选修(1-1)：导数的几何意义
高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.1-3.1.3导数的几何意义-课件
已知 y＝f(x)的图象如图 3－1－1 所示，则 f′(xA)与 f′(xB)的 大小关系是( )
图 3－1－1
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＝f′(xB) C．f′(xA)＜f′(xB) D．f′(xA)与 f′(xB)大小不能确定
【解析】 由 y＝f(x)的图象可知，在 A，B 点处的切线斜率 kA ＞kB，根据导数的几何意义有：f′(xA)＞f′(xB)．
1．如果所给点 P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点 P 处的 切线”，此时只要求函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，即得切线的 斜率 k＝f′(x0)，再根据点斜式得出切线方程． 2．如果所给点 P 不是切点，应先设出切点 M(x0，y0)，再求切 线方程．要特别注意“过点 P 的切线”这一叙述，点 P 不一定是 切点，也不一定在曲线上．
通过观察命题、 科学猜想的过程， 培养学生的观察、 动手动脑、 归纳总结的能力，培养学生合作学习、创新能力．
3．情感、态度与价值观 (1)经过 FLASH 动画演示割线“逼近”成切线过程， 让学生感 受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义． (2)增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣 与信心．
人教版高中数学选修1-1《3.1.3导数的几何意义-函数的切线方程》
2
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
二、典例分析
例 1．平行于直线 2 x y 4 0 且与抛物线 y x 2 相切于 P( x0 , y0 ) 的切线方程是 .
解：设 P( x0，y0 ) 为切点，则切点的斜率为 y|x x0 2 x0 2 ．
∴ x0 1 ．
1) ． 0 由此得到切点 P(1， 故切线方程为 y 1 2( x 1) ， 即 2 x y 1
8
当x0 1时，k 3, 切线方程为y 8 3 x 2 y 3x 2 综上所述：切线方程为 y 12 x 16 或 y 3x 2
类型四：过曲线外一点，求切线方程
二、典例分析
1 0) 且与曲线 y 相切的直线方程为 例 4．过点 (2， x
切点未定，从而先设再求，设切点 x0 , y0 ，切线斜率为 k ， 切线方程可设为 y k ( x 2) ① y0 f x0 ，② k f
3 2 消去 k , y0 可得：而 x0 8 x0 2 x0 2 x0 4
解：设切点 P x0 , y0 切线斜率为 k ,为则切线方程为 y 8 k x 2 , 3 切点未定，从而先设再求，设切点 x0 , y0 ，切线斜率为 k ， y0 x0
( x0 1)2 3 5
3 5 5
5
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
二、典例分析
例 2．已知直线 y 2 x 1 与曲线 y x ax b 在 x 1 处相切，
3
则 b 的值为_________.
解析：将 x 1 代入 y 2 x 1 可得： y 3 ，又 f ' x 3x2 a ，
2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第三章 3.1.3导数的几何意义
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
探究点二
本 讲 栏 目 开 关
求切线的方程
问题 1
怎样求曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
答案
根据导数的几何意义，求出函数 y＝f(x)在点(x0，f(x0))
处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的 点斜式求出切线方程.
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fx0＋Δx－fx0 Δx .
fx0＋Δx－fx0 lim Δx Δx→ 0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
(2)导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的 斜率 .也就是说，曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地，切线方程 为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 2.函数的导数 当 x＝ x0 时， f′ (x0)是一个确定的数， 则当 x 变化时， f′(x) 是 x 的一个函数， 称 f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数 ).f′(x) 也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝ .
(3)当 t＝t2 时，曲线 h(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 h′(t2)<0.所 以，在 t＝t2 附近曲线下降，即函数 h(t)在 t＝t2 附近也单调递减.
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
从图中可以看出， 直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度， 这说明曲线 h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢.
本 讲 栏 目 开 关
将 P(3,9)及 y0＝2x2 得 9－(2x2 0－7 代入上式， 0－7)＝4x0(3－x0). 解得 x0＝2 或 x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为 8x－y－15＝0 和 16x－y－39＝0.
