测试九直线与圆的参数方程

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第2章 2.2 直线和圆的参数方程

阶段一阶段二学业分层测评2.2 直线和圆的参数方程2.2.1 直线的参数方程2.2.2 圆的参数方程1.理解直线的参数方程. 难点2.掌握圆的参数方程. 重点[基础·初探]1.直线的参数方程(1)经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为±(±≠À2)的直线l 的参数方程为x ＝x 0＋t cos ±y ＝y 0＋t sin ±(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M |.(2)设直线过点M 0(x 0，y 0)，且与平面向量a ＝(l ，m )平行(或称直线与a 共线，其中l ，m 都不为0)，直线的参数方程的一般形式为x ＝x 0＋lty ＝y 0＋mtt ∈R .2.圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为x ＝x 0＋R cos ¸y ＝y 0＋R sin ¸0≤¸≤2 À.特别地，若圆心在原点，半径为R ，则圆的参数方程为x ＝R cos ¸y ＝R sin ¸.[思考·探究]1.若直线l 的倾斜角±＝0，则直线l 的参数方程是什么？【提示】参数方程为x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为±的直线l 的参数方程为x ＝x 0＋t cos ±，y ＝y 0＋t sin ±，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的向量M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合.[自主·测评]1.直线x ＝1＋t cos ±y ＝－2＋t sin ±(±为参数，0≤±＜À)必过点()A.(1，－2)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(2，－1)【解析】直线表示过点(1，－2)的直线. 【答案】 A2.已知直线l 的参数方程为x ＝－1－22ty ＝2＋22t(t 为参数)，则直线l 的斜率为()A.1B.－1C.22D.－22【解析】消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1.【答案】 B3.参数方程x ＝cos ±y ＝1＋sin ±(±为参数)化成普通方程为________.【解析】∵x ＝cos ±y ＝1＋sin ±(±为参数)，∴x ＝cos ±①y －1＝sin ±②(±为参数).①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程.【答案】 x 2＋(y －1)2＝14.若直线x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】将 x ＝1－2t y ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】－6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________ 疑问3：______________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________类型一直线的参数方程已知直线l ：x ＝－3＋32ty ＝2＋12t (t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义.【精彩点拨】将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t .【尝试解答】 (1)由于直线l ：x ＝－3＋t cos À6y ＝2＋t sin À6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且倾斜角为À6的直线，故直线l 的倾斜角±＝À6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos À6，sin À6)＝(32，12).∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角±(0≤±＜À)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为 x ＝x 0＋t cos ±y ＝y 0＋t sin ±(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为b a 的直线的参数方程是x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).[再练一题]1.设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5 À6.【导学号：62790011】(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ： x ＝2cos ¸y ＝4sin ¸(¸为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为x ＝－3＋t cos 56À＝－3－32t y ＝3＋t sin 56À＝3＋t 2(t 为参数).(2)把曲线C 的参数方程中参数¸消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4－3－32t 2＋(3＋12t )2－16＝0. 即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.类型二圆的参数方程及应用设曲线C 的参数方程为 x ＝2＋3cos ¸y ＝－1＋3sin ¸(¸为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4【精彩点拨】求曲线C的几何特征，化参数方程为普通方程(x－2)2＋(y ＋1)2＝9，根据圆心到直线l的距离与半径大小作出判定.【尝试解答】由 x ＝2＋3cos ¸，y ＝－1＋3sin ¸. 得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.曲线C 表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d <71010，故满足题意的点有2个.【答案】 B1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断.特别要注意变量的取值范围.[再练一题]2.已知直线x ＝y ，与曲线 x ＝1＋2cos ±y ＝2＋2sin ±(±为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.【解】由 x ＝1＋2cos ±，y ＝2＋2sin ±.得 x －1＝2cos ±，y －2＝2sin ±. ∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2，则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋－12＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 22－ 22 2＝14.类型三直线参数方程的简单应用已知直线的参数方程为 x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？【精彩点拨】考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式x ＝1＋25 t ′，y ＝2＋15 t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值.【尝试解答】将参数方程 x ＝1＋2t y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为x ＝1＋25 t ′y ＝2＋15t ′(t ′为参数). 代入圆方程x 2＋y 2＝9，得(1＋25 t ′)2＋(2＋15t ′)2＝9，整理，得5t′2＋8t′－45＝0由韦达定理，t′1＋t′2＝－85，t′1·t′2＝－4.根据参数t′的几何意义.|t′1－t′2|＝ t′1＋t′2 2－4t′1t′2＝125 5，故直线被圆截得的弦长为125 5.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义.[再练一题]3.若将条件改为“直线l 经过点A (1,2)，倾斜角为À3，圆x 2＋y 2＝9不变”，试求：(1)直线l 的参数方程；(2)直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积.【解】 (1)直线l 的参数方程为x ＝1＋t 2y ＝2＋32t ，(t 为参数). (2)将 x ＝1＋t 2y ＝2＋32t ，代入x 2＋y 2＝9，得 t 2＋(1＋23)t －4＝0，∴t 1t 2＝－4.由参数t 的几何意义，得直线l 和圆x 2＋y 2＝9的两个交点到点A 的距离之积为|t 1t 2|＝4.[真题链接赏析](教材P 41习题2－2T 6)写出过点A (－1,2)，倾斜角为34À的直线的参数方程，并求该直线与圆x 2＋y 2＝8的交点.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：Á＝4cos ¸.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为¸＝±0，其中±0满足tan ±0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .【命题立意】知识：曲线的参数方程与极坐标方程.能力：通过参数方程与极坐标方程的互化，考查转化与化归的数学思想方法.试题难度：中.【解】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x＝Ácos ¸，y＝Ásin ¸代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为Á2－2Ásin ¸＋1－a2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组Á2－2Ásin ¸＋1－a 2＝0，Á＝4cos ¸.若Á≠0，由方程组得16cos 2¸－8sin ¸cos ¸＋1－a 2＝0，由已知tan ¸＝2，可得16cos 2¸－8sin ¸cos ¸＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上.所以a ＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评（六）点击图标进入…。

2.2 直线和圆的参数方程同步测试 (人教B版选修4-5)

2．2 直线和圆的参数方程 2．2.1 直线的参数方程 2．2.2 圆的参数方程基础达标1．直线⎩⎨⎧ x ＝t cos αy ＝t sin α (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为 ( )A.π6或5π6B.π4或5π6C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6答案：A解析：直线方程为y ＝x tan α，圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4，利用图形可知直线的倾斜角为π6或56π.2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23 C.32 D ．－32 答案：D解析：k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32.3．过点(0,2)且与直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝1＋3t(t 为参数)互相垂直的直线方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3t y ＝2＋tB.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋tC.⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2－t D.⎩⎨⎧x ＝2－3t y ＝t答案：B解析：直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝1＋3t 化为普通方程为y ＝3x ＋1－23，其斜率k 1＝3，设所求直线的斜率为k ，由kk 1＝－1，得k ＝－33，故参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t y ＝2＋t (t 为参数)．4．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3ty ＝2－4t(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，又点A (1,2)，则|AB |＝________. 答案：52解析：将⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，而A (1,2)，得|AB |＝52. 5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12ty ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．答案：14解析：直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长d ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14.6．设直线l 1过点A (2，－4)，倾斜角为5π6.(1)求l 1的参数方程；(2)设直线l 2：x －y ＋1＝0，l 2与l 1交于点B ，求点B 与点A 的距离.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 5π6y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)．即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝－4＋12t(t 为参数)．(2)B 点在l 1上，求出B 点对应的参数t ，则|t |就是B 到A 的距离．把l 1的参数方程代入l 2的方程中，得2－32t －⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋12t ＋1＝0. 即3＋12t ＝7，∴t ＝7(3－1)．∴点B 与点A 的距离为7(3－1)．综合提高7．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋ty ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A ．7 2B ．4014C.82D.93＋4 3答案：C解析：⎩⎨⎧ x ＝－2＋t ，y ＝1－t ⇒⎩⎨⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t . ①把①代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0. |t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82. 8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB的中点坐标为 ( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－ 3. 9．经过点P (1,0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若线段AB 中点为M ，则M 的坐标为____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23解析：直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝35t (t 是参数)，代入抛物线方程得9t 2－20t －25＝0.∴中点M 的相应参数为t ＝12×209＝109. ∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23.10．(2010·天津)已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧x ＝ty ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为________．答案：(x ＋1)2＋y 2＝2解析：直线⎩⎨⎧x ＝ty ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点为(－1,0)，故圆C 的圆心为(－1,0)．又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴圆C 的半径为r ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.11．直线过点A (1,3)，且与向量(2，－4)共线．(1)写出该直线的参数方程；(2)求点B (－2，－1)到此直线的距离．解：(1)设直线上任一点为P (x ，y )，则P A →＝(1－x,3－y )．由于P A →与向量(2，－4)共线，∴⎩⎨⎧ 1－x ＝2t 3－y ＝－4t ⇒⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝3＋4t(t 为参数)．(2)如图所示，在直线上任取一点M (x ，y )，则 |BM |2＝(x ＋2)2＋(y ＋1)2 ＝(1－2t ＋2)2＋(3＋4t ＋1)2 ＝20t 2＋20t ＋25＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋20.∴当t ＝－12时，|BM |2取最小值，此时|BM |等于点B 与直线的距离，则|BM |＝20＝2 5.12．(创新拓展)已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2αy ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。

直线与圆的方程典型例题

解析几何中，直线与圆方程的应用可以帮助我们研究几何图形的性质和特征
解析几何中，直线与圆方程的应用可以用于解决实际生活中的问题，如测量、绘图和计算等
实际生活中的应用
交通路径规划：利用直线与圆的方程，可以计算出最短或最安全的行驶路径。
建筑设计：在建筑设计时，可以利用直线与圆的方程来计算出最佳的设计方案，以满足建筑的功能和美观要求。
范围。
直线的一般式方程：通过已知直线的一般式方程，推导出直线的斜截式方程，并说明其应用范围。
圆的方程的变形与拓展
圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的标准方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0
圆的一般方程的变形：通过移项、合并同类项等操作，将一般方程转化为标准方程或参数方程
圆的参数方程：通过引入参数t，将圆的方程转化为参数方程，方便进行参数化处理和求解相关问题
直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径
直线与圆交点求解的变形与拓展
变形：将直线方程代入圆方程，得到一元二次方程，解得交点坐标拓展：利用韦达定理，求出交点坐标之间的关系，进而得到弦长、面积等几何量Leabharlann 感谢观看汇报人：XX
直线与圆的交点求解
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，判断交点个数，并求解交点坐标
参数方程法：利用参数方程表示直线和圆的方程，通过消参法求解交点坐标
代数法：通过代入法求解交点坐标
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直线与圆方程的应用
几何图形中的应用
点斜式方程：知道直线上的一点 (x1, y1)和直线的斜率k，则直线方程为y-y1=k(x-x1)

直线的参数方程练习题(带答案)

直线的参数方程练习题（带答案）1、若直线l 的参数方程为13{24x ty t=+=- (t 为参数),则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.45-B.45C.35-D.35答案：C解析：方法一:直线l 的参数方程13{24x ty t=+=- (t 为参数)可转化为31'{524'x t y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=-('5t t =-为参数),故直线l 的倾斜角的余弦值为35-.方法二:由直线l 的参数方程取得普通方程为43100x y +-=,故斜率4tan 3k α==-,所以3cos 5α=- (α为倾斜角).2、若圆的方程12cos ,{32sin x y θθ=-+=+ (θ为参数),直线的方程为21,{61x t y t =-=- (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )A.相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离答案：B解析：圆的圆心坐标是(1,3)-,半径是2,直线的普通方程是320x y -+=,圆心到25==<,故直线与圆相交而不过圆心. 3、直线11,2{2x t y =+=- (t 为参数)和圆2216x y +=交于,A B 两点,则AB 的中点坐标为( )A.(3,3)-B.()C.)3-D.(3,答案：D解析：将直线方程代入圆的方程得2211162t⎛⎫⎛⎫++-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,整理得28120t t-+=,所以128t t+=,1242t t+=,依据t的几何意义可知中点坐标为114,422⎛⎫+⨯-⎪⎪⎝⎭,即(3,.4、直线21y x=+的参数方程是( )A.22{21x ty t==+(t为参数) B.21{41x ty t=-=+(t为参数)C.1{21x ty t=-=-(t为参数) D.sin{2sin1xyθθ==+(θ为参数)答案：C解析：选项A中20t≥,选项D中sin[1,1]θ∈-,因此不会是A,D.B中消掉参数得23y x=+,故只有C正确.5、已知O为原点,P为椭圆4cos,{xyαα==(α为参数)上第一象限内一点,OP的倾斜角为3π,则点P坐标为( )A.()2,3 B.()4,3C.(D.(,55答案：D解析：椭圆4cos,{xyαα==(α为参数)化为普通方程,得2211612x y+=.由题意可得直线OP的方程为y= (0x>).由22(0),{11612y xx y=>+=解得x y==.∴点P的坐标为(,55.故选D.6、直线1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩ (α为参数,0a π≤<)必过点( )A.()1,2-B.()1,2-C.()2,1-D.()2,1- 答案：A解析：直线表示过点()1,2-的直线.7、下列可以作为直线210x y -+=的参数方程的是( )A.13x t y t =+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)B.152x t y t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)C.12x t y t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数) D.255x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数) 答案：C解析：题目所给的直线的斜率为2,选项A 中直线斜率为1,选项D 中直线斜率为12,所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为230x y -+=,故选C.8、极坐标方程cos ρθ=和参数方程12x ty t =--⎧⎨=+⎩ (t 为参数)所表示的图形分别是( )A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线答案：D解析：∵cos ρθ=,∴2cos ρρθ=,即22x y x +=,即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,∴cos ρθ=所表示的图形是圆.由12x ty t =--⎧⎨=+⎩(t 为参数)消参得:1x y +=,表示直线.10、在平面直角坐标系 xOy 中,若直线:{x tl y t a==- (t 为参数)过椭圆3cos :{2sin x C y ϕϕ== (ϕ为参数)的右顶点,则常数a 的值为__________.答案：3解析：由直线l 的参数方程:{x tl y t a==- (t 为参数)消去参数t ,得直线l 的一般方程为y x a =-, 由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0).因为直线l 过椭圆的右顶点,所以30a -=,即 3a =. 11、在平面直角坐标系 xOy 中,若直线121,:{x s l y s=+= ( s 为参数)和直线2,:{21x at l y t ==- (t 参数)平行,则常数a 的值为__________.答案：4解析：将直线方程化为平面直角坐标方程,得1l 的方程是210x y --=,2l 的方程是022a a x y --=.因为两直线平行,所以22a -=-,且12a-≠-,所以4a =. 12、化直线l的参数方程31x t y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,(t 为参数)为普通方程,并求倾斜角,说明t的几何意义.答案：由31x ty =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数t ,得直线l10y -+=.故斜率tan k α==,由于0απ≤<,即3πα=.因此直线l 的倾斜角为3π.又31x t y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得()()222314x y t ++-=,∴t =故t 是t 对应点M 到定点()03,1M -的向量2M M 的模的一半.13、在直角坐标系中,参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)的直线l 被以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,极坐标方程为2cos ρθ=的曲线C 所截,求截得的弦长.答案：参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)表示的直线l 是过点()2,0A ,倾斜角为30,极坐标方程2cos ρθ=表示的曲线C 为圆2220x y x +-=. 此圆的圆心为()1,0,半径为1,且圆C 也过点()2,0A ;设直线l 与圆C 的另一个交点为B ,在Rt OAB ∆中,2cos30AB =︒=。

