数学物理方程反问题讲稿
反问题概述及其数值求解方法阐述
反问题概述及其数值求解方法阐述姓名：赵天骐 学号：1014203026学院：电气与自动化工程学院 专业：电气工程1.反问题概述1.1什么是反问题近30年来，反问题不仅是学术领域中的一个话题，它已经被广泛的应用到工程学、医学、地质学、经济学、物理学等领域，无论在理论还是应用方面均取得了飞速的发展。
随着计算科学的发展，人们从计算的角度研究反问题，更加频繁地被应用于解决实际问题，比如其在石油勘测、医学图像处理、遥感技术、经济决策等领域。
但是，究竟什么是反问题？对此常常仁者见仁，智者见智。
它的严格定义很难给出，有点“只能意会，不能言传”的味道。
美国斯坦福大学的J. B. Keller (1976)提出：“若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题(Direct problem)，另一个为反问题(Inverse problem)。
”C. W. Groetsch则认为：”反问题是很难定义的，但是几乎每一个数学家都能马上判断出一个问题是正问题还是反问题。
”苏联学者Levrentiev则指出：“偏微分方程的反问题是指从偏微分方程解的某些泛函去确定偏微分方程的系数或右端项。
”T. Robinson的观点是：“在数学上，通常是有了方程而要求此方程的解。
现在的情况是有了方程的解，必须把对应的方程找出来。
我喜欢后者。
”事实上，上述对反问题的各种说法虽然揭示了反问题和正问题类似于对偶的一种关系，但没有直观地反映出反问题的一个主要特征。
通常情况下，反问题在Hadamard意义下是不适定的。
其学术性的描述为：在两个相互为逆的问题中，如果一个问题在Hadamard意义下是不适定的，特别是若问题的解不连续地依赖于原始数据，则称该不适定问题为反问题。
即通常意义下的反问题一般应该是Hadamard不适定的，这也正是我们研究反问题的困难所在。
那么，什么是Hadamard意义下不适定呢？1923年，Hadamard给出了相反的定义，即什么是适定的。
《数学物理方程讲义》课程教学大纲
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明一、课程的作用与任务本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。
数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。
通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。
本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。
为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。
它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。
数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。
二、课程的目的与教学要求1 了解下列基本概念:1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。
2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问题的叠加原理。
3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。
2 掌握下列基本解法1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题;2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用;3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问题;4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用;5)掌握二阶线性偏微分方程的分类二、课程的教学要求层次教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
数学反演理论基础研究—偏微分方程反问题
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反问题的严格定义很难给出。因此，反问题的定义似乎有点“只能意会，不能言传”的味 道。美国斯坦福大学的 J.B.Keller（1976）：若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或 包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题（direct problem），另 一个为反问题（inverse problem）。
∫ 的解，其中 H (t) = 1
2a πt
D
exp
⎧ ⎨ ⎩
−ξ 2 4a2t
⎫ ⎬ ⎭
dξ
例 1.5 Abel 积分方程：物理中的反问题
设有一个质量为 m 的质点在重力 mg 的作用下，从铅直平面中高度为 h > 0 处的点 p1 ，
沿着某一曲线 Γ 无摩擦地滑到高度为 h=0 处的点 p0 。
