平面向量的坐标表示和运算习题课
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
(完整版)平面向量的坐标表示及其运算习题课
第课时教学题目：平面向量的坐标表示及其运算习题课教学目标：1、掌握平面向量的坐标表示；2、会进行向量线性运算的坐标表示；3、掌握向量共线的充要条件•教学内容：1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件.教学重点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件.教学难点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件.教学方法：讲授法、练习法•教学过程：一、知识点梳理：（一）、平面向量的坐标表示：r r 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一r r r r向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x, y，使得a xi yj，则实数对x, y叫r r r做向量a的直角坐标（简称坐标），记作a x, y，其中x和y分别称为向量a的x轴上的坐标与y r轴上的坐标，而a x, y称为向量的坐标表示.注：1、相等的向量其坐标相同•同样，坐标相同的向量是相等的向量r r r2、显然：i 1,0 , j 0,1 , 0 0,0 .（二）、向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示一一平面向量的坐标运算：1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：r r r ra b xi x2, y1 y2 （其中a 为，如、b y,y2 ）•2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：uuu如果A x1,y1> B x2, y2，则AB x2x1, y2y1•（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：卄r r若a x, y ，贝V a x1, y1•3、向量平行(向量共线)的坐标表示：已知向量a 、b ( b 0)，则a // b 的充要条件为存在实数入，使a b .r^ r^ 如果 a x 1,y 1 , b x 2, y 2 ( b 0 )则 a // b 的充要条件为：x-i y 2 x 2y 1 0.注：1、 平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，引入向量的坐标表示以后，可以使向量运算 完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数 量的运算.2、 两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减， 这个结论可以推广到有限个向量相加减3、 向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系， 只与其相对位置有关 系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等 向量.(两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的)4、向量AB 的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标二、典型例题讲解y 的值.16 r r1, 3x 3 且 2a 3b9分析：这里可以根据条件 2a 3b 建立关于x ,y 的方程组, 通过解方程组即可求得 x 与y 的5、实数入与向量 a 的积的运算时, 入应与 a 的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的x,ya x, yx, y 或 a x, y x, y解:又••• 、若向量 •/ A 1,2 ,B x 3,x 23x uuu3,2则有ABr uuu —— a AB = AB ,3 2 ①，x 2、已知a 3xuuu4与AB 相等，其中 2,0 .•••它们的坐标一定相同,3x 4 0②，由①、②得：x4y, 2x y , b 2x3y 1,A(1 , 2) , B(3, 2)，则 X3x16y 3，若2a 3b ，试求x 与9解：T a 3x 4y, 2x y , b 2x 3y••• 2 3x 4y, 2x y 3 2x 3y 1, 3x -6 y 396x 8y, 4x 2y 6x 9y 3, 9x -6y 93 • 6x 8y 6x 9y 3①，4x 2y 9x 16 y335 3x17，y -7a ,b 的坐标应成比例，即 a 的横、纵坐标分别与1,y 8 ,• D 1,8 .说明: 这里的题设条件2a 3b ，其实它反应了向量 a ,b 同向，并且20r b3依题意，uuu AB uuur DC 或 uuir AC uur uuu DB 或 ABuu u CDuuu uuruuu uuu uuur uur(1 )由 AB DC ，可 '得OB OA OC OD即5,2 3, 2 1,4x,y2,41 x,4 y•- 1 x 2,4 y 4,• x3,y 0.• D3,0 .(2 )由 uuu AC uurDB 可得： 1,43, 24,65 x,2• 5 x4, 2 y6•• x 9, y 4 , • D 9, 4 .(3 )由 uuu AB uuurCD 可得： 5,23, 2 2 ,4 x 1, y 4解：如图，设 1 (x)y ，2, y 44, 9②，由①、②得:例3、 b 的横纵坐标之比相等且都等于已知平行四边形三个顶点是uurOA 3, 2 ,•••点D 的坐标为3,0或9, 4或1,8解:设a x,y ,则根据题意有 2 2x y 102100 ①，4x 3y 0 ②由①、②得： x 6, y8或x6,y 83, 4，且 a // b ，求 a .例4、已知 r r • a 6, 8 或 a 6,8例5、已知ar r r解：设c ma nb ,即 7, 4m 3, 2 n 2,1 3m 2n 7解得：m 1 2m n 4n 2• c a 2b .例 6、如果 A 1, 2 , B 4,m ,C解：由已知可知 uunAB3,m uuu2 , AC3,m 1uuu uuurQ 三点共线 • AB AC即：3,m 2 3,m 1 3 , (m 1)亠 3 3于是有：m 2 (m 1)解得： 1 , m 3 所以有：m 32，2三、学生练习（一）、选择题1、已知向量a （1,0）,b (0,1),c ka b(k R),d a b ，如果c//d 那么（ )A. k 1且c 与d 同向 B k 1且c 与d 反向k 1且c 与d 反向 2,m 1在一直线上，试求 m 的值（规范指导）师生分析：三点共线与两向量平行间的关系是解决本题的关键C. k 1且c 与d 同向 2、已知向量a2 , x 若a b 与4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A. -2 B . 