2.2直线和圆的参数方程

2 t x 1 2 （t为参数） y 2t 2
)
3.设直线的参数方程为
x 1 t y 2 4t
则点（3，6）到直线的距离为（）
1 x 1 t 4.一条直线的参数方程是 2 3 y 5 t 2 另一条直线的方程是 x y 2 3 0 ，则
C
O . P
B
) 1
x
D
同理，对于直线CD，将换为得到
b 2 x 0 a 2 y0 a 2 b 2 | PC | | PD || 2 b cos2 ( ) a 2 sin2
2 2
b 2 x 0 a 2y0 a 2 b 2 | 2 | 2 2 2 b cos a sin
) 点P的坐标为 p( x1 , y1，取 POQ ，
圆O的参数方程为：
x1 4 cos （为参数） y1 4 sin
P
O
M
Q 4
（1）
又因为点M是线段PQ的中点，点P的
坐标为 p( x1 , y1 ) ,点Q的坐标为Q(12,0) ，
根据线段的中点坐标公式得：
x x1 1 2 2 y1 y 2
26 10cos 26 10cos
( 26 10 cos 26 10 cos ) 2 52 2 26 2 100 cos 2
当 cos 0 时，PC | | PD |)max 52 52 2 26 (|
所以 | PC | | PD | 的最大值为 2 26
x 2
即 s 2x
又点P在曲线C上，∴ 2 y 5 (2 x 1 ) 2 2 2 化简可得，y x 2 x 11

直线与圆的方程单元测试题含答案

在判断直线与圆的位置关系时，需要注意直线的斜率是否存在以及圆心和半径的取值是否合理。
掌握直线与圆的位置关系判断是解决直线与圆相关问题的基础，对于提高解题能力和数学思维能力有很大的帮助。
定义：直线方程的基本形式是y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
斜率：表示直线与x轴的夹角，当k>0时，夹角为锐角；当k<0时，夹角为钝角。截距：表示直线与y轴的交点，当b>0时，交点在正半轴上；当b<0时，交点在负半轴上。
圆的一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数
圆的参数方程：x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)为圆心，r为半径，θ为参数
圆的切线方程：在已知圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上，切线的方程可表示为：D*x*x0+E*y*y0+F*x+E*y+C=0，其中(x0,y0)为切点
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圆的直径的方程：$(x-\frac{x1+x2}{2})^2+(y\frac{y1+y2}{2})^2=(\frac{\sqrt{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}}{2})^2$，其中 $(x1,y1)$和$(x2,y2)$为直径的两个端点
联立方程法：通过将直线方程与圆方程联立，消元求解交点坐标
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01.
02.
03.
定义：表示直线上的点与固定点之间的距离始终等于一个常数形式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0 分类：一般式、点斜式、斜截式、两点式和截距式适用范围：适用于所有直线方程，是直线方程的基本形式

九种直线和圆的方程的解题方法高考数学一轮复习(新高考专用原卷版)

九种直线和圆的方程的解题方法题型一：直接法求直线方程一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为( ) A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线:l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x =4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（） A ．10x y --= B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（） A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（） A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF = ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题 1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MAMF取得最大值时，直线M A 的方程为（） A ．24y x =+ B ．24y x =-- C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（） A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥ C．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（） A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =- B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______． 10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题 1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC D 2．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（） A ．点N 的坐标为()3,0- B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______． 6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；①若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()7⎡-∞+∞⎣，，D．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的值可能为（） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________. 四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，()f x =()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤ B ．存在k ∈R ，使A C ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C 的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB 的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n A C B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)． (1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340C x y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题 1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅=(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|P A ||PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=-且AC CB λ=（λ＞0）. (1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题 1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x轴和直线y = 相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y +-=B ．22(1)(1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______. 三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-． (1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点(A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l 被圆22:16O x y +=- ）A ．1B ．2C ．3D ．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=-CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在①AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b-=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程； (2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题 1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x +=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.。

2018高考数学100弹之第75弹：直线、圆和椭圆的参数方程

2018高考数学100弹之第75弹：直线、圆和椭圆的参数方程直线参数方程的标准形式以及圆和椭圆的参数方程都是仅仅围绕三角函数定义做文章的.1.直线的参数方程的标准形式为：其中直线过点P(a,b)，α是直线的倾斜角，参数t=0时表示P点，参数t=t1时所表示的点A(a+t1cosα,b+ t1sinα)到点P的距离为√[(a+t1cosα-a)2+(b+t1sinα-b)2]=|t1|，其中t1取正、负数所代表的点分别在点P的两侧，具体是哪一侧，一定要根据α具体分析，不要死记硬背：上述P、A的距离是经常考查的点，但是直线参数方程必须化成标准形式吗？其实不然.比如对于直线，t=t1时所代表的点到(2,-1)的距离是5|t1|，如果将其化成标准形式，则t=t1时所代表的点到(2,-1)的距离是|t1|，二者就是一个5倍的关系，所以特意将其化成标准形式的意义并没有多大，如果你知道除以5能将其化成标准形式，那你也一定知道不除以5的距离是化成标准形式后的5倍.2.圆的参数方程为：其中圆心为P(a,b)，r是圆的半径，一定要通过三角函数定义去理解参数α的意义：比如也表示圆，但是这个α的几何意义理解起来就比较困难，所以一般没有这么表示圆的，除非命题老师变态.3.椭圆的参数方程为：对于该参数方程，代入椭圆理解起来很简单，但是更进一步，必须会通过两个圆来理解其意义：如图，大圆半径为a，小圆半径为b，M、N在α终边上，则M 点横坐标为acosα，N点纵坐标为bsinα，所以P点坐标为(acosα,bsinα)，即P点轨迹方程为椭圆，但是除了四个顶点，OP并不在α的终边上.所谓的参数方程，其实就是换元，圆和椭圆的参数方程也称为三角换元，换元的一个好处就是可以简化计算，这也是我们目前研究参数方程的意义.练习1：答案：(1)x2+y2-2x=0; (2)18.练习2：分析：这道题再做做，把圆的参数方程好好复习一下：练习3：分析：。

直线与圆与参数方程(含答案)

直线与圆与参数方程一、选择题：1. 直线20x y --=的倾斜角为( )A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D. 90︒ 2将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π)30y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A ．-B ．-或 D ．或4．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．2B ．C ．3D ．5.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是（）A. 1)37()3(22=-+-y x B. 1)1()2(22=-+-y x C. 1)3()1(22=-+-y x D. 1)1()23(22=-+-y x 6. 极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )．A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆7曲线与坐标轴的交点是（）．A ．B ．C ．D ．8两圆与的位置关系是（）．A ．内切B ．外切C ．相离D ．内含9．直线012=--y x 被圆2)1(22=+-y x 所截得的弦长为( )B D10.若直线y x b =+与曲线3y =-有公共点，则b 的取值范围是（）A.[1-，1+1-，3] C.[-1，1+1-3]11，直线的参数方程为，则直线的斜率为（）．A ．B ．C ．D ．12极坐标方程θρcos ＋12＝化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x ) 二、填空题：13.设若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ay y x 的公共弦长为32，则a =______. 14.已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线1:-=x y l 被该圆所截得的弦长为，则圆C 的标准方程为_________ ___．15．直线上与点的距离等于的点的坐标是_______．16.在极坐标系中，以(a ，2π)为圆心，以a 为半径的圆的极坐标方程为三、解答题：17．求以点A (2，0)为圆心，且经过点B (3，3π)的圆的极坐标方程．18．已知直线l 的极坐标方程为)(4π＋ cos 24θρ=，点P 的直角坐标为(3cos θ，sin θ)，求点P到直线l 距离的最大值及最小值．19.已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，（Ⅰ）若直线1l 过定点A (1，0)，且与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ) 若圆D 的半径为3，圆心在直线2l ：20x y +-=上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9. (1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m 的方程，使直线m 被圆C 1截得的弦长为4，与圆C 2截得的弦长是6.21在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，||AB =求l 的斜率．22在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．参考答案：一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B AABBDBBDD二、填空题13. _1__. 14.4)3(22=+-y x ． 15．,或． 16. ρ＝2a sin θ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17．∵A (2，0)，由余弦定理得AB 2＝22＋32－2×2×3×cos 3π＝7，∴圆方程为(x －2)2＋y 2＝7，由⎩⎨⎧θρθρsin＝ cos ＝y x 得圆的极坐标方程为(ρcos θ－2)2＋(ρsin θ)2＝7，即 ρ2－4ρ cos θ －3＝0．18．解析：直线l 的方程为42＝ρ(22cos θ －22sin θ)，即x －y ＝8． ∴点P (3cos θ ，sin θ )到直线x －y ＝8的距离为28 sin cos 3＝－－d θθ28 6π＋ cos 2＝－)(θ，∴最大值为25，最小值为23．19.（Ⅰ）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意．②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y kx =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即2= 解之得 34k =．所求直线方程是1x =，3430x y--=．（Ⅱ）依题意设(,2)D a a -，又已知圆的圆心(3,4),2C r =，由两圆外切，可知5CD =∴可知5，解得 2,3-==a a 或， ∴ (3,1)D -或(2,4)D －， ∴ 所求圆的方程为 9)4()29)1()32222=-++=++-y x y x 或（（． 120.解 (1)圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 2＝72＋42＝65>r 1＋r 2， ∴两圆相离；（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.21【解析】（1）圆的方程化为：2212110x y x +++=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入，得：212cos 110ρρθ++=；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θα=（R ρ∈），由A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得：212cos 110ρρα++=，于是，1212cos ρρα+=-，1211ρρ=，12||||AB ρρ=-==由||AB =23cos 8α=，tan α=，所以l 的斜率为3或3-． 22（1）1C 的普通方程2213x y +=，2C 的直角坐标方程40x y +-=；（2）由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()23d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，当且仅当26k παπ=+（k Z ∈）时，()d αP 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭．。

直线与圆的方程

直线与圆的方程直线和圆是数学中最基础的几何形体，它们之间有着密切的关系。

本文就直线和圆方程之间的关系进行深入研究，希望对读者能有所帮助。

先来说说关于直线和圆方程的基本内容，直线是一种平行投影由两个点确定，它可以用两点式表示为：$$frac{x-x_0}{x_1-x_0}=frac{y-y_0}{y_1-y_0}$$ 中 $(x_0,y_0)$ $(x_1, y_1)$直线上的任意两点，则直线的斜率m可以表示为：$$m=frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$$ 此，直线的一般方程可以写成：$$y-y_0=m(x-x_0)$$而圆，是一种具有确定半径的曲线，它具有一个特殊的参数方程：$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 中 $(x_0, y_0)$圆的圆心，r是圆的半径。

现在，我们来讨论直线和圆之间的关系。

当两条直线交于一点P 时，它们一定可以确定一个有限的圆，即其圆心在相交点P处，以P 为圆心，且其半径等于相交点P到另外一条直线的距离。

接下来，我们来讨论最常见的直线与圆方程相关的问题，即直线方程是： $$y-y_0=m(x-x_0)$$方程是：$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 设此时直线和圆有两个交点，求这两个交点的坐标。

