第三章应变状态理论PPT课件
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第三章应变理论课件
Venant）1797年生于法国，
1886年逝世。1825年毕业于
巴黎桥梁公路学校，后从事
工程设计工作，1837年回该
校任教，1868年当选为法国
科学院院士。在弹性力学、
塑性力学、流体力学等方面
做出了贡献。他的力作用的
局部思想被称为“圣维南原 理”。
圣维南
（A.J.Saint-Venant）
§3-5 变形协调方程
§3-3 转动张量
如图4设过点 从物体中任意取出
一微元线段 。若令点 的坐标
为
，则点 的坐标为
变形后， 变成 的位移为
。令点 的位移为
于是
图4
, 则点
§3-3 转动张量
§3-3 转动张量
其中
若令
则
表示位移矢量 的旋度，
则分别表示物体
内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而
则代
表微元体的刚性转角。
§3-3 转动张量
应变协调方程的物理意义： ➢ 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满
足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。 ➢ 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！
例题
例1. 设物体变形时产生的应变分量为
在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 线段 的正应变是
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
的正应变是 （4）
求出线段 与 之间的直角改变，也就是剪应 变 ，用位移分量来表示。
§3-2 小应变张量（几何方程）
第三章-应变分析
3－4 体积应变
单元体的体积： dVdxdydz
变形后，体积： dV'(dxxdx)(dyydy)(dzzdz)
dxdy(d1z )(1 )(1 )
x
y
z
dxdy(d1z )
x
y
z
则，体积应变：
d' V d V d
x(1 d y d z) d
x
y
z
x d y d z
dV
d xd yd zx y z
Man◇ ._Ha!n.℡ɡ1rl。 ゜ eVer ㄨ 、 Give up沸 点 soon startˊ Sorry -aesar 凯 撒 Julietˋ Ａ m , 七 分 醒 ▌SakitIf- ExpectΜ elod y丶 低 声 、 saybetrayeiove 均 My、
queen哀 伤 之 后 After sad□ Yinkuimy、 zyO° Myへ Loveヽ ρuzzledPoison丶
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变 物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位 置，这是物体形状变化引起的位移，称为变形位移。
M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'）
点的位移为MM'
z
u = x'- x = u（x，y，z）
v = y'- y = v（x，y，z）
w = z’- z = w（x，y，z）
变形后：
m'点的坐标为( x+u，y+v）
a '点的坐标为( x+dx+u+微分增量，y+v +微分增量）
b '点的坐标为 ( x+u+微分增量，y+dy+v +微分增量）
弹性力学_第三章应变.ppt
v
B"
B
u u dx x
线素AB的转角为： BB tg AB
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
AB、AD的正应变 x 、 y ：
C'
D" D '
D C
dy
u
A
A'
B'
v v dx x
v
B"
B
u u dx x
dx 0 图 2-5
x
线素AB的正应变为： u (u dx)u u x x dx x 同理，AD的正应变为： v (v dy) v v y y dy y
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
第三章应变分析
八面体线应变 八面体切应变
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
五、应变偏张量和应变球张量
六、等效应变
取八面体切应变绝对值的 倍所得之参量称为等效应变，也称广义 应变或应变强度。
等效应力的特点
1)等效应力是一个不变量； 2)等效应力没有特定的作用面； 3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。 4) 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩) 应力σ1 ，即