2020版导与练一轮复习理科数学课件：第十三篇 导数及其应用(选修1-1) 第10节 导数的概念及运算 .pdf
第10节 导数的概念及运算考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x 0处的导数()()00f x x f x x+∆-∆(2)函数f(x)的导函数函数f′(x)= 为f(x)的导函数.()()0lim x f x x f x x ∆→+∆-∆2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的 ,过点P的切线方程为 .斜率y-y 0=f′(x 0)(x-x 0) 3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=C(C为常数)f′(x)= .f(x)=x α(α∈Q *)f′(x)=.0αx α-1f(x)=sin x f′(x)= .f(x)=cos x f′(x)= .f(x)=e x f′(x)= .f(x)=a x(a>0,且a≠1)f′(x)= .f(x)=ln x f′(x)=f(x)=loga x(a>0,且a≠1)f′(x)=cos x-sin xe xa x ln a1lnx a1x4.导数的运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)·g(x)]′= ;f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦【重要结论】1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.(教材改编题)曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )(A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15解析:因为y=x 3+11,所以y′=3x 2,所以y′|x=1=3,所以曲线y=x 3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.对点自测C2.已知f(x)=xln x,若f′(x0)=2,则x等于( )解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,由f′(x0)=2,即ln x+1=2,解得x0=e.B3.(2018·天津卷)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为 .答案:e答案:x-y+1=05.下面四个结论中正确的是 .(1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x附近的平均变化率.(2)函数f(x)=sin(-x)的导数f′(x)=cos x.(3)求f′(x0)时,可先求f(x),再求f′(x).(4) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.解析:(1)f′(x0)表示y=f(x)在x=x0处的切线斜率,(1)错误.(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f′(x)=-cos x,(2)错误.(3)求f′(x)时,应先求f′(x),再代入求值,(3)错误,只有(4)正确.答案:(4)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 导数的运算(多维探究)考查角度1:利用求导法则运算【例1】 求下列函数的导数:(1)y=e x ln x;反思归纳(1)熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提,求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)如函数为根式形式,可先化为分数指数幂,再求导.【跟踪训练1】 求下列函数的导数:考查角度2:抽象函数的导数运算【例2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2) +ln x,则f′(2)= .反思归纳(1)准确活用求导法则是解题的关键,另外一定注意f′(x0)(x是变量x某一取值)是一个常数,不是变量.(2)求解该类问题时要善于观察题目特征,恰当赋值,重视方程思想的运用.【跟踪训练2】 已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于( )(A)-e (B)-1 (C)1 (D)e考点二 导数的几何意义(多维探究)考查角度1:求切线方程或切点坐标【例3】 (1)已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 ;答案:(1)x-y-1=0(2)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 ;解析:(2)令x≥0,则-x≤0,f(-x)=e x-1+x,又f(x)为偶函数,所以x≥0时,f(x)=e x-1+x,所以f(1)=2,f′(x)=e x-1+1,f′(1)=2,所求切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:(2)y=2x(3)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .答案:(3)(e,e)反思归纳(1)求曲线在点P(x0,y)处的切线,则表明P点是切点,只需求出函数在P处的导数,然后利用点斜式写出切线方程,若切线垂直于x轴,则切线方程为x=x.(2)求曲线过点P的切线,则P点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.求出切点坐标是解题的关键.【跟踪训练3】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:(1)法一 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),由此可得a=1,故f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.法二 因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f′(x)=3x2+2(a-1)x+a为偶函数,所以a=1,即f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.答案:(1)D答案:(2)(1,1)考查角度2:求参数的值或取值范围【例4】 (1)(2018·开封模拟)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(2,+∞) (D)(0,+∞)答案:(1)B答案:(2)-8反思归纳(1)求解与曲线切线有关的参数问题,其实质是利用导数的几何意义求曲线切线方程的逆用.(2)解题的关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.答案:(1)1(2)已知曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则实数a+b的值为 .解析:(2)因为两曲线的交点为(0,m),所以m=acos 0,m=02+b×0+1.所以m=1,a=1.因为曲线f(x),g(x)在(0,m)处有公切线,所以f′(0)=g′(0),所以-sin 0=2×0+b,所以b=0.所以a+b=1.答案:(2)1备选例题【例2】 (2018·西安质检)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .答案:3【例3】 已知函数f(x)=-f′(0)e x+2x,点P为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线l上的一点,点Q在曲线y=e x上,则|PQ|的最小值为 .点击进入应用能力提升。
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：3-1-2《导数的几何意义》
(3) 若曲线 y ＝ f(x) 在点P(x0 ， y0) 处的导数不存在，就是
切线与 y 轴平行或不存在； f′(x0)>0 ，切线与 x 轴正向夹角为 锐角； f′(x0)<0 ，切线与 x 轴正向夹角为钝角； f′(x0) ＝ 0 ，切 线与x轴平行．
注意：只有曲线方程可看成函数解析式时才能利用导
[点评] (1)y＝x3在点(0,0)处的切线是x轴，符合切线定
义．这似乎与学过的切线知识有所不同，其实不然，直线 与曲线有两个公共点时，在其中一点也可能相切．如图所 示．
Δy (2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形：若Δx当 Δx 无限趋近于 0 时的极限不存在时，可分两种情况：其 一是趋近于∞，则切线的斜率不存在，但切线存在 (为垂 Δy 直于 x 轴的直线)；其二是Δx既不是趋近于某一常数也不 趋近于∞，则此时切线不存在．
求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
[解析]
令 y＝f(x)＝x3，Δy＝f(0＋Δx)′－f(0)＝Δx3，
Δy Δy 2 ＝Δx ，当 Δx 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 Δx Δx 0，这说明割线会无限趋近于一个极限位置，即曲线在 x Δy ＝0 处的切线存在， 此时切线的斜率为 0(Δx无限趋近于 0)， 又曲线过点(0,0)，故切线方程为 y＝0.