0C. 1D. 23、若向量 a = (1, 1), b = (-1,1 ),c= (4, 2),贝U c =()A.3 a+ b 4、已知a r rC.- a+3bD. r r a+3b 3，2，当ka b 与a 3b 平行，k 为何值(1 1 C. 1 A. B. 4 43 r r 1 b = (—,1 5已知向量a = =(1 sin ,1), 2 A. 30 B . 45 (二)、填空题: D. sin 1 3 )，若a 〃 b ，则锐角等于( C. 60 D . 75 uuu 1、设向量AB (2, 3)，且点A 的坐标为 (1, 2)，则点B 的坐标为 r b\!71r r (3, 4)则3a 4b 的坐标为3、设平面向量a 3,5 ,b 2,1，则a 2b4、已知向量a (3,1), rb (1,3),c r r rr 5、右平面向量a , b 满足 a b 1， ab 平行于x 轴, (k,7),若(a c) // b ，则 k = r a贝12 r r 6、已知向量a (1, sin ) , b(三)、解答题 r r (1,J3cos )，则a b 的最大值为 _______________ 1、已知a \!7① 求a 3b ; ② 当k 为何实数时，k ； b 与a 3b 平行，平行时它们是同向还是反向? 2、已知 A (— 2,4 )、B( 3, — 1)、C (— 3, — 4)且 CM 3CA , CN 2CB ,求点 M N 的坐标及向 量MN 的坐标. uuu uuu 3、已知点A( 1, 1), B(1,3) , C(1,5), D(2,7)，向量AB 与CD 平行吗？直线 AB 平行 与直线CD uuu 解：••• AB 吗? (1 4 ( UUU 又2 2 1 uuur又 AC (1 UULT• AC 与AB 不平行，• A 、B 、C 不共线， 所以，直线AB 与CD 平行. 四、课堂小结1、平面向量的坐标表示;LUUT (1),3 ( 1)) (2,4) , CD (2 1,7 5) = (1,2), uuu uuur ••• AB//CD ；uuu(1)) (2,6) , AB (2,4) , 2 4 2 60,0 ,1),5 AB 与CD 不重合,2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件.五、作业布置(一)、填空题1、已知a (x 2, 3), b (1, y 2)，若a2、若A(0, 1), B(1,2), C(3, 4) 则AB 2 BC = _______________ .3、____________________________________________________________________ 已知两个向量a 1, 2 , b x , 1，若a // b，则x = ____________________________________________ .4、在平面直角坐标系xoy中，四边形AE CD的边AB// DC,A D// B C,已知点A( —2, 0) , B(6,8), C(8,6), 则D点的坐标为_____________ .(二)、解答题uuir 1 uuun1、若M(3,-2) N(-5, -1) 且MP 丄MN , 求P点的坐标.22、若向量a 1 , x与b x, 2共线且方向相同，求x .3、已知a3, 2),当实数k取何值时，k a + 2b与2a —4b平行?教学反思：本节课系统回顾了平面向量的坐标表示、向量线性运算的坐标表示、向量共线的充要条件，课堂对知识要点的回顾，简明扼要，对典型例题的讲解难度适中，深入浅出，代表性强，学生反映较好，但个别学生听课不认真、作业敷衍应付，需加强教育。
高考数学总复习 第八章 第1讲 平面向量及其线性运算配套课件 文
长；
解：(1)由题设知A→B＝(3,5)，A→C＝(－1,1)， 则A→B＋A→C＝(2,6)，A→B－A→C＝(4,4)． 所以|A→B＋A→C|＝2 10，|A→B－A→C|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2，2 10.
第十九页，共27页。
A．0
B.B→E
图 8-1-1
C.A→D
D.C→F
第九页，共27页。
4．设O→A＝e1，O→B＝e2，若 e1 与 e2 不共线，且点 P 在线段 AB 上，|AP|∶|PB|＝2，如图 8-1-2，则O→P＝( C )
A.13e1－23e2 C.13e1＋23e2
图 8-1-2
B.23e1＋13e2 D.23e1－13e2
非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一个(yī ɡè)实数λ，使得b=λa，
即 b∥a(⇔3b)＝若λaO(→a≠P0＝)． xO→A＋yO→B ，三点 P，A，B 共线⇔x＋y＝1. 若P→A＝λP→B，则 P，A，B 三点共线．
第十六页，共27页。
【互动探究(tànjiū)】
3．(2013 年陕西)已知向量 a＝(1，m)，b＝(m,2)，若 a∥b, 则实数(shìshù) mC ＝)(
第六页，共27页。
5．共线向量及其坐标表示
使得((s1hb)ǐ＝向deλ量)a__a_(_a_≠_0_)与_．b 共线的充要条件是存在唯一一个(yī ɡè)实数λ，
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，当且仅当 x1y2 －x2y1＝0 时，向量(xiàngliàng) a，b 共线．
第八章 平面(píngmiàn)向量
平面向量复习课习题
3.两个向量数量积的重要性质:
①a2=|a|2即|a|= a2 (求线段的长度); uuur uuur
②求向量的夹角:已知两个非零向量a与b,作 OA a,OB b,
则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,
cosθ=cos<a,b>= a b
x1x2 y1 y2
uuur uuur r
uur uuur uuur r
C.PB PC 0 D.PA PB PC 0
uuur uuur uuur uur B 【解析】 Q BC BP BP BA,
uuur uuur uuur uuur PC AP, PC AP 0.
uuur uur r 即PC PA 0,故选B.
重要考点回顾
一、向量的概念
1.向量:既有大小又有方向的量,向量不能比较大小,但向量的
模可以比较大小.
r
r
2.零向量:长度为0的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向
量平行.
3.单位向量:模为1个单位长度的向量.
4.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.
5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.
8.若向量a、b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为 ,则|a+b|=
.
3
7 【解析】 因为 | a b |2 (a b)2 | a |2 | b |2 2a b
1 4 21 2 cos 7,故 | a b | 7.
