200801《线性代数A》试题A卷

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2008年线性代数考试A卷

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学院
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选课号
………密………封………线………以………内………答………题………无………效……
0 0⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ P = ⎜ 2 −1 0⎟ ， ⎜ − 4 1 1⎟ ⎠ ⎝
−1
所以有
0 0⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ A = PBP = ⎜ 2 − 1 0 ⎟⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 2 − 1 0 ⎟ ⎜ 2 1 1 ⎟⎜ 0 0 − 1⎟⎜ − 4 1 1 ⎟ ⎠ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎝
⎛ λ1 0 ⎜ ⎜ 0 λ2 T −1 P AP = P AP = ⎜ " " ⎜ ⎜0 0 ⎝
0⎞ ⎟ " 0⎟ ， " "⎟ ⎟ " λn ⎟ ⎠ "
3．设 n 元非齐次线性方程组是 Ax = b ，它对应的齐次线性方程组是 Ax = 0 ，则下面结论中正确的是( ② ). ① 若 Ax = 0 有惟一解，则 Ax = b 也有惟一解； ② 若 Ax = b 有无穷多个解，则 Ax = 0 也有无穷多个解； ③ 若 Ax = 0 有无穷多个解，则 Ax = b 也有无穷多个解； ④ 若 Ax = 0 有惟一解，则 Ax = b 无解. 分析：A 未必是方阵。 4．设 α 1 , α 2 , β 线性无关， α 2 , α 3 , β 线性相关，则下面结论正确的是( ④ )。 ① ③ k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 仅有零解； k1α 2 + k 2α 3 = β 必有解； ② ④ k1α 1 + k 2α 2 + k 3α 3 = 0 必有非零解； k1α 1 + k 2α 2 + k 3 β = α 3 必有解。

2008线性代数A参考答案

2007~2008学年第二学期《线性代数》A 卷参考答案及评分标准一、单项选择（每小题2分，共20分）请将正确选项前的字母填入下表中1、2-。

2、159206915-⎛⎫⎪-⎝⎭。

3、4。

4、213/21/2-⎛⎫⎪-⎝⎭。

5、 3 。

6、3。

7、 0 。

8、2。

9、1/λ。

10、222123122344x x x x x x x ++++ 三、计算题（1、2每小题6分，其余每小题6分，共40分）1、解：212223242322A A A A +++=1222232********* ……3分122201220011001---=1=- ……6分2、解：由AX A X =+有()A E X A -=()1002001002001101200101201111120112A E A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ……4分 200120012X ⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭……6分 3、解：由225A A E O --=有()()32A E A E E -+= ……3分320A E A E -+=≠有30A E -≠ 所以3A E -可逆 ……6分且11(3)()2A E A E --=+ ……7分4、解：()1234310111512112370122318100001397000TTTTαααα⎛⎫ ⎪--⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭……3分 ∴1234,,,αααα线性相关，1234(,,,)2R αααα=，12,αα是它的一个极大无关组，……4分且31241237, 222αααααα=-=+. ……7分5、解：矩阵A 的特征方程为0)1)(2(163530642=--=-+--=-λλλλλλA E得特征值 12321==-=λλλ ……3分当21-=λ时有⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=--00,036303306632313212121x x x x x x x x x x x 即它的基础解系是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，所以对应于21-=λ的全部特征向量是)0(111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-c c ……5分当132==λλ时有 02,6306306321212121=+⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=--x x x x x x x x 即它的基础解系是向量⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012及，所以对应于132==λλ的全部特征向量是不全为零）2121,(100012c c c c ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ……7分6、解： 22020021201002000410011201001201001A E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪⎪⎪⎪-⎛⎫=→⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……3分112012001P -⎛⎫⎪∴=- ⎪ ⎪⎝⎭……6分 222123123(,,)24f x x x y y y=-+ ……7分四、证明题（每题5分，共10分）1、证明：由 AB O = 有 12(,,,)s A X X X O = 即12(,,,)s AX AX AX O = 得i AX O = ()1,2,i s =即i X 为A X O =的s 个解 ……2分显然12()(,,,)()s R B R X X X n R A =≤-即()()R A R B n +≤ ……3分 2、证明：()123,,3R ααα= ，()1234,,,3R αααα= 123,,ααα 线性无关 1234,,,αααα线性相关则有 4112233m m m αααα=++ 成立 ……2分设 112233454()0k k k k ααααα+++-=有 112233454112233()0k k k k k m m m ααααααα+++-++= 1411242234334()()()0k k m k k m k k m kαααα-+-+-+=……3分 ()1235,,,4R αααα=1235,,,αααα 线性无关则有141242343400k k m k k m k k m k -=⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪=⎩ 解之有 12340k k k k ==== ……4分故 12354,,,ααααα-线性无关即12354(,,,)4R ααααα-=……5分。

