一 圆周角定理
圆周角定理推论
圆周角定理推论
中心角定理：如果一个三角形的三条边的长度都已知，则可以用这三条边到三角形的三个角的长度来求解出这个三角形的三个角的大小，这个定理又称为三角形钝角定理。
也可以称之为圆周角定理，它是圆周角的一种表示法，说明圆周角满足三角形的钝角定理。
即如果已知圆周角的三边长度，则可求出其三个内角。
例如，已知圆周角的三边长度分别为4,4,4，则可求出其三个内角分别为60°，60°，60°。
圆周角定理的公式是：若a、b、c分别为圆周角的三边长度，则有A = arccos（（b2 + c2 - a2）/ 2bc），B = arccos（（a2 + c2 - b2）/ 2bc），C = arccos（（a2 + b2 - c2）/ 2bc）。
其中A，B，C分别为圆周角的三角形的三个内角。
圆周角定理及推论
24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及推论教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示∵∠AOC是△ABO的外角∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO∴∠ABC=∠AOC（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，•只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、巩固练习1．教材P92思考题．2．教材P93练习．四、应用拓展例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．连接CO并延长交⊙O于D，连接DB∵CD是直径∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBCxx，sinD=，即2R=同理可证：=2R，=2R∴===2R五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．。
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理的三种证明方法
圆周角定理是几何中著名的定理，亦即“每个三角形的外接圆的内切圆与它的最大外接圆所成的圆周角相等”。
此定理由古希腊数学家艾西法 (Euclid) 于其《几何原本》第六章首次提出数千年前，随着数学的发展，有许多其他的证明方法也被提出：
1、几何距离证明法：两个圆的圆心距离为2R的话，就可以让它们的相切线同时证明最大外接圆的圆周角和最小内切圆的圆周角相等。
可以用两等腰直角三角形向根据勾股定理来演算出，两个圆周角的圆心角度都是相等的。
2、数学归纳法：也就是艾西法于其《几何原本》所作的证明，即归纳法可以证明不论外接圆的半径有什么样的大小它们所成的圆周角都是相等的。
3、几何投影证明法：几何投影证明法通过找到三角形它的内切圆和最大外接圆，把两个圆投影到平面上，将圆心连线作为投影线，使投影线在它们之间形成一条射线，然后可以推出它们所成的圆周角相等。
圆周角定理及其推论
画多少个？它们有什么关系？为什么？
反过来呢？
D
A
推论1： 同圆或等圆中：
C O·
同弧或等弧所对的圆周角相等；
相等的圆周角所对的弧也相等. E
B
探究三：
如图， △ABC内接于⊙O, 请思考当∠AOB为 180°时, ∠ACB的度数是多少?从而你得到什么结论?
反过来呢？
C
推论2：
A
·O
B
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
O
∴ ∠BAC = 12∠BOC.
B
C
猜想： 一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半
1、圆心在圆周角的边上 2 、圆心在圆周角的内部.
C
C
O·
O·
A
B
A
B
D
3、圆心在圆周角的外部
C
O·
D
B
A
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
探究二：
在一个圆中，并画出A⌒B所对的圆周角能
24.3 圆周角
1.圆周角的概念 ：
顶点在圆上，并且两
C
边都与圆还另有一个交
点的角叫做圆周角。
O
B
2.一个角是圆周角的条件：
①顶点在圆上；
A
②两边都和圆相交。
练习:指出下图中的圆周角.
A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
×
C O
√
O D
×
O
E
O
O
B
×
×
√F
探究一：
A
如图，等边△ABC的三个顶点
圆周角定理
圆周角定理圆周角定理，又称为圆心角定理，是指在一个圆中，它对应的弧所对的圆周角的度数是一定的。
这一定理在几何学和三角学中有着重要的应用。
本文将介绍圆周角的定义、性质以及相关应用。
圆周角的定义在一个圆中，以圆心为顶点，连接圆上的两个点，所得到的角即为圆周角。
圆周角用字母“∠”来表示，其中小写的字母表示圆弧，如∠ABC，表示以圆心O为顶点的角，对应的圆弧为AB和AC。
圆周角的性质性质一：圆周角的度数是一定的在同一个圆中，不论圆周角对应的圆弧长度如何变化，其圆周角的度数是不变的。
这一性质可以用公式表示如下：∠ABC = (∠AOB) / 2 = (s / r) × 180°其中，“∠ABC”表示圆周角的度数，∠AOB表示对应的圆心角的度数，s表示圆弧的长度，r表示圆的半径。
性质二：垂直弧所对的圆周角是180°在圆中，对于垂直弧所对的圆周角，其度数恒为180°。
而垂直弧指与半径垂直的弧。
圆周角的应用圆周角定理在几何学和三角学中有着广泛的应用，以下列举其中几个常见的应用：应用一：扇形面积计算利用圆周角定理可以计算圆内的扇形面积。
假设扇形对应的圆心角为θ°，则扇形的面积等于圆的面积乘以θ/360°。
可以用以下公式表示：扇形面积= (θ / 360°) × πr²其中，r表示扇形的半径。
应用二：圆锥的体积计算圆锥的体积计算也可以利用圆周角定理实现。
假设圆锥的底面半径为r，高度为h，底角为θ°，则圆锥的体积可以用以下公式表示：圆锥体积= (θ / 360°) × πr² × h / 3应用三：三角函数的定义在三角学中，三角函数的定义与圆周角密切相关。
以正弦函数为例，其定义可以通过圆周角在单位圆上的投影来说明。
对于角θ对应的圆周角，在单位圆上的投影点坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
课件3：一 圆周角定理
再见
点评：当题目结论与比例式有关时,可考虑证明三角形相似．
3．在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD，AC 与 BD 交于点 E， 求证：ABEE＝ABDC.
