简单三角恒等变换典型例题
三角恒等变换经典例题
三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-(3）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(4）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+=)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan ba ϕϕϕ=== ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin = （2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=7，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a bb a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒= 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,专题四 三角恒等变形各类题命题点1 和差公式的直接应用1．(2015课标1,2) 0000sin 20cos10cos160sin10-=（ ）.AB 1.2C - 1.2D2．（2017江苏，5）若1tan()46πα-=，则tan α=_____________ . 3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝________.4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－125．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于( )A.6425B.4825 C ．1 D.16256．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos (π4＋θ)等于( )A.23B.43C.34D.327．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin25θ=-，3cos 25θ=，则θ属于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 命题点2 角的变换8．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5259．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．11．(2016·浙江五校联考)已知3tan α2＋tan 2α2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )A.43 B ．－43 C ．－23 D ．－3 命题点3 三角函数式的化简12．（2013重庆，9）004cos50tan 40-=（）BC 1 13．化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ2)2＋2cos θ (0<θ<π)；化简4cos 2sin 22+-14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1tan 5°－tan 5°)．15． 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cosπ＋α2sin π－α2－cosπ－α2等于A.12 B ．－12C ．2D ．－2 命题点4 给值求值问题17．（2017课标全国3文，4）已知4sin cos 3αα-=，则sin2α=（ ） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7.9D18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.19．（2013浙江，6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则tan 2α=（ ） 4.3A 3.4B 3.4C - 4.3D - 20．（2014江苏，15）已知(,)2παπ∈，sin α=（1）求sin()4πα+的值；（2）求5cos(2)6πα-的值。
完整版简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换复习、公式体系(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos()cos cossin sincoscossin sincos()(3) tan(tan tan去分母得tan tan i tan()(1 tantan )1 tan tantantantan()(1 tantan 、倍角公式的推导及其变形：(1) sin 2sin( ) sin coscos sin2 sin cossin1 .cos— sin 2221 sin 2(sincos(2) cos 2cos() cos cos sin sin cos 2 sin 2cos 2cos 2 sin 2 (cossin )(cossin )cos 22• 2 cos 厶 sin2 2COS (1 cos )把1移项得 1 cos22 cos 2或 -4- GQS -2-c2 cos 212【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成2cos2 cos 2一 1 或 1 cos 2 cos 2或 - 1 cos —cos 22222因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成cos 42 cos 221 或 1 2Once 厶或nee? O12cos 2 22 cossin(1 sin 2) sin 2把1移项得1cos 22s in 2或 -4-1 2sin 22【因为是—的两倍，所以公式也可以写成2cos1 2 sin 2—或1 cos2 sin 2或 4 ---- eos-sin 22222因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成21、和差公式及其变形: 2) )2sin 2、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数:注意角的关系，如(),(4 (1)已知，都是锐角，sin -，cos(5) ， (-4)_5 ，求sin的值13)(—)等等4 5(2)已知COS(—) 1,—，sin( )U,0 —,求sin( )的值4 5 4 4 4 13 4. 3(提不：(——)(—) ,只要求出sin( )即可)2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数(1)已知，都是锐角，sin —，cos5,求角的弧度103、T()公式的应用(2) A ABC 中，角A、B 满足(1 tan A)(l tan B) 2 ,求A+B 的弧度4、弦化切,即已知tan ,求与sin, cos相关的式子的值：化为分式,分子分母同时除以cos 或cos? 等(1)已知tansin2 ,求SmQ 1Q in 9 rnQ 7,3sin 2cos2 的值3sin cos 1 sin 2 cos 25、切化弦，再通分，再弦合一(1)、化简：① sin 50° (13 t#TiO°)sin 35°sin 2x x(2)、证明： ________ (1 tan x tan _) tan x2 cos x 26、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合②(tan 10 01) cos-100...化简(2 sin2 2 cos4cos 20° sin 40° 的值等于（）3cos cos2 的值等于（ )——5 511A .C. 2D ・ 4424、已知0AiL cos A 3 那么卡in 2A 等于（）2547-_ 12 24A.B .C ・D ・25252525215已知tan （)——,tan( )，则）的值等升（ : )544413313 3A •B.—c.-一D.182222186、sinl65o= ()——1A •B.3C. 62 D. 62 22，4J广 47sinl4ocos 16o+sin76ocos74o 的值是 ()1、sin 20°cos40°A. 1B. 3c.1 D. 342r 244 72、若 tan3 , tan,则 tan(）等于（)31 1 A. 3B. 3-c.D.33A・3 B . 18、已知2x ( ,0),£,COS X24 一,则tan 2x (A . 7 2B —579、化简242s in (JI—x) —• sin (24n:+x), 其结果是4 4A. sin2x cos2x —10 、sin —3 cos 的值是( )12 12A . 0 £-211 、1 tan 2 75 的值为（)ji V tan 753 1c. D.2 J 2)24 24C・ D .7 7( )C .—cos2x D. —sin2x5c. 2 D . 2 sin12A. 2 3。
专题12 简单的三角恒等变换（解析版）
于是 b + c = 2R (sinB + sinC )
=
43 3
sinB
+
sin
2 3
−
B
=
43 3
3 sinB + 2
3 2
cosB
=
4sin
B
+
6
.