线性代数2008A答案

上海财经大学成人高等教育线性代数试题参考答案（2008A 卷）姓名学号专业班级一、单选题(每小题2分，共计10分)1. 设,A B 均为方阵，且0AB =, 则以下结论中正确的是 ( 4 ) .(1) 0AB = (2) 0,0A B == (3) 0A =或0B = (4) 0A =或0B =2. 以下矩阵中是对称矩阵的是 ( 2 ).(1) 123212025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭ (2)123204341⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 123211301⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 111011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3. 以下矩阵中是初等矩阵的是 ( 2 ).(1) 100010000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2)100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (3) 101010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (4) 101011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4. 下列不是n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件的为 ( 1 ) .(1) 0A ≠ (2) 0A ≠ (3) ()R A n = (4) A 与单位阵E 等价5. 下列矩阵中是分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为 ( 4 ). (1) 1100A B --⎛⎫⎪⎝⎭ (2) 1100B A --⎛⎫⎪⎝⎭(3) 1100A B--⎛⎫⎪⎝⎭(4) 1100B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填选题(每小题3分，共计30分)6. 行列式 111253_____.4259= （- 6）7. 设4阶行列式的第三行元素为1，2，3，4，其对应的余子式为4，3，2，1，则该行列式的值等于______.（ 0 ）……………………………………………………………装订线…………………………………………………8. 设A 是3阶方阵，TA 是A 的转置矩阵且 2,A =则 3____.T A =；（ 54 ）9. 设211123223,322141113A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭, 则 _____________AB =；（487731112514⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭）10．设矩阵 120340002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=__________. ；（312212210000--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 11. 设矩阵 200030004A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*A =__________.（*A 是A 的伴随矩阵）；（12000800012⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭） 12. 设矩阵 123024003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=__________；（12310246003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭）13. 设矩阵 121211212112121,a a a a a A b b B b b b c c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，且AP B =,则初等阵P _____________；（1101-⎛⎫ ⎪⎝⎭） 14. 设 123(1,1,1),(2,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的秩等于_______.；（ 2 ） 15. 设123(1,1,1),(1,3,4),(3,4,5)ααα===，则 123,,ααα的极大无关组的个数为 _____.（ 3 ）三、计算题（共计47分)16. 求解方程:2452450245x x x++=+ (本题满分10分)解：由于311113111132245(1)024500(1)47245(1)245047x r r x xx x x x x x c c x x a A x xx r r x x ++-+--+=-+-==-++-+++则原方程即2(11)0x x += 因而原方程的解为：120,11x x ==。

线性代数(A卷考题及答案)

（ 2008 至 2009 学年第一学期）课程名称：线性代数考试时间： 110 分钟课程代码： 7100500 试卷总分： 100 分考试形式：闭卷学生自带普通计算器: 不允许1、设A 是三阶方阵，且det(A )=-1,则det(-2A )=_______.2、设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100120001，则A -1=_______3、等价的线性无关向量组所含向量的个数_______4、设实对称矩阵11211203132A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是二次型123(,,)f x x x 的矩阵，则二次型123(,,)f x x x 的一般表示式为_______.5、设A 为实对称矩阵，()11,1,3T α=与()23,2,Ta α=分别是属于A 的相异特征值1λ与2λ的特征向量，则a =_______.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列等式中正确的是（）A ．()222A B A AB BA B +=+++B ．()TT TAB A B =C ．()()A B A B A B -+=-22D ．()33A A A A -=-22．设12,ββ是非齐次线性方程组AX b =的两个解，则下列向量中仍为方程组解的是（）A ．ββ12+B ．12ββ-C ．1222ββ+ D ．12325ββ+ 3．设0λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则21A -必有一个特征值是（）A ．210λ B ．21λ C ．20λ D ．2λ 4．二次型22221234123412(,,,)542f x x x x x x x x x x =++-+的秩为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．设1ξ，2ξ是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（） A ．1ξ+2ξ是λ对应的特征向量 B ．21ξ是λ对应的特征向量 C ．1ξ，2ξ一定线性相关 D ．1ξ，2ξ一定线性无关三、（8分）(本大题共两小题各4分) 计算行列式：(1)2100121001210012=D (2)1200012000122001D =. 四、（6分）101210325A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，求1()E A -- 五、(12分)（本大题共两小题各6分）（1）设矩阵121231041a A a b ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，求,a b（2）已知矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵20000001y⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭相似，求 ,.x y 六、（10分）。

线性代数-统考试题(A)试题(答案)

1 1 0 记 P 0 1 0 ，则（
0 0 1
）。【A】
（A） C PAP 1 ；（B） C P 1AP ；（C） C P T AP ；（D） C PAP T 。
3．设 m n 阶矩阵 A 的秩等于 n ，则下面结论错误的是（）。【D】
（A） AT A 是对称矩阵；
诚信关乎个人一生，公平竞争赢得尊重。
以下行为是严重作弊行为，学校将给予留校察看或开除学籍处分：1.替他人考试或由他人替考；2.通讯工具作弊；3.团伙作弊。
中国矿业大学 2017～2018 学年第 1 学期
《线性代数》试卷（A）卷
答题时间：100 分钟
考试方式：闭卷
学院____________班级_______________姓名__________________学号_____________
2
与向量组 α1, α2 等价，则向量 β2 _____________。【 1 [1, 2, 1]T 或 1 [1, 2, 1]T 】
6
6
a a a a

4．已知矩阵 A
1
1
1

(a

0)
，则
A
的所有代数余子式之和等于________。【1】
1 1

1
5．设二次型 f (x1, x2 , x3 ) t x12 x22 2x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 为正定二次型，则 t 的取值范围
k11 k22 k33 0
式（1）两边左乘 A 得
k11 k22 k3 2 3 0
式（1）减式（2）
2k11 k32 0