︵︵ 证明：由AB＝AB， 得∠ADE＝∠ACB. 又∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，即ABEE＝ABDC.
4．如图所示，已知⊙O中，∠AOB＝2∠BOC，求 证∠ACB＝2∠BAC. 分析：利用圆周角定理证明． 证明：∵∠ACB＝∠AOB， ∠AOB＝2∠BOC， ∴∠ACB＝∠BOC. 又∵∠BAC＝∠BOC， ∴∠ACB＝2∠BAC.
►变式BC＝4 cm,则OD ＝__2_c_m____． 2.如图所示,圆O上一点C在直径AB上的射影为D,CD＝4,BD＝8,圆 O的半径r＝___5_____．
题型二 证明问题
例2 已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，求证： ∠BAE＝∠DAC. 分析：题目中出现圆的直径，想到直径所对的圆周角是直 角．因此，连接BE，得到∠ABE＝90°.同时，在△ABE与 △ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，从而结论 得以证明． 证明：如图，连接BE.
一 圆周角定理
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数. 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧也相等. 推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角;900的圆周角所对的 弦是直径
题型一 角、弦、弧长计算
例1 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦AB,求此弦所对 的圆周角. 解析：如图所示，
【正解】根据题意画出大致示意图如图所示，∠AOB 为弦 AB 所对的圆心角，∠C 和∠D 是弦 AB 所对的圆周角． ∵AB＝OA＝OB， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，∴∠C＝30°，∴∠D＝150°， ∴弦 AB 所对的圆心角为 60°，所对的圆周角为 30°或 150°. 易错点：对圆周角的概念理解不清 【疑难点辨析】顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一 条弦所对的圆周角应有两种情况．
圆周角定理及其推论
圆周角定理及其推论圆周角定理是一个重要的几何定理，它规定了三角形内角之和与圆周角之间的关系，从而形成一种经典的几何定理，被广泛应用于几何学和数学中。
关于圆周角定理的历史有很多，就其本身的来源来说，圆周角定理的最早证明可以追溯到古希腊数学家阿基米德，而后经过不同数学家的发展、研究和思考，使得圆周角定理的结构更加完善。
一般来说，圆周角定理讲的是三角形内角之和与圆周角之间的关系，而所指的圆周角是指由三角形所在的圆上某点到另一点之间的弧度，它可以用角度来表示。
圆周角定理用数学语言记述就是，如果把圆上的任一点当作三角形的顶点，将其余两点当作边的端点，此时此三角形的内角之和为180°，这就是圆周角定理的本质。
从实际几何中得出的圆周角定理，有利于我们更深入地理解几何中涉及到的三角形，有助于推理类题目的解答，这种推理关系也被称作三角恒等式，表示两等腰三角形两个内角之和等于三角形外角之和，即内角和=外角，这是圆周角定理的推论之一。
圆周角定理的另一个推论就是全等三角形恒等式，即三角形内角两两等边的三角形，它的三个角的大小相等，即相等的三角形的三个内角之和也等于180°，这是圆周角定理的另一个推论，又称为“全等三角形定理”。
圆周角定理的发现和研究对几何学的发展有重要意义，它为几何学到达发展的新高度和完善提供了重要的理论基础，同时也为数学建立了一种经典的定理模型，并且广泛应用于几何学和数学中。
因此，圆周角定理被广泛应用于几何学和数学中，它影响着我们对几何定理的理解，以及在几何学里面的推理思维，它也是我们几何学课本里面比较重要的定理，引用它可以使我们更好的理解几何形式和推理思维的重要性。
圆周角定理的发现，让我们更好地理解几何，使得更多的几何问题得到解决，从而为我们几何学的发展提供更多有利的条件。
它也为数学研究提供了一种经典的定理结构，从而推动了数学自身的发展和提高，使得数学越来越完善。
归纳总结，圆周角定理的本质是三角形内角之和为180°，它有两个推论：三角形恒等式和全等三角形恒等式，它是几何学和数学中经典的定理，并且对几何学的发展和完善有重要的意义，对数学也起到了推动作用。
一 圆周角定理
是半圆的直径,P是半圆上的 例３，如图，BC是半圆的直径 是半圆上的 如图， 是半圆的直径 一点,过 的中点Ａ， ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ａ，作 一点 过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证 求证： 为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证： ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ Ａ
圆周角定理
圆周角的定义： 圆周角的定义：顶点在圆周上且两边都 与圆相交的角。 与圆相交的角。 圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对 弧的度数的一半。 弧的度数的一半。 推论1：同弧（或等弧） 推论 ：同弧（或等弧）上的圆周角相 等。 同圆或等圆中， 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。 相等。 推论2：半圆（或直径） 推论 ：半圆（或直径）上的圆周角等 于90度。 度 反之， 度的圆周角所对的弦为直径 度的圆周角所对的弦为直径。 反之， 90度的圆周角所对的弦为直径。
2 1 3
Ｐ
4
Ｂபைடு நூலகம்
ＥＦ Ｄ
Ｃ
内接于⊙ 例４，如图， ΔABC内接于⊙Ｏ， 如图， ABC内接于 ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证 于点Ｈ，求证： ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证： ＯＡＢ＝∠ （１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ ）ＯＡＡＨ＝１ ＡＢ （２）ＯＡＡＨ＝１／２ＡＢＡＣ
Ａ Ｂ D ． Ｏ Ｈ Ｃ
例1，如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC ，如图， ABC中 AB=AC， 外接圆⊙O的弦AE BC于点 求证： ⊙O的弦AE交 于点D 外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：
AB = AD × AE
2
A
B E
D
C
的两条高, 例2，如图，设AD,CF是ΔABC的两条高, ，如图， 是 ABC的两条高 AD,CF的延长线交 ABC的外接圆 的延长线交Δ 的外接圆O AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE ⊙O的直径 求证: 的直径, 是⊙O的直径,求证: (1)ABAC=ADAE (2)DG=DH A
高中数学 2.1 圆周角定理教案 选修4-1
