与矩形的边相切时，求α的值．例4题图【思路分析】【发现】(1)利用三角函数可以确定出点P在直线上．当经过点B时，在△中，＝，利用等边对等角得出∠＝45°，从而得出结论．(2)连接，在旋转过程中，有＋≥，利用三角形三边关系可以得出当α＝60°时，＋＝，此时最小，最小值为1.(3)过点P作⊥于点H，在△中，利用三角函数可以求出∠＝30°，所以α＝60°－30°＝30°.设半圆K与的交点为R，连接，有S ＝S扇形＋S△，从而得出结论．【拓展】由∥，得△∽△，利阴影用对应边成比例可以求出的长．当点Q落在上时，x取得最大值，作⊥于点F，利用勾股定理可以求出的长，进一步求出x的最大值．【探究】半圆K与矩形的边相切，有三种情况：①半圆K与边相切；②半圆K与边相切；③半圆K与边相切．解：【发现】(1)在当经过点B时，在△中，＝，∴∠＝∠＝45°.∴α＝60°－45°＝15°.(2)如答图①，连接，有＋≥，当过点A，即α＝60°时，取等号，∴≥－＝2－1＝1.∴当α＝60°时，点P，A间的距离最小，最小值为1.(3)如答图①，设半圆K与的交点为R，连接，过点P作⊥于点H，过点R作⊥于点E.在△中，＝＝1，＝2，∴∠＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.∵∥，∴∠＝∠＝30°.∴∠＝2×30°＝60°.∴S扇形＝＝.在△中，＝· 60°＝，∴S△＝·＝.∴S阴影＝＋.【拓展】∵∥，∴△∽△.∴＝，即＝.∴＝.如答图②，当点Q落在上时，x取得最大值，作⊥于点F.此时＝＝－＝－1＝2－1.∴x的取值范围是0＜x≤2－1.【探究】半圆K与矩形的边相切，分三种情况．①如答图③，当半圆K与边相切于点T时，设直线与和的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠＝∠＝90°.作⊥′于点G.在△中，＝＝＝2.在△′中，′＝·60°＝2，∴′＝2－.在△′中，∠O′＝30°，∴＝′＝－.∴在△中，α＝＝＝.②如答图④，当半圆K与边相切于点T时，同①可得α＝＝＝＝＝＝.③当半圆K与边相切时，点Q与点D重合，且为切点．∴α＝60°.∴α＝60°＝.综上所述，α的值为或或.例4答图针对训练6 (2016，河北，导学号5892921)如图，半圆O 的直径＝4，以长为2的弦为直径，向点O方向作半圆M，其中点P在弧上且不与点A重合，但点Q可与点B重合．【发现】弧的长与弧的长之和为定值l，求l.【思考】点M与间的最大距离为，此时点P与点A间的距离为2 ；点M与间的最小距离为（），此时半圆M的弧与所围成的封闭图形的面积为（－）.【探究】当半圆M与相切时，求弧的长．训练6题图35°＝63，55°＝33))【思路分析】【发现】用弧长公式求得弧，进而求得l.【思考】当∥时，点M到的距离最大，当点Q与点B重合时，点M 到的距离最小．【探究】分两种情况：(1)切点在上；(2)切点在上．解：【发现】如答图①，连接，，则＝＝＝2.∴∠＝60°.∴弧的长为＝.∴l＝π·4－＝.【思考】 2 －【探究】半圆M与相切，分两种情况．①如答图②，当半圆M与相切于点T时，连接，，，则⊥，⊥.在△中，∠＝，∴∠＝30°，＝.在△中，＝＝，∴∠＝＝，即∠＝35°.∴∠＝35°－30°＝5°.∴弧的长为＝.②如答图③，当半圆M与相切于点S时，连接，，.由对称性，得弧的长为.由l＝，得弧的长为－＝.综上所述，弧的长为或.训练6答图。
探究与图形变化有关的几何问题ppt课件
证明．
C
D
M
F N
B
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E
A
Q
P
9
（3）如图，若将原题中的“正方形”
改为“矩形”，且AB = mBC，其他 条件不变，探索线段ME 与线段MF
的关系，并说明理由．
C
MF = mME
D
M
E Q
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B
F
A
N
P
10
（4）根据前面的探索和下图，能 否将本题推广到一般的平行四边 形情况？若能，写出推广命题； 若不能，请说明理由．
CE.