例 1.1 加减法 互为逆运算，由此引发的填空问题。 例 1.2 积分和微分 互为逆运算，但并不是一一对应的，需要附加条件。 一般性所考虑问题的思维方式：“由因及果”，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的 结果这样的一种因果关系思维方式。 原因=〉结果 输入+系统=输出 因果关系是辩证的，相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需 要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因”。 原因〈=结果
Kx = y
其中，算子 K 和右端项是已知量。近似的利用已知 K 和 y 来求 x。当算子 K 是线性算子时， 称为线性反问题，否则称为非线性反问题。当 K 为微分方程算子时，称为微分方程反问题。
z 通常称一个先前被研究过的相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对应的另 一个问题为反问题。
z 正问题是线性的，对应的反问题也可能是非线性的。
数学物理方程反问题讲稿分析解析
2018/10/20
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什么是反问题？
反问题是相对于正问题而言的。以前面所举的“盲人听鼓” 反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研 究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较 成熟。此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。 我们可以这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的 自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正 问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布 形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结 果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影 响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出， 正、反两方面都是科学研究的重要内容。
2018/10/20
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我们经常遇到这样的问题：知道了某个事物的现在状
态，希望了解它的过去，即通常所说的“恢复历史的本来面 目。这往往可以提为逆时反问题。它所研究的对象一般要满 足某种类型的演化方程或数学模式。例如，通过远程测得的 某次爆炸产生的辐射波，如何确定爆炸的位置和初始能量？ 这是波动方程的逆时反问题；又如，根据近来的温度变化能 否确定过去某个时间的温度状态？这就成为热传导方程的逆 时反问题。
其中热交换系数为正常数 ，这是一个经典的指数衰减模型 ，确定表面温度的正问题有唯一解
u(t ) = A + (u(0) A)et
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这个解依赖外界温度 A、初始温度 u (0)和热交换系数 三个 参数。当然在适当时候表面温度观测值确定了识别参数 A 、 u (0) 和 的反问题的解。 热是一种形式的能量，物体的热含量是物体分子动能的一 种测量标准，温度计测量得的温度与物体分子的平均动能有 关。物体的热含量不仅依赖于它的温度，而且依赖于它的质 量，如3千克的铁球在给定的温度下，它的热能是相同温度 的1千克的铁球的3倍。热还与材料的种类有关，1千克的棉 花球在给定温度下，其热能比相同温度的1千克铁球的少。 这一思想可描述为：
反演原理及公式介绍
反演原理及公式介绍反演原理是数学中的一种重要方法，广泛应用于物理学、工程学、金融数学、计算机科学等领域。
它主要是通过将问题的解嵌套在另外一个问题的解中，从而通过求解后者来得到前者的解。
反演原理最早由法国数学家阿贝尔于1826年引入，后来经过多位数学家的发展和推广，逐渐形成了相对成熟的理论体系。
在物理学中，反演原理常被用于求解各种物理系统中的未知量，如电磁场分布、物理介质的性质等。
反演原理的应用中，最重要的是识别出一对具有对偶关系的微分方程。
一般来说，这对微分方程的形式会有所差异，它们在一方面描述了问题中未知量的演化规律，另一方面则描述了待求解未知量的变换规律。
通过将这两个方程进行适当的组合，就能够得到一个只与待求解未知量有关的微分方程，从而简化了问题的求解过程。
反演原理的核心思想是通过将问题转化为一个新的问题，从而实现问题的求解。
而这个新的问题往往具有较为简单的形式，这样就可以通过已有的数学技巧来求解。
在实际应用中，反演原理可以大大简化问题的求解过程，提高了问题的可解性。
在具体的数学表述中，反演原理可以用如下的公式来表示：设一般微分方程为F(x,y,y',y'',...)=0其对应的反演微分方程为G(x,u,u',u'',...)=0其中，y是未知函数，u是待求解函数。
反演微分方程是通过对y施加变换得到的。
具体的变换过程依赖于具体问题的性质以及反演原理的选择。
反演微分方程通常具有更简单的形式，并且可以通过已有的数学方法来求解。
将反演微分方程的解转化回原方程的解，就可以得到问题的真实解。
反演原理还有一个重要的应用是在数值方法中。
由于一些问题难以直接求解，可以通过反演原理将其转化为一个可以求解的问题，然后再通过数值方法对其进行求解。
