环路定理 电势

r r r r A = ∫LF ⋅ dl = ∫Lq0 E ⋅ dl = 0
静电场中任意闭合路径
静电场环路定理： 静电场环路定理：
r r ∫L E ⋅ d l = 0
路径上各点的总场强
静电场强沿任意闭合路径的线积分为零， 静电场强沿任意闭合路径的线积分为零，反映 静电场是保守力场。 了静电场是保守力场。 凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场。 凡保守力都有与其相关的势能，静电场是有势场。
U =∫
∞
r
r r E ⋅ dr
如果仍选择无限远为电势0点 分析 如果仍选择无限远为电势 点，积分将趋于 无限大。必须选择某一定点为电势0点 无限大。必须选择某一定点为电势 点——通常 通常 米的P 点为电势0点 可选地球。 可选地球。现在选距离线 a 米的 0点为电势 点。
a
P0
λ (ln a − ln r ) = 2πε 0
1
二. 电势能
由
W
b a
A = −∆EP = −∆W 保
零势点 a
A静电力
r r = q0 ∫ E ⋅ dl = −(Wb − Wa ) = Wa − Wb
令
Wb = 0 ⇒ W
Байду номын сангаас
= q0
∫
a
r r E ⋅dl
q0 在场中某点的电势能等于将 q0 由该点移到零
势点过程中电场力做的功。 势点过程中电场力做的功。 共同拥有. Wa : 静电场与场中电荷 q 0 共同拥有.
均匀带电球面内电势与球面处电 势相等， 势相等， 球面外电势与电量集中于球心的 点电荷情况相同。 点电荷情况相同。
q
∝ r12
o
U
4πε 0 R
R
r
∝1 r
R r
16
o
例题
的电势分布。 求：电荷线密度为λ 的无限长带电直线的电势分布。 电荷线密度为λ 无限长带电直线的电势分布 解：由
λ E= 2πε 0 r
Wa / q0 : 取决于电场分布、场点位置和零势点选取， 取决于电场分布、场点位置和零势点选取，
与场中检验电荷 自身的特性。 自身的特性。
q0 无关.可用以描述静电场 无关.
2
2. 任意带电体的电场
根据电场强度叠加原理，任意带电体在某点产生的电场强 根据电场强度叠加原理， 等于各电荷元单独在该点产生的电场强度的矢量和。 度，等于各电荷元单独在该点产生的电场强度的矢量和。 实验电荷q 实验电荷 0 在电场中从 a 点沿某一路径 L 移动到 b 点时静电场力作的功为： 点时静电场力作的功为：
b L2 L1
v = ∫ q0 E ⋅ dl −
a ( L1 )
b
v ∫ q0 E ⋅ dl = 0
a ( L2 )
Q0 a 所有的静电场都是 保守力场
∫
L
r v E ⋅ dl = 0
三. 环路定理 由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关， 由静电力做功只与检验电荷起点、终点的位置有关， 与所通过的路径无关 —— 静电力是保守力
r E
r r Φe = ∫ E ⋅ d S =
S
r S r v v 侧面 E ⊥ ∆S ∫ E ⋅ dS = 0 侧 r r r r a，b 两个底面 Ea ↑↑ ∆S Eb ↑↑ ∆S
r r Φe = ∫ E ⋅ d S = 0
∆S
∆S v
b
v Ea a
Eb
v E
∫∫
侧
v v EdS +
∫∫
底a
v v EdS +
a a
静电场力作功与移动实验电荷的具体路径无关
v Aab = ∫ q0 E ⋅ dl = v v A = ∫ q E ⋅ dl =
0 a ( L1 ) b
b
v ∫ q0 E ⋅ dl
a ( L2 )
b
v ∫ q0 E ⋅ dl +
a ( L1 ) b
v v ∫ q0 E ⋅ dl
b ( L2 )
a
b
A = ∫ dA = ∫
L
b
rb
ra
q0 qdr q0 q 1 1 = ( − ) 2 4πε 0 r 4πε 0 ra rb
r r A静电力 = q0 ∫ E ⋅ dl = −(Wb − Wa ) = Wa − Wb
a
可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关， 可见静电力做功只与检验电荷起点，终点的位置有关， 与所通过的路径无关。 与所通过的路径无关。 此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。 此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。
U
P
= U1 +U 2
无限大带电平板在P处电势： 无限大带电平板在 处电势： 处电势 σ a U 2 = Ed = − ⋅ 2ε 0 2 q σa = − 对不对？ 对不对？ 2 πε 0 a 4 ε 0
13
σ
q P ⋅ o a⋅ 2 a⋅
错在那里？ 错在那里？
U1 ⇒ U ∞ = 0 U2 ⇒ Ua = 0
x
零电势点不统一不能叠加. 零电势点不统一不能叠加. 解二： 解二：选共同的零势点
Ua = 0 q σ − 场强积分法： 场强积分法： E = 2 4πε 0 x 2ε 0
UP = ∫
a P a
r r a E ⋅ dl = ∫a E x dx
2
σ σa q =∫ ( − − ) dx = 2 4πε 0 x 2ε 0 4πε 0 a 4ε 0
令
Uo = 0
，沿
x 轴积分. 轴积分.