一圆周角定理课标解读1.了解圆心角定理．2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题.1．圆周角定理及其推论(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(3)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数． 1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补，弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补．2．在推论1中，把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的． 3．“相等的圆周角所对的弧相等”，正确吗？【提示】 不正确．“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图．若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但BC ≠EF .利用圆周角定理和圆心角定理进行计算在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角．【思路探究】 过圆心作弦的垂线构造直角三角形．先求弦所对的圆心角度数，再分两种情况求弦所对的圆周角的度数．【自主解答】 如图所示，过点O 作OD ⊥AB 于点D . ∵OD ⊥AB ，OD 经过圆心O ， ∴AD ＝BD ＝532 cm.在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52cm ，∴∠OAD ＝30°，∴∠AOD ＝60°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°. ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.∵∠AOB ＝120°，∴劣弧AEB 的度数为120°，优弧ACB 的度数为240°. ∴∠AEB ＝12×240°＝120°，∴此弦所对的圆周角为60°或120°.1．解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互为补角．2．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．图2－1－1已知如图2－1－1，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长．【解】 ∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE . 又∵BD ＝BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD . ∴△ABD ∽△CED . ∴AD CD ＝BD ED .即63＝5ED. ∴ED ＝2.5 cm.与圆周角定理相关的证明如图2－1－2，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .图2－1－2(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．(2)利用(1)的结论及面积相等求sin ∠BAC 的大小，从而求∠BAC 的大小．【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ，则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.1．解答本题(2)时关键是利用AB ·AC ＝AD ·AE 以及面积S ＝12AB ·AC sin ∠BAC 确定sin∠BAC 的值．2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题．如图2－1－3，△ABC 内接于⊙O ，高AD 、BE 相交于H ，AD 的延长线交⊙O 于F ，求证：BF ＝BH .图2－1－3【证明】 ∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AHE ＝∠C .∵∠AHE ＝∠BHF ，∠F ＝∠C ， ∴∠BHF ＝∠F . ∴BF ＝BH .直径所对的圆周角问题 如图2－1－4所示，AB 是半圆的直径，AC 为弦，且AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ，OD ⊥AC 于D .求四边形OBCD 的面积．【思路探究】 由AB 是半圆的直径知∠C ＝90°，再由条件求出OD 、CD 、BC 的长可得四边形OBCD 的面积．【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C ＝90°. ∵AC ∶BC ＝4∶3，AB ＝10 cm ， ∴AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm. 又∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC . ∴OD 是△ABC 的中位线，∴CD ＝12AC ＝4 cm ，OD ＝12BC ＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝12(OD ＋BC )·DC＝12(3＋6)×4＝18 cm 2. 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等．图2－1－5如图2－1－5，已知等腰三角形ABC 中，以腰AC 为直径作半圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，若∠BAC ＝50°，则EF 的度数为( )A ．25°B ．50°C ．100° D．120° 【解析】 如图，连接AF . ∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴∠BAF ＝12∠BAC ＝25°，∴EF 的度数为50°. 【答案】 B(教材第26页习题2.1第3题)图2－1－6如图2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB ＝AF ，BF 和AD 相交于E ，求证：AE ＝BE .(2013·陕西高考)如图2－1－7，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.图2－1－7【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长度考查了知识的应用能力及转化意识．【解析】 ∵BC ∥PE ，∴∠C ＝∠PED . ∵∠C ＝∠A ，∴∠A ＝∠PED . 在△PED 和△PAE 中， ∠PED ＝∠A ，∠P ＝∠P ， ∴△PED ∽△PAE ，∴PE PA ＝PD PE. ∵PA ＝PD ＋DA ＝3，PD ＝2， ∴PE 2＝PA ·PD ＝3×2＝6， ∴PE ＝ 6. 【答案】61．如图2－1－8，在⊙O 中，∠BAC ＝60°，则∠BDC ＝( )图2－1－8A ．30°B ．45°C ．60° D．75°【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是BC 所对的圆周角，故∠BDC ＝∠BAC ＝60°. 【答案】 C2．在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，则AB 所对的圆心角为( ) A ．22.5° B．45° C ．90° D．不确定【解析】 ∵∠ACB ＝45°，∴AB 所对的圆心角为2∠ACB ＝90°. 【答案】 C3．(2013·焦作模拟)如图2－1－9，A 、B 、C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍．图2－1－9【解析】∵∠BOC＝3∠BOA，∴BC＝3AB，∴∠CAB＝3∠ACB.【答案】 34．如图2－1－10所示，两个同心圆中，CmD的度数是30°，且大圆半径R＝4，小圆半径r＝2，则AnB的度数是________．图2－1－10【解析】AnB的度数等于∠AOB，又CmD的度数等于∠AOB，则AnB的度数是30°.【答案】30°一、选择题图2－1－111．如图2－1－11所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( ) A．1对B．2对C．3对 D．4对【解析】由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】 B2．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】 B3．如图2－1－12所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC 的中点，E 是AC 的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是( )图2－1－12A ．50°，30°，100° B．