数来求切线方程，否则不能利用导数来求，如求过圆上某 点的切线方程就不能直接利用导数来求．
2．过曲线外的点P(x1，y1)，求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为(x0，y0)，求出切点坐标； (2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； (3) 根据直 线的点 斜 式方程 ， 得切线 方 程为 y － y0 ＝
[解析]
高中数学 选修1-1 24. 导数的几何意义
24. 导数的几何意义教学目标 班级____姓名________1.了解导数的几何意义.2.掌握导函数的定义.3.会求曲线的切线方程.教学过程一、知识要点.1.导数的几何意义.（1）割线斜率：xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00.（平均速度） （2）切线斜率：x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim )('0000.（瞬时速度） （3）函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率.（4）不是任何情况都有导数的，下列情况无导数：（1）函数端点处；（2）函数尖角处.2.函数的导数.（1）定义：当0x x =时，)('0x f 是一个确定的数，当x 变化时，)('x f 是x 的一个函数，称)('x f 是)(x f 的导函数（简称导数）.)('x f 也记作'y ，即xx f x x f y x ∆-∆+=→∆)()(lim'0. （2）导数与图象：①若0)('>x f ，则函数)(x f y =递增，图象上升；②若0)('<x f ，则函数)(x f y =递减，图象下降；③若)('x f 递增，则函数)(x f y =为凹函数；④若)('x f 递减，则函数)(x f y =为凸函数.（3）导数与导函数的区别和联系： ①)(x f 在0x x =处的导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)('0000是一个具体值； ②)(x f 的导函数x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0是一个函数； ③)('0x f 表示导函数)('x f 在0x x =时的函数值.二、例题分析.1.求曲线在某点的切线方程.（点在曲线上）例1：求曲线2+=x x y 在点)1,1(--处的切线方程.练1：已知曲线方程为22+-=x x y ，求曲线过点)2,1(P 的切线方程.2.求曲线过某点的切线方程.（点不在曲线上）例2：求曲线2x y =的过点)8,1(--P 的切线方程.作业：已知曲线2x y =，（1）求曲线在点)1,1(P 处的切线方程；（2）求曲线过点)5,3(P 的切线方程.。
高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案
导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。
3.2导数的概念及其几何意义(北师大版选修1-1)
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自 变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 f ( x0 )或y | x x , 即: f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
β
倾斜角.
则 : MP x , MQ y , y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? x
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P 逐渐转动的情况.y
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
o
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫 做切点。
0
例 ：设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' (1), f ' (2) 1
思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有
f ( x x) f ( x) ( x x) x f ' ( x)＝ lim lim x0 x0 x x x(2 x x) lim 2x x0 x
x0
lim
1 1 1 x 1 2
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修1-1)教师用书：第3章 导数及其应用 3-1-3
3.1.3导数的几何意义1．理解导数的几何意义会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2．理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的几何意义阅读教材P83例1以上部分，完成下列问题．1．设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝错误!＝f′(x0).2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2 导函数的概念阅读教材P81导函数部分，完成下列问题．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝lim错误!.Δx→0判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( )(2)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．( )(3)函数f(x)＝x2的导数是f′(x)＝2x.( )(4)函数f(x)＝0没有导函数．( )【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图3-1-3【自主解答】函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.【答案】 D函数在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出函数升降的快慢．因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其切线来了解函数的性质．[再练一题]1.函数y＝f(x)的图象如图3-1-4所示，根据图象比较曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2附近的变化情况. 【导学号：25650102】图3-1-4【解】当x＝x1时，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线l1的斜率f′(x1)＞0，因此在x＝x1附近曲线呈上升趋势，即函数y＝f(x)在x＝x1附近单调递增．同理，函数y＝f(x)在x＝x2附近单调递增，但是，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这表明曲线y＝f(x)在x＝x1附近比在x ＝x2附近上升得缓慢．过曲线y＝(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6x＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【精彩点拨】本题考查曲线的切线的有关问题．解题的关键是设出切点的坐标，求出切线的斜率．【自主解答】f′(x)＝lim错误!Δx→0＝lim Δx→0 错误!＝2x ， 设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， ∴2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，94是满足条件的点．(3)∵切线的倾斜角为135°， ∴其斜率为－1.即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，14是满足条件的点．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等．[再练一题]2．已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值. 【导学号：25650104】【解】 设切点P (x 0，y 0)，切线斜率为k . 由y ′＝lim Δx→0 ΔyΔx＝lim Δx→0错误!