2015-2016年北京市101中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
北京市海淀101中学2016-2017学年高一数学下学期期中试题(含解析)
北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在ABC △中，4a =，60A =︒，45B =︒，则边b 的值为（）．A ．364 B ．2+ C ． D ．1【答案】A【解析】根据正弦定理sin sin a b A B =，可得4sin60sin 45b=︒︒，∴4sin 45sin 60b ︒==︒， ∴A 项正确．2．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（）．A ．9B ．3C ．3-D ．6-【答案】D【解析】∵1a ，3a ，4a 成等比数列，所以有214ba a a =⋅， 21(2)a d ⇒+，11(3)a a d =+， 1a d ⇒⋅，24d =-，又∵2d =，∴18a =-， ∴2826a =-+=-， 故选D ．3．下列结论正确的是（）．A ．若ac bc <，则a b <B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，0c <，则ac bc <D ，则a b >【答案】C【解析】对于A ，若0c <，不成立，对于B ，若a ，b 均小于0或0b <，不成立，对于D ，其中0a ≥，0b >，平方后有a b <，不成立，故选C ．4．已知13a -≤≤，24b ≤≤，则2a b -的取值范围是（）．A ．[]6,4-B ．[]0,10C ．[]4,2-D ．[]5,1-【答案】A【解析】∵[1,3]a ∈-，∴2[2,6]a ∈-， ∵[2,4]b ∈，∴[4,2]b -∈--， 则2[6,4]a b -∈-， 故选A ．5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b a c =，且2c a =，则cos B =（）．A ．41B ．43C ．42 D ．32 【答案】B【解析】将2c a =代入得：222b ac a ==，即b =，∴2222222423cos 244a c b a a a B ac a +-+-===， 故选B ．6．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：1si c )s (n o f x x x =+，2()f x x =3()sin f x x =，则（）．A ．1()f x ，2()f x ，3()f x 为“同形”函数B ．1()f x ，2()f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数C ．1()f x ，3()f x 为“同形”函数，且它们与2()f x 不为“同形”函数D ．2()f x ，3()f x 为“同形”函数，且它们与1()f x 不为“同形”函数 【答案】B【解析】∵1()sin cos f x x x =+， π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2()f x x =+3()sin f x x =，则1()f x ，2()f x 为“同形”函数，且它们与3()f x 不为“同形”函数， 选B ．7．已知函数21()(2cos 1)sin2cos42f x x x x =-+，若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且()f α=α的值是（）．A ．5π8B ．11π16C ．9π16D ．7π8【答案】C【解析】1()cos2sin 2cos42f x x x x =+，11sin 4cos422x x =+， 1(sin 4cos4)2x x =+，π44x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴π9174π,π444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，若()f αππ42π()42x k k +=+∈Z ，ππ162kα=+，当1k =时， 9π16α=， 故选C ．8．已知(1,1)1f =，(,)(,)f m n m n ∈∈N N **，且对任意m ，n ∈N *都有： ①(,1)(,)2f m n f m n +=+；②(1,1)2(,1)f m f m +=．以下三个结论：①(1,5)9f =；②(5,1)16f =；③(5,6)26f =． 其中正确的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】∵(,1)(,)2f m n f m n +=+，(1,1)1f =，∴{}(,)f m n 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴(1,)21f n n =-． 又∵(1,1)2(,1)f m f m +=，∴{}(,1)f m 是以1为首项2为公比的等比数列， ∴(,1)21f n n =-， ∴(,1)2?12f m n m n +=-+． 由(1,5)2519f =⨯-=，故（1）正确． 由(5,1)2416f ==，故（2）正确． 由(5,6)242626f =+⨯=，故（3）正确． 故答案为3．二、填空题共6小题．9．在等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则前9项之和9S =__________． 【答案】99【解析】在等差数列中，14739a a a ++=， 36927a a a ++=，∴413a =，69a =，∴4622a a +=，又4619a a a a +=+， ∴数列{}n a 的前9项之和199()92a a S +⨯=， 2292⨯=， 99=．10．已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是__________． 【答案】5 【解析】∵1x >， ∴41y x x =+-， 411151x x =+-+=-≥， 当且仅当3x =时，“=”成立，故最小值为5．11．计算：1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+__________．