总而言之，反演原理是一种重要的数学方法，可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而方便求解。
它的应用广泛，不仅是物理学和数学，还包括其他科学领域和工程实践中。
热传导方程的反问题
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****大学毕业设计（论文）
英文摘要
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****大学毕业设计（论文）
一 有关数学物理方程的一些概念
1.1 数学物理方程的概念： 数学物理方程通常指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方 程。例如二阶线性偏微分方程，其一般形式为
������
������ ������ =
������ ,������ =1
∂2 ������ ������������������ + ∂������������ ∂������������
������
b������
i=1
∂������ + c������ = ������ ∂������������
式中， ������代表方程的维数， ������������������ ，c，������ 可以为常数也可以是连续的泛函， ������������������ = ������������������ 。 1.2 数学物理方程的分类 数学物理方程的分类方法较多， 一般有如下几种： 从数学分析的角度有线性、 非线性和拟线性之分； 从方程有无右端项的角度有齐次和非齐次之分；从数学上 三类典型问题的角度有双曲型、 抛物型和椭圆型之分，而与之对应的在物理学上 又分别称之为波动或振动方程、 热传导方程以及位势方程或拉普拉斯方程；从方 程的形式角度有一般形式和标准形式方程之分； 从未知函数及其导数前面的系数 角度有常系数和变系数偏微分方程之分。 2、定解条件和定解问题 一般而言， 只有一个偏微分方程而没有给出其他限制条件，则这个方程称为 泛定方程，对应的问题就是不确定问题。对于一个确定的物理过程，仅建立表征 该过程的物理量所满足的泛定方程是不够的，还需要附加一定的条件，这些条件 统称为定解条件。 定解条件应该恰恰足以说明系统的初始状态及边界上的物理情 况，所提出的条件既不能多也不能少，而且要与泛定方程相匹配，这些要求称为 条件的相融性。 泛定方程和定解条件一起所构成的问题称为定解问题。定解条件 又分初值条件、边值条件和混合条件，相应的问题分别称为初值问题（Cauchy 问题） 、边值问题和混合问题。 1、 解的适定性 一个定解问题提出后， 需要知道这个定解问题的是否存在，这便是解的存在 性问题；如果解存在，那这个定解问题的解是否只有一个，这边是解的唯一性问 题； 此外当定解条件或自由项的值作微小变化的时候，这个定解问题的解是否也 只作微小变化，这就是解稳定性问题。定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称 为定解问题的适定性， 一个问题如果存在唯一稳定的解， 就称这一问题是适定的， 否则就应该修改定解问题的提法，使其适定。 2、 数学物理方程研究的内容 一个实际问题，运用物理规律，经过合理假设、分析、简化得到一个数学模 型即偏微分方程， 然后对模型进行理论分析， 包括解的存在性、 唯一性、 稳定性， 再对问题求解，包括解析解、近似解或数值解，最后结合实际问题进行检验，这 些就是数学物理方程的正问题。如果微分方程中的系数、右端项、定解条件、定 义域等还含有一些未知的参数， 则确定这些参数并求出问题的解的过程称为数学 物理方程的反问题。 3、 热传导方程及其定解问题 4.1 热传导问题的陈述 如果空间某物体������ 内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高点向温 度较低点处流动，这种现象称为热传导。设有一个导热物体，在空间占据区域为 I
数学物理方程反问题讲稿
2011-8-11
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给你一只管子，不允许直接进入内部测量， 给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里 面的形状吗？如果管子是轴对称的， 面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sondhi和 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的 和 Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪 提供了一个方法： 提供了一个方法 在管子的一边发出声音， 器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管 器测量管口的位移速度和压力。 内的截面半径。 内的截面半径。 这个例子， 这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“ 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“ 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地 ”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的 才能解决问题，比如说石油勘探。 地下，无法直接观察油田的位置和储量， 地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元）， ），而且效率 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率