因为 ABC 是锐角三角形且 A = ， 3
所以由 C
2
，得
2 3
−
B
2
，因此
B
的取值范围是
6
,
2
.
6/7
( 而由
；（2）
−
2 2
,1
.
【解析】（1）由正弦定理得： sinA = sinBcosC + sinCsinB
因为： sinA = sin ( B + C ) = sinBcosC + cosBsinC
故 cosBsinC = sinCsinB 因为 sinC 0 ，所以 cosB = sinB 因为 0 B ，所以 B =
2
2
∴ A .
6
4
) ∵
a
=
2
，∴
a sinA
2
2,4
.又 b + c = a ， sinB + sinC sinA
3/7
( ) ∴ b + c 2 2, 4 . sinB + sinC
( ) 故答案为 2 2, 4
7．（三角恒等变换在实际中的运用）如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6m，最低点 B 处离地面 3.5m.若 从离地高 2m 的 C 处观赏它，则离墙______m 时，视角 最大.
高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)
高中数学三角恒等变换精选题目（附答案）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0 B12 C 2 D 12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365-B 、6365C 、5665D 、1665-3. tan 20tan 4020tan 40︒︒︒︒++的值为（ ）A 1 B3C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、5665D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ）A 、725-B 、2425-C 、2425D 、7257. 函数44sin cos y x x =+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10.函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A 、x =113πB 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x -+=-++，则x tan 的值为 （ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43-12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π- 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。
高中 简单的三角恒等变换 知识点+例题
教学内容
1．公式的常见变形
（1）tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
（2）sin2α＝ ；cos2α＝ ；sinαcosα＝ sin 2α.
（3）1＋cosα＝2cos2 ；1－cosα＝2sin2 ；
（1）求f( )的值；
（2）设α，β∈[0， ]，f(3α＋ )＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解(1)由题设知：
f( )＝2sin( － )＝2sin ＝ .
(2)由题设知： ＝f(3α＋ )＝2sinα，
＝f(3β＋2π)＝2sin(β＋ )＝2cosβ，
即sinα＝ ，cosβ＝ ，
又α，β∈[0， ]，∴cosα＝ ，sinβ＝ ，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
11．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于_________.
答案
解析原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
12．定义运算 ＝ad－bc，若cosα＝ ， ＝ ，0<β<α< ，则β等于______.
答案
解析 方法一因为y＝ ＝ ，
所以令k＝ .又x∈ ，
所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点
P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．
又kmin＝tan 60°＝ ，所以函数y＝ 的最小值为 .
方法二y＝ ＝ ＝ ＝ tanx＋ .
∵x∈(0， )，∴tanx>0.
∴ tanx＋ ≥2 ＝ .(当tanx＝ ，即x＝ 时取等号)
简单的三角恒等变换
例4
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形
3
弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP ,求 当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
cos 1 cos 3
2
2
sin 1 2
1 sin2 xcox2 x 1
(1 sin x cos x)
2(1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
3.设 (0, ), ( , ),且cos 1 ,
2
2
3
sin( ) 7 则sin ( )
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
DA tan 60 3 OA
OA 3 DA 3 BC 3 sin
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3设矩Leabharlann ABCD的面积为S,则SAB • BC
cos
3 3
sin
sin
sin cos 3 sin2
设 +=, -=
,
2
2
把,的值代入①,即得
sin sin 2sin cos
2
2
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
简单的三角恒等变换(含解析)
第六节简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. [小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos2α－sin2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合． 解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2.答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.32解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2.3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ， 3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α.证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12.。
三角恒等变换经典例题
三角恒等变换经典例题删除明显有问题的段落，改写每段话如下：三角恒等变换半角公式是根据角度所在的象限来选择符号的。
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：1）sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ2）cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ3）tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)2.万能公式：tan(α-β)=tanα-tanβ/(1+tanαtanβ)，tan(α+β)=tanα+tanβ/(1-tanαtanβ)3.角度的三角函数值：sinα=1/2，cosα=1/2，tanα=24.降幂公式：sin^2α=(1-cos2α)/2，cos^2α=(1+cos2α)/2，tan^2α=(1-cos2α)/(1+cos2α)5.辅角公式：asinθ+bcosθ=sqrt(a^2+b^2)sin(θ+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)所在的象限决定，sinφ=b/sqrt(a^2+b^2)，cosφ=a/sqrt(a^2+b^2)，tanφ=b/a6.二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos^2α-sin^2α=1-2sin^2α=2cos^2α-17.常见数据：sin15°=cos75°=(sqrt(6)-sqrt(2))/4，sin75°=cos15°=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.1.cos2a = 1 + cos2a2.sin2a = 1 - cos2atan15° = 2 - √3.tan75° = 2 + √34.升幂公式：1) 1 + cosα = 2cos2α/22) 1 - cosα = 2sin2α/23) 1 ± sinα = (sinα ± cosα)2/24) 1 = sin2α + cos2α1.解：sin20cos10 - cos160sin10 = sin20cos10 + cos20sin10 = sin30 = 1/2，选B。
三角恒等变换问题(典型题型)
三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。
例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 23αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36αβαβ+-= 化简得，59sin()72βα-=- 即59sin()72αβ-=方法评析：式的变换包括：1、tan(α±β)公式的变用2、齐次式3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）例2 （角的变换---已知角与未知角的转化）已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α，54cos -=α， 于是3tan 4α=-故3tan()3πα-+=== 方法评析：1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到．2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．例3（合一变换---辅助角公式）设关于x的方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异二解βσ和.求a 的取值范围. 解:∵1sin 2(sin )2sin()23x x x x x π=+=+， ∴方程化为sin()32a x π+=-.∵方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异二解,∴sin()sin 33x ππ+≠=. 又sin()13x π+≠± (1±时仅有一解),∴122a a <≠且-,即2a a <≠且∴ a的取值范围是(2,(3,2)--.方法评析：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0,2)π这一条件. 例4（ ，一题多解型）若cos 2sin αα+=求tan α的值.解： 方法一：(“1”的运用)将已知式两端平方得方法二：(合一变换)()αϕ+=1tan 2ϕ=， 再由()sin 1αϕ+=-知,()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--， 所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭方法三：(式的变换)令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =，即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：(与单位圆结合)我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的．方法评析：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识迁移能力．有关三角恒等变换的一般解题思路为“五遇六想”，即：遇正切，想化弦；遇多元， 想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角.。
简单的三角恒等变换(共41张)
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.
