2013年1月线性代数(经管类)试题答案

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全国2013年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题与答案解析

1 2 1 3 3 D．
2
2 2 1 2 1 1 A 1 2 A1 A 2 A b b 0 b 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 是 Ax b 的解．，3
2 0 0 0 0 0 0 0 3 相似，则下列说法错误的是（ 7．若 3 阶方阵 A 与对角阵
1 1 3 4 4 5 0 k1 1 k 2 0 0 0 1
1 3 1 4 5 4 0 0 0 ，
0 2 1 1 0 0 0 0
1 4 3 2 6 2 1 3 1 2 6 2
1 1 0 2 0 0 0 0
1 2 3 1 0 0 0 0 ，
向量组的秩是 2， 1 , 2 是向量组的一个极大无关组．
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2013-2015 在最痛的日子里自考真题--本科（会计）
2013-2015 在最痛的日子里自考真题--本科（会计）
全国 2013 年 1 月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184
说明：本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置，αT 表示向量的转置，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式，A-1 表示方阵 A 的逆矩阵，R(A)表示矩阵 A 的秩.
1 1 2 2 3 3 3 4 4 4
．
1 2 3 4 0 4 6 8 0 0 6 8 0 0 0 8 1 4 6 8 192
1 2
解：
1 2 3 4
．
5 2 1 A 0 4 2 4 3 1 ， B 是三阶方阵，且满足 AB A 2 B E ，求 B ． 22．设

2013年1月自学考试02198线性代数试题和答案

线性代数---2013年1月1.设A、B为同阶方阵，则必有A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、(AB)T=ATBTD、|AB|=|BA|正确答案：D解析：只有D选项为矩阵的性质|AB|=|BA|=|A||B|.2.设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有A、ACB=EB、CBA=EC、BCA=ED、BAC=E正确答案：C解析：因为ABC=E，可以得到矩阵AB与矩阵C互为逆矩阵，所以CAB=E矩阵A与矩阵BC互为逆矩阵，所以BCA=E。

3.设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=A、-16B、-4C、4D、16正确答案：A解析：由矩阵的性质4.若同阶方阵A与B等价，则必有A、|A|=|B|B、A与B相似C、R(A)=R(B)D、正确答案：C解析：因为等价矩阵有相同的等价标准型，故秩相等。

5.设α1= (1，0，0)、α2=(2，0,0)、α3=(1，1，0)，则A、α1，、α2、α3线性无关B、α3可由α1、α2线性表示C、α1可由α2、α3线性表示D、α1、α2、α3的秩等于3正确答案：C解析：由，秩为2.可知线性相关；的秩为2；不能由线性表示；为一个极大无关组。

所以可以由线性表示，且．6.设向量空间V={ (x1，x2，x3)|x1+x2+x3=0}，则V的维数是B、1C、2D、3正确答案：C解析：向量空间V是方程x1+x2+x3=0的解空间，V的维数即为方程的基础解系的个数。

因为未知数n=3,系数矩阵的秩r=1。

所以解空间维数为n-r=2.7.若3阶方阵A与对角阵=相似，则下列说法错误的是A、|A|=0B、|A+E|=0C、A有三个线性无关特征向量D、R(A)=2正确答案：B解析：A选项：A与对角阵相似，A的特征值为2、0、3，所以B选项：A的特征值为2、0、3，则A+E的特征值分别为3、1、4，所以|A+E|=12.此选项错误。

C选项：A与对角阵相似，则A有3个线性无关的特征向量。

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。

每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分．1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( )A．-4B．-1C．1D．42．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACBB．ABCC．BACD．CBA3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A TB．A - A TC．A A TD．A T A4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( )5．矩阵的逆矩阵是（）6．设矩阵A=，则A中( )A．所有2阶子式都不为零B．所有2阶子式都为零C．所有3阶子式都不为零D．存在一个3阶子式不为零7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关B．A的列向量组线性无关C．A的行向量组线性相关D．A的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( )9．矩阵的非零特征值为( )A．4B．3C．2D．l10．4元二次型的秩为( )A．4B．3C．2D．l二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。

12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。

13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。

14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。

04184 线性代数(经管类)习题集及答案

西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分习题一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（）成立。