由直线的一般式可以知道，直线上任一点 $(x, y)$离 $(x_0,y_0)$距离是： $$d=frac {|y-y_0-m(x-x_0)|}{sqrt{m^2+1}}$$ 圆方程表示，当圆上任一点 $(x, y)$离 $(x_0, y_0)$距离是：$$d=sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=r$$ 这两个距离等式相等可得：$$frac {|y-y_0-m(x-x_0)|}{sqrt{m^2+1}}=r$$ 令$$a=frac{1}{sqrt{m^2+1}} b=frac{-2x_0}{sqrt {m^2+1}}c=frac{x_0^2+y_0^2-r^2}{sqrt {m^2+1}} $$ 上述方程可以化为二次方程的形式： $$ax^2+bx+c=0$$设 $$D=b^2-4ac$$ $$D>0,$$有两个不同的实数根$$x_1=frac{-b+sqrt D}{2a}, x_2=frac{-b-sqrt D}{2a}$$ 于是有相应的两个满足方程的点 $$(x_1, y_1)=(x_1,mx_1+y_0-mx_0)$$ $$(x_2, y_2)=(x_2, mx_2+y_0-mx_0)$$ 若 $$D=0,$$有两个相同的实数根$$x_1=x_2=frac{-b}{2a}$$ 于是有一个满足方程的点 $$(x,y)=(x_1, mx_1+y_0-mx_0)$$最后，当 $$D<0$$，方程没有实数根，直线和圆无法相交。

直线和圆的参数

解： (1)把直线的参数方程化为标准形式代入曲线方程并化简
得 7t2-30t－50＝0.
设
A，B
对应的参数分别为
t1，t2，则
t1＋t2＝－
30 7
，t1t2＝－
50 7
.
所以，线段|AB|的长为
|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2＝170 23. (2)根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为t1＋2 t2＝－175
单击此处添加小标题
的距离就是参数t的绝对值
当M→0M与 e(直线的单位方向向量)同向时，t 取
；
03 负数
04
当M→0单M击与此处添e加反小标向题时，t 取
；当点 M 与点单击此处添加小标题 M0 重
合时，t 为．
我们 ,经知过 M 0x 道 0,y 点 0,倾斜的角直为 l的普通 yy0 方 tan x 程 x0.是
例1．直线 l 经过点 M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线
x－y－2＝0 于 M 点，则|MM0|＝________.
【基本题型】答案：6( 3＋1)
解析：由题意可得直线
l
x＝1＋12t
的参数方程为
PART1y＝5＋
3 2t
(t 为参
数)，代入直线方程 x－y－2＝0，得 1＋12t－5＋ 23t－2＝0，解得 t＝－6( 3＋1)．根据 t 的几何意义可知|MM0|＝6( 3＋1)．
例 3．已知直线的参数方程为xy＝＝2－－14＋t 3t (t 为参数)，它与曲线
(y－2)2－x2＝1 交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长；
(2)求点 P(－1,2)到线段PAABR中T点OC 的N距E离．

成都列五中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试(包含答案解析)

