第5章 Suggests for solving problems

第五章连续激光器的工作特性一、学习要求与重点难点学习要求1．了解激光器速率方程的近似处理；2．掌握激光器振荡阈值条件；3．掌握三、四能级系统的阈值泵浦功率密度；4．理解均匀加宽介质激光器的模竞争，和单纵模振荡；5．理解非均匀加宽介质激光器中的烧孔现象，和多纵模振荡；6．理解单模运转激光器在均匀和非均匀加宽介质两种情形下的输出功率特性，及其影响因素；7．了解蓝姆凹陷，及其应用；8．了解速率方程理论的局限性。

重点1.单模、多模激光器速率方程建立，及其近似方法；2.激光器振荡阈值条件；3.阈值泵浦功率密度，及其影响因素；4.单模运转激光器输出功率特性，及其影响因素；难点1.激光器速率方程的近似处理；2.激光器涉及的效率；3.单模运转激光器输出功率的影响因素；4.蓝姆凹陷及其应用。

二、知识点总结1. 激光器速率方程的特点⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−−→−⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=−−−−→−⎪⎭⎪⎬⎫全填充激活介质的有限填充忽略模间耦合受激跃迁几率差别忽略各模的光子寿命、近似方法：主要关心：单模纵模式：近似方法：平面波主要关心：基模横模式：模式：腔内光子寿命正反馈局部损耗光学谐振腔：近似影响腔内光子数R R dt d τϕϕτ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∆=∆+-∆-∆-∆-=∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∆=∆-∆-∆-=∆ϕτϕϕηηϕηϕτϕηϕη)()()(:I )()(:I R R R R R P R R R R P n B V dt d n B A n g g nA n B W n n dt n d n B V dt d nA n B W n n dt n d 112211222112211三能级系统四能级系统速率方程：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎩⎪⎨⎧++==in outs p P t R t R dP dP S A A S A S S v ηηηηηηνηττδδη激光器斜率效率：＝总量子效率：三能级系统四能级系统激光上能级荧光效率三能级系统四能级系统抽运能级驰豫转移效率泵浦量子效率：泵浦源光子利用率：光学谐振腔效率：效率：212121************:I :I :I :I 2. 激光器阈值特性⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅∆+⋅≈⋅⋅⋅⋅∆⋅⋅≈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆-∆+=∆≈∆-∆=≡≡∆−−→−l G r g g g g hn V P L hV V P n n A n n g g W A n n n n A n W L G v v g LhvB V n m P H P a pt P H P a pt t t pt t t t pt t H t dt d δνηηηννπδηηηλνννπηηηδνδϕ/)(//:I :I )()(:I )()(:I )(:),(:002112122130221122100210000111121114泵浦超阈度：三能级系统四能级系统泵浦功率密度：三能级系统四能级系统泵浦速率：增益系数小信号布居反转数密度阈值：上下＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧−−→−⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∆-⋅-≈∆−−→−−−−−→−+∆∆=⎪⎩⎪⎨⎧∆=∆-∆=∆沿轴：多横模几个纵模振荡波腹空域：多纵模振荡频域非均匀加宽沿轴：多横模几个纵模振荡波腹空域烧孔偏移纵模频率向的单纵模振荡靠近均匀加宽纵模数目：非均匀加宽：均匀加宽出光带振荡：烧孔色散压扁增益曲线:::),(log ::H q q H q q mnq os r D os m H os l I G N r q m νννπννδνννννννννν000022211 3. 连续激光器的输出⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∆≈==∆−−−→−=−−−−→−⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-⋅⋅⋅⋅==out R s a R n s a R n m so out s opt pt in p R p out t s out P h V n B L V V L V B n y f y r AT I P l G AI P l G T P P v P h P 22222200122218222)()(])e xp([)()()(::I max ννππϕδπνϕδκααανηηητνϕ激四能级系统自发辐射的贡献损耗：极限线宽：非均匀加宽：最大输出功率：最佳输出耦合：均匀加宽功率输出：三、典型问题的分析思路1、 振荡纵模式数问题。

首先，明确讨论的是纵模问题，不要牵扯横模。

其次，均匀和非均匀加宽介质性质在纵模起振上差异很大。

在均匀加宽介质激光器中，由于强烈纵模式竞争，一般只能单模运转，但是，因为增益的沿轴烧孔，也不排除在驻波腔中还是可能有多个纵模起振。

当然，这些起振纵模不一定是相邻的纵模。

这是因为，尽管通过强激励可以有所加宽，均匀加宽介质出光带还是有限：1-∆=∆m H os r νν借助波节插空形成振荡的纵模不多，不应该是这一问题的对象。

在非均匀加宽介质激光器中，出光带内损耗线以上的每个纵模都可以烧孔起振，振荡纵模式数问题应该是针对它提出的。

非均匀加宽介质出光带：m rD os 2log νν∆=∆起振模式数目：2/2log 1m rqD N νν∆∆+= 所以，需要知道非均匀加宽线宽、纵模间距：nLc q 2=∆ν 以及泵浦超阈值的大小： l G r D m δν/)(00=或者小信号增益以及单位长度损耗的大小，或增益介质有多长。

因此，这个问题换个问法的话，还可以问你腔长多短时才只有单模工作？或者以除输出之外忽略其它损耗，给你增益及输出镜反射率，问你能有几个纵模工作？等等，都是在上述公式里打转转。

