2019-2020新人教B版数学选修1-2 章末综合测评4
高二数学(人教B版)选修2-1单元 第2章综合素质检测
第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．双曲线x 2m －y2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38 C.163D.83[答案] A[解析] 依题意，e ＝m ＋n m＝2，c ＝1，即：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，1m ＝2，解得m ＝14，n ＝34，mn ＝316，选A.2．与抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B ．(116，0) C ．(－1,0)D ．(0，－116) [答案] C[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0，对称的曲线为y 2＝－4x ，其焦点为(－1,0)．3．过点C (4,0)的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支交于A 、B 两点，则直线AB 的斜率k的取值范围是( )A ．|k |≥1B ．|k |> 3C ．|k |≤ 3D ．|k |<1[答案] B[解析] 如图所示，l 1平行于y ＝3x ，l 2平行于y ＝－3x ，由图可看出，当过C 由l 1位置逆时针方向转到l 2位置之间的直线与双曲线x 24－y 212＝1的右支都有两个交点，此时k >3或k <－ 3.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 的椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±22D ．±34[答案] A[解析] 由条件可得F 1(－3,0)，PF 1的中点在y 轴上，∴P 点坐标(3，y 0)．又P 在x 212＋y 23＝1的椭圆上得y 0＝±32.∴M 在坐标⎝⎛⎭⎫0，±34，故选A. 5．已知|AB →|＝3，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动；O 为原点，若OP →＝13OA →＋23OB →，则点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y24＝1C.x 29＋y 2＝1D ．x 2＋y 29＝1[答案] A[解析] 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由题知(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，∴x 0＝32，y 0＝3y ，又∵|AB →|＝3，∴x 20＋y 20＝9， ∴x 24＋y 2＝1即为点P 的轨迹方程． 6．如图，在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程：x 21a 2＋y 21b 21，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b 1a >0，所以由椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，则D 选项正确．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图形关于x 轴对称；排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴上，故选D.7．(2010·天津理，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上．则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236 1D.x 227－y 29＝1 [答案] B[解析] 由题易知ba ＝3①且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)， 则由a 2＋b 2＝36②由①②知：a ＝3，b ＝33， ∴双曲线方程为x 29－y227＝1，故选B.8．F 1，F 2是椭圆的两个焦点，A 是椭圆上任一点，过任何一焦点向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为P ，则P 点的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 如图所示：∠BAF 1为外角，AP 为外角角平分线l 所在直线 设长轴长为2a (a >0)，∠BAF 1＝∠CAF 2， ∴AP 平分∠CAF 2，延长F 2P 交F 1A 于C ， ∴C 、F 2关于P 对称，∴AC ＝AF 2. 设F 2为(c,0)，F 1为(－c,0)，P 为(x ，y )， ∴c 为(2x －c,2y )∵AC ＝AF 2，AF 2＋AF 1＝2a ， ∴F 1C ＝2a ，即4x 2＋4y 2＝4a 2， ∴轨迹为圆，选A.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝6xD ．y 2＝42x[答案] B[解析] 如图，∵AF →＝FB →，|FD →|＝p ，∴|AC |＝2p ，∴|AF |＝|FB |＝2p ， 又BA →·BC →＝48， ∴|BC |2＝48，∴在Rt △ABC 中，(4p )2－(2p )2＝48， ∴p ＝2，∴y 2＝4x .10．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b 2＋c )2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．(55，35)B ．(25，55) C ．(25，35)D ．(0，55) [答案] A[解析] 要保证椭圆与圆的4个交点，只要保证圆的半径b <b2＋c <a 即可．⎩⎨⎧b <b 2＋c b2＋c <a⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b <b ＋2c b ＋2c <2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2c >b ， ①2(a －c )>b . ②由①得4c 2>b 2＝a 2－c 2,5c 2>a 2，c 2a 2>15，e 2>15，e >55，由②得4(a 2＋c 2－2ac )>b 2＝a 2－c 2，得3a 2－8ac ＋5c 2>0，两边同除以a 2，得5e 2－8e ＋3>0，(e －1)(5e －3)>0，e >1(舍去)或e <35则55<e <35. 11．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于点P 1，P 2，线段P 1P 2的中点设为P ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值等于( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12[答案] D[解析] 设直线l 的方程y ＝k 1(x ＋2)将y ＝k 1(x ＋2)代入x 2＋2y 2＝2中得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x＋8k 21－2＝0.设P (x 0，y 0)则x 0＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21∴k 2＝y 0－0x 0－0＝－12k 1∴k 1k 2＝－12k 1·k 1＝－12.故选D.12．B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头， 向B 、C 两地运转货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(7＋1)a 万元B ．(27－2)a 万元C ．27a 万元D ．(7－1)a 万元[答案] B[解析] 设总费用为y 万元，则y ＝a ·(MB ＋MC )∵河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ， ∴曲线PG 是双曲线的一支，B 为焦点，且a ＝1，c ＝2.由双曲线定义，得MA －MB ＝2a ，即MB ＝MA －2， ∴y ＝a ·(MA ＋MC －2)≥a ·(AC －2)．以直线AB 为x 轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－2,0)，C (3，3)． ∴AC ＝(3＋2)2＋(3)2＝27， 故y ≥(27－2)a (万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为3π4的直线，与抛物线交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，则△POQ 的面积等于________．[答案] 2 2[解析] 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，F 为抛物线焦点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x －1)，y 2＝4x ，得y 2＋4y －4＝0，|y 1－y 2|＝42＋42＝42，S △POQ ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝2 2.14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________． [答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)， ∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2， ∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)， 即2x －y －15＝0.15．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程是________．[答案] (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)[解析] 设A (x ，y )，则D (x 2，y2)，由|CD |＝3和两点间距离公式求得方程，同时结合图形，除去A ，C ，D 三点共线的情况．16．下列四个关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA →|－|PB →|＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定点C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若OP →＝12(OA →＋OB →)，则动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________．[答案] ③④三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，解得：a 2＝14，b 2＝34. ∴所求双曲线方程为 4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知定点A (a,0)，其中0<a <3，它到椭圆x 29＋y 24＝1上点的距离的最小值为1，求a 的值．[解析] 设椭圆上任一点为P (x ，y )(－3≤x ≤3)，则|PA |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋19(36－4x 2)＝59(x －95a )2＋4－45a 2，当0<a ≤53时，有0<95a ≤3.∴当x ＝95a 时，|P A |2min ＝4－45a 2＝1，得a ＝152>53(舍)， 当53<a <3时，有3<95a <275， 当且仅当x ＝3时，|P A |2min ＝a 2－6a ＋9＝1， 故a ＝2或a ＝4(舍)，综上得a ＝2.19．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y225＝1有公共焦点F 1、F 2，它们的离心率之和为245，(1)求双曲线的标准方程；(2)设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值． [解析] (1)在椭圆x 29＋y 225＝1中，a 2＝25，b 2＝9，∴c ＝a 2－b 2＝4，焦点在y 轴上，离心率为e ＝45.由题意得：所求双曲线的半焦距c ＝4， 离心率e ′＝245－45＝2，又∵e ′＝c a ′＝4a ′＝2， ∴双曲线的实半轴为a ′＝2， 则b ′2＝c 2－a ′2＝16－4＝12， ∴所求双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P 在哪一个象限，cos ∠F 1PF 2的值是相同的，设点P 是双曲线与椭圆在第一象限的交点，其中|PF 1|>|PF 2|由定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10① |PF 1|－|PF 2|＝4②由①、②得|PF 1|＝7，|PF 2|＝3.又∵|F 1F 2|＝8，在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝72＋32－822×7×3＝－17，∴cos ∠F 1PF 2的值为－17.20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，20)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．[解析] 本题考查圆锥曲线中椭圆与直线的位置关系，第(1)问较基础，第(2)问中计算是关键之处．解：(1)设焦距为2c ，则F 1(－c,0)F 2(c,0) ∵k l ＝tan60°＝ 3 ∴l 的方程为 y ＝3(x －c )即：3x －y －3c ＝0 ∵f 1到直线l 的距离为2 3 ∴|－3c －3c |(3)2＋(－1)2＝23c2＝3c ＝2 3 ∴c ＝2∴椭圆C 的焦距为4(2)设A (x 1，y 1)B (x 2，y )由题可知y 1＜0，y 2＞0 直线l 的方程为y ＝3(x －2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 2(a 2－4)＝0 由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝43b23a ＋b2 ①y 1，y 2＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2 ②∵AF →＝2F 2B →∴－y 1＝2y 2，代入①②得 ⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－43b23a 2＋b 2 ③－2y 22＝－3b 2(a 2－4)3a 2＋b2④③2④得12＝48b 4(3a 2＋b 2)2·3a 2＋b 23b 2(a 2－4)＝16b 2(3a 2＋b 2)(a －4) ⑤ 又a 2＝b 2＋4 ⑥ 由⑤⑥解得a 2＝9 b 2＝5 ∴椭圆C 的方程为x 29＋y25＝121．(本小题满分12分)已知椭圆长轴|A 1A 2|＝6，焦距|F 1F 2|＝42，过椭圆的左焦点F 1作直线交椭圆于M 、N 两点，设∠F 2F 1M ＝α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN |等于椭圆的短轴的长．[解析] 如图所示，a ＝3，c ＝22，b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.设过F 1的直线方程为y ＝k (x ＋22)．∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋22)， ①x 29＋y 2＝1. ②①代入②，整理得(1＋9k 2)x 2＋362k 2x ＋72k 2－9＝0，∴x 1＋x 2＝－362k21＋9k 2，x 1·x 2＝72k 2－91＋9k2.代入|MN |＝[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](1＋k 2)，整理得|MN |＝6(k 2＋1)1＋9k 2.∵6(k 2＋1)1＋9k 22，∴k ＝±33. 即tan α＝±33，∴α＝π6或α＝5π6.22．(本小题满分14分)如右图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且OP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．[解析] 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →， 得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简整理，得y 2＝4x . 即动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又M (－1，－2m)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x 化简整理，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，由根与系数的关系， 得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2， 整理得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， ∴λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 22－2m ·4m －4＝0. 即λ1＋λ2的值为0.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第1章 1.2 回归分析
1.2 回归分析1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系.(重点)2.会求回归方程、掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 线性回归模型 阅读教材P 10～P 12，完成下列问题. 1.回归直线方程其中b ^的计算公式还可以写成b ^＝∑xiyi －n x － y －∑x 2i －n x －2.2.线性回归模型y ＝bx ＋a ＋εi ，其中εi 称为随机误差项，a 和b 是模型的未知参数，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).(1)y 与x 具有正的线性相关关系；(2)回归直线过样本点的中心(x －，y －)；(3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； (4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg.【解析】 回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确； 由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，(2)正确；依据回归方程中b ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^相应变化约0.85个单位，(3)正确； 用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确. 【答案】 (1)(2)(3) 教材整理2 相关性检验阅读教材P 13～P 15例3以上部分，完成下列问题. 1.相关系数(1)作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系；(2)根据小概率0.05与n －2在附表中查出r 的一个临界值r 0.05； (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值；(4)作统计推断.如果|r |>r 0.05，表明有95%把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.如果|r |≤r 0.05，没有理由拒绝原来的假设.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.( )(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.( ) (3)若相关系数r ＝0，则两变量x ，y 之间没有关系.( )【解析】 (1)正确.相关性检验是了解成对数据的变化规律的，所以求回归方程前必须进行相关性检验.(2)错误.相关系数|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱. (3)错误.若r ＝0是指x ，y 之间的相关关系弱，但并不能说没有关系.【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2.下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【解析】 函数关系和相关关系的区别为前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一种方法，故③错误，④正确.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y^＝b^x ＋a ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4(2)如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋ε(单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a^＝2，|ε|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿.【自主解答】 (1)①反映的是最小二乘法思想，故正确.②反映的是画散点图的作用，也正确.③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确.④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以发现两变量的关系.(2)由题意可得：y ^＝0.8x ＋2＋ε，当x ＝10时，y ^＝0.8×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤0.5，∴9.5≤y ^≤10.5.故今年支出预计不会超过10.5亿. 【答案】 (1)C (2)10.51.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程.2.由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.3.随机误差的主要来源.(1)线性回归模型与真实情况引起的误差； (2)省略了一些因素的影响产生的误差； (3)观测与计算产生的误差.[再练一题]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号).【导学号：37820002】①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x ，y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.【解析】 只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程. 【答案】 ④为研究拉力x (N)对弹簧长度y (cm)的影响，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：(1)(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程. 【精彩点拨】 作散点图→得到x ，y 有较好线性关系 →代入公式求得线性回归方程 【自主解答】 (1)散点图如图所示.(2)将已知表中的数据列成下表：∴回归直线方程为y ^＝0.18x ＋6.34.1.散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析.2.求回归直线方程时，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.[再练一题]2.本题条件不变，若x 增加2个单位，y ^增加多少？ 【解】 若x 增加2个单位，则 y ^＝0.18(x ＋2)＋6.34 ＝0.18x ＋6.34＋0.36， 故y ^增加0.36个单位.[探究共研型]探究1 【提示】 非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.其一般步骤为：探究2 已知x 和y 之间的一组数据，则下列四个函数中，哪一个作为回归模型最好？①y ＝3×2x －1； 2③y ＝4x;④y ＝x 2.