6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹 -塑性变 形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。
§3.1 、位移和应变 一、 位移及其分量
§3.1 、位移和应变 二、 应变及其分量
(二) 应变及其分量
真实应变 变形体由 l0→ln 可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。
第三章应变分析
2020年4月23日星期四
c) 理想剪切 d) 弯曲工序
P→P1 剪斜了 Q → Q1 平移到Q1 ，未变形
P→P1 缩短且转动一角度 Q → Q1转动一角度，但未变形
由以上实例可以得到以下概念： 正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短
1、变形 切变形（角变形）：单元体发生畸变
纯变形
设ac=dx, ac∥ox轴，则 ab=dy, ab∥oy轴
a 点位移分量为u,v, 则由前 式得出b,c点的位移增量为 ：
简记为
即小应变几何方程
例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为 ：
u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3 v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3 w=(10-0.1xyz)×10-3 求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、 主应变、八面体应变、等效应变
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z
弹性力学应变状态
第三章 应变状态
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质-变形协调方程
目录
§3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质-变形协调方程
目录
§3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
3.应变理论
y 2
2 y
x 2
2 xy
xy
上式即为 变形协调方 程，共81个， 而独立方程 只有6个：
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx
x y
xy
z
yz )
x
2 2 x
yz
(3.19)
Hale Waihona Puke y( xyz
yz
x
zx
y
)
2
2 y
xz
( yz
第三章 应变理论 第一节小变形理论
若边长 AB=dx,则在 x 轴方向
AB 边变形后的伸长为：
AB
AB
AB
u
u1
u
u x
dx
故 x 方向的应变为：
x
AB AB
u dx
u x
同理可得：
y
v y
; z
w z
图 3.1 单元的变形图
现在研究棱边角度的改变。
zx
tg
BB AB
w dx x dx u dx
3u j xi xk xl
(3.16)
2 ik
x jxl
1 3uk 2 x jxixl
3ui x jxk xl
(3.17)
（3.14)＋(3.15)－(3.16)－(3.17)得
2 ij 2 kl 2 lj 2 ik 0
xk xl xix j xk xi x jxl
2 x
第一个坐标系各轴的方向余弦如表 3.1 所示。
表 3.1 新旧坐标系间的方向余弦
X
2 y
x 2
2 xy
xy
上式即为 变形协调方 程，共81个， 而独立方程 只有6个：
2 y
z 2
2 z
y 2
2 yz
yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx
x y
xy
z
yz )
x
2 2 x
yz
(3.19)
Hale Waihona Puke y( xyz
yz
x
zx
y
)
2
2 y
xz
( yz
第三章 应变理论 第一节小变形理论
若边长 AB=dx,则在 x 轴方向
AB 边变形后的伸长为：
AB
AB
AB
u
u1
u
u x
dx
故 x 方向的应变为：
x
AB AB
u dx
u x
同理可得：
y
v y
; z
w z
图 3.1 单元的变形图
现在研究棱边角度的改变。
zx
tg
BB AB
w dx x dx u dx
3u j xi xk xl
(3.16)
2 ik
x jxl
1 3uk 2 x jxixl
3ui x jxk xl
(3.17)
（3.14)＋(3.15)－(3.16)－(3.17)得
2 ij 2 kl 2 lj 2 ik 0
xk xl xix j xk xi x jxl
2 x
第一个坐标系各轴的方向余弦如表 3.1 所示。
表 3.1 新旧坐标系间的方向余弦
X
高等材料力学课件第三章-应变状态
应变与变形
1 变与变形的关系
应变是描述物体形变程度的量，而变形是指物体由于受力而发生的形状改变。
2 应变分量与应力分量的关系
