高三二轮数学(理)复习专题方法突破：专题三 三角函数与解三角形 课件+限时训练(7份打包)第1部分
高三数学二轮复习 专题三第二讲 三角变换与解三角形教案 理
第二讲 三角变换与解三角形研热点（聚焦突破）类型一 三角变换及求值1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2；α可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等．3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．4．弦、切互化：一般是切化弦．5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin α2±cos α2)2等． 6．角的合成及三角函数名的统一a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，(tan φ＝ba)．[例1] (2012年高考广东卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos (α＋β)的值．[解析] (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f （5α＋53π）＝－65，f （5β－56π）＝1617，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos [15（5α＋53π）＋π6]＝－65，2cos [15（5β－56π）＋π6]＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝ 1－sin 2α＝45，sin β＝ 1－cos 2β＝1517.∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.跟踪训练(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________．解析：化2α＋π12为2(α＋π6)－π4是关键．∵α为锐角且cos (α＋π6)＝45，∴sin (α＋π6)＝35.∴sin (2α＋π12)＝sin [2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin (α＋π6)cos (α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. 答案：17250类型二 正、余弦定理的应用 1．正弦定理的变式(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理的变式a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B (注意整体变形)．3．面积公式S Δ＝12ab sin C ，S Δ＝abc4R(R 为外接圆半径)；S Δ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[例2] (2012年高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，得B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ， 所以a ＝3，c ＝2 3.跟踪训练1．(2012年西安模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 的大小为( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°解析：根据正弦定理得1sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝12.∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°，故选D. 答案：D2．(2012年济南模拟)在△ABC 中，AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，∴b cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B类型三 解三角形的实际应用1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等． 2．常见的类型：距离、高度、航海问题．[例3] (2012年石家庄模拟)已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314.)[解析] 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314， 所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．跟踪训练如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB .由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h )解析：如图，测出∠ACE 的度数，测出∠ADE 的度数，测量出HG 的长度，即可计算出建筑物的高度AB .理由如下：设∠ACE ＝α，∠ADE ＝β，HG ＝s .在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin β＝DCsin （α－β）， 所以AC ＝DC sin βsin （α－β）.在直角三角形AEC 中，AE ＝AC sin α＝DC sin β sin αsin （α－β）.所以，建筑物的高AB ＝EB ＋AE ＝h ＋s ·sin β sin αsin （α－β）.析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考江苏卷)在△ABC 中，已知AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur .(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．【解析】 (1)证明：因为AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知 AC sin B ＝BCsin A， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B .又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2， 即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，A ＝π4.【名师点睛】 本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化AC cos A ＝3BC cos B 为角的关系．(2)中注意判断A 为锐角，否则会增解．考情展望高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合．二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量．名师押题【押题】已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围．【解析】 (1)因为向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B 2)共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B2＝±12，又0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A ) ＝2sin 2A ＋cos (π3－2A )＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A＝1＋sin (2A －π6)，因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin (2A －π6)∈(－12，1)，所以1＋sin (2A －π6)∈(12，2)，故2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围是(12，2)．。
高考数学(课标版理科)二轮专题复习课件：专题三 三角函数、解三角形、平面向量3-1
解析 答案
-12 -
一
二
三
四
五
迁移训练2 设x ,y都是实数,下列不等式成立的是( ) A .1 +|x+y|+|xy| ≥|x|+|y| B.1 + 2 |x+y| ≥|x|+|y| C .1 + 2 |xy|≥|x|+|y| D .|x+y|+ 2 |xy|≥|x|+|y|
关闭
关闭
解析 答案
关闭
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解析 答案
-18 -
一
二
三
四
五
3 .特殊函数:当题目所给函数是抽象函数时,可以根据题意,选择
满足条件的所学过的具体函数来代替计算或者检验是否满足条件.