线性代数(A)及答案详细解析

b a b

b b a
当 2 7 时，（-7I-A ）=0，解得
1 / 2 3 1 ， 3 即为对应于 2 7 的线性无关特征向量。 1
= [a (n 1)b] 三. 解：
= [a (n 1)b] (a b) n1
, 则矩阵 A 的秩 rA
x ty z 0 2 x y z 0 ty 3 z 0
其是否可对角化. ( 10' ) 六. 用合同变换化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 2 4x1 x2 2x2 x3 为标准型,并求变换矩阵. ( 10' )
1 2 / 3
0 1 0 0
3 1 1 4 0 11 0 0
故向量组α 1 ,α 2 ， α 3 ， α 4 线性相关，其一个极大无关组为α 1 ，α 2 ，α 4 或α 1 , α
1
2 2 4 = ( 2) 2 ( 7) =0 2
5 2 0 0 2 0 1 0
2 5 4 1 , B 2 1 ,则 A-2B 1 2
1
四. 判断向量组α 1 =(1,-1,2,4), α 2 =(0,3,1,2),α 3 =(3,0,7,14), α 4 =(1,-2,-2,0)的线性相关性,并求出它的一个极大无关组. ( 10' )
2 1 3 3 3 6
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南京理工大学课程考试答案（ A）
课程名称：
试卷编号：组卷日期： 2005 年学生班级：线性代数考试方式：闭卷学分 2 教学大纲编号：考试时间： 120 分钟满分分值： 100 沐雨芳

线性代数A卷试卷+答案

线性代数A卷试卷+答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1《线性代数》期末考试题A 题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题2分，共10分） 1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。

2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。

3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。

4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。

5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。

二、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是（A ）-2或3；（B ）-3或2；（C ）-2或-3；（D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为（A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+；（B ）()()22A B A+B =A B --；（C ）()()2A E=A E A+E --；（D ）()222AB =A B 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A =（A ）A E ；（B ）A ；（C ）n A A ；（D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭；（B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；（C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关；（B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；（D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。

线性代数测试试卷及答案.docx

线性代数（ A 卷）一﹑选择题 ( 每小题 3 分 , 共 15 分)1.设 A ﹑ B 是任意n阶方阵 , 那么下列等式必成立的是 ( )(A)AB BA (B)( AB)2A2 B2(C)( A B)2A2 2 AB B2(D) A B B A2.如果 n 元齐次线性方程组AX0 有基础解系并且基础解系含有s(s n) 个解向量,那么矩阵 A 的秩为 ()(A)n(B)s(C)n s(D)以上答案都不正确3. 如果三阶方阵A(a ij )33的特征值为 1,2,5 ,那么 a11a22a33及A分别等于()(A)10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.设实二次型 f ( x1 , x2 )( x1 , x2 )22x1的矩阵为 A , 那么 ()41x2(A)23(B)22(C)A21(D)A10 A1A12101 345.若方阵 A 的行列式 A 0 ，则 ( )(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关二﹑填空题 ( 每小题 3 分, 共 30 分 )1 如果行列式 D 有两列的元对应成比例 , 那么该行列式等于；1002.设 A210 ，A*是A的伴随矩阵，则 ( A* ) 1；3413.设 ,是非齐次线性方程组 AX b 的解 , 若也是它的解 ,那么；4.设向量(1,1,1)T与向量(2,5, t)T正交,则t；5.设 A 为正交矩阵 , 则 A；1116.设 a, b,c 是互不相同的三个数,则行列式 a b c；a2b2c27.要使向量组1(1, ,1)T , 2(1,2,3)T , 3(1,0,1)T线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 1, 2, 3 , 那么 A 1 的特征值分别为；9. 若二次型 f ( x 1, x 2 , x 3 ) x 2 1x 2 25x 2 3 2t x 1 x 2 - 2x 1x 3 4x 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围为；10. 设 A 为 n 阶方阵 , 且满足 A 22 A 4I 0 , 这里 I 为 n 阶单位矩阵 , 那么A 1.三﹑计算题（每小题 9 分，共 27 分）2 1 01 01. 已知 A1 2 1 ， B 0 1 ，求矩阵 X 使之满足 AX X B .0 12 0 01 2 3 42.求行列式23 4 1的值 . 3 41 24 12 33 求向量组1(1,0,1,0), 2(2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 (4, 3,1, 3,) 的一个最大无关组和秩 .四﹑ (10 分) 设有齐次线性方程组x 1 ( 1)x 2 x 3 0, (1)x 1 x 2x 3 0, x 1 x 2 (1)x 3 0.问当取何值时 , 上述方程组 (1) 有唯一的零解﹔ (2) 有无穷多个解五﹑ (12 分) 求一个正交变换 X PY , 把下列二次型化成标准形 :, 并求出这些解.f ( x 1 , x 2 , x 3 )x 21x 22x 234x 1 x 24x 1x 3 4x 2 x 3 .六﹑ (6 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0,l 2 : bx 2cy 3a 0, l 3 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0 .线性代数（ A 卷）答案一﹑ 1. D 2. C 3. B 4. A5. A二﹑ 1. 0 2.( A * ) 1A3. 14. 35. 1或 -16. ( ca)( c b)( ba) 7. 0 8.1, 1,1 9. 4 t 010.1 A 1 I23542三﹑ 1. 解由 AX X B 得 X ( A I ) 1 B . (2分)下面求 ( AI ) 1 . 由于1 1 0 A I1 1 1 (4分 )0 1 1而0 1 1( A I ) 11 1 1 .(7分 )11 0所以0 1 1 1 00 1X ( A I ) 1 B11 10 1 1 1 . (9 分 )110 0 0111 2 3 4 10 2 3 4 1 2 3 4 2. 解2 3 4 1 10 3 4 1 1 34 1 (4 分 )3 4 1 2 10 4 1 2 10 41 214 1 2310 1 2 3 1 1 2 31 2 3 40 11 3 分) 160 (9 分 ) .104 (80 40 043. 解由于1 2 3 40 1 1 3r 3 r 1 1 3 0 1 uuuuur 07331 210 50 734 12 3 4 1 3 r 3 5r 2 01 1 3 33 r4 7r 2 0 0 2 12 uuuuuuur3 3 04241 2 3 4r 41 1 3 分 )2r 3 0 2 (6 uuuuuuur 0120 0故向量组的秩是3 ， 1 , 2 ,3 是它的一个最大无关组。