—[通·一类]—
3．(2017·湖北省教学合作联考)已知 tanα＋π4＝12，且－π2
<α<0，则2sicno2sα＋α－siπ4n2α＝(
)
A．－2 5 5
B．－3105
C．－3 1010
25 D. 5
解析：因为 tanα＋π4＝1ta－n αta＋n α1＝12，所以 tan α＝－13，因为
2．利用三角函数值求角要考虑角的范围． 3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角 恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的形式，然后借助三角函数图象解决．
[失误与防范] 1.利用辅助角公式，asin x＋bcos x 转化时一定要严格对照和 差公式，防止搞错辅助角． 2．计算形如 y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时， 不要将 ωx＋φ 的范围和 x 的范围混淆．
方法技巧专题19 三角恒等变换(解析版)
方法技巧专题19 三角恒等变换解析版一、三角恒等变换问题知识框架【一】公式顺用、逆用及其变形用1.例题 【例1】计算：(1)cos(－15°)； (2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 【例2】(1)计算：cos 2π12－sin 2π12； 【解析】原式＝cos π6＝32.(2)计算：1－tan 275°tan 75°；【解析】 1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3.(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.【解析】原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80°＝122sin 20°sin 80°cos 80°＝123sin 20°·sin 160°＝sin 20°23sin 20°＝18.【例3】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.【解析】3 原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 【解析】方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. （3）已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.【解析】 ∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.2.巩固提升综合练习【练习1】化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )A.12B.32 C ．－12 D ．－32【解析】Bcos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.【练习2】1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.【解析】－1原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.【练习3】在△ABC 中，A ＋B ≠π2，且tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 的值为( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 【解析】A∵tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ⇔tan(A ＋B )·(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)．(*) 若1－tan A tan B ＝0，则cos A cos B －s in A sin B ＝0，即cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2与题设矛盾．∴由(*)得tan(A ＋B )＝－3，即tan C ＝ 3.又∵0<C <π，∴C ＝π3.【练习4】若sin α＋cos α＝13，则sin 2α= .【解析】由题意，得(sin α＋cos α)2＝19，∴1＋2sin αcos α＝19，即1＋sin 2α＝19，∴sin 2α＝－89.1.例题【例1】已知31)3sin(=-πα，则)6cos(πα+ 的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－223【答案】A 【解析】∵sin )3(πα-＝13，∴cos )6(πα+＝cos )]3(2[παπ-+＝－sin )3(πα-＝－13.【例2】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P . 若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．【答案】 －5665或1665【解析】 由角α的终边过点⎪⎭⎫⎝⎛--54,53P ，得sin α＝－45，cos α＝－35. 由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.【例3】若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】222πππcos 22cos 12cos 13326πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π272sin 11699α⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭2.巩固提升综合练习 【练习1】已知33)6tan(=-απ，则=+)65tan(απ________. 【答案】－33【解析】tan )65(απ+＝tan )6(αππ+-＝tan )]6([αππ--＝－tan )6(απ-＝－33. 【练习2】若1027)4sin(=+πA ，A ∈),4(ππ，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34【答案】B 【解析】∵A ∈),4(ππ，∴A ＋π4∈)45,2(ππ， ∴cos （A ＋π4）＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin[（A ＋π4）- π4]＝sin （A ＋π4）cos π4－cos （A ＋π4）sin π4＝45.【练习3】已知sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=（ ） A.−45 B.45C.−35D.35【答案】C【解析】因为sin(α−3π10)=35，则cos(α+π5)=cos[π2+(α−3π10)]=−sin(α−3π10)=−35．故应选C ． 【练习4】若sin （3x π-）=23，则cos （23x π+）=（ ）A ．79B ．19C ．19-D ．79-【答案】C 【解析】令3x πθ=-，则223x ππθ+=-，所以()21cos 2cos 2cos 22sin 139x ππθθθ⎛⎫+=-=-=-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【练习5】已知3sin 245x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为（ ） A ．1825B ．1825±C ．725D ．725±【答案】C【解析】由题意得：297cos 412sin 212242525x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7sin 4cos 4225x x π⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C1.例题【例1】已知02απ<<，cos()4απ+= （1）求tan()4απ+的值； （2）求sin(2)3απ+的值．【解析】（1）∵02απ<<，cos()4απ+= ∴sin()4απ+==， ∴sin()4tan()24cos()4αααπ+π+==π+． （2）∵tan 1tan()241tan αααπ++==-，∴1tan 3α=， ∴2222sin cos 2tan 3sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，2222cos sin cos 2sin cos ααααα-=+221tan 4tan 15αα-==+，3sin(2)sin 2cos cos 2sin 33310αααπππ++=+=．【例2】已知△ABC 中,137cos sin -=+A A ,则tanA= . 