＝lim Δx→0 (4x ＋2Δx )＝4x ，得k ＝y ′|x ＝x 0＝4x 0， 根据题意4x 0＝8，x 0＝2，分别代入y ＝2x 2＋a 和y ＝8x －15得y 0＝8＋a ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－7，y0＝1.故所求切点为P (2,1)，a ＝－7.[探究共研型]探究1 【提示】 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．探究2 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？【提示】 根据导数的几何意义，求出函数y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．探究3 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？【提示】 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．(1)y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，－2处的切线方程是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2【自主解答】 先求y ＝－1x 的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x＝错误!，错误!＝错误!，错误! 错误!＝lim Δx→0错误!＝错误!，即y ′＝错误!，所以y ＝－错误!在点错误!处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝错误!＝4.所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即y ＝4x －4.【答案】 C(2)已知曲线C ：y ＝x 3－x ＋2，求曲线过点P (1,2)的切线方程． 【自主解答】 设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0 ＝lim Δx→0错误! ＝lim Δx→0 ((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1. 所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12，即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为y ＝2x 或x ＋4y －9＝0.利用导数的几何意义求切线方程的方法1．若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．[再练一题]3．(1)已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 【导学号：25650103】【解析】limΔx→0错误!＝错误!(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.【答案】 2(2)求曲线y＝f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．【解】因为y＝2 x ，所以y′＝limΔx→0错误!＝lim Δx→02x＋Δx－2xΔx＝limΔx→0错误!＝－错误!，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率k＝－错误!＝－错误!.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.[构建·体系]1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( ) A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在【解析】由x＋2y－3＝0知，斜率k＝－1 2，∴f′(x0)＝－12＜0.【答案】 B2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【解析】由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→0错误!＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.【答案】 A3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．【解析】设点P(x0,2x20＋4x0)，则f′(x0)＝limΔx→0错误!＝limΔx→0错误!＝4x0＋4，令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30)．【答案】(3,30)4．曲线y＝x2－2x＋2在点(2,2)处的切线方程为______．【导学号：25650105】【解析】Δy＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx＋(Δx)2，∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴y′|x＝2＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y－2＝2(x－2)，即2x－y－2＝0.【答案】2x－y－2＝05.函数f(x)的图象如图3-1-5所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，错误!的大小关系．图3-1-5【解】设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示．则错误!＝k AB，f′(3)＝k BQ，f′(1)＝k AT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即k BQ＜k AB＜k AT，∴0＜f′(3)＜错误!＜f′(1)．。
人教A版高中数学选修1—1第二章3.1.2导数的几何意义达标过关训练
3.1.2 导数的几何意义一、选择题1.设曲线y ＝f (x )，若f ′(3)＝0，则曲线在(3，f (3))处的切线( ) A.与x 轴平行 B.与x 轴垂直 C.与x 轴斜交D.与x 轴平行或重合解析：由导数的几何意义知，曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合.答案：D2.(2019·辽宁实验中学月考)设函数f (x )＝x (x －6)，则f (x )在x ＝0处的切线斜率为( )A.0B.－1C.－6D.3解析：f (x )＝x (x －6)＝x 2－6x ， ∴f ′(0)＝lim Δx →0Δx 2－6Δx －0Δx ＝－6.∴f (x )在x ＝0处的切线斜率为－6，故选C. 答案：C3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2 解析：由题图知A (1,3)，B (3,1)，则k AB ＝1－33－1＝－1.由导数的定义及几何意义知，函数y ＝f (x )在A 、B 两点间的平均变化率是－1.答案：B4.(2019·山东泰安期末)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A.y ＝－2xB.y ＝－xC.y ＝2xD.y ＝x解析：∵f (x )为奇函数，∴a －1＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3＋x ，f ′(0)＝lim Δx →0Δx 3＋Δx －0Δx ＝lim Δx →0(Δx 2＋1)＝1.∴y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x ，故选D. 答案：D5.已知f ′(x )＝2x －1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60°D.120°解析：∵f ′(x )＝2x －1，∴f ′(1)＝2×1－1＝1，由导数的几何意义知tan α＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.答案：B 二、填空题6.已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则在点A 处的切线方程为 . 解析：∵y ＝2x 2，∴Δy ＝2(x ＋Δx )2－2x 2＝4x Δx ＋2(Δx )2， ∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .∴k＝y′|x＝2＝4×2＝8.又过点A(2,8).∴切线方程为y－8＝8(x－2)，即8x－y－8＝0.答案：8x－y－8＝07.(2019·山东东营期中)已知函数y＝f(x)的图象在点A(0，f(0))处的切线方程是y＝2x＋1，则f(0)＋f′(0)＝.解析：由题可知f(0)＝1，f′(0)＝2，∴f(0)＋f′(0)＝3.答案：38.