简单三角恒等变换典型例题

简单三角恒等变换复习

一、公式体系

1、和差公式及其变形：

（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=

± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+

)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-

2、倍角公式的推导及其变形：

（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=

⇔ααα2sin 2

1

cos sin =

⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±

（2）ααααααααα2

2

sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔

1

cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααα

αα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα

2cos 2

2cos 1=+ 【因为α是

2α

的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2

cos 2cos 12α

α=+

因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成

12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα

2cos 2

4cos 12=+】

α

ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2

sin 22cos 1=- 或

αα

2sin 2

2cos 1=- 【因为α是

2

α

的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2

sin 2cos 12α

α=-

因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成

αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα

2sin 2

4cos 12=-】

二、基本题型

1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：

注意角的关系，如)4

()4(,)(,)(π

βαπ

βααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，13

5

)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值

（2）已知,4

0,1312)45sin(,434,53)4

cos(π

ββππαπαπ

<<-=+<<=

-求)sin(βα+的值 （提示：βαπαπ

βπ++=--+)4

()45(

，只要求出)sin(βαπ++即可）

2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数

（1）已知βα,都是锐角，10

103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度

3、)(βα+T 公式的应用

（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0

000+++的值

（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度

4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2

cos 等 （1）已知2tan =α，求

ααα

αα

ααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值

5、切化弦，再通分，再弦合一

（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0

+ ② 0

35

sin 10cos )110(tan ⋅-

（2）、证明：

x x

x x x tan )2

tan tan 1(cos 22sin =+

6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-

1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）

A .

14 B .2 C .1

2

D .4

2、若tan 3α=，4

tan 3

β=

，则tan()αβ-等于（ ） A .3- B .3 C .13- D .1

3

3、cos

5

π

cos

5

2π的值等于（ ）

A ．

41 B ．

2

1 C ．

2 D ．4

4、 已知02A π

<<

，且3

cos 5

A =

，那么sin 2A 等于（ ）

A .425

B .725

C .12

25

D .2425

5、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4

tan(π

α+的值等于 （ ）

A ．1813 B.223 C.2213 D.18

3

6、sin165º= （ ） A ．

21

B ．23

C ．426+

D ．

4

2

6- 7、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）

A ．

23 B ．21 C ．23 D ．2

1

- 8、已知(,0)2

x π

∈-，4

cos 5

x =

，则=x 2tan （ ） A ．

247 B ．247- C ．7

24 D ．724-

9、化简2sin （

4π－x ）·sin （4

π

+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin

12π—3cos 12

π

的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ．

2 D ． 2 sin

12

5π

11、

)( 75tan 75tan 12的值为︒

︒

-

A ．32

B ．332

C ． 32-

D ．3

3

2-