A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（）。

线性代数(经管类)参考答案

参考答案一.选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）1—5 C A B B D二. 填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）6. ___6_____.7. 2111⎛⎫⎪⎝⎭8. 13 9. ()10,25,16- 10. ()2,1,0T- 11. -2 12. 3 13. 60 14. 43,55⎛⎫⎪⎝⎭15. 2 三.计算题（本大题共 7 小题，每小题 9 分，共 63 分）16 . 解一 100100010010011001001001a a a b a b D c a b c d d ++==-++--100010001000aa ba b c d a b c a b c d+==++++++++解二 ()()111410111111101101001bD c a d++-=-⋅⋅-+-⋅---a b c d =+++ 17.解： 2AB -A =B -E2∴AB -B =A -E ()2A-E B =A -E()()12-∴B =A -E A-E()()()1-=A -E A -E A +E()=A+E315052432⎛⎫ ⎪B =- ⎪⎪-⎝⎭()12412112412118.,123012001113233012015234T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪A B =→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解：12412112032110152340103211001113001113---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 1003211100321101032110103211001113001113--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 3211=3211113T -⎛⎫ ⎪X -- ⎪ ⎪-⎝⎭则，331=22111113-⎛⎫⎪X - ⎪ ⎪--⎝⎭故.19.解：()12345,,,,αααααT T T T TA =1114311143113210113121355000003156700000--⎛⎫⎛⎫⎪⎪----- ⎪ ⎪=→⎪ ⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭∴向量组的秩=2且1α，2α是一个极大无关组(回答1α,3α；1α,4α；1α,5α也可).20.解：对增广矩阵作初等行变换()101211012110121213140113201132=123450226400000112130113200000b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪A A =→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为1342342132x x x x x x =---⎧⎨=-+-⎩，34x x ，是自由未知量，特解()*=1200ηT --，，，导出组同解方程组为13423423x x x x x x =--⎧⎨=-+⎩，34x x ，是自由未知量，基础解系()1=1110ξT--，，，，()2=2301ξT-，，，，通解为*1122=k k ηηξξ++，12k k R ∈，21.解：特征方程()()2200=0212221001a a aλλλλλλλλ-E -A --=---+-=-- 将特征值=1λ代入特征方程有()()=1212210a a E-A ---+-=，则2a =. 故()()()=213=0λλλλE-A ---，特征值为123=2=1=3λλλ，，.1=2λ对应的齐次线性方程组为123000000100100x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为23=0=0x x ⎧⎨⎩，1x 是自由未知量，特征向量1100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1ξ单位化为1100p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2=1λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨-⎩，3x 是自由未知量，特征向量2011ξ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，2ξ单位化为2011p ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3=3λ对应的齐次线性方程组为123100001100110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同解方程组为123=0=x x x ⎧⎨⎩，3x 是自由未知量，特征向量3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3ξ单位化为3011p ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，正交矩阵()123100,,00Q p p p ⎛⎫⎪⎪==⎝，213⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，使得1Q Q -A =Λ.011101110-⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭22.解：二次型矩阵()()211=11=21=011λλλλλλ--A -E ---+--令，123=2==1λλλ-得，.1211101=22=121011112000λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-A +E -→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，132333x x x x x x =-⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩ 1111ξ-⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则1111-⎛⎫⎪P =-⎪⎪⎭ 23111111==1=111000111000λλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪A +E --→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭当时,1232233x x x x x x x =-+⎧⎪∴=⎨⎪=⎩ 2110ξ-⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭， 3112ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则2110-⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭，3112⎛⎫⎪P =⎪⎪⎭因此=0⎛ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，X=TY . 化二次型为2221232f y y y =-++.四.证明题（本大题7分）23.证明：基础解系中向量个数为3.设()()()1123212331232220k k k ααααααααα++++++++=即()()()1231123212332220k k k k k k k k k ααα++++++++=123,,ααα是基础解系，故线性无关，因此123123123202020k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，系数行列式21112140112A ==≠，则齐次线性方程组只有零解，故1230k k k ===.因此1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++线性无关. 又()()()1231231231231231232=2=02=2=02=2=0ααααααααααααααααααA ++A +A +A A ++A +A +A A ++A +A +A 则1232ααα++，1232ααα++，1232ααα++也是该方程组的基础解系.说明：1.试卷题目均要求为自学考试真题；2.命题参照自学考试试卷的题型、题量；3.根据课程性质不同，可以更换或调整题型；4.试卷格式统一为：宋体五号单倍行距；选择题选项尽量排在一行；其他题型留出适当的答题区域。

《线性代数》(经科社2013版)习题解答_20141104224704

··· ··· ··· ···
an an ··· an + b
n 仿教材例1.4.4 n−1 ∑ = = = = = = = = = = = =b ( ai + b). i=1 或例1.4.6
a1 ··· a1
当b ̸= 0, 且
ai + b ̸= 0时, 方程组仅有零解.
i=1
13. 见《线性代数学习指导》P28例31.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
第 2章矩阵
习题2.1
略.
习题 2.2
5.(1)待定系数法. 仿教材例2.2.6.

线性代数自考(经管类)

2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.
3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.
4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.
5.范德蒙行列式的计算公式
例6求4阶行列式的值.
测试点行列式的计算
解
测试点个维向量线性无关相应的行列式;
解
所以且.
答案且.
2. 关于线性相关的几个定理
1) 如果向量组线性无关,而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.
矩阵的加、减、乘有意义的充分必要条件
例1设矩阵,，，则下列矩阵运算中有意义的是（）
A． B．
C． D．
测试点: 矩阵相乘有意义的充分必要条件
答案: B
例2设矩阵，，则 =_____________.
测试点: 矩阵运算的定义
解 .
例3设矩阵，，则____________.
3．转置对称阵和反对称阵
1）转置的性质
2）若，则称为对称（反对称）阵
例4矩阵为同阶方阵，则=（）
A． B．
C． D．
答案: B
例5设令,试求.
测试点矩阵乘法的一个常用技巧
解因为,所以
答案
例6为任意阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）
1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件：
1）定义: 设是一组维向量.如果存在个不全为零的数，使得
,
则称向量组线性相关，否则，即如果，必有
，则称向量组线性无关.
2) 个维向量线性相关的充分必要条件是至少存在某个是其余向量的线性组合.即线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.

线性代数(经管类专接本)

1.设A为三阶方阵且（）A.-108B.-12C.12D.108【正确答案】D【答案解析】2.行列式中第三行第二列元素的代数余子式的值为（）A.3B.-2C.0D.1【正确答案】B【答案解析】3.下列行列式的值为（）。

【正确答案】B【答案解析】4.设（）A.k-1B.kC.1D.k+1【正确答案】B【答案解析】将所求行列的第二行的-1倍加到第一行，这样第一行可以提出一个k,就得到k 乘以已知的行列式，即为k，本题选B.5.设多项式则f（x）的常数项为（）A.4B.1C.-1D.-4【正确答案】A【答案解析】f（x）=（-1）A12+xA13，故常数项为.6.已知三阶行列式D中的第二列元素依次为1，2，3，它们的余子式分别为-1，1，2，D的值为（）A.-3B.-7C.3D.7【正确答案】A【答案解析】根据行列式展开定理，得7.设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是（）.【正确答案】C【答案解析】这是行列式的性质.8.设都是三阶方阵，且，则下式（）必成立.【正确答案】B【答案解析】方阵行列式的性质9.行列式的值等于（）。

A.abcdB.dC.6D.0【正确答案】D【答案解析】10.当a=( )时，行列式的值为零。

A.0B.1C.-2C.2【正确答案】C【答案解析】所以 a= -2。

11.计算=（）。

A.18B.15C.12D.24【正确答案】B【答案解析】=1×3×5=1512.已知（）【正确答案】B【答案解析】由行列式的性质，且A是四阶的，所以可以判断B正确.13.n阶行列式（）等于-1。

【正确答案】A【答案解析】14.下面结论正确的是（）A.含有零元素的矩阵是零矩阵B.零矩阵都是方阵C.所有元素都是0的矩阵是零矩阵D.【正确答案】C【答案解析】这是零矩阵的定义15.行列式D如果按照第n列展开是（）。