3
9.已知|a|=3,|b|=2.若a·b=-3,则a与b夹角的大小为
19.设向量a=(1,cosθ)与b=(-1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于 ( )
平面向量习题课(教师)
平面向量习题课1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 平行的单位向量为________． 解：AB ＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB |AB |＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案：34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭2．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________． 解：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{}(－13，－23)3．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝________.解：由|AB ＋AC |＝|AB －AC |可知，AB ⊥AC ，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此，|AM |＝12|BC |＝2. 答案：24．已知a ，b 是非零向量，且a ，b 的夹角为π3，若向量p ＝a |a |＋b|b |，则|p |＝________.解：a |a |和b|b |分别表示与a ，b 同向的单位向量，所以长度均为1.又二者的夹角为π3，故|p |＝ 1＋1＋2×1×1×cos π3＝ 3.答案： 35．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解：设M 为边AC 的中点．因为OA ＋OC ＝－2OB ，所以点O 是△ABC 的中线BM 的中点，从而所求面积之比为1∶2. 答案：1∶2EX ：设D ，P 为△ABC 内的两点，且满足AD ＝14(AB ＋AC )，AP ＝AD ＋15BC ，则S △APD S △ABC＝_____. 解：设E 为边BC 的中点．由AD ＝14(AB ＋AC )可知，点D 在△ABC 的中线AE 上，且AD ＝12AE ，由AP ＝AD ＋15BC ，得DP ＝15BC ，利用平面几何知识知S△APD S△ABC＝12×15＝110.答案：1106．点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM ＝34AB ＋14AC ，则△ABM 与△ABC 的面积之比为________．解：分别在AB ，AC 上取点E ，F ，使得AE ＝34AB ，AF ＝14AC ，在BC 上取点G ，使BG ＝14BC ， 则EG ∥AC ，FG ∥AE ，∴AG ＝AE ＋AF ＝AM ，∴M 与G 重合，∴S △ABM S△ABC＝BM BC ＝14.7．若点G 为△ABC 的重心，且AG ⊥BG ，则sin C 的最大值为________． 解：记CA ＝b ，CB ＝a ，则AB ＝a －b ，从而AG ＝13(a －2b )，BG ＝13(b －2a )．因为AG ⊥BG ，所以(a －2b )(b －2a )＝0，即2b 2－5b ·a ＋2a 2＝0，所以cos C ＝2b 2＋2a25|b |·|a |≥45，故当|b |＝|a |时，cos C 有最小值45，此时sin C 有最大值35. 答案：358．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________． 解：因为2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，所以2PA ＋3PB ＋4PC ＝3PB －3PA ， 即5PA ＋4PC ＝0，所以△P AB 与△PBC 的面积的比为P A ∶PC ＝4∶5.答案：459．如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG ＝2GO ，若CD ∥AG ，且AD＝15AB ＋λAC (λ∈R )，则实数λ的值为________．解：法一：因为AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BO ＝AB ＋23(AO －AB )＝13AB ＋23AO ＝13AB ＋13AC ，CD ＝AD －AC ＝15AB ＋(λ－1)AC ，又因为CD ∥AG ，所以λ－1＝15，即λ＝65.法二：不妨设CD ＝m AG ，则有AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋m AG ＝AC ＋m (AO ＋OG )＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 AC ＋13 OB ＝AC ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC －13 BO ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12( BA ＋BC ) ＝AC ＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AC －13·12(BA ＋AC －AB ) ＝m ＋33AC ＋m3AB .又AD ＝15AB ＋λAC ，所以m 3＝15，从而m ＝35，所以λ＝m ＋33＝65. 答案：6510．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，则a ∶b ∶c ＝________________. 解：在△ABC 中有BC ＋CA ＋AB ＝0，又3a BC ＋4b CA ＋5c AB ＝0，消去AB 得 (3a －5c )BC ＋(4b －5c )CA ＝0，从而3a －5c ＝0,4b －5c ＝0， 故a ∶b ∶c ＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶1211．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b . 解：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b .因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2， 所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －1312．如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，其中m ，n ∈(0,1)．若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且m ＋4n ＝1，则|MN |的最小值为________． 解：法一：由于M ，N 是EF ，BC 的中点，AE ＝m AB ，AF ＝n AC ，m ＋4n ＝1，所以AN ＝12AB ＋12AC ，AM ＝12AE ＋12AF ＝m 2AB ＋n 2AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2n AB ＋n 2AC ，所以MN ＝AN －AM ＝2n AB ＋1－n 2AC .而AB ·AC ＝1×1×cos 120°＝－12，所以||MN ＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.法二：以点N 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线NA 为y 轴建立平面直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，A ＝120°，得N (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以AF ＝n AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ，AE ＝m AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，－12m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n －12(由于m ＋4n ＝1)，从而点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n ，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，－12n ＋12，线段EF 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －34，34n ＋14，所以||MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋142＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，||MN min ＝77.13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23b .14．已知a ，b 不共线，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，CD ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t＝65使C，D，E三点在一条直线上．15．已知向量a＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ，θ∈R.(1)求|a|2＋|b|2的值；(2)若a⊥b，求θ；(3)若θ＝π20，求证：a∥b.解：(1)因为|a|＝cos2(λθ)＋cos2[(10－λ)θ]，|b|＝sin2[(10－λ)θ]＋sin2(λθ)，所以|a|2＋|b|2＝2.