2011-8-11
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Hale Waihona Puke 应用背景定向设计 物性探测 扫描成像 逆时反演及其他
2011-8-11
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工业生产离不开产品设计， 工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上， 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道， 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性 只是在小角度的假设下才近似成立。 只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线 的摆，使它严格满足等时性？ 的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了 于 年提出并解决了 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线， 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为
数学物理方程教案
数学物理方程教案正文：一、引言数学物理方程作为数学与物理学的结合，对于学生的学习和发展起着重要的作用。
本教案旨在通过有趣且互动性强的教学方式，帮助学生掌握数学物理方程的基本知识和解题技巧。
二、教学目标1. 了解数学物理方程的定义和基本概念；2. 掌握常见的数学物理方程，包括牛顿第二定律、欧姆定律、波动方程等；3. 锻炼学生的分析问题和解决问题的能力；4. 提高学生对数学与物理的综合运用能力。
三、教学内容1. 数学物理方程的定义和基本概念数学物理方程是描述自然界中各种物理现象的数学表达式。
它由变量、常数和运算符构成，通过各种数学方法研究物理现象。
在数学物理方程中，变量表示物理量，常数表示不变的参量，运算符表示物理上的运算关系。
2. 常见的数学物理方程2.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体的运动状态与所受力的关系。
它可以用以下公式表示：F = ma其中，F表示物体所受力的大小，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
2.2 欧姆定律欧姆定律用来描述电流、电压和电阻之间的关系。
它可以用以下公式表示：I = V / R其中，I表示电流的大小，V表示电压的大小，R表示电阻的大小。
2.3 波动方程波动方程用来描述波的传播过程。
它可以用以下公式表示：∂²u / ∂t² = v² ∂²u / ∂x²其中，u表示波的位移，t表示时间，x表示空间位置，v表示波速。
四、教学方法1. 理论讲解通过简洁明了的语言，向学生介绍数学物理方程的定义、性质和基本概念，帮助他们建立起对数学物理方程的初步认识。
2. 示例演练选取典型的数学物理方程例题，引导学生进行解题分析，帮助他们掌握解题的基本方法和技巧。
3. 实验探究通过设计简单的实验，让学生亲自操作和观察，结合数学物理方程的知识，进行数据分析和结果验证，加深对数学物理方程的理解和掌握程度。
五、教学评估1. 课堂小测在教学过程中设置一些小测题目，检查学生对于数学物理方程的理解和掌握情况。
数学物理中的反问题
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems,A. Kirsch,Springer-Verlag,1996,第一版,0-387-94530-X；
数学物理中的反问题课程详细信息
课程号
00112530
学分
3
英文名称
Inverse Problem of Mathematical Physics
先修课程
数学分析、高等代数、计算方法、偏微分方程、泛函分析、最优化方法
中文简介
本课程主要介绍反问题提法，反问题数学理论和数值方法。
英文简介
This course will introduce what is inverse problem, the mathematical theory and numerical methods for inverse problems.
参考书
教学大纲
学习反问题基本方法，包含理论、分析和计算方法。
第一章：基本概念介绍
反问题提法、不适定问题
第二章：常见反问题举例
第三章：第一类积分方程正则化方法
第四章：特征方程反问题
存在性、唯一性、数值方法
第五章：反散射问题
散射、唯一性、数值方法、Born近似"
课堂讲授
平时成绩包含作业占20%，上机作业占30%，考试占50%。
反问题概述概要
秘密就在回声中
数学物理史上有趣的问题：
不用眼睛看，仅仅通过聆听鼓的声音能否判断
出鼓的形状？（盲人听鼓）
1910年丹麦著名物理学家劳
伦兹(Lorentz)在哥廷根的系列演讲“物理学中
的新、旧问题”中提出。
6
当物体的材料确定后，它的音色和其形状密切相关。在数学上，一个物体的音色可 以由一串谱