55°，20°，105° C ．60°，10°，110° D．40°，20°，120° 【解析】 如图所示，连接AD . ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD 过圆心O . ∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °， ∠CBD ＝∠CAD ＝20°. ∵E 是AC 的中点， ∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°. ∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B. 【答案】 B4．如图2－1－13，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图2－1－13A ．4π B．8π C ．12π D．16π 【解析】 连接OA ，OB . ∵∠ACB ＝30°， ∴∠AOB ＝60°， 又∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形． 又AB ＝4，∴OA ＝OB ＝4.∴S ⊙O ＝π·42＝16π. 【答案】 D 二、填空题图2－1－145．(2013·平顶山模拟)如图2－1－14，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________. 【解析】 连接CD ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠CDA ＝90°.由射影定理得BC 2＝BD ·BA ，AC 2＝AD ·AB ，∴BC 2AC 2＝BD DA ，即BD DA ＝169. 【答案】1696．如图2－1－15，AB 为⊙O 的直径，弦AC ，BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APD ＝__________.图2－1－15【解析】 由于AB 为⊙O 的直径，则∠ADP ＝90°， 所以△APD 是直角三角形． 则sin ∠APD ＝AD AP ，cos ∠APD ＝PD AP， 由题意知，∠DCP ＝∠ABP ，∠CDP ＝BAP ， 所以△PCD ∽△PBA . 所以PD AP ＝CD AB ，又AB ＝3，CD ＝1，则PD AP ＝13.∴cos ∠APD ＝13.又∵sin 2∠APD ＋cos 2∠APD ＝1，∴sin ∠APD ＝223.【答案】223三、解答题7．如图2－1－16，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD .(1)求证：DB 平分∠ADC ；(2)若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．图2－1－16【解】 (1)证明：∵AB ＝BC ，∴AB ＝BC ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . (2)由(1)可知AB ＝BC . ∴∠BAC ＝∠ADB . ∵∠ABE ＝∠ABD .∴△ABE ∽△DBA .∴AB BE ＝BD AB. ∵BE ＝3，ED ＝6，∴BD ＝9. ∴AB 2＝BE ·BD ＝3×9＝27. ∴AB ＝3 3.8．如图2－1－17, △ABC 是圆O 的内接等边三角形，AD ⊥AB ，与BC 的延长线相交于点D ，与圆O 相交于点E ，若圆O 的半径r ＝1，求DE 的长度．图2－1－17【解】 连接BE ，∴AD ⊥AB ， ∴BE 为⊙O 的直径，且BE ＝2r ＝2. 又∵∠AEB ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∠EBD ＝30°. 又∵∠ABD ＝60°， ∴∠D ＝∠EBD ＝30°， ∴DE ＝BE ＝2.9．如图2－1－18①所示，在圆内接△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的一点，E 是直线AD 和△ABC 外接圆的交点．图2－1－18(1)求证：AB 2＝AD ·AE ；(2)如图2－1－18②所示，当D 为BC 延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．【解】 (1)证明：如右图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．10.已知：如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于B、C的一点，A是BF的中点，AD ⊥BC于点D，BF交AD于点E.(1)求证：BE·BF＝BD·BC；(2)试比较线段BD与AE的大小，并说明道理．【解】(1)证明：连接FC，则BF⊥FC.在△BDE和△BCF中，∵∠BFC＝∠EDB＝90°∠FBC＝∠EBD，∴△BDE∽△BFC.∴BEBC＝BDBF.即BE·BF＝BD·BC.(2)连接AC、AB，则∠BAC＝90°.∵AF＝AB，∴∠1＝∠2.又∵∠2＋∠ABC＝90°，∠3＋∠ABD＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.∴AE＝BE.在Rt△EBD中，BE>BD，∴AE>BD.。
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
圆周角定理及其推论
由(1)得
1
∠DAC= 2
1
∠DOC, ∠DAB= 2 ∠DOB
1
∴ ∠DAC-∠DAB= 2 (∠DOC - ∠DOB)
1
即:∠BAC= 2 ∠BOC.
D
2.圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心
角度数的一半.
3.圆周角定理的推论
2
2
领悟：要求
弧的度数，
由圆周角定理，得BD2∠BAD=2×25°=50°，
只需求得该
LJ
弧所对的圆
DE 2∠CAD=2×25°=50°,AE 2∠ABE=2Hale Waihona Puke 40°=80°.周角的度数.LJ
LJ
随堂演练
1.如图所示的四个图中，∠α是圆周角的是( C )
2.如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角
以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E.
求图中劣弧的度数.
解
如图，连结BE，AD.
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）.
∴∠BAC=50°，∴∠ABE=90°－∠BAC=90°－50°=40°.
又∵△ABC是等腰三角形，
1
1
∴∠ABC=∠CAD= ∠BAC= ×50°=25°.
简单的几何问题.
获取新知
1.圆周角的定义
A
如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
两个条件必须同时
具备，缺一不可
(1)量出圆周角∠BAC与它所对弧上的圆心角∠BOC的
20-21版：一 圆周角定理（创新设计）
预习导学
课堂讲义
当堂检测
1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和 弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程 中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供 了一种新方法.
2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半 径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度 数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来， 弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等.
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所以∠AOB＝2∠AOD＝120°， 所以∠ACB＝12∠AOB＝60°.
