特征线理论及应用

u (1 A2 2 B2 ) u (1 A1 2 B1 ) x (1 A1 2 B1 ) y v (1 A4 2 B4 ) v (1 A3 2 B3 ) (1 F1 2 F2 ) 0 x (1 A3 2 B3 ) y
D
C－ C＋ C＋
设 t = 0 时各量沿x轴的分布为
v0(x), c0(x), 于是可知黎曼不变量的
相应分布为
J0 ( x,0), J 0 ( x,0) 。
则(x,t)平面上任意一点D(x,t)上
C－
A
M D点的依赖区
B
x
的状态，将直接由x轴上点A(xA,0),
B(xB,0)两点上的状态决定。
其相容方程的解为：
2 v c J 1
结论：
沿着特征线
2 dx c J v c, v 1 dt
dx v c, dt
(黎曼不变量)
沿着特征线
2 v c J 1
(黎曼不变量)
特征线的基本性质 1）一维非定常流动中，平面x-t上任一点，都有两条不同 族的特征线，沿各特征线有各自不同的黎曼不变量； 2）特征线上参量v,c,p,…的一阶导数可以不连续，但这
dx 1 3 ( ) C v c J J dt 4 4 dx 3 1 ( ) C v c J J dt 4 4
第 I 族特征线斜率仅由 J- 决定； 第 II 族特征线斜率仅由 J+ 决定。
在平面运动中，沿着特征线黎曼不变量保持不变，这 一重要性质清楚地揭示出流体动力学中的一些依赖关系。 t
u u A1 A2 F1 0 x y
该方程对应的系数：A1=1, A2=2x, F1=－3x2
则特征线方程为：
dy 2x dx
积分得：
y x C1
2
为确定过点(2,4)的特征线，将x=2, y=4，代入上式得：
C1 0
所以，所求的特征线方程是：
yx
2
（2）
偏微分方程的相容方程为：
特征线的数学定义 考虑一个一般的一阶双曲型偏微分方程：
u u A1 A2 F1 0 x y
（1）
x, y 是两个自变量，u (x,y)是因变量。系数A1、A2及 非齐次项F1可以是 x，y，u 的函数。
设未知函数u (x,y) 连续，u 的一阶导数可以写作： 【注:u的一阶导数可以不连续】
第二章 特征线理论及应用
§2. 1 特征线理论
气体动力学中，有大量问题是用双曲型偏微分方程来描述的，
很难得到解析结果，在这种情况下，有两种数值解法： 1）特征线数值解法：求解域用特征线网格进行离散，求各 网格结点上的解；气体动力学中，有大量流动问题是用双曲 型偏微分方程来描述的，宜于用特征线方法求解。 2）有限差分法：求解域的有限差分网格一般是正交的，根 据由偏微分方程构造的差分格式来求各网格结点上的解。

由
得：
J J v 2 1 c (J J ) 4
J ( x3 , t ) J ( x3 , t ) v1 v2 2 c1 c2 v( x3 , t ) 2 2 1 2
( 1) c1 c2 1 v1 v2 c( x3 , t ) [ J ( x3 , t ) J ( x3 , t )] 4 2 2 2
沿着该曲线，偏微分方程就化为全微分方程：
du dv (1 A1 2 B1 ) (1 A3 2 B3 ) (1 F1 2 F2 ) 0 dx dx
J ( x3 , t ) J ( x1,0)
J ( x3 , t ) J ( x2 ,0)
2 2 v c J , v c J 根据： 1 1
2 J ( x1 , 0) v1 c1 1 2 J ( x2 , 0) v2 c2 1
C 与发自M点的 C 所包
C＋
P
D
围的区域，而这个区域 之外的地方，都不受M点 x 的影响。这个区域称为M 点的影响区。
Q
A
M
B
例：已知初始时刻 v(x,0), c(x,0) , 求D点的v(x,t), c(x,t)
t
CD (x3, t)
C+
A (x1, 0)
M
B (x2, 0)
x
解：在D(x3 , t)点，有
例：一阶偏微分方程
u u 2x 3x 2 0 x y
u( x, y ) 的初始条件是
u(0, y ) 5 y 10
用特征线法确定： 1）通过点(2, 4)的特征线 2）沿此特征线的相容方程 3）u (2, 4) 的值
解：（1）对照一般形式的双曲型偏微分方程
u u 2 x 3x 2 0 x y
J ( xD , tD ) J ( xA , 0) J ( xD , tD ) J ( xB , 0)
所以，点 D( xD , tD ) 所处的状态将完全由且 只由线段AB上的值决定，线段AB就称为点D
的依赖区。
同样，能够受到AB线
t
M点的影响区
C－
段间某点M的初始值影响 的区域，是由发自M点的
假设待求函数u(x,y)和v(x,y)在x,y平面上是连
续的，则连续函数的全微分为：
du u u dy dx x y dx dv v v dy dx x y dx
上式作对比，可以发现，若存在一条斜率为下式的平面曲线：
dy (1 A2 2 B2 ) (1 A4 2 B4 ) dx (1 A1 2 B1 ) (1 A3 2 B3 )
§2. 3 两个偏微分方程的特征线法 考虑下面两个偏微分方程组成的方程组：
u v v u A1 x A2 y A3 x A4 y F1 B u B u B v B v F 1 2 3 4 2 y x y x
将基本方程中的 d 用
dp 代替，得：
基本方程可化为：
1 p v v p c 0 c t x c x
v t v c p v 0 x c x
两式相加减 合并，基本方程可写作：
v 1 p v 1 p (v c) (v c)( )0 t c t x c x
dy A2 dx A1
代入
A1 (
u A2 u ) F1 0 式 x A1 y
u dy u A1 ( ) F1 0 x dx y
偏微分方程可化简为：
du A1 F1 0 dx
或： （4）
du F1 dx A1
得到偏微分方程的相容方程
特征线的第一个数学意义： 【是平面上这样一族曲线：沿着此族中任一曲线(a)，
基本方程——偏微分方程
( v G ) ( v G ) (v c ) 0 t x
u u A1 A2 F1 0 x y
特征线？？ 相容方程？？
在x-t 平面上，把dx/dt=v c 曲线称为偏微分方程的特征线。
t
C－
dx v dt
C＋
dx vc dt
简单波流动
4 J 3 J
t
J
0
2 J
c/c0
1 J
0 J (II)
0 J
(I)
(3)
0 J
(2)
(1)
(0)
(4)
0 J
0 J
(0)
活塞运动迹线
x 特征线
v/c0 相容关系描述的状态特征线
复合波流动
t 10 4 9 7 6 C+ 5 3 8 2 C2 8 9 3 10 v/c1 5 6 4
基本方程与黎曼不变量 （以一维等直截面管为例） （连续方程）
Leabharlann Baidu基本方程
v v 0 t x x
（动量方程）
v v 1 p v 0 t x x
等熵流动中只有一个状态参量独立：
( p)
d 1 d ( ) s dp 2 dp dp c
定义
dp G c
G 1 p t c t G 1 p x c x
v 1 p v 1 p (v c) (v c)( )0 t c t x c x
则
基本方程化为以vG 为新的未知函数的偏微分方程：
( v G ) ( v G ) (v c ) 0 t x
dx vc dt
x
C＋表示第一族特征线；C－ 表示第二族特征线。
解相容方程:
d (v G ) 0 dt
dp v const c dp v const c
对多方气体：
由
p B