应变和应力是密切相关的，通过应变和应力之间的关系可以对材料的力学性质进行分析。
3 应变表面与应力表面的关系
应变表面和应力表面是描述物体应变和应力分布情况的图形，它们是密切相关的。
总结
1 本章主要内容回顾
本章我们深入学习了材料力学中的应变状态，包括应变概念、应变矩阵、平面应变状态 和空间应变状态等。
2 应变概念和应变矩阵的关系
应变概念是研究物体形变程度的基本概念，而应变矩阵是用于描述物体应变状态的重要 工具。
3 平面应变状态和空间应变状态的区别和联系
平面应变状态是指物体在平面内发生的应变情况，而空间应变状态是指物体在三维空间 内发生的应变情况。
高等材料力学课件第三章 变状态
欢迎来到本课件第三章，我们将深入探讨材料力学中的应变状态。了解应变 概念、应变矩阵、平面应变状态和空间应变状态等重要内容。
应变概念
1 应变定义
应变是描述物体在受到力 作用后形变程度的量，可 分为线性应变和非线性应 变。
2 应变率
应变率是指物体单位时间 内的形变速率，可以用来 描述物体的变形速度。
3 应变分量
应变分量是指在应变矩阵 中表示物体变形情况的各 个分量，分为正应变和剪 应变。
应变矩阵
1 应变矩阵的表示
应变矩阵是用矩阵形式表示物体各个方向上的应变分量。
2 应变矩阵的性质
应变矩阵具有可逆性、对称性和线性性等特点，这些性质在材料的力学分析中起到重要 的作用。
3 应变矩阵的运算
应变矩阵可以进行加法、减法和乘法等基本运算，这些运算可以用于分析和计算材料的 应变状态。
连续介质力学第三章(分析“应力”文档)共110张PPT
一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示，称为 应变张量，用表示，即：
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
高弹第三章应变状态(1)
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 •坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。
•主应变与应变主轴
• 应变主轴—— 切应变为0的方向 •
主应变—— 应变主轴方向的正应变
主应变确定 ——应变主轴方向变形
1 1 (ε x − ε )l + γ xy m + γ xz n = 0 2 2 1 1 γ xyl + (ε y − ε )m + + γ yz n = 0 2 2 1 1 γ xz l + γ yz m + (ε z − ε )n = 0 2 2
1 γ xy 2 1 γ xz 2 dx 1 γ yz dy 2 dz εz
位移增量是由两部分组成的
du 0 dv = ω z dw − ω y − ωz 0 εx ω y dx 1 − ω x dy + γ yx dz 2 0 Leabharlann 1 γ 2 zx c
x
b
c
o
P
u
P’
A
∂u u + dx ∂x
A’’
x
v
B
∂v v + dy ∂y
α
β
∂v v + dx ∂x
A’
B’’
∂u u + dy ∂y
B’
y
PA的正应变 PA的正应变:
∂u u + dx − u ∂u ∂x εx = = dx ∂x
同理线段PB的正应变为： 同理线段PB的正应变为： PB的正应变为
弹性力学第三章：应变分析
y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y
弹性力学徐芝纶第三章详解
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z
弹性力学 第三章应变状态理论
w
w
1 2
xz
dx
1 2
yz
dy
z
dz
1 2
y
dx
1 2
xdy
§3-2 相对位移张量 转动分量
0
u u
v
v
1 2
z
w
w
1 2
y
1 2
z
0
1 2
x
1 2
y
dx
1 2
x
dy
dz
0
x
1 2
xy
1 2
xz
dx
1 2
xy
y
1 2
yz
dy
1 2
xz
1 2
yz
dz
x
u x
y
v y
z
w z
yz
w y
v z
zx
u z
w x
xy
v x
u y
1 2
yz
yz
,
1 2
zx
zx ,
1 2
xy
xy
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
§3-2 相对位移张量 转动分量
相对位移张量：
u u u
x
y
z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
转动矢量：
u(x dx, y, z) u u dx
a:
x
v(x dx, y, z) v v dx x
u(x, y dy, z) u u dy
b:
y
b a
v(x, y dy, z) v v dy
材料力学 第三章 应变理论
ij 称为柯西应变张量或小应变张量
其实体表示形式为 1 u u 2
是二阶对称张量，只有六个独立分量。
§3-1 位移和变形
在笛卡尔坐标系中，其常用形式为
11
u1 x1
u x
x ,12
21
1 2