例5 已知f(x ),g (x )都是偶函数,且在[0,+∞ )上单调递增,设函数
F(x )=f (x )+g (1-x )-|f(x )-g (1-x )|.若a> 0,则( )
一
二
三
四
五
-13 -
三、特例法 是指根据题目条件选取一个满足题设的特例得出结果的一种方
法.特例法利用一般与特殊的关系达到化繁为简的目的,运用特例 法时应注意试题中的一般条件使用特例代替时不影响求解结果.特 例包括特殊数值,特殊位置,特殊图形,特殊函数等.(适用题型:选择
题、填空题)
-14 -
一
二
关闭
题意,选取特殊向量a= b ≠0 ,满足题设条件,可知D 正确,其他不一定正确.
关闭
D
解析 答案
-15 -
一
二
三
四
五
迁移训练3 已知θ∈[0,π)若, 对任意的x ∈[-1,0],不等式x 2cos θ+(x+ 1)2sin θ+x2+x> 0 恒成立,则实数θ的取值范围是( )
高考数学二轮复习专题三三角函数3.2三角变换与解三角形课件文
三角变换与解三角形
-2热点1 热点2 热点3 热点4
三角恒等变换及求值
【思考】 三角变换的基本思路及技巧有哪些?
例 1 若 tan θ=-1 ,则 cos 2θ=( 3
4 A.5 1 B.5
)
1 C. 5 4 D. 5
-3-
答案： D
解析：(方法 1)cos 2θ=cos θ-sin
4 .故选 5
2 2
cos2 ������-sin2 ������ θ= 2 cos ������+sin2 ������
=
1-tan2 ������ 1+tan2 ������
=
1 2 1- -3 1 2 1+ -3
=
D.
1 3Leabharlann (方法 2)∵tan θ=- ,
∴cos������=-3,即 3sin θ=-cos θ.
sin������ sin������
例 2(1)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 bcos
C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形
2π 3
)
B.直角三角形 D.不确定
������ ������
(2)在△ABC 中,A= ,a= 3c,则 =
.
-8-
答案： (1)B (2)1
-5热点1 热点2 热点3 热点4
对点训练 1(1)(2017 全国Ⅲ,文 4)已知 sin α-cos α= ,则 sin 2α=( A.7 9
4 3
)
B.-
2 9 1 f(x)= sin 5
C. ������
2 9
高考数学二轮复习(考点梳理+热点突破)第二讲 三角变换与解三角形课件
第五页，共30页。
Z主 干考点
(kǎo diǎn) 梳理
考点3 正弦定理(dìnglǐ)、余弦定理 (dìnglǐ)
1．正弦定理及其变形．
a sin
b
c
A＝__s_in__B___＝__s_in_C____＝2R(其中
R
为△ABC
外接
栏
圆的半径)．
目 链
(1)a＝2R__s_in__A_，b＝__2_R___sin B，c＝2_R__s_in__C；
第八页，共30页。
Z主 干考点
(kǎo
diǎn) 梳理
2. (2014·北京卷)在△ABC 中，a＝1，b＝2，cos C
＝14，则 c＝____2____；sin A＝_____81_5____．
栏
目
链
接
解析 由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C＝5－ 2×2×14＝4，故 c＝2；因为 cos A＝42＋×42－×21＝78，所以 sin
点的横坐标分别为
102，2
5
5 .
(1)求 tan(α＋β)的值；
(2)求 α＋2β 的值．
第十三页，共30页。
G 高考
(ɡāo kǎo) 热点突 破
解析 由已知条件及三角函数的定义知：
cos α＝102，cos β＝25 5，又∵α，β为锐角，
∴sin α＝ 1－cos2α＝7102，
栏 目
sin β＝ 1－cos2β＝ 55，
目
链
用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性
接
质，应及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其
二，它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常
高三数学二轮复习 专题整合突破三角恒等变换与解三角形 课件理
π 1 sin3＝2.