2007-2008(1)线性代数试题A卷解答

广州大学2007-2008学年第一学期考试卷线性代数A 卷参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．设A 为3阶方阵，且||4A =, 则|2|A =322．设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭AB , 则T T1324⎛⎫= ⎪⎝⎭B A3．已知200*220421⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则1100110210.5-⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭A4．n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数等于()n R -A5．若2阶方阵A 满足方程256-+=A A E O ，且A 的两个特征值不相等, 则||=A 6二．选择题 (每小题3分, 本大题满分15分)1．设123,,ααα为3维列向量, 且123|,,|4ααα=, 则1322|2,23,|-=αααα( B ). (A) 16； (B) 16-； (C) 24 (D) 24-.2. 二次多项式281175413561081x x ---中2x 项的系数是( D ).(A) 7； (B) 7-； (C) 5 (D) 5-.3. 设,,A B C 均为n 阶方阵, 且ABC E =, 则必有( A ).(A) BCA E =; (B) BAC E =; (C) CBA E =; (D) ACB E =.4. 矩阵方程=AX B 有解的充分必要条件是( C ). (A) ()(,)R R <A A B ; (B) ()(,)R R <B A B ;(C) ()(,)R R =A A B ; (D) ()(,)R R =B A B .5. 若向量组1,,ααm 线性相关, 且110ααm m k k ++= , 则( D ). (A) 1,,m k k 全为0; (B) 1,,m k k 全不为0; (C) 1,,m k k 不全为0; (D) 前述情况都可能出现.三．（本题满分8分）计算行列式0000a b ca b cD b a c c a b =.解 000a b c a b c a b c b cD a b c a c a b c a b ++++=++++……………………………………………….3分000000000a b c a b c a b c++-=--…………………………………………..6分 ()abc a b c =-++……………………………………………………..8分四．（本题满分10分）设1200010000240012⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求8A . 解令11201⎛⎫= ⎪⎝⎭A , 22412⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,21121214010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 41141418010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A , 811818116010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ,……………………………………..4分 22224248164121248⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ,422222322222()(4)44====A A A A A ,8423262722222()(4)44====A A A A A ,………………………………8分 881151682141511600010000220022⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A O A O A (10)分五．（本题满分10分）设12341314(,,,)431010561114⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα, 求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组, 再把其余向量用该最大无关组线性表示.解化矩阵1234(,,,)αααα为行最简形:1234(,,,)αααα1314~09660966⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭103222~01330000⎛⎫⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭……………..4分向量组1234,,,αααα的秩为2, …………………………………………………….6分一个最大无关组为12,αα, …………………………………………………………8分且有 312233=-ααα, 412223=+ααα………………………………………10分六．（本题满分10分）已知矩阵3000130011301113⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 解矩阵方程2=+AX X A . 解由 2=+AX X A ,得 (2)-=A E X A ,…………………………………………………….2分因 10001100211101111⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E , |2|1,-=A E 所以2-A E 可逆, 于是 1(2)-=-X A E A …………………………………...5分利用 1(2,)(,(2))r--−−→-A E A E A E A 求1(2)-=-X A E A :1000300011001300(2,)1110113011111113⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭A E A 10003000010023000010023000010023r ⎛⎫ ⎪-⎪−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭ 3000230002300023⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭X ………………………………………………...10分七．（本题满分12分）求方程组12341234123432434537761171513x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解.解化增广矩阵为行最简形:13243(,)4537761171513--⎛⎫⎪=-- ⎪--⎝⎭A b …………………………………..2分13243~0759507595--⎛⎫⎪-- ⎪--⎝⎭…………………………………………4分 61177759577710~0100000--⎛⎫ ⎪-- ⎪⎝⎭………………………………………….6分同解方程组为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--757975767171432431x x x x x x ……………………………………….8分令13k x =，24k x =，得通解为121234116777595777100010x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中21,k k 为任意实数……………...12分八．（本题满分12分）已知矩阵9226A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(1) 求矩阵A 的特征值和特征向量;(2) 求可逆矩阵P , 使1P AP -为对角矩阵.解 (1) 92||26λλλ--=-A E (5)(10)λλ=-- A 的特征值为15λ=，210λ=……………………...…………………………...5分当15λ=时，解 (5)0-=A E x ，得基础解系112⎛⎫= ⎪-⎝⎭p ，对应于特征值15λ=的全部特征向量为11k p （01≠k ）……………………….7分当210λ=时，解 (10)0-=A Εx ，得基础解系221⎛⎫= ⎪⎝⎭p ，对应于特征值210λ=的全部特征向量为22k p （02≠k ）……………………9分 (2) 取1221⎛⎫=⎪-⎝⎭P , 则150010-⎛⎫= ⎪⎝⎭P AP …………………………………..12分九．（本题满分8分）设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解, 1,,n r -ξξ 是=Ax 0的一个基础解系. 证明 1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关.证明设存在一组数1,,,n r x x x - , 使11()()0n r n r x x x --+++++=ηηξηξ (1)即 111()0n r n r n r x x x x x ---++++++=ηξξ (2)..................2分由题设=A ηb , (1,,)0i i n r ==-A ξ , 用矩阵A 左乘(2)的两边, 得1()0n r x x x -+++=b因0≠b , 得10n r x x x -+++= (3)…………..5分代入(2)得110n r n r x x --++=ξξ因基础解系 1,,n r -ξξ 线性无关, 所以10n r x x -===代入(3)得 0x =.因此(1)只有零解, 从而1,,,n r -++ηηξηξ 线性无关………………………..8分。