【提示】 观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y ＝3×2x －1附近.①作为回归模型最好.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)(2)如果一名在校男生身高为168 cm ，预测他的体重约为多少？【精彩点拨】 先由散点图确定相应的函数模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解.【自主解答】 (1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y ＝的周围，于是令z ＝ln y ，列表如下：由表中数据可求得z 与x 之间的回归直线方程为z ^＝0.693＋0.020x ，则有y ^＝e 0.693＋0.020x . (2)由(1)知，当x ＝168时，y ^＝e 0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168 cm ，预测他的体重约为57.57 kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则变换后样本点应该分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围.[再练一题]3.有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：【解】 由表中测得的数据可以作出散点图，如图.观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q ＝m ·h n (m ，n 是正的常数).两边取常用对数，则lg Q ＝lg m ＋n ·lg h ，令y ＝lg Q ，x ＝lg h ，那么y ＝nx ＋lg m ，即为线性函数模型y ＝bx ＋a 的形式(其中b ＝n ，a ＝lg m ).由下面的数据表，用最小二乘法可求得b ^≈2.509 7，a ^＝－0.707 7，所以n ≈2.51，m ≈0.196.[构建·体系]1.下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程必过点( )A.(2，3) C.(2.5，4)D.(2.5，5)【解析】 线性回归方程必过样本点的中心(x －，y －)， 即(2.5，4)，故选C. 【答案】 C2．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.25【解析】 相关指数R 2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高． 【答案】 A3.如图1-2-1所示，有5组(x ，y )数据，去掉________这组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大.图1-2-1【答案】D(3，10)4.为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测是x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是________.【导学号：37820003】【解析】相关系数临界值r0.05＝0.553，所以Y与x若具有线性相关关系，则相关系数r 绝对值的范围是(0.553，1].【答案】(0.553，1]5.某种产品的广告费支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)对两个变量进行相关性检测；(3)求回归直线方程.【解】(1)散点图如图所示(2)计算各数据如下：r ＝ 1 380－5×5×50（145－5×52）（13 500－5×502）≈0.92，查得r 0.05＝0.878，r >r 0.05，故有95%的把握认为该产品的广告费支出与销售额之间具有线性相关关系.(3) ，，于是所求的回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
数学人教B版选修1-2 模块综合试卷(2)
模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确考点 三段论 题点 三段论的结论 答案 C解析 因为f(x)＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A.2B.11C.3D. 6 考点 复数的模的定义及应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题意得2－ia ＋i＝ti(t ≠0)，∴2－i ＝－t ＋tai ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z|＝3，故选C.3．已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑10i ＝1x i ＝17，则∑10i ＝1y i 的值等于( ) A ．3B ．4C ．0.4D ．40 考点 回归直线方程 题点 求回归直线方程 答案 B解析 依题意x ＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过样本点的中心(x ，y )，所以y ＝－3＋2x ＝－3＋2×1.7＝0.4，所以∑10i ＝1y i ＝0.4×10＝4. 4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 考点 程序框图题点 循环结构的程序框图 答案 B解析 程序运行如下： 开始a ＝4，b ＝6，n ＝0，s ＝0.第1次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1； 第2次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2； 第3次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3； 第4次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4. 此时，满足条件s>16，退出循环，输出n ＝4，故选B.5．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如表所示：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( ) A ．67B ．68C ．68.3D ．71考点 回归直线方程 题点 样本点的中心的性质 答案 B解析 设表中模糊看不清的数据为m.因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本点的中心(x ，y )在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y ＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.6．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A.n (n －1)2 B.n (n ＋1)2C.(n －1)(n ＋1)2D.n (n ＋2)2考点 归纳推理题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ，∴总个数为n (n ＋1)2.7．设i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则lg(a ＋b)的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D.12考点 复数的乘除法运算法则题点 复数乘除法的综合应用 答案 C解析 ∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b)＝lg1＝0.8．我们知道：在平面内，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( ) A ．3 B ．5 C.5217D ．3 5考点 类比推理题点 类比推理的方法、形成和结论 答案 B解析 类比点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2，可知在空间中，点P(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D|A 2＋B 2＋C 2，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5.故选B.9．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( ) A ．1B ．2C ．－1D ．0 考点 复数的几何意义 题点 复数与向量的对应关系 答案 A解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)， OB →＝(1，－1)， 由OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.10．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R)，若z 1·z 2∈R ，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 复数的乘除法运算法则 题点 复数的乘除法运算法则 答案 D解析 依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.11．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ^＝0.6x ＋1.2，若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( ) A ．66% B ．67% C ．79%D ．84%考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 答案 D解析 ∵y 与x 具有线性相关关系，满足回归直线方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.12．若函数f(x)＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3考点 题点答案 A解析 f ′(x)＝x 2－(2＋b)x ＋2b ＝(x －b)(x －2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b<1，则由f ′(x)>0，得x<b 或x>2，由f ′(x)<0，得b<x<2，∴函数f(x)的极小值为f(2)＝2b －43.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知a ∈R ，若1＋ai2－i 为实数，则a ＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 －12解析 1＋ai 2－i ＝(1＋ai )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2ai －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i ， ∵1＋ai 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12. 14．已知f(x)＝x 1＋x ，x ≥0，若f 1(x)＝f(x)，f n ＋1(x)＝f(f n (x))，n ∈N ＋，则f 2017(x)的表达式为________．考点 合情推理的应用 题点 合情推理在函数中的应用 答案 f 2017(x)＝x1＋2017x解析 f 1(x)＝x 1＋x ，f 2(x)＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x，f 3(x)＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x ，…，归纳可得f 2017(x)＝x1＋2017x.15．古希腊的数学家研究过各种多边形数，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N(n,3)＝12n 2＋12n四边形数 N(n,4)＝n 2五边形数 N(n,5)＝32n 2－12n六边形数 N(n,6)＝2n 2－n……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________． 考点 归纳推理题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 2490解析 原已知式子可化为N(n,3)＝12n 2＋12n＝3－22n 2＋4－32n ； N(n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ；N(n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ；N(n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n.故N(n ，k)＝k －22n 2＋4－k2n ，N(20,15)＝15－22×202＋4－152×20＝2490.16．对于定义在实数集R 上的函数f(x)，如果存在实数x 0，使f(x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是________． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 假设函数f(x)存在好点，即x 2＋2ax ＋1＝x ， ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，∴Δ＝(2a －1)2－4≥0， 解得a ≤－12或a ≥32.∴f(x)不存在好点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时： (1)z 为实数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限． 考点 题点解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3(m ＝－2舍去)． 故当m ＝3时，z 是实数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，得⎩⎨⎧m ＜－1－15或m ＞－1＋15，－5＜m ＜3，m ＜－2或m ＞3.解得－5＜m ＜－1－15.故当－5＜m ＜－1－15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能都大于14.考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>143，①又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14.同理0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．19．(12分)要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：表中x 是学生入学成绩，y 是高一年级期末考试数学成绩． (1)画出散点图； (2)求回归直线方程；(3)若某学生的入学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩． 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．(2)列表如下：可求得x ＝110×(63＋67＋…＋76)＝70，y ＝110×(65＋78＋…＋75)＝76， ∑t ＝110x 2i＝51474，∑i ＝110x i y i ＝55094.∴b ^＝55094－10×70×7651474－10×702≈0.76556. a ^≈76－0.76556×70≈22.41，故所求的回归直线方程为y ^＝22.41＋0.76556x.(3)若学生入学成绩为80分，代入上面回归直线方程y ^＝22.41＋0.76556x ，可求得y ^≈84(分)． 故该同学高一期末数学成绩预测为84分．20．(12分)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值； (2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？ 考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用解 (1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E ，由已知得P(E)＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14， 发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)χ2＝100×(20×10－30×40)250×50×40×60＝503≈16.667>6.635. 所以至少有99%的把握认为疫苗有效．21．(12分)设函数f(x)＝1x＋2lnx. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f(x)≤ax ，求a 的取值范围．考点题点解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x －1x 2， 所以当0<x<12时，f ′(x)<0，当x>12时，f ′(x)>0， 故函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f(x)≤ax ⇔a ≥2lnx x ＋1x 2， 令h(x)＝2lnx x ＋1x 2(x ≥1)， 则h ′(x)＝2－2lnx x 2－2x 3＝2(x －xlnx －1)x 3， 令m(x)＝x －xlnx －1(x ≥1)，则m ′(x)＝－lnx ，当x ≥1时，m ′(x)≤0，所以m(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以m(x)≤m(1)＝0，因此h ′(x)≤0，于是h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以当x ＝1时，h(x)有最大值h(1)＝1，故a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题证明 (1)由已知可得，当n ∈N ＋时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， 两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3， 即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2， 公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1. (2)由(1)知a n ＝13n －1， 故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2>0，所以T n <16.。
高中数学选修1-2 章末检测(一)(优秀经典公开课教案)
章末检测(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是()A．①②③B．①②C．②③D．①③④解析：曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系—函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．答案：D2．在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()A．直接求出回归直线方程B．直接求出回归方程C．根据经验选定回归方程的类型D．估计回归方程的参数解析：散点图的作用在于选择合适的函数模型．答案：C3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y^＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是()A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右解析：用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．答案：D4．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则()A．两个分类变量关系较弱B．两个分类变量无关系C．两个分类变量关系较强D．无法判断解析：从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强．答案：C5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析：因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0. 答案：A6．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是() x 45678910y 14181920232528A.线性函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析：画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．答案：A7．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当() A．该线性回归方程的拟合效果较好B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C．随机误差对预报变量的影响约占4%D．有96%的样本点在回归直线上解析：由相关指数R2表示的意义可知A、B、C三种说法都很妥当，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.答案：D8．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 123 4用水量y 4.543 2.5由散点图可知，其线性回归方程^＝－0.7x＋a^，则a^＝()是yA．10.5 B．5.15C．5.2 D．5.25^＝5.25.解析：样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a答案：D9．下面的等高条形图可以说明的问题是()A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图可知选项D正确．答案：D10．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：去掉点D(3,10)后，x与y的相关性变强．r，R2变大，残差平方和变小．答案：B11．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”.嗜酒不嗜酒总计患肝病70060760未患肝病20032232总计90092992A．0 B．1C．2 D．3解析：由列联表中数据可求得随机变量K2的观测值k＝992×(700×32－60×200)2≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前760×232×900×92提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.答案：C12．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得线性回归方程y＝b x＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为()A．51个B．50个C．49个D．48个解析：∵x＝16＋17＋18＋194＝17.5，y＝50＋34＋41＋314＝39.∴由39＝－4×17.5＋a^得a^＝109.∴当x＝15时，y^＝－4×15＋109＝49(个)．答案：C二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知下表所示数据的线性回归方程为y^＝4x＋242，则实数a＝________.解析：由题意，得x＝4，y＝15(1 028＋a)，代入y^＝4x＋242，可得15(1 028＋a)＝4×4＋242，解得a＝262.答案：26214．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，据表中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________ .解析：k ≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05. 答案：0.0515．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋b ^x ，若∑i ＝110xi＝17，∑i ＝110y i ＝4，则b^的值为________． 