因为∠AOB＝120°，所以A︵EB的度数为 120°， A︵CB的度数为 240°.
所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°.
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规律方法 弦所对的圆周角有两个，易 丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易 应用到解三角形的知识.
图形语言
符号语言 作用
A，B 是⊙O 上两点，则A︵B的度
数等于_∠__A_O__B_的度数 确定圆弧或圆心角的度数
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3.圆周角定理的推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角_相__等__；同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相__等__. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角__； 90°的圆周角所对的弦是_直__径__.
若 AB∥DG，则∠BAC＝∠EDF，但B︵C≠E︵F.
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2.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？ 提示 不一定相等.一般有两种情况：相等或互 补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补， 所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的 圆周角既相等又互补.
课件1：一 圆周角定理
再见
所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.
因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于 AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角， 故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.
课堂小结
1.在圆周角定理的证明中,运用了数学中分类讨论和化归 的思想以及归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究 的,当角的一边过圆心时,得到圆周角与同弧上的圆心角的关系, 然后研究当角的一边不经过圆心时,圆周角与同弧上的圆心角 之间的关系,在角的一边不经过圆心时,又有两种情况:一是圆心 在圆周角内;二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论, 最后得到不论角的一边是否经过圆心,都有定理中的结论成立. 在几何里,许多定理的证明,都需要像这样分情况进行讨论,后面 还会遇到这种分情况证明的定理.
2 2∠AOD=120，所以∠ACB= 1 ∠AOB=60.因为∠AOB=120，
2 所以 AEB 的度数为 120， ACB 的度数为 240.所以∠AEB= 1 240=120.所以此弦所对的圆周角为 60或 120. 2
点评：弦所对的圆周角有两个,易丢掉120°而导致错误.
另外,求圆周角时应用到解三角形的知识.
当堂检测
1.
A
①顶点在圆周上的角是圆周角;
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;
③90°的圆周角所对的弦是直径;
④直径所对的角是直角;
⑤圆周角相等，则它们所对的弦也相等;
⑥同弧或等弧所对的圆周角相等.
A .1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
2.已知点O是△ABC的外心，∠A=α，则∠BOC为（ C A. 2α B. 360°-2α C. 2α或360°-2α D. 180°-2α
圆周角定理的推导过程
圆周角定理的推导过程
嘿，咱今儿个就来讲讲圆周角定理的推导过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，一个圆在那，圆上有好多好多的点。
圆周角呢，就是顶点在圆上，两边和圆相交的角。
那为啥圆周角定理这么重要呢？
咱就拿一个例子来说吧，在圆上找一个圆周角，再画它所对的弧。
嘿，你发现没，不管这个圆周角在圆上的哪个位置，只要它所对的弧不变，那这个圆周角的大小好像就固定啦！这是不是很神奇呀！
那怎么证明呢？咱们可以把圆周角的一边延长，延长到和圆相交，这样就形成了一个圆心角。
这圆心角和圆周角可有大关系呢！
你想想看呀，圆心角的顶点可是在圆心呀，那它的度数不就等于它所对的弧的度数嘛。
而圆周角呢，它和圆心角可是有联系的哦。
咱们可以通过一些巧妙的办法，比如画辅助线啥的，把圆周角和圆心角联系起来。
然后你就会发现，圆周角的度数居然是圆心角度数的一半！哇塞，这也太神奇了吧！
比如说，咱画一个特别大的圆，然后在上面找几个不同位置的圆周角，再去研究它们和圆心角的关系，你就会更清楚啦。
这就好像是在一个神秘的数学世界里探索一样，每一步都充满了惊喜和发现。
你说，数学是不是很有趣呀？通过推导圆周角定理，我们就像是打
开了一扇通往奇妙数学世界的大门。
而且呀，圆周角定理在好多地方都能用得上呢！比如在解决几何问
题的时候，它就能帮我们大忙啦。
所以呀，可别小瞧了这个圆周角定理的推导过程，它可是有着大用
处呢！它让我们更深入地了解了圆的奥秘，也让我们对数学有了更多
的好奇和探索的欲望。
怎么样，现在是不是对圆周角定理的推导过程有了更清楚的认识啦？好好去体会体会吧，相信你会有更多的收获！。
课件2：一 圆周角定理
解:(1)∵AE 平分∠BAC,∴∠BAD=∠EAC.
又∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC.
∵∠B=∠E,∠BAE=∠BCE,
∴△ABD∽△CED,△AEC∽△CED.
(2)∵△CED∽△AEC,
∴ = .
∴CE2=ED·AE, ∴16=2AE,∴AE=8.
∴AD=AE-DE=6.
径所对的圆周角为 90°,这样就得到了所需的条件.
又如图(2),在☉O 中,直径 AB⊥弦 AE⊥CF,要证△ABE≌△CDF,在
已知∠A=∠C,AB=CD 时,缺少一个条件,由 AB,CD 为直径,想到连接 BE,DF,
便可知∠E=∠F=90°,这就为证三角形全等提供了条件.
图(1)
图(2)
【典型例题 3】 如图所示,∠BAD=75°,则∠BCD=
.
错解:∵∠BAD 和∠BCD 所对的弦都是 BD,∴∠BAD=∠BCD.
∴∠BCD=75°.
错因分析:错解中,没有注意到圆周角∠BAD 和∠BCD 所对的弧不相等,
导致得到错误的结论∠BAD=∠BCD.