1 2
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严格说来， “盲人听鼓”问题的答案 是否定的。但是，对这个问题的研究启发 了我们。当不能用眼睛直接观测时，以耳 代目也能够获得关于物体形状的很多有用 信息。举一个生活中的例子，夏天人们挑 西瓜，总是把瓜放在耳边，用手拍一拍， 有经验的人就知道瓜瓤熟不熟。
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深海区的石油探测就是应用了类似的原理。勘探地球物理 学家希望能够叩问地球，用耳朵“听”出地下的地质构造， 从而判断出油藏的“准确”位置和储量。
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数据采集船上带有气枪。当压缩空气被突然 释放时，气枪会产生剧烈的爆炸声波。声 波向地下传播，遇到构造变化会产生反射、 散射和折射。这些回声中携带了地下的地 质信息，被海面采集船拖带的检波器接收， 记录为地震数据。海底宝藏的秘密就隐藏 在这些数据里。
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现行的勘探技术主要分为三步：
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科学史上的著名的案例
1781 年，天王星被确认为太阳系的第7 颗大行星。40年后， 法国天文学家Bouvard 搜集了一个多世纪来的全部观测资料，包 括了1781 年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天体力 学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现象：用 全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新数据相比 误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据重新计算轨 道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard 的治学态度非 常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究竟是因为旧的观 测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对这颗行星的干扰？ 我将这个谜留待将来去揭示。”
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法
数学物理方程中反问题与不适定问题的数值方法是一种重要的数学工具，它可
以用来解决复杂的物理问题。
反问题是指从观测数据中推断出未知参数的问题，而不适定问题是指在给定的条件下，求解某种物理系统的状态的问题。
反问题和不适定问题的数值方法可以分为两类：一类是基于最小二乘法的方法，另一类是基于最优化的方法。
最小二乘法是一种经典的数值方法，它可以用来拟合数据，从而推断出未知参数。
最优化方法是一种更加灵活的数值方法，它可以用来求解复杂的物理系统的状态。
反问题和不适定问题的数值方法可以用来解决复杂的物理问题，例如，可以用
来求解复杂的流体动力学问题，用来求解复杂的热力学问题，用来求解复杂的电磁学问题，用来求解复杂的量子力学问题等等。
反问题和不适定问题的数值方法也可以用来解决实际应用中的问题，例如，可
以用来求解地震数据中的未知参数，用来求解气象数据中的未知参数，用来求解医学图像中的未知参数等等。
总之，反问题和不适定问题的数值方法是一种重要的数学工具，它可以用来解
决复杂的物理问题，也可以用来解决实际应用中的问题。
反问题基本方法
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
还有一种先验信息是，反问题的解是简单的，“简单”用解的欧 几里德长度度量。此时，反演问题的目标变为：求在 e d Gm 0
约束下使解的长度 L mTm 取极小的 mest 。利用拉格朗日乘子法构
造该反问题的目标函数
m
L
N
iei
M
mi2
N
M
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
(a)
(b)
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
d Gm 提供的信息不足，不能唯一地确定最小二乘解，此时的
反问题称为欠定的。d Gm 包含的信息太多以致于使其不具有
精确解时，则称为超定的。d Gm 恰好具有足够的信息来确定
模型参数，则称为常定的。
R
R
R
欠定
常定
S
RR R RR RS
S
超定
SS S SS S
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
M
N
N
mk GiqGik Giqdi 0, q 1, 2,..., M ，
k 1 i 1
i 1
将其写为矩阵形式为
（7）
GT Gm GTd 0 。 如果 GTG1 存在，则（8）有解
mest GT G 1 GTd 。
（8） （9）
第二节 地球物理反问题的广义线性逆
最小二乘解存在与否与 d Gm 所提供的信息量有关。
数学物理中的反问题
数学物理中的反问题
刘继军
【期刊名称】《国际学术动态》
【年(卷),期】2013(000)006