−σ
+σ
x < −a 区域： 区域：
−a 0
−a
o
⋅
a
x
⋅
− a ≤ x ≤ a 区域 ：
0
σ σa U = ∫ E x d x + ∫ E x d x = 0 + ( − )a = − ε0 ε0 x −a
U =
∫
x
σ σx E xdx = ( − )( − x ) = ε0 ε0
5
例：证明静电场中无电荷区域，凡电力线是平行直线的地方， 证明静电场中无电荷区域，凡电力线是平行直线的地方， 既电场强度方向处处相同），电场强度的大小必定处处相等。 ），电场强度的大小必定处处相等 （既电场强度方向处处相同），电场强度的大小必定处处相等。 证： 1. 以任意一条电力线 为轴，作圆柱形高斯面。 为轴，作圆柱形高斯面。
q
a 2
14
[例二] 均匀带电球面场中电势分布（ q 例二] 均匀带电球面场中电势分布
R ， ）
q
由高斯定理
o R
E
r P r
r E
∝
o
R
0 (r < R) r r qr E= (r > R) 3 4πε 0 r 令 U∞ = 0 沿径向积分
U外 r r ∞ r r qr ⋅ dr = ∫ E 外 ⋅dr = ∫ 3 4πε 0 r P r
思考：先由电场强度和电势的关系， 思考：先由电场强度和电势的关系，定性分析电势 变化规律，再定量计算。 变化规律，再定量计算。 两极板之间：电势沿－ 方向均匀降低。 两极板之间：电势沿－x 方向均匀降低。 两极板外侧：电势为恒量。 两极板外侧：电势为恒量。
18
电荷无限分布，在有限远处选零势点: 电荷无限分布，在有限远处选零势点:
∫∫
底b
大小相等； v v 大小相等； EdS = 0
v E 在两底面处
∫∫
底a
v v EdS = − E a∆S
∫∫
底b
v v EdS = Eb∆S
Ea = Eb
以上证明同一电场线上各点电场强度的数值处处相等。 以上证明同一电场线上各点电场强度的数值处处相等。 2. 选取如图所示的矩形闭合路径 选取如图所示的矩形闭合路径ABCD。 。
∞
1 r2
r
1 = ∝ 4πε 0 r r
15
q
U外
1 = ∝ 4πε 0 r r
∞ R P' ∞ P'
q
q
r r U内 = ∫ E ⋅ dr =
∞ r r r r ∫ E内 ⋅ dr + ∫ E外 ⋅dr R
o R
E
P′
r P r
r E
r r qr ⋅ dr q =∫ = = 恒量 3 4πε 0 r 4πε 0 R R
r r U = ∫ E ⋅ dr r a λ U = ∫ ⋅ dr r 2πε r 0
P0
[例三]无限大均匀带电平面 例三]
−σ +σ
⋅ o ⋅a
± σ 场中电势分布. 场中电势分布.