正解:∠BAD 是所对的圆周角,∠BCD 是 所对的圆周角,则
∠EAB,而要证这两个角相等,只需借助∠ACB 即可.
证明:∵BC 是☉O 的直径,∴∠BAC 为直角.
又 AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD=∠ACB.
∵ = ,∴∠FBA=∠ACB.∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE 为等腰三角形.∴AE=BE.
探究三 易错辨析
易错点:误认为同弦或等弦所对圆周角相等
探究一 求线段的长
求圆中线段长时,常先利用圆周角定理及其推论得到相似三角形,从而
得到成比例线段,再列方程求得线段长.
一、圆周角定理
得圆心角∠BOC.度量∠BAC 和∠BOC 的度数, 它们之间有什么关系?改变圆周角的大小,这种关系会改变吗?结论：∠BAC=1/2∠BOC 这个结论就是圆周角定理，给出圆周角定理（2） 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 已知：如图，在⊙O 中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC 求证：∠BAC ＝1/2∠BOC分析：圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种，如上图，下面我们分三种情况来证明圆周角定理 证明：略2、 圆心角定理分析圆心角和它所对的弧的度数的关系，得到圆心角定理。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。
让学生理解并记忆定理和推论 3、例题例1.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC = AE ·AD 分析：在已知条件中如果有直径，一般情况下要根据推论，作出直径所对的圆周角 用证明等积式的方法，把它化为比例式去寻找相似三角形。
证明：略A B D D (1) (2)(3)例2、如图，AB 与CD 相交于圆内一点P ，求证：AD 弧的度数与BC 弧的度数和的一半等于∠APD 的度数。
分析：方法一：如图（4）利用平行线把∠APD 转化为圆周角方法二：如图（5）利用三角形的外角等于不相邻内角的和把∠APD 转化为两个圆周角的和去解决解：略 4、小结1.圆周角定及证明.2.圆心角定理.3.圆周角定理的推论.三、作业：课本第26页习题2.1第1、2、3题（5） （4）一、圆周角定理教学目的：1、掌握圆周角和圆心角的定义.2、掌握圆周角定理及其证明3、掌握圆心角定理及圆周角定理的推论4、会及定理和推论解决问题教学重点：掌握圆周角、圆心角定理和推论并会运用它们解决问题教学难点：掌握圆周角、圆心角定理和推论并会运用它们解决问题教学过程一、复习引入1、圆心角的定义2、圆周角的定义二、新授1、圆周角定理2、圆心角定理推论1：推论2：3、例题例1.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径，求证：AB·AC = AE·AD例2、如图，AB 与CD 相交于圆内一点P ，求证：AD 弧的度数与BC 弧的度数和的一半等于∠APD 的度数。
15-16版：一 圆周角定理
一圆周角定理[学习目标] 1.理解圆周角定理与圆心角定理、圆周角定理的两个推论.2.会用圆周角定理和推论解决有关问题.3.会用圆心角定理解决有关问题．[知识链接]如图所示，AB为⊙O的直径，弦AC⊥EF于D，你认为图中有平行线吗？为什么？有相等的线段吗(可连接线段)?答案有平行线段，理由是：如图所示，因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.又AC⊥EF，所以∠ADF＝90°，所以∠ADF＝∠ACB，所以EF∥BC.有相等的线段，理由是：如图所示，连接BF，因为BC∥EF，所以EC＝BF，所以EC＝BF.[预习导引]1．圆心角及圆周角的概念顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角．2．圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆心角定理(1)定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(2)圆心角的表示：圆心角∠AOB与其所对的AB所对的度数是相等的，如图所示，可以记为：∠AOB 的度数＝AB 的度数，不能写成∠AOB ＝AB . 4．圆周角定理的推论(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． (3)在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等．要点一 圆中相关角度数的求解例1 在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦AB ，求此弦所对的圆周角． 解 如图所示，过O 点作OD ⊥AB 于点D .因为OD ⊥AB ，OD 经过圆心， 所以AD ＝BD ＝532(cm)．在Rt △AOD 中，OD ＝OA 2－AD 2＝52 (cm)，所以∠OAD ＝30°，所以∠AOD ＝60°. 所以∠AOB ＝2∠AOD ＝120°， 所以∠ACB ＝12∠AOB ＝60°.因为∠AOB ＝120°，所以AEB 的度数为120°，ACB 的度数为240°. 所以∠AEB ＝12×240°＝120°.所以弦所对的圆周角为60°或120°.规律方法 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．跟踪演练1 如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，求∠AOB 和∠ADB 的度数．解 ∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，∴ACB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.要点二 利用圆中角之间的关系证明有关问题例2 如图，AB 是⊙O 的一条弦，∠ACB 的平分线交AB 于点E ，交⊙O 于点D .求证：AC ·CB ＝DC ·CE .证明 连接BD .在△ACE 与△DCB 中，∵∠EAC 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠EAC ＝∠BDC . 又∵CE 为∠ACB 的平分线，∴∠ACE ＝∠DCB ，∴△ACE ∽△DCB . ∴AC CE ＝DCCB.∴AC ·CB ＝DC ·CE . 规律方法 利用圆中角的关系证明时应注意的问题(1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁；(2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角，然后在直角三角形中处理相关问题． 跟踪演练2 已知AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径，求证：∠BAE ＝∠DAC . 证明 连接BE ，因为AE 为直径， 所以∠ABE ＝90°. 因为AD 是△ABC 的高， 所以∠ADC ＝90°.所以∠ADC ＝∠ABE .因为∠E ＝∠C ，所以∠BAE ＝180°－∠ABE －∠E ，∠DAC ＝180°－∠ADC －∠C . 所以∠BAE ＝∠DAC . 要点三 有关圆弧的问题例3 如图所示，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是OA 、OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，C 、D 在圆上． 求证：AC ＝BD .证明 方法一 如图(1)所示，连接OC 、OD . ∵M 、N 分别是OA 、OB 的中点， ∴OM ＝12OA ，ON ＝12OB .又∵OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OC ＝OD ，CM ⊥OA ，DN ⊥OB ， ∴△COM ≌△DON .∴∠AOC ＝∠BOD . ∴AC ＝BD .