解析：易知x ＝1.7，y ＝0.4， 又回归直线过样本点中心(1.7,0.4)， ∴0.4＝－3＋1.7b ^，∴b ^＝3.41.7＝2. 答案：216．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b^＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________.解析：由题意可知：x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10， y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40， b^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)， 故a^＝60， 所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：68三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如表．利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关，你认为两者有关系会犯错误的概率是多少？K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：由题意知a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113. 所以K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%. 18．(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”；《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ^； (2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．参考公式：b^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a^＝y －b ^x . 参考数据：x i y i ＝1 415.解析：(1)由表中数据知x ＝3，y ＝100，∴b^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝1 415－1 50055－45＝－8.5，a^＝y －b ^x ＝125.5， ∴所求回归直线方程为y ^＝－8.5x ＋125.5. (2)令x ＝9，则y ^＝－8.5×9＋125.5＝49(人)．19．(12分)某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼 15 总计100(1)完成上表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？(K 2的观测值精确到0.001) 解析：(1)填写列联表如下：身高达标 身高不达标总计 经常参加体育锻炼 40 35 75 不经常参加体育锻炼10 15 25 总计5050100(2)由列联表中的数据，得K 2的观测值为： k ＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．20．(12分)如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ^＝a^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a^＝y －b ^t . 解析：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得： t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得：b^＝∑i＝17(t i－t)(y i－y)∑i＝17(t i－t)2＝2.8928≈0.103，a^＝y－b^t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．21．(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的如图所示散点图及一些统计量的值．x yω∑i＝18(x i－x)2∑i＝18(w i－w)2∑i＝18(x i－x)·(y i－y)∑i＝18(w i－w)·(y i－y)46.6563 6.8289.8 1.6 1 469108.8表中w i＝x i，w＝18∑i＝18w i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u .解析：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d^＝∑i ＝18(w i －w )·(y i －y )∑i ＝18 (w i －w )2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d^w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x＝13.6＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．22．(12分)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．下表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本频率分布直方图．表甲流水线样本频数分布表产品质量/克频数(490,495] 6(495,500]8(500,505]14(505,510]8(510,515] 4乙流水线样本频率分布直方图(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．解析：(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：(2)由题表知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由题图知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为3040＝0.75，乙样本合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75. 从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9. (3)2×2列联表如下：甲流水线 乙流水线 总计 合格品 a ＝30 b ＝36 66 不合格品 c ＝10 d ＝4 14 总计40 40n ＝80因为K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(120－360)266×14×40×40≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。
高二数学(人教B版)选修1-1同步练习1、2章末
选修1-2 2章末总结一、选择题1．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆[答案] C[解析] sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．2．(2009·安徽高考)下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 [答案] B[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的离心率e ＝4＋22＝62. 3．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)[答案] B[解析] ∵a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝4－k .∵e ∈(1,2)，∴c 2a 2＝4－k 4∈(1,4)，k ∈(－12,0)． 4．抛物线y ＝x 2到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A ．(32，54) B ．(1,1)C ．(32，94) D ．(2,4)[答案] B[解析] 设P (x ，y )为抛物线y ＝x 2上任一点，则P 到直线的距离d ＝|2x －y －4|5＝|x 2－2x ＋4|5＝(x －1)2＋35，所以当x ＝1时，d 取最小值355，此时P 为(1,1)． 5．(2009·山东)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52 D. 5[答案] D[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝b a x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b a x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，所以b a ＝2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5，故选D.二、填空题6．已知点A (0,1)是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是________．[答案] (±433，－13) [解析] ∵点P 在椭圆上，∴设点P 的坐标为(2cos θ，sin θ)，则|AP |＝4cos 2θ＋(sin θ－1)2＝－3(sin θ＋13)2＋163.当sin θ＝－13时，|AP |最大，此时点P 的坐标为(±433，－13)． 7．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．[答案] 2x －y －15＝0[解析] 设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵AB 的中点为P (8,1)，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，即2x －y －15＝0.三、解答题8．已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程． [解析] 椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.所以所求双曲线的方程为y 29－x 24＝1.9．如图所示，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．[解析] 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又k 1＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1，消去x ，整理得25y 2－187y －81＝0，∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(18725)2＋4×8125＝7225 2.∴S △ABF 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×27×7225 2＝722514.。
人教版B数学选修1-2：第一章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A ．角度和它的余弦值 B ．正方形边长和面积C ．正n 边形的边数和顶点角度之和D ．人的年龄和身高解析：选D.函数关系是确定性关系，故选D. 2．下列说法中，正确的是( )①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有时间性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③解析：选 B.①回归方程只适用于所研究的样本，故①错；④回归方程得到的预报值是可能取值的平均值，故④错；回归方程一般要受时间和范围的影响，故②③正确．3．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( ) A.29 B.118C.13D.23解析：选D.由已知P (A ·B )＝P (A )P (B )＝19，①又P (A ·B )＝P (A ·B )，即[1－P (A )]·P (B )＝P (A )[1－P (B )]，② 由①②解得P (A )＝P (B )＝13，所以P (A )＝23.4．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )A ．|r |∈(0，＋∞)，|r |越大，相关程度越大，反之相关程度越小B ．r ∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越大，反之相关程度越小C ．|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小D ．以上说法都不对解析：选C.由r 的意义可知C 项正确．5．若回归直线方程中的回归系数b ＝0，则相关系数( ) A ．r ＝1 B ．r ＝－1 C ．r ＝0 D ．无法确定解析：选C.b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2·∑i ＝1n(y i －y )2，若b ＝0，则r ＝0.6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为( )A.3 C ．3.5D ．4.5解析：选A.根据线性回归方程一定过定点(x ，y )，计算可知选A.7．下表给出5组数据(x ，y )，为选出4组数据使线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉( )A.第2组 C ．第4组D ．第5组解析：选B.通过散点图选择，画出散点图如图所示：应除去第三组，对应点是(－3,4)．故选B.8．设有一个回归方程为y ^＝3－2x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加2个单位 B ．y 平均减少3个单位 C ．y 平均减少2个单位D ．y 平均增加3个单位解析：选C.∵[3－2(x ＋1)]－(3－2x )＝－2，∴y 的值平均减少2个单位．9．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：选A.由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意．故选A.10．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，那么下面说法不正确的是( )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过点(x ，y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的误差∑i ＝1n[y i －(b ^x i ＋a ^)]2是该坐标平面上所有直线与这些点误差中最小的解析：选B.回归直线可能不经过任何一个样本点，但必经过样本点的中心．11．对四对变量Y 与x 进行线性相关检验，已知n 是观测值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝7，r ＝0.9533；②n ＝15，r ＝0.3012；③n ＝17，r ＝0.4991；④n ＝3，r ＝0.9950.则变量Y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B.由于小概率0.05与n －2在附表中分别查得：①r 0.05＝0.754；②r 0.05＝0.514；③r 0.05＝0.482；④r 0.05＝0.997.因此知①、③中相关系数比r 0.05大，变量Y 和x 具有线性相关关系．而②、④中的相关系数小于r 0.05，故变量Y 与x 不具有线性相关关系．12．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所根据以上数据，则( )A ．含杂质的高低与设备改造有关B ．含杂质的高低与设备改造无关C ．设备是否改造决定含杂质的高低D ．以上答案都不对解析：选A.由公式χ2＝382×(37×202－121×22)158×224×59×323≈13.11.由于13.11＞6.635，所以有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的，但是否改造设备这一行为并不对含杂质高低有决定性作用．二、填空题(本大题共4小题，请把答案填在题中横线上)13．若回归直线方程为y ^＝0.5x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________． 解析：y 的估计值为0.5×25－0.81＝11.69. 答案：11.6914．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由题意知[0.254(x ＋1)＋0.321]－(0.254x ＋0.321)＝0.254. 答案：0.25415．为了判断高中一年级学生选修文科与选修理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：已知P (χ2≥3.841)≈0.05，P (χ≥5.024)≈0.025. 根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×30×20≈4.844.则认为选修文科与性别有关出错的可能性是________．解析：本题考查对假设检验含义的理解，由χ2≈4.844>3.841，得选修文科与性别无关是不成立的，即有关的概率是95%，出错的可能性是1－95%＝5%. 答案：5%16．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，x i ∈{1,7,5,13,19}，则y ＝________. 解析：因为x ＝15×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ^＝1.5x ＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.5三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了n ＝1700次观测，列联表如下：解：根据列联表中的数据得到χ2＝1700×(98×618－82×902)2180×1520×1000×700≈1.59≤3.841，∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关． (2)求出回归直线方程． 解：(1)散点图如图．(2)x ＝44.5，∑i ＝110x 2i ＝20183，y ＝7.67，∑i ＝110x i y i ＝3481.32，则b ^＝3481.32－10×44.5×7.6720183－10×44.52≈0.179，a ^＝7.67－0.179×44.5＝－0.2955. ∴回归直线方程为y ^＝0.179x －0.2955.19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解：(1)法一：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得(1－P (B ))2＝(1－p )2＝116， 解得p ＝34或p ＝54(舍去)，所以乙投球的命中率为34.法二：设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得P (B )P (B )＝116于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)，故p ＝1－P (B )＝34，所以乙投球的命中率为34.(2)由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12，故甲投球2次至少命中1次的概率为1－P (A A )＝34.20．一台机器由于使用时间较长(但还可以使用)，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：(1)对变量Y 与x (2)如果Y 与x 有线性相关关系，求回归直线方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)x ＝12.5, y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438, 4x y ＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660, ∑i ＝14y 2i ＝291.所以r ＝∑i ＝14x i y i －4x y(∑i ＝14x 2i －4x 2)(∑i ＝14y 2i －4y 2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈25.5025.62≈0.995. 查临界值表：4－2＝2的r 0.05＝0.950.因为r >r 0.05，所以Y 与x 有线性相关关系． (2)由(1)可知Y 与x 有线性相关关系， 所以，b ^＝438－412.5660－4×12.52≈0.7286，a ^＝8.25－0.7286×12.5＝－0.8571.所以Y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.7286x －0.8571. (3)要使y ^≤10，即0.7286x －0.8571≤10， 所以x ≤14.9013.所以机器的转速应控制在14.9013转/秒以下． 21．下表是一次试验的数据：根据上面数据分析：y 与1x 之间是否具有线性相关关系？如果有，求出回归方程．解：令u ＝1xu ＝1.324，y ＝16.414； ∑i ＝14u 2i ＝12＋…＋0.022＝1.0504，∑i ＝14y 2i ＝10.152＋…＋1.302＝117.2871，∑i ＝14u i y i ＝10.957，相关系数r ≈0.9999.由于r 与1非常接近，所以u 与y 有很强的线性相关关系． 由题知b ^≈9.01，a ^≈1.13，∴y ^＝1.13＋9.01u ，∴y ^＝1.13＋9.01x.22．针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人；(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人？ 解：设男生人数为x ，依题意可得2×2列联表如下：(1)若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为回答结果的对错和性别有关，则χ2>3.841，由χ2＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ·x 2·x 2·x ＝38x >3.841，解得x >10.24， ∵x 2，x6为整数， ∴若在推断结论为错误的可能性为5%的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．(2)没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2≤3.841， 由χ2＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ·x 2·x 2·x ＝38x ≤3.841，解得x ≤10.24， ∵x 2，x6为整数 ∴若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．。
高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2章末