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4
（1）如图，当点D在线段BC上， 如果∠BAC =90°，则∠BCE
= 90°.
A
E
B
D
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C
5
（2）设∠BAC =，∠BCE = ，
①如图，当点D在线段BC上移动，
则 与 之间有怎样的数量关系？
请说明理由； A
+ =180°
B
D
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E
C
6
②如图，当点D在直线BC上移动，
条件不变，发现仍然有“EF⊥AE ”的
结论. 你同意小明的观点吗？请结合图 形说明理由.
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练习2．已知：∠MAN ，AC 平分 ∠MAN ． ⑴如图，若∠MAN ＝120°， ∠ABC = ∠ADC= 90° ，
则AB＋ AD AC．
（填写“＞”，“＜”，“＝”）
M C
D
N
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如图正方形abcd和正方形qmnpm是正方形abcd的对称中心mn交abqm交ad2如图若将原题中的正方形改为菱形其他条件不变探索线段me与线段mf的关系并加以证明
《从三个方向看物体的形状》专题训练
1.4 从三个方向看物体的形状专题一 简单几何体的三视图1．由四个大小相同的正方体组成的几何体如左图所示，那么它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．图1是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）3．下图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是俯视图 图1Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 1 2 3俯视图左视图主视图（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知一个物体由x个相同的正方体堆成，它的主视图和左视图如下图所示，那么x的最大值是（）A．13 B．12 C．11 D．105．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是．6．如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是．（只需填上一个立体图形）7．长方体的主视图和左视图如图所示（单位：cm），则其俯视图的面积是cm2．8．已知下图为一几何体从不同方向看得到的图形：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出这个几何体的一种表面展开图；（3）若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积．状元笔记：【知识要点】1．能识别简单物体的三种视图，会画一个简单几何体的三视图．2．根据一个几何体的三视图想象几何体的构成．【温馨提示】一般情况下，几何体的三种视图不同，但特殊几何体的三种视图可能出现同一种图形，如正方体的三种视图都是正方形，球体的三种视图都是圆．也有的几何体三种视图中有两种视图是同一种图形，如圆柱的主、左视图都是长方形，俯视图是圆．已知几何体的两种视图，应注意第三种视图可能有多种情况．【方法技巧】按照“长对正，高平齐，宽相等”的原则画出几何体的三视图；根据三种视图确定几何体的形状，关键是“读图”．参考答案：1．B 解析：该几何体由四个小正方体组成，第一行有3个小正方体，故它的俯视图为B．2．B解析：从俯视图可以看出从左到右共有2列，第一列有二排，前排摆放2个小正方体，后排摆放1个小正方体，第二列前排摆放3个小正方体，所以主视图从左到右应该画2列，第一列有2个小正方形，第二列有3个小正方形，符合要求的是B．3．B解析：解决此种类型题的一般思路是由三种视图想象出实际几何体，然后再确定个数，符合要求的是B．4．C解析：通过主视图和左视图，画出小正方体最多时的俯视图，通过俯视图得出小正方体最多时的个数，从俯视图上标注的数字来看，最多可由11个小正方体搭成．5．三棱柱解析：该几何体的主视图为矩形，左视图亦为矩形，俯视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．6．长方体（答案不唯一）解析：从正面看是矩形的几何体可能是圆柱体或者长方体等．7．12解析：易得长方体的长为4，宽为3，所以俯视图的面积=4×3=12（cm2）．8．解：（1）正三棱柱．（2）（3）侧面积＝3×10×4=120（cm2）．。
从三个方向看物体的形状 练 习题
从三个方向看物体的形状一、选择题。
1、如图所示的4个立体图形中，从正面看到的形状是四边形的个数是( )A．1 B．2 C．3D．42、一个几何体从不同方向看到的形状如图所示，则这个几何体是（ ）A．棱柱 B．球C．圆柱 D．圆锥3、物体的形状如图所示，则从上面看此物体的形状图是（ ）4、甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是（ ）A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边5、如图是由一些相同的小正方体构成的立体图形的从三个方向看到的形状图，这些相同的小正方体的个数是（ ）从上面看 从左面看 从上面看A.4B.5C.6D.76.下图是几个小立方块所搭几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数。
这个几何体从正面看到的形状图是( )7、下图是由相同小正方形搭的几何体的从上面看到的形状图（小正方形中所标的数字表示在该位置上小正方体的个数），则这个几何体从左面看到的形状图是（ ）132211A． B． C． D．二、填空题。
1、如果一个几何体的三视图都是正方形则该几何体是_______。
2、从正面、左面、上面看到的形状图都一样的几何体有________(写出一种即可)。
3、如图两个图形分别是某个几何体从上面和正面看到的形状图，则该几何体是________．从上面看 从正面看4.一个几何体有若干个大小相同的小立方块搭成，下图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用_______块小立方块搭成的，最多要____个立方块.从正面看 从上面看5.一个几何体有若干个大小相同的小立方块搭成，下图分别是从它的正面、上面看到的形状图，该几何体至少是用_______块小立方块搭成的，最多要____个立方块.从正面看 从上面看6、用小立方块搭一几何体，使得它从正面和上面看到的形状图如图所示，这样的几何体最少要_____个立方块，最多要____个立方块.从正面看 从上面看7.一个小立方块六面分别标有字母A、B、C、D、E、F，如图是从三个不同方向看到的情形，写出A、B、E对面分别是什么字母：A的对面是 ；B的对面是 ；E的对面是 。
中考数学规律问题图形变化类专题练习(解析版)