【解析】解法一：列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1cos sin 137cos sin 22A A A A由第一个方程得,A A sin 137cos --=,代入第二个方程得1)sin 137(sin 22=--+A A ， 即016960sin 137sin 2=-+A A ， 解得135sin =A 或1312sin -=A ， 因为△ABC 中0<A<π, 所以sinA>0,135sin =A ，1312cos -=A ，所以125tan -=A . 答案:125-. 解法二：由已知得sinA>0, cosA<0, |sin A|<|cos A|, tanA>-1, 由137cos sin -=+A A 两边平方,整理得16960cos sin -=⋅A A ，即16960cos sin cos sin 22-=+⋅A A A A ， 分子分母同除以A 2cos 得169601tan tan 2-=+A A ， 解得125tan -=A .2.巩固提升综合练习【练习1】已知a ∈R ，sina +2cosa =√102，则tan2a =（ ）A ．−34或−35 B ．−34C ．34D ．−35【答案】B 【解析】因为sina +2cosa =√102，所以(sina +2cosa )2=52，所以sin 2a +4cos 2a +4sinacosa =52， 所以sin 2a+4cos 2a+4sin acosasin 2a+cos 2a=52，即tan 2a+4+4tanatan 2a+1=52，解得tana =3或者tana =−13，当tana =3时，tan2a =2tana1−tan 2a =−34，当tana =−13时，tan2a =2tana 1−tan 2a =−34， 综上所述，tan2a =−34，故选B 。
第四章 三角恒等变换（讲义+例题）（解析版）
第四章 三角恒等变换（讲义+例题）1.同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示) 例1．已知α是第二象限，且1tan 3α=-，计算： （1）sin()25cos sin()πααπα+--； （2）2sin cos()cos .απαα++ 答案（1）316；（2）65. 【分析】（1）首先根据诱导公式化简，再上下同时除以cos α 后，转化为正切表示的式子，求值；（2）首先利用诱导公式化简，再转化为齐次分式形式，转化为正切求值. 【详解】（1）原式cos 5cos sin ααα=-，上下同时除以cos α后，得11315tan 1653α==-+； （2）原式2222sin cos cos sin cos cos cos sin αααααααα-+=-+=+， 上下同时除以2cos α后，得211tan 16311tan 519αα+-+==++举一反三1．已知tan 2α=， 求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.答案．（1） 4 （2）54【分析】（1）分子分母同时除以cos α，化为tan 2tan 1αα+-可得答案.（2）将分子1写成22sin cos αα+，再分子分母同时除以2cos α，化为22tan 1tan tan 2ααα++-，可得答案. 【详解】 （1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===---（2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+- 2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+-2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(7) sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan baa b a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形). (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-例2：（1）．若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．71．B 【分析】利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由tan tantan 14tan 41tan 1tan tan 4παπααπαα++⎛⎫+== ⎪-⎝⎭-⋅， 又1tan 2α=，原式1+1tan 12=311tan 1-2αα+==-. 故选：B.（2）．sin140cos10cos40sin350︒︒+︒︒=（ ） A ．12B ．12-C ．32D ．3 2．A 【分析】根据诱导公式和两角差的正弦公式进行化简，由此求得正确选项. 【详解】依题意，原式()1sin 40cos10cos 40sin10sin 4010sin 302=-=-==，故选A.本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角差的正弦公式，属于基础题. 3．求值： （1）7sin12π； （2）tan105︒. 答案．（1）264；（2）23- 【分析】（1）根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）根据两角和的正切公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】 （1）7212326sinsin()sin cos cos sin 1243434322224πππππππ=+=+=+=； （2）tan 60tan 453tan105tan(6045)231tan 60tan 4513︒︒︒︒︒︒+︒=+===--- 【点睛】本题考查了两角和的正弦、正切公式，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 举一反三1．sin115cos55cos115sin55︒︒︒︒-=（ ） A 3B ．22C ．12D ．22-答案．A 【分析】逆用两角差的正弦公式进行化简即可. 【详解】3sin115cos55cos115sin55sin 602︒︒︒︒︒-==．本题主要考查两角差的正弦公式，属于基础题. 2（多选）．下列说法正确的是（ ） A ．sin15cos152sin 60︒+︒=︒B ．()()()sin 15sin 15cos cos 15sin αβαβαβ+-︒=-︒+-︒C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=+D ．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+-=-【答案】AB 【分析】利用辅助角公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式即可求解. 【详解】对于A ，22sin15cos152sin15cos1522⎛⎫︒+︒=︒+︒ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 45152sin 60=︒+︒=︒，故A 正确；对于B ，由两角和的正弦公式，()()()sin 15sin 15cos cos 15sin αβαβαβ+-︒=-︒+-︒，故B 正确.对于C ，()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-，故C 错误. 对于D ，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，故D 错误.故选：AB3．如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O 交于点A ,且点A 10．（1）求3cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值:（2）若以x 轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O 交于点B ,且点B 的横坐标为5求αβ+的值． 答案．（1）52）34αβπ+=【分析】（1）依题意,任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=,进而求出310cos 10α= 在利用余弦的和差公式即可求出3cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）根据钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是5得出5cos β=,进而得出25sin β=利用正弦的和差公式即可求出()2sin αβ+=,结合α为锐角,β为钝角,即可得出αβ+的值. 【详解】解：因为锐角α的终边与单位圆交于点A ,点A 10所以由任意角的三角函数的定义可知,1010sin α=． 从而2310cos 1sin 10αα=-=．