π 2π π (2)∵α∈3，2，∴2α∈ 3 ，π ，
1 3 又由(1)知 sin2α＝2，∴cos2α＝－ 2 2 2 1 sinα cosα sin α－cos α －2cos2α ∴ tanα－ tanα ＝ cosα － sinα ＝ sinαcosα ＝ sin2α ＝ 3 －2 －2× 1 ＝2 3. 2
即
π 1 sin2α＋3＝－2.
π π 4π π ∵α∈3，2，∴2α＋3∈π， 3 ， π ∴cos2α＋3 ＝－
3 2，
π π π π π ∴ sin2α ＝ sin 2α＋3－3 ＝ sin 2α＋3 cos 3 － cos 2α＋3
解答此类问题的关键是结合已知条件， 求出相应角的三 角函数值，然后根据角的范围确定角的具体取值.
题型 2 典例 2
求值 [2016· 安徽合肥质检]已知
π π cos6＋α· cos3－α
π π 1 ＝－4，α∈3，2 .
[重要结论] 1．判断三角形形状的常用结论 (1)sinA＝sinB 且 A＋B≠π⇒ 等腰三角形
π (2)sin2A＝sin2B⇒ A＝B 或 A＋B＝2
； ⇒等腰或直角
三角形； (3)cosA＝cosB⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (4)cos2A＝cos2B⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (5)sin(A－B)＝0⇒ A＝B ⇒ 等腰 三角形； (6)A＝60° 且 b＝c⇒ 等边 三角形；
5．降幂公式
1－cos2α 2 (1)sin2α＝
；
1＋cos2α 2 (2)cos2α＝ .
高考数学二轮总复习-三角函数与解三角形专题突破课件
3 .
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
2．正弦定理和余弦定理是解 斜三角形的工具，是新课标高 考的热点之一，各种题型都有 可能出现．命题的重点主要有 两个方面： (幂公式、 辅助角公式是考查的重点． (2)利用正、余弦定理进行边 、角和面积的计算，三角形形 状的判断以及求有关参数的值 或范围，常与三角恒等变换综 合考查．
【知规则·规范解答】
——采点得分说明
(1)无化简过程，直接得出 f(x)＝2sin2x＋π6＋2.扣 4 分
(2)只要化简 f(x)表达式出错，其余下面各步均为 0 分
无解答过程，直接得出－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)扣 2 分
单调递增区间求解错误扣 3 分
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
第一部分 专题突破方略 专题一 三角函数与解三角形 第一讲 三角函数图象与性质
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
从 2017～2019 年全国卷可主要看出：
年份 卷别
考查内容及考题位置
三角函数图象与性质·T5 卷Ⅰ 三角函数的性质·T11
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卷Ⅰ
三角函数的最值·T16 解三角形·T17
解三角形·T6
2018
卷Ⅱ
三角函数的最值·T10 三角恒等变换·T15
二倍角·T4 卷Ⅲ 解三角形·T9
三角函数的图象·T15
卷Ⅰ
三角函数的图象·T9 解三角形·T17
2017
卷Ⅱ
三角函数的最值·T14 解三角形·T17
高考数学(课标版理科)二轮专题复习课件：专题三 三角函数、解三角形、平面向量3.2
用
(2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形
式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如b 2+c 2a 2 =λbc(λ为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢.
命题热点一 命题热点二 命题热点三
-22 -
命题热点一 命题热点二 命题热点三
-23 -
命题热点一 命题热点二 命题热点三
-24 -
关闭
答案
命题热点一 命题热点二 命题热点三
-25 -
规律方法在解决与三角形有关的实际问题时,首先要明确题意, 正确地画出平面图形或空间图形,然后根据条件和图形特点将问题
当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和 或差的形式;
当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或
差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
命题热点一 命题热点二 命题热点三
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关闭 关闭
解析 答案
命题热点一 命题热点二 命题热点三
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命题热点一 命题热点二 命题热点三
命题热点一 命题热点二 命题热点三
-19 -
-20 -
命题热点一 命题热点二 命题热点三
规律方法利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一
种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定
的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统 一,在解题过程中常用到以下规律:
(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”常, 利用
来看目前这部分内容以填空题形式出现,2018 年很可能延续这种
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.