【答案】21nn + 【解析】原式111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 21nn =+．12．在等比数列{}n a 中，12a =-，454a =-，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________． 【答案】13n -【解析】∵14254a a =-⎧⎨=-⎩，∴327q =+，即3q =+， ∴12(3)n n a -=⨯+， ∵1(1)1n n a q S q-=-，2(13)13n --=-，13n =-．13．在ABC △中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，则ABC △的形状为__________． 【答案】等边三角形【解析】∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列， 得lgsin lgsin 2lgsin A C B +=，即2sin sin sin B A B =①， 又三内角A 、B 、C 也成等差数列， ∴60B =︒， 代入①得3sin sin 4A B =②， 设60A α=︒-，60B α=︒+， 代入②得3sin(60)sin(60)4αα︒+︒-=，22313cos sin 444αα⇒-=， 即2cos 1α=， ∴0α=︒， ∴60A B C ===︒， ∴为等边三角形．14．给出下列命题：①若0a b <<，则11a b <；②若0a >，0b >，则2a b ab a b++；③若0a b <<，则22a ab b >>；④lg9lg111⋅<；⑤若a b >，11a b>，则0a >，0b <；⑥正数x ，y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6．其中正确命题的序号是__________． 【答案】②③④⑤【解析】①令2a =-，1b =-，112a =-，11b=-， 11a b>，不符合． ②若0a >，0b >，则2a bab +（当且仅当a b =时，取等号），11ab ab a b =-+⎭，00=>≥，ab a b+，综上，2a b aba b ++． ③若0a b <<，则20a ab >>，20ab b >>， 因此，22a ab b >>，故③正确． ④2lg9lg11lg9lg112+⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，22lg99lg100122⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故④正确． ⑤若a b >，111100b a a b a b ab->⇔->⇔>， ∴0a bab-<，则0ab <， ∴0a >，0b <，⑤正确．⑥正数x ，y 满足111x y +=，则112(2)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，2123y xx y=++++≥ ⑥错，∴②③④⑤正确．三、解答题（共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，共50分）15．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且c =105A =︒，30C =︒．求： （1）b 的值． （2）ABC △的面积． 【答案】（1）2（2【解析】（1）∵105A =︒，30C =︒，∴45B =︒，又C =1sin 2C =， ∴由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 221sin 2C Bb C===．（2）2b =，c =sin sin105A =︒， sin(6045)=︒+︒，sin60cos45cos60sin45=︒︒+︒︒，=∴1sin 2ABC S bc A =△，122=⨯，16．某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的关系可近似地表示成230400010xx y +=-，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．【答案】年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元． 【解析】设每吨的平均成本W （万元/t ），则400030301010y x W x x ==+-=≥， 当且仅当400010x x=，200x =（t ）的每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．17．已知函数ππ()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（a ∈R ，a 为常数）．（1）求函数的最小正周期． （2）求函数的单调递减区间．（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2-，求a 的值．【答案】见解析【解析】（1）ππ()2sin 2cos cos 23sin 2cos 22sin 266f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）单调递减区间为2ππ,π()63k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（3）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π7π266x +=即π2x =时，()f x 取得最小值．所以ππ2sin 2226a ⎛⎫⋅++=- ⎪⎝⎭，所以1a =-．18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n S n =，数列{}n b 为等比数列，且11a b =，2211()b a a b -=． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）设nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）42n a n =-，1124n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）565499n n n T -=+ 【解析】19．已知点(,)()n n a n ∈N *在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项． （1）求数列{}n b 的通项公式．（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()n n l d c n d +∈=N *．求数列{}n d 的前n 项和n D ．（3）在（2）的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）依题意得22n a n =--，故14a =-． 又268n n T S n =+，即34n n T S n =+，所以，当2n ≥时，113()43462n n n n n n b T T S S a n --=-=-+=+=--． 又111134348b T S a ==+=+=-也适合上式， 故62n b n =--．（2）因为83628321n n c b n n n n =++=--++=+， 121n n d n d c d +==+，因此112(1)(*)n n d d n ++=+∈N ．由于113d c ==，所以{}1n d +是首项为114d +=，公比为2的等比数列． 所以111422n n n d -++=⨯=，所以121n n d +=-．所以23124(21)2222421n n n n D n n n ++-=++⋯+-=-=---（）． （3）方法一：111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 则111111111(2)2(2)2(2)(2)221224241n n n n n n n n n n n d d g g g g g a g a d d ----++-++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===+=+++．所以111122114n n n n d d g g a d d --++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=++． 因为已知a 为常数，则数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．方法二：因为121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =， 所以111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 1221222(2)22(2)2(2)22(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤=++=⨯+⎣⎦， 123313322(2)22(2)2(2)32(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤⎣⎦=⨯++=⨯+，1111(1)2(2)2(2)2(2)2n n n n n g g n g an ----==-⨯+=⋅=⋅，所以11122124n n n n d g an a n d -++⎛⎫⎪⋅⎝⎭==+． 所以数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是等差数列．。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2016北京海淀区北京一零一中学高一(上)期中数学
2016北京二十中高一（上）期中数学一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，5，6}，则集合∁U（A∪B）是（）A．{2，4，6} B．{1，3，4} C．{1，2，3，5，6} D．{4}2．（5分）下列函数中，在其定义域上为奇函数的是（）A．B．f（x）=C．f（x）=（x﹣1）3D．f（x）=2x3．（5分）下列函数中与函数y=x﹣1表示的是同一函数的是（）A．y=B．y=x﹣x0C．y=D．y=x+log34．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log20.5，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）直线y=ax+b的图象如图所示，则函数h（x）=（ab）x在R上（）A．为增函数 B．为减函数 C．为常数函数D．单调性不确定6．（5分）设f（x）=，则f[f（2）]=（）A．2 B．3 C．9 D．187．（5分）若a是函数f（x）=3x﹣log x的零点，且f（b）＜0，则（）A．0＜b＜a B．0＜a＜b C．a=b D．a≤b8．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= ．10．（5分）对于实数a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x﹣1）+3的图象恒过定点P，则定点P的坐标是．11．（5分）已知二次函数f（x）满足f（2+x）=f（2﹣x）（x∈R），且该函数的图象与y轴交于点（0，3），在x轴上截得的线段长为2，则该二次函数的解析式为．12．（5分）若函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围是．13．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x ＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）= ．14．（5分）设f（x）是（0，+∞）上的增函数，当n∈N+时，f（n）∈N+，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）= ，f （2）= ．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）计算下列各式的值：（1）8+（0.01）+（）；（2）21g5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2．