(2)因为a⊥b，所以cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0. 所以sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，所以sin 10θ＝0，所以10θ＝kπ，k∈Z，所以θ＝kπ10，k∈Z.(3)证明：因为θ＝π20，所以cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin(10－λ)θ＝cos λπ20·sinλπ20－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin⎝⎛⎭⎪⎫π2－λπ20＝cos λπ20·sinλπ20－sinλπ20·cosλπ20＝0，所以a∥b.16．如图，在边长为1的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若AE＝m AB，AF＝n AC，其中m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；(2)若m ＋n ＝1，求|MN |的最小值．解：(1)证明：由A ，M ，N 三点共线，得AM ∥AN . 设AM ＝λAN (λ∈R )，即12(AE ＋AF )＝12λ(AB ＋AC )，所以m AB ＋n AC ＝λ(AB ＋AC )． 因为AB 与AC 不共线，所以m ＝n .(2)因为MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－12(AE ＋AF )＝12(1－m )AB ＋12(1－n )AC ，又m ＋n ＝1，所以MN ＝12(1－m )AB ＋12m AC ，所以|MN |2＝14(1－m )22AB ＋14m 22AC ＋12(1－m )m ·AB ·AC ＝14(1－m )2＋14m 2＋14(1－m )m＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，故当m ＝12时，|MN |min ＝34.17．如图，半径为1，圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点，点D 在线段OA 上运动，求|OC ＋OD |的最小值；(2)若D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，当C 在圆弧AB 上运动时，求CE ·DE 的取值范围．解：以O 为原点，OA 为x 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系．(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，又C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，所以OC ＋OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22，所以|OC ＋OD |2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1(0≤t ≤1)， 当t ＝22时，其最小值为12， 即|OC ＋OD |的最小值为22.(2)设OC ＝(cos α，sin α)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤3π2，因为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12所以CE ＝OE －OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12－(cos α，sin α)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α，－12－sin α. DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，故CE ·DE ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋12＋sin α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋14. 因为π4≤α＋π4≤7π4，所以CE ·DE ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－22，14＋22.18．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC ＝λDE ＋μAP ，则λ＋μ的最小值为________．解：以A 为原点，如图建立直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，则AC ＝(1,1)，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设AP ＝(cos α，sin α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由AC ＝λDE ＋μAP 得⎩⎨⎧1＝λ2＋μcos α，1＝－λ＋μsin α，所以μ＝32cos α＋sin α， 故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3·1＋sin α2cos α＋sin α－1.设f (α)＝1＋sin α2cos α＋sin α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f ′(α)＝2＋2sin α－cos α(2cos α＋sin α)2.因为f ′(α)＞0恒成立，故f (α)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调增函数．所以当α＝0时，f (α)min ＝f (0)＝12， 所以(λ＋μ)min ＝12.。
高中数学第二章.4.2平面向量线性运算的坐标表示优化训练北师大版必修64
∴ CA =（ -2+3 ， 4+4 ） = （ 1，8），
CB = （3+3 ，-1+4 ）= （ 6， 3） .
于是 CM =3 CA =3 （ 1， 8） = （ 3，24），
CN =2 CB =2 （ 6，3）= （ 12， 6） .
1
A.2
B.
C.-3
2
解析： ∵ AE 为∠ BAC 的平分线，
| BE | | AB | 2
∴
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
| CE | | AC | 1
∴ BE =-2 CE .
1
D.
3
∴ BC = BE - CE =-2 CE - CE =-3 CE .
答案： C
2.平面直角坐标系中， O 为坐标原点， 已知两点 A(3,1),B(-1,3)，若点 C 满足 OC = αOA + βOB ，
3 3t 2
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中 )
1.已知点 A（ 3 ，1）， B（ 0，0）， C（ 3 ，0）.设∠ BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那
么有 BC = λCE ,其中λ等于( )
3.已知点 O（ 0， 0）， A （1，2）， B（ 4， 5）及 OP = OA +t AB .求：
（1）t 为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限 ?
（2）四边形 OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量2.1 练习1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？3、指出图中各向量的长度.4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？2.2.1 练习1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.3、根据图示填空：（1）________;=+d a（2）.________=+b c4、根据图示填空:（1）________;=+b a（2）________;=+d c（3)________;=++d b a（4）.________=++e d c2.2.2 练习1、如图，已知b a ，，求作.b a -2、填空：________;=- ________;=- ________;=-BA BC ________;=-OA OD .________=-3、作图验证：b a b)(a --=+-2.2。
人教A版数学必修四第二章2.3《平面向量的坐标表示与运算》(共20张PPT)
解：设c→=x→a+→yb，即 （4，2）=x(1,1)+y(-1,1) =(x,x)+(-y,y)
X-y=4
解得
X+y=2
X=3
y=-1
=(x-y，x+y) c→=3→a-→b,故选B
随堂演练：
1、下列说法正确的有（ B ）个 （1）向量的坐标即此向量终点的坐标。 （2）位置不同的向量其坐标可能相同。 （3）一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标。 （4）相等的向量坐标一定相同。 A2、：已1 知M→NB=（：-21，2）C：，3则-3M→ND等：于4 （ C ） A3、、已（知-3a→，=3（）1B，、3）（，-6→，b=3（）-C2、，（1）3，，-则6）→b-Da→、等（于-（4，C-1）） A、（-3，2）B、（3，-2）C、（-3，-2）D、（-2，-3） 4、已知A→B=（5，7），λAB→=（10，14）则实数λ=___2_
探索研究
设得问出： 向已 量知a r向b r量,a ra r b r(，x1， λa→y的1)坐，标b r 表(示x2， 吗？y2)，你能
r rrr rr 解 ： a b ( x 1 i r y 1 j ) r( x 2 i y 2 j )
(x1 x2)i(y1y2)j
即 a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2 ) 同理可得
a b (x 1 x 2 ,y 1 y 2)
结论：两个向量和与差的坐标分别等 于这两个向量相应坐标的和与差.