（1）于是333cos cos cos sin sin 444αααπππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 310210251021025⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的横坐标是55-所以5cos 5β=-,从而225sin 1cos ββ=-= 于是()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+1053102522⎛=+ ⎝⎭． 因为α为锐角,β为钝角,所以3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭从而34αβπ+=． 【点睛】本题本题考查正弦函数余弦函数的定义,考查正弦余弦的两角和差公式,是基础题.3，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a b b a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x例3：1．已知1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A 3B 3C ．12D ．33答案．D【分析】根据题中条件，由两角差的余弦公式化简整理所求式子，即可得出结果. 【详解】 因为1cos 63x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以33cos cos cos cos cos sin sin cos sin 33322x x x x x x x πππ⎛⎫+-=++=+ ⎪⎝⎭ 33cos 63x π⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查根据两角差的余弦公式化简求值，属于基础题型. 2．化简31cos15cos 7522︒-︒=______. 2【分析】 化简可得：31cos 75sin 60cos15cos 60sin15sin 4522︒-︒=-=，根据特殊值即可得解. 【详解】31cos15cos75sin 60cos15cos60sin15222sin(6015)sin 452︒-︒=-=-==故答案为：22【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了正弦的两角差公式，考查了计算能力，属于基础题. 举一反三1．化简：（13cos x x +；（22(sin cos )x x -. 答案．（1）2cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2cos 4x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 【分析】逆用两角和与差的正弦函数公式变形即可. 【详解】（1）原式312cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin sin cos cos 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）原式222x x ⎫=-⎪⎝⎭2sin sin cos cos 44x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2cos 4x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用，属于基础题. 2．已知函数()3sin cos f x x x +. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π,π6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.”解答：（1）因为()3sin cos f x x x =+，所以()312cos 22f x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ππ2sin cos cos sin 66x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以2π2π1T ==. 所以函数()f x 的最小正周期是2π.（2）因为ππ6x -≤≤， 所以π7π066x ≤+≤. 所以当ππ62x +=时，函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值是1.所以当π3x =时，函数()f x 的最大值是2.4.二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2aa -=升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin 2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin2sin ααα=例4：1．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则cos 21sin 2αα=-（ ）A ．2425- B ．725-C ．7-D ．17-2．D 【分析】利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()22sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5α，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-， 所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭cos 211sin 2717252425αα-==--⎛⎫- ⎪⎭-⎝， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细. 2．（多选）下列各式中，值为12的是（ ） A ．22cossin 1212ππ-B ．2tan 22.51tan 22.5- C ．2sin195cos195D ．1cos62π+【答案】BC 【分析】由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值即可. 【详解】选项A ，223cos sin cos 2cos 1212126ππππ⎛⎫-=⨯==⎪⎝⎭，错误； 选项B ，22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⋅==--，正确； 选项C ，()()12sin195cos1952sin 18015cos 180152sin15cos15sin 302=++===，正确；选项D 31cos 1236222π+++==，错误.故选：BC 【点睛】本题考查由正弦、余弦与正切的二倍角公式计算求值，属于基础题. 3．已知：2()2cos 32f x x x a =++（a R ∈，a 为常数）． （1）若x ∈R ，求()f x 的最小正周期； （2）若()f x 在[6π-，]4π上最大值与最小值之和为3，求a 的值．22．（1）π；（2）0 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期； （2）根据x 在[6π-，]4π上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求a 的值． 【详解】解：2()2cos 32f x x x a =++3sin 2cos21x x a =+++2sin(2)16x a π=+++，（1）()f x ∴的最小正周期222T πππω===； （2）[,]64x ππ∈-，22[,]663x πππ∴+∈-，当ππ266x 时，即6x π=-，()f x 取得最小值为2sin()16a a π-++=，当262x ππ+=时，即6x π=，()f x 取得最大值为2sin()132a a π++=+， 最大值与最小值之和为3，33a a ∴++=，0a ∴=， 故a 的值为0． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．举一反三1.22cos 30sin 30-的值是（ ） A ．12- B ．12C ．3D 34．B 【分析】根据二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】22cos 30sin 30-=cos 6012=. 故选：B 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.2.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A ．53B ．23 C ．13D 5 ．A 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又25(0,),sin 1cos 3απαα∈∴=-=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3.已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B ．