高考数学二轮复习课件专题三三角变换与解三角形
=
15 4
3.故选
A.
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-15-
解三角形 【例 3】(2019 广东揭阳一模)在△ABC 中,AC=4 2,∠C=π,点 D 在
6
BC 上,cos∠ADC=-13. (1)求AD的长. (2)若△ABD的面积为2 2 ,求AB的长. 分析推理(1)先根据同角三角函数关系得sin∠ADC,再根据正弦定
=-
1100,故选
C.
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
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(方法二)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,
由 则题∠B意A知C=∠αB+Aπ4D. =π4.设∠DAC=α, ∵BC=3AD,BD=AD,
∴DC=2AD,AC= 5AD.
∴sin α= 2 = 2 5,cos α= 1 = 5.
高频考点•探究突破
-6-
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
即时巩固1(1)已知sin θ+cos θ=2sin α,sin 2θ=2sin2β,则( C )
A.cos β=2cos α B.cos2β=2cos2α
C.cos 2β=2cos 2α D.cos 2β=-2cos 2α
(2)(2019
π
4.已知三边a,b,c,可应用余弦定理求A,B,C(或先用余弦定理求出 最大边所对的角,再用正弦定理及三角形内角和定理求另外两个内 角).
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
高频考点•探究突破
-13-
即时巩固 2(1)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 的
专题三+三角函数与解三角形课件-2024届高考数学二轮复习
三角恒等变换在高考中重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公 式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数式的化简； （2）三角函数的求值；（3）通过恒等变换研究函数的性质等.注意三角 恒等变换与三角函数的图象和性质、解三角形、平面向量的综合命题， 难度中等偏下.
高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象 及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综 合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选 择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及 三角函数模型的应用问题.
4
2
A. 3 5 8
B. 1 5 8
C. 3 5 4
D. 1 5 4
解析：法一：由题意， cos 1 5 1 2sin2 ，
4
2
2
得 sin2
2
3 8
5
62 16
5
5 1 4
，
又 为锐角，所以 sin 0 ，所以 sin 1 5 ，故选 D.
2
24
法二：由题意， cos 1 5 1 2sin2 ，得 sin2 3 5 ，
2 2
，又
0 ，所以 2 3 ，即
的取值范围是[2,3) .
4.【2023 年 新课标Ⅱ卷】已知函数 f (x) sin(x ) ，如图，A，B 是直线
y 1 与曲线 y f (x) 的两个交点，若| AB | ，则 f () _____3____.
2
6
2
解析：对比正弦函数
解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理 和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进 行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角 形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解 答题，难度属于中低档.
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类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
自我挑战
1．(2016·山西省高三质检)在△ABC中，sin A＝sin B＝－cos C. (1)求角A，B，C的大小；
(2)若BC边上的中线AM的长为 7，求△ABC的面积． (1)由sin A＝sin B可知A＝B， 从而有C＝π－2A. 又sin A＝－cos C＝cos 2A＝1－2sin2A， ∴2sin2A＋sin A－1＝0， ∴sin A＝－1(舍去)，或sin A＝12. 故A＝B＝π6，C＝23π.
必记知识
重要结论
2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. 推论：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2. 面积公式S＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B.
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
(2)∵sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， ∴sin Bcos A＝2sin Acos A，(8 分) ①当 cos A＝0 时，A＝2π；(9 分) ②当 cos A≠0 时，sin B＝2sin A，由正弦定理得 b＝2a， 联立ab＝2＋2ba2－ab＝4 ，解得 a＝23 3，b＝43 3， ∴b2＝a2＋c2，∵C＝3π，∴A＝6π. 综上所述，A＝2π或 A＝6π.(12 分)
B，a2＋b2＞c2.