（2）实数与向量的积的坐标表示
r
已 知 R ， 向 量 a (x ， y )， 那 么
a r _ _ ( _ x _ r i _ _ _ y _ u j r _ ) _ _ _ _ x _ r i _ _ _ _ y _ r _ j
2020学年新教材高中数学习题课(四)平面向量初步新人教B版必修第二册(最新整理)
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习题课（四） 平面向量初步一、选择题1．设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,则（ ) A ．BO ―→＝－错误!错误!＋错误!错误! B ．错误!＝错误!错误!－错误!错误! C ．错误!＝错误!错误!－错误!错误!D ．错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!解析：选D 依题意，得错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!＝错误!×错误!(错误!＋错误!）－错误!＝－错误!错误!＋错误!错误!.故选D 。
2．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ,N 分别为CD ，BC 的中点．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则λ＋μ等于（ )A 。
错误! B.错误! C.错误!D 。
错误!解析:选D 因为错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋（错误!＋错误!)＝2错误!＋错误!＋错误!＝2错误!－错误!错误!－错误!,所以错误!＝错误!错误!－错误!错误!，所以λ＝－错误!，μ＝错误!,所以λ＋μ＝错误!。
3．已知非零向量错误!，错误!不共线,且2错误!＝x 错误!＋y 错误!，若错误!＝λ错误! (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( ）A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A 由错误!＝λ错误!，得错误!－错误!＝λ(错误!－错误!），即错误!＝(1＋λ）错误!－λ错误!。
高考数学第一轮复习 第四篇 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理 新人教A版
设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 a≠b 则 a∥b⇔ _x_1_y_2－__x_2_y_1＝__0___.
第三页，共18页。
1．对平面向量基本(jīběn)定理的理 解
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (3)(2013·广东卷改编)已知 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a
1234 A.5 B.5 C.5 D.5
解析 因为A→B＝A→N＋N→B ＝A→N＋C→N (x＝jiīě)A→N＋(C→A＋A→N)＝2A→N＋C→M＋M→A
＝所2A以→NA→－B＝14A→85BA→－NA－→M45A，→M， 所以 λ＋μ＝45. 答案 D
第十页，共18页。
平面(píngmiàn)向量的
考
坐标运算
点
【例 2】已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝a，
B→C＝b， C→A＝c，且C→M＝3c， C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c；(2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
(3)求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
解析 由已知得 a=(5,-5), b=(-6,-3), c=(1,8)
点
【例 3】平面内给定三个向量 a＝(3,2)，
审题路线
b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k；
（1）分别求出(a＋kc)
(2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5， 与(2b－a)的坐标
求 d 的坐标．
北师版高中数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 习题课——向量的线性运算
习题课——向量的线性运算
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
随 堂 练 习
课标定位
素养阐释
1.进一步掌握向量的线性运算、向量加法、向
量减法的运算法则.
2.熟练掌握平面向量基本定理,会用基表示向量.
3.掌握向量共线的条件,并会运用.
4.加强逻辑推理、数学运算素养的培养.
一、向量的线性运算
【例4】 设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量4a,4b2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为
(
).
A.(2,6)
B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)
解析:由题意可知,4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0,
∴d=-6a-4b+4c.
反思感悟 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用
平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基,
并运用该基将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的
运算来解决.
【变式训练 2】 在平行四边形 ABCD 中,=e1,=e2, =
(3)平面内的任何两个向量都可以作为一组基.( × )
(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成
=
.( × )
(5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的
坐标.( √ )
探究一 平面向量的线性运算
【例 1】 在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,
向量的坐标运算习题课
例3.设平面上两点坐标 P1( x1, y1 ), P2( x2 , y2 ).
(1)求线段 P1P2的中点P坐标 线段中点坐标公式： P(
x1
x2
,
y1
y2
)
2
2
(2)若M是线段 P1P2的一个三等分点时， 求点M的坐标
(3)当P1P PP2 时，求点P的坐标。 P( x1 x2 , y1 y2 ) 1 1
知识结构复习:
平面向量的基本定理 e1,e2是基底,则a 1e1 2e2
(正交分解) (向量的夹角：共起点)
向量的坐标定义 若a xi y j,则a (x, y)
向量的坐标运算 1.加、减、数乘的坐标运算？
2.向量AB的坐标？
3.共线向量定理的坐标形式？
a // b(a 0)上分别取M , N ,使 | OM |:| OA | 1 : 3,| ON |:| OB | 1 : 4, 设线段AN与BM的交点为P,
记OA a,OB b, 试用a, b表示OP.
评：待定系数法。
要点——选定合适基底，三点共线，平面向量基 本定理，列方程组。
又 当OP OA ( AB AC ), [0, ),
| AB | | AC |
则 点P的 轨 迹 一 定 通 过ABC的( A )
A.内 心. B.外 心 C.垂 心 D.重 心 a
评:A与BaC同的向中线的公单式位的向向量量?|形aa |式：A与Da共A线B 的2 A单C 位向| a量|?
外心——三条中垂线的交点(外接圆圆心)
内心——三条角平分线的交点(内切圆圆心)
重心——三条中线的交点
例32:. O是 平 面 上 一 定 点, A, B,C是 平 面 上 不 共 线 的 三 点, 动 点P满 足
高中数学 第二章 平面向量 2.4 第22课时 平面向量的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示作业
(2)不能．理由：O→A＝(1,2)，P→B＝(3－3t,3－3t)． 若四边形 OABP 为平行四边形，需O→A＝P→B，于是33－－33tt＝＝12，， 此方程组无解，故四边形 OABP 不能成为平行四边形．
谢谢观赏！
Thanks!
