2016届高考数学考点专项突破复习讲义：不等式的综合应用(PDF版)

n
，依次下去得
Qn ，设 Qn 的横坐标为 an ，求证：
n i n ⎛ k ⎞ a ≥ + 1 （1） an = ⎜ ； （ 2 ） ； （ 3 ） < k2 − k . ∑ n ⎟ 1 k − a k − 1 ⎝ ⎠ i =1 i
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例题 9、x 轴上有一系列点 P 1, P 2, P 3,
不等式的综合应用
教 师：苗金利
不等式的综合应用
一、知识热点及复习策略 运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时，关键 在于把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中，要注意等价性；在应用均值不等式处理相 关问题时，有时要对式子的结构进行调整，创造所需形式。 二、例题分析 例题 1、设 a > b > 0 ，证明：
⇔
⇔
b a <1< ⇔a>b>0 a b
⎧b + c = x ⎪ 例题 2． （1）设： ⎨c + a = y ⎪a + b = z ⎩
y+z−x ⎧ ⎪a = 2 ⎪ z+x− y ⎪ ⎨b = 2 ⎪ x+ y−z ⎪ ⎪c = 2 ⎩
原式左边=
⎤ 6 y+z−x x+z− y x+ y−z 1⎡y+z x+z x+ y + + = ⎢ + + − 3⎥ ≥ y z 2x 2y 2z 2⎣ x ⎦ 2
k k −1 则切线 PnQn+1 方程：y− an +1 = k ⋅ an +1 (x−an+1)
k k −1 过点 Pn(an,0) ∴ 0- an +1 = kan +1 ( an − an +1 )
∴−an+1=k(an−an+1) 则
an +1 k = （常数） an k −1
又切线 PQ1︰y−ak1= ka1k −1 ( x − a1 ) 过点 P(1，0)︰0− a1k = ka1k −1 (1 − a1 ) ∴a1=
例题 6、四边形 ABCD 对角线交于 O 点，△ AOB 面积为 4，△ COD 面积为 16，求四边形 ABCD 面 积的最小值.
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⎧3x − y − 6 ≤ 0 ⎪ 例题 7、设 x，y 满足约束条件 ⎨ x − y + 2 ≥ 0 ，若目标函数 z = ax + by（a>0，b>0）的值是最大值 ⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 ⎩
n k − 1 ⎡⎛ k − 1 ⎞ ⎤ 1 − ⎢⎜ ⎟ ⎥ n +1 k ⎢ k ⎠ ⎦ ⎝ ⎥ ⎛ k −1⎞ ⎣ = − n⎜ ⎟ k −1 ⎝ k ⎠ 1− k
n
n +1
2
3
n
n +1
⎡ ⎛ k − 1 ⎞n ⎤ < (k − 1) ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ < k −1 ⎢ ⎝ k ⎠ ⎦ ⎥ ⎣
∴ an = ∴ a2 =
a3=
1 2 1 1 ≤ (n − 1)! (n − 1)(n − 2)
（2）当 n≥3 时，
Sn=1+1+
1 1 1 + + ... + 2 ×1 3 × 2 ×1 (n − 1)! 1 1 1 1 + + + ... + 2 ×1 3 × 2 4 × 3 (n − 1)(n − 2)
联立解得 B(4，6)，Zmax=4a+6b=12 则 2a+3b=6 1 3 ⎛ 2 3 ⎞ 2a + 3b 1 ⎛ 6b 6a ⎞ + =⎜ + ⎟ = ⎜4 + 9 + + ⎟ a b ⎝a b⎠ 6 a b ⎠ 6⎝
{
பைடு நூலகம்
1 25 ≥ (13 + 2 62 ) = 6 6
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例题 8.（1）证明：∵y=xk ∴y′=kxk−1
, Pn ,
，已知当 n ≥ 2 时，点 Pn 是把线段 Pn −1 Pn +1 , 作 n 等分的
分点中最靠近 Pn +1 的点，设线段 P 1P 2, P 2P 3,
∗
, Pn Pn +1 的长度分别为 a1 , a2 , a3 ,
, an ，其中 a1 = 1 .