2章末一、选择题 1．一动圆与两圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线一支C ．圆D ．椭圆 [答案] B[解析] 动点到两定点距离之差为1.故选B.2．若双曲线C 以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则C 的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B ．－x 23y 2＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 [答案] B[解析] ∵F (0，±1)，长轴端点(0，±2)∴双曲线中a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，又焦点在y 轴上，故选B.3．已知AB 为经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的最大值为( )A ．b 2B ．abC ．acD ．bc [答案] D[解析] 设AB 方程为ky ＝x ，代入椭圆方程得(b 2k 2＋a 2)y 2＝a 2b 2∴y 1＝ab a 2＋b 2k 2，y 2＝－ab a 2＋b 2k 2. ∴S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝abc a 2＋b 2k2 ∴面积最大值为bc (k ＝0)．4．(2008·四川)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[答案] B [解析] 抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，且准线为x ＝－2，∴K (－2,0)，设A (x 0，y 0)，如图，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)∵|AK |＝2|AF |，又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2，∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2得y 20＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝18. 二、填空题5．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．[答案] 3[解析] 如图所示，设双曲线焦点在x 轴，顶点A 、焦点F 到渐近线的距离分别是AA ′，FF ′，则AA ′∥FF ′，∴△OAA ′∽△OFF ′，∴OA OF ＝AA ′FF ′ 即a c ＝26，则e ＝c a＝3. 6．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．[答案] 32[解析] (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知k ≠0，则y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16. ∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32>32. 综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32. 三、解答题7．如右图所示，直线y ＝12x 与抛物线y ＝18x 2－4交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线y ＝－5交于点Q .(1)求点Q 的坐标；(2)当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A ，B )的动点时，求△OPQ 面积的最大值．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ y ＝12x ，y ＝18x 2－4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－4，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4， 即A (－4，－2)，B (8,4)，从而AB 的中点为M (2,1)．由k AB ＝12，得线段AB 的垂直平分线方程为y －1＝－2(x －2)． 令y ＝－5，得x ＝5，∴Q (5，－5)．(2)直线OQ 的方程为x ＋y ＝0，设P (x ，18x 2－4)， ∵点P 到直线OQ 的距离d ＝|x ＋18x 2－4|2＝182|x 2＋8x －32|，|OQ |＝5 2. S △OPQ ＝12|OQ |d ＝516|x 2＋8x －32|， ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点，且P 不在直线OQ 上， ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y ＝x 2＋8x －32在区间[－4,8]上单调递增，∴当x ＝8时，△OPQ 的面积取到最大值516×96＝30.。
人教B版高中数学必修第二册课后习题 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 第4章末测评卷
第四章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x 53的图象大致是( )2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(0,1)3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=( )A.2B.-2C.3D.-14.函数f(x)=lo g12(2x-x2)的单调递减区间为( )A.(0,2)B.(-∞,1]C.[1,2)D.(0,1]5.函数f(x)=a x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P 又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为( ) A.4B.8C.9D.166.10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v 0·ln Mm 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v 0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,Mm 称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为( )(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301) A.5 790 m/s B.6 219 m/s C.6 442 m/s D.6 689 m/s7.设a=log 32,b=ln 2,c=5-12,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<bD.c<b<a8.若对于任意-1)2的取值范围是( ) A.(-∞,13)B.(-∞,13]C.(-∞,1)D.(-∞,1]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则( ) A.log 0.5a+log 0.5b 的最大值为3 B.4a +2b 的最小值为2√2 C.a ∈(0,12)D.a 2+b 2的最小值为1410.设a,b,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则下列结论正确的是( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.4b ·9b =4a ·9c D.1c=2b−1a11.已知函数f(x)={2x -4,x ≥0,-x 2-4x +1,x <0,则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为( ) A.-4B.0C.-2D.log 2612.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )A.f(x)在区间(1,2)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x 1≠x 2,f(x 1)=f(x 2),则x 1+x 2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.方程log 3(3x-1)=log 3(x-1)+log 3(3+x)的解为x= . 14.函数y=12x,-3≤x≤1的值域是 .15.若log a 23<1,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)={lnx ,x >0,e x +1,x ≤0,且函数g(恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算题: (1)√2-1-(-9.6)0+√(√2-e )44−(827)23+(32)-2.(2)lg 4+2lg 5+log 45·log 514.+a).18.(12分)已知函数f(x)=log2(12x(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)<t恒成立,求实数t的取值范围.20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么(1)10 h后还剩百分之几的有害气体?(2)有害气体减少50%需要花多少时间?(精确到1 h)(参考数据:ln2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a2.1-x(1)求f(x)的定义域及其零点;(2)设g(x+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(的取值范围.22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且. (1)求f(x)的解析式;,27],2f(log3的取值范围.(2)若对任意x∈[19参考答案第四章测评1.B 函数y=x 53=√x53的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当0<x<1时,x 53<x,所以x∈(0,1)时,函数y=x53图象要在函数y=x图象的下方,排除选项D.故选B.2.D3.B 令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),∴g(10)=-2.4.D 记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lo g12u(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lo g12u(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.5.C ∵f(x)=a x-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=x a,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.6.C 由题得v=v 0·ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lge=1000×4×(1-lg2)lge≈6442m/s.故选C.7.C a=log 32=1log 23,b=ln2=1log 2e,而log 23>log 2e>1,所以a<b,c=5-12=√5,而√5>2=log 24>log 23,所以c<a,综上c<a<b.故选C. 8.C ∵2-1)2x<1(-1<12x=(12)x对于任意x ∈(-∞,-1]恒成立.∵-1<2,解得m<1.∴实数m 的取值范围是(-∞,1).故选C.9.BC a>0,b>0,2a+b=1⇒ab≤18,则log 0.5a+log 0.5b=log 0.5ab≥3,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故A 错误;4a +2b =22a +2b ≥2√2,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故B 正确;a>0,b>0,2a+b=1⇒b=1-2a>0⇒0<a<12,故C 正确;a 2+b 2=a 2+(1-2a)2=5a 2-4a+1,0<a<12,则当a=25时,有最小值为15,故D 错误.10.ACD 设4a =6b =9c =t,t>1,则a=log 4t,b=log 6t,c=log 9t,所以b c+ba=log 6t log 9t+log 6t log 4t =lgt lg6lgt lg9+lgt lg6lgt lg4=lg9lg6+lg4lg6=lg9+lg4lg6=lg (9×4)lg6=lg62lg6=2,即b c+ba=2,所以1c+1a=2b,所以1c=2b−1a,故D 正确;由b c+ba=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B 错误;因为4a ·9c =4a ·4a =(4a )2,4b ·9b =(4×9)b =(62)b =(6b )2.又4a =6b =9c ,所以(4a )2=(6b )2,即4b ·9b =4a ·9c ,故C 正确.故选ACD. 11.AD [f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x -4=1或2x -4=2,解得x=log 25或x=log 26;当x<0时,-x 2-4x+1=1或-x 2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±√3.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.12.ABD 根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A 正确;函数图象关于直线x=2对称,故B 正确;令f(x 1)=f(x 2)=k,则直线y=k 与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x 1,x 2,则x 1+x 2=4不成立,故C 错误;f(x)的图象与x 轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D 正确.故选ABD. 13.214.[12,8] 因为指数函数y=12x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为12-3=8;当x=1时,函数有最小值为12.所以函数y 的值域为[12,8].15.0,23∪(1,+∞) 当a>1时,不等式为log a 23<log a a,∴a>23,即a>1;当0<a<1时,不等式为log a 23<log a a,∴a<23,即0<a<23.综上所述,实数a 的取值范围是0,23∪(1,+∞).16.(1,2] 由g(,即函数g(与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=e x +1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=ln 与函数y=f(x)图象有2个交点,即函数g(的取值范围是(1,2]. 17.解(1)原式=√2+1-1+e-√2−23×23+49=e.(2)原式=lg4+lg25+log 45·(-log 54)=lg4×25-lg5lg4×lg4lg5=lg102-1=2-1=1.18.解(1)若函数f(x)是R 上的奇函数,则f(0)=0,即log 2(120+a)=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R 上为奇函数,所以a=0为所求. (2)若函数f(x)的定义域是R,则12x +a>0恒成立,即a>-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a 的取值范围为[0,+∞).(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log 2(1+a),最小值是f(1)=log 2(12+a).由题意,得log 2(1+a)-log 2(12+a)≥2,所以{1+a >0,a +12>0,a +1≥4a +2,解得-12<a≤-13, 故实数a 的取值范围为(-12,-13].19.解(1)∵10x -1>0,∴10x >100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x -1>0,∴f(x)的值域为R.(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg (10x -110x +1)=lg (1-210x +1).∵10x >0,∴10x +1>1,∴0<210x +1<2,∴-2<-210x +1<0,∴-1<1-210x +1<1.又1-210x +1>0,∴0<1-210x +1<1.∴lg (1-210x +1)<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x 的不等式g(x)<t 恒成立,∴t≥0,即t 的取值范围是[0,+∞). 20.解(1)根据题意得P=P 0e -5k =P 0(1-10%),则e -5k =90%,故当t=10时,P=P 0e -10k =P 0(e -5k )2=P 0(90%)2=P 081%,故10个小时后还剩81%的有害气体. (2)根据题意得P 0e -kt=P 050%,即(e -5k)15t =12,即0.915t =0.5,故t=5log 0.90.5=5-ln2ln0.9≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.21.解(1)由题意知,21-x>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得21-x=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.(2)若对于任意x 1∈(-∞,-1],存在x 2∈[3,4],使得f(x 1)≤g(≥-1.即m ∈[-1,+∞).22.解(1)因为二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax 2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以{2a =2,a +b =-1,解得{a =1,b =-2,所以f(x)=x 2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x.选②,设x 1,x 2是函数f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x 1+x 2=2,x 1x 2=c,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√4-4c =2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x 2-2x.(2)由2f(log3≤-2f(log3x).当x∈1,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,9,27],2f(log3≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒则h∈[-2,3],所以对任意x∈[19成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].。
人教版B数学选修1-2：第三章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数1＋2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.32 B.32i C.12 D.12解析：选C.1＋2i 1＋i ＝（1＋2i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i 2＝32＋i 2，所以虚部是12，选C. 2.设a ∈R ，且(a ＋i)2i 为正实数，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选D.(a ＋i)2i ＝[(a 2－1)＋2a i]i ＝(a 2－1)i －2a ，因为(a ＋i)2i 是正实数，所以a 2－1＝0且2a ＜0，所以a ＝－1.3.使复数z 为实数的充分而不必要条件是( )A ．z ＝zB ．|z |＝zC ．z 2为实数D ．z ＋z 为实数解析：选B.z ＝z ⇔z ∈R ；|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2；z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i ；对于任何z ，z ＋z 都是实数．4.已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C.m 1＋i ＝m （1－i ）2＝m 2－m 2i ＝1－n i ，可以解得m ＝2，n ＝1.选C. 5.在复平面内，复数1＋i （1－i ）2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.∵1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝i ＋i 2－2i 2＝－12＋12i ， ∴其对应的点位于第二象限．6.复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆解析：选C.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|.∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0，∴复数z 的对应点的轨迹为圆．7.设z 1＝i 4＋i 5＋i 6＋…＋i 12，z 2＝i 4·i 5·i 6·…·i 12，则z 1，z 2的关系是( )A ．z 1＝z 2B ．z 1＝－z 2C ．z 1＝1＋z 2D ．无法确定解析：选A.z 1＝i 4（1－i 9）1－i ＝i 4（1－i ）1－i＝i 4＝1， z 2＝i 4＋5＋6＋7＋…＋12＝i 72＝1.8.已知x ，y ∈R ，i 是虚数单位，且(x －1)i －y ＝2＋i ，则(1＋i)x －y 的值为( )A ．－4B ．4C ．－1D ．1解析：选A.由(x －1)i －y ＝2＋i ，得x ＝2，y ＝－2，所以(1＋i)x －y ＝(1＋i)4＝(2i)2＝－4，故选A.9.已知z ＝(2－i)3，则z ·z ＝( )A ．25B ．125C ．10D ．225解析：选B.z ·z ＝|z |2＝|(2－i)3|2＝(5)6＝125.10.在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D.CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D.11.定义运算⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3iC ．3＋iD ．－1－3i解析：选D.由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i －1＋i ＝（4＋2i ）（－1－i ）2＝－1－3i. 12.已知定义在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －i ，x ∈R ，1x，x ∉R ，则f [f (2)]在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A.由函数的解析式知：f (2)＝2－i ，f [f (2)]＝f (2－i)＝12－i ＝2＋i 5＝25＋15i ，所以 f [f (2)]在复平面内的对应点位于第一象限．二、填空题(本大题共4小题，把正确答案填在题中横线上)13.计算(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝________． 解析：(2＋i 15)－(1＋i 2)22＝(2－i)－(2i 2)11＝2－i －i 11＝2－i ＋i ＝2. 答案：214.若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为__________． 解析：∵(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，∴(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2015.若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线2x －y ＝0上，则实数m 的值是________． 解析：复数z 对应点的坐标为(m －1，m ＋2)，该点在直线2x －y ＝0上，得到m ＝4. 答案：416.给出下列命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；③若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是__________．(写出你认为正确的所有命题的序号)解析：①错误；②若a ＝－1，(a ＋1)i ＝0，错误；③z ＝1ii ，z 3＋1＝－i 3＋1＝i ＋1，正确． 答案：③三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.当m 为何实数时，复数z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：z ＝(2m ＋1)(m －2)＋(m －1)(m －2)i ，(1)当m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)当m ≠1且m ≠2时，z 是虚数．(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧（m －1）（m －2）≠0，（2m ＋1）（m －2）＝0，即当m ＝－12时，z 是纯虚数． 18.