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
10．已知 a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，c＝(1,7)，若以 a，b 为基 底表示 c，则 c＝ 95a＋252b .
解析：令 c＝λa＋μb，则有(1,7)＝λ(3，－1)＋μ(－1,2)＝(3λ－μ，
2μ－λ)，即32λμ－－μλ＝ ＝17， ， 解可得λμ＝＝9525，2.
∴c＝95a＋252b.
11．若点 A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且A→D＝2A→B－B→C，则 点 D 的坐标为 (4,8)．
解析：A→B＝(3,1)，B→C＝(1，－4)， ∴A→D＝2×(3,1)－(1，－4)＝(5,6)， ∴xD＋1＝5，yD－2＝6，∴xD＝4，yD＝8，即 D(4,8)．
三、解答题(共 25 分) 12．(12 分)如图，已知向量O→A＝p，O→B＝q，O→C＝r，且A→B＝ → 2BC.
A→C＝(1,3)，则B→D等于( B )
A．(－2，－4) B．(－3，－5)
C．(3,5)
D．(2,4)
解析：∵A→C＝A→B＋A→D，∴A→D＝A→C－A→B＝(－1，－1)，∴B→D
＝A→D－A→B＝(－3，－5)，故选 B.
7．已知向量 a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且 c＝λ1a＋λ2b，
【课件】平面向量数量积的坐标表示高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
AC (2 1，
5 2) (3，
3)
所以 AB AC 1 (3) 1 3 0
于是 AB AC.
所以△ABC是直角三角形．
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一
三、典型例题
例1 若点A（1，2），B（2，3），C（－2，5），则△ABC是
A
B
O
于是， 2k , k Z
于是，cos( ) cos cos sin si
所以，cos( ) cos
y
x
（1）
终边
y
B
终边
O
（2）
A
x
四、课堂练习
练习 1
(1)已知向量 a＝(－1，2)，b＝(3，2)．
.
a b
5 13
65
a b
三、典型例题
例3 用向量方法证明两角差的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
终边
y
A
证明：角， 的终边与单位圆的交点分别为A，B.则
终边
B
O
x
OA (cos , sin ), OB (cos , sin )
5
【解析】
∵a＋tb＝(2＋t，1＋2t)，∴|a＋tb|＝ （t＋2）2＋（2t＋1）2 ＝
42 9
5 t＋5 ＋5.∴当
4
3 5
t＝－5时，|a＋tb|有最小值 5 .
四、课堂练习
练习 3
已知|a|＝1，b＝(0，2)，且 a·b＝1，则向量 a 与 b 夹角的大小为(
233平面向量的坐标表示及运算习题课-文档资料
1、已知两点A(0,2)，B(2,0)，则与向量 A B 同方向的单位向量是（B ）
2 2 A.( , ) 2 2
2 B .( , 2
2 ) 2
C .(
2 , 2
2 ) 2
D .(
2 , 2
2 ) 2
2、向量a=(n,1),b=(4,n) 共线且方向相同， 则n =（C） 1 1 A. B.± C.2 D.±2 2 2 3、 ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则 顶点D的坐标为( C ) A(8,9) B(5,1) C(1,5) D(8,6) 4、已知a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b 且u∥v,求x,
回顾复习
[1]平面向量的坐标
x, y ,使得 a x i y j 2.把 (x,y) 叫做向量 a 的坐标, 记作: a ( x ,y ) 其中x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a在y
有且只有一对实数
1.选取直角坐标系的两个坐标轴上的单位向量 i , j 为一组基底, 作任一向量 a,由平面向量基本定理知 ,
（1）若a= ( x 1 , y 1 ) ，则| a |= （2）若A( x 1 , y 1 )B ( x 2 , y，则 2)
x y
2 1
2 1
A Bx ( x , y y ) 2 1 2 1
| A B | ( x x ) ( y y ) 2
2 2 1
2 1
巩固训练 1、下列向量中不是单位向量的有（ B ） c o s , s i n ) ① a= ( ② b= ( lg2, lg5) x x ③ c= (2 , 2 ) ④ d=(1-x,x) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 60 2、若 a ( ,sin) 为单位向量，则符合 61
必修二《平面向量的加、减运算、数乘运算的坐标表示》课件与同步练习
A
= (x 2 - x1 , y 2 - y 1 )
B
O
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段
的终点的坐标减去起点的坐标.
x
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别
是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
y
B
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2)
a b =(x1i+y1j)+(x2i+y2j) =(x1+x2)i+(y1+y2)j
即
同理可得
a b=(x1+x2,y1+y2)
a b=(x1-x2,y1-y2)
这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相
应坐标的和与差.
例1 已知a=(2,1), b=(－3,4),求
a＋b，a－b 的坐标.
1＋3t<0，
若 P 在第二象限，则
2＋3t>0，
2
1
得－3<t<－3.
→
→
(2)OA＝(1,2)，PB＝(2－3t,1－3t)，若四边形 OABP 为
→ →
平行四边形，只需OA＝PB，
2－3t＝1，
则
1－3t＝2，
t＝1，
3
即
1不能为平行四边形．
C．(3，－2)
B．(－1,8)
D．(－3,2)
答案：B
―→
―→
―→
3．若向量 AB ＝(1,2)， BC ＝(3,4)，则 AC ＝(
课件4：6.2.3 平面向量的坐标及其运算习题课(二)
三、解答题 10．已知向量A→B＝(4,3)，A→D＝(－3，－1)，点 A(－1，－2)． (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标； (2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y 与 λ 的值．
解 (1)设点 B 的坐标为(x1，y1)． ∵A→B＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)． ∴xy11＋＋12＝＝43，， ∴xy11＝＝31，. ∴B(3,1)，同理可得 D(－4，－3)． 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2)， 则 x2＝3－2 4＝－12，y2＝1－2 3＝－1，∴点 M 的坐标为－12，－1.