方法二 如图(2)所示，连接AC 、OC 、BD 、OD . ∵CM 垂直平分OA ，∴AC ＝OC .同理，OD ＝BD . ∵OC ＝OD ，∴AC ＝BD .∴AC ＝BD . 规律方法 1.证明与弧有关问题的步骤： (1)根据题意作出辅助线；(2)证明两个圆心角、两个圆周角，或两条弧所在的弦相等； (3)利用圆周角定理的相关推论作出结论．2．在圆中，只要有弧就存在着弧所对的圆周角．因此，若要判断两弧相等，可以通过判断两条弧所对的圆周角相等．其实圆心角、两条弦、两条弧中任何一组量相等，那么它们所对应的其余各个量也相等．跟踪演练3 如图所示，⊙O 的两条弦AB 、CD 相交于圆内一点P ，求证：∠APC 的度数＝12(AC ＋BD )的度数．证明 连接AD . 则∠APC ＝∠A ＋∠D .所以∠APC 的度数＝(∠A ＋∠D )的度数＝12(AC ＋BD )的度数．要点四 圆周角定理的综合应用例4 如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，D 为AC 的中点，连接BD 交⊙O 于F 点． 求证：BC BE ＝CF EF.证明 连接CE 、CF 、EF ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＝∠A . 又∵∠BFE ＝∠BCE ， ∴∠BFE ＝∠A .又∵∠EBF ＝∠DBA ，∴△BEF ∽△BDA . ∴EF BE ＝ADBD.∵∠BFC ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠CBD ， ∴△CBF ∽△DBC .∴CF BC ＝CDBD .又∵AD ＝CD ，∴EF BE ＝CF BC ，∴BC BE ＝CFEF .规律方法 应用圆周角和圆心角定理解题 (1)观察图形，寻找相应弦及所在的弧； (2)利用圆周角定理和圆心角定理求出相关的角； (3)进行数学变形； (4)得出结论．跟踪演练4 如图， 弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝_____. 答案6解析 BC ∥PE .∴∠C ＝∠PED .由于∠C 与∠A 所对的圆弧都是BD ，由圆周角定理，得∠C ＝∠A ，∴∠PED ＝∠A .又∵∠P ＝∠P ，∴△EPD ∽△APE ⇒PE P A ＝PDPE⇒PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，∴PE ＝ 6.1．如图所示，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆上两点，∠BAC ＝20°，AD ＝CD ，则∠BAD 的度数是( )A ．35°B ．45°C ．55° D. 70°答案 C解析 ∵∠BAC ＝20°，∴BC 的弧度数为40°，ADC 的弧度数为140°，∵AD ＝CD ， ∴CD 的弧度数为70°，∴∠DAC ＝＝35°， ∴∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAB ＝55°.2．如图所示，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于P ，若CD ＝3，AB ＝4，则tan ∠BPD 等于( ) A.34 B.43 C.53 D.73答案 D解析 连接BD ，则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB ， ∴CD AB ＝PD PB ＝34. 在Rt △BPD 中，cos ∠BPD ＝PD PB ， ∴cos ∠BPD ＝34，∴tan ∠BPD ＝73.3．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC 是⊙O 的直径，∠C ＝50°，∠ABC 的平分线BD 交⊙O 于点D ，则∠BAD 的度数是___________． 答案 85°解析 ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵∠C ＝50°，∴∠ADB ＝50°， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝12×90°＝45°，在△ABD 中，∵∠ABD ＝45°，∠ADB ＝50°， ∴∠BAD ＝180°－45°－50°＝85°.4．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，点D 是BC 上任意一点，AD ＝6 cm ，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长． 解 在题图中，∵AB ＝AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE ，又∵BD ＝BD ，∴∠BAD ＝∠ECD ，∴△ABD ∽△CED ， ∴AD CD ＝BD ED ，即63＝5ED，∴ED ＝2.5 cm.1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系，把角和弧两种不同类型的图形联系起来．在几何证明的过程中，圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法．2．圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等．3．关于圆周角定理推论的理解(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的．(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”．(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”．(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧.。
圆周角总度数
圆周角总度数
圆周角总度数为360°。
圆周角是360度，圆周角简单点说就是旋转一周所成的角。
角的定义是一个顶点两条边，而圆周角则是在角的基础上满足两个条件：顶点在圆上；边与圆相交。
画一个周角非常简单，只需将一边绕着顶点旋转一周与另一边重合即可画出一个周角。
1周角=360度。
1周角=2弧度。
1弧度=180度。
圆周角有一个特性，即圆周角的度数等于它所对弧上的圆周角的度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。
无论圆周角的度数是多少，这一特性对于任意一个圆周角都能成立，称为圆周角定理。
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【提示】 不一定相等．一般有两种情况：相等或互补， 弦所对的优弧与所对劣弧上的点所成的圆周角互补，所对同 一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互
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补． 2． 在推论 1 中， 把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”
的话，结论还成立吗？ 【提示】 不成立．因为一条弦所对的圆周角有两种可
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的度数为 120° ，优弧
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1 ． 解答本题时应注意弦所对的圆周角有两个，它们互 为补角． 2 ．和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通
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过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有 时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
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线交它的外接圆于点 E.