浙江大学《线性代数A》试题A卷-解答

浙江大学2007~2008学年第一学期《线性代数A 》期末考试试题(A 卷)参考答案与评分标准一．单项选择题1．(D) 2．(B) 3．(D) 4．(C) 5．(A) 6．(B) 7．(C) 8．(A)二．填空题1．0 2．00131000120⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3．1 4．3 5．()1,1,0(0,0,1),TTk k +为任意常数 6．67．-2 8．1三．计算题1．由2AB A B =+，得12(2)A E B E --=- ……3分110020020011202020001022001001002-⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭……6分 2．21001A E -⎛⎫==-⎪-⎝⎭，则422()A A E ==，所以 ……3分20082145022122302()22203B A P A P A P EP A E A --⎛⎫-=-=-=-= ⎪⎝⎭……6分3．()12341031103013020110,,,2172000142140000r A αααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则 ……4分 ()1234,,,3R αααα=， ……6分124,,ααα为所求的一个极大线性无关组，且 ……8分3123ααα=+ ……10分4．112112()3420123623110033r B A b λλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-⎝⎭⎝⎭……4分线性方程组有无穷多解()()233R A R B λ⇔==<⇒=，且 ……6分10105()01730000rB A b ⎛⎫⎪=→-- ⎪ ⎪⎝⎭则线性方程组的通解为()10,7,1(5,3,0),TTX k k =-+-是任意常数. ……8分5．A 的特征多项式(1)(3)A E λλλ-=+-，则A 的特征值为121,3λλ=-= ……3分对应于11λ=-的单位特征向量是⎛⎪ ⎪⎝⎭； ……4分对应于23λ=的单位特征向量是 ……5分令正交矩阵U ⎛= ⎝，则11003U AU --⎛⎫=Λ= ⎪⎝⎭. ……7分6．二次型的矩阵10002101A t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 为正定矩阵，有 ……2分12310110,20,210022A t t ∆=>∆==>∆==->⇒> ……5分四．证明题（1）123123101(,,)(,,)110011βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由02110011101≠=，则()()123123,,,,R R βββααα=，所以结论成立. ……4分（2）显然13241234ββββββββ+=+⇒=-+，所以1234,,,ββββ线性相关. ……6分（3）结论：给定向量组12,,,s ααα，令1122231,,,s s βααβααβαα=+=+=+则①当s 为奇数时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ有相同的线性相关性；②当s 为偶数时，向量组12,,,s βββ必线性相关. ……8分事实上12121210011100(,,,)(,,,)(,,,)01100011s s s s s K βββαααααα⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由11(1)s K -=+-，得①当s 为奇数时，0K ≠，则1212(,,,)(,,,)s s R R βββααα=，所以向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ有相同的线性相关性；②当s 为偶数时，0K =，则12(,,,)()s R R K s βββ≤<，所以向量组12,,,s βββ必线性相关. ……10分。

08年1月线性代数(经管类)试题答案

全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．-108B ．-12C ．12D ．1082．如果方程组⎪⎩⎪⎨=+=-04043232321kx x x x 有非零解，则k =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ） A ．2B ．4C ．8D ．1212A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-s 21的秩不为（）的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量7．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关．．A ．||||B A =B ．秩(A )=秩(B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤10002010110．设有二次型321321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C ） A ．正定 B ．负定 C ．不定 D ．半正定11．若0211=k ，则k =21． 12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623．13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1．)= __1__15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 2+=必有一个特征值__6__．16．方程组0321=-+x x x 的通解是k k )1,0,1()0,1,1(21+-．123__2__18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(++不全为零）（,,k k k ．__-16__20．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值．解：151500021000210002118021********2110402100021000211002210002100021-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4002130213021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---00000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ．26．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ，12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α；对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000210201，⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-400010002．四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．证：（1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量，则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量．（3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=，只有零解0321===k k k ，所以1α,21αα+,321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知，1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．。

线性代数2007-2008第二学期试卷A答案

n 4, 有唯一解 III)a 2且a 1时，r r
综上，a 2且b 1时，方程组无解。
1 0 (2)a 2, b 1时，A 0 0
1 0 a 1时，A 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 0 0
3、设 A, B 均为 3 阶方阵，且满足 A 2, B 3 ，则 ( AB ) 6 ； ( AB ) ＝ 36 。

1 1 1 1 1 1 2 3 的秩为 4、矩阵 3 1 5 1 1 3 4 2
4
1 0 ，它的行最简形是 0 0
1
1 3 6 0 0 1 和 2 。 3 6 1 1 3 6
6,3,2
8、设三阶方阵 A 、B 相似，A 的特征值为 1、 2、 3，则 B* 的特征值为
。
二、单项选择题（每小题 2 分，共 12 分）得分
1 3 0
2 3 2 ( 1) 3
3 1 2 1 0 1 1 0 1 A E 5 2 3 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 2 0 0 0 1 ( A E ) x 0的基础解系为 1 ， 1 A只有一个线性无关的特征向量，因此A不能对角化。
3310分分设为一向量组12341131151?21893??????317?????????????????????????????????????????????????????????????????1
浙江工业大学
《线性代数》试卷 (A)

线性代数考试样卷及解答

2007 — 2008学年第一学期《线性代数Ⅰ》课程考试A 卷试题解答一、单项选择题（每小题2分，共20分）1、设行列式1112132122233132333 ，　=a a a a a a a a a 则111213313233212223333333333 等于 a a a a a a a a a 【 A 】（A ）–81 ;（B ）–9 ; （C ） 9;（D ）81 .2、设A 为3阶方阵，且行列式A =21，则A -2的值为【 A 】（A ）-4；（B ）4；（C ）-1；（D ）1。