6.2.3 平面向量的坐标及其运算习题课(二)
向量平行的坐标表示
【知识对点练】
知识点一 向量共线的判断 1.判断下列向量是否平行： (1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；(2)a＝(1,2)，b＝12，1. 解 解法一：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a 与 b 不平行． (2)∵1×1－2×12＝0，∴a∥b． 解法二：(1)∵12≠34，∴a 与 b 不平行． (2)∵11＝21，∴a∥b．
答案 C 解析 易知当 k＝0 时，b＝c＝0 与 a 平行； 若 a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即 k2＋1＝0. 显然 k 不存在．故 a 不平行于 d， 当 k＝±1 时，e＝0 与 a 平行．
5．已知两点 A(2，－1)，B(3,1)，与 A→B 平行且方向相反的向量 a 可能是( )
易错点 忽略零向量致错 8.已知 m∈R，且向量 a＝(3,2－m)与 b＝(m，－m)平行，则 m＝________. 易错分析 本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为 m≠0，得到如下解析： 由 a∥b，得m3 ＝2－－mm，解得 m＝5.故 m 的值是 5. 事实上，当 m＝0 时，b 为零向量，也与 a 平行． 答案 0 或 5 正解 由 a∥b，得 3×(－m)－m×(2－m)＝0，即 m2－5m＝0， 解得 m＝0 或 m＝5，故 m 的值是 0 或 5.
课件3：6.2.3 平面向量的坐标及其运算习题课(一)
7．已知在△ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N 是 AB，AC 的中点，
D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F，求D→F.
解 因为 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， 所以A→B＝(－4，－3)，A→C＝(－3，－5)． 又因为 D 是 BC 的中点，有A→D＝12(A→B＋A→C)＝(－3.5，－4)， 而 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点． 故有D→F＝12D→A＝－12A→D＝(1.75,2)．
解 (1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)． (2)设 p＝λa＋μb(λ，μ∈R)， 则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
∴2－λ－4λμ＋＝3μ－＝6，－3，
∴ λ＝－221， μ＝－15，
∴p＝－221a－15b．
本课结束
知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式 6.在△ABC 中，已知点 A(3,7)，B(－2,5)，若线段 AC，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点 C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．
解 (1)①若 AC 的中点在 y 轴上，则 BC 的中点在 x 轴上， 设点 C 的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得3＋2 x＝0，y＋2 5＝0， ∴x＝－3，y＝－5，即 C 点坐标为(－3，－5)． ②若 AC 的中点在 x 轴上，则 BC 的中点在 y 轴上， 则同理可得 C 点坐标为(2，－7)． 综上 C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．
6.2.3 平面向量的坐标及其运算习题课(一)
平面向量的坐标及其运算、 两点间的距离公式与中点坐标公式
【知识对点练】
知识点一 平面向量的坐标 1.如下图，向量 a，b，c 的坐标分别是________、________、________.
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第25-26课时教学题目：平面向量的坐标表示及其运算习题课 教学目标：1、掌握平面向量的坐标表示；2、会进行向量线性运算的坐标表示；3、掌握向量共线的充要条件. 教学内容：1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件. 教学重点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件. 教学难点：1、向量线性运算的坐标表示；2、向量共线的充要条件. 教学方法：讲授法、练习法. 教学过程：一、知识点梳理： （一）、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底，对任一向量a r ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(),x y ，使得a xi y j =+r r r，则实数对(),x y 叫做向量a r 的直角坐标(简称坐标)，记作(),a x y =r，其中x 和y 分别称为向量a r 的x 轴上的坐标与y 轴上的坐标，而(),a x y =r称为向量的坐标表示.注：1、相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.2、显然：()1,0i =r , ()0,1j =r , ()00,0=r.（二）、向量线性运算的坐标表示、共线向量的坐标表示——平面向量的坐标运算：1、两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：()1212,a b x x y y ±=±±r r (其中()11,a x y =r 、()22,b x y =r).2、一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：如果()11,A x y 、()22,B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r.(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：若(),a x y =r ，则()11,a x y λλλ=r.3、向量平行（向量共线）的坐标表示：已知向量a r 、b r (0b ≠r r )，则a r ∥b r 的充要条件为存在实数λ，使a b λ=r r.如果()11,a x y =r ,()22,b x y =r(0b ≠r r )则a r ∥b r 的充要条件为：12210x y x y -=.注：1、平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，引入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.2、两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.3、向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.（两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的）4、向量AB 的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.5、实数λ与向量a r 的积的运算时，λ应与a r的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设R λ∈，(),a x y =r()(),,a x y x y λλλ==r 或()(),,a x y x y λλλ==r二、典型例题讲解例1 、若向量()23,34a x x x =+--r 与AB u u u r 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x = .解：∵()()1,2,3,2A B 则有()2,0AB =u u u r.