A.a1n A1n+a2n A2n+...+a nn A nnB.a11A11+a21A21+...+a n1A n1C.a11A11+a12A21+...+a1n A n1D.a11A11+a21A12+...+a n1A1n【正确答案】A【答案解析】根据行列式定义可以知道选项A是正确的16.行列式中元素g的代数余子式的值为（）。

2013年线性代数考研资料真题及答案解析

把这个实对称矩阵称为二次型的矩阵.并把它的秩称为二次型的秩, 如果二次型 f(x1,x2,…,xn)的矩阵为 A, X=(x1,x2,…,xn)T, 则 f(x1,x2,…,xn)= X TAX. 标准二次型的矩阵为对角矩阵. 规范二次型的矩阵为规范对角矩阵.
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② 求作正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得 Q T AQ . 解：(1)A 的特征值为 0、0、3，属于 0 的特征向量： c1 1 c2 2 ， c1 ， c 2 不全为 0，属于 3 的特征向量： c 3，c 0 。 (2) Q T AQ 即 Q 1 AQ ，对 2 作施密特正交化， 2， 1 ， 1 先不动，修改
2007 年题
T 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1,2,-2, 1 =(1,-1,1) 是 A 的属于 1 的特征向
量.记 B=A5-4A3+E. (1)验证 1 也是 B 的特征向量. (2)求 B 的特征值和特征向量. (3) 求 B.
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, ) 0 ,则说和正交. 如果 (
如果向量组 … n 中的每个都是单位向量,并且两两正交,则称它们为 2， 1，单位正交向量组.
2. 正交矩阵定义 n 阶矩阵 Q 称为正交矩阵,如果它是实矩阵,并且 QQT=E(即 Q-1=QT). 命题 Q 是正交矩阵Q 的列向量组是单位正交向量组. Q 的行向量组是单位正交向量组.
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标准二次型规范二次型