若三角形ABC为钝角三角形(假如C为钝角)，则A＋B＜
π 2
，sin
A＜cos
B＋bcos C＝a.
5．sin A＝sin(B＋C)，sin
A2 ＝cos
B＋C 2.
a 6.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
(1)∵c＝2，C＝π3，
∴由余弦定理得 4＝a2＋b2－2abcos3π＝a2＋b2－ab，
∵△ABC 的面积等于 3， ∴12absin C＝ 3，∴ab＝4，(4 分)
a2＋b2－ab＝4
联立ab＝4
，解得 a＝2，b＝2.(6 分)
大题 规范
类型二 解三角形的实际应用
[例2] 如右图所示，某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B＝2π， AB＝a，BC＝ 3 a)地块开发成公共绿地，设计时，要求绿地部分有公 共绿地走道MN，且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△ A′MN)，现考虑方便和绿地最大化原则，要求M点与B点不重合，A′ 落在边BC上，设∠AMN＝θ. (1)若θ＝π3时，绿地“最美”，求最美绿地的面积； (2)为方便小区居民的行走，设计时要求将AN，A′N的值设计最短，求 此时绿地公共走道的长度．
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
得分点及踩点说明 (1)第一问中，正确应用余弦定理和面积公式，各得 2 分，错一个只得 2 分；错 2 个，第一问不得分． (2)第一问中，若只是 a，b 之一求解错，第一问只得 4 分． (3)第二问中，不讨论 cos A，只得出 A＝π6者，只得到总分 10 分． (4)第二问中，虽然讨论且正确，但缺少结论：“综上所述……”，扣 1 分．
知识 回扣
必记知识
重要结论
1．三角形面积S＝a4bRc(R为外接圆半径) S＝12(a＋b＋c)r(r为内切圆半径) S＝12 PP－aP－bP－cP＝12a＋b＋c 2．在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B.
知识 回扣
必记知识
重要结论
3．若三角形ABC为锐角三角形，则A＋B＞2π，sin A＞cos B，cos A＜sin
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
自我挑战
(2)设 BC＝2x，则 AC＝2x，在△ACM 中，AM2＝AC2＋MC2－2AC·MCcos C， ∴7＝4x2＋x2－2·2x·x·cos23π， ∴x＝1， ∴△ABC 的面积 S＝12·CA·CB·sin C＝12·2x·2x·sin23π＝ 3.
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
确定三角形的形状主要的途径及方法
途径一：化边为角
途径二：化角为边
(1)通过正弦定理实现边角互化 主
(2)通过余弦定理实现边角互化 要
(3)通过三角变换找出角之间的关系 方
(4)通过三角函数值的符号以及正、余弦函数有界 法
性判断三角形形状
大题 规范
C.
大题 规范
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、边长及面积
[例1] (2016·太原高三模拟)(本小题满分12分) 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，C＝π3. (1)若△ABC的面积等于 3，求a，b； (2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值．
知识 回扣
必记知识
重要结论
1．正弦定理
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.
sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
知识 回扣
专题复习·数学（理）
必考点八 解三角形的综合问题
类型一 利用正、余弦定理求三角形内角、 边长及面积
类
类型二 解三角形的实际应用
型 类型三 三角形与三角函数、向量的综合问 题
高考·预测 运筹帷幄之中
1 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，解决三角形中的边角计算 问题． 2 利用正弦定理和余弦定理及其变形解决三角形的形状问题． 3 解三角形与三角函数的性质、向量相结合的问题． 4 利用正弦定理和余弦定理求解含有两个或两个以上三角形的问题， 体现解三角形在平面几何中的应用．
大题 规范
类型二 解三角形的实际应用
(1)由∠B＝2π，AB＝a，BC＝ 3a， 所以∠BAC＝π3. 设 MA＝MA′＝xa(0<x<1)，则 MB＝a－xa， 所以在 Rt△MBA′中，cos(π－2θ)＝a－xaxa＝12， 所以 x＝23. 由于△AMN 为等边三角形，