16．（13分）记函数f（x）=lg（x2﹣1）的定义域为A，g（x）=（其中a＜1）的定义域为B．（1）求A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17．（13分）已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数a的值；（2）利用函数单调性的定义证明函数在区间（0，+∞）上是增函数．18．（13分）设二次函数f（x）=﹣x2+2ax+b，集合A={x|x2+x=0}，集合B={x|f（x）=5}，已知A∩B={0}．（1）求b的值；（2）求此二次函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）是否存在实数a，使f（x）的定义域和值域是[1，a]，若存在，求出a，若不存在，说明理由；（2）若f（x）在x∈[0，1]上有零点，求实数a的取值范围；（3）对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x）|≤4，求实数a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）满足：①∀s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st；②f（3）=6；③∀x＞0，有f （x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）证明；函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）求满足f（2x）+f（2x+1）＜4的x的取值范围．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】∵A={1，3，5}，B={2，5，6}，∴A∪B={1，2，3，4，5，6}又U={1，2，3，4，5，6}，∴C U（A∪B）={4}，故选D2．【解答】对于A，定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数对于B，定义域为{x|x≠1}不对称，从而是非奇非偶函数对于C，f（﹣x）=﹣（x+1）3≠﹣f（x）=﹣（x﹣1）3，故不是奇函数对于D，f（﹣x）=2﹣x≠﹣f（x）=﹣2x，故不是奇函数故选A．3．【解答】选项A：定义域为{x|x≠﹣1}，故不同；选项B：定义域为{x|x≠0}，故不同；选项C：y=|x﹣1|，故不同；选项D：相同；故选D．4．【解答】∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故选A．5．【解答】由图可知x=﹣1时，y=b﹣a=0．∴a=b，当x=0时，y=b，0＜b＜1，∴0＜a，b＜1，根据指数函数的性质，∴h（x）=（ab）x，为减函数．故选B．6．【解答】∵f（x）=，∴f（2）=，f[f（2）]=f（1）=2e1﹣1=2．故选：A．7．【解答】∵y=3x为增函数，y=log x为减函数，故f（x）=3x﹣log x在其定义域（0，+∞）上为增函数，∵a是函数f（x）=3x﹣log x的零点，∴f（a）=0，又∵f（b）＜0，∴0＜b＜a，故选：A．8．【解答】∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【解答】由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），得=2a，a=∴y=f（x）=∴f（9）=3．故答案为：3．10．【解答】由对数的性质y=log a x，恒过（1，0），即log a1=0，∴令x﹣1=1可得x=2，∴f（2）=log a（2﹣1）+3=3，∴函数图象恒过定点（2，3），故答案为：（2，3）．11．【解答】∵f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x）的对称轴为x=2，设f（x）=0的两个零点分别为x1，x2，x1＜x2，则x1+x2=4，又f（x）图象在x轴上截得的线段长为2，∴x2﹣x1=2，解方程组，得x1=1，x2=3，设f（x）=a（x﹣1）（x﹣3），∵f（x）图象与y轴交于点（0，3），∴f（0）=3a=3，∴a=1．∴f（x）=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．故答案为：f（x）=x2﹣4x+3．12．【解答】∵函数f（x）=是R上的增函数，∴，求得2＜a≤4，故答案为：（2，4]．13．【解答】∵f（x+6）=f（x），∴T=6，∵当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，∴f（1）=1，f（2）=2f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1；f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=335×1+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=336故答案为：336．14．【解答】由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．∵当n∈N*时，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，故答案为：2；3．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【解答】（1）8+（0.01）+（）=4+10+3=17（2）21g5+lg8+lg5•lg20+（lg2）2=21g5+2lg2+lg5（1+lg2）+（lg2）2=2+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=316．【解答】（1）∵函数f（x）=lg（x2﹣1），∴x2﹣1＞0，解得x＜﹣1或x＞1；∴f（x）的定义域为A={x|x＜﹣1或x＞1}；（2）∵g（x）=（其中a＜1），∴（x﹣a﹣1）（2a﹣x）≥0，即（x﹣a﹣1）（x﹣2a）≤0，解得2a≤x≤a+1，∴g（x）的定义域为B={x|2a≤x≤a+1}；又B⊆A，当2a≥a+1时，即a≥1，不合题意，舍去；当a＜1时，有a+1＜﹣1或2a＞1，解得a＜﹣2或a＞，所以实数a的取值范围是{a|a＜﹣2或＜a＜1}．