一、选择题1．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A ．53-或35B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 2．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（） A ．72B ．4C ．1D ．53．若平面上两点()2,0A -，()10B ,，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．与实数k 的取值有关4．设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点其中正确的命题序号是（） A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．设P 为直线2x ＋y ＋2＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值时直线AB 的方程为（） A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝06．赵州桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵具古称赵州而得名．赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面上涨2米后，桥在水面的跨度为（）A ．10米B ．米C ．米D ．7．若实数x 、y 满足222210x y x y +--+=，则32y x --的取值范围为（） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭8．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(,)d P Q 的最小值为点P 到直线l的“切比雪夫距离”，记作(,)d P l ，给出下列三个命题： ①对任意三点A 、B 、C ，都有(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥； ②已知点(3,1)P 和直线:210l x y --=，则4(,)3d P l =； ③定义(0,0)O ，动点(,)P x y 满足(,)1d P O =，则动点P 的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（） A ．0B ．1C ．2D ．39．直线y =x +b 与曲线x =b 的取值范围是（）A ．||b =B ．-1<b ≤1或b =C ．-1≤b <1D ．非以上答案10．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=11．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（） A ．250x y +-= B ．20x y -= C ．230x y -+=D ．20x y +=12．已知直线0(0)x y a a +-=>与圆224x y +=交于不同的两点,,A B O 是坐标原点，且有||||OA OB AB +≥，那么a 的取值范围是（）A ．)+∞B ．(2,)+∞C ．[2,D ．二、填空题13．已知直线():22l y k x -=-与两点1,0A ，点()4,3B ，若直线l 与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围是______．14．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C上的点到直线l 的最大距离为22； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）15．过点(3,5)A 作圆2248800x y x y +---=的最短弦，则这条弦所在直线的方程是__. 16．当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.17．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为_____________.18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则2211a b+的最小值为___________ 19．已知：()2,0A -，()2,0B ，()0,2C ，()1,0E -，()1,0F ，一束光线从F 点出发发射到BC 上的D 点经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上（不含端点）FD 斜率的范围为____________.20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______.三、解答题21．已知斜率为k 且过点()0,1M 的直线与圆()222(3)1x y -+-=相交于不同两点,A B（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：MA MB ⋅为定值；（3）若O 为坐标原点，且12OA OB ⋅=，求直线l 的方程.22．设函数()f z 对一切实数m ，n 都有()()(21)f m n f n m m n +-=++成立，且(1)0f =，(0)f c =，圆C 的方程是22(1)()9x y c +++=.（1）求实数c 的值和()f z 的解析式；（2）若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆C 截得的弦长为6，求4a bab+的最小值.23．已知直角三角形ABC 的项点坐标()4,0A -，直角顶点()2,22B --，顶点C 在x 轴上.（1）求BC 边所在的直线方程；（2）设M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；（3）已知AB 与平行的直线DE 交轴x 于D 点，交轴y于点(0,E -.若P 为圆M 上任意一点，求三角形PDE 面积的取值范围.24．已知圆22:2220C x y x y ++--=，点(),1A m -、()4,2B m +，其中m R ∈．（1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程；（2）若以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，求实数m 的取值范围．25．（1）已知点(,)a b 在直线3210x y ++=上，则直线20ax by ++=必过定点M ，求定点M 的坐标.（2）已知直线1l 过（1）中的定点M ，且与直线2:4l y x =相交于第一象限内的点A ，与x 正半轴交于点B ，求使△OAB 面积最小时的直线1l 的方程.26．从圆外一点()4,4P -作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）求以OP 为直径的圆的方程；（2）求线段AB 的长度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，利用直线与圆相切的性质即可求得斜率k . 【详解】根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3--关于y 轴的对称点()2,3-，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为()32y k x +=-，即230kx y k ---=，又由反射光线与圆()()22321x y ++-=1=，整理得21225120k k ++=，解得43k =-或34k =-.故选：D. 【点睛】过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.2．C解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3．C解析：C 【分析】首先利用直接法求点P 的轨迹方程，则转化为直线()1y k x =-与轨迹曲线的交点个数. 【详解】设(),P x y ，2PA PB =，=整理为：()22224024x y x x y +-=⇔-+=，即点P 的轨迹是以()2,0为圆心，2r为半径的圆，直线():1l y k x =-是经过定点()1,0，斜率存在的直线，点()1,0在圆的内部，所以直线():1l y k x =-与圆有2个交点，则l ：()1y k x =-上满足2PA PB =的点P 的个数为2个. 故选：C 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.4．C解析：C 【分析】取特殊值1k =，圆与x 轴相切，①正确；利用圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误. 【详解】选项①中，当1k =时，圆心()1,1，半径1r =，满足与x 轴相切，正确；选项②③中，圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误；选项④中，若()0,0在圆上，则241k k +=，而*k N ∈，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是发现圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可.5．D解析：D 【分析】根据圆的切线性质可知四边形PACB 的面积转化为直角三角形的面积，结合最小值可求直线AB 的方程. 【详解】由于,PA PB 是圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，,A B 是切点，所以2222||||2||2||||2||4PACB PAC S S PA AC PA PC AC PC ∆==⋅==-=-，当||PC 最小时，四边形PACB 的面积最小，此时PC :11(x 1)2y -=-,即210.y x --= 联立210,220y x x y --=⎧⎨++=⎩得1,,(1,0),0x P y =-⎧-⎨=⎩PC 的中点为21(0,),||2152PC =+=;以PC 为直径的圆的方程为2215(),24x y +-=即2210x y y +--=，两圆方程相减可得直线AB 的方程210,x y ++=故选：D.6．C解析：C 【分析】根据题意，建立圆拱桥模型，设圆O 半径为R , 当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，分析可得22100(4)R R =--，求出R ，当水面上涨2米后，可得跨度2CD CN =，计算可得解. 【详解】根据题意，建立圆拱桥模型，如图所示：设圆O 半径为R ,当水面跨度是20米，拱顶离水面4米，此时水面为AB ，M 为AB 中点，即20AB =，4OM R =-，利用勾股定理可知，22222AB AM OA OB ==-，即22100(4)R R =--，解得292R =，当水面上涨2米后，即水面到达CD ，N 为CD 中点，此时2ON R =-，由勾股定理得2222(2)66CD CN R R ==--=.故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查圆的弦长，解题的关键是利用已知条件建立模型，利用数形结合求解，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于基础题.7．C解析：C 【分析】令32y k x -=-，可得出320kx y k -+-=，问题转化为直线320kx y k -+-=与圆222210x y x y +--+=有公共点，可得出关于实数k 的不等式，进而可解得实数k 的取值范围. 【详解】令32y k x -=-，可得出320kx y k -+-=，将圆的方程化为标准方程得()()22111x y -+-=，圆心坐标为()1,1，半径为1，则直线320kx y k -+-=与圆()()22111x y -+-=1≤，整理可得340k -≤，解得34k ≥. 因此，32y x --的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：（1）y bz x a-=-：表示点(),x y 与点(),a b 连线的斜率；（2）z =(),x y 到点(),a b 的距离；（3）z Ax By C =++：表示点(),x y 到直线0Ax By C++=倍.8．B解析：B 【分析】由新定义表示出三点,,A B C 两两之间的“切比雪夫距离”，然后根据绝对值的性质判断①，由新定义计算出(,)d P l ，判断②，根据新定义求出P 的轨迹方程，确定其轨迹，求得轨迹围成的图形面积判断③．【详解】①设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则1212(,)d A B x x y y =-+-，13132323(,)(,)d A C d B C x x y y x x y y +=-+-+-+-，显然1323132312()()x x x x x x x x x x -+-≥---=-，同理132312y y y y y y -+-≥-，∴(,)(,)(,)d C A d C B d A B +≥，①正确； ②设(,)P x y 是直线l 上任一点，则21y x =-，(,)31322d P l x y x x =-+-=-+-35,31,1353,1x x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，易知(,)d P l 在[1,)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数，∴1x =时，min (,)13222d P l =-+-=，②错； ③由(,)1d P O =得1x y +=，易知此曲线关于x 轴，y 轴，原点都对称，它是以(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--为顶点的正方形，其转成图形面积为12222S =⨯⨯=，③错．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，解题方法是把新概念转化为绝对值的问题，利用绝对值的性质求解．9．B解析：B 【分析】作出曲线x =y x b =+，求出直线过半圆直径两端点时的b 值，及直线与半圆相切时的b 值可得结论．【详解】作出曲线x =y x b =+，如图，易知(0,1),(1,0)A B -，当直线y x b =+过点A 时，1b =，当直线y x b =+过点B 时，1b =-，当直线y x b =+1=，b =b =∴b 的取值范围是11b -<≤或b = 故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题时要注意曲线是半圆，因此直线过B 点时与半圆有两个交点，直线与半圆相切时，也只有一个公共点，这是易错点．10．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程．【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=，故选：A ．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．11．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-，故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.12．C解析：C 【分析】设AB 的中点为C ，由||||OA OB AB +，可得||||OC AC ，则222||||4AC OC =≤+，再结合直线与圆相交列不等式，即可求出实数a 的取值范围．【详解】设AB 的中点为C ，因为||||OA OB AB +，所以||||OC AC ，因为||OC =，所以222||||4AC OC =≤+，所以2a -或2a ，2<，所以a -<<因为0a >，所以实数a 的取值范围是[2，，故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、平面向量的加法运算，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】写出线段的方程联立求得交点坐标由可求得的范围【详解】由条件得有解解得由得或故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标利用交点坐标的范围求解析：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦【分析】写出线段AB 的方程，联立求得交点坐标，由14x ≤≤可求得k 的范围．【详解】由条件得()()22114y k x y x x ⎧-=-⎪⎨=-≤≤⎪⎩有解，解得23121k x k k y k -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，由23141k k -≤≤-，得12k ≤或2k ≥．故答案为：[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．【点睛】方法点睛：本题考查直线与线段有公共点问题．解题方法是直线（线段）方程求出交点坐标，利用交点坐标的范围求出参数k 的范围，可是也可利用数形结合思想求解，即求出,PA PB 的斜率，由图形观察出k 的范围．14．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详解析：③④ 【分析】先将方程：22(42)20x y m x my m +-+--=化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程. 【详解】方程：22(42)20x y m x my m +-+--=可化为：()()22221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，当25510m m ++>即510m >或m <时，方程表示圆，故①错；由①知，当510m >或510m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；当1m =-时，方程表示圆M ：()()22111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的最大距离即为圆M 上的点到直线l212+=，所以③正确；当m 1≥时，22211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()223111x y -+-=，设()1,0P -，则PM 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，217PM =，所以PM 为直径的圆方程为()22117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④ 【点睛】方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.15．【分析】利用配方法将圆化成标准方程得其圆心为当垂直这条弦时所得到的弦长最短求出直线的斜率后再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解【详解】解：将圆化成标准形式为圆心为则点A 在圆内当垂直这条弦时所得到解析：80x y +-=【分析】利用配方法将圆化成标准方程，得其圆心为M ，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，求出直线AM 的斜率AM k 后，再根据两条直线垂直的条件和点斜式即可得解. 【详解】解：将圆2248800x y x y +---=化成标准形式为22(2)(4)100x y -+-=，圆心为(2,4)M ，则点A 在圆内，当AM 垂直这条弦时，所得到的弦长最短，54132AM k -==-， ∴这条弦所在直线的斜率为1-，其方程为5(3)y x -=--，即80x y +-=.故答案为：80x y +-=. 【点睛】本题考查直线截圆的弦长问题，熟练掌握圆的一般方程与标准方程互化、两条直线垂直的条件等基础知识点是解题的关键，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.16．【分析】先求得直线过定点分析可知当直线与CM 垂直时直线被圆截得的弦长最短进而利用斜率的关系即可求得m 的值【详解】直线的方程可化为所以直线会经过定点解得定点坐标为圆C 圆心坐标为当直线与CM 垂直时直线被解析：34-【分析】先求得直线过定点()3,1M ，分析可知当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短，进而利用斜率的关系即可求得m 的值．【详解】直线l 的方程可化为()2740x y m x y +-++-=所以直线l 会经过定点27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得定点坐标为()3,1M ，圆C 圆心坐标为()1,2当直线l 与CM 垂直时，直线被圆截得的弦长最短211132CM k -==-- ，211l m k m +=-+ 所以121121CM l m k k m +⎛⎫⎛⎫⨯=-⨯-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解方程得34m =-【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据斜率关系求得参数的值，属于基础题．17．或【分析】分类讨论：直线过坐标原点直线不过坐标原点再根据截距的关系求解出直线的方程【详解】当直线过坐标原点时显然直线的斜率存在设代入所以所以所以直线方程为；当直线不过坐标原点时设所以横截距为纵截距为解析：y x =-或11542y x =-+ 【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程. 【详解】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设y kx =，代入()10,10-，所以1010k -=，所以1k =-，所以直线方程为y x =-；当直线不过坐标原点时，设()1010y k x -=+，所以横截距为1010k--，纵截距为1010k +，所以()101041010k k --=+，解得14k =-或1k =-（舍），所以直线方程为11542y x =-+，故答案为：y x =-或11542y x =-+. 【点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般.根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况.18．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋解析：9 【分析】圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求2211a b +的最小值【详解】圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：22x 2a y 4++=（）圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22x y b 1+-=（）因为圆C 1 、C 2内切，1=, 即224a b 1+=，（2211a b +）=2222114a b a b++（）（） =2222b 4a 59a b++≥（）当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.19．【分析】先作出关于的对称点再作关于的对称点因为光线从点出发射到上的点经反射后反射光线的反向延长线经过关于直线的对称点点又因为再经反射反射光线经过关于直线的对称点所以只需连接交与点连接分别交为点则之间解析：()4,+∞【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ，再作P 关于AC 的对称点M ，因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后，反射光线的反向延长线经过F 关于直线BC 的对称点P 点，又因为再经AC 反射，反射光线经过P 关于直线AC 的对称点，所以只需连接,MA ME 交AC 与点N ，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．再求出直线,FG FH 的斜率即可．【详解】∵(2,0),(2,0),(0,2)A B C -，∴直线BC 方程为20x y +-=，直线AC 方程为20x y -+=,如图，作F 关于BC 的对称点P ，则(2,1)P ，再作P 关于AC 的对称点M ，则(1,4)M -,连接,MA ME 交AC 与点N ，则直线ME 方程为1x =-, ∴(1,1)N -，连接,PN PA 分别交BC 为点,G H ，则直线PN 方程为1y =，直线PA 方程为420x y -+=， ∴64(1,1),,55G H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接,GF HF ，则,G H 之间即为点D 的变动范围．∵直线FG 方程为1x =，直线FH 的斜率为 454615=-∴FD 斜率的范围为(4,)+∞ 故答案为：(4,)+∞.【点睛】本题主要考查入射光线与反射光线之间的关系，入射光线与反射光线都经过物体所成的像，据此就可找到入射点的范围，解决此类问题时，关键在于求出点关于直线的对称点，属于中档题.20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是 5【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP 的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离2266521d ==+，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=, ∴max 5||,65OQ ==故答案为：53. 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）4747)-+；（2）证明见解析；（3）1y x =+. 【分析】（1）设直线l 的方程为1y kx =+，结合直线与圆的交点个数与点到直线的距离公式，可得解；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合平面向量的坐标运算，可得证；（3）由121212OA OB x x y y ⋅=+=，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】（1）设直线l 的方程为1y kx =+，因为直线l 与圆有两个不同交点，1<k <<，所以实数k的取值范围为44(,33+；（2）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立()()221231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，得22(1)(44)70k x k x +-++=，所以122441k x x k ++=+，12271x x k =+，所以11221122(,1)(,1)(,)(,)MA MB x y x y x kx x kx ⋅=-⋅-=⋅22212121227(1)(1)71x x k x x k x x k k =+=+=+⋅=+，为定值；（3）因为12OA OB ⋅=，所以12121212(1)(1)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+++22121222744(1)()1(1)11211kk x x k x x k k k k+=++++=+⋅+⋅+=++，整理解得1k =，所以直线l 的方程为：1y x =+. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，解题思路如下：（1）根据直线与圆有两个交点，得到直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于半径，得到对应的不等关系，解不等式求得结果；（2）设出两点坐标，将直线与圆的方程联立，消元，利用韦达定理得到两根关系，利用向量数量积坐标公式求其数量积，结合韦达定理，证得结果；（3）利用向量数量积坐标公式得到k 所满足的等量关系式，求得k 的值，进而求得直线方程.22．（1）2c =-；2()2f z z z =+-；（2）9. 【分析】（1）令1m =，0n =代入等式中可求得c .再令m n =-代入得()f z 的解析式；（2）由已知求得直线过圆心()12-，，有1a b +=.由均值不等式得4144()5a b a b a b ab a b b a +⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，可求和4a bab +的最小值. 【详解】（1）令1m =，0n =代入等式中可得，(0)2f =-，即2c =-.再令m n =-得，(0)()(21)f f n n n n -=--++，2()2f n n n =+-，所以2()2f z z z =+-.（2）因为直线被圆22(1)(2)9x y ++-=截得的弦长为6，所以直线过圆心()12-，，有1a b +=.于是由均值不等式得，414144()559a b a b a b ab a b a b b a +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即13a =，23b =时等号成立.故4a b ab +的最小值是9.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.23．（1）20x --=；（2）()2219x y ++=；（3）22⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）设AC 中点M 为(),0t ，则()42,0C t +，得到BM MC =，求出t ，利用点斜式写方程即可；（2）利用（1）得到圆心坐标以及半径即可得解；（3）先求AB k ，再求直线DE 的方程，点M 到直线DE 的距离，则三角形PDE 的高3h ⎡⎤∈⎣⎦，最后利用12PDESDE h =求解即可. 【详解】（1）设AC 中点M 为(),0t ，又()4,0A -，则()42,0C t +，90ABC ∠=︒，则BM MC =,又(2,22B --， ()()222202424t t t t --+--=+-=+，则1t =-，所以()2,0C ，故202222BC k -==--，则BC 边所在的直线方程为：)2022202y x x -=-⇒--=；所以BC 边所在的直线方程为：220x --=；（2）由M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，则M 为AC 的中点坐标为()1,0-，又3MC r ==,则圆M 的方程为：()2219x y ++=；（3）由()4,0A -，(2,22B --，得220224AB k -==-+，直线AB 与直线DE 平行，又(0,72E -，则直线DE 的方程为：22y x =- 则()7,0D -，所以点M 到直线DE 的距离d ==，则三角形PDE 的高3h ⎡⎤∈⎣⎦，DE ==则12222PDE S DE h ⎡==∈⎢⎣⎦，三角形PDE 面积的取值范围为⎣⎦. 【点睛】方法点睛：圆上的点到直线的距离的范围问题，转化为圆心到直线的距离加半径最大，减半径最小.24．（1）34170x y -+=或3430x y --=；（2）33.⎡⎤---⎣⎦【分析】（1）求出圆心C 的圆心坐标与半径长，求出直线AB 的方程，利用直线AB 与圆C 相切可得出圆心C 到直线AB 的距离等于圆C 的半径，可得出关于实数m 的等式，求出m 的值，进而可求得直线AB 的方程；（2）求出线段AB 的中点D 的坐标，由题意可得出关于m 的不等式，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）圆C 的标准方程为()()22114x y ++-=，圆心()1,1C -，半径为2r ，直线AB 的斜率为()21344AB k m m +==+-，所以，直线AB 的方程为()314y x m +=-，即34340x y m ---=，由于直线AB 与圆C 相切，则31125m --=，解得13m =-或7m =-，因此，直线AB 的方程为34170x y -+=或3430x y --=；（2）线段AB 的中点为12,2D m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB =，由于以AB 为直径的圆D 与圆C 有公共点，则22AB AB r CD r -≤≤+，可得1922≤≤，解得33m --≤≤，故实数m 的取值范围为33⎡⎤--⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题考查利用两圆有公共点求参数的取值范围，若两圆圆心分别为1C 、2C ，半径分别为1r 、2r ，可将问题等价转化为121212r r C C r r -≤≤+来处理.25．（1）(6,4)；（2）10x y +=.【分析】（1）点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所以213b a +=-，代入直线20ax by ++=得6(32)0x b y x -+-=可得答案；（2）讨论直线的斜率存在和不存在情况，分别求出三角形的面积比较，并求较小时直线的方程即可.【详解】（1）因为点(,)a b 在直线3210x y ++=上，所有3210a b ++=，即213b a +=-，代入直线20ax by ++=得21203b x by +-++=，整理得6(32)0x b y x -+-=，所以60320x y x -=⎧⎨-=⎩解得64x y =⎧⎨=⎩，定点(6,4)M . （2）设(,)A m n (0,0)m n >>，(,0)(0)B c c >，所以M 、A 、B 三点共线，当1l 与x 轴垂直时，(4,24)A ，(4,0)B ，112444822OAB SOB AB =⨯⨯=⨯⨯=，当1l 与x 轴不垂直时，所以AM BM k k =，即44066n m c --=--，644n m c n -=-，因为在直线2:4l y x =上，所以4n m =，所以64541n m m c n m -==--，因为0,0m c >>，所以501m c m =>-，所以1m ， 2115101101222111OAB A m m S y OB n m m m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯==-++ ⎪---⎝⎭()102240≥⨯+=，当且仅当111m m -=-即2m =时等号成立，此时48n m ==，所以(2,8)A ，因为48>40，所以△OAB 面积最小时直线1l 与x 轴不垂直，且1l 的斜率为84126AM k -==--，所以直线1l 的方程为8(2)y x -=--，即为100x y +-=. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.26．（1）()()22228x y ++-=；（2. 【分析】（1）由已知求得圆心和半径可得所求的圆的方程；（2）由已知得A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．联立两圆的方程得直线AB 的方程为4410x y -+=，再由点到直线的距离公式可求得线段AB 的长度．【详解】（1）∵所求圆的圆心为线段OP 的中点()2,2-，半径为1||2OP == ∴以OP 为直径的圆的方程为()()22228x y ++-=．（2）∵PA 、PB 是圆22:1O x y +=的两条切线，∴OA PA ⊥，OB PB ⊥，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由2222(2)(2)81x y x y ⎧++-=⎨+=⎩得直线AB 的方程为4410x y -+=，O 点到直线AB 的距离为d =，线段AB 的长度为AB ==．【点睛】方法点睛：在解决直线与圆的位置关系的问题时，注意运用平面几何知识，如圆的切线的性质，以及圆的垂径定理等.。