已知z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i. (1)求|z |；(2)z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a 、b 的值．解：z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝6－3i －2i －15＝1－i ， ∴(1)|z |＝|1－i|＝ 2.(2)由z 2＋az ＋b ＝1＋i 得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，即a ＋b ＋(－2－a )i ＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－2－a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4. 19.已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R)，∵z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2，6)．20.如图，平行四边形OABC ，顶点O 、A 、C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数，BC →表示的复数；(2)CA →所表示的复数；(3)设P 为复平面上一点且满足|OP →|＝|CA →|，求P 点的轨迹方程．解：(1)AO →＝－OA →，而OA →对应的复数为3＋2i ，∴AO →表示的复数－3－2i ；∵BC →＝AO →.∴BC →表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)设P (x ，y )，∵|CA →|＝|5－2i|＝52＋（－2）2＝29，|OP →|＝x 2＋y 2，由|OP →|＝|CA →|，得x2＋y 2＝29，即点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝29.21.已知复平面内点A 、B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，2π)，设AB →对应的复数为z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值． 解：(1)z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋i(cos2θ－1)＝－1－2sin 2θ·i.(2)点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)，由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12. 所以sin 2θ＝14，则sin θ＝±12. 由于θ∈(0，2π)，所以θ＝π6，56π，76，116π. 22.已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －a －b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值？并求出|z |的最小值． 解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a ＝b .解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3－3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1，1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∵|OO 1|＝2，半径r ＝22，∴当z ＝1－i 时，|z |有最小值，且|z |min ＝ 2.。
2012年人教B数学选修1-2：第4章章末综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用( ) A ．程序框图 B ．工序流程图 C ．知识结构图 D ．组织结构图解析：选B.这是设计生产过程，应为工序流程图．2．(2011年高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．－3B ．－12C.13 D ．2解析：选D.由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2.3.如图是一个结构图，在框①中应填入( )A ．空集B ．补集C ．子集D ．全集解析：选B.集合的运算包括交集、并集和补集． 4．有一程序框图如图所示，该框图解决的是( )A．输出不大于990且能被15整除的所有正整数B．输出不大于66且能被15整除的所有正整数C．输出67D．输出能被15整除的大于66的正整数解析：选A.当变量n的值从1递增至66时，输出15×1,15×2，…，15×66，即15,30,45，…，990，而当n＝67时退出循环．5．某市质量技术监督局计量认证审查流程图如图．从图中可得在审查过程中可能不被通过审查的环节有________处．()A．1B．2C．3D．4解析：选C.该题是一个实际问题，由审查流程图可知有三处判断框，即3处可能不被审查通过，故选C.6．下面框图表示的程序所输出的结果是()A ．11B ．12C ．132D ．1320解析：选D.i ＝12时，S ＝1×12＝12； i ＝11时，S ＝12×11＝132； i ＝10时，S ＝132×10＝1320； i ＝9时，i ＜10，故输出S ＝1320.7．一台没有重量刻度的盘式天平，只有7克和2克的砝码各一个，把140克的糖分成两份，一份90克，一份50克，则至少使用天平称( )A ．3次B ．5次C ．12次D ．37次解析：选A.先将7克与2克的砝码均放在一边，白糖放另一边可称出9克白糖；然后将9克白糖与7克砝码放一边，可在另一边称出16克白糖；最后将9克白糖和16克白糖放一边，可在另一边称出25克白糖，此时将9克，16克，25克白糖合在一起恰好50克，剩下部分则为90克．故至少使用天平称3次．8．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是( )A ．利用公式1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，计算1＋2＋…＋10的值B ．当圆面积已知时，求圆的周长C ．当给定一个数x ，求其绝对值D ．求函数f (x )＝x 2－4x ＋5的函数值解析：选C.求x 的绝对值需要对x 的正、负作出判断，因此需要用到条件结构．9．如图所示是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中空白判断框内填入的条件是( )A ．i ＞10B ．i ≤10C ．i ＞20D ．i ≤20解析：选B.i ＝10时，已经求出12＋14＋16＋…＋120的值，i ＝11时停止循环，故选B.10．(2010年高考浙江卷)某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内为( ) A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6? D ．k ＞7?解析：选A.当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4； 当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3， S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4， S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5， S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k ＞4？”．11．(2010年高考辽宁卷)如果执行如图所示的程序框图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于( )A ．720B ．360C ．240D ．120解析：选B.由框图可知：当n ＝6，m ＝4时，第一次循环：p ＝(6－4＋1)×1＝3， k ＝2.第二次循环：p ＝(6－4＋2)×3＝12，k ＝3.第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4.第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360, 此时k＝m，终止循环，输出p＝360，故选B.12．如图是某产品加工为成品的流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过几道工序()A．6B．5C．4D．3解析：选 C.从工序流程图中，即使是不合格产品也要经过①粗加工，②检验，③返修加工，④返修检验，共4道工序．二、填空题(本大题共4小题．请把正确答案填在题中横线上)13．(2011年高考山东卷)执行如图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．解析：当输入l＝2，m＝3，n＝5时，不满足l2＋m2＋n2＝0，因此执行：y＝70l＋21m ＋15n＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y＝y－105，执行后y＝278－105＝173，再执行一次y＝y－105后y的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68.答案：6814．(2010年高考北京卷)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x ≥2，2－x ， x ＜2.图中表示的是给定x 的值，求其对应的函数值y 的程序框图．①处应填写________；②处应填写________．解析：框图中的①就是分段函数解析式两种形式的判断条件，故填写x ＜2，②就是函数的另一段表达式y ＝log 2x .答案：x ＜2 y ＝log 2x15．执行如图所示的程序框图，若输入x ＝10，则输出y 的值为________．解析：当x ＝10时，y ＝4，不满足|y －x |＜1，因此由x ＝y 知x ＝4.当x ＝4时，y ＝1，不满足|y －x |＜1，因此由x ＝y 知x ＝1.当x ＝1时，y ＝－12，不满足|y －x |＜1，因此由x ＝y 知x＝－12.当x ＝－12时，y ＝－54，此时，⎪⎪⎪⎪－54＋12＜1成立，跳出循环，输出y ＝－54.答案：－5416．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述：则在①中应填入________，在②中应填入________．解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形． 答案：菱形 直角梯形三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．写出“数列”一章的结构图．解：数列知识结构图如下：18．汽车保养流程是：顶起车辆、润滑部件、调换轮胎、更换机油、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示：19．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能够修改密码，显示用户信息，修改用户信息；(2)用户登录；(3)名片管理：能够对名片进行添加、删除、修改、查询；(4)出错信息处理．根据这些要求，试画出该系统的结构图．解：设计的结构图如图：20．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x (x ＜0)，2(x ＝0)，2＋x (x ＞0)，设计一个输入x 值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示．21．分别标有1、2、3、4、5、6六个号码的小球，有一个最重，写出挑出此重球的算法，并画出程序框图．解：本题题意为用一架无砝码的天平挑出最重的球．设六个小球的重量分别为w1，w2，…，w6.算法：(1)将1号球放在天平左边，2号球放在天平右边．(2)比较两球重量后，淘汰较轻的球，将较重的球放在天平左边．(3)将下一号球放在天平右边比较重量，重复执行(2)．(4)最后留在天平左边的球是最重的球．框图如图所示：22．据有关人士预测，我国将逐步进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民的消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品以及服务消费和文化消费，农村居民的消费热点主要是住房和家电．试画出消费的结构图．解：结构图如图所示．。
人教版B数学选修2-1：模块综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x <5，则x <2C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠0解析：选D.A 中，若x 取负数，x ≥0不成立，故A 错；B 中，若取x ＝4<5，x <2不成立，故B 错；C 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 错；D 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故x 2＋1≠0成立．2.“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.函数f (x )＝x 2－2ax ＋3的对称轴为直线x ＝a ，若函数在区间[1，＋∞)上递增，则a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的充分不必要条件．3.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧q解析：选D.因为当x ∈(－∞，0)时，2x >3x，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以¬p 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．4.以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 解析：选D.双曲线x 24－y 212＝－1即y 212－x24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D.渐近线方程为：y ＝±12x ，∴b a ＝12，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴e ＝52.故选D.6.已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析：选A.∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 7.下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④解析：选C.①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；∵“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．8.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点M 是准线l 上的点，且|MF |＝4(如图)，则线段MF 与抛物线的交点的横坐标为( )A ．3 B.13C.12D.14解析：选B.易得∠MFO ＝60°，那么直线MF 的方程为y ＝－3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，则x ＝13，或x ＝3(由题图舍去)．9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成角的余弦值是( )A ．－15 B.15C.265D.25解析：选B.取DD 1的中点H ，连接AH ，设正方体的棱长为2，则在△AEH 中，AH ＝AE ＝5，HE ＝22，所以cos ∠EAH ＝5＋5－82×5＝15.10.已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F (0，1)， 准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义， 得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.11.在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.33C.21060D.21030解析：选D.∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 设AB ＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0. 设OP ＝h ，则P (0，0，h )，∵PA ＝2a ，∴h ＝72a ＝142a .∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－24a ，0，144a .可以求得平面PBC 的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，77，∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.12.设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1 D. 5解析：选C.双曲线方程化为x 24a －y2a＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ，①由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ，②又∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1.二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.条件甲：“k <－66或k >66”；条件乙：“kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是________．解析：当k ＝0时，kx 2－2x ＋6k ＝－2x ，不满足题意，当k ≠0时，若kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. 所以命题甲的条件中需删除的一部分是k >66. 答案：k >6614.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是________．解析：由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，b 2a 2＝2·ca，即c 2a 2－2ca－1＝0.∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 答案：1＋ 215.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为________．解析：根据题意知A 点为直线y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2与抛物线y 2＝2px 的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x 1＝16p ，x 2＝32p ，故点A 坐标为⎝⎛⎭⎫32p ，3p ，则|OA →|＝94p 2＋3p 2＝212p . 答案：212p16.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：建系如图，则M (1，12，1)，N (1，1，12)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25答案：25三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知p ：方程x 2k －4＋y 2k －6＝1表示双曲线，q ：过点M (2，1)的直线与椭圆x 25＋y 2k＝1恒有公共点，若p ∧q 为真命题，求k 的取值范围．解：由p 得：(k －4)·(k －6)<0，∴4<k <6，由q 得：⎩⎪⎨⎪⎧225＋12k ≤1，k ≠5，∴k >5.又p ∧q 为真命题，则5<k <6，所以k 的取值范围是(5，6)．18.已知p ：x 2－6x －27≤0，q ：|x －1|≤m (m >0)，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由p 得－3≤x ≤9， 由q 得－m ＋1≤x ≤m ＋1， ∵q 是p 的必要而不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－31＋m ≥9得m ≥8. 又因为m ＝8时命题成立． ∴实数m 的取值范围是m ≥8. 19.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥平面AB 1C ；(2)求EF 与CG 所成的角的余弦值．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，G (2，2，1)．(1)证明：EF →＝(1，1，－1)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)， ∵EF →·AC →＝0，∴EF ⊥AC ， ∵EF →·AB 1→＝0，∴EF ⊥AB 1，又AC ∩AB 1＝A ，∴EF ⊥平面AB 1C .(2)∵CG →＝(2，0，1)，∴cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1515，所以EF 与CG 所成的角的余弦值为1515.20.已知抛物线C ：y 2＝ax 的焦点与双曲线x 22－y 221的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点A (2，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线C 交于M 、N 两点，判断∠MON 是否为直角．若∠MON 为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由．解：(1)∵双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故a4＝2，∴a ＝8.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)依题意，直线的斜率为tan π4＝1，∴直线方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝x －2，消去y 得x 2－12x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则可知x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4. 又OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－12， ∴OM →·ON →≠0，∴OM ⊥ON 不成立，即∠MON 不是直角．21.如图，正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； (3)求锐二面角A -BE -C 的大小．解：依题可知，CA ，CB ，CD 两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz ，设正方形边长为1，则AC ＝BC ＝1.C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，0，1)，E (1，0，1)， M ⎝⎛⎭⎫12，0，12.(1)证明：AM →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12， CB →＝(0，1，0)，CE →＝(1，0，1)， ∴AM →·CB →＝0，AM →·CE →＝0，∴AM →⊥CB →，AM →⊥CE →， ∴AM ⊥CB ，AM ⊥CE 且CB ∩CE ＝C ， ∴AM ⊥平面EBC .(2)由(1)知AM →为平面EBC 的一个法向量，AB →＝(－1，1，0)，设所求角大小为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝12，∴直线AB 与平面EBC 所成的角的大小为30°.(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面AEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0m ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，z ＝0.取m ＝(1，1，0)，则|cos 〈AM →，m 〉|＝12，所以锐二面角A -BE -C 的大小为60°.22.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，解得c ＝ 2.由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k2＝32，可得m 2＝34(k 2＋1)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. Δ＝(6km )2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，(*)∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6 ＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.经检验，k ＝±33满足(*)式．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上可知|AB |max ＝2，∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取最大值S ＝12×2×32＝32.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-2)教师用书：第2章 2.1.1 合情推理