中考数学规律问题图形变化类专题练习(解析版)一、规律问题图形变化类1．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（ ）A ．61B ．62C ．63D ．652．如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（ ）A ．()23n -个交点B ．()36n -个交点C ．()410n -个交点D ．()112n n -个交点 3．下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第⑨个这样的图案黑色棋子的个数是（ ）A ．148B ．152C ．174D ．2024．观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，按此规律第8个图中共有点的个数是（ ）个A ．108B ．109C ．110D ．1125．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（ ），第2020个“五边形数”的奇偶性为（ ）A ．533；偶数B ．590；偶数C ．533；奇数D ．590；奇数6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形和1个正方形，第②个图案有7个三角形和2个正方形，第③个图案有10个三角形和3个正方形，⋯依此规律，如果第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个，则n =（ ）A ．504B ．505C ．506D ．5077．如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．2220202D ．2，201928．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．1289．携带着2公斤珍贵月壤的嫦娥五号返回器于2020年12月17日凌晨1时32分，降落在内蒙古市四子王旗，实现了中国版的“空间跳跃”.在科幻电影《银河护卫队》中，星际之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成，如图所示，两个星球之间的路径只有一条，三个星际之间的路径有3条，四个星际之间的路径有6条，...，按此规律，则10个星际之间的路径有（ ）A ．45条B ．21条C ．42条D ．38条10．如图，点Q 在线段AP 上，其中10PQ =，第一次分别取线段AP 和AQ 的中点1P ，1Q 得到线段11PQ ；再分别取线段1AP 和1AQ 的中点2P ，2Q 得到线段22P Q ；第三次分别取线段2AP 和2AQ 的中点3P ，3Q 得到线段33PQ ；连续这样操作11次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和1122331111PQ P Q PQ P Q ++++=（ ）A ．1010102-B ．1110102-C ．1010102+D ．1110102+11．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A ．448B ．452C ．544D ．60212．“科赫曲线”是瑞典数学家科赫1904构造的图案（又名“雪花曲线”）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段，得到边数为12的图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到边数为48的图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（ ）A ．192B ．243C ．256D ．76813．把圆形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（ ）A ．42B ．54C ．55D ．5614．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是（ ）A ．(12)2017B ．(12)2018C ．(33)2019 D ．(33)2020 15．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，⋯按此规律作下去，若11A B O a ∠=，则20202020A B O ∠=（ ）A ．20202a B ．20192aC ．4040aD ．4038a16．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）A ．2018(3)倍B ．2019(3)倍C ．2020(3)倍D ．2021(3)倍17．如图，已知点A 1，A 2，…，A 2011在函数2y x 位于第二象限的图象上，点B 1，B 2，…，B 2011在函数2yx 位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，…，C 2011在y 轴的正半轴上，若四边形 111OA C B 、1222C A C B ，…， 2010201120112011C A C B 都是正方形，则正方形2010201120112011C A C B 的边长为（ ）A ．2010B ．2011C ．20102D ．2011218．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（ ）A ．振B ．兴C ．中D ．华19．观察下列一组图形，第①个图形有3个小圆圈，第②个图形有5个小圆圈，第③个图形有9个小圆圈，第④个图形有15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为（）A．59 B．75 C．81 D．9320．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中图①有3张黑色正方形纸片，图②有5张黑色正方形纸片，图③有7张黑色正方形纸片…按此规律排列下去，图⑩中黑色正方形纸片的张数为（）A．17 B．19 C．21 D．2321．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2015=（）A．22013B．22014C．22015D．2201622．用棋子按下列方式摆图形，第一个图形有1枚棋子，第二个图形有5枚棋子，第三个图形有12枚棋子，…依此规律，第7个图形比第6个图形多（）枚棋子A．20 B．19 C．18 D．1723．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（ ）A ．14B ．116C ．132D ．16424．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A ，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭25．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n 个图形中有（ ）个三角形（用含n 的代数式表示）．A ．4nB ．41n +C ．41n -D ．43n -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、规律问题图形变化类 1．A 【分析】根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决． 【详解】解：由图可得， 第一个图有1个蜂巢， 第二个图有1+6×1＝7个蜂巢， 第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢， …，则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61， 故选：A ． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数． 2．