直线与圆的参数方程

测试九直线与圆的参数方程Ⅰ 学习目标了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆的参数方程．Ⅱ 基础训练题一、选择题1．直线⎩⎨⎧︒-=︒+-=60sin 3,30cos 2t y t x (t 为参数)的倾斜角α等于 ( ) A ．30° B ．60° C ．－45°D ．135°2．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是 ( )A ．⎩⎨⎧+=+=t y t x 3,1(t 为参数) B ．⎩⎨⎧-=+=t y t x 25,2(t 为参数) C ．⎩⎨⎧-=-=t y t x 23,1(t 为参数) D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 555,5522(t 为参数) 3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( )A ．一个定点B ．一个椭圆C ．一条抛物线D ．一条直线4．已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21),1(21a a y a a x (其中a ＞0)，则该曲线是 ( ) A ．线段 B ．圆C ．双曲线的一部分D ．圆的一部分5．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形POQ ，则动点Q 的轨迹是 ( )A ．圆B ．两条平行线C ．抛物线D ．双曲线二、填空题6．曲线⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 1y x 经过点(23，a )，则a ＝______． 7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3(参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin ,cos θθy x (参数θ∈[0，2π))，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．8．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 21y x (θ为参数)化为普通方程为______． 9．一个圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)，一条直线的方程为3x －4y －9＝0，那么这条直线与圆的位置关系是______．10．若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是______．三、解答题11．设直线l 1过点(1，－2)，倾斜角为4π，直线l 2：x ＋2y －4＝0．(1)写出直线l 1的参数方程；(2)求直线l 1与l 2的交点．12．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21aty t x (其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．13．圆M 的方程为x 2＋y 2－4Rx cos α—4Ry sin α＋3R 2＝0(R ＞0)．(1)求该圆圆心M 的坐标及圆M 的半径；(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹，并证明不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆，且内切于另一个定圆．Ⅲ 拓展训练题14．化下列参数方程为普通方程，并做出曲线草图． (1)⎪⎩⎪⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin 21y x (θ为参数)；(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==11,12t t y t x (t 为参数)参考答案测试九直线与圆的参数方程一、选择题1．D 2．C 3．D 4．C 5．B二、填空题6．3± 7．(0，2)，22 8．(x －1)2＋y 2＝49．相交 10．.22三、解答题11．解：(1)由题意得直线l 1的方程为y ＋2＝x －1．设y ＋2＝x －1＝t 得⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,1 (t 为参数)，即为l 1的参数方程． (2)将⎩⎨⎧+-=+=ty t x 2,1代入x ＋2y －4＝0得(1＋t )＋2(－2＋t )－4＝0，所以37=t ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+=.312,3101t y t x 即l 1与l 2的交点为)31,310(． 12．解：(1)由题意有⎩⎨⎧==+,45212at t ，故⎩⎨⎧==.1,2a t 所以a ＝1． (2)由(1)可得，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=.，212t y t x 由第一个方程得21-=x t ，代入第二个方程得2)21(-=x y ·(x －1)2＝4y ，即为曲线C 的普通方程． 13．解：(1)由题意，得圆M 的方程为(x －2R cos a )2＋(y －2R sin a )2＝R 2，故圆心为M (2R cos α，2R sin α)，圆M 的半径为R ；(2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2R y R x ， (其中α为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点、半径为2R 的圆．由于22)sin 2()cos 2(ααR R +＝2R ＝3R －R ，22)sin 2()cos 2(ααR R +＝2R ＝R ＋R ，所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．14．解：(1)由y 2＝(sin θ ＋cos θ )2＝1＋sin2θ ＝1＋2x ，得y 2＝2x ＋1．因为212sin 2121≤≤-θ，所以2121≤≤-x ．因为2-≤sin θ ＋cos θ ≤2，所以2-≤y ≤2．故所求普通方程为)22,2121)(21(22≤≤-≤≤-+=y x x y ，图形为抛物线的一部分．图略．(2)由已知消去t 得，1)11()1(22222=-+=+t tt y x ．注意到01,0122≥-==/=t t xy tx ，可知所求轨迹为两段圆弧 x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0)．图略。

成都七中初中学校选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(包含答案解析)