线性代数(经管类)历年真题分章整编

历年真题汇总线性代数试卷的结构是：10个单选题，（占20分），10个填空题（占20分），6个计算题（占54分）和一个证明题（占6 分）第一章行列式一、历年真题出题数分布表二、历年真2．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k =（ B （0801）） A ．-2B ．-1C ．1D ．211．若0211=k ，则k =21．（0801） 21．计算四阶行列式1002210002100021的值．（0801）解：1515000210002100021180021000210002110402100021000211002************-=-==-=1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ）（0804） A ．-15B ．-6C ．6D ．15行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__．（0804）21．计算行列式D =4001030100211111的值．（0804）解：22000210011101111220021001110111131101210111011114001030100211111-=----=----=------= 1．3阶行列式011101110||---=ij a 中元素21a 的代数余子式=21A （ C ）（0904） A ．2-B ．1-C ．1D ．211．已知3阶行列式696364232333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=333231232221131211a a a a a a a a a _______________．（0904）12．设3阶行列式3D 的第2列元素分别为3,2,1-，对应的代数余子式分别为1,2,3-，则=3D _______________．（0904）21．已知3阶行列式=||ij a 4150231-x x 中元素12a 的代数余子式812=A ，求元素21a 的代数余子式21A 的值．（0904）解：由8445012=-=-=x x A ，得2-=x ，所以5)38(413221=+--=---=A ．2．已知3333231232221131211=a a a a a a a a a ，那么=---333231232221131211222222a a a a a a a a a （ B ）（0907） A ．24-B ．12-C ．6-D ．1212．若012131012=k ，则=k _____________．（0907）21．求行列式2267220253040431---=D 的值．（0907）解：8630208313269222534)3(26092202530404312267220253040431⨯=-⨯--=--=---=D96)16(6838123--=-⨯=⨯⨯= 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）（1004） A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-11．行列式2010200920082007的值为_____________．（1004）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb aD +++=的值．（1004）解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111ac a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----= ))()((11))((b c a c a b abc a c a b a c a b abc ---=++--=．2．计算行列式=----32320200051020203（ A ）（1007）A ．180-B ．120-C ．120D ．18021．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．（1007）解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D 1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ B ）(1101) A.12 B.24 C.36D.4811.行列式1221---k k=0，则k =__________-1,3_______________.(1101)21.计算行列式ba c c cbc a b b a a c b a ------222222(1101)11．行列式____2______.(1104)范德蒙公式 12．行列式2235001011110403--中第4行各元素的代数余子式之和为__________.(1104)1．设行列式=2，则=（ D ）A ．-6B ．-3C ．3D ．611．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3)=__-8________．12．设3阶矩阵A =，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__-3________．21．计算行列式．12．四阶行列式中项44133221a a a a 的符号为______2______．(1301)21．计算四阶行列式4321432143214321------． (1301) 解：1928641808600864043214321432143214321=⨯⨯⨯==------． 1．行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中22a 的代数余子式为（ C ）(1304) A ．33322322a a a a B ．33311311a a a a -C ．33311311a a a a D ．32312221a a a a -6．已知行列式3333222111=c b a c b a c b a ，则=+++333322221111222c c b a c c b a c c b a _______6_____．(1304)16．计算行列式dc ba D 100110011001---=，其中d c b a ,,,为常数．(1304) 解：dc b a b a ad c b a a d c b a D 100100010001100110010001100110011001-+++=--+=---=dc b a c b a ba a++++++=00100010001d c b a +++=．总结：第一章主要考察1.余子式及代数余子式设有三阶行列式 3332312322211312113a a a a a a a a a D =对任何一个元素ija ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ija 的余子式，记成ijM 例如3332232211a a a a M =，3332131221a a a a M =，2322131231a a a a M =再记ijj i ij M A +-=)1( ，称ijA 为元素ija 的代数余子式.例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==3111131113)1(i i i i i i i M a A a D22．行列式按一行或一列展开的公式1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ;00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 定理1（行列式展开定理）即),,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=或),,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++=前一式称为D 按第i 行的展开式，后一式称为D 按第j 列的展开式. 本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.3131212111113332312322211312113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==定理2 n 阶行列式n ija D =的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即)(02211k i A a A a A a kn in k i k i ≠=+++或)(02211s j A a A a A a ns nj s j s j ≠=+++3. ．行列式的性质1）.TA A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等 4.行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型.5.范德蒙行列式的计算公式三阶范德蒙德行列式))()((1112313122322213213x x x x x x x x x x x x V ---== 第二章矩阵一、历年真题出题数分布表二、历年真2008年1月1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ）08年1月 A ．-108B ．-12C ．12D ．108设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ）08年1月 A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ）08年1月 A ．2B ．4C ．8D ．1212．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．08年1月13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1．（08年1月）．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．（08年1月）解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．（08年1月）解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X 2008年4月1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．-108B ．-12C ．12D ．1083．设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ） A ．2B ．4C ．8D．1212．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 2009年4月2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a aa a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121112221121a a a a a a B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01101P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11012P ，则必有（ A ） A ．B A P P =21B ．B A P P =12C ．B P AP =21D ．B P AP =123．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C满足E ABC =，则=-1B（ D ）A ．11--C AB ．11--A CC ．ACD ．CA4．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，则2A 的秩为（B ）A ．0B ．1C ．2D ．313．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0121A ，则=+-E A A 22_______________．14．设A 为2阶矩阵，将A 的第2列的（2-）倍加到第1列得到矩阵B ．若⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321B ，则=A _______________．15．设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333220100A，则=-1A _______________．22．已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2011B ，矩阵X 满足X B AX =+，求X ．解：由X B AX =+，得B X A E =-)(，于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=--13/113/1313131201121113120111112)(11B A E X2009年7月1．设A ，B ，C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是（ C ） A ．T T T B A B A +=+)(B ．||||||B A AB =C ．CA BA C B A +=+)(D ．T T T AB AB =)(3．若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是（ C ） A ．*||1A A A =B ．0||=AC ．2112)()(--=A AD ．113)3(--=A A4．若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=251213A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=123214B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=213120C ，则下列矩阵运算的结果为23⨯矩阵的是（ D ） A ．ABCB ．T T B ACC ．CBAD ．T T T A B C11．设)1,3,1(-=A ，)1,2(=B ，则=B A T _____________．13．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310002021A ，则=*A _____________．14．已知O E A A =--822，则=+-1)(E A _____________．22．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0132A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=1213B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=021110C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101021D ，矩阵X 满足方程C D BX AX -=+，求X ．解：由C D BX AX -=+，得C D X B A -=+)(，于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=--25137112013111211201311121)()(11C D B A X2010年4月2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCAA ．8-B ．2-C ．2D ．84．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ） A ．P AB ．APC ．QAD ．AQ5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为012．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________． 22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T ；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A TT T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．2010年7月3．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．811．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ， 11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 2011年1月2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ A ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ C ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---16101512211λλ，对参数λ讨论矩阵A 的秩.2011年4月1．下列等式中，正确的是（ D ）A ．B ．3=C ．5D ．2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ） A ．B ．C ．D ．3．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C =，则C -1是（ C ）A ．B ．C ．D ．4．设A 为3阶矩阵，A 的秩r (A )=3，则矩阵A *的秩r (A *)=（ D ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．设向量，若有常数a ,b 使，则（） A ．a =-1, b =-2 B ．a =-1, b =2 C ．a =1, b =-2D ．a =1, b =214．设3阶方阵A 的行列式|A |=21，则|A 3|=____1/8______. 15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1B =B -1A =E ，则A 2+B 2=_____2E _____ 22．设A =，B =，C =，且满足AXB =C ，求矩阵X .2012年1月2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ A ） A ．E +A -1 B ．E -A C ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ D ）A ．可逆，且其逆为 B ．不可逆C ．可逆，且其逆为D ．可逆，且其逆为22．设矩阵A =，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1，求矩阵B ．2013年1月1．设A ,B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．||||||B A B A +=+ B ．BA AB =C ．T T T B A AB =)(D ．||||BA AB =2．设n 阶方阵A ,B ,C 满足E ABC =，则必有（ C ） A ．E ACB =B ．E CBA =C ．E BCA =D ．E BAC =3．设A 为三阶方阵，且2||=A ，则=-|2|A （ A ） A ．16-B ．4-C ．4D ．1611．设A ,B 均为三阶可逆方阵，且2||=A ，则=--|2|21B A B ____________．8||||||821-=-B A B13．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111A ，则A 的伴随阵=*A ____________．14．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 01320121，且2)(=A R ，则=t ____________．22．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=134240512A ，B是三阶方阵，且满足E B A AB -=-2，求B ．解：因为074207232070230511034230511||≠-=---=---=--=-E A ，所以E A -可逆，由EB A AB -=-2，得EA B AB -=-2，))(()(E A E A B E A +-=-，=B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+234250513E A ．2013年4月2．设A ,B 均为n 阶方阵，22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是（ D ） A ．EA =B ．O B =C ．B A =D ．BA AB =2BA -=7．A 是3阶矩阵，若4||=*A ，且0||<A ，则=||A ____________．8．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300220111A ，则=A A T ____________．17．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--104112010220111X ，求矩阵X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010220111A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=104112B ，则B XA =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=210100001200010111010100001220010111100010001010220111),(E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→210100002200010222⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210100212200010022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210100412200010002 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→12/1010022/11100010001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-210200412211A ，1-=BA X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--72/3422/1214384142121020041210411221． 18．设A 为3阶矩阵，将A 的第1列与第2列互换得到矩阵B ，再将B 的第2列加到第3列得到矩阵C ，求满足关系式C AQ =的矩阵Q ．解：由题意有B A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，C B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110001，所以C A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100110001010100001，满足关系式C AQ =的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110100001100110001010100001Q ．总结第二章是整本书的重点，主要考试点为1.重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点.(+ ;+;A B A AB BA B A B A B A BA AB B ±=+++=22222()()(-)--22(); ()2k k k AB ABAB AB A B A E A A E =≠±=±+如果AB O =，可能,.A O B O ≠≠例如1122,1122A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦都不为零，但AB O =2.方阵的行列式具有下列性质：设A ，B 为n 阶方阵，k 为数，则①A A T=；②A k kA n=③; ; ; T nA A A A AB A B λλ===二．可逆矩阵的概念与性质设A 为一个n 阶方阵，若存在另一个n 阶方阵B ，使满足E BA AB ==，则把B称为A 的逆矩阵，且说A 为一个可逆矩阵，意指A 是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A 的逆矩阵B 记为1-A ，从而A 与1-A 首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A ，B 为同阶可逆矩阵，0≠k 为常数，则①1-A 是可逆矩阵，且A A =--11)(；②AB 是可逆矩阵，且111)(---=A B AB ；③kA 是可逆矩阵，且111)(--=A kkA ④T A 是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即设P 为可逆矩阵，则B A PB PA =⇔= B A BP AP =⇔=2．伴随矩阵设)(ij a A =为一个n 阶方阵，ij A 为A 的行列式nij a A =中元素ij a 的代数余子式，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn nn n n A A A A A A A A A212221212111称为A 的伴随矩阵，记为*A （务必注意*A 中元素排列的特点）伴随矩阵必满足E A A A AA ==**1*-=n AA （n 为A 的阶数）3．n 阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n 阶方阵A 可逆⇔0≠A ，且*11A AA=- 推论：设A ，B 均为n 阶方阵，且满足E AB =，则A ，B 都可逆，且B A =-1，A B =-14.用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A 为任一个n 阶可逆矩阵，构造n n 2⨯矩阵（A ，E ）然后 ),(),(1-→A E E A 例3 求解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----213411421412311X （重点大题）解：令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=213411,421412311B A ，则矩阵方程为B AX =，这里A 即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘1-A ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==-2052032134111132141241B A X也能用初等行变换法，不用求出1A -，而直接求B A 1-),(201005201003001214213441211311),(1B A E B A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=则 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-2052031B A X矩阵方程的标准形及解的公式11111212;;.AX B X A B XA B X BA A XA B X A BA ----=⇒==⇒==⇒=都是通过左乘或者右乘得到，左乘是指等号两边的式子都是在最左边乘，位置不能换。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案线性代数试题及答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】04184线性代数（经管类）2⼀、⼆、单选题1、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D2、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D3、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B4、A:-3 B:-1C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D6、A:18 B:15C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B20、A:k-1 B:kC:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B21、⾏列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.做题结果：A22、关于n个⽅程的n元齐次线性⽅程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果⾏列式不等于0，则⽅程组必有⽆穷多解B:如果⾏列式不等于0，则⽅程组只有零解C:如果⾏列式等于0，则⽅程组必有唯⼀解D:如果⾏列式等于0，则⽅程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶⾏列D中的第⼆列元素依次为1、2、3，它们的余⼦式分别为-1、1、2，则D的值为。