D 【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n - 【详解】解：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交有1+2=3个交点； 4条直线相交有1+2+3=6个交点； 5条直线相交有1+2+3+4=10个交点； 6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点； …n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=()112n n - 故选：D 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点． 3．A 【分析】观察各图可知，第①个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第②个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第③个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第④个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个），所以第⑨个图案需要的个数只需将n=9代入即可． 【详解】解：由图知第①个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）； 第②个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）； 第③个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；第④个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）； …第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个） ∴第⑨个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11)×2+2×8=148（个） 故选A ． 【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律． 4．B 【分析】由图可知：其中第1个图中共有1+1×3=4个点，第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点，第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…，由此规律得出第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n 3(1)12n n +=+个点，然后依据规律解答即可． 【详解】解：第1个图中共有1+1×3=4个点， 第2个图中共有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图中共有1+1×3+2×3+3×3=19个点， …第n 个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n=13(123)n ++++⋯+3(1)12n n +=+个点， ∴第8个图中共有点的个数38(81)11092⨯+=+=个， 故选B. 【点睛】此题考查图形的变化规律，根据图形得出数字之间的运算规律是解题的关键． 5．B 【分析】根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性． 【详解】解：第1个“五边形数”为1=2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5=2312222⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22=2314422⨯-⨯，第5个“五边形数”为35= 2315522⨯-⨯， ···由此可发现：第n 个“五边形数”为23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022⨯-⨯=590， 当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122n n -是偶数，故选：B ． 【点睛】本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键． 6．B 【分析】根据图形的变化规律、正方形和三角形的个数可发现第n 个图案有31n +个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有41n +个，进而可求得当412021n +=时n 的值． 【详解】解：∵第①个图案有4个三角形和1个正方形，正三角形和正方形的个数共有5个； 第②个图案有7个三角形和2个正方形，正三角形和正方形的个数共有9个； 第③个图案有10个三角形和3个正方形，正三角形和正方形的个数共有13个； 第④个图案有13个三角形和4个正方形，正三角形和正方形的个数共有17个；∴第n 个图案有()43131n n +-=+个三角形和n 个正方形，正三角形和正方形的个数共有3141n n n ++=+个∵第n 个图案中正三角形和正方形的个数共有2021个 ∴412021n += ∴505n =． 故选择：B 【点睛】本题考查了图形变化类的规律问题、利用一元一次方程求解等，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 7．A 【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出22A B 的长，再进一步推出一般规律，利用规律求解20212021OA B 的面积即可． 【详解】由题意可得：11OA AB AB ===，12OB =，∵11OA B 为等腰直角三角形，且“直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系”，∴根据题意可得：1112OA A B ==， ∴21222OB OA ==， ∴()222222OA A B ===，， ∴总结出()2nn OA =，∵111122△OAB S =⨯⨯=，1112212△OA B S =⨯⨯=，2212222△OA B S =⨯⨯=， ∴归纳得出一般规律：()()112222n nnnn OA B S -=⨯⨯=，∴2021202120202OA B S=，故选：A ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三角形的性质归纳一般规律是解题关键． 8．C 【分析】根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案． 【详解】 如图，∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°， ∵∠MON=30°， ∴∠MON=∠1=30°， ∴OA 1=A 1B 1=1， ∴A 2B 1= A 1A 2=1， ∵△A 2B 2A 3是等边三角形， 同理可得：OA 2=B 2A 2=2，同理；OA3=B3A3=224=，OA4=B4A4=328=，OA5=B5A5=4216=，…，以此类推：所以OA7=B7A7=6264=，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA2=B2A2=2，OA3=B3A3=224=，OA4=B4A4=328=，…进而发现规律是解题的关键．9．A【分析】设n个星球之间的路径有a n条（n为正整数，且n≥2），观察图形，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，可得出变化规律“a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”，再代入n=10即可求出结论．【详解】解：设n个星球之间的路径有a n条（n为正整数，且n≥2）．