3、设n 阶方阵A 满足20A E -=，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有【 C 】（A ）A E =；（B ）A E =-；（C ）1A A -=；（D ）1A =。

4、若向量组123a a a ,,线性无关，向量组234a a a ,,线性相关，则【 D 】 (A) 1a 必可由234a a a ,,线性表示； (B)2a 必可由134a a a ,,线性表示； (C) 3a 必可由124a a a ,,线性表示；(D)4a 必可由123a a a ,,线性表示。

5、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=【 B 】 (A ） 2；（B ） 1； (C ） 0；（D ） -1。

6、设A 是实对称矩阵，则【 A 】（A ）A 一定有n 个线性无关的特征向量；（C ）A 的特征值一定是非零的；（B ）A 的任意两个不同的特征向量一定是正交的；（D ）A 一定有n 个不同的特征值。

7、设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列不正确．．．的是【 C 】 (A ）Ax =2x ；（B ）A -1x =21x ； (C ）A -1x =2x ；（D ） A 2x =4x 。

8、设A 是3阶方阵，A *为A 的伴随矩阵，|A |=21，则()132A A -*-等于【 C 】（A ）-12；（B ）43-；（C ）1627-；（D ）432-。

2007-2008第一学期线代试卷A及标答

武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、23-； 2、E ； 3、-15； 4、5t ≠； 5、 2 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、C 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分）1、 121000121000(1)2121000121121n n n x xn x n xn n D x x n n x x n nn n-+-++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--………………（4分） (1)12(1)(1)2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………（8分） 2、由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………（4分）又BX A =，即(1,2)A E X A =，所以1(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………（8分） 3、记1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则1111200A A A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， ……………………………………………………………（2分）又*11211,10A A ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，故112110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭ …………………………………………………………（4分）*21211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，故122131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………………………………………………（6分）所以12100100000210031A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。

…………………………………………………………………（8分） 4、记()1234,,,A αααα=，对A 进行行初等变换，将其化为行最简形：1211241012213631A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～121100320000000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭～11203201300000000⎛⎫-⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭…………………（4分）()2R A =，又显然13,αα线性无关，所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组；………………………（6分）且212αα=，4131233ααα=--。