σr − i ε0
0 (−a < x < a) (x < −a , x > a)
电场分布: 电场分布:
− a⋅
x
r E=
∫
v v E ⋅ dl =
∫
AB
v v v v E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl +
BC
∫
CD
v v E ⋅ dl +
∫
DA
v v E ⋅ dl = 0
此积分 为零
Ea ⋅ AB Ea ⋅ AB = E C ⋅ CD
AB = CD
此积分 为零
− EC ⋅ CD
D C B
Ea = E C
既垂直于电场线方向上任 意两点的电场强度相等。 意两点的电场强度相等。
∞
12
的无限大均匀带电平板相距a处有 [例]在与面电荷密度σ的无限大均匀带电平板相距 处有 一点电荷q，求点电荷至平板垂线中点处的电势U 一点电荷 ，求点电荷至平板垂线中点处的电势 p
σ
q o
⋅ ⋅ ⋅ a
P a 2
x
处电势： 解一： 点电荷q在 处电势 解一： 点电荷 在P处电势： q U1 = a 4πε 0 ⋅ 2
§ 9.4
一. 静电力的功
环路定理 电势
r a L ra
q
场源电荷： 场源电荷：
q
r rb
r r dl r ' dr r
r q0 r E
检验电荷： 检验电荷： q0 r r r r q0 qr ⋅ dl q0 qdr dA = F ⋅ dl = = 3 2 4πε 0 r 4πε 0 r
r r F = q0 E
即点电荷系场中任一点的电势等于各点电荷 单独存在时在该点产生的电势的代数和 代数和。 单独存在时在该点产生的电势的代数和。
10
▲五. 电势的计算（两种基本方法） 电势的计算（两种基本方法） 1.场强积分法（由定义求） .场强积分法（由定义求） 〈2〉选零势点和便 〉 于计算的积分路径
r 〈1〉确定 E 分布 〉
11
[例一] 点电荷 例一]
q
o
r r
q 场中的电势分布 r 解： r E= P E
r qr
3
4πε 0 r 令 U∞ = 0
沿径向积分
U
∝1 r
r r r ∞ qr ⋅ dr ∞ r U = ∫ E ⋅ dl = ∫ 3 P r 4 πε0r
r
o
qdr q =∫ = 2 r 4 πε0r 4πε0r
〈3〉由电势定义 〉
零 点 势
Ua =
∫
a
r r 零势点 E ⋅ dl = ∫ E cosθdl
a
r 若路径上各段E 的表达式不同，应分段积分。 的表达式不同，应分段积分。
选取零势点的原则： 选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值 一般,场源电荷有限分布: 一般,场源电荷有限分布:选
U∞ = 0 场源电荷无限分布: 注意： 场源电荷无限分布:不选 U∞ = 0 注意： 许多实际问题中选 U 地球 = 0
结论：电力线指 电力线指
向电势减弱的方向。 向电势减弱的方向。
注意： 注意： 1. U 为空间标量函数 2. U 具有相对意义，其值与零势点选取有关， 具有相对意义，其值与零势点选取有关， 但 U ab 与零势点选取无关。 与零势点选取无关。 3. 遵从叠加原理 ：
U = ∑Ui
（零势点相同） 零势点相同）
r2 r1
单位： 单位：V （伏特） 二、静 电场中任意 两点P 、 间的电 两点 1、 P2 间的电 势差 v r2 P2 O
v r 1
U
12
= =U ∫1
r v − E ⋅2 d l U
∞
=
∫
∞ r1
r v r2 E ⋅ d l +−∫ ∫
∞ r2
r v E ⋅ d l
把单位正电荷从P1 处沿任意 把单位正电荷从 处电场力做的功。 路径移到 P2 处电场力做的功。 P1
把 Q0 从P1处移到 P2 处电场力做的功可表示为 r v r2 r2 r r Q U d2 A = Q E ⋅ dl = Q00 ∫ 1E−⋅U r
∫
r1
0
(
r1
)
讨论： 讨论：
U 1> U 2
Q0 >0 ⇒A12 >0 Q0 < 0 ⇒A12 < 0
U 1 < U 2 情况自行讨论
在静电场中释放正电荷 ⇒向电势低处运动 正电荷受力方向⇒沿电力线方向
v v v v E = E1 + E2 + ⋅ ⋅ ⋅ + En
b
r v v v v v b v v b Aab = ∫ F ⋅ dl =∫ q0 E ⋅ dl =∫ q0 ( E1 + E2 + ⋅ ⋅ ⋅ + En ) ⋅ dl a a a v v b v v b v v b = ∫ q0 E1 ⋅ dl + ∫ q0 E2 ⋅ dl + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫a q0 En ⋅ dl
A
v E
电势
电势差
U1 W P1 = = Q0
一、 定 义 P1 点的电势
∫
∞ r1
r v E ⋅ dl
1、单位正电荷放在P1 、单位正电荷放在 处，系统的电势能。 系统的电势能。 2、把单位正电荷从P1 、把单位正电荷从 处移到0电势 无限远） 电势（ 处移到 电势（无限远） 电场力所做的功。 处，电场力所做的功。