一、选择题1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（）A ．2B ．3C ．4D ．2．已知圆22:3C x y +=，从点()2,0A -观察点()2,B a ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是（）A ．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．((),23,-∞-+∞D ．((),-∞-⋃+∞3．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=4．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定5．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（） A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(,4)-∞D ．(6,)+∞6．已知点()1,0A m -，()()1,00B m m +>，若圆C ：2288280x y x y +--+=上存在一点P ，使得PA PB ⊥，则实数m 的取值范围是( ) A ．3m ≥ B ．3m 7≤≤ C ．27m -<≤D ．46m ≤≤7．点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，则四边形PAOB （O 为坐标原点）的面积的最小值等于（）A ．8B ．4C ．24D ．168．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（）小时 A ．1 B ．2C ．3D ．49．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是（）A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎤⎥⎝⎦C ．53,124D ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．过点(0,2)P 的直线l 与以(1,1)A ，(2,3)B -为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．5[,3]2- B ．5(,][3,)2-∞-⋃+∞ C ．3[,1]2-D ．1(,1][,)2-∞-⋃-+∞ 11．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（） A ．1或0 B ．5C ．0或5D ．1或512．圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭的圆与直线:230l x y +-=交于P ､Q 两点，O 为坐标原点，且满足0OP OQ ⋅=，则圆C 的方程为（）A ．2215()(3)22x y -+-=B ．2215()(3)22x y -++=C ．22125()(3)24x y ++-=D ．22125()(3)24x y +++=二、填空题13．直线:20l mx y m --+=与圆22:6O x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则AOB 面积的最大值为__________.14．已知三条直线的方程分别为0y =0y -+=0y +-，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为___________．15．已知圆C ：()2234x y -+=，线段MN 在直线211y x =-+上运动，点P 是线段MN 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA PB ⊥，则线段MN 长度的最大值是___________．16．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________. 17．以(1,3)N 为圆心，并且与直线3470x y --=相切的圆的方程为__________． 18．过点()5,0P -作直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈的垂线，垂足为M ，已知点()3,11N ，则MN 的取值范围是______.19．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．20．已知过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线交抛物线C 于P ，Q 两点，交圆2220x y x +-=于M ，N 两点，其中P ，M 位于第一象限，则11PM QN+的最小值为_____．参考答案三、解答题21．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点()1,0A -与点()2,0B 的距离之比为2，记动点M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点()5,4P -作曲线C 的切线，求切线方程. 22．已知直线2:(24)30l a a x ay -+--=.（1）若直线l 过点(1,0)A ，试写出直线l 的一个方向向量；（2）若实数0a ≠，求直线的倾斜角α的取值范围.23．已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．（1）求曲线E 的方程：（2）已知0m ≠，设直线1l ：10x my --=交曲线E 于A 、C 两点，直线2l ：0mx y m +-=交曲线E 于B 、D 两点，C 、D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．24．已知圆C 经过点()1,0A -和()3,4B ，且圆心C 在直线3150x y +-=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设点()()1,0Q m m ->在圆C 上，求△QAB 的面积．25．已知正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y ，正方形的中心为()0,1R .求:（1）该正方形的面积;（2）该正方形的两条对角线所在直线的一般式方程.26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2m-在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12K ∴=，设圆心(1,2)-，到直线1502x y --=的距离为d ，d ∴==圆的半径为3r ==.4MN ∴==.故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.2．D解析：D 【分析】设过点与圆相切的直线为()2y k x =+，则圆心到直线的距离解得k =，可得切线方程为)2y x =+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，即a 大于B 点在x 轴上方的纵坐标或者小于B 点在x 轴上方的纵坐标即可. 【详解】设过点()2,0A -与圆22:3C x y +=相切的直线为()2y k x =+，则圆心()0,0到直线的=k =∴切线方程为)2y x =+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，B 在2x =的直线上，在)2y x =+中，取2x =，得y =±，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C挡住，需a >a <-，∴a 的取值范围是()(),4343,-∞-⋃+∞，故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，关键点是求过A 点且与圆相切时的直线方程，考查分析问题解决问题的能力.3．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=， 22211k k k --=+，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=；所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.4．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=1<，即为1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点， ||1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.5．D解析：D 【分析】首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d ==，若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.6．B解析：B 【分析】根据题意，分析圆C 的圆心坐标以及半径，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析M 的坐标以及|AB |的值，可得以AB 为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C 与圆M 有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案．【详解】根据题意，圆2288280C x y x y +--+=：，即()()22444x y -+-=；其圆心为()4,4，半径2r =，设AB 的中点为M ，又由点()()1,0,1,0,A m B m -+则()1,0,2M AB m =，以AB 为直径的圆为()2221x y m -+=，若圆2288280C x y x y +--+=：上存在一点P ，使得PA ⊥PB ，则圆C 与圆M 有公共点，又由5MC ==，即有25m -≤且25m +≥,即37m ≤≤，又0,37m m >∴≤≤，故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题．7．A解析：A 【分析】根据题意，得到四边形PAOB 的面积22PAOS S PA ===只需求PO 最小值，进而可求出结果. 【详解】因为圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径为2r，圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离为2d ==>，所以直线2100x y ++=与圆224x y +=相离，又点P 是直线2100x y ++=上的动点，直线PA ，PB 分别与圆224x y +=相切于A ，B 两点，所以PA PB =，PA OA ⊥，PB OB ⊥，因此四边形PAOB 的面积为12222PAO PBOPAOS SSSPA r PA =+==⨯⨯== 为使四边形面积最小，只需PO 最小，又min PO 为圆心()0,0O 到直线2100x y ++=的距离d =所以四边形PAOB 的面积的最小值为8=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据圆的切线的性质，将四边形的面积化为2224PAOS PO =-，求面积最值问题，转化为定点到线上动点的最值问题，即可求解.8．B解析：B 【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间. 【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x 轴，正北方向为y 轴，所以()()40,0,0,30A B ，圆22:676O x y +=，记从N 处开始被监测，到M 处监测结束，所以:14030AB x y l +=，即:341200AB l x y +-=，因为O 到:341200AB l x y +-=的距离为221202434OO -'==+，所以22220MN MO OO '=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系；（2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.9．C解析：C 【分析】曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通过图形可得结论．【详解】曲线214y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，PD 与圆相切，由221421k k --+=+，解得512k =，即512PD k =， (2,1)A -，4132(2)4PA k -==--，∴53,124k ⎛⎤∈⎥⎝⎦．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．10．D解析：D 【分析】画出图形，设直线l 的斜率为k ，求出PA k 和PB k ，由直线l 与线段AB 有交点，可知PA k k ≤或PB k k ≥，即可得出答案.【详解】直线过定点(0,2)P ，设直线l 的斜率为k ， ∵12110PA k -==--，321202PB k -==---， ∴要使直线l 与线段AB 有交点，则k 的取值范围是1k ≤-或12k ≥-，即1(,1][,)2k ∈-∞-⋃-+∞.故选：D. 【点睛】方法点睛：求直线的斜率（或取值范围）的方法：（1）定义法：已知直线的倾斜角为α，且90α︒≠，则斜率tan k α=；（2）公式法：若直线过两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x ≠，则斜率2121y y k x x -=-；（3）数形结合方法：该法常用于解决下面一种题型：已知线段AB 的两端点及线段外一点P ，求过点P 且与线段AB 有交点的直线l 斜率的取值范围.若直线,PA PB 的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接,PA PB ； ②由2121y y k x x -=-，求出PA k 和PB k ； ③结合图形写出满足条件的直线l 斜率的取值范围.11．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C.【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；12．C解析：C 【分析】根据题中所给的圆心坐标，设出圆的标准方程，根据题中所给的条件，求得2r 的值，得出结果. 【详解】因为圆心为1,32C ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以设圆的方程为：2221()(3)2x y r ++-=，将直线方程代入圆的方程，得到228552004y y r -+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则有21212174,45r y y y y +=⋅=-，因为0OP OQ ⋅=，所以12120x x y y +=，所以1212(32)(32)0y y y y -⋅-+=，整理得121296()50y y y y -++=，即2179645()045r -⨯+⨯-=，求得2254r =，所以圆C 的方程为：22125()(3)24x y ++-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关圆的方程的求解，涉及到的知识点有圆的标准方程，关于垂直条件的转化，属于简单题目.二、填空题13．3【分析】设出圆心到直线的距离为利用几何法求出表示出面积再利用二次函数的性质即可求出【详解】可得直线的定点在圆内则设圆心到直线的距离为则当即即时取得最大值为3故答案为：3【点睛】关键点睛：本题考查圆解析：3 【分析】设出圆心O 到直线的距离为d ，利用几何法求出AB ，表示出面积，再利用二次函数的性质即可求出. 【详解】可得直线:20l mx y m --+=的定点()1,2在圆内，则m R ∈ 设圆心O 到直线的距离为d，则d =AB =，∴12AOBSAB d d =⨯⨯=== 当23d =，即()22231m m -=+，即m =时，AOBS 取得最大值为3.故答案为：3. 【点睛】关键点睛：本题考查圆内三角形面积的最值问题，解题的关键是利用几何法求出AB ，表示出三角形面积，利用二次函数性质求解.14．【分析】先画出图形求出再分四种情况讨论得解【详解】如图所示由题得的平分线：和的平分线：的交点到三条直线的距离相等联立两直线的方程解方程组得交点为；的外角平分线：和的外角平分线：的交点到三条直线的距离解析：(0,30,3(-【分析】先画出图形，求出(1,0),(1,0)A B C -，再分四种情况讨论得解. 【详解】如图所示，由题得(1,0),(1,0)A B C -,CAB ∠的平分线AO ：0x =和ACB ∠的平分线CD ：(1)3y x =+的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组01)3x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩得交点为(0,)3；ACB ∠的外角平分线CE ：3(1)y x =-+和ABC ∠的外角平分线BF ：3(1)y x =-的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3(1)y x y x ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩得交点为(0,3)-；ACB ∠的外角平分线CG ：3(1)y x =-+和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3)-；ABC ∠的外角平分线BH ：3(1)y x =-和CAB ∠的外角平分线AG ：3y =的交点到三条直线的距离相等，联立两直线的方程解方程组3(1)3y x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得交点为(2,3).故答案为：(0,3)-、30,3、(2,3)、(2,3)-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用平面几何的知识分析找到四个点，再利用直线的知识解答即可.15．【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形先算出进一步求出答案【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度考虑边界的情况也就是PAPB 分别与圆解析：3【分析】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，先算出2232lPC d =-=. 【详解】题目等同于点P 在已知直线上的轨迹长度，考虑边界的情况，也就是PA ，PB 分别与圆相切的情况，此时△APC 和△ABC 均为等腰直角三角形，由题意知，圆心()3,0C ，半径2r线段PC 的长为22r =圆心到直线的距离22301152+1d -⨯-+==，根据图像的对称性可知2232lPC d =-= 所以线段MN 长度的最大值为3 故答案为: 3 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用.本题的难点是分析何时EF 取到最值.根据考虑边界的情况数形结合得出结论.16．或【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论可求得结果【详解】当直线在在两坐标轴上截距相等且为0时直线的方程为；当直线在在两坐标轴上截距相等且不为0时设直线的方程为又直线过点则解得所以直线的方程为；所以解析：12y x =-或1y x =--. 【分析】按照截距是否为0分两种情况讨论，可求得结果. 【详解】当直线l 在在两坐标轴上截距相等且为0时，直线l 的方程为12y x =-；当直线l 在在两坐标轴上截距相等且不为0时，设直线l 的方程为1x ya a+=，又直线l 过点(2,1)A -，则211a a-+=，解得1a =-，所以直线l 的方程为1y x =--；所以直线l 的方程为12y x =-或1y x =--. 故答案为：12y x =-或1y x =--. 【点睛】易错点睛：本题考查了直线方程的截距式，但要注意：截距式1x ya b+=，只适用于不过原点或不垂直于x 轴、y 轴的直线，表示与x 轴、y 轴相交，且x 轴截距为a ，y 轴截距为b 的直线，考查学生分类讨论思想，属于基础题.17．【解析】试题分析：由题意得圆心到直线的距离即为半径此题只要求出半径即可试题解析：22256(1)(3)25x y -+-=【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离即为半径，此题只要求出半径即可．试题因为点到直线的距离由题意得圆的半径则所求的圆的方程为考点：1．直线与圆的相切的应用；2．圆的方程；18．【分析】化已知直线为即有且解方程可得定点可得在以为直径的圆上运动求得圆心和半径由圆的性质可得最值【详解】解：由直线化为令解得所以直线过定点因为为垂足所以为直角三角形斜边为所以在以为直径的圆上运动由点解析：1310,1310⎡⎣【分析】化已知直线为()()2430--+--=m x y x y ，即有240x y --=且30x y --=，解方程可得定点Q ，可得M 在以PQ 为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值．【详解】解：由直线()()()121430m x m y m m R +-+--=∈化为()()2430--+--=m x y x y ，令24030x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2Q -，因为M 为垂足，所以PQM 为直角三角形，斜边为PQ ，所以M 在以PQ 为直径的圆上运动，由点()5,0P -可知以PQ 为直径的圆圆心为()2,1C --，半径为()()22510210--++==r则MN 的取值范围-≤≤+CN r MN CN r，又因为()()223211113+++==CN ，所以MN 的取值范围是1310,1310⎡⎤-+⎣⎦. 故答案为：1310,1310⎡⎤-+⎣⎦.【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y ，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k ，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】由题可知：219y x =+-，所以()()22191+-=≥x y y 如图又直线()35y k x =-+，即350kx y k 过定点()A 3,5213573241--+=⇒=+k k k 当直线过点()3,1B -时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.20．【分析】设根据题意可设直线的方程为将其与抛物线方程联立可求出结合图形及抛物线的焦半径公式可得再利用基本不等式即可求出的最小值【详解】圆可化为圆心坐标为半径为抛物线的焦点可设直线的方程为设由得所以又所解析：2【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，根据题意可设直线PQ 的方程为1x my =+，将其与抛物线C 方程联立可求出121=x x ，结合图形及抛物线的焦半径公式可得12||||1PM QN x x ⋅==，再利用基本不等式，即可求出11PM QN+的最小值. 【详解】圆2220x y x +-=可化为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1,0)，半径为1，抛物线C 的焦点(1,0)F ，可设直线PQ 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，所以124y y =-，又2114y x =，2224y x =，所以222121212()14416y y y y x x =⋅==，因为1212||||(||||)(||||)(11)(11)1PM QN PF MF QF NF x x x x ⋅=--=+-+-==，所以111122PM QN PM QN+≥⋅=，当且仅当||||1PM QN ==时，等号成立. 所以11PM QN+的最小值为2. 故答案为：2本题主要考查抛物线的几何性质，基本不等式求最值，考查基本运算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）()2234x y -+=；（2）50x -=或3410x y ++=. 【分析】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，由题意得2MA MB==，化简得()2234x y -+=，即为动点M 的轨迹方程；（2）分类讨论过点P 的直线斜率不存在与存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于半径求解，即可得到答案. 【详解】（1）设动点M的坐标为(),x y ，则MA =，MB =由题意得2MA MB==，化简得()2234x y -+=，因此，动点M 的轨迹方程为()2234x y -+=；（2）当过点P 的直线斜率不存在时，直线方程为5x =，圆心()3,0C 到直线5x =的距离等于2，此时直线50x -=与曲线C 相切；当过点P 的直线斜率存在时，不妨设斜率为k ，则切线方程为()45y kx +=-，即540kx yk ---=，2=，解得34k =-.所以，切线方程为3410x y ++=.综上所述，切线方程为50x -=或3410x y ++=. 【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，及直线与圆相切求切线，求圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题.22．（1）直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【分析】（1）将A 代入直线l 方程求a ，写出直线方程即可得l 的方向向量；（2）由直线方程得斜率42k a a=+-，讨论a 并利用基本不等式求k 的范围，进而可得倾【详解】（1）把(1,0)A 代入直线l 的方程，得2210a a -+=，解得1a =，此时直线l 的方程为330x y --=，故直线l 的一个方向向量为(1,3)；（2）因为0a ≠，所以直线l 的斜率22442a a a a k a-+=+-=，∴当0a >时，4222k a a +-≥==当且仅当2a =时等号成立；当0a <时，4)()]22[(6a ak +--≤---=-=当且仅当2a =-时等号成立；综上有(,6][2,)k ∈-∞-+∞，可得倾斜角arctan 2,,arctan 622ππαπ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 【点睛】结论点睛：直线0ax by c的方向量为(,)b a -或(,)b a -.倾斜角α与斜率k 的关系：tan k α=或arctan k α=.23．（1）22(2)3x y -+=；（2）【分析】（1）设动点坐标为(,)x y ，由两点间距离公式得等式，化简后可得轨迹方程；（2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-，设直线:CD y x t =-+，可得22(,)22t t P +-，利用圆的几何性质得12NP CD ==0t =或3t =，确定直线:CD y x =-，可得,C D 坐标，然后求得,A B 两点坐标，得弦长AB ．【详解】解：（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，=，整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=. （2）由题意知12l l ⊥，且两条直线均过定点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线:2EP y x =-，设直线:CD y x t =-+，由2y x y x t =-⎧⎨=-+⎩得点22(,)22t t P +-，由圆的几何性质得12NP CD ==而22222222(1)(),3,22t t NP ED EP +-=-+==，解得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，所以直线:CD y x =-，由22410x y x y x ⎧+-+=⎨=-⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，不失一般性，设(11),(11)C D +，由22410(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩，消去y 得2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=① 方程①的两根之积为1，所以点A的横坐标2A x = 又因为点C (11)在直线1:10l x my --=上，解得1m ，直线1:1)(1)l y x =-，所以(2A +，同理可得(2B -，所以线段AB的长为【点睛】关键点点睛：本题考查求圆的轨迹方程，考查求圆中弦长．本题求弦长方程是求出交点坐标，再得弦长，而解题关键是由直线12l l ⊥，且交点为定点(1,0)N ，设出CD 方程，CD 中点P，由圆的性质得12NP CD ==求得CD 方程，得出,C D 两点坐标，再得,A B 两点坐标，得弦长．24．（1）()()223640x y ++-=；（2）24．【分析】（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案；【详解】（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -．∴半径r ==．故所求圆C 的标准方程为()()223640x y ++-=．（2）点()()1,0Q m m ->在圆C 上， 12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，点B 到直线AQ 的距离为4，QAB ∴的面积1141242422S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．【点睛】利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 25．（1）325；（2）220x y +-=或210x y -+=. 【分析】（1）利用点到直线的距离公式得到d =，再利用2(2)S d =，即可求出结果.（2）设对角线所在直线的方程为(0)(1)0a x b y -+-=，可设两直线的法向量分别为1(,)n a b =，2(1,3)n =-，设两直线夹角为θ，12122cos 2n n n n θ⋅==⋅，代入得到2a b =或20a b +=，即可求出结果.【详解】（1）正方形的一条边AB 所在直线为310--=x y，正方形的中心为()0,1R ，则正方形的中心到AB 所在直线的距离为： d ==，所以正方形的面积：232(2)5S d ==；（2）设对角线所在直线的方程为(0)(1)0a x b y -+-=，边AB 所在直线为310--=x y ，两直线的法向量分别为1(,)n a b =，2(1,3)n =-，设两直线夹角为θ，则12122cos 22n n n n θ⋅==⇒=⋅， 222320(2)(2)02a ab b a b a b a b +-=⇒-+=⇒=或20a b +=，两条对角线方程为(0)2(1)0x y -+-=或2(0)(1)0x y ---=，即220x y +-=或210x y -+=.【点睛】关键点睛：设两直线的法向量分别为1(,)n a b =，2(1,3)n =-，利用夹角得到,a b 的关系式是解决本题的关键.26．（1）43m =-；（2）. 【分析】（1）先利用弦长和半径求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式建立关系即可求解；（2）求出直线定点D ，作CE l ⊥，垂足为E ，可得四边形MPQN 面积为CE PQ ⋅，当//MN l 且CD l ⊥时面积可得最大.【详解】解：（1）圆C 的圆心()3,4C -，半径4r =，由弦AB的长为，得点C 到直线l 的距离为d === 又d ==，∴=解得：43m =-；（2）把直线l 方程()()212340m x m y m ++---=化为()23240x y m x y +-+--=由230240x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩ ∴直线l 过定点()2,1D -，当m 变化时，l 绕点D 转动，作CE l ⊥，垂足为E ，由已知得，四边形MPQN 为梯形（或矩形），PQ 为高，CE 为中位线， ∴()1884022MPQN S MP NQ PQ CE PQ CE MN CE CD =+⋅=⋅≤⋅=≤= 当且仅当//MN l 且CD l ⊥时等号全部成立，由CD l ⊥得1l CD k k ⋅=-，即2112m m +=--，解得13m =， ∴当13m =时，四边形MPQN 的面积取得最大值402. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及四边形面积问题，解题的关键是巧妙表示出四边形面积，转化为点到直线距离的最值问题.。

2020高中数学直线和圆的参数方程(含解析)4-4

课时分层作业（六）(建议用时:45分钟)一、选择题1．原点到直线错误!(t为参数）的距离为（)A．1 B．2 C．3 D．4［解析] 消去t，得3x－4y－15＝0，∴原点到直线3x－4y－15＝0的距离d＝错误!＝3.[答案］C2．若曲线错误!(θ为参数),则点(x,y）的轨迹是( ）A．直线x＋2y－2＝0B．以（2,0）为端点的射线C．圆(x－1）2＋y2＝1D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段[解析］∵x＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin2θ＝2－2sin2θ＝2－2y，即x＋2y－2＝0，又y＝sin2θ，∴0≤y≤1，∴选D.[答案］D3．已知圆C 的圆心是直线错误!(t 为参数)与x 轴的交点,且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( ）A ．（x ＋1）2＋y 2＝4B ．(x －1）2＋y 2＝2C ．（x ＋1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝4[解析］由错误!得x －y ＋1＝0。

∴圆心C （－1，0)，又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，∴r ＝|－1＋0＋3|2＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.［答案］ C4．直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆错误!（θ为参数)的圆心位于（ )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限［解析］ ∵直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，∴a <0，b >0,∴点(a ，b )在第二象限．[答案］ B5．圆的参数方程为错误!(0≤θ<2π），若圆上一点P对应参数θ＝错误!π,则P点的坐标是________．[解析] 当θ＝错误!π时,x＝2＋4cos错误!π＝0，y＝－错误!＋4sin 错误!π＝－3错误!，∴点P的坐标是（0,－3错误!）．［答案] （0,－3错误!）6．已知直线l:错误!（t为参数),圆C：ρ＝2cos θ，则圆心C到直线l的距离是__________．［解析］直线l的普通方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0，∵圆C：ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2－2x＝0，∴圆心为C(1,0），∴圆心到直线的距离为d＝错误!＝ 2.[答案] 27．已知曲线C的参数方程为错误!(t为参数)．求曲线C的普通方程．[解] ∵x2＝t＋错误!－2.∴x2＋2＝t＋错误!＝错误!y,∴y＝3x2＋6。