17．【解答】（1）∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0，∴f（1）+f（﹣1）=0，即2（1+a）+0=0，∴a=﹣1．（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），使得△x=x2﹣x1＞0，则△y=f（x2）﹣f（x1）=﹣==，∵x2﹣x1＞0，x1x2+1＞0，x1x2＞0，∴△y＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增．18．【解答】（1）∵A={0，﹣1}，A∩B={0}，∴0∈B，∴f（0）=b=5由f（﹣1）≠5，得a≠﹣；（2）由（1）可得f（x）=﹣x2+2ax+5，对称轴为x=a．①a≤﹣2，f（x）在[﹣2，4]上为减函数，∴x=﹣2时，f（x）max=﹣4a+1；①﹣2＜a＜4且a≠﹣，x=a时，f（x）max=a2+5；③a≥4时，f（x）在[﹣2，4]上为增函数，∴x=4时，f（x）max=8a﹣11，综上所述，f（x）max=．19．【解答】（1）函数f（x）=x2﹣2ax+5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，其中a＞1，当x∈[1，a]时，函数为减函数，当x=1时，函数取最大值6﹣2a，当x=a时，函数取最小值5﹣a2，若存在实数a，使f（x）的定义域和值域是[1，a]，则5﹣a2=1，且6﹣2a=a，解得：a=2；（2）①当a∉[0，1]时，若f（x）在x∈[0，1]上有零点，则f（0）f（1）=5（6﹣2a）≤0，解得：a≥3；②当a∈[0，1]时，△=4a2﹣20＜0，f（x）在x∈[0，1]上没有零点，综上所述：a≥3；（3）若对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x）|≤4，只须﹣4≤f（x）max≤4，且﹣4≤f（x）min≤4，①当a∉[1，a+1]，即0＜a＜1时，f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，f（x）min=f（1）=6﹣2a，此时不等式组无解，即此时不存在满足条件的a值；②当a∈[1，a+1]，即a≥1时，f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，或f（x）max=f（1）=6﹣2a，f（x）min=f（a）=5﹣a2，1° 若1≤a≤2，则f（x）max=f（a+1）=6﹣a2，解得：a∈[，2]，2° 若a＞2，则f（x）max=f（1）=6﹣2a，解得：a∈（2，3]，综上所述：a∈[，3]20．【解答】（1）由于∀s，t∈R有f（s+t）=f（s）+f（t）+st，则f （2）=f （1+1）=f （1）+f （1）+1=2f （1）+1，f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）+2=3f （1）+3，由于f （3）=6，则f （1）=1；（2）证明：令0＜m ＜n ，则n ﹣m ＞0，∀x ＞0，有f （x ）＞0，则有f （n ﹣m ）＞0，即有f （n ）=f （n ﹣m+m ）=f （n ﹣m ）+f （m ）+（n ﹣m ）m ＞f （m ），则有函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；（3）解：令2x=a ＞0，则不等式f （2x ）+f （2x+1）＜4即为f （a ）+f （2a ）＜4，即有f （3a ）﹣2a 2＜4，由于当a=1时，f （3）=2+4=6，且f （x ）在（0，+∞）上单调递增，则有3a ＜3，即有a ＜1，则x ＜0，故解集为：（﹣∞，0）．2016北京海淀清华附中实验班高一（上）期中数 学一、选择题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则A B （ ）．A ．{}1,3B ．{}2,4,5C ．{}1,2,3,4,5D ．∅ 2．计算238=-（ ）．A ． 4-B ． 14-C ． 4D ． 143．函数1()93xf x =-的定义域为（ ）． A ．(,2]-∞B ． (,2)-∞C ．(0,2]D ． (0,2) 4．满足条件{}{},,,,,,A a b c a b c d e =的集合A 共有（ ）． A ．6个 B ．7个 C ．8个D ．10个 5．函数1()24x f x x =+的零点在区间（ ）． A ．(3,2)-- B ． (2,1)--C ．(1,0)-D ． (0,1) 6．函数2()21f x x ax =-+，且有 (1)(2)(3)f f f <<，则实数a （ ）． A ．32a < B ． 32a ≤ C ．1a < D ． 1a ≤7．某企业的生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则这两年该企业生产总值的年均增长率为（ ）．A ．2p q +B ． (1)(1)12p q ++-C ． pqD ． (1)(1)1p q ++-8．定义全集U 的子集A 的特征函数1,()0,A x A f x x A∈⎧=⎨∉⎩对于任意的集合A 、B U ⊆，下列说法错误的是（ ）． A ．若A B ⊆，则()()A B f x f x ≤，对于任意的x U ∈成立B ．()()()A B A B f x f x f x =，对于任意的x U ∈成立C ．()()()AUB A B f x f x f x =+，对于任意的x U ∈成立D ．若U A B =ð，则()()1A B f x f x +=，对于任意的x U ∈成立二、填空题（每小题5分，共30分）9．已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤，则[](2)f f -=__________． 【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-．10．