2、 非均匀加宽介质激光器中烧孔重叠问题。

首先，需要明确什么情况算是烧孔重叠。

烧孔是强光对介质增益的饱和作用，烧孔重叠意味着有两个强光。

在激光器中，对光的区分是按模式的，所以两个强光即两个振荡模式的激光。

烧孔重叠实际上是说激光器中两个振荡模式对介质增益的争夺。

其次，需要明确烧孔会发生在频域，也会发生在空域。

基横模模场集中在腔轴沿线，损耗低，增益大，竞争力强，最易起振。

基横模的起振，主要消耗的是腔轴沿线各处激活介质的集居数反转密度，客观上形成沿腔轴线的这一横向空间增益烧孔；腔轴线以外各处激活介质的集居数反转密度，由于没受基横模光场的影响，仍然保持在高位，为模光场主要分布在远离腔轴的高阶横模提供了可资利用的集居数反转密度，为高阶横模的起振提供了条件。

所以，横向烧孔的存在，使均匀加宽激光器中易形成多个横模的稳态振荡。

另外，驻波腔激光波腹处光强最大，波节处光强最小，介质中沿腔轴向各点处光强周期性分布，致使介质增益形成沿轴烧孔。

由于波长不同，不同纵模在腔内波腹、波节的位置各异。

沿轴烧孔效应的存在，大大减小了相邻模之间的竞争，使强竞争力模式的邻模也可能同时形成稳态振荡，不同纵模使用不同空间的激活粒子而同时产生振荡。

可见，空域的烧孔，无论是沿轴的，还是离轴的，往往是竞争力弱的模式在强模式烧孔空间之外的增益利用，并不威胁强模式的振荡，不会存在真正意义上的烧孔重叠。

这样一来，只有频域才会发生烧孔重叠。

由于均匀和非均匀加宽介质性质的差异，还是要分开考虑。

在均匀加宽介质中，振荡模通过受激辐射在获得增益、强度增大的同时，也使介质增益均匀饱和，介质的增益曲线被整体压扁，各模式光场的净增益也被压缩、下降。

随着各模式光场强度增大，增益饱和程度加深，增益曲线整体被压缩的更多，远离介质频率中心纵模的净增益会减小到零或者负值，即损耗线以下，导致远离介质频率中心的纵模退出振荡，直至仅存一个振荡模式。

介质增益越大，不同纵模式实际获得的增益差异越大，模式竞争越激烈，也最有可能最后形成激光器单模工作。

当然，均匀加宽介质中模式竞争的强度也是相对的。

若介质增益能力弱，难以培养出有竞争力的模式，最后也能维持多模式输出。

在这种情况下，各模式的竞争力弱，实际上是获得增益的能力弱，难以对增益曲线进行有效地饱和烧孔，也就谈不上相邻模式烧孔重叠以至于出现竞争的现象了。

在非均匀加宽介质中情形则显著不同。

非均匀加宽介质粒子对谱线不同频率处的增益有不同的贡献，纵模消耗激发态粒子时，消耗的只是表观中心频率与其频率相对应的一群激发态粒子，因此一纵模起振后，消耗的只是表观中心频率与模频率相对应的那些激发态粒子，对增益系数的影响只是在其均匀加宽谱线所占频率范围，在增益曲线上出现局部增益曲线烧孔。

当然，烧孔的深度也是有限度的，与均匀加宽介质情形一样，烧孔也以到达损耗线为界：l I I G I G s q D q qδννν=+=10)(),(若有多个纵模满足振荡条件，只要满足阈值条件而起振的各振荡模间的频差足够大，大于考虑饱和修正的均匀加宽谱线宽度，各个振荡模就将独立地与反转原子相互作用，增益基本上互不相关，并从中获得增益放大而形成各自的稳态振荡，激活介质的局部增益饱和使介质小信号增益曲线上呈现多个烧孔，每个烧孔都是烧到损耗线，实现彼此几乎独立的多模振荡、激光输出。

烧孔的深度，或者说饱和程度，大小决定于增益系数。

纵模光频率离介质中心频率近的，布居反转粒子数密度大，消耗也多，饱和程度大，烧孔深度深；远的则深度浅。

在多个烧孔共存的情形下，烧孔能不能重叠，一个因素是烧孔的间距，对于非均匀加宽介质也就是纵模间距：nLc q 2=∆ν 另一个因素是烧孔的宽度。

如果我们将烧孔重叠的判据定为两烧孔的FWHM （半最大全宽度），只有宽度比纵模间距还大的纵模会产生烧孔重叠，形成强烈的竞争。

这种竞争往往构成激光输出不稳定的一个原因。

烧孔的宽度，在激光器中，要受激光增益介质和谐振腔两方面的影响。

在谐振腔方面，由于输出耦合不可避免的引入损耗，纵模有一定的宽度：LVT R πν4≈∆ 在激光增益介质方面，介质的线宽还要受饱和因素的影响：s H I I qννδν+∆=1最后，烧孔宽度要有这两个宽度综合来定。

一般情况下这会牵扯到卷积计算，多数练习题会给让一个比另外一个大的多以达到简化的目的。

如果是谐振腔纵模宽度很小，起主要作用的是介质的饱和线宽，则需要计算出该纵模的振荡光强：()][ln 1220282-=∆--+D q e r I I m s ννν并把它带入上面的饱和作用影响后的介质线宽表达式进行计算。

这样一来，需要知道饱和光强、非均匀加宽线宽，还需要知道泵浦超阈值的大小，或者小信号增益以及单位长度损耗的大小：l G r D m δν/)(00=或增益介质有多长。

如果是谐振腔纵模宽度起主要作用，还需要在这个宽度的基础上再加上一个饱和作用影响后的介质线宽。