dp 1 c B 声速： d
2
dp cd 2 c c 1
可以把待求物理量的一阶偏微分控制方程变换成等价
的常微分控制方程(b)，称为原偏微分方程或偏微分方 程组的相容方程】
dy A2 dx A1
(a)
du A1 F1 0 dx
(b)
特征线的第二个数学意义：
u u A1 A2 F1 0 x y
u u dx dy x y
du F1 3x 2 dx A1
对上式积分，得：
u x C2
3
如何确定 C2 ？
初始条件 u (0 , y) =5y+10
及特征线方程
yx
2
u (0, 0) =10
C2 10
因此相容方程为：
u x 10
3
u(2,4) x3 10 18
§2. 2 一维等熵流动的特征线数值解法
c/c1
7
x
特征线 相容关系描述的状态特征线
依赖区和影响区
由于沿着两族特征线，分别有：
2 v c J 1 2 v c J 1
可以把 J＋ 和 J－ 看作是两个新的函数，则
J J v 2 1 c (J J ) 4
利用 J＋ 和 J－表示的特征线方程为：
u 0 u 0 , x y
0
0
表明： 1）沿特征线因变量的一阶导数具有不定值，可以是不连续的，在这种情 况下，特征线是弱间断（第一类间断线）。
2）在气体动力学中，特征线可以是弱扰动波传播的迹线，或者说弱扰动
传播的迹线就是特征线。 因此，因变量的一阶导数只允许有弱间断，如果在物理平面上有激 波出现，在强间断面上便无法建立因变量的全微分式，也就不能用特征线 方法求解。
些参量本身是连续的，称因变量的一阶导数不连续的点叫
做弱间断。如果初始某一点有弱间断，那么这个弱间断必 定会沿着过该点的特征线向外传播。 3）两个相邻的，不同类型流动区域的分界线，必定是特 征线。
三类流态中的特征线
定常均匀流动 t
c0 c
x 特征线 （不代表波的传播迹线）
v0
v
相容关系描述的状态特征线
u u du dx dy x y
du u dy u dx x dx y
将偏微分方程改写为：
（2）
u A2 u A1 ( ) F1 0 x A1 y
（3）
dy A2 偏微分方程的特征线定义为：xy平面内具有斜率为 dx A1 的曲线。
沿着特征线
x, y是自变量，u(x,y)和v(x,y)是两个因变量。系数A、B及非齐次项
F可以是 x、y、u和v的函数，方程组是准线性的。
以上两个方程进行线性组合：
u u v v 1 ( A1 A2 A3 A4 F1 ) x y x y u u v v 2 ( B1 B2 B3 B4 F2 ) 0 x y x y
F1 A2
du
A1 u dx y A1
F1 du A2 A1du F1dx A1dy A2 dx
du dy F1dy A2 du u x A1dy A2 dx A1 A2 dx dy
dx dy
上两式表明： 即沿着特征线，
沿着特征线，分母和分子均为零。