【】A:-3 B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0 B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、A:abcd B:dC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、A:a≠2 B:a≠0C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B28、A:-2|A| B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下⾯结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是⽅阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶⽅程，λ为实数，下列各式成⽴的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。

线性代数04184参考答案2013.1月考试

[]2013年1月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷答案及评分标准(课程代码 04184)一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.B 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分） 11、- 32 12、+ 13、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1112 14.-2 15、316、X =k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111 k 为任意常数 17、λ1=λ2=3 18、60 19、2020、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0002或⎥⎦⎤⎢⎣⎡2000三、计算题（本题共6小题，每小题9分，共54分）21、解：原式=2*3*41111111111111111------[]141312r r r r r r +++242000220022201111=19222、解： AB – A 2=B – E ∴AB – B =A 2– E （A – E ）B =A 2 – E ∴B=(A –E)1-（A 2-E ）=(A –E)1-(A – E)(A+E)=A+E∴B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--234250513 23、解：令A=[]TT T T T 54321ααααα，，，，=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-765135-53121-2-31-13-4111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000001311034111 ∴向量组的秩=2且21αα，是一个极大无关组 24、解：A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--t 77212121-23231-1→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------354104541032311t →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------700454*******t 当T=7时，方程组有解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==-+=443343243145413x x x x x x x x x x通解X=K 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0141+K 2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1053+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0041 25、P1-AP =D∴A =PDP 1- ∴A 5=PD 5P 1-=P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55200)1(P 1- 而P1-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3/13/13/43/1 ∴A 5=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1141⎪⎪⎭⎫⎝⎛-32001⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3/1-3/13/43/1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211444326、解：二次型矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101110 令E A λ-=λλλ-111111----= -(21-2））（λλ+=0 得12-32,1===λλλ，当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=000110101211121-11-22E A 2-1时，λ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==333231xx x x x x ∴1ξ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--111 P 1=1/3⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111当时，121==λλA+E=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0000011-1111-1-11-1-－１１ ⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112ξ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2113ξ P 2=1/2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011,P 3=1/6⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211T =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----6/203/16/12/13/16/12/13/1,X =TX 化为二次型为F= -2Y 21+Y 22+Y 23 四、证明题（本题共1题，，共6）27、证明：设1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛131211a a a ，a 2=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232221a a a ，a 4=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434241a a a 为任意四个三维向量向量组A ：4321,,,a a a a 线性相关⇔R （Ａ）＜４而R （Ａ）＝Ｒ［ａ1，432,,a a a ］43<≤ ∴4321,,,a a a a 线性相关由4321,,,a a a a 假设的任意性，即命题成立。