已知函数()1f x kx =+，若对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥，则实数k 的取值范围是__________．11．若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集为__________．12．已知函数2()21f x ax ax =++在[3,2]-上的最大值为4，则实数a =__________．13．已知映射:f ++→N N 满足：①(1)2f =，(2)3f =；②对于任意的n +∈N ，()(1)f n f n <+；③对于任意的3n ≥，n +∈N ，存在i ，j +∈N ，1i j n <<≤，使得()()()f n f i f j =+（1）(5)f 的最大值__________．（2）如果()2016f m =，则m 的最大值为__________．14．已知函数()2x f x -=，给出下列命题：①若0x >，则()1f x <；②对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则必有1212()[()()]0x x f x f x --<；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若对于任意的1x ，2x ∈R ，120x x -≠，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中所有正确命题的序号是_____． 三、解答题15．已知全集U =R ，集合{}2|10A x x =->，{}|0B x x a =+>． （Ⅰ）当1a =时，求集合()U A B ð． （Ⅱ）若()U A B =∅ð，求实数a 的取值范围．16．已知集合{}2|0A x x ax x a =--+≤，{}2|680B x x x =-+<． （Ⅰ）当3a =时，求A B ．（Ⅱ）若A B 中存在一个元素为自然数，求实数a 的取值范围．17．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠． （Ⅰ）若5(1)(1)2f f +-=，求(2)(2)f f +-的值． （Ⅱ）若函数()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的差为83，求实数a 的值．18．已知()y f x =的图像可由2y x x =+的图像平移得到，对于任意的实数t ，均有()(4)f t f t =-成立，且存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式．（Ⅱ）函数()y f x =的图像与直线y kx k =+有两个不同的交点11(,)A x y ， 22(,)B x y ，若11x <，23x <，求实数k 的取值范围．19．已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足： （1）(1)3f =．（2）对于任意的u ，v ∈R ，总有()()()1f u v f u f v +=+-． （3）对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->． （Ⅰ）求(0)f 及(1)f -的值．（Ⅱ）求证：函数()1y f x =-为奇函数．（Ⅲ）若2112222f m fm ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求实数m 的取值范围．20．对于给定的正整数n ，{}{}*123(,,,,)|0,1,,n n i S x x x x x i i n =∈∈N L ≤．对于123(,,,...,)n X x x x x =，123(,,,...,)n Y y y y y =，有：（1）当且仅当2222112233()()()()0n n x y x y x y x y -+-+-++-=，称X Y =．（2）定义112233..n n X Y x y x y x y x y ⋅=++++L ．（Ⅰ）当3n =时，(1,1,0)X =，请直接写出所有的3Y S ∈，满足1X Y ⋅=．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅=，求集合A 中元素个数的最大值． （Ⅲ）若非空集合n B S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X Y ⋅≠，求集合B 中元素个数的最大值．数学试题答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1． 【答案】A【解析】解：∵集合{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴{}1,3A B =， 故选：A ． 2． 【答案】D 【解析】解：22323318(2)24---===． 故选：D ． 3． 【答案】【解析】解：要使函数有意义，则x 需满足930x ->，解得：2x <， ∴函数()f x 的定义域是(,2)-∞． 故选：B ． 4． 【答案】C 【解析】解：∵{}{},,,,,,Aa b c a b c d e =，∴d A ∈，e A ∈，a ，b ，c 每一个元素都有属于A ，不属于A 2种可能， ∴集合A 共有328=种可能，故选：C ． 5． 【答案】B【解析】解：∵2111(2)2(2)0442f --=+⨯-=-<，1111(1)20424f --=-=->，∴函数()f x 的零点在区间(2,1)--．故选：B ． 6． 【答案】A【解析】解：∵2()21f x x ax =-+，∴(1)22f a =-，(2)54f a =-，(3)106f a =-， ∵(1)(2)(3)f f f <<， ∴2254106a a a -<-<-， 解得32a <． 故选：A ． 7． 【答案】D【解析】解：设该企业生产总值的年增长率为x ，则2(1)(1q)(1)p x ++=+， 解得：(1)(1)1x p q =++-． 故选：D ． 8． 【答案】C【解析】解：当x A ∈且x B ∈时，()1A B f x =，()1A f x =，()1B f x =， 所以()()()A B A B f x f x f x ≠+U ， 所以C 选项说法错误，故选C ．二、填空题（每小题5分，共30分） 9．