55 C ．33D ．2557．B 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．4．设向量()()2,sin ,1,cos a b θθ==，其中θ为锐角．()1若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值；()2若//a b ，求cos2θ的值．答案．（1）233；（2）35-【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积和三角函数的关系，即可求出； （2）根据向量的平行和同角的三角函数的关系，即可求出． 【详解】()1向量()()2,,1,a sin b cos θθ==，13216a b sin cos θθ∴⋅=⨯+=， 16sin cos θθ∴=，214()12133sin cos sin cos θθθθ∴+=+=+=， θ为锐角，0sin θ∴>，0cos θ>，23sin cos θθ∴+=． ()2//a b ，2221cos sin sin cos θθθθ∴=+=，2241cos cos θθ∴+=，215cos θ∴=，223221155cos cos θθ∴=-=-=-【点睛】本题考查了向量的数量积和向量与平行的关系，以及三角函数的化简，属于基础题. 5．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()2f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解. 答案．（1）3[]-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案； （2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案.（1）233()3sin cos 2sin 22a f x x a x x x x =--=- 当1a =，31()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+ 由73[0,],2[,],cos(2)[1,]266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈- 所以()f x 的值域为3[]-（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立即332sin 22sin 22222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴= 所以由33()cos 224f x x ==-得3cos 22x =-又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±±5 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=补充. 万能公式（用的不多，了解一下）: （1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=,（3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=例5：1．若()4tan 3πα+=-，α是第二象限角，则1sin sin 22παπα=+-⋅（ ） A ．35B ．3C ．5D ．53【答案】C 【解析】由题知43sin ,cos 55αα==-，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.【详解】解：因为()4tan tan 3παα+==-，α是第二象限角，所以43sin ,cos 55αα==-，所以1122531cos sin sin coscos122225παπαααα====+-+⎛⎫⋅⋅+- ⎪⎝⎭. 故选：C 2．若3sin 5θ=，532πθπ<<，则tan 2cos 22θθ+=____________． 【答案】1035-##15105- 【解析】 【分析】先利用同角三角函数的关系求出cos θ，再利用半角公式求出cos 2θ，sin2θ，从而可求出tan2θ，进而可求得答案【详解】 因为3sin 5θ=，532πθπ<<， 所以294cos 1sin 1255θθ=-=-=-， 因为532πθπ<< 所以53422πθπ<<， 所以411cos 105cos222θθ-+=-=411cos 3105sin 222θθ+-==-=， 所以sin 2tan32cos2θθθ==， 所以10tan2cos322θθ+=故答案为：1035-3．已知函数()2sin cos cos ,R f x x x x x =⋅+∈.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的值域.【答案】(1)π； (2)210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）先通过降幂公式和辅助角公式将函数化简，进而求出周期； （2）求出24x π+的范围，进而结合三角函数的性质求得答案.(1)()11cos 221sin 2sin 222242x f x x x π⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期为π. (2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2sin 2,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， ∴()210,2f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即函数的值域为210,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦.举一反三1．已知1sin23α=，则2cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．16B ．13C ．23D ．122【答案】B 【解析】 【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解. 【详解】∴1sin23α=，∴2π11cos 21π1sin2123cos 42223ααα⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭． 故选：B ．2．已知7sin cos 5αα+=，且α是第一象限的角，则tan 2α=______． 【答案】13或12【解析】【分析】根据同角三角函数关系，建立方程求出sinα，cosα的值，结合正切函数的公式进行求解即可． 【详解】解：∴α是第一象限角，7sin cos 5αα+=， ∴7sin cos 5αα=-+平方得2221449sin cos cos 1cos 525αααα=-+=-， 得214242cos cos 0525αα-+=，即46cos 2cos 055αα⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则3cos 5α=或4cos 5α=，当3cos 5α=时，4sin 5α，则311cos 15tan 42sin 25ααα--===． 当4cos 5α=时，3sin 5α=，则411cos 15tan 32sin 35ααα--===， 即1tan22α=或13． 故答案为：12或13．3．已知2sin 24cos 2αα=-.(1)若α在第二象限，求cos2sin αα+的值；(2)已知0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23tan 2tan 30ββ+-=，求()tan 2αβ+的值.【答案】(1)2535- (2)17【解析】 【分析】（1）根据题意，结合半角公式得tan 2α，故25sin α=5cos α=公式计算即可.（2）由题知tan 23β=，再结合正切的和角公式求解即可. (1)解： 2sin 212cos 2cos 2ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴tan 2α∴α在第二象限，∴25sin α=5cos α=，∴2253cos 2sin 2cos 1sin αααα-+=-+=(2)解：()2222tan 3tan 2tan 302tan 31tan 31tan ββββββ+-=⇒=-⇒=-∴tan 23β=，()tan tan 2231tan 21tan tan 21237αβαβαβ+-++===-+⨯。
三角恒等变换大题(含详细解答)