线性代数(经管类)试题答案

全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A ,B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．||||||B A B A +=+ B ．BA AB =C ．T T T B A AB =)(D ．||||BA AB =A ．E ACB =B ．E CBA =C ．E BCA =D ．E BAC =A ．16-B ．4-C ．4D ．16A ．||||B A =B ．A 与B 相似C ．)()(B R A R =D ．∑∑===ni ii ni ii b a 115．设)0,0,1(1=α,)0,0,2(2=α,)0,1,1(3=α，则（ C ） A ．1α,2α,3α线性无关 B ．3α可由1α,2α线性表示 C ．1α可由2α,3α线性表示D ．1α,2α,3α的秩等于312（ D ） A ．+1α2αB ．-1α2αC ．+β+1α2αD ．32311+αβα-27．若3阶方阵A 与对角阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ300000相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．0||=AB ．0||=+E AC ．A 有三个线性无关特征向量D ．2)(=A R321A ．0B ．1C ．2D ．3A ．2-B ．1-C ．0D ．110．对称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112A 是（）A ．负定矩阵B ．正定矩阵C ．半正定矩阵D ．不定矩阵11．设A ,B 均为三阶可逆方阵，且2||=A ，则=--|2|21B A B ____________．4413322113．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21A ，则A 的伴随阵=*A ____________． 14．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 01320，且2)(=A R ，则=t____________． 321i ],,[321211αααααα+++=B ，则=||B ____________．16．三元方程组⎩⎨⎧=-=+002131x x x x 的通解是____________．17．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4112A ，则A 的特征值是____________．19．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100与⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100010B 相似，则=x ____________．20．实对称矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1111A 的正交相似标准形矩阵是____________．21．计算四阶行列式4321432143214321------．解：1928641808600864043214321432143214321=⨯⨯⨯==------． 22．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=134240512A ，B 是三阶方阵，且满足E B A AB -=-2，求B ．解：因为074207232070230511034230511||≠-=---=---=--=-E A ，所以E A -可逆，由E B A AB -=-2，得E A B AB -=-2，))(()(E A E A B E A +-=-，=B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+234250513E A ．23．设)3,2,1,1(1=α,)1,1,1,1(2-=α,)5,3,3,1(3=α,)6,5,2,4(4-=α,)7,5,1,3(5----=α，试求向量组54321,,,,ααααα的秩和一个极大无关组．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=2622013110262203411176513553121231134111],,,,[54321T T T T T ααααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000002622034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000001311034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000000001311021201，向量组的秩是2，21,αα是向量组的一个极大无关组．24．设四元方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=++-tx x x x x x x x x x x x 432143214321772222323，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=35410454103231177212121232311],[t t b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→700004541032311t ， 7=t 时，2)(),(==A R b A R ，该方程组有解，此时],[b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→000004541032311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→000004541013101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++-=++-=443343243154431x x x x x x x x x x ，该方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10530141004121k k ，21,k k 是任意常数．25．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1141P ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2001D ，矩阵A 由矩阵方程D AP P =-1确定，试求5A ．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==*-114131114131||11P P P ，1-=PDP A ， 15111115))()()()((------==PPD PDP PDP PDP PDP PDP A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114120011141315⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=114132*********⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3733132129311141321128131．26．求正交变换PY X =，化二次型323121321222),,(x x x x x x x x x f ++-=为标准形．解：二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011101110A ， 10011112)1(1101111)1(1101111111111||-+--=---=----=----=-λλλλλλλλλλλλλλA E22)1)(2()2)(1(112)1(-+=-+-=+-=λλλλλλλλ，A 的特征值为121==λλ，23-=λ．对于121==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1012α，正交化：=1β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=12/12/101121101||||),(1211222βββααβ，单位化：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==01121||||1111ββp ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==2116112/12/162||||1222ββp ；对于23-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：λλλ111111----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-000110101211121112A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1113α，单位化：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==11131||||1333ααp ．令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=3/16/203/16/12/13/16/12/1P ，则P 是正交矩阵，使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=200010001AP P T ，经过正交变换PY X =，二次型化为标准形2322212y y y f -+=．四、证明题（本题6分）27．证明任意4个3维向量组线性相关．证：设),,(321i i i i a a a =α是任意的3维向量，4,3,2,1=i ．令044332211=+++ααααk k k k ，即0),,(),,(),,(),,(4342414333231323222121312111=+++a a a k a a a k a a a k a a a k ，得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++000443333223113442332222112441331221111k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a ，方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，4321,,,αααα线性相关．。

《线性代数(经管类)》(课程代码04184)校考试题答案

《线性代数(经管类)》(课程代码04184)第一大题：单项选择题1、设行列式=1 , =2, 则= ( D )•错误!未找到引用源。

A.—3•错误!未找到引用源。

B.—1•错误!未找到引用源。

C.1•错误!未找到引用源。

D.32、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（ B ）•错误!未找到引用源。

A.—1•错误!未找到引用源。

B.•错误!未找到引用源。

C.•错误!未找到引用源。

D.13、设矩阵A，B，C为同阶方阵，则=__B__•错误!未找到引用源。

A.•错误!未找到引用源。

B.•错误!未找到引用源。

C.•错误!未找到引用源。

D.4、设A为2阶可逆矩阵，且已知= ，则A=（ D ）•错误!未找到引用源。

A.•错误!未找到引用源。

B.•错误!未找到引用源。

C.•错误!未找到引用源。

D.5、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是（ A ）•错误!未找到引用源。

A.A的列向量组线性无关•错误!未找到引用源。

B.A的列向量组线性相关•错误!未找到引用源。

C.A的行向量组线性无关•错误!未找到引用源。

D.A的行向量组线性相关6、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为（ A ）•错误!未找到引用源。

A.•错误!未找到引用源。

B.•错误!未找到引用源。

C.•错误!未找到引用源。

D.7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3 则 ||= ( A )•错误!未找到引用源。

A.•错误!未找到引用源。

B.•错误!未找到引用源。

C.7•错误!未找到引用源。

D.128、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ A ）•错误!未找到引用源。

A.•错误!未找到引用源。

B.•错误!未找到引用源。

C.•错误!未找到引用源。

D.9、二次型的矩阵为（ C ）•错误!未找到引用源。

2007年4月-2013年1月全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184试卷及答案

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A ＊表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2．设矩阵A ＝（1，2），B ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（）A ．ACB B ．ABC C ．BAC D ．CBA 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（）A ．A ＋A T B ．A －A T C ．AA T D ．A T A 4．设2阶矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，则A ＊＝（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 5．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0133的逆矩阵是（）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中（）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（） A ．A 的列向量组线性相关B ．A 的列向量组线性无关C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（） A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)T C ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)T D ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（）A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

线性代数(经管类)真题.docx

线性代数（经管类）试题一. 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）2. 设/I, B , C 均为〃阶方阵，AB = BA, AC = CA f 贝 ij ABC = ( D ) A. ACBB. CABC. CBAD. BCAABC = (AB)C = (BA)C = B(AC) = B(CA) = BCA .3. 设/为3阶方阵，〃为4阶方阵，且|A|=1, |B|=-2,则行列式\\B\A\之值为(A ) A. -8B. -2C. 2D. 8||B|AH-2A|=(-2)3|A|=-8.%1I a \2°13、<a\\ %]2a\3仃0 0、‘1 0 o'4. A = 。