如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝.解析：由题意可得切线的方程为x4＋y4.5＝1，其斜率为k＝－4.54＝－98.又点(2，f(2))为切点，∴f′(2)＝－98.又2 4＋f(2)4.5＝1，∴f(2)＝94.∴f(2)＋f′(2)＝94－98＝98.答案：9 8三、解答题9.(2019·山西大学附中月考)已知f (x )＝13x 3＋43，若直线l 过点(2,4)且与f (x )图象相切，求直线l 的方程.解：设切点P (x 0，y 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →013(x 0＋Δx )3＋43－13x 30－43Δx ＝x 20，y 0＝f (x 0)＝13x 30＋43，∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 将点(2,4)代入切线方程， 4－13x 30－43＝x 20(2－x 0)，即x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， ∴x 0＝－1或x 0＝2.∴切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 10.曲线y ＝x 2上哪一点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)与x 轴成135°的倾斜角. 解：f ′(x )＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝lim Δx →02x Δx ＋(Δx )2Δx ＝2x ，设P (x 0，y 0)是满足条件的点. (1)∵切线与直线y ＝4x －5平行， ∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4.∴P (2,4). (2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，∴2x 0×13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线与x 轴成135°的倾斜角，∴斜率k ＝－1.即2x 0＝－1，x 0＝－12，y 0＝14， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.。
2019-2020年高中数学北师大版选修1-1《导数的概念与几何意义》word导学案
2019-2020年高中数学北师大版选修1-1《导数的概念与几何意义》word导学案1.理解导数的概念,能利用导数的定义求函数的导数.2.理解函数在某点处的导数的几何意义是该函数图像在该点的切线的斜率,并利用其几何意义解决有关的问题.3.掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.4.在学习过程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的数学思想方法.如图,当点P n(x n,f(x n))(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近点P(x0,f(x0))时,割线PP n的变化趋势是什么?问题1:根据创设的情境,割线PP n的变化趋势是.问题2:导数的概念与求法:我们将函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为f(x)在x=x0处的导数,即有f'(x0)==,所以求导数的步骤为:(1)求函数的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);(2)算比值:=;(3)求极限:y'=.问题3:函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)=.相应的切线方程是:.问题4:曲线上每一点处的切线斜率反映了什么?直线与曲线有且只有一个公共点时,直线是曲线的切线吗?它反映的是函数的情况,体现的是数形结合,以曲代直的思想.不一定是,有些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点.1.下列说法正确的是().A.曲线的切线和曲线有且只有一个交点B.过曲线上的一点作曲线的切线,这点一定是切点C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处无切线D.若y=f(x)在点(x0,f (x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在2.如果曲线y=f (x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么().A.f'(x0)>0B.f'(x0)<0C.f'(x0)=0D.f'(x0)不存在3.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为.4.函数y=3x+2上有一点(x0,y0),求该点处的导数f'(x0).导数概念的理解已知f'(x0)=2,求.求切线方程已知曲线y=上两点P(2,-1),Q(-1,).(1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率;(2)求曲线在P,Q处的切线方程.导数几何意义的综合应用抛物线y=x2在点P处的切线与直线4x-y+2=0平行,求P点的坐标及切线方程.已知f(x)=x3-8x,则= ; = ;= .过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率,并求曲线在点P处的切线的斜率.已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)上述切线与曲线C是否还有其他公共点?1.已知函数y=f(x)的图像如图,则f'(x A)与f'(x B)的大小关系是( ).A.f'(x A)>f'(x B)B.f'(x A)<f'(x B)C.f'(x A)=f'(x B)D.不能确定2.已知y=,则y'的值是( ).A.B.C.2D.3.已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .4.求y=x2在点A(1,1)处的切线方程.已知函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是().A. B.1 C.D.2考题变式(我来改编):第2课时导数的概念与几何意义知识体系梳理问题1:点P n趋近于点P时,割线PP n趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线问题3:= y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)问题4:瞬时变化不止一个基础学习交流1.D当切线平行于y轴时,切线斜率不存在,则f'(x0)不存在.2.B由x+2y-3=0知斜率k=-,∴f'(x0)=-<0.3.(1,0)或(-1,-4)f'(x)===3x2+1,由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),有f'(x0)=3+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4).4.解:f'(x0)===3.重点难点探究探究一:【解析】由已知得:=2,当h→0,2h→0,-4h→0,==2.[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?[结论]没有,在导数的定义形式中,增量Δx的形式多种多样,但是无论增量Δx选择哪种形式,Δy必须保持相应的形式.即:f'(x0)===(其中a为非零常数).于是,正确解答为:=-4=-4=-4f'(x0)=-8.【小结】对极限的理解和计算,也是对导数概念的准确理解.通过此题可以看出学生是否掌握了导数的概念.探究二:【解析】将P(2,-1)代入y=,得t=1,∴y=.∴===.(1)曲线在点P处的切线斜率为y'|x=2==1,曲线在点Q处的切线斜率为y'|x=-1=.(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,即x-y-3=0,曲线在点Q处的切线方程为y-=[x-(-1)],即x-4y+3=0.【小结】1.因为“在某点处”和“过某点的”切线方程求法不同,所以解答这类问题需判断点是否在曲线上.2.求曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程.(1)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)即为切线的斜率.