2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理.(重点、易混点)2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)3.了解合情推理在数学发现中的作用.[基础·初探]教材整理1 归纳推理和类比推理阅读教材P26～P27及P30例3以上内容，完成下列问题.1.归纳推理2.类比推理判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为三角形的内角和是180°×(3－2)，四边形的内角和是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)，使用的是类比推理.( )(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用.( )(3)归纳推理是由个别到一般的推理.( )【解析】(1)错误.它符合归纳推理的定义特征，应该为归纳推理.(2)错误.类比推理不一定正确.(3)正确.由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 合情推理阅读教材P26，完成下列问题.1.含义前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理.归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________(填序号).①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.【解析】正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对.【答案】①②③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1an ＋1，则a 2 017等于( ) A.2 B.－12 C.－2D.1(2)根据图2-1-1中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________.【导学号：37820008】图2-1-1【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 017＝672×3＋1，∴a 2 017＝a 1＝1.(2)分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想，图形①到④中线段的条数分别为1，5，13，29，因为1＝22－3，5＝23－3，13＝24－3，29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.【答案】 (1)D (2)5091.由已知数式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律.(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征.(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点.(4)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理.解答该类问题的一般策略是：[再练一题]1.(1)有两种花色的正六边形地面砖，按图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图2-1-2A.26B.31C.32D.36(2)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图2-1-3)，试求第七个三角形数是________.图2-1-3【解析】(1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 【答案】 (1)B (2)28如图2-1-4所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，pb ，pc ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pchc ＝1.图2-1-4证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 pa ha ＝12BC·pa 12BC·ha ＝S △PBCS △ABC ，同理，pb hb ＝S △P AC S △ABC ，pc hc ＝S △P AB S △ABC . ∵S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB ＝S △ABC ，∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＝S △PBC ＋S △P AC ＋S △P AB S △ABC ＝1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pdhd ＝1.证明如下：pa ha ＝13S △BCD·pa 13S △BCD·ha＝VP-BCDVA-BCD ，同理，pb hb ＝VP-ACD VA-BCD ，pc hc ＝VP-ABD VA-BCD ，pd hd ＝VP-ABCVA-BCD . ∵V P BCD ＋V P ACD ＋V P ABD ＋V P ABC ＝V A BCD ， ∴pa ha ＋pb hb ＋pc hc ＋pd hd＝VP-BCD ＋VP-ACD ＋VP-ABD ＋VP-ABCVA-BCD＝1.1.一般地，平面图形与空间图形类比如下：2.(1)找出两类事物之间的类似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.[再练一题]2.在上例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b ·cos C ＋c ·cos B 可类比四面体的什么性质？【解】 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面P AB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小. 猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[探究共研型]探究1 ”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】 类比推理. 探究2在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n∈N ＋)成立.类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是什么？【提示】 在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋). 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n (n <17，n ∈N ＋). 相应地，在等比数列{b n }中有： b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N ＋).已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论→理论证明【自主解答】 类似性质：若M ，N 为双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )，则 N (－m ，－n ).因为点M (m ，n )是双曲线上的点， 所以n 2＝b2a2m 2－b 2.同理y 2＝b2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值).1.两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2.进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.[再练一题]3.在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T20T10，T30T20，T40T30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和.可类比得到的结论是________.【导学号：37820009】【解析】 因为等差数列{a n }的公差d ＝3， 所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ＝300，同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300. 【答案】 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300[构建·体系]1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图2-1-5).图2-1-5则第n 个正方形数是( ) A.n (n －1) B.n (n ＋1) C.n 2D.(n ＋1)2【解析】 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 【答案】 C2.如图2-1-6所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )【导学号：37820010】图2-1-6A.a n ＝3n －1B.a n ＝3nC.a n ＝3n －2nD.a n ＝3n －1＋2n －3【解析】 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1. 【答案】 A3.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为()A.r22B.l22C.lr 2D.无法确定【解析】 扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.【答案】 C4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.【答案】 1∶85.已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3anan ＋3. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2)猜想a n.【解】(1)a2＝3a1a1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a3＝3a2a2＋3＝38，a4＝39，a5＝310.(2)由a2＝32＋5，a3＝33＋5，a4＝34＋5，a5＝35＋5，可猜想a n＝3n＋5.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
人教版B数学选修2-1：第一章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四个命题是假命题的为()A．∀x∈R，x2＋2>0B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3<1 D．∀x∈Q，x2≠3解析：选B.∀x∈N，x4≥0，∴B错误．2.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题解析：选B.¬(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题．∴p，q中至少有一个为真命题．3.命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是()A．若x>y，则x3≤y3－1 B．若x≤y，则x3>y3－1C．若x≤y，则x3≤y3－1 D．若x<y，则x3<y3－1解析：选 C.将原命题的条件和结论分别否定作为条件和结论得到的新命题就是原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．4.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.A选项中a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a>b＋1”为“a>b”成立的充分而不必要条件．5.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：选 D.∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝－b.6.设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a＝1时，N＝{1}，∴N⊆M，∴a＝1是N⊆M的充分条件．若N⊆M，∴a2＝1或a2＝2，∴a＝±1或a＝±2，∴a＝1不是N⊆M的必要条件．7.下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0，1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8.已知命题p：(x＋1)2>4，命题q：x>a，且¬p是¬q的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：选A.由题意知：q是p的充分不必要条件，∴{x|q}{x|p}，p：x＋1>2或x＋1<－2，即x>1或x<－3；q：x>a.∴a≥1.9.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：选 D.全称命题的否定：“所有”变为“存在”，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．10.已知p(x)＝x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥3 B．m<8C．R D．3≤m<8解析：选D.∵p(1)为假命题，∴1＋2－m≤0，即m≥3.又p(2)为真命题，∴4＋4－m>0，即m<8.∴3≤m<8.11.“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当两直线垂直时，a＝－1或a＝0.∴a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．12.已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定¬p是________．答案：∃x∈R，f(x)<m14.用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________．答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815.a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“¬p”中是真命题的为________．解析：p为假命题，q为真命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，¬p为真命题．答案：p∨q，¬p三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p：∃非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b≠c.¬p为真命题．否命题：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．18.指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．(1)两个全等梯形的周长相等；(2)若m <0或n <0，则m ＋n <0.解：(1)原命题为真.逆命题：若两个梯形周长相等，则它们全等，逆命题为假；否命题：若两个梯形不全等，则它们的周长不相等，否命题为假；逆否命题：若两个梯形的周长不相等，则它们不全等，逆否命题为真．(2)原命题为假．逆命题：若m ＋n <0，则m <0或n <0，逆命题为真．否命题：若m ≥0且n ≥0，则m ＋n ≥0，否命题为真．逆否命题：若m ＋n ≥0，则m ≥0且n ≥0，逆否命题为假．20.命题p ：“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 为常数．(1)写出命题p 的否定；(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：(1)¬p ：∃x ∈R ，x －a ≤0且x －b >0.(2)¬p 为真，即集合{x |b <x ≤a }不是∅，即a >b 时，¬p 为真命题．21.证明：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m <13. 证明：充分性：当0<m <13时，Δ＝4－12m >0，方程有两个不相等的实根，不妨设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝3m>0，故方程有两个同号且不相等的实根．充分性得证．必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2>0，∴0<m <13.必要性得证．∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m <13. 22.已知命题p ：“函数f (x )＝ax 2－4x (a >0)在(－∞，2]上单调递减”；命题q ：“∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”，若命题“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真．当a >0时，只需对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.q 为真．命题等价于：方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实根．Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p 且q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤112<a <32，∴12<a ≤1.。
高中数学 模块综合测评 新人教B版高二选修1-1数学试题
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >bD a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2Da >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．【答案】 D2．过点P (1，－3)的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝13y 或x 2＝－13yB ．x 2＝13yC ．y 2＝－9x 或x 2＝13yD ．x 2＝－13y 或y 2＝9x【解析】P (1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)，代入P (1，－3)得y 2＝9x 或x 2＝－13y .故选D.【答案】 D3．下列命题中，正确命题的个数是( )①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的充分不必要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；④对命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0. A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】①正确；②由p ∨q 为真可知，p ，q 至少有一个是真命题即可，所以p ∧q 不一定是真命题；反之，p ∧q 是真命题，p ，q 均为真命题，所以p ∨q 一定是真命题，②不正确；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】 B4．函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)<f (1) C ．f (－1)>f (1)D ．无法确定【解析】f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)＝x 2－4x ，f (1)＝－3，f (－1)＝5.∴f (－1)>f (1)． 【答案】 C5．命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0【解析】 故原命题的否定为：∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0.故选C. 【答案】 C6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.【答案】 D7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( ) 【导学号：25650148】A ．1 B.32C ．2D ．3【解析】 因为双曲线的离心率e ＝c a＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB的面积为12×p2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.【答案】 C8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值X 围为( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【解析】f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切线的倾斜角的X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至少一个B ．2个C ．1个D ．0个 【解析】 圆心到直线的距离为d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜2，∴m 2＋n 2＜4. 将P (m ，n )代入x 29＋y 24得：m 29＋n 24＝4m 2＋9n 236＜9m 2＋n 236＜1.∴P (m ，n )在椭圆内部，∴一定有两个交点． 【答案】 B10．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13【解析】f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x . 由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0，即kx ＋2k －2≤0在(0,4)上恒成立， 得k ≤2x ＋2，x ∈(0,4)， 又13＜2x ＋2＜1，∴k ≤13. 【答案】 D11．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值X围为( )A ．(1, 5)B ．(5，＋∞)C ．(1, 5]D ．[5，＋∞)【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有b a>2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2> 5.【答案】 B12．若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2【解析】 设f (x )＝e x－ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x.令f ′(x )＝0，得x e x－1＝0.