2012-2013(1)02简谐振动课堂练习

简谐振动计算题
1、如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m ，重物的质量m=6kg 。

重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m ，此时撤去力F 。

当重物运动到左方最远位置时开始记
时，求物体的运动方程。

解：设物体的运动方程为X=Acos(ωt+φ). 恒外力所作的功即为弹簧振子的能量为 F ×0.05=0.5J
当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5J ，既
5.02
12
=kA ；A=0.204m ；
42
==m
k ω；1
-s rad 2⋅=ω
按题目所述时刻记时，初相为φ=π
∴物体运动方程为X=0.204cos(2 t+π) (SI)
2、两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动。

在振动过程中，每当第一个物体经过位移A/2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动。

试利用旋转矢量法求它们的位相差。

解：依题意画出旋转矢量图。

由图可知两简谐振动的位相差为21
π。

3、在一竖直轻弹簧下端悬挂质量m=5g 的小球，弹簧伸长l ∆=1cm 而平衡。

经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A=4cm 的振动，求（1）小球的振动周期；（2）振动能量。

解：（1）s 201.0/22=∆=
==l
mg m k
m T π
ω
π
（2）J 10
92.321213
2
2
-⨯=∆=
=A l
mg kA E
4、一简谐振动的振动曲线如图所示。

求振动方程。

解：（1）设振动方程为)cos(ϕω+=t x 由曲线可知A=10cm t=0，ϕcos 1050=-=x 0sin 100<-=ϕωv 解上面两式， 可得πϕ3
2=
由图可知质点由位移cm 50-=x 和00<v 的状态到X=0和v>0的状态所需时间t=2s ，代入振动方程得到
0=10cos(2ω+2π/3) 2ω+2π/3=3π/2 ω=5π/12 故所求振动方程为
X=0.1cos(5πt/12+2π/3) (SI)
例10-1. 原长为m 5.0的弹簧，上端固定，下端挂一质量为kg 1.0的物体，当物体静止时，弹簧长为m 6.0．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。

解：设振动方程为 x ＝Acos （ωｔ＋φ） 在本题中，kx=mg ，所以k=10 101
.010==
=
m k ω
振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m 时为物体的平衡位置，以向下为正方向。

所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1，
当t=0时，x=-A ，那么就可以知道物体的初相位为π。

所以：）（π+=t x 10cos 1.0 。

例10-2. 有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 10=m ，0=t 时，小球正好经过rad 06.0-=θ处，并以角速度rad/s 2.0='θ向平衡位置运动。

设小球的运动可看作筒谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。

解：振动方程：θ＝Acos （ωｔ＋φ）我们只要按照题意找到对应的各项就行了。

（1） 角频率：10=
=
l g ω，
频率：ππ
ν21021=
=
l
g ， 周期：10
22π
π
=
=g
l
T
（2）根据初始条件：A
θ
ϕ=0cos
象限）
象限）
4,3(02,1(0{
sin 0<>'
-
=ωθϕA
可解得：32.2088.0-==ϕ，A
所以得到振动方程：）（32.213.2cos 088.0-=t θ
例10-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方
cm 0.10处,求：
（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方cm 0.8处的速度大小。

解：（1）由题知 2A=10cm ，所以A=5cm ；
19610
58.92
=⨯=
∆=-x
g m K 又14
196===
m
k ω即
ππ
ν7
21=
=
m
k
（2）物体在初始位置下方cm 0.8处，对应着是x=4cm
的位置，所以：5
4cos 0=
=A
x ϕ
那么此时的53
sin 0±=-=ωϕA v 那么速度的大小为42.05
3==ωA v
例10-4. 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。

当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。

求：（1）振动表达式；（2）s 5.0=t 时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于
cm 6-=x ，
且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。

解：（1）由题已知 A=12×１０-2
m ，T=2.0 s
∴ ω=2π/T=π rad ·s -1
又，t=0时，00cos 126φ==x ，3
0π
φ±
=
00>v ，所以有3
0π
φ-
=
故振动方程为）（3cos
12.0π
π-=t x
（2）将t=0.5 s 代入得
m t x 103.06
cos
12.03
cos 12.0==-
=π
π
π）（
s m t v /189.03
sin 12.0-=-
-=）（π
ππ
2
2
/03.13
cos 12.0s m t a -=-
-=）（π
ππ
方向指向坐标原点，即沿x 轴负向．
（3）由题知，某时刻质点位于cm 6-=x ，且向x 轴负方向运动
即x ０=-A/2，且v ＜0，故φt =2π/3，它回到平衡位置需要走π/3，所以：
∴t=Δφ/ω=(π/3)／(π) =1/3s
例10-5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅
相等。

当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时，另一个质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动。

求
这两个质点的位相差。

解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 2/1A x =处，且向左运动时，相位为π/3，而质点2在 2/2A x -= 处，且向右运动，相位为4π/3 。

所以它们的相位差为π。