三角恒等变换1．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值． 2．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 3．已知sin(2α－β)＝35，sinβ＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sinα 4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，求cos2α－sin2β 5．函数y ＝12sin2x ＋sin2x ，x ∈R ，求y 的值域 6．已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sinβ＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值． 7．化简：(1－sinα)(1－sinβ)－⎝⎛⎭⎫sin α＋β2－cos α－β2 2. 8．已知函数()sin()cos()f x x x θθ=+++的定义域为R ，（1）当0θ=时，求()f x 的单调区间；（2）若(0,)θπ∈，且sin 0x ≠，当θ为何值时，()f x 为偶函数． 9 已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值 10 若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围 11 求值：0010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 12 已知函数.,2cos 32sinR x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象参考答案1. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．2. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛ sin 2α＋β2－⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．3． 解：∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2.∴π<2α－β<5π2.而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 评析：由sin(2α－β)求cos(2α－β)、由sin β求cos β，忽视2α－β、β的范围，结果会出现错误．另外，角度变换在三角函数化简求值中经常用到，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α－β)＋(α＋β)，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2等． 4. 解析：∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴12(cos2α＋cos2β)＝13， ∴12(2cos 2α－1＋1－2sin 2β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 5． 解析：y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x －12cos2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 评析：本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b 的模式．一般地，a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2cos x ＋b a 2＋b 2sin x ＝a 2＋b 2(sin φcos x ＋cos φsin x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝a b，也可以变换如下：a cos x ＋b sin x ＝a 2＋b 2(cos φcos x ＋sin φsin x )＝a 2＋b 2cos(x －φ)，其中tan φ＝b a. 6. 解：由4tan α2＝1－tan 2α2 得tan α＝2tan α21－tan 2α2＝12. 由3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，得3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， ∴2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. ∴tan(α＋β)＝1.又∵0＜α＜π4，0＜β＜π4，∴0＜α＋β＜π2， ∴α＋β＝π4. 评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．7. 分析：本题由于α＋β2＋α－β2＝α，α＋β2－α－β2＝β，因此可以从统一角入手，考虑应用和差化积公式． 解：原式＝1－(sin α＋sin β)＋sin αsin β－⎝⎛sin 2α＋β2－ ⎭⎫2sin α＋β2cos α－β2＋cos 2α－β2 ＝1－2sin α＋β2cos α－β2＋sin αsin β－ ⎣⎡⎦⎤1－cos(α＋β)2＋1＋cos(α－β)2－2sin α＋β2cos α－β2 ＝sin αsin β＋12[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝sin αsin β＋12·(－2)sin αsin β＝0. 评析：(1)必须是同名三角函数才能和差化积；(2)若是高次函数必须用降幂公式降为一次．8. 解：（1）当0θ=时，()sin cos )4f x x x x π=+=+ 322,22,24244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+()f x 为递增； 3522,22,24244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+()f x 为递减 ()f x ∴为递增区间为 3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈； ()f x 为递减区间为5[2,2],44k k k Z ππππ++∈。
简单的三角恒等变换专题及答案
简单的三角恒等变换专题及答案简单的三角恒等变换专题一、选择题1.已知sinα＝5115，则cos(π－2α)＝()。
答案：B。
通过sinα和cos(π－2α)的关系，可以得到cos(π－2α)＝－sinα＝－(1/5115)。
2.sin70°/(2cos10°－sin20°)的值是()。
答案：C。
通过三角函数的恒等变换，可以将sin70°/(2cos10°－sin20°)化简为sin70°/cos80°，再使用tan的定义式，得到tan70°=sin70°/cos70°=sin70°/sin10°cos80°=sin70°/sin10°sin10°=1/sin10°=3.3.若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为()。
答案：B。
通过三角函数的恒等变换，可以得到cos(π/2－76°)＝sin76°＝m，即cos14°＝m，再通过三角函数的恒等变换，可以得到cos7°＝2cos2(7°)－1＝2cos2(14°)cos(π/2－14°)－1＝2(1－sin2(14°))－1＝1－2sin2(14°)＝1－2(cos14°)2＝1－2m2.4.若cos2α＝－2，则sinα＋cosα的值为sin(7π/4)()。
答案：B。
通过cos2α的值可以得到sin2α＝1－cos2α＝3，再通过三角函数的恒等变换，可以得到sinα＋cosα＝√2sin(π/4＋α)＝√2sin(π/4＋α－2π)＝√2sin(7π/4－α)。
5.已知f(x)＝2tanx－2/(x＋π/12)，则f(π/6)的值为()。
答案：D。
2023高中数学三角恒等变换经典大题例题