观察图形，可知：a2=12×2×1=1，a3=12×3×2=3，a4=12×4×3=6，…，∴a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2），∴a10=12×10×9=45．故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中星球之间“空间跳跃”的路径的条数的变化，找出变化规律“a n=12n（n-1）（n为正整数，且n≥2）”是解题的关键．10．B【分析】根据线段中点定义先求出P1Q1的长度，再由P1Q1的长度求出P2Q2的长度，从而找到P n Q n 的规律，即可求出结果．【详解】解：∵线段PQ=10，线段AP和AQ的中点P1，Q1，∴P1Q1=AP1-AQ1=12AP-12AQ=12（AP-AQ）=12PQ =12×10 =5．∵线段AP 1和AQ 1的中点P 2，Q 2； ∴P 2Q 2=AP 2-AQ 2 =12AP 1-12AQ 1 =12（AP 1-AQ 1） =12P 1 Q 1 =12×12×10 =212×10 =52． 发现规律：P n Q n =12n ×10 ∴P 1Q 1+P 2Q 2+…+P 11Q 11=12×10+212×10+312×10+…+1112×10 =10（12+212+312+…+1112） =10（1111212 ）=10（1-1112） =10-11102 故选：B ． 【点睛】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度． 11．C 【分析】观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个），所以第20个图案需要的个数只需将n=20代入即可． 【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）； 第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）； 第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）； 第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）； …第n 个图案需要的个数为()(){}1231[]222n n +++⋯++⨯+-（个） ∴第20个图案需要的个数为(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（个） 故选C ． 【点睛】本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律． 12．D 【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数． 【详解】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41＝12； 操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42＝48； 操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43＝192； 所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44＝768； 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了规律题型图形变化类，准确判断计算是解题的关键． 13．C 【分析】根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解 【详解】解：第①个图案中有0+12=1个圆形， 第②个图案中有1+22=5个圆形， 第③个图案有2+32=11个圆形， 第④个图案有3+42=19个圆形， 第n 个图案有（n -1）+n 2个圆形， ∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55 故选：C ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．14．C 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角形函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠∠B 1C 1O =60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3， ∴D 1E 1=B 2E 2，D 2E 3=B 3E 4，∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°， ∴D 1E 1=C 1D 1sin 30°=12，则B 2C 2=22cos30B E ︒1=⎝⎭，同理可得：B 3C 3=213=⎝⎭，故正方形A n B n C n D n 的边长是：1n -⎝⎭，则正方形A 2020B 2020C 2020D 2020的边长是：20193⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数，根据已知条件推导出正方形的边长与序号的变化规律是解题的关键． 15．B 【分析】根据等腰三角形两底角相等结合三角形外角性质用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论． 【详解】解：1212B A B B =，11A B O α∠=， 22111122A B O A B O α∴∠=∠=，同理3322211112222A B O A B O αα∠=∠=⨯=，∴44312A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=， 2020202020192A B O α∴∠=，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，和三角形外角性质,图形的变化规律，依次求出每个三角形的一个底角，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键． 16．C 【分析】先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC 判断出△ABC 的形状及∠2的度数，求出AB 的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长． 【详解】∵此六边形是正六边形，∴∠1=180°-120°=60°，AD=CD=BC ，∴△BCD 为等边三角形， ∴BD=12AC ， ∴△ABC 是直角三角形又∵BC=12AC ， ∴∠2=30°，∴33CD ，同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的23)倍， ，∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的20203)倍． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键． 17．D 【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形， ∴OB 1与y 轴的夹角为45°， ∴OB 1的解析式为y=x 联立2{y x y x ==，解得00x y ==⎧⎨⎩或11x y =⎧⎨=⎩，∴点B1（1，1），OB1=∵OA1C1B1是正方形，∴OC1OB1，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1B2的解析式为y=x+2，联立22{y xy x=+=，解得1{1xy=-=或24xy=⎧⎨=⎩，∴点B2（2，4），C1B2=，∵C1A2C2B2是正方形，∴C1C2C1B2=4，∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，联立26{y xy x=+=，解得，2{4xy=-=或3{9xy==，∴点B3（3，9），C2B3=，…，依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=故选：D【点睛】本题考查二次函数综合题．