【摘要】由东南大学主办的国际反问题会议于2012年10月21～26日在东南大学举行。
本次会议有来自美国、德国、法国、俄罗斯、意大利、土耳其、希腊、英国、越南、芬兰、澳大利亚、韩国、日本等16个国家和地区的数学界、工程应用领域的155名学者参加，其中境外代表51人。
【总页数】2页(P24-25)
【作者】刘继军
【作者单位】东南大学数学系南京210096
【正文语种】中文
【中图分类】O411.1
【相关文献】
1.培养学生运用数学解决物理问题的能力中应注意的几个问题 [J], 陈镇远;孙正川;
2.问题导向结合数学建模在"数学物理方法"教学中的应用 [J], 王秋玲;张开银;刘乙飞;范沁;崔北臣
3.高职数学物理方法教学中的两难问题研究 [J], 罗小兵
4.物理中的“数学”——采用数学方法解决物理问题 [J], 李琼
5.运用初等数学处理“彩虹圈”中的几个物理问题 [J], 张明
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数学模型中的反问题逆问题
数学模型中的反问题向下运动向上运动风筝数学模型竟赛中有很多涉及反问题。
如2010国赛中A题和2011年美赛中A题都涉及反问题。
顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。
正问题的定义为：按着自然顺序来研究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
自然顺序的定义为：不受任何限制和约定俗成的顺序，一般地都认为他们是自然而然的，无须多加解释的。
在一般地语境下，认为这些顺序都是是前提条件的。
如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。
纯粹的自然顺序的例子是第一，第二，第三这种升序；或者反过来的倒序；约定俗成的例子是上北下南左西右东。
反问题的定义为：根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。
可以看出，正、反两方面都是科学研究的重要内容。
但相对正问题，反问题求解难大，计算量大。
许多人知道求解问题的思路，但由于选用计算方法不适当，在几天内求不出计算结果，失去获奖机会。
尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科的兴起却是近几十年来的事情。
在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进行控制。
这些都可以提出为某种形式的反问题。
可见，反问题的产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基础。
现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。
简单的概括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有一个概括的了解.第一节反问题的例子例1 物体下落距离L与时间T，正问题是：已知物体的高度，测量下落时间，即t=t(x). 反问题是：已知物体下落时间，求物体的高度,即x=x(t)。
当人们不知道自由落体运动规律x=0.5gT2之前，能用时钟测量物体下落时间，但反过来，给定下落时间，测量物体高度比较难。
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麦宏晏
什么是反问题 应用背景 具体实例
2020/7/4
2
什么是反问题
耳朵能“听出”鼓的形状吗？
仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓的形状？问题最早由丹
麦著名物理学家Lorentz在1910年的一次讲演中提出，它的
背景来自于射线理论。
一个物体的音色可以由一串谱
来确定，它们在
物理上对应着物体的固有频率。“盲人听鼓”即是要求通过 已知的谱来确定一个鼓面的形状。经过数学家们的演算给 出了否定的答案。但是，从鼓声中我们确实能得到相当多 的形状信息：我们能够“听”出鼓的面积有多大、周边有 多长甚至鼓的内部是否有洞、有几个洞。
定向设计的应用相当广泛。比如说：一个城市的某条街道 车流量很大，不堪负荷，怎样通过铺设新的路段来进行分流？ 在军事行动中如何对不同种类的炮火进行分布以达到特定的轰 炸效果？这类问题往往涉及各种事物的组合、分配布局，要求 在各种相互制约、相互影响的因素中寻找出最佳方案，为领导 的决策提供依据。
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成像的另一个重要应用是医学上的计算机层析成像（CT），这是 X光射线自Roentgen发明（获1900年诺贝尔奖）以来在医疗诊断上 的重大进展，其发明人Hounsfield和Cormack因此获得了1979年的 诺贝尔医学奖。CT技术是医学、电子技术、计算机技术和反演数学 相结合的产物，它利用计算机来对穿越人体的X射线信号进行处理， 来重建体内的结构信息，生成透视图象供医疗诊断参考，其核心算 法的数学基础是二维Radon变换。继之而起的是基于三维Radon变 换的核磁共振成像，在诊断效果和无伤害性方面更为优越。事实上 ，类似的方法也可以借助于声波、光波、电磁波在无损探伤、雷达 侦察、射电望远镜探测、环境监测等多方面有广泛应用。Βιβλιοθήκη 2020/7/43
什么是反问题？