直线和圆和参数方程(含答案).docx

直线与圆与参数方程一、选择题:1.直线x-j-2 = 0的倾斜角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2将点的直角坐标（一2, 2^3）化成极坐标得（）・A. （4, —）B. （-4, —）C. （-4, -）D. （4,-）3 3 3 33. 直线y[3x-y + m = 0与圆x2 + y2-2x-2 = 0相切，则实数加等于（）A. -3品或品B. —3希或3命C.羽或-羽D.-羽或3也4. 过点（0,1）的直线与圆" +）,= 4相交于A, B两点,则|佔|的最小值为（）A. 2B. 2A/3C. 3D. 2^55. 若圆Q的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y = 0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）7A.（兀一3尸 + （y--）2=lB.（兀 _ 2）2 + （y — I）? = 1■-C. （x-1）2+（y-3）2 =1D. （x--）2 +（y-l）2 =126. 极坐标方程pcos^=sin26>（ p>0）表示的曲线是（）.A. —个圆B.两条射线或一个圆C.两条直线D.—条射线或一个圆< 0为錨）7曲线与坐标轴的交点是（）.2 ] 1 1A. （0孕、（护B.c.（°T）、（&°）D.（°i）<8,0）Jx = -3 + 2cos& Jx = 3cos^8两圆i"4 + 2sin&与V = 3sin^的位置关系是（）.A.内切B.外切C.相离D.内含9. 直线2兀—y —1 = 0被圆（x-l）2+y2 =2所截得的弦长为（）A.迥B.①亦C.迴D. •躬5 5 5 510. 若直线y = x + b与曲线）=3 —如―F有公共点，则b的取值范围是（）A. [1-2^2 , 1 + 2^2]B. [1-V2 , 3]C. [-1, 1 + 2血]D. [1-2^2 , 3]诙参数)11,直线的参数方程为[y=2-3t则直线的斜率为( ).2 2 33A. 3B. 3 c. 2 D. 2们及坐标方程口+爲化为普通方程是( ).A. /=4(x—1)B. /=4(1—x)C. /=2(x—1)D. /=2(1—x)二、填空题：13. 设若圆X2 + y2 = 4与圆兀2 + y2 + 2© — 6 = o(d > 0)的公共弦长为2^3 ,则a = __________.14. 已知圆C过点(1,0),且圆心在兀轴的正半轴上，直线l:y = x-i被该圆所截得的眩长为2近,则圆C的标准方程为______________________ •< x=—2一产&为参数)15. 直线b = 3 上与点&-2,3)的距离等于血的点的坐标是___________ .16. 在极坐标系中，以9,兰)为圆心，以3为半径的圆的极坐标方程为2 ----------------------------------------------------------------------------三、解答题：17. 求以点>4(2, 0)为圆心，且经过点8(3,兰)的圆的极坐标方程.318. 已知直线/的极坐标方程为°二一——，点P的直角坐标为(V3 cos a sin®,求点Pcos(^+—)4到直线/距离的最大值及最小值.19. 已知圆C:(兀一3尸+(y —4)2 =4,(I) 若直线厶过定点A (1, 0),且与圆C相切，求厶的方程；(II) 若圆D的半径为3,圆心在直线厶：x+y-2 = 0±,且与圆C外切，求圆D的方程. 20. 在平面直角坐标系My中，已矢口圆G：(x+3)'+(y—1)' =4和圆G： (/—4)'+(y—5)~ = 9.(1) 判断两圆的位置关系；(2) 求直线/〃的方程，使直线/〃被圆G截得的弦长为4,与圆C?截得的弦长是6.21在直角坐标系xOy^,圆C的方程为(x + 6)2 + y2 = 25 .(1) 以坐标原点为极点，兀轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；[x = tcosa /—(2) 直线/的参数方程是：｛. (/为参数)，/与C交于A, B两点，|43|=価,[y = t sin a求/的斜率.22在直角坐标系欢"中，曲线G的参数方程为j x = ^cosa(Q为参数)，以坐标原点为[y = sina 极点，以兀轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为°血” +彳]=2血.(1)写出G的普通方程和c?的直角坐标方程;(2)设点P在G上，点Q在C2±,求IPQI的最小值及此时P的直角坐标.参考答案:-、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10H 答案 BAABBDBBDDZJ □二、填空题三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤) 17. ・・恥,0),由余弦定理得唐"+3JX2X3®严7,・••圆方程为(心2+ /=7, 由 x 得圆的极坐标方程为(“os 0—2)?+(psin 0)2=7,即 p 2—4/?cos 6^—3 = 0.y=°sin0 18. 解析：直线/的方程为4血=p(芈cos & —丰sin&),即x —y=8.・••点P (巧cos 0, sin &)到直线x —y=8的距离为19. ( I )①若直线人的斜率不存在，即直线是x = l,符合题意.②若直线厶斜率存在，设直线厶为y = k(x-l)f 即kx-y-k = 0. 由题意知，圆心(3, 4)到已知直线厶的距离等于半径2,即|3匚訥=2 解之得k = >・所求直线方程是x = ]t3x-4y-3 = 0・(II )依题意设D(a 92-a),又已知圆的圆心C(3,4),r = 2, 由两圆外切，可知CD = 5 ・•・可知 J(d-3)2+(2-a-4)2 = 5,解得 0 = 3,或^ = 一2,.・・ £>(3,-1)或》(—2,4),・・・所求圆的方程为(兀_3尸+(y + l)2 =9或(兀+ 2尸+(y-4)2 =9. 120.解(1)圆G 的圆心G(—3, 1),半径ri = 2；圆 G 的圆心 0(4,5),半径 12=2. A GG=yl72+42=y[^>n + r2, ・・・两圆相离；13. 1 14. (x-3)2 +y 2=4. 15.(一恥)，或(72)16. p=2asin 0.师cos 0~ sin &一 8/.最大值为5^2 ,最小值为3^2 .(2)由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线，易得连心线所在直线方程为：4/—7y+19 = 0.21【解析】(1)圆的方程化为:x 2+y 2+12x4-11 = 0,将x?2 = x 2 + y 2, x = pcos0代入, 得：p 2+12/7COS&+1 1 = 0；(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线/的极坐标方程为0 = a (pe/?),由A, B 所对应的极径分别为口，p 2,将/的极坐标方程代入C 的极坐标方程得: Q '+12QCOSQ + 1 1 =0,于是，p x + p 2 =-12cosez, p }p 2 =11,I AB |=| Qi -°21= J (P + A )2 — Sid = A /144COS 2«-44 ,所以‘的斜率为芈或芈.22 (1) G 的普通方程—+ /=1, C?的直角坐标方程x+y —4 = 0；(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(V3coscz,sincz),因为C?是直线，所以|P0|的最小值即为P 到C 2的距离d(a)的最小值，当且仅当a = 2k7i + ^ CkeZ )时，〃(Q )取得最小值，最小值为血，此时P 的直角坐标(3 1) 迈2由得: cos 2 a- — , 8| \/§cosQ + sinQ-4|sin G + — L 3丿 -2tan = ±3。

人教A版数学选修42.2直线与圆的参数方程同步检测.docx

高中数学学习材料唐玲出品2.2直线与圆的参数方程同步检测一、选择题 1. 直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P 的距离等于2的点的坐标是（）A ．)3,4(B ．)5,4(-或)1,0(C ．)5,2(D ．)3,4(或)5,2( 答案：D解析：解答：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知满足条件的t 的值为1±，所以对应的点的坐标为)3,4(或)5,2(，故选D ．分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据所给直线的参数方程结合参数的意义分析计算即可2. 若直线⎩⎨⎧+=-=.2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k 的值是（）A.1B.-1C.2D.-2 答案：B解析：解答：直线1l 化为普通方程得222k ky x =-++，2l 化为普通方程得21y x =-+ ()2112kk ∴-⨯-=-∴=-分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线的普通方程结合垂直的性质计算即可3. 直线11-2()3332x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为（）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)- 答案：D解析：解答：消去t ，得直线的普通方程为323-=+y x ，设AB 的中点坐标为()00,y x M ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+33323000x y y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==3300y x ，故选D 分析：本题主要考查了直线的参数方程、圆的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系结合中点打包公式计算即可4. 已知直线t ty tx (12⎩⎨⎧+=+=为参数）与曲线C ：03cos 42=+-θρρ交于B A ,两点，则=AB （）A ．1B ．21C ．22 D ．2 答案：D解析：解答：将直线化为普通方程为10x y --=,将曲线C 化为直角坐标方程为22430x y x +-+=,即()2221x y -+=,所以曲线C 为以()2,0为圆心,半径1r =的圆．圆心()2,0到直线10x y --=的距离()222012211d --==+-．根据2222AB d r ⎛⎫+=⎪⎝⎭,解得2AB =．故D 正确．分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是将普通方程化为直线方程即可解决有关问题5. 直线12,2x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）被圆922=+y x 截得的弦长等于（）A ．512 B ．5512 C ．529 D ．5109 答案：B解析：解答：消掉参数t ，得到普通方程，032=+-y x ，被圆所截，圆心到直线的距离53=d ，得到弦长公式，5512222=-=dr l ，故选B ．分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系分析计算即可6. 若直线的参数方程为1224x ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线的斜率为（）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 答案：D解析：解答：化直线的参数方程1224x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）为普通方程24y x =-+，则直线的斜率为2-，故选择D.分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线的普通方程分析即可7. 曲线23111x y λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（λ为参数）与y 坐标轴的交点是（）A.20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.(0,4)- D.50,9⎛⎫⎪⎝⎭答案：B解析：解答：由曲线的参数方程消去参数得普通方程为2510x y +-=，它与y 坐标轴的交点是10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选择B.分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是化为普通方程计算即可8. 直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（） A ．125 B ．1255 C ．955 D ．9105答案：B解析：解答：将直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数化为普通方程为230x y -+=，圆229x y +=的圆心（0，0）到该直线的距离为35，所以该直线被该圆截得弦长为22323()5-=1255，故选B.分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系分析计算即可9. 直线12+=x y 的参数方程是（）A.2221x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数） B.⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数） C.⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D.sin 2sin 1x t θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）答案：C解析：解答：A ：20x t =≥这与直线方程中0x ≥矛盾，故A 错误，同理选项D 中11x -≤≤也错误，而B 消去参数t 后可得：23y x =+，∴B 错误，C 消去参数t 后可得：21y x =+，正确.分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线的普通方程分析对应的参数方程即可 10. 直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P 的距离等于2的点的坐标是（）A ．)3,4(B ．)5,4(-或)1,0(C ．)5,2(D ．)3,4(或)5,2( 答案：D解析：解答：设直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩ ，（t 为参数)上与点(3,4)P 的距离等于2的点的坐标是(3,4)t t -+，则有22(33)(44)2t t --++-=即211t t =⇒=±，所以所求点的坐标为)3,4(或)5,2(．故选D ．分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程化为普通方程根据公式计算即可11. 若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）．A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 答案：D解析：解答：消去参数t ，得直线的普通方程为723=+y x ，则直线的斜率为23-．分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是化为普通方程后分析即可12. 若直线的参数方程为12()23x tt y t =-⎧⎨=+⎩为参数，则直线的斜率为（）．A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 答案：D解析：解答：由直线的参数方程知直线过定点（1,2），取t=1得直线过（-1，5），由斜率公式得直线的斜率为32-，选D 分析：本题主要考查了，解决问题的关键是二、填空题13. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程为___________. 答案：340x y --=解析：解答：由x=1+t 得t=x-1代入y=-1+3t 整理得，34x y -=，即为曲线C 的普通方程. 分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是所给参数方程转化即可14. 设曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=ϑθsin 101cos 102y x （θ为参数），直线l 的参数方程为121x t y t =+⎧⎨=+⎩ （t 为参数），则直线l 与曲线C 截得的弦长为答案：25解析：解答：由题将所给圆与直线的参数方程化为普通方程，根据弦长公式求得弦长即可；由题圆的普通方程为()()222110x y -++=，直线的普通方程为2y-x-1=0,圆心到直线的距离为2(1)2155⨯---=，所以弦长为210525-=分析：本题主要考查了直线的参数方程，圆的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的方程计算即可15. 直线l 的参数方程是222422x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），圆c 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是．答案：26解析：解答：由题意把参数方程转化为普通方程为024=+-y x ，由圆c 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+，得θρθρρsin 2cos 22-=得1)22()22(,222222=++--=+y x y x y x ，圆心)22,22(-C 到直线024=+-y x 的距离为511|242222|22=+++=d ，直线与圆相离，要使切线长最小是直线l 上的点到圆心C 的距离最小，即点圆心)22,22(-C 到直线024=+-y x 的距离5，所以切线的最小值为621522=-.分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系分析计算即可16. 在平面直角坐标系中,直线L 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 232221 （t 为参数），则直线L 的普通方程为答案：2602x y +=-解析：解答：∵122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，∴3322322322x t y x y t⎧=⎪⎪⇒=+⎨⎪=+⎪⎩，即2602x y +=- 分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程转化即可17. 直线()为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是答案：（-3,4）或（-1,2）解析：解答：由题：012322=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x ty tx ，⇒⎩⎨⎧=-++=+2)3()2(1202000y x y x （-3,4）或（-1,2）分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程转化为距离问题计算即可18. 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为____________答案：22解析：解答：直线l 的方程为40x y --=，圆C 的方程是22(2)4x y -+=，因此圆C 到直线l 距离为|204|22d --==，直线l 被圆C 截得的弦长为22222r d -= 分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的方程分析计算即可19. 在平面直角坐标系中，直线1:1x t C y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数)被圆2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数)截得的弦长为．答案：2解析：解答：由直线1:1x tC y t =⎧⎨=-⎩（t 是参数)消去参数得:01=-+y x ，再由圆2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ是参数)消去参数得:122=+y x ，知圆的圆心为C 2(0，0)，半径R=1;则圆心到直线的距离221110022=+-+=d ，从而弦长为2221222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-d R ，故应填入: 2．分析：本题主要考查了直线的参数方程，圆的参数方程，解决问题的关键是根据直线的参数方程结合圆的方程分析计算即可20. 直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531541（t 为参数）被曲线)4cos(2πθρ+=所截的弦长____答案：75解析：解答：因为曲线2cos()4πρθ=+所以cos sin ρθθ=-2cos sin ρρθρθ=-所以曲线的直角坐标方程为22x y x y +=-，即22111()()222x y -++= 所以曲线为圆心11(,)22-，半径为22的圆；由直线的参数方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去参数t 得3410x y ++=圆心11(,)22-到直线3410x y ++=的距离11|34()1|122510d ⨯+⨯-+== 所以直线被园的截得弦长等于21172()2105-= 分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是根据直线与圆的位置关系分析计算即可三、解答题21. 已知直线l ：352132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；答案：解：∵2cos ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=，故它的直角坐标方程为22(1)1x y -+=；（2）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|•|MB|的值．答案：解：直线l ：352132x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），普通方程为32333y x =-，(5,3)在直线l 上，过点M 作圆的切线，切点为T ，则22||(51)3118MT =-+-=，由切割线定理，可得2||||||18MT MA MB =⋅=．解析：分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是第一问，曲线的极坐标方程即22cos ρρθ=，根据极坐标和直角坐标的互化公式cos x ρθ=、sin y ρθ=、222x y ρ=+，得x 2+y 2=2x ，即得它的直角坐标方程；第二问，直线l 的方程经过消参转化为普通方程，再利用切割线定理可得结论． 22. 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为1(2x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（1）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标；答案：解：由1C 的参数方程消去参数t 得普通方程为10x y -+= 圆2C 的直角坐标方程22(1)(3)4x y ++-=,所以圆心的直角坐标为(1,3)-，因此圆心的一个极坐标为2(2,)3π. (答案不唯一，只要符合要求即可)（2）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．答案：解：由（1）知圆心(1,3)-到直线10x y -+=的距离131622d --+==, 所以624104AB =-=. 解析：分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是（1）消去参数即可将1C 的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可23. 已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ= ，直线l 的参数方程为22222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为常数，t ∈R ）（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；答案：解：由222(22x t ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)t R ∈消去参数得，直线l 的普通方程为20x y --= 把222cos x x y ρθρ=⎧⎨=+⎩代入2cos ρθ=中得，圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= （2）求直线l 与圆C 相交的弦长.答案：解：圆心(1,0)到直线20x y --=的距离12d = 由弦长公式得，弦长为2212d -=解析：分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是（1）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用222，，cos x sin y x y ρθρθρ===+，进行代换即得圆的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，由垂径定理及勾股定理即可求出弦长AB ．24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为：122x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线l 与圆相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．答案：解：直线l 的普通方程为：240x y +-=；圆C 的普通方程为：22(1)1x y -+=；圆心C 到直线l 的距离为：22|24|2512d -==+；所以AB=2242522155r d -=-=．解析：分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是将直线参数方程化为普通方程为240x y +-=，圆的普通方程为22(1)1x y -+=，所以圆心C 到直线l 的距离为：22|24|2512d -==+，AB=2242522155r d -=-=25. 已知直线11cos :sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），2:1C ρ=．（1）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；答案：解：当3α=π时，1C 的普通方程为3(1)y x =-，2C 的普通方程为221x y += 联立方程组()22311y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩解得1C 与2C 的交点为（1,0），13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（2）以坐标原点O 为圆心的圆与1C 相切，切点为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．答案：解：1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=A 点坐标为2(sin ,cos sin )ααα-．∴当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin 21sin cos 2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）P 点轨迹的普通方程为2211()416x y -+= 故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆．解析：分析：本题主要考查了直线的参数方程，解决问题的关键是掌握参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与直角坐标系方程相互转化。