21 ^22 。

23 ,B =Cl2\% 22 a 23,P 二 0 3 0 ，Q = 3 1 0，则B= ( B )卫31 °32 °33/Z 31彳皎 C/33丿<0 0 b<o o i 丿A. PAB. APC. Q/\D. AQ(a \\%如、<1 0 0、仙1 3如 a \3'AP = a 2\ a 22 a 230 3 0 = a 2\ 3^22 a 23 =B.\a 3\ a n 。

33 >0 bk^31 3畋。

33丿5. 已知力是一个3x4矩阵，下列命题中正确的是（C ）A. 若矩阵力中所有3阶子式都为0,则秩G4）二2B. 若〃中存在2阶子式不为0,则秩（力）二2C. 若秩04）二2,则/I 中所有3阶子式都为0D. 若秩U ）=2,则M 中所有2阶子式都不为0 6. 下列命题中错误的是（C ）• • A.只含有1个零向量的向量组线性相关 B.由3个2维向量组成的向量组线性相关 C.由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性相关7・已知向量组a^a 2.a 3线性无关，0线性相关，则（D ）1.已知2阶行列式 A. m — nb\ + C]“2 a 2 +c 2a \ a2S b 2 B. n — mb 2b\D. - (m + /?)b\a2b\C ]C. m + nb2a 2 + c 2A. 必能由a2,a3,f3线性表出B. a2必能由a x.a3.0线性表出注：0]心2，%3是4|,02，%3，0的一个极大无关组.8. 设/!为加XH 矩阵，则方程组月尸0只有零解的充分必要条件是力的秩（D ） A.小于刃B.等于刃C.小于刀D.等于刀注：方程组Ax=O 有n 个未知量.9. 设力为可逆矩阵，则与力必有相同特征值的矩阵为（A ） A. "B. A 2C. A _,D. A*| AE-A 7H (AE-A)T \=\AE-A\f 所以力与屮有相同的特征值. 10. 二次型/(x p x 2,x 3) = x^ +X2 +X3 +2x^2的正惯性指数为(C ) A. 0B. 1C. 2D. 3/(x 1,x 2,x 3) = (x l +x 2)2+X3 =yf + 迟,正惯性指数为 2.二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)了 = 30 — 24 = (9,3,—3,12)' -(6-2,0,4) =(3,5-3,8)7 . 14.设力为〃阶可逆矩阵，且\A\=-~，则| | A'1 |= n15.设力为〃阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则11 •行列式的值为 _____________13.设a = (3,—l,0,2)T, 0 = (3,1,-1,4)7',若向量了满足2a + y = 30,则卩二 2007 2008 2009 201016. _________________________________________________________________ 齐次线性方程组+兀2 +兀3 =°的基础解系所含解向量的个数为 ________________________________________12X| - x 2 + 3兀3 = 0基础解系所含解向量的个数为« - r = 3 - 2 = 1.17. ___________________________________________________________________ 设〃阶可逆矩阵力的一个特征值是-3,则矩阵必有一个特征值为 __________________________________________-2、0的特征值为4,1,-2 ,则数兀二0」20.二次型 /(X ),x 2,x 3) = -4x }x 2 +2兀]£ + 6X 2X 3的矩阵是 _______________-2 r 0 33 0,三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）ab c 21.计算行列式a 2b 2c 2的值. a + a 3h + b 3c + c 3甘町有特征畤"1 -2 18.设矩阵-2 x、一2 0 由第1. 2列正交, 即它们的内积(d + b) = 0 ,-21 b c 解：D =a2b2c2a + cdb + b3c + c31 1 1=abc0 b-a c-a0 b2-a2 c2-a2a b c 1 1 1 a2 b2 c2= abc a b c a3b3 c39 cr b2 c2= abc b-a c-b2-a2c2-•a■a2=abc(b 一 a)(c - a)(c — b) •(2)注意到CB T = (1,2,3) 1 =13,所以34A 2= (B rC)(B rC) = B r(CB T )C = \3B T C = \3A = \3 1 2线性无关组，并用该极人线性无关组表示向量组屮的其余向量•<2>‘2 4 6、解：(1) A = B rC =1 (1,2,3)= 12 32丿<3 6 9,己知矩阵 B = (2,1,3), C = (123),22. "2 1-1 1、<1 10 r<1 1 0 1 、 1 2 1 1 T1 211T0 1103 0 -3 13 0 -3 10 -3 -3 -210 1J<2 1 -1 1丿k 0 -1 -1 一1丿解：A = (a|,(^2 9 oc^, )—<1 1 0 1、<1 1 0 1、<1 0 -1 n0 1 1 00 1 1 00 1 1 0 0 0 0-20 0 0 10 0 0 10 0 一1丿<0 0 0 0丿<0 00 0>，向量组的秩为关组，旳=-Q| +a 2 •3, a }.a 2,a 4是一个极大无"12 3、<-14 ] 24.已知矩阵人=0 1 2 ,B = 25<0 ° bU 一3丿(1) 求A"1； (2)解矩阵方程AX = B.=abc(b 一 d)(c — a) 求(1) A = B T C ； (2)23. 设向量组內=(2」,3」几勺=(120」几&3=(—1」厂3,0八勺=(1」丄1卩求向量组的秩及一个极人2 31 0 0、2 0 1 0 -3、解：（1）(A,E) = 0 1 20 1 00 1 0 0 1 -2<00 10 010 0 1 0 0 1」Z\ /<1 0 0 1 -21、1 -21、0 1 0 0 1 -2 /T0 1-2■ 9<0 0 1 0 01丿0 01 ZX] + 2 兀2 + 3 兀3 = 42X 2 4- ax 3 = 2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有2x t + 2X 2 + 3X 3 = 6"2 3 4、"2 0 4、工3时,r(A,ft) = r(A) = 3,有惟一解,此时(A,b)->0 2 a 20 2 0 2<0 0 10； \<0 0 10； \ /0、a 的三个特征值分别为1,2,5,求正的常数曰的值及可逆矩阵"，使 3丿‘1 0 0、P'XAP= 0 2 00 0 5丿2 0 03 a解：由 |A|= 0 3 67 =2=2(9-/)= ix2x5,得宀 4, a = 2.a 30 a 3<1 -2 1、<-1 4>‘-4 - 9)X=A~}B = 0 1 -225 =0 11<0 ° 1 丿<1 一3丿、1 -3,(2)2 3 4、有无穷多解，此时0 2 3 2<o 0 0 o>G = 3 时，r(A,b) = r(A) = 2< /?,‘1 0 0 2>‘1 00 2、0 2 3 20 1 3/2 1 <0 0 0 0丿<0 0 0 0? Z〔2厂0、通解为 1 + k -3/2< 1 >其中R 为任意常数.25•问日为何值时，线性方程组解:<1 2 3 4、234、<1 234(必)= 0 2 a 20 2a 20 2a 2<2 2 3 6丿-2 -3 -2丿\ 0 ci _ 3 0 丿‘1 0 0 2>‘1 0 0 2、0 2 0 20 1 0 1,0 0 1 0丿,0 0 1 0丿‘2 0 26.设矩阵0 3 (0 a无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）./° = 1 ；兀3 = °2 0 0、AE-A= 0 2-3 -2 ..0 -2 2-3丿对于人=1,解（/IE —A）兀=0："-1 0 0、"1 0 0、%! =0 <0、AE-A =0 -2 -2 0 1 1 9 v x2 =-x3 ,取门=-1<0 -2 一2丿<0 0 ° 丿无3 = 兀3对于兄2=2,解（/i£—A）兀=0：r0 0 0、‘0 1 0、x\ =x\TAE-A =0-1-2 T0 0 1 X2 = 0 ,取#2 = 0<0 -2 -1；0 0, 兀3 =0O对于几3=5,解（征一心=0：厂3 00、厂1 0X| =0 ◎九E —A =0 2-2 —> 0 1 -1 兀2 =兀3，P3 = 1,0-2 2 丿<0 0 0 ；\X3 = X3<1>'0 10、"0 0、令P =("|, “2 ' “3)= -1 0 1 ,则P是可逆矩阵，使P~'AP =0 2 0<10 1; <0 0 5丿四、证明题(本题6分)27.设昇，B, A+B均为〃阶正交矩阵，证明(4 + 3)7 =4一】+3".证：J, B, A + B均为/?阶正交阵，则A r=A-!, B T =B~\ (4+B)7 =(A + B)T,所以(A + B)T =(A + B)T = A1^ + B T = A~l + B~l・。