反问题是相对于正问题而言的。以前面所举的“盲人听鼓” 反问题为例，它的正问题就是要在已知鼓的形状的条件下，研 究其发声规律，这在数学物理历史上已经研究在先，而且比较 成熟。此时鼓的所有谱都能通过一套算法利用计算机算出来。 我们可以这样理解：世间的事物或现象之间往往存在着一定的 自然顺序，如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。所谓正 问题，一般是按着这种自然顺序来研究事物的演化过程或分布 形态，起着由因推果的作用。反问题则是根据事物的演化结 果，由可观测的现象来探求事物的内部规律或所受的外部影 响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出， 正、反两方面都是科学研究的重要内容。
现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各 个领域。我们下面具体介绍一些常见的反问题应用背景，希望大 家能够对它有一个概括的了解。
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应用背景
定向设计 物性探测 扫描成像 逆时反演及其他
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工业生产离不开产品设计，如何设计出优质产品使之更好 地实现其功能，是关系到厂家信誉和企业生存的大问题。在这 方面，反问题研究可以为企业家出谋划策。事实上，最早的反 问题研究就是起源于定向设计问题。我们知道，单摆的等时性 只是在小角度的假设下才近似成立。能不能找到一种特殊轨线 的摆，使它严格满足等时性？Huygens于1673年提出并解决了 这一问题，这种特殊的轨线就是旋轮线，它的方程为
当代工业产品的极大丰富为反问题的研究提供了广阔的用 武之地，许多工业设计问题是相当困难的，需要用到高深的数 学手段。例如，国外的光学仪器厂家提出：能否设计一种光栅 ，利用其非线性衍射效应产生出高能量的单色射线？这就是一
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个定向设计问题，它要求数学家利用推导和计算手段构造出所 需要的曲面（光栅）形状。
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极低（只能探测到井附近的局部信息）。一个可行的办法是通 过地面爆炸向地下发射地震波，同时接收地层的反射波信号。 可以想象，地面接收到的反射信号中含有地下的物性结构信息 （地层的密度、声速等等），利用数学手段将这些信息提取出 来，就可以对地下的油储及其分布作出科学的判断。
类似的探测方法可以应用于许多方面，如：农用土壤分析 、地下水勘查，甚至于在考古发现上也有应用。位于三峡库区 的四川省云阳县故陵镇有一个大土包，相传为楚国古墓，但是 历经三千余年的变迁，已经难以确认了。科技工作者在地表利 用地震波法、高精度磁法、电场岩性探测和地化方法四种手段 进行探测，不但确认了古墓的存在，而且得到了关于古墓的埋 藏深度、形状、大小甚至墓道的准确信息，为抢救和保护文物 作出了贡献。
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给你一只管子，不允许直接进入内部测量，你能算出里 面的形状吗？如果管子是轴对称的，这时只需要知道内部的 截面半径就可以了。美国贝尔电话实验室的Sondhi和 Gophinath提供了一个方法：在管子的一边发出声音，用仪 器测量管口的位移速度和压力。通过测量结果就可以推知管 内的截面半径。
这个例子，它实际上暗示了许多不能直接测量的物性探 测问题可以通过类似的间接方法来解决。我们通常说“上天 入地”都是很困难的事情，可是在一些情况下似乎必须“入地 ”才能解决问题，比如说石油勘探。石油通常埋在几千米的 地下，无法直接观察油田的位置和储量，靠试打井的办法来 探测不但费用昂贵（一口井的代价要上千万元），而且效率
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什么是反问题？
尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早，反问题这一学科 的兴起却是近几十年来的事情。在科学研究中经常要通过间接观 测来探求位于不可达、不可触之处的物质的变化规律；生产中经 常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程进 行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的 产生是科学研究不断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技 术的革命又为它提供了重要的物质基础。
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如果把下落的物体用扫描射线替代，从另一个角度来看它 为我们提供了从射线的走时响应反推其传播轨迹的方法，将不 同轨迹射线的反演结果组合起来就能得到传播介质的内部形态 信息。本世纪初，Hebglotz和Wiechebt应用Abel型反演方法 解决了在一定对称条件下通过地震波的走时曲线来反推地层内 部形貌的方法。据此Mohobovic（1909年）发现了地壳与地 幔之间的断层。现在，利用地震波的接收信号通过成像来考察 地层地貌形态已经成为地球物理勘探最为重要的手段。例如， 通过走时成像，可以得到地震波在不同深度的传播速度；而在 已知速度的前提下，利用声波方程或其单程波方程偏移成像方 法，又可以得到反射界面的位置和形状。