直线的参数方程练习题有答案

直线的参数方程1.设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为56π，那么直线l 的参数方程是____________．解析：直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 56π，y ＝－4＋t sin 56π(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝－4＋12t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝－4＋12t ，(t 为参数)2.设直线l 过点(1，－1)，倾斜角为5π6，那么直线l 的参数方程为____________．解析：直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos5π6y ＝－1＋t sin 5π6，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32t y ＝－1＋12t ，(t 为参数)答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32t y ＝－1＋12t ，(t 为参数)3.直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6. 写出直线l 的参数方程；解：①直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝1＋12t ，(t 是参数)．4.直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，写出直线l 的参数方程.[解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t ，(t 为参数).2分5.直线l 的斜率k ＝－1，经过点M 0(2，－1)．点M 在直线上，那么直线l 的参数方程为____________．解析：∵直线的斜率为－1， ∴直线的倾斜角α＝135°. ∴cos α＝－22，sin α＝22. ∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t y ＝－1＋22t ，(t 为参数)6.直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t y ＝2＋12t ，(t 为参数) , 求直线l 的倾斜角；解：(1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.7.假设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t ，(t 为参数)，那么此直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：选B.直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝3－32t，(t为参数)可化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12〔－t 〕y ＝3＋32〔－t 〕，(－t 为参数)．∴直线的斜率为－ 3.8.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝3＋6t(t 为参数)为参数方程的标准形式．解：由⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝3＋6t ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋332＋〔6〕2〔32＋〔6〕2t 〕，y ＝3＋632＋〔6〕2〔32＋〔6〕2t 〕.令t ′＝32＋〔6〕2t ，得到直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋155t ′y ＝3＋105t ′，(t ′为参数)． 9.化直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t y ＝1＋t(t 为参数)为参数方程的标准形式．解：10.直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6.①写出直线l 的参数方程；②设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：①直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝1＋12t ，(t 是参数)．②把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 代入圆x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1，t 2是方程的根，t 1·t 2＝－2.∵A ，B 都在直线l 上，设它们对应的参数分别为t 1和t 2，∴|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1t 2|＝2.11.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ，(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解：(1)曲线 C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝5＋32t，(t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，那么t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.12.曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，以极点为平面直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，(t 为参数)，那么直线l 与曲线C 相交所截得的弦长为________．解析：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋4ty ＝3t ，代入x 2＋y 2＝1中得25t 2－8t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝825.故直线l 与曲线C 相交所截得的弦长l ＝42＋32·|t 2－t 1|＝5×825＝85.答案：8513.斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t y ＝22t ，(t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝〔t 1＋t 2〕2－4t 1t 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85，所以弦长AB 的长为85.14.直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2·cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．[解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t ，(t 为参数).2分由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得x 2＋y 2＝x ＋y ，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.5分(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，得t 2＋12t －14＝0，7分设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，那么t 1t 2＝－14，所以|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝14.10分15.(2016·高考卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t (t为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.16.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3ty ＝－1＋t ，(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1B.10 C ．10D ．2 2解析：选B.将t ＝0，t ＝1代入参数方程可得两点坐标为(2，－1)和(5，0) ∴d ＝〔2－5〕2＋〔－1－0〕2＝10.17.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)假设|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值．解：(1)曲线的极坐标方程变为ρ2sin 2θ＝2aρcos θ，化为直角坐标方程为y 2＝2ax ，直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)化为普通方程为y ＝x －2.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t ，代入y 2＝2ax 得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.那么有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1t 2＝8(4＋a )，因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝t 1·t 2，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝t 1t 2，(t 1＋t 2)2－5t 1t 2＝0，故8(4＋a )2－40(4＋a )＝0，解得a ＝1或a ＝－4(舍去)．故所求a 的值为1. 18.直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，(t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，那么|AB |＝________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t y ＝2－4t，代入2x －4y ＝5，得t ＝12，那么B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.而A (1，2)，得|AB |＝52.答案：5219.如下图，直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：①P ，M 间的距离|PM |；②点M 的坐标解：①由题意，知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，那么tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t y ＝45t，(t 为参数)．(*) ∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50>0.设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.②因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4116，34. 20.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取一样的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，那么t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1·t 2＝－1sin 2α，所以|AB |＝|t 1－t 2| ＝〔t 1＋t 2〕2－4t 1t 2 ＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取得最小值2。

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测试九直线与圆的参数方程
Ⅰ 学习目标
了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆的参数方程．
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．直线⎩
⎨⎧︒-=︒+-=60sin 3,30cos 2t y t x (t 为参数)的倾斜角α等于 ( ) A ．30° B ．60° C ．－45°
D ．135°
2．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是 ( )
A ．⎩
⎨⎧+=+=t y t x 3,1(t 为参数) B ．⎩
⎨⎧-=+=t y t x 25,2(t 为参数) C ．⎩⎨⎧-=-=t y t x 23,1(t 为参数) D ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 555,5522(t 为参数) 3．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋5t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一组圆的圆心轨迹是( )
A ．一个定点
B ．一个椭圆
C ．一条抛物线
D ．一条直线
4．已知某条曲线的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=)1(21),1(21a a y a a x (其中a ＞0)，则该曲线是 ( ) A ．线段 B ．圆
C ．双曲线的一部分
D ．圆的一部分
5．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形POQ ，则动点Q 的轨迹是 ( )
A ．圆
B ．两条平行线
C ．抛物线
D ．双曲线
二、填空题
6．曲线⎩⎨⎧=+=θ
θsin 2,cos 1y x 经过点(23，a )，则a ＝______． 7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩
⎨⎧-=+=t y t x 3,3(参数t ∈R )，圆C 的参数方程
为⎩
⎨⎧+==2sin ,cos θθy x (参数θ∈[0，2π))，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．
8．将参数方程⎩
⎨⎧=+=θθsin 2,cos 21y x (θ为参数)化为普通方程为______． 9．一个圆的参数方程为⎩
⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)，一条直线的方程为3x －4y －9＝0，那么这条直线与圆的位置关系是______．
10．若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是______．
三、解答题
11．设直线l 1过点(1，－2)，倾斜角为4
π
，直线l 2：x ＋2y －4＝0．
(1)写出直线l 1的参数方程；(2)求直线l 1与l 2的交点．
12．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21at
y t x (其中t 是参数，a ∈R )，点M (5，4)在该曲线上．
(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．
13．圆M 的方程为x 2＋y 2－4Rx cos α—4Ry sin α＋3R 2＝0(R ＞0)．
(1)求该圆圆心M 的坐标及圆M 的半径；
(2)当R 固定，α变化时，求圆心M 的轨迹，并证明不论α取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆，且内切于另一个定圆．
Ⅲ 拓展训练题
14．化下列参数方程为普通方程，并做出曲线草图． (1)⎪⎩⎪⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin 21y x (θ为参数)；(2)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==11,12t t y t x (t 为参数)
参考答案
测试九直线与圆的参数方程
一、选择题
1．D 2．C 3．D 4．C 5．B
二、填空题
6．3± 7．(0，2)，22 8．(x －1)2＋y 2＝4
9．相交 10．.22
三、解答题
11．解：(1)由题意得直线l 1的方程为y ＋2＝x －1．设y ＋2＝x －1＝t 得
⎩
⎨⎧+-=+=t y t x 2,1 (t 为参数)，即为l 1的参数方程． (2)将⎩⎨⎧+-=+=t
y t x 2,1代入x ＋2y －4＝0得(1＋t )＋2(－2＋t )－4＝0，所以37=t ，所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-==+=.312,3101t y t x 即l 1与l 2的交点为)31,310(． 12．解：(1)由题意有⎩
⎨⎧==+,45212at t ，故⎩⎨⎧==.1,2a t 所以a ＝1． (2)由(1)可得，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=.
，212t y t x 由第一个方程得21-=x t ，代入第二个方程得2)2
1(-=x y ·(x －1)2＝4y ，即为曲线C 的普通方程． 13．解：(1)由题意，得圆M 的方程为(x －2R cos a )2＋(y －2R sin a )2＝R 2，故圆心为M (2R cos α，2R sin α)，圆M 的半径为R ；
(2)当α变化时，圆心M 的轨迹方程为⎩
⎨⎧==ααsin 2cos 2R y R x ， (其中α为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点、半径为2R 的圆．由于22)sin 2()cos 2(ααR R +＝2R ＝3R －R ，
22)sin 2()cos 2(ααR R +＝2R ＝R ＋R ，
所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．
14．解：(1)由y 2＝(sin θ ＋cos θ )2＝1＋sin2θ ＝1＋2x ，得y 2＝2x ＋1．因为212sin 2121≤≤-θ，所以2
121≤≤-x ．
因为2-≤sin θ ＋cos θ ≤2，所以2-≤y ≤2．故所求普通方程为)22,2121)(21(22≤≤-≤≤-
+=y x x y ，图形为抛物线的一部分．图略．
(2)由已知消去t 得，1)11()1
(22222=-+=+t t
t y x ．注意到01,0122≥-==/=t t xy t
x ，可知所求轨迹为两段圆弧 x 2＋y 2＝1(0＜x ≤1，0≤y ＜1或－1≤x ＜0，－1＜y ≤0)．图略。