2008级线性代数试题和答案 A卷

经济学院本科生09-10学年第一学期线性代数期末考试试卷 (A 卷)答案及评分标准一、填空题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, *A 为其伴随矩阵, 31det =A , 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛*-A A 1541det 1_____ 2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵),2(2121αααα-+=A , ),(21αα=B . 若行列式6A =, 则B = _____3.若,),,,(),,,,(2121k r r s s ==αααβααα,1),,,,(21+=k r s γααα 则),,,,,(21γβαααs r = _____4. 设A 为5阶方阵, 且4)(=A r , 则齐次线性方程组0*=x A （*A 是A 的伴随矩阵）的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为 _____5. 设33()ij A a ⨯=是实正交矩阵, 且,a b T11=1,=(1,0,0)则线性方程组Ax b =的解是_____6. 若使二次型31212322213212242),,(x tx x x x x x x x x f ++++=为正定的, 则 t 的取值范围是 _____7. 设3阶方阵A 满足0322=--E A A , 且0<A <5, 则=A _____ 答案：（1） 3)1(n - （2）-2 （3） k +1 （4） 4（5） T)0,0,1( （6） 2<t （7）3二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）1. 设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵, 则有（） (A) B A = (B) B A ≠(C) 若0=A , 则一定有0=B (D) 若0>A , 则一定有0>B 2. 设行列式3040222207005322D =--, 则第四行各元素代数余子式之和的值为 ( ) (A) 28 (B) -28 (C) 0 (D) 336 3. 设A 为m 阶方阵, B 为n 阶方阵, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00BA C , 则 C 等于 ( )(A) B A (B) B A - (C) B A m n )1(- (D) B A n m +-)1( 4. 设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关, 则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充分必要条件是（）(A) 向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示 (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示 (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价 (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价 5．设A 、B 为n 阶方阵, 且)()(B r A r =, 则（）(A) 0)(=-B A r (B) )(2)(A r B A r =+ (C) )()()(B r A r B A r +≤ (D) )(2)(A r AB r =6. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A , 则A 与B （）（A ）合同且相似（B ）合同但不相似( C ) 不合同但相似（D) 不合同且不相似7．设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为21,αα, 则221),(ααα+A 线性无关的充分必要条件是（）（A ）01≠λ （B ）02≠λ ( C )01=λ (D) 02=λ 答案：CCC CCA A三、计算题（每小题8分、本题共32分）1．计算n +1阶行列式 nn n n d b d b d b a a a a D 00000022112101=+.解分三种情况讨论：（1）当n d d d ,,,21 全不为0时，D 为箭型行列式且∑∑==--=-=====nk n kkk nn nk k k k c c d d d d b a a d d d a a a d b a a D jjd jb 1210212110;)(0000001（2）当n d d d ,,,21 中只有一个为0时，不妨假设0=i d ，则ni i i i ni i i inni i i i ni i ic cd d d d b a d d b d d a d b d b b d b d a a a a a a D i111111111111011000011+-+-+--+-↔-=-=-====+（3）当n d d d ,,,21 中有两个以上为0时，显然0=D .综合以上三种情况，我们有⎪⎩⎪⎨⎧=∃-=≠-=+-=∑0,;...),...,2,1(0;)(11211210i n i i i i k nk n kk k d i d d d d d b a n k d d d d d b a a D 2. 设矩阵A 满足关系式11)2(--=-C A B C E T , 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=1000210002101021,1000210032102321C B , 求A ？解在等式11)2(--=-C A B C E T 等号两边同时乘以C , 得[]TB C A 1)2(--=,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--100021********21)2(,100021003210432121B C B C ,[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=-1210012100120001)2(1TB C A . 3．设线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++-=+--=+--bx x x x x ax x x x x x x x x x x 43214321432143217107141253032（1）问：a , b 取何值时, 线性方程组无解、有解?（2）当线性方程组有解时, 试用基础解系表示通解.解设题中线性方程组为.Ax b =用消元法, 对线性方程组Ax b =的增广矩阵A 施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=ｂ－４０１００００００－１００１３２０ｂ１－１０初等行变换a a A 32117107141125313211 由此可知：当b ≠4时,)()(A r A r ≠ 线性方程组Ax b =无解; 当b =4时, 恒有)()(A r A r = 线性方程组Ax b =有解.若,3)()(,1==≠A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T T )1,0,21,27()0,0,21,21(--+k k 为任意实数若,2)()(,1===A r A r a 方程组有无穷多个解，通解为：T 2T 1T )1,0,21,27()0,1,23,21()0,0,21,21(--+-+k k 21k k 、为任意实数 4．设矩阵,,321101210,324202423*1Q A Q B Q A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 求E B 2010+的特征值和特征向量. 其中*A 是A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵. 解计算A 的特征多项式32422423--------=-λλλλA E .)1()8(2+-=λλ故A 的特征值为1,8321-===λλλ. 因为.,,8*X AX A X AX A i λλλ====∏则若所以*A 的特征值为1,-8,-8.由于Q A Q B *1-=与*A 相似, 相似矩阵有相同的特征值，所以E B 2010+的特征值为：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因为X Q A X A Q X Q Q A Q X Q B 1*11*11||))(()(-----===λ,我们有矩阵B 的属于λA的特征向量为X Q 1-, 因此矩阵E B 2010+的属于2010+λA的特征向量为X Q 1-第三步求出A 的全部特征向量对于81=λ，求解线性方程组0)8(=-x A E 得特征向量 .2121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 对于132-==λλ，求解线性方程组0)(=--x A E 得特征向量.021,10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αα第四步求出E B 2010+ 的全部特征向量，即计算312111,,ααα---Q Q Q .,012,23223,23121,21211111212113121111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=----αααQ Q Q Q综合以上分析我们有：矩阵E B 2010+属于特征值2011的特征向量为k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--27121, k 为任意实数属于特征值2002的特征向量为 ,0122322321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--k k 21k k 、为任意实数四、证明题（每题6分，共12分）1. 已知向量组)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 向量组s βββ,,21 可表示为),,2,1(1s i t i i i i =+=+ααβ, 其中i t 是实数. 证明s βββ,,21 线性无关.证明用定义. 假设存在 s 个数s k k k ,,21 , 使 02211=+++s s k k k βββ , 即 0)()()(132222111=+++++++s s s s t k t k t k αααααα , 也就是0)()()(11133212221111=++++++++++--s s s s s s s t k k t k k t k k t k k ααααα .又因为)1(,,,121>+s s s αααα 线性无关, 所以上式中系数部分都为0, 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=--0000112111s s s s s t k k t k k t k k 解得 021====s k k k , 故s βββ,,21 线性无关. 2. 设n 阶矩阵 A 满足022=-+E A A 且E A ≠. 证明A 相似于对角矩阵.证由022=-+E A A 可得 ))(2(0)2)((E A A E A E A E ---==+- (1)可得A 的特征值为 1或 -2，要证明A 相似于对角矩阵，也就是A 可以对角化，即要证明A 有n 个线性无关的特征向量。

线性代数A,B试卷及答案

（试卷A ）一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1. 排列6573412的逆序数是．2.函数中的系数是．()f x =21112x x x x x---3x 3．设三阶方阵A 的行列式,则=A/33A =*1()A -．4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是．5．设向量，=正交，则(1,2,1)Tα=--β⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22λλ=．6．三阶方阵A 的特征值为1，，2，则1-A ＝．7.设，则.1121021003A --⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭_________A *=8.设为的矩阵，已知它的秩为4，则以为系A 86⨯A 数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．9．设A 为n 阶方阵，且 2则A ＝1*1()3A A --+=．10．已知相似于，则20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12B y -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭=x ，．=y 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1.设n 阶矩阵A 的行列式等于，则等于D A －5．(A) (B)-5 (C) 5(D)(5)nD -D D 1(5)n D--2. 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是.n A (A) 矩阵有个线性无关的特征向量A n (B) 矩阵有个特征值A n (C) 矩阵的行列式A 0A ≠ (D) 矩阵的特征方程没有重根A 3．A 为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一m n ⨯AX b =解的充要条件是．(A) (B)(,)R A b m <()R A m <(C) (D)()(,)R A R A b n ==()(,)R A R A b n =<4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )(A)． (B)．)()(A R B R ≤)()(A R B R <(C)． (D)．)()(A R B R =)()(A R B R ≥5. 向量组线性相关且秩为r ，则．12,,,s ααα(A)(B)(C)r s =r s <r s >(D) s r≤三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）1. 计算n阶行列式:.22221 =D 22222 2232221222-n n 22222．已知矩阵方程，求矩阵,其中.AX A X =+X 220213010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭3. 设阶方阵满足,证明可逆，并n A 0422=--E A A3A E -求.1(3)A E --4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:1234123412342342323883295234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨-+--=-⎪⎪--=-⎩5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．123421234,1,3,5.2012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6．已知二次型：，323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++= 用正交变换化为标准形，并求出其正交),,(321x xx f 变换矩阵Q ．四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）设,,, ,且向量组11ba =212b a a =+ 12r r b a a a =+++ 线性无关，证明向量组线性无关.r a a a ,,,21 r b b b ,,,21 (答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）1. 172. -23．4．5．6．-27．或13A ()R A n <2λ=-116A -8． 29、10、12110216003-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦21n）（－2,0-==y x 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A3.C4.D5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）1、解： ------D),,4,3(2n i r r i =-00021 00022 001223022-n 20022-n 4分-------7分122r r -00001 00022 -00122 -3022--n20022--n---------10分（此题的)!2(2)2()3(21)2(1--=-⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯=n n n 方法不唯一，可以酌情给分。