【答案】16-【解析】解：[(2)](4)16f f f -==-． 10．【答案】[1,1]-【解析】解：若()1f x kx =+，对于任意的[1,1]x ∈-，均有()0f x ≥， 则(1)10(1)10f k f k -=-+⎧⎨=+⎩≥≥， 解得：11k -≤≤，故：实数k 的取值范围是[1,1]-．11．【答案】(,10)[0,1]-∞-【解析】解：作出()y f x =的图像如图所示：x11故不等式()0f x ≤的解集为：(,10)[0,1]-∞-． 12．【答案】38或3-【解析】解：当0a =时，()1f x =，不成立．当0a >时，2()21f x ax ax =++，开口向上，对称轴1x =-，当2x =时取得最大值，所以(2)4414f a a =++=，解得38a =．当0a <时，2()21f x ax ax =++，开口向下，对称轴1x =-， 当1x =-时，取得最大值，所以(1)214f a a -=-+=，解得3a =-．综上所述：38或3-．13．【答案】（1）13；（2）2013 【解析】解：（1）由题意得：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =或(4)8f =， ∴(5)(3)(4)5813f f f =+=+=最大．【注意有文字】（2）若m 取最大值，则()f n 可能小，所以：(1)2f =，(2)3f =，(3)5f =，(4)7f =，(5)8f =， (6)9f =，(7)10f =3n ≥时()3f n n =+，令32016m +=，2013m =． 故m 的最大值为2013． 14．【答案】见解析 【解析】解：1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， 对于①，当0x >时，1(0,1)2x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故①错误．对于②，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以当12x x <时2()()f x f x >，即：1212()[()()]0x x f x f x --<，故②正确．对于③()f x x 表示图像上的点与原点连线的斜率，由1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像可知，当120x x <<时，1212()()f x f x x x >，即：2112()()x f x x f x >，故③错误． 对于④，由()f x 得图像可知，1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故④正确． 综上所述，正确命题的序号是②④．三、解答题 15．【答案】见解析【解析】解：（1）当1a =时，集合{}{2|10|1A x x x x =->=<-或}1x >，{}{}|10|1B x x x x =+>=>-，{}|11U A x x =-≤≤ð， ∴{}()|11U A B x x =-<≤ð．（2）集合{}|11U A x x =-≤≤ð，{}|B x x a =>-， 若()U A B =∅ð，则1a -<，即：1a >-．故实数a 的取值范围是：(1,)-+∞．16．【答案】见解析【解析】解：（1）当3a =时，集合{}{}2|430|13A x x x x x =-+=≤≤≤，{}{}2|680|24B x x x x x =-+<=<<，∴{}|23A B x x =<≤．（2）集合{}{}2|0|()(1)0A x x ax x a x x a x =--+=--≤≤，{}|24B x x =<<，若A B 中存在一个元素为自然数，则3A ∈． 当1a =时，{}1A =，显然不符合题意．当1a <时，{}|1A x a x =≤≤，3A ∈，不符合题意， 当1a >时，{}|1A x x a =≤≤，若3A ∈，则a ≥3． 综上所述，实数a 的取值范围是[3,)+∞． 17． 【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵()x f x a =，5(1)(1)2f f +-=， ∴15(1)(1)2f f a a +-=+=，解得：2a =或12， 当2a =时，()2x f x =，2217(2)(2)224f f -+-=+=，当12a =时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，221117(2)(2)224f f -⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故17(2)(2)4f f +-=． （Ⅱ）当1a >时，()x f x a =在[1,1]-上单调递增，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a --=，解得：13a =-（舍去）或3a =．当01a <<时，()x f x a =在[1,1]-上单调递减，∴1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a --=--=-=，化简得23830a a +-=．解得：3a =-（舍去）或13a =．综上，实数a 的值为3或13．18．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）2y x x =+的图像关系12x =-对称，()f x 关于2x =对称，∴可设255()622f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2255542x x x b =-++-+ 21544x x b =-++，又存在实数m ，使得2()()g x f x mx =-为奇函数， ∴()f x 不含常数项． 故2()4f x x x =-．（Ⅱ）∵()f x 的图像与y kx k =+有两个不同交点， ∴24x x kx k -=+有两个解， ∴2(4)40k k ∆=++>，解得：625k <--或625k >-+，∵11x <，23x >，(3)3f =-，(1,0)-和(3,3)-连线的斜率为34-，∴34k >-．