u1 x2
u2 x1
1 u
2
y
v x
xy
yx
22
u2 x2
v y
i
ji
ui x j
j
1
i
ui x j
j
i
可由位移梯度分量 ui 和线元正应变 计算任意方向线元
变形后的方向余弦。x j
考虑两线元间的夹角变化
t cos , t t 2 t 1 1
t
1 t t 2 t
§3-2 小应变张量（几何方程）
若变形前两线元互相垂直，即 t 0
u j xi
ei ej
E 1 u u u u 2
➢ 按照欧拉描述还可以定义描述大变形的阿尔曼西（Almansi,E)
应变张量，即
dS2 dS02 2eijdxidxj
eij
1 2
ui xj
u j xi
um xi
um xj
它也是二阶对称张量
由此可见：物体无变形（线元长度不变，仅作刚体运动） 的充分必要条件是应变张量处处为零。
令 为变形后线元间直角的减小量，则由上式可得
cos
2
cos , t
2 t 2ij it j 2t
通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变 t ，即
t 2t 2 t 2ijit j
若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j)
高等材料力学课件第三章-应变状态
( yz xz xy ) 2 2 x
x x y z
yz
( yz xz xy ) 2 2 y
y x y z
xz
( yz xz xy ) 2 2 z
z x y z
xy
§3.3 应变协调7
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛 盾。
•变形协调方程的物理意义
而且改变了物体内部各个点的相对 位置。
§3.1 变形2
M (x, y, z) M (x, y, z)
u=x'（x，y，z）－ x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）－ y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）－ z=w（x，y，z）
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析假定位移函 数具有连续的三阶导数
• 目录
• §3.1 变形与应变概念
• §3.2 向
主应变与主应变方
• §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素 ——载荷或温度变化 • 位移—— 物体内部各点空间位置发
生变化 • 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，
但仍保持初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，
§3.3 应变协调15
• 如果物体表面的位移已知，称为位移边界 • 位移边界用Su表示。
• 如果物体表面的位移 u, v, w,已知
• 边界条件为
uu vv ww
• 称为位移边界条件
§3.3 应变协调16
• 设物体表面为S • 位移已知边界Su • 面力已知边界Ss
则 S＝Su＋Ss
• 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边 界构成的。
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思考题：当形变分量完全确定时，位移分量 是否能完全确定。
22.11.2020
12
22.11.2020
同样，空间一
点的变形我们用该
点x、y、z方向上 的正应变和xy、yz、
zx方向构成的直角 的变化－切应变来
描述。
张量形式为
ij
1 ui 2 xj
uj xi
13
22.11.2020
空间的应变分量共九 个分量，是一个对称张量， 和应力张量一样，它们遵 从坐标变换规则，同样存 在着三个互相垂直的主方 向，对应的主应变值是该 张量的特征值。这些互相 垂直的主方向构成的直角 在该应变张量的变形时， 角度不变，由主平面组成 的单元体，由正方体变为 直角长方体。在主方向构 成的坐标系中，张量分量 构成对角阵，切应变分量 为零。
x
y
z
x'
l1
m1
n1
y'
l2
m2
n2
z'
l3
m3
n3
其中 li,mi,ni(i1,2,3)表示新坐标轴对老坐标轴的 方向余弦。
22.11.2020
20
位移矢量在新坐标系中的3个分量u',v',w' 分别为：
u' v'
Ue1' Ue2'
ul1 ul2
vm1 w vm2 w
nn12
w' Ue3' ul3 vm3 wn3
第三章 应变状态理论
22.11.2020
1
外力(或温度变化)作用下，物体内部各部 分之间要产生相对运动。物体的这种运动形态， 称为变形。
本章任务有两个：
1、分析一点的应变状态；
2、建立几何方程和应变协调方程。
22.11.2020
2
3.1 位移分量与应变分量－几何方程 3.2 一点的形变状态 形变张量 3.3 转轴时应变分量的变换 3.4 主形变 形变张量不变量 3.5 体应变 应变协调方程