(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(3)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在,则切线与x轴垂直;若f'(x0)>0,则切线与x轴正向夹角为锐角;若f'(x0)<0,则切线与x轴正向夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与y轴垂直.探究三:【解析】设P点坐标为(x0,y0),y'====(2x+Δx)=2x.∴y'=2x0,又由切线与直线4x-y+2=0平行,∴2x0=4,∴x0=2.∵P(2,y0)在抛物线y=x2上,∴y0=4,∴点P的坐标为(2,4),∴切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.【小结】1.解决本题应用了方程的思想,这其实是已知切点求切线方程的逆应用过程.2.根据斜率求切点坐标的方法步骤为:(1)先设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标.思维拓展应用应用一:44-2f'(x)====(3x2+3x·Δx+Δx2-8)=3x2-8,∴f'(2)=4.=f'(2)=4.==f'(2)=4.=-=-f'(2)=-2.应用二:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1=3Δx+3(Δx)2+(Δx)3,==(Δx)2+3Δx+3.当Δx=0.1时,割线PQ的斜率为k1==(0.1)2+3×0.1+3=3.31.曲线在点P处的切线的斜率为k2==3.应用三:(1)将x=1代入y=x3得y=1,∴切点P(1,1),y'====3x2.∴y'|x=1=3,∴点P处的切线方程为y=3x-2.(2)由得(x-1)(x2+x-2)=0,∴x=1或-2.∴公共点为(1,1)或(-2,-8),∴还有其他公共点(-2,-8).基础智能检测1.B f'(x A)与f'(x B)分别表示函数图像在点A, B处的切线斜率,故f'(x A)<f'(x B).2.BΔy=-,=,===’∴y'=.3.2由题意=(aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又3=a×12+b,∴b=2,∴=2.4.解:f'(1)=====(Δx+2)=2,即切线的斜率k=2,所以y=x2在点A(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.全新视角拓展D∵点(1,f(1))在切线x-2y+1=0上,∴f(1)=1,又f'(1)=,∴f(1)+2f'(1)=1+2×=2.。
人教版高中数学选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义
备课素材
1．导数的几何意义 (1)导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k ＝lim f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度． (2)导数与切线的关系：f′(x0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0 时，切线 的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f(x)在 x0 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴或不存在．
∆������
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法．
三维目标
2．过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达 到培养学生的学习能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的． 3．情感、态度与价值观 通过在探究过程中渗透逼近和“以直代曲”思想，使学生了解近似与精确间的辩证 关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值．
备课素材
(3)求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以 该点为由点的由线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则设出切 点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的 极限，它是一个数值，不是变数．
备课素材
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内
可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开
人教版-高中数学选修1-1-第三章 3.1.3 导数的几何意义
3
P
∴ y′ | x=2 = 22 = 4.
x
-2 -1
处的切线的斜率等于4. 即点P处的切线的斜率等于 处的切线的斜率等于
O -1 -2
1
2
(2)在点 处的切线方程是 在点P处的切线方程是 在点 处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. 即
什么是导函数?
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到 当 在 处求导数的过程可以看到,当 由函数 是一个确定的数.那么 那么,当 变化时 便是x 变化时,便是 时,f'(x0) 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是 的一个函数,我们叫它为 我们叫它为f(x)的导函数 即: 的导函数.即 的一个函数 我们叫它为 的导函数
下面来看导数的几何意义:
如图,曲线 是函数 如图 曲线C是函数 曲线 是函数y=f(x) 是曲线C上的 的图象,P(x0,y0)是曲线 上的 的图象 是曲线 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 任意一点 Δ Δ 邻近一点,PQ为C的割线 的割线, 为P邻近一点 邻近一点 为 的割线 PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 轴 轴 为 的 倾斜角. 倾斜角 则: MP = x, MQ = y, y = tanβ . x
y 请问: 是割线PQ的什么? x
y y=f(x) Q
Δy P O
β
Δx
M x
斜 率!
请看当点Q沿着曲线逐渐向点 接近时 割线PQ绕着 请看当点 沿着曲线逐渐向点P接近时 割线 绕着 沿着曲线逐渐向点 接近时,割线 逐渐转动的情况. 点P逐渐转动的情况 逐渐转动的情况 y
y=f(x) Q
割 线 T 切线
思考一下,导数可以用下式表示吗? f (x) f (x0 ) f ′(x0 ) = lim x→x0 x x0
高中数学北师大版选修1-1 导数的概念 导数的几何意义 课件(40张)
北师大版数学选修1-1：第三章§2 导数的概念及其几何意义
f（x0＋Δx）－f（x0） ＝ lim (Δx＋2x0)＝2x0. Δx→0 Δx
Байду номын сангаас
2 由 2x0＝x0 ，解得 x0＝0 或 x0＝2. 答案：0 或 2 6.(2012· 南昌调研)若一物体的运动方程为 s＝3t2＋2，求此物体在 t＝1 时的瞬时速度．
解： lim →
Δx 0
s（1＋Δt）－s（1） 3（1＋Δt）2＋2－3×12－2 ＝ lim Δx→0 Δt Δt 6Δt＋3（Δt）2 ＝ lim (6＋3Δt)＝6. 0 Δx→0 Δt
Δx 0
2（1＋Δx）－（1＋Δx）3－（2－1） ＝－1， Δx
∴曲线在(1，1)处的切线方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 5.函数 y＝x2 在 x＝________处的导数值等于其函数值． 解析：y＝f(x)＝x2 在 x＝x0 处的导数值为 f′(x0) ＝ lim →
＝ lim →
Δx
所以物体在 t＝1 时的瞬时速度是 6. [B 级 能力提升] 7.设曲线 y＝ax2 在点(1，a)处的切线与直线 2x－y－6＝0 平行，则 a 等于( A．1 1 B. 2 1 C．－ 2 D．－1 解析：选 A.令 f(x)＝y＝ax2，则 2＝k＝f′(1) ＝ lim →
解析：作出函数 y＝ 4－x2的图像如图． 由导数的几何意义可知，函数 y＝ 4－x2在 x＝1 处的导数即为半圆在点 P(1, 切线的斜率． 1 1 3 ∴kl＝ － ＝－ ＝－ . kOP 3 3 答案：－ 3 3
3)处的
1 4.已知函数 y＝f(x)的图像在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝ 2 ________． 1 5 1 解析：f(1)＝ ＋2＝ ，f′(1)＝ ， 2 2 2 ∴f(1)＋f′(1)＝3.