根据函数y ＝e x与y ＝1x的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx(0<x <1)，则g ′(x )＝e xx －1x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴x 2e x 1>x 1e x 2. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________． 【解析】a ＋b ＋c ＝3的否定是a ＋b ＋c ≠3，a 2＋b 2＋c 2≥3的否定是a 2＋b 2＋c 2<3.【答案】 若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 14．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为 ________. 【导学号：25650149】【解析】y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3， 所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0. 【答案】 3x －y ＋1＝015.如图1为函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则不等式xf ′(x )＜0的解集为________．图1【解析】 当x ＜0时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数， 由图象可知x ∈(－∞，－3)；当x ＞0时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数，由图象可知x ∈(0, 2)． ∴xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0, 2)． 【答案】 (－∞，－3)∪(0, 2)16．若O 和F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．【解析】 由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.【答案】 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，某某数m 的取值X 围．【解】 对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <－4或m >12.对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0， 解得m <－3或m >6. 则命题q ：m <－3或m >6.因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题． 若命题p 为真命题且命题q 为假命题， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，得12<m ≤6； 若命题p 为假命题且命题q 为真命题， 即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.综上，实数m 的取值X 围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，6.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值． 【解】 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 从而g (x )＝f (x )－f ′(x ) ＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c ) ＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ∵g (x )是奇函数，∴－x 3＋(b －3)x 2－(c －2b )x －c ＝－[x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ] 得(b －3)x 2－c ＝0对x ∈R 都成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝0，c ＝0，得b ＝3，c ＝0.(2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2， 2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42，g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5. (1)求b 的值；(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.【解】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，|AB |＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝51－b 2－b 2＝35，解得b ＝－4.(2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0， 设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5.△APB 的面积S ＝12×|2a －4|5×35＝39，则a ＝－11或15，所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】 (1)设商品降低x 元时，多卖出的商品件数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)·(432＋kx 2) ＝(21－x )·(432＋kx 2)，又由已知条件24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，有f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：故x ＝因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a <0)．(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值；(2)若∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立，某某数a 的取值X 围． 【解】 由题意，x >0.(1)当a ＝－1时，f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x，令f ′(x )＝x －1x>0，解得x >1，所以f (x )的单调增区间为(1，＋∞)；f ′(x )＝x －1x<0，得0<x <1，所以f (x )的单调减区间为(0,1)，所以函数f (x )在x ＝1处有极小值f (1)＝12.(2)因为a <0，f ′(x )＝x ＋a x. 令f ′(x )＝0，所以x ＝－a ， 列表：这时f (＝－a2＋a ln －a ，因为∀x >0，不等式f (x )≥0恒成立， 所以－a2＋a ln －a ≥0，所以a ≥－e ，所以a 的取值X 围为[－e,0)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值X 围. 【导学号：25650150】【解】 (1)由题意e ＝12，即e ＝c a ＝12，∴a ＝2c .∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2.∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 23c2＝1.代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1. 解得c 2＝1，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0， 整理得：3＋4k 2－m 2＞0，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)， x 0＝x 1＋x 22＝－4km3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k2. 由已知，MN ⊥GP ，即k MN ·k GP ＝－1， 即k ·3m3＋4k2－0－4km 3＋4k 2－18＝－1，整理得：m ＝－3＋4k28k .代入①式，并整理得：k 2＞120， 即|k |＞510，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞.。
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何章末综合测评课时分层作业含解析新人教B版选择性必修第一册
章末综合测评(二) 平面解析几何一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13 B ．－13 C ．3D ．－3B [设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13．] 2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋5＝0垂直，则实数a 的值是( )A ．23B ．1C ．12D ．2A [直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋5＝0垂直， 则a ×1＋2(a －1)＝0， 解得a ＝23．]3．若方程x 2＋y 2－x ＋y －2m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14C [根据题意，方程x 2＋y 2－x ＋y －2m ＝0表示一个圆， 则有1＋1－4×(－2m )＞0，解的m ＞－14，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞．]4．过点A (1,0)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2A [设直线l 方程为y ＝k (x －1)，则圆心到直线l 的距离为|－1|1＋k2＝11＋k2，则弦|AB |＝21－11＋k2＝2，解得k ＝±1．] 5．已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心．若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( )A ．27B ．10C ．8D ．6B [由题意知，a ＝4，b ＝3，c ＝5．又由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝8．设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ．∵S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，∴12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即4R ＝8，∴R ＝2，∴S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10．故选B ．]6．焦点为(0，±3)，且与双曲线x 22－y 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是( ) A ．x 23－y 26＝1 B ．y 23－x 26＝1 C ．y 26－x 23＝1D ．x 26－y 23＝1B [双曲线x 22－y 2＝1中，a 2＝2，b 2＝1，所以渐近线方程为y ＝±12x ，所以所求双曲线的方程中a b ＝12，c ＝3，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝3，b 2＝6，则双曲线方程为y 23－x 26＝1，故选B ．]7．若圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1与圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2外切，则正数r的值是()A．2 B．3C．4 D．6C[圆C1：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆C2：(x＋2)2＋(y＋3)2＝r2，∴C1坐标为(1,1)，半径为1，C2坐标为(－2，－3)，半径为r，∴|C1C2|＝r1＋r2⇒(1＋2)2＋(1＋3)2＝r＋1⇒r＝4．]8．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A．22B．2－ 3C．5－2 D．6－ 3D[设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m．由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a．在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2，即c2＝(9－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝ca＝6－3．]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是()A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝43x D．y＝2x＋1BC[对于A，d1＝|5－0＋1|2＝32>4；对于B，d2＝2<4；对于C，d3＝|5×4－3×0|5＝4；对于D，d4＝|5×2－0＋1|5＝115>4，所以符合条件的有BC．]10．实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于yx－1的判断正确的是()A．yx－1的最大值为 3B．yx－1的最小值为－ 3C．yx－1的最大值为33D．yx－1的最小值为－33CD[由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C(－1,0)，半径为1的圆，由yx－1为圆上的点与定点P(1,0)的斜率的值，设过P(1,0)点的直线为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，圆心到直线的距离d＝r，即|－2k|1＋k2＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±33，所以yx－1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，即yx－1的最大值为33，最小值为－33．]11．已知点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y －2)2＝4上的动点，若∠P AQ的最大值为60°，则点A的坐标可以是() A．(4,6) B．(2,8)C．(6,4) D．(8,2)AD[点A是直线l：x＋y－10＝0上一定点，点P，Q是圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4上的动点，如图：圆的半径为2，所以直线l 上的A 点到圆心的距离为4， 结合图形，可知A 的坐标(4,6)与(8,2)满足题意．]12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( )A ．渐近线方程为y ＝±3xB ．渐近线方程为y ＝±33x C ．∠MAN ＝60° D ．∠MAN ＝120°BC [由题意可得e ＝c a ＝233，可设c ＝2t ，a ＝3t ，t ＞0， 则b ＝c 2－a 2＝t ，A (3t,0)，圆A 的圆心为(3t,0)，半径r 为t ，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±33x ， 圆心A 到渐近线的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33·3t 1＋13＝32t ，弦长|MN |＝2r 2－d 2＝2t 2－34t 2＝t ＝b ，可得三角形MNA 为等边三角形， 即有∠MAN ＝60°．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y ＝1对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为 ．2 [圆的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋(y ＋1)2＝a 24，表示以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1为圆心，以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2为半径的圆，关于直线x －y ＝1对称的圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，故有－1－0a 2－0×1＝－1，得a ＝2．]14．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率为 ．－23 [设P (a,1)，Q (b ，b －7)，由PQ 中点坐标为(1，－1)得⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1，解得a ＝－2，b ＝4．∴P (－2,1)，Q (4，－3) 直线l 的斜率为－3－14＋2＝－23．]15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为 ．x 23＋y 22＝1 [由椭圆的定义，可知△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3．又离心率c a ＝33，所以c ＝1．由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1．]16．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则双曲线方程为 ，离心率为 ．(本题第一空2分，第二空3分)x 24－y 24＝12 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由题意知两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可知ba ＝1，又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，由a 2＋b 2＝c 2可得2a 2＝(22)2，解得a ＝2．∴b ＝2，∴双曲线方程为x 24－y 24＝1，离心率为e ＝ca ＝2．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P (4,3)到直线l 的距离为32，求直线l 的方程．[解] 若l 在两坐标轴上截距为0， 设l ：y ＝kx ，即kx －y ＝0，则|4k －3|1＋k2＝32．解得k ＝－6±3214．此时l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x ； 若l 在两坐标轴上截距不为0，设l ：x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，则|4＋3－a |12＋12＝32．解得a ＝1或13．此时l 的方程为x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0． 综上，直线l 的方程为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6±3214x 或x ＋y －1＝0或x ＋y －13＝0． 18．(本小题满分12分)过原点O 的圆C ，与x 轴相交于点A (4，0)，与y 轴相交于点B (0,2)．(1)求圆C 的标准方程．(2)直线l 过点B 与圆C 相切，求直线l 的方程，并化为一般式． [解] (1)设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 分别代入原点和A (4,0)，B (0,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(4－a )2＋b 2＝r 2，a 2＋(2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝ 5.则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5． (2)由(1)得圆心C (2,1)，半径r ＝5， 由于直线l 过点B 与圆C 相切， 则设直线l ：x ＝0或y ＝kx ＋2，当直线l ：x ＝0时，C 到l 的距离为2，不合题意，舍去；当直线l ：y ＝kx ＋2时，由直线与圆相切，得到圆心到直线距离d ＝r ， 即有|2k －1＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝2，故直线l ：y ＝2x ＋2，即2x －y ＋2＝0．19．(本小题满分12分)已知椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．[解] 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． ∵b a ＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b ，∴椭圆的方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1．设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32的距离为d ，则d 2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝4b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，－b ≤y ≤b ．记f (y )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3，－b ≤y ≤b ．①当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4b 2＋3＝7，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1；②当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝±7－32，与0＜b ＜12矛盾．综上，可知所求椭圆的方程为x 24＋y 2＝1．20．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝8611．(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ，得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1x 2＝1． ∵|AB |＝8611， 即[1＋(－1)2][(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝8611，∴121p 2＋242p －48＝0， 解得p ＝211或p ＝－2411(舍去)， ∴抛物线的方程为y 2＝411x ．(2)设AB 的中点为点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1311，－211．假设在x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)，连接CD ． ∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，即0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－211x 0－1311·(－1)＝－1，解得x 0＝1511，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1511，0，∴|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1511－13112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋2112＝2211． 又|CD |＝32|AB |＝12211≠2211，∴矛盾，不符合题目条件， ∴在x 轴上不存在一点C ，使△ABC 为正三角形．21．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)求圆的方程；(2)若直线ax －y ＋5＝0(a ≠0)与圆相交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (－2,4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心坐标为M (m,0)(m ∈Z )，由于圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5，所以|4m －29|5＝5，即|4m －29|＝25， 即4m －29＝25或4m －29＝－25，解得m ＝272或m ＝1．因为m 为整数，故m ＝1，故所求的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25．(2)设符合条件的实数a 存在，因为a ≠0，则直线l 的斜率为－1a ，所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0．由于直线l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1,0)必在直线l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34．经检验，当a ＝34时，直线ax －y ＋5＝0与圆有两个交点，故存在实数a ＝34，使得过点P (－2,4)的直线l 垂直平分弦AB ．22．(本小题满分12分)设斜率不为0的直线l 与抛物线x 2＝4y 交于A ，B 两点，与椭圆x 26＋y 24＝1交于C ，D 两点，记直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4．(1)若直线l 过(0,4)，证明：OA ⊥OB ；(2)求证：k 1＋k 2k 3＋k 4的值与直线l 的斜率的大小无关． [证明] (1)设直线方程为y ＝kx ＋4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相乘可得(x 1x 2)2＝16y 1y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋4x 2＝4y可得x 2－4kx －16＝0， 则x 1x 2＝－16，y 1y 2＝16，x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，OA ⊥OB .(2)设直线y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 2＝4y可得x 2－4kx －4m ＝0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ， k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝x 14＋x 24＝k ， 联立y ＝kx ＋m 和椭圆2x 2＋3y 2＝12，可得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0， Δ＝36k 2m 2－4(2＋3k 2)(3m 2－12)＞0，即4＋6k 2＞m 2，x 3＋x 4＝－6km 2＋3k 2，x 3x 4＝3m 2－122＋3k 2， k 3＋k 4＝y 3x 3＋y 4x 4＝kx 3＋m x 3＋kx ＋m x 4＝2k ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋1x 4＝2k ＋m (x 3＋x 4)x 3x 4＝2k －6km 23m 2－12＝－8k m 2－4， 则k 1＋k 2k 3＋k 4＝－m 2－48与直线l 的斜率的大小无关．。