v v d y y
x 方向上的位移为
u u d y y
PB的正应变在小变形时是由y方向的
位移所引起的，因此PB正应变为：
y
v y
PB的转角为： u
y
22.11.2020
10
22.11.2020
A
PA B
线段PA的转角是 线段PB的转角是
v
x
u y
于是，直角APB的改变量为
xyxvuy
6
如果各点(或部分点）间的相对距离 发生变化，则物体发生了变形。这种变 形一方面表现在微线段长度的变化，称 为线应变；一方面表现在微线段间夹角 的变化，称为切应变。
22.11.2020
7
dx dx
我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后
为P‘A’，P‘点的位移为(u,v)，A’点
x方向的位移为有时用张量Fra bibliotek量xy
1 2
v x
u y
11
这样，平面上一点的 变形我们用该点x方向上 的正应变、y方向上的正 应变和xy方向构成的直角 的变化来描述，称为应变 分量，也就是所说的几何 方程。
从几何方程可见，当 物体的位移分量完全确定 时，形变分量即完全确定。
x
u x
y
v y
xy
1 2
v x
u y
其中为3个新坐标轴的单位矢量。
利用方向导数公式:
( )coss,x()( )coss,y()( )coss,z)(( )
s
x
y
z
(l mn)( ) x y z
22.11.2020
21
于是新坐标系中的应变分量为
x'
u'
x'
(l1xm1yn1z)u ( 1lvm 1w1n)
u xl12vym12w zn12(w yvz)m1n1(u zw x)l1n1(vxuy)l1m1
引入
u u u
x y z
v v v
x
y
z
w w w
x y z
U
其中
e1
xe2
ye3z
为那勃勒算子，U是位移矢量，不难
算得的3个分量为:
22.11.2020
17
x y z
w y
v
z
u z
w
x
v x
u y
这里的称为转动矢量，而 x， y ， z 称为转动分量。
由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
u
x
v
x
w
x
u
y v
y w
y
u
z
v
z
w
z
=
x
1 2
xy
1 2
xz
1 2
yx
y
1 2
yz
1 2
xz
1 2
yz
z
+
0
1 2
z
1
2
y
1 2
z
0
1 2x
1 2
y
1 2
x
0
22.11.2020
18
上式，等号右边第一项为对称张量，表示微 元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称 张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变 形后微元体的方位变化。
如物体中一点M的形变分量为
x y z x y y z zx
则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转 动张量。
22.11.2020
19
3.3 转轴时应变分量的变换
设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的6个应
变分量为 x,y,z,x,yyz,zx。现使坐标轴旋
转一个角度，新老坐标的关系为：
同理，可求其它五个应变分量。经整理可得：
x ' x l 1 2 y m 1 2 z n 1 2 y m 1 z n 1 x l 1 n z 1 x l 1 m y 1
22.11.2020
22
张量式表示为
n n i'j'
ij i 'i j'j
同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸 长率
u u d x x
y方向上的位移为
v v d x x
22.11.2020
8
dx
α
dx
PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所 引起的，因此PA正应变为
x
uux dxu dx
u x
PA的转角为
v
v x
dx
v
v
dx
x
22.11.2020
9
我们从物体中取出y方向
上长dy的线段PB，变形后为
P'B'，B'点y方向的位移为
14
物体除形变外，还存在转动、刚体位移： （a）均匀形变：u、v、w是线性函数，称为均匀形变； （b）刚体位移：“形变为零”时的位移，即是“与形变
无关的位移”； （c）纯形变：形变分量不等于零，而转动分量等于零。
22.11.2020
15
3.2 一点的形变状态，形变张量
22.11.2020
16
相对位移张量 6个应变分量是通过位移分量的9个一阶偏导，即：
22.11.2020
3
3.1 位移分量与应变分量 －几何方程
22.11.2020
4
22.11.2020
在外力作用下，物 体整体发生位置和形状 的变化，一般说来各点 的位移不同。
5
22.11.2020
如果各点的位移完 全相同，物体发生刚体 平移；
如果各点的位移不 同，但各点间的相对距 离保持不变，物体发生 刚体转动等刚体移动。