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
导数的几何意义课程设计
导数的几何意义课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解导数的定义，掌握导数的计算方法；2. 掌握导数的几何意义，能够运用导数解释曲线的切线斜率和函数的增减性；3. 了解导数与函数图像之间的关系，能够分析导数对函数图像的影响。
技能目标：1. 能够准确地计算给定函数在某一点的导数；2. 能够运用导数的几何意义分析曲线的切线斜率和函数的单调性；3. 能够通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的的兴趣，激发他们对导数几何意义的探索欲望；2. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，使他们能够运用导数解决实际问题；3. 培养学生的团队合作意识，在小组讨论和交流中互相学习，共同提高。
课程性质：本课程为高中数学选修课程，旨在帮助学生深入理解导数的概念，掌握导数的计算方法，并运用导数的几何意义分析曲线和函数的性质。
学生特点：学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备一定的数学分析能力，但对导数的理解可能还不够深入。
教学要求：通过讲解、例题分析、小组讨论和课后练习等多种教学手段，使学生能够全面理解和掌握导数的几何意义，并能够灵活运用。
在教学过程中，注重培养学生的动手能力和实际问题解决能力，提高他们的数学素养。
二、教学内容本节教学内容主要包括以下几部分：1. 导数的定义及其计算方法：回顾导数的概念，强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率；讲解导数的计算规则，包括幂函数、指数函数、对数函数的导数计算。
2. 导数的几何意义：阐述导数与曲线切线斜率之间的关系，解释导数表示曲线在某一点的切线斜率；通过实例分析，让学生理解导数在几何图形中的应用。
3. 函数图像与导数的关系：介绍函数图像的凹凸性、拐点与导数之间的关系；指导学生通过导数的符号判断函数图像的凹凸性和拐点。
4. 导数在实际问题中的应用：举例说明导数在物理、经济等领域的应用，让学生了解导数在解决实际问题中的重要性。
教学内容依据教材章节进行安排，具体包括：1. 教材第二章第五节：导数的定义及其计算方法；2. 教材第二章第六节：导数的几何意义；3. 教材第二章第七节：函数图像与导数的关系；4. 教材第二章第八节：导数在实际问题中的应用。
苏教版高中数学选修1-1知识诊断：导数概念与运算
导数知识诊断之概念与运算问题1：导数是如何定义的？导数的几何意义是什么？知识诊断：导数的定义：一般的设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，当0x ∆→时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆趋近于常数A ，则()y f x =在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()y f x =在点0x x =处的导数，记作0'()f x 。
导函数：函数()y f x =在区间(,)a b 上任一点都可导，则()y f x =在各点的导数称为导函数简记为'()f x .典例分析;例题1：设函数()f x 在0x 处可导，则x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000等于 A ．)('0x f B ．0'()f x - C ．0()f x D ．0()f x -【解题思路】求函数在某一点的导函数值，由定义直接计算[解析]0000000()()[()]()lim lim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B 【技巧指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 导数的几何意义：曲线f (x )在某一点(x 0，y 0)处的导数0'()f x 是过点(x 0，y 0)的切线的斜率，对应的切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-。
物理意义：若物体运动方程是s =s (t )，在点P (i 0，s (t 0))处导数的意义是t =t 0处的瞬时速度。
注意：曲线f (x )在某一点(x 0，y 0)处的导数不存在，但是曲线在该点不一定没有切线。
而且应明确点(x 0，y 0)不一定是切点。
典例分析：例题1：如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ，则)5()5(f f '+= .【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上.解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2.例题2：求322+=x y 在点)5,1(P 和)9,2(Q 处的切线方程。
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◆ 教 案
导数的几何意义
教 材:人教A 版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修1-1
【教学目标】
知识与技能目标：
本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次： (1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。
(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。
(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数)(x f 在0x x =处的导数0()f x '的几何意义，使学生认识到导数0()f x '就是函数)(x f 的图象在0x x =处的切线的斜率。
即：
()()x
x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)
(lim
000
0/＝曲线在0x x =处切线的斜率
在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。
在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。
过程与方法目标：
(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力。
(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高。