（1）写出 a2 , a3 和 an ( n ≥ 2, n ∈ N ) 的表达式； （2）证明： a1 + a2 + a3 +
（2 ）
证明：原式 ⇔ a + b-2 ab ≤ a + b + c − 3 3 abc ⇔ 3 3 abc ≤ c + 2 ab ⇔ 3 3 cab ≤ c + ab + ab ⇔ 3 cab ≤ 得证
⎛a b⎞ bx ay ≥ a + b + 2 ab 例题 3．x+y=(x+y) ⎜ + ⎟ = a + b + + y x ⎝x y⎠
n 2 3
k −1 n i ⎛ k −1⎞ ⎛ k −1⎞ ⎛ k −1⎞ ⎛ k −1⎞ ∑ = ⎜ ⎟ + 2⎜ ⎟ + ... + (n − 1) ⎜ ⎟ + n⎜ ⎟ k i =1 ai ⎝ k ⎠ k k ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ k ⎠
1 n i k −1 ⎛ k −1⎞ ⎛ k −1⎞ ⎛ k −1⎞ ⎛ k −1⎞ = +⎜ ∑ ⎟ +⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ − n⎜ ⎟ i k i =1 a k ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠
≤1 + 1 +
1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 =1+1+ ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ... + ⎜ − ⎟ 2 2 3 3 4 n 1 n 2⎠ − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 =3− ＜3 n −1
当 n=1 时，S1=a1=1＜3 当 n=2 时，S2=a1+a2=1+1=2＜3 * 综上 n∈N ，有 a1+a2+a3+…+an＜3 （3）假设存在两点 P(p，ap)、Q(q，aq) 同时在 y =
例题 3、设 x, y ∈ R + ，a、b 是正常数，且
a b + = 1 ，求证： x + y ≥ a + b + 2 ab . x y
例题 4、a，b ∈ R 且 a + b < 1 ，求证： a − 2ab − b
2 2
2
2
< 2.
例题 5、某粮食批发市场每天随行情定价，某甲、乙两名采购员在每月同一天去该市场购买同一种大 米，甲每次购买 a 公斤，乙每次购买 b 元，问该方案实施三次后，谁的购买方式平均价格更低.
1 1 解法 1：S=4+16+ bc sin θ + ad sin θ 2 2
≥ 20 + 2
1 1 bc cos θ ⋅ ad sin θ 2 2
⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ = 20 + 2 ⎜ ab sin θ ⎟⎜ cd sin θ ⎟ = 20 + 2 4 × 16 = 36 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ (当且仅当 ab = cd 时) ∴Smin=36
( a − b) 2 a + b ( a − b) 2 < − ab < . 8a 2 8b
例题 2、设 a, b, c ∈ R ，证明： （1）
+
a b c 3 + + ≥ . b+c c+a a+b 2
（2） 2(
a+b a+b+c 3 − ab ) ≤ 3( − abc ) . 2 3
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为 12，求
2 3 + 的最小值. a b
例题 8、过 P(1,0)做曲线 C: y = x ( x ∈ (0, +∞), k ∈ N + , k > 1) 的切线，切点为 Q1 ，设 Q1 在 x 轴上的
k
投影为 P 1 ，又过 P 1 做曲线 C 的切线，切点为 Q2 ，设 Q2 在 x 轴上的投影为 P 2， 到一系列点 Q1 , Q2 , Q3 ,
( p≠q,
p、q>2 且 p, q ∈ N )
k 图象上 ( x − 1) 2
∴ ap =
k k ，且 aq = 2 (q − 1) 2 ( p − 1)
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∴ a p ( p − 1) 2 = aq (q − 1) 2 ∴ p −1 q −1 = ( p − 2)! (q − 2)!
⎛1 1 1⎞ 1 又(x+y+z) ⎜ + + ⎟ ≥ 3 3 xyz ⋅ 3 3 xyz ⎝x y z⎠
∴
3 x+ y+z ≥ ∴ x甲 ≥ x乙 1 1 1 3 + + x y z
答：若三次单价不全相同，则乙的均价低.若三次单价完全相同，则甲乙均价一样. 例题 6．设 OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，∠AOB= θ
参考答案（部分）
例题 1．
( a − b) 2 a + b ( a − b) 2 < − ab < 8a 2 8b
⇔
( a − b) 2 ( a − b ) 2 ( a − b) 2 a−b a− b a−b < < ⇔ < < 8a 2 8b 2 2 a 2 2 2 b