(每日一练)2023高中数学三角恒等变换经典大题例题单选题1、已知A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα)，若AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1，则sin (α+π4)等于 A ．√23B ．1C ．2D ．√63答案：A解析：首先根据AC →⋅BC →=−1⇒（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，并化简得出sinα+cosα=23，再化为Asin(ωx +φ)形式即可得结果.由AC →⋅BC →=−1得：（cos α﹣3）cos α+sin α（sin α﹣3）＝﹣1，化简得sinα+cosα=23，即√2sin(α+π4)=23,则sin(α+π4)=√23故选A.小提示：本题考查了三角函数的化简求值以及向量的数量积的运算，属于基础题．2、设α､β为锐角，则下列各式，正确的是（ ）A ．cos(α+β)>cosα+cosβB ．cos(α+β)>sinα+sinβC ．cos(α+β)<cosα+cosβD ．cos(α+β)<sinα+sinβ答案：C解析：利用特殊值排除错误选项，然后利用三角恒等变换证明正确的结论即可得解.对于A ，当α=β=π3时，cos(α+β)=−12<cosα+cosβ=1，故A 不一定成立；对于B ，当α=β=π3时，cos(α+β)=−12<sinα+sinβ=√3，故B 不一定成立；对于C ，cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，因为α､β为锐角，所以cosαcosβ<cosα,−sinαsinβ<cosβ，所以cos(α+β)<cosα+cosβ，故C 正确；对于D ，当α=β=π12时，cos(α+β)=√32>sinα+sinβ=√6−√22， 故D 不一定成立.故选：C.3、若角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y =2x 上，则sin2θ=（ ）A ．−45B ．35C ．45D ．−35 答案：C解析：根据题意可知tanθ，利用同角三角函数关系，将目标式转化为tanθ的代数式，代值计算即可.因为角θ终边在直线y =2x 上，故可得tanθ=2；又sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=44+1=45.小提示：本题考查正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合基础题.4、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a c =2+bcosA ccos(A+C)，则B 的大小为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：B解析：利用正弦定理将边化为角，再逆用两角和的正弦公式化简即可.因为a c =2+bcosA ccos(A+C)，所以sinA sinC =2+sinBcosA sinCcos(π−B)，即sinA sinC =2−sinBcosA sinCcosB ，所以sinAcosB =2sinCcosB −sinBcosA ，所以sinAcosB +sinBcosA =2sinCcosB ，即sin(A +B)=2sinCcosB ，所以sinC =2sinCcosB ，又C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，所以cosB =12，又B ∈(0,π)，所以B =π3.故选：B小提示：方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．5、√3tan87°tan33°−tan87°−tan33°=（ ）A ．√3B ．−√3C ．√33D ．−√33 答案：A根据两角和的正切公式变形得tan87°+tan33°=tan(87°+33°)(1−tan87°tan33°)，即可求解.√3tan87°tan33°−tan87°−tan33°=√3tan87°tan33°−tan(87°+33°)(1−tan87°tan33°)=√3tan87°tan33°+√3(1−tan87°tan33°)=√3.故选：A小提示：本题考查三角恒等变换求值，注意公式变形应用，考查计算求解能力，属于基础题.。
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简单三角恒等变换复习
一、公式体系
1、和差公式及其变形：
（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-
2、倍角公式的推导及其变形：
（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=
⇔ααα2sin 2
1
cos sin =
⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±
（2）ααααααααα2
2
sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔
1
cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααα
αα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα
2cos 2
2cos 1=+ 【因为α是
2α
的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2
cos 2cos 12α
α=+
因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα
2cos 2
4cos 12=+】
α
ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2
sin 22cos 1=- 或
αα
2sin 2
2cos 1=- 【因为α是
2
α
的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2
sin 2cos 12α
α=-
因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα
2sin 2
4cos 12=-】
二、基本题型
1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：
注意角的关系，如)4
()4(,)(,)(π
βαπ
βααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，13
5
)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值
（2）已知,4
0,1312)45sin(,434,53)4
cos(π
ββππαπαπ
<<-=+<<=
-求)sin(βα+的值 （提示：βαπαπ
βπ++=--+)4
()45(
，只要求出)sin(βαπ++即可）
2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数
（1）已知βα,都是锐角，10
103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度
3、)(βα+T 公式的应用
（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0
000+++的值
（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度
4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2
cos 等 （1）已知2tan =α，求
ααα
αα
ααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值
5、切化弦，再通分，再弦合一
（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0
+ ② 0
35
sin 10cos )110(tan ⋅-
（2）、证明：
x x
x x x tan )2
tan tan 1(cos 22sin =+
6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-
1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）
A .
14 B .2 C .1
2
D .4
2、若tan 3α=，4
tan 3
β=
，则tan()αβ-等于（ ） A .3- B .3 C .13- D .1
3
3、cos
5
π
cos
5
2π的值等于（ ）
A ．
41 B ．
2
1 C ．
2 D ．4
4、 已知02A π
<<
，且3
cos 5
A =
，那么sin 2A 等于（ ）
A .425
B .725
C .12
25
D .2425
5、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4
tan(π
α+的值等于 （ ）
A ．1813 B.223 C.2213 D.18
3
6、sin165º= （ ） A ．
21
B ．23
C ．426+
D ．
4
2
6- 7、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）
A ．
23 B ．21 C ．23 D ．2
1
- 8、已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
247 B ．247- C ．7
24 D ．724-
9、化简2sin （
4π－x ）·sin （4
π
+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin
12π—3cos 12
π
的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ．
2 D ． 2 sin
12
5π
11、
)( 75tan 75tan 12的值为︒
︒
-
A ．32
B ．332
C ． 32-
D ．3
3
2-。