18．A【分析】找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得．【详解】由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，因为20204505÷=，所以数2020对应的字是“振”，故选：A．【点睛】本题考查了图形变化的规律型问题，正确找出一般规律是解题关键．19．B【分析】根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，可知第n个图形中小圆圈的个数为3+(n-1)×n．【详解】解：根据第②个图形有3+1×2=5个小圆圈，第③个图形有3+2×3=9个小圆圈，第④个图形有3+3×4=15个小圆圈，…，按此规律排列下去，第9个图形中小圆圈的个数为3+8×9=75，故选：B．【点睛】本题考查了图形变化规律，根据图形中小圆圈的增长变化特点，找到变化规律是解题关键．20．C【分析】设第n（n为正整数）个图形有a n张黑色正方形纸片，根据各图形中黑色正方形纸片张数的变化，可找出变化规律“a n=2n+1”，再代入n=10即可求出结论．【详解】解：设第n（n为正整数）个图形有a n张黑色正方形纸片．观察图形，可知：a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1，…，∴a n=2n+1，∴a10=2×10+1=21．故选：C．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中黑色正方形纸片张数的变化，找出变化规律“a n=2n+1”是解题的关键．21．B【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1，a3=4a1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1， 以此类推：a 2015=22014． 故选B ．【点睛】根据已知得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16a 1…进而发现解题规律 22．B 【详解】试题分析：设第n 个图形的棋子数为Sn ， 则第1个图形，S 1＝1；第2个图形，S 2＝1+4，S 2－S 1=4＝3×1+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7；S 3－S 2=7＝3×2+1； 第3个图形，S 3＝1+4+7+10；S 4－S 3＝10=3×3+1； ……∴第n 个图形比第（n －1）个图形多()3n 113n 2-+=-棋子. ∴第7个图形比第6个图形多372=19⨯-棋子. 故选B.考点：探索规律题（图形的变化类）. 23．D 【分析】易得第二个菱形的面积为（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n 个菱形的面积为（12）2n-2，把n=4代入即可． 【详解】解：已知第一个菱形的面积为1； 则第二个菱形的面积为原来的（12）2， 第三个菱形的面积为（12）4， 依此类推，第n 个菱形的面积为（12）2n-2， 当n=4时，则第4个菱形的面积为（12）2×4-2=(12)6=164．故选：D ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 24．A 【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】 解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+， 设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形，2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到： 21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【点睛】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律． 25．D 【分析】由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n 个图形三角形的个数． 【详解】 解：由题意得：第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个， 第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个， 第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个， ……∴第n 个图形三角形的个数为()43n -个； 故选：D ．【点睛】本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可．。
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类型3 与图形形状变化相关的探究题
1.(2017成都)问题背景:如图(1),等腰三角形ABC 中,AB=AC ,∠BAC=120°,作AD ⊥BC 于点D ,则D 为BC 的中点,∠BAD=12∠BAC=60°,于是BC AB =2BD AB
= 3;
图(1)
迁移应用:如图(2),△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=120°,D ,E ,C 三点在同一条直线上,连接BD.
图(2)
①求证:△ADB ≌△AEC ;
②请直接写出线段AD ,BD ,CD 之间的等量关系式;
拓展延伸:如图(3),在菱形ABCD 中,∠ABC=120°,在∠ABC 内作射线BM ,作点C 关于BM 的对称点E ,连接AE 并延长交BM 于点F ,连接CE ,CF.
图(3)
①求证:△CEF 是等边三角形;
②若AE=5,CE=2,求BF 的长.
2.(2017盐城)【探索发现】
如图(1),是一张直角三角形纸片,∠B等于90°,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE,EF剪下时,所得到的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.
图(1)图(2)
图(3)
【拓展应用】
如图(2),在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P,N分别在边AB,AC上,顶点Q,M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.(用含a,h的代数式表示)
【灵活应用】
如图(3),有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B 为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.
【实际应用】
,木匠如图(4),现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tan B=tan C=4
3
徐师傅从这块余料中裁出了顶点M,N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.。