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图 2－1－2 (1)证明：△ABE∽△ADC；
1 (2)若△ABC 的面积 S＝ AD· AE，求∠BAC 的大小． 2
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【思路探究】 (1)通过证明角相等来证明三角形相似．
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已知如图 2－1－1，△ABC 内接于⊙O，
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，点
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D是
上任意一点，AD＝6 cm，BD＝5 cm， CD＝ 3 cm，
求 DE 的长．
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图 2－1－1
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2 2
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∴∠OAD＝30° ，∴∠AOD＝60° . ∴∠AOB＝2∠AOD＝120° . 1 ∴∠ACB＝2∠AOB＝60° . ∵∠AOB＝120° ，∴劣弧 . 的度数为 240° 1 ∴∠AEB＝2×240° ＝120° ， ∴此弦所对的圆周角为 60° 或 120° .
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图 2－1－7
【命题意图】 本题主要考查圆周角定理、三角形相似 等知识，证明三角形相似考查了逻辑推理能力，求线段的长 度考查了知识的应用能力及转化意识．
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【解析】 ∵BC∥PE，∴∠C＝∠PED. ∵∠C＝∠A，∴∠A＝∠PED.
在圆中， 直径是一条特殊的弦， 其所对的圆周角是直角， 所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度
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又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式 相等．
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如图 2－1－5，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直
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1．圆周角定理及其推论 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的 圆周角 对的 圆心角 的一半． (2) 推 论 1 ： 等于它所
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同弧或等弧
所对的圆周角相等；
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同圆或等圆
中，相等的圆周角所对的 弧 也相等．
【解】
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∵
，
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∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ ，
∴∠BAD＝∠ECD.
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∴△ABD∽△CED. AD BD 6 5 ∴CD＝ED.即3＝ED. ∴ED＝2.5 cm.
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如图 2－1－2，△ABC 的角平分线 AD 的延长
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1． 解答本题(2)时关键是利用 AB· AC＝AD· AE 以及面积 S 1 ＝ AB· ACsin∠BAC 确定 sin∠BAC 的值． 2 2．利用圆中角的关系证明时应注意的问题 (1)分析已知和所求，找好所在的三角形，并根据三角形
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AB AD (2) 因为△ ABE ∽△ ADC ，所以 ＝ ，即 AB· AC ＝ AE AC AD· AE. 1 1 又 S＝2AB· ACsin∠BAC 且 S＝ 2AD· AE， 故 AB· ACsin∠BAC＝AD· AE， 则 sin∠BAC＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90° .
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一
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圆周角定理
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课 标 1.了解圆心角定理． 解 2.理解圆周角定理及其两个推论，并能解决有关问题. 读
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所在圆上的特殊性，寻求相关的圆周角作为桥梁； (2)当圆中出现直径时，要注意寻找直径所对的圆周角， 然后在直角三角形中处理相关问题．
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如图 2－1－3，△ABC 内接于⊙O，高 AD、BE 相交于
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如图，连接 AF.
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∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠AFC＝90° ， ∴AF⊥BC， ∵AB＝AC，
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1 ∴∠BAF＝2∠BAC＝25° ， ∴ 的度数为 50° .
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【答案】 B
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(教材第 26 页习题 2.1 第 3 题) 如图 2－1－6，BC 为⊙O 的直径，AD⊥BC，垂足为 D， ＝ ，BF 和 AD 相交于 E，求证：AE＝BE.
(3)推论 2：半圆 (或 直径 )所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是 直径 ．
菜
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2．圆心角定理 圆心角的 度数 等于它所对弧的度数 ．
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1．圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？
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∴OD 是△ABC 的中位线， 1 1 ∴CD＝ 2AC＝4 cm，OD＝ 2BC＝3 cm. 1 ∴S 四边形 OBCD＝2(OD＋BC)· DC
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1 ＝2(3＋6)×4＝18 cm2.
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条件求出 OD、CD、BC 的长可得四边形 OBCD 的面积．
【自主解答】 ∵AB 是半圆的直径，∴∠C＝90° . ∵AC∶BC＝4∶3，AB＝10 cm，
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∴AC＝8 cm，BC＝6 cm. 又∵OD⊥AC，∴OD∥BC.
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的度数 的度数是
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________．
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【解析】 ∠AOB，则
图 2－1－10 的度数等于∠AOB， 又
. 的度数是 30°
的度数等于
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【答案】
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30°
H，AD 的延长线交⊙O 于 F，求证：BF＝BH.
【证明】 ∵BE⊥AC，AD⊥BC，
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∴∠AHE＝∠C.
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∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C， ∴∠BHF＝∠F. ∴BF＝BH.
图 2－1－3
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(2)利用(1)的结论及面积相等求 sin∠BAC 的大小，从而 求∠BAC 的大小．
【自主解答】 (1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
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因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝ ∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
6
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1．如图 2－1－8，在⊙O 中，∠BAC＝60° ，则∠BDC
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＝(
) A．30° C．60° B．45° D．75°
图 2－1－8
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【解析】 ⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是 . 周角，故∠BDC＝∠BAC＝60°
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【自主解答】 如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.
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∵OD⊥AB，OD 经过圆心 O， 5 3 ∴AD＝BD＝ 2 cm.
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