(3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知。
情感、态度、价值观：
(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；
(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处。
在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
【教学重点与难点】
重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。
难点：发现、理解及应用导数的几何意义。
【教学方法】
《新课程标准》的理念是“向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法”。
考虑授课对象是高二年级文科生，数学的知识基础和数学思维能力的层次差异较大，所以本节课设计为分层探究、自主实践的活动课。
分层教学体现在学生自选分层问题进行探索新知、尝试知识应用以及课上的分层训练，目的是使学生在原有的认知基础上都得到尽可能多的提高，以改善优生吃不饱，后进生不消化的问题，从实处构建高效课堂。
学生的课堂练习可以展现学生的思维，暴露学习中的不足。
故在课堂争取更多的时间供学生进行定时不定量的分层训练，训练系统分三部分，即A、B、C三部分。
教师指导学生根据个人知识掌握的程度，自由选择一组题目进行练习。
每组题目都有基础题型以检测本节课的学习任务的完成情况，期望不同的学生在原有的基础上都能得到自身最大的发展。
巧用信息技术，展示两个类比的动画，增强直观性，期望不同层次的学生，在探索的过程中都有感知和发现，同时增加课堂容量。
【学法指导】
通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，学生可以根据学案超前完成活动，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务。
使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。
学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。
【教学手段】
(1) 借助多媒体辅助教学，强化直观感知。
(2) 提供学案“学生活动”，突破理解难点。
【教学流程】
【教学过程】（后附：学案“学生活动” ）
x x
=
∆∆ 在图形中表示什么？
在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化
趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？
(2)
P
P
P
O
5.0 0
.1
h
t O t t t t t
【探究二(B)】
附注1：(课堂上通过学案《学生活动》给出)
学生课堂练习题
A 组题
1.物体的运动方程是22s t =，则物体在3t =时的瞬时速度为
2.(1)如图是函数()f x 的图象，请在图中作出曲线在
4,2,1x =--处的切线；
(2)根据切线变化情况，运用以直代曲的思想描述 函数在这些点附近的增减情况.
3. 已知函数()f x 满足(1)5,'(1)1f f =-=-； (1)在坐标系中画出对应的函数图象上的点；
(2)根据导数的几何意义在图中作出曲线在该点处的切线；
(3)根据切线与该点处曲线的变化关系，画函数图象在该点附近的大致形状.
B 组题
1.如图，试描述函数()5,2,0,1f x x =--在
附近的变化情况.（略写）
2. 根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状
(1)(1)5,'(1)1(2)(5)10,(5)0f f f f '=-=-==；
3．(1)根据第3题，思考导数值为正时，函数图象在该点附近的增减情况如何？ 导数值为负，为0呢？ (2)若导函数在某范围内值恒正，能说明函数的什么性质？
4. 曲线3y x =上有一点(1,1)M ，求函数在该点处导数，并说明函数图象在该点附近的增减情况。
变式一：求曲线3y x =在点(1,1)M 和(2,8)N 处的导数分别为(1)3,(2)12f f ''==，说明函数在这两点附近的增减和增减快慢的情况。
变式二：求曲线3y x =在点00(,)M x y 处的变化趋势。
C 组题
1.如图，试描述函数()5,2,0,1f x x =--在
附近的变化情况.
2. 根据已知条件，画出函数图象在该点附近的大致形状 (1)(5)10,'(5)15f f ==；(2)(10)20,'(10)0f f == (3)体会导数值与函数图象变化有何内在联系？
3. 函数3y x =图象上有一点(1,1)M ，求函数在点M 处的导数值，并说明函数图象在该点附近的增减情况。
变式一：求曲线3y x =在点00(,)M x y 处的变化趋势；
变式二：已知函数()y f x =的定义域为[0,2]，对(0,1)区间内任意的1x ，都有
1()0f x '>，
对(1,2)区间内任意的2x ，都有2()0f x '<，你能确定函数的单调区间吗?
【评价分析】
教学反思：
本节课的学生学习水平的形成性评价，以学生的课堂练习作为主要依据，学生在课堂上完成了哪一部分练习，他这节课的学习水平的评价就定在这部分练习所代表的学习水平上。
如果学生无法完成A 部分练习，那么他这节课的学习水平是不及格，如果达到B 的是良好，达到C 的是优秀。
教师分析学生的完成情况，易错点和难点，为今后的教学积累第一手的素材，及时调控教学，做到有的放矢。
为了更科学的反映学生学习水平的实际，学生每周收集一份本人认为最佳的习作，存入学生成长记录，留作自我评价的依据。
如果加上这阶段的测试成绩，可转换成这阶段的终结性评价，终结性评价可以通过定性和定量的形式表述。
学生进行分层练习时，老师先关注后进生的学习情况，必要时给与指导。
本着反映学生自身成长的目的，通过个人的学习发展情况作为评价的依据。
不同的学生可以根据需要进行有效的训练。
对导数几何意义的理解和简单应用，掌握较好。
对于高阶函数的导数的研究，学生不太擅长，可以在学习了函数的求导公
式后，再进一步地加强。
导数在研究函数性质方面的应用需要在后继学习中不断深入研究，加强知识的掌握，提升能力。
学生的学习评价
根据学生的练习情况，对导数的几何意义掌握较好，能借助导数研究函数的增减。
综合题便于优生增强能力、训练思维，为后继学习引入导函数的概念奠定基础。
在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，倡导自主探索、合作交流与实践创新，促进他们在活动的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展。
使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。