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全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A ,B 为同阶方阵，则必有（ D ） A ．||||||B A B A +=+ B ．BA AB =
C ．T T T B A AB =)(
D ．||||BA AB =
A ．E AC
B =
B ．E CBA =
C ．E BCA =
D ．
E BAC =
A ．16-
B ．4-
C ．4
D ．16
A ．||||
B A =
B ．A 与B 相似
C ．)()(B R A R =
D ．∑∑===n
i ii n
i ii b a 1
1
5．设)0,0,1(1=α,)0,0,2(2=α,)0,1,1(3=α，则（ C ） A ．1α,2α,3α线性无关 B ．3α可由1α,2α线性表示 C ．1α可由2α,3α线性表示
D ．1α,2α,3
α的秩等于3
12（ D ） A ．+1α2α
B ．-1α2α
C ．+β+1α2α
D ．3
2
311+
αβα-2
7．若3阶方阵A 与对角阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=Λ300000相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．0||=A
B ．0||=+E A
C ．A 有三个线性无关特征向量
D ．2)(=A R
321A ．0
B ．
1
C ．2
D ．3
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
10．对称矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2112A 是（）
A ．负定矩阵
B ．正定矩阵
C ．半正定矩阵
D ．不定矩阵
11．设A ,B 均为三阶可逆方阵，且2||=A ，则=--|2|21B A B ____________．
44133221
13．设⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21A ，则A 的伴随阵=*A ____________． 14．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=t A 01320，且2)(=A R ，则=t
_________1___． 321
i ],,[321211αααααα+++=B ，则=||B ________3____．
16．三元方程组⎩⎨⎧=-=+00
21
31x x x x 的通解是____________．
17．设⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=4112A ，则A 的特征值是_______3,3_____．
19．若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100与⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=100010B 相似，则=x _________0___．
20．实对称矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=1111A 的正交相似标准形矩阵是____________．
21．计算四阶行列式
4
321432143
214321------．解：
19286418
086008
64043
2143
21432143214321=⨯⨯⨯==------． 22．设⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=13424051
2A ，B 是三阶方阵，且满足E B A AB -=-2，求B ．
解：因为07420
72
320702305
11034230511||≠-=---=---=--=-E A ，所以E A -可逆，
由E B A AB -=-2，得E A B AB -=-2，))(()(E A E A B E A +-=-，=B ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+23425051
3E A ．
23．设)3,2,1,1(1=α,)1,1,1,1(2-=α,)5,3,3,1(3=α,)6,5,2,4(4-=α,)7,5,1,3(5----=α，试求向量组
54321,,,,ααααα的秩和一个极大无关组．
解：⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡------=2622
01311
0262203411
176513553121231
13411
1],,,,[54321
T T T T T ααααα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---→0000
0000002622034111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡---→00000
000001311034111
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→000
00
000001311021201
，向量组的秩是2，21,αα是向量组的一个极大无关组．
24．设四元方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=-+-=++-t
x x x x x x x x x x x x 432143214321772222323，问t 取何值时该方程组有解？并在有解时求其通解．
解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=35410454103231177212121232311],[t t b A ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→7000045410323
11t ， 7=t 时，2)(),(==A R b A R ，该方程组有解，此时
],[b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→000004541032311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→000004541013101，⎪
⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=
=++-=++-=443
34324
3154431x x x x x x x x x x ，该方程组通解为⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10530141004121k k ，21,k k 是任意常数．
经过正交变换PY X =，二次型化为标准形3
212y y y f -+=．四、证明题（本题6分）
27．证明任意4个3维向量组线性相关．
证：设),,(321i i i i a a a =α是任意的3维向量，4,3,2,1=i ．令044332211=+++ααααk k k k ，即
0),,(),,(),,(),,(4342414333231323222121312111=+++a a a k a a a k a a a k a a a k ，
得齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++000
4
43333223113442332222112441331221111k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a ，
方程个数小于未知量个数，齐次线性方程组有非零解，4321,,,αααα线性相关．。