高二数学选修1-2全册同步练习2、4章末
4章章末1．下列结构图中要素之间表示从属关系是()[答案] D2．(2010·浙江文，4)某程序框图如图所示，若输出S＝57，则判断框内为()A．k>4？B．k>5?C．k>6? D．k>7?[答案] A[解析]本题考查了程序框图．该程序依次如下运行：初值：S＝1，k＝1①k＝2，S＝4②k＝3，S＝11③k＝4，S＝26④k＝5，S＝57最后输出S＝57，∴判断框中应填k>4?3．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是________．[答案] 3[解析]由题意知，当x≤3，A完工需要2天，当B完工时，需用5天，而D完工需用4天，所以完成这套工程需用9天，合题意．当x>3时，A，B完工后，工序C还需用x－3天，D完工还需4天，所以完成这套工程共需5＋(x－3)＋4＝6＋x>6＋3＝9天，不合题意．所以完成工序C需要的天数x最大是3.4．若框图所给的程序运行的结果为s＝90，要么判断框中应填入的关于k的判断条件是________．[答案]k≤8[解析]由框图可知其作用是计算s＝1×10×9×…，当运行结果为s＝90时，应有s ＝1×10×9，∴当k＝8时应符合条件且k>8不符合条件．∴条件应为k≤8.5．阅读下图的程序框图．若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“ ＝”)[答案]12 3[解析]输入m＝4，n＝6，则i＝1时a＝m×i＝4，n不能整除4，∴i＝2，a＝m×i＝8，n不能整除8.∴i＝3，a＝m×i＝12,6能整除12.∴a＝12，i＝3.6．一个老农带一匹狼、一只羊和一筐青菜准备过河，但因船小，过河时每次只能带一样东西，然而老农不在时，狼会把羊吃掉，羊也会把青菜吃掉，问老农怎样过河才能使所有的东西全部带到彼岸，请画出解决问题的流程图．[答案]。
2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-2《统计案例》章末试题B及答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若用独立性检验我们有99%的把握说事件A与B有关，则( )A．χ2>0.618 B．χ2>6.635C．χ2≤3.841 D．χ2>0.6322．设有一个回归方程为y＝3－5x，变量x增加一个单位时( )A．y平均增加3个单位B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位D．y平均减少3个单位3．下列属于相关关系的是( )A．利息与利率B．居民收入与储蓄存款C．电视机产量与苹果产量D．某种商品的销售额与销售价格4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高(cm)与年龄(岁)的回归模型为y＝7.19x＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( ) A．身高一定是145.83 cmB．身高在145.83 cm以上C．身高在145.83 cm以下D．身高在145.83 cm左右5．经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当χ2≤2.706时，我们认为事件A与B( )A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下有关系B．在犯错误的概率不超过0.01的前提下有关系C．没有充分理由认为A与B有关系D．不能确定6．甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则在A与B，A与B，A与B，A与B中，满足相互独立的有( )A．1对B．2对C．3对D．4对7．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的线性回归方程为y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是( )A．直线y＝bx＋a必经过点(x，y)B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为∑ni＝1x i y i－n x y∑ni＝1x2i－n x2D．直线y＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)的偏差∑ni＝1[y i－(bx i＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点偏差中最小的8．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程y^＝0.66x＋1.562(单位：千元)，若某城市居民消费水平为7.675，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比约为( )A．83% B．72% C．67% D．66%9．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机抽取了50名学生，得到如下列联表：喜欢数学不喜欢数学合计男13 10 23女7 20 27合计20 30 50根据表中数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844>3.841，你认为性别与是否喜欢数学课程之间有关系，这种判断的把握有( )A．90% B．95%C．99% D．无充分依据10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元) 4 2 3 5销售额y(万元) 49 26 39 54根据上表可得线性回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元11．下列说法中正确的有( )①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1，或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上A．①② B．②③ C．①③ D．①②③12．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )A．y＝－10x＋200 B．y＝10x＋200C ．y ＝－10x －200D ．y ＝10x －200二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．14．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y ＝250＋4x ，当施化肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．15．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．16．在研究某新措施对“非典”的防治效果问题时，得以下数据：存活数 死亡数 合计 新措施 132 18 150 对照 114 36 150 合计24654300据上表，有________的把握认为新措施有效．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)面对SARS ，各国科研机构都在研究疫苗，现有A 、B 、C 三个独立的机构在一定时期内能研制出来疫苗的概率分别是14、13、12.求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能研制出疫苗的概率．18．(12分)某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．19.(12分)现对x、y有如下观测数据：x 18 25 30 39 41 42 49 52y 3 5 6 7 8 8 9 10 试求y对x的线性回归方程．20．(12分)研究某特殊药物有无副作用(比如恶心)，给50个患者服用此药，给另外50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表，试问此药物有无副作用.有恶心无恶心合计给药A 15 35 50给安慰剂A 5 45 50合计20 80 10021.(12分)考察人的高血压病是否与食盐摄入量有关，对某地区人群进行跟踪调查，得到以下数据：患高血压未患高血压合计喜欢较咸食物34 220 254喜欢清淡食物26 1 353 1 379合计60 1 573 1 633 请根据数据作出分析说明．22．(12分)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得数据如下表所示：零件数x(个) 12345670 80 90 100加工时间y(分) 626875818995102108115122用变量y与x的相关系数说明两变量有无线性相关关系，若有，求出其线性回归方程．第一章统计案例(B)答案1．B2．B [－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均减少5个单位．] 3．B4．D [145.83 cm 只是身高的预测值，不是精确值．] 5．C 6.D7．B [回归直线不一定过某个样本点，一定过样本点的中心(x ，y )．] 8．A [∵y ＝7.675，∴7.675＝0.66x ＋1.562 ∴x ＝9.262，由题意7.6759.262×100%≈83%.故选A.] 9．B10．B [∵x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，又y ＝bx ＋a 必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ，∴a ＝9.1.∴线性回归方程为y ＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．] 11．C12．A [由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意，故选A.] 13.35解析 设此队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，∴p ＝35. 14．450 kg解析 把x ＝50代入y ＝250＋4x ， 可求得y ＝450(kg)．15．y ＝－10＋6.5x解析 由题意知x ＝2，y ＝3，b ＝6.5，所以a ＝y －b x ＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ＝－10＋6.5x.16．99%解析 χ2＝300×(132×36－114×18)2246×54×150×150≈7.317>6.635.故我们有99%的把握认为“新措施对防治非典有效”．17．解 这是三个独立事件，记A 、B 、C 分别表示他们研制成功这件事． 那么P(A)＝14，P(B)＝13，P(C)＝12.(1)都研制出来，等价于独立的A 、B 、C 同时发生，记作ABC ， 故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C) ＝14×13×12＝124. (2)他们都失败意味着都没研制出来，即A 、B 、C 独立事件同时发生． P(A ·B ·C )＝34×23×12＝624＝14.(3)他们能研制出来，表明至少一个研制了出来，即A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ，设此事件为D ，则D ＝A ·B ·C ，所以P(D)＝1－P(D )＝1－14＝34.18．解 能．根据题目所给数据得到如下列联表：哑 不哑 总计 聋416241657不聋249 431 680总计665 672 1 337 根据列联表中数据得到χ2＝1 337×(416×431－241×249)2657×680×665×672≈95.291>6.635.因此有99%的把握认为聋与哑有关系．19．解可求得：x＝37，y＝7，∑8i＝1x2i＝11 920，∑8i＝1x i y i＝2 257.设线性回归方程为y＝a＋bx，则b＝∑8i＝1x i y i－8x y∑8i＝1x2i－8x2＝2 257－8×37×711 920－8×372＝185968≈0.19，a＝y－b x＝7－0.19×37＝－0.03.∴线性回归方程为y＝0.19x－0.03.20．解由题意，问题可以归纳为独立检验．χ2＝100×(15×45－5×35)250×50×20×80≈6.25>3.841.即有95%的把握说该药物与副作用(恶心)有关．21．解由公式计算χ2＝1 633×(34×1 353－220×26)260×1 573×254×1 379≈80.155.因为80.155>6.635，因此认为高血压与食盐摄入量有关的把握为99%.22．解由已知列出下表：i 1 2 3 4 5x i10 20 30 40 50y i62 68 75 81 89x i y i620 1 360 2 250 3 240 4 450i 6 7 8 9 10x i60 70 80 90 100y i95 102 108 115 122x i y i 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200则x＝55，y＝91.7，∑10i＝1x2i＝38 500，∑10 i＝1y2i＝87 777，∑10i＝1x i y i＝55 950，代入数据计算得r＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)(87 777－10×91.72)＝0.999 8.∴y与x具有很强的相关关系．b＝∑10i＝1x i y i－10x y∑10 i＝1x2i－10x2≈0.668，a＝y－b x＝54.96，∴所求线性回归方程为y＝0.668x＋54.96.。
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章末综合测评(四)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用()
A．程序框图B．工序流程图
C．知识结构图D．组织结构图
[解析]这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.
[答案] B
2．在下面的图示中，是结构图的是()
A.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→得到一个明显成立的条件
C.
D.
[解析]A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．
[答案] B
3．如图是一结构图，在处应填入()
A．图象变换B．奇偶性
C．对称性D．解析式
[解析]函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.
[答案] B
4．阅读如图所示的知识结构图：
“求简单函数的导数”的“上位”要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个
[解析] “上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
[答案] C
5．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )
A.6
7 B.37 C.8
9
D.49
[解析] 第一次循环：S ＝
1
1×3
，i ＝2； 第二次循环：S ＝11×3＋1
3×5，i ＝3；
第三次循环：S ＝
11×3＋13×5＋15×7
，i ＝4，满足循环条件，结束循环．
故输出S＝
1
1×3
＋
1
3×5
＋
1
5×7
＝1
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
3＋
1
3－
1
5＋
1
5－
1
7＝
3
7，故选B.
[答案] B
6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是()
[解析]由学校教职工组织结构易知选A.
[答案] A
7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()
A ．s ≤3
4
B ．s ≤5
6
C ．s ≤11
12
D ．s ≤25
24
[解析] 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝1
2＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112.
[答案] C
8．如图是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )
A ．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B ．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C ．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D ．“向量的数乘”中“运算律”的下位
[解析]因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
[答案] A
9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于()
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
[解析]由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．综上，输出S的值属于[－3,6]．
[答案] D
10．如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是()
A．设备安装B．土建设计
C．厂房土建D．工程设计
[解析]结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
[答案] A
11．执行如图所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝()
A.113
B.49
C.299
D.43
[解析] x ＝9时，y ＝9
3＋2＝5，|y －x |＝|5－9|＝4>1不成立； x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪113－5＝4
3>1不成立；
x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝4
9<1成立，输出y ＝299. [答案] C
12．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x ＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )
A ．7
B ．12
C ．17
D ．34
[解析] 输入x ＝2，n ＝2.第一次，a ＝2，s ＝2，k ＝1，不满足k >n ； 第二次，a ＝2，s ＝2×2＋2＝6，k ＝2，不满足k >n ；
第三次，a ＝5，s ＝6×2＋5＝17，k ＝3，满足k >n ，输出s ＝17.
[答案] C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．
[解析]组织结构图一般采用“树”形结构．
[答案]“树”
14．如图为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．
[解析]基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．
[答案]指数函数、对数函数、幂函数
15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C 可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________．
[解析]由题意可画出工序流程图如图所示：
∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.
[答案] 3
16．执行如图所示的程序框图，输出的s值为________．
[解析]k＝0，s＝0，满足k≤2；s＝0，k＝1，满足k≤2；
s＝1，k＝2，满足k≤2；
s＝1＋23＝9，k＝3，不满足k≤2，输出s＝9.
[答案]9
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2 000的最大整数的程序框图．[解]如图：
18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．
[解]该公司局域网设置的结构图如图所示．
19．(本小题满分12分)写出《数学3(必修)》第2章“统计”的知识结构图．
[解]
20．(本小题满分12分)阅读如图所示的结构图：
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．
[解]先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．
最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．
若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
[解]选举过程流程图为：
22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部；市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部；工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作；技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．
根据以上信息，绘制出其组织结构图．
[解]该公司组织结构图如下：。