【精选】青海专版中考数学复习第1编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第2节一元二次方程及应用精讲试题

第二节一元二次方程及应用,青海五年中考命题规律),青海五年中考真题)根与系数的关系1．(2016青海中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的根，则该三角形的周长为(B)A．8 B．10 C．8或10 D．122．(2015青海中考)已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一个根是－1，则m＝__1__．3．(2015西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x 2－16x ＋m ＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为__16__．一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的综合4．(2013西宁中考)已知函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0根的存在情况是(C )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定5．(2016西宁九年级调研测试二)已知关于x 的一元二次方程x 2－2x －a ＝0. (1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；(2)如果此方程的两个实数根为x 1，x 2，且满足1x1＋1x2＝－23，求a 的值．解：(1)由题意可得Δ＝b 2－4ac ＝4＋4a ＞0，∴a ＞－1； (2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－a ， ∵1x1＋1x2＝－23，∴x1＋x2x1x2＝－23， ∴2－a ＝－23，∴a ＝3. 经检验，a ＝3是原方程的根，∴a ＝3.一元二次方程的应用6．(2014青海中考)某商场四月份的利润是28万元，预计六月份的利润将达到40万元．设利润每月平均增长率为x ，则根据题意所列方程正确的是(A )A ．28(1＋x)2＝40B ．28(1＋x)2＝40－28C ．28(1＋2x)＝40D ．28(1＋x 2)＝407．(2016西宁中考)青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启动，市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车，今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车，预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点，配置2 205辆公共自行车．(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元；(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率． 解：(1)设每个站点造价是x 万元，公共自行车的单价为y 万元．则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋720y ＝112，120x ＋2 205y ＝340.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.1. 答：每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元； (2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a. 则720(1＋a)2＝2 205，解得a 1＝34＝75%，a 2＝－114(不合题意，舍去)．答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.,中考考点清单)一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法令每个因式等于【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：(1)当b＝0，c≠0时，x2＝－ca，考虑用直接开平方法解；(2)当c＝0，b≠0时，用因式分解法解；(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解更简便．一元二次方程根的判别式2．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由__b2－4ac__来判定，我们将__b2－4ac__称为根的判别式．3．判别式与根的关系：(1)b2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b2－4ac＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错提示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b2－4ac≥0；(2)当a，c异号时Δ>0.一元二次方程的应用4．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 5．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价．【方法点拨】利用方程根的意义，把方程的根代入方程中，是解决一元二次方程有关问题的一种重要方法，我们可以把这种方法称为“让根回家”．,中考重难点突破)一元二次方程的概念及解法【例1】(1)(2018原创)若方程(m －1)xm 2＋1＋mx －5＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝________． (2)解方程：(x －1)(2x －1)＝3(x －1)．【解析】(1)紧抓住一元二次方程概念：整式方程、最高次为2次且系数不等于0即可；(2)方程两边都含有因式(x －1)，如果在方程两边同时约去(x －1)，就会导致方程失去一个根x ＝1，本题可先移项，利用分解因式法求解．【答案】(1)－1；(2)x 1＝1，x 2＝2.1．如果x 2－x －1＝(x ＋1)0，那么x 的值为(C )A ．2或－1B ．0或1C ．2D ．－12．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝__6__．3．(2017菏泽中考)关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－k ＝0的一个根是0，则k 的值是__0__． 4．(2017滨州中考)(1)根据要求，解答下列问题： ①方程x 2－2x ＋1＝0的解为________； ②方程x 2－3x ＋2＝0的解为________； ③方程x 2－4x ＋3＝0的解为________； ……(2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x 2－9x ＋8＝0的解为________； ②关于x 的方程________的解为x 1＝1，x 2＝n.(3)请用配方法解方程x 2－9x ＋8＝0，以验证猜想结论的正确性． 解：(1)①x 1＝1，x 2＝1；②x 1＝1，x 2＝2；③x 1＝1，x 2＝3； (2)①x 1＝1，x 2＝8；②x 2－(1＋n)x ＋n ＝0；(3)x 2－9x ＋8＝0，x 2－9x ＝－8，x 2－9x ＋814＝－8＋814，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＝494，∵x －92＝±72，∴x 1＝1，x 2＝8.一元二次方程根与系数的关系和判别式【例2】已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. (1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．【解析】(1)方程有实数根，说明Δ≥0；(2)由根与系数的关系得关于m的方程，但m的值必须满足Δ≥0.【答案】解：(1)由题意，得Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，整理，得8m＋8≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1；(2)由两根关系，得x1＋x2＝－2(m＋1)，x1·x2＝m2－1，∵(x1－x2)2＝16－x1x2，∴(x1＋x2)2－3x1x2－16＝0，∴[－2(m＋1)]2－3(m2－1)－16＝0，∴m2＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1，∵m≥－1，∴m＝1.5．(2017潍坊中考)已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤1且k≠0__．6．(2017张家界中考)已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝__17__．7．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝__5__．一元二次方程的应用【例3】随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市2014年销售烟花爆竹20万箱，到2016年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率．【解析】先设咸宁市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x，那么把2014年烟花爆竹销售量看作单位1，在此基础上可求2015年的年销售量，以此类推可求2016年的年销售量，而2016年的年销售量为9.8万箱，据此列方程即可．【答案】解：设咸宁市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率是x.依题意，得20(1－x)2＝9.8，解得x1＝0.3，x2＝1.7，由于x2＝1.7不符合题意，故舍去．∴x＝0.3＝30%.答：咸宁市2014年到2016年烟花爆竹年销售量的平均下降率是30%.8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(C)A．17人B．16人C．15人D．10人9．(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．解：(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.10.(2017烟台中考)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动．现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？解：(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x ，根据题意得：200×(1－x)2＝162， 解得：x ＝0.1＝10%或x ＝1.9(舍去)．答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%； (2)100×1011＝1 00011≈90.91(个)．在A 商场需要的费用为162×91＝14 742(元)，在B 商场需要的费用为162×100×910＝14 580(元)．∵14 742＞14 580，∴在B 商场购买更优惠． 答：去B 商场购买足球更优惠．11．(2017襄阳中考)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；(2)若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？ 解：(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x ，根据题意得 2(1＋x)2＝2.88，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为：2.88(1＋20%)＝3.456， ∵3.456＞3.4，∴能超过．答：该企业2017年的利润能超过3.4亿元．。