又∵a AB =r u u u r=AB ，∴它们的坐标一定相同，∴32x +=①, 2340x x --=②，由①、②得：1x =-.例2 、已知()34,2a x y x y =+--r ，16231,339b x y x y ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭r ，若23a b =r r ，试求x 与y 的值.分析：这里可以根据条件23a b =r r建立关于x ，y 的方程组，通过解方程组即可求得x与y 的值.解：∵()34,2a x y x y =+--r ，16231,339b x y x y ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭r 且23a b =r r ∴ ()16234,23231,339x y x y x y x y ⎛⎫+--=-+-++ ⎪⎝⎭∴ ()1668,42693,993x y x y x y x y ⎛⎫+--=-+-++ ⎪⎝⎭∴68693x y x y +=-+①，1642993x y x y --=-++②，由①、②得： 3517x =，317y =. 说明：这里的题设条件23a b =r r ，其实它反应了向量a r ，b r 同向，并且23a b =r r，即｜a ｜=23｜b ｜,所以a ，b 的坐标应成比例，即a 的横、纵坐标分别与b 的横纵坐标之比相等且都等于23.例3、已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设()3,2OA =-u u u r ， ()5,2OB =u u u r ，()1,4OC =-u u u r ，(),OD x y =u u u r，依题意，AB DC =u u u r u u u r 或AC DB =u u u r u u u r 或AB CD =u u u r u u u r. （1）由AB DC =u u u r u u u r ，可得：OB OA OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r即()()()()5,23,21,4,x y --=--⇔()()2,41,4x y =--- ∴12x --=，44y -=，∴3,0x y =-=. ∴()3,0D -.（2）由AC DB =u u u r u u u r可得：()()()()1,43,24,65,2x y ---=-=--，∴54x -=-，26y -=∴9,4x y ==-，∴()9,4D -.（3）由AB CD =u u u r u u u r可得：()()()()5,23,22,41,4x y --==+-，∴12x +=，44y -=， ∴1,8x y ==，∴()1,8D .∴点D 的坐标为()3,0-或()9,4-或()1,8.例4、已知10a =r ，()3,4b =-r，且a r ∥b r ，求a r .解：设(),a x y =r，则根据题意有：22210100x y +==①，430x y --=② 由①、②得：6,8x y ==-或6,8x y =-=∴()6,8a =-r 或()6,8a =-r.例5、已知()3,2a =-r ，()2,1b =-r ， ()7,4c =-r，用a r ，b r 表示c r . 解：设c ma nb =+r r r，即()()()7,43,22,1m n -=-+-∴ 32724m n m n -=⎧⎨-+=-⎩ 解得：⎩⎨⎧-==21n m∴2c a b =-r r r .例6、如果()()()1,2,4,,2,1A B m C m ---在一直线上，试求m 的值（规范指导）. 师生分析：三点共线与两向量平行间的关系是解决本题的关键.解：由已知可知()()3,2,3,1AB m AC m =+=-+u u u r u u u rQ 三点共线 ∴AB AC λ=u u u r u u u r即：()()()3,23,13,(1)m m m λλλ+=-+=-+ 于是有：332(1)m m λλ=-⎧⎨+=+⎩解得：1λ=-，32m =-，所以有：32m =-. 三、学生练习 （一）、选择题1、已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么（ ） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向2、已知向量()11a =r ，，()2b x =r ，若a b +r r 与42b a -r r平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．23、若向量a r =（1，1），b r =（-1,1），c r =（4，2），则c r= ( ) A.3a r +b r B. 3a r -b r C.-a r +3b r D. a r +3b r4、已知()12a =r ，，()32b =-r ，，当ka b +r r 与3a b -r r平行，k 为何值（ ）A.14 B.－14C.－31D.315、已知向量a r =(1sin ,1)θ-，b r =1(,1sin )2θ+，若a r //b r ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒（二）、填空题：1、设向量(2,3)AB =u u u r，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为 ． 2、若(2,1)a =r ，(3,4)b =-r 则34a b +r r的坐标为_________．3、设平面向量()()3,5,2,1a b ==-r r，则2a b -=r r _________．4、已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．5、若平面向量a r ,b r 满足1a b +=r r，a b +r r 平行于x 轴，()21b =-r ，，则a r = ．6、已知向量(1sin )a θ=r ，，)b θ=r，则a b -r r 的最大值为 ．（三）、解答题1、已知(10)(21)a b ==r r，，，， ①求3a b +r r ；②当k 为何实数时，ka b -r r 与3a b +r r平行，平行时它们是同向还是反向？2、已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标．3、已知点(1,1)A --，(1,3)B ，(1,5)C ，(2,7)D ，向量AB u u u r 与CD uuur 平行吗？直线AB 平行 与直线CD 吗？解：∵(1(1),3(1))(2,4)AB =----=u u u r ，(21,75)CD =--u u u r=(1,2)，又22140⨯-⨯=， ∴//AB CD u u u r u u u r； 又(1(1),5(1))(2,6)AC =----=u u u r ，(2,4)AB =u u u r，24260⨯-⨯≠，∴AC u u u r 与AB u u u r不平行，∴A 、B 、C 不共线，AB 与CD 不重合， 所以，直线AB 与CD 平行．四、课堂小结1、平面向量的坐标表示；2、向量线性运算的坐标表示；3、向量共线的充要条件. 五、作业布置 （一）、填空题1、已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+r r ，若a b =r r，则x = ，y = ． 2、若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则AB2BC = ．3、已知两个向量()()121a b x ==r r ，，，，若a b r r∥，则x = ． 4、在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D∥B C,已知点A (－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．（二）、解答题1、若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =u u u r MN u u u ur , 求P 点的坐标．2、若向量()1a x =-r，与()2b x =-r ，共线且方向相同，求x ．3、已知(1,2),(3,2)a b ==-r r ,当实数k 取何值时,k a r ＋2b r 与2a r —4b r平行？。