线性代数2007-2008第一学期试卷A

浙江工业大学《线性代数》试卷 (A)(2007—2008学年第一学期) 2008.6一、填空(每空2分,共24分)1、在四阶行列式中，乘积项43213412a a a a 的符号为号。

2、设,B C 为n 阶可逆方阵，00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，则T A = ；1A -= 。

3、设,A B 均为n 阶方阵，且满足2,3A B ==，则()AB *= 。

4、设 100010b A ac ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，当,,a b c 分别为时，A 为对称阵；A 的伴随阵为；当,,a b c 满足条件时，A 为正交阵。

5、向量组⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭141、k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14、⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭120为3R 的一组基, 则k 必须满足的条件是。

6、线性方程组AX β=有无穷多解的充要条件是。

7向量TT)0,1,0,1,0(,)1,0,1,0,1(==βα8、设二阶方阵A 、B 相似，A 的特征值为2、3，则1-B 的特征值为，而*B 的特征值为。

二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、以下结论正确的是（）。

A 、若2=A 0，则A =0；B 、若方阵A 的行列式0=A ，则A =0；C 、若=A B 0，则A =0或B =0；D 、若方阵A 对称，则2A 也对称。

2、下列四项中，向量组T 线性相关的充分必要条件是（）。

A 、向量组T 中至少有一个是零向量；B 、向量组T 中至少有两个向量的分量成比例；C 、向量组T 中至少有一个向量能由其余向量线性表示；D 、向量组T 中至少有一个部分向量组线性相关。

3、下列矩阵中，（）不是初等矩阵。

A 、100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ； B 、001010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； C 、100015001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； D 、001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

4、若n 阶方阵A 可逆，则下列各项中不是A 可逆的充分必要条件的是（）。

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浙江理工大学2007~2008学年第一学期《线性代数A 》期末考试试题(A 卷)
1．若行列式
1
2
04
3
λλ-=-, 则()λ=.
(A) 1- (B) 5 (C) 1-且5 (D) 1-或5 2．若A 为n 阶矩阵，且03=A ，则矩阵=--1
)
(A E （）.
（A ）2A A E +- （B ）2A A E ++ （C ）2A A E -+ （D ）2A A E -- 3．设A 为n 阶矩阵，且2A A =，则（）成立.
(A)A O = （B ）若A 不可逆，则A O = (C)A E = （D ）若A 可逆，则A E = 4．矩阵A 在（）时，其秩改变.
（A ）转置（B ）初等变换（C ）乘以奇异矩阵（D ）乘以非奇异矩阵 5．若向量组m ααα,,,21 线性相关，则向量组内（）可由向量组其余向量线性表示. （A ）至少有一个向量（B ）没有一个向量（C ）至多有一个向量（D ）任何一个向量
6．设矩阵1234124511012A ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，其秩=)(A R （）.
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
7．在线性方程组b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（）. （A ）b AX =有无穷多解（B ）b AX =有惟一解（C ）0=AX 有非零解（D ）0=AX 只有零解 8．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的（）.
（A ）充分但非必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件
二．填空题（每空3分，共3824⨯=分）
1．11011
2
202232032
= .
2．设010002300A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则1
A -= .
3．设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=A
5．设三元非齐次线性方程组AX b =，()2R A =，且12111,101ηη⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是其两个不同的解，则该方程组的通解是
X = .
6．设三阶方阵A 有特征值1,2,3，且A 与B 相似，则B = .
7．设向量1111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与211t α⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
正交，则t = .
8．二次型2
2
2
123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵的秩是 .
三．计算题（6分+6分+10分+8分+7分+5分=42分）
1．设,A B 为三阶矩阵，已知2AB A B =+，且002040200B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求A E -.
2．设0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，1B P AP -=，求20082
2B A -.
3．设有向量组123410311302
,,,217242140αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量
用该极大线性无关组线性表示.
4．当λ取何值时，非齐次线性方程组
1231231
232342231
x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩ 有无穷多解，并求出此时线性方程组的通解.
5．设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求一个正交矩阵U ，使得1
U AU -=Λ，其中Λ为对角矩阵.
6．设实二次型222
12312323(,,)22f x x x x x tx x x =+++为正定二次型，求常数t .
四．证明题（10分）
向量组1α与向量组11βα=有相同的线性相关性；给定向量组12,αα，显然向量组112221,βααβαα=+=+线性相关；
（1）证明：向量组123,,ααα与向量组112223331,,βααβααβαα=+=+=+有相同的线性相关性；（2）给定向量组1234,,,αααα，说明向量组
112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+
必线性相关；
（3）由以上结论，请你归纳出相应的结论，并证明之.。