综上所述，实数k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意u ，v ∈R ，都有()()()1f u v f u f v +=+-， ∴令0u =，1v =，得(1)(0)(1)1f f f =+-， ∴(0)1f =．令1u =，1v =-，则(0)(1)(1)1f f f =+--， ∴(1)1f -=-．（Ⅱ）令u x =，v x =-，则有(0)()()1f f x f x =+--， ∴()()2f x f x +-=，令()()1g x f x =--，则()()1g x f x -=--，∴()()()()20g x g x f x f x +-=+--=，即：()()g x g x =--．故()()1y g x f x ==-为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的u ，v ∈R ，0u v -≠，()[()()]0u v f u f v -->， ∴()f x 为单调增函数，∵2112222f m fm ⎛⎫⎛⎫-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21[(21)1]22f m f m ⎛⎫⇔--+>- ⎪⎝⎭212(21)102f m f m ⎛⎫⇔+---> ⎪⎝⎭21(1)102f m f m ⎛⎫⇔+--> ⎪⎝⎭211202f m m ⎛⎫⇔+-> ⎪⎝⎭．且11(1)1122f f f ⎛⎫⎛⎫-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2111222f m m f ⎛⎫⎛⎫+->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2111222m m +->-， 即：2430m m -+>， 解得1m <或3m >．故实数m 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞U ． 20．【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）{}11,0,0Y =，{}21,0,1Y ，{}30,1,0Y ，{}40,1,1Y ．（Ⅱ）若非空集合n A S ⊆，且满足对于任意的X ，Y A ∈，X Y ≠，均有0X F ⋅=，则A 中任意两个元素相同位置不能同时出现1，满足这样的元素有(0,0,00)，(1,0,0,00)，(0,1,00)，(0,0,10)(0,0,01)共有1n +个．故A 中元素个数的最大值为1n +． （Ⅲ）不妨设{}123,n X x x x x =其中{}30,1x ∈，0n λ<≤，{}121,11n X x x x =---，显然若X S ∈，则0X X ⋅=， ∴X B ∈与X B ∈不可能同时成立， ∵S 中有2n 个元素， 故B 中最多有12n -个元素．2016北京海淀区北京一零一中学高一（上）期中数 学选择1. 已知集合A= {x |x< 1}，则下列关系正确的是（ ）． A. 0 ⊆ A B. {0} ∈ A C. ∅ ∈ A D. {0} ⊆ A2. 三个数a = 0.32，b = 0.30，c = 1.20.3之间的大小关系是（ ）． A. a < c < b B. b < c < a C. b < a < c D. a < b < c3. 下列函数中，在区间(0, +∞)上存在最小值的是（ ）． A. y = (x − 1) 2B. y =xC. y = 2xD. y =x14. 函数f (x) = 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是（ ）． A. (−2, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, 2)5. 集合A= {a, b}，B = {−1, 0, 1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a) + f (b) = 0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是（ ）．A. 2B. 3C. 5D. 86. 函数f (x) = (x − a) (x − b)（其中a> b ）的图象如右图所示，则函数g(x) = a x+ b 的大致图象为（ ）．A. B. C. D.7. 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--=012012)(x x x f xx ，若g(x) = f (x) − a 有两个零点，则a 的取值范围是（ ）． A. (0, +∞) B.(0, 1) C. (0, 1] D. (−1, +∞)8. 设定义在(−∞, +∞)上的偶函数f (x)满足f (x + 1) = − f (x)，且f (x)在[−1, 0]上是增函数，下面四个关于f (x)的命题：①f (x)图像关于x = 1对称；②f (x)在[0, 1]上是增函数；③f (x)在[1, 2]上是减函数；④f (2) = f (0)．正确的命题个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 4 填空9.求值：=++231-211-064.0）（）（）（ 10. 设函数f (x) = 2x + 3，g (x + 2) = f (x)，则g (x)的解析式是 ．11. 已知二次函数y= x 2−2ax +1在区间(2, 3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 12. 已知函数f (2x − 1)的定义域为(1, 2] ，则函数f (2x + 1)的定义域为 ．13. 若函数 f (x)为定义在R 上的奇函数，当x> 0时候，f (x) = 2x− 3，则不等式 f (x) > 1的解集为 ．14. 已知x ∈R ，定义：A (x)表示不小于x 的最小整数，如A (3)=2，A (−1.2) = −1．若A (2x+ 1) =3，则x 的取值范围是 ；若x > 0，且A (2x ⋅ A (x)) = 5，则x 的取值范围是 ．解答 15. 计算 e ln 1log 1001lg772log 7+-+．16. 已知全集U= R ，集合A= {x |(x + 2) (x − 3) ⩽ 0}，B= {x |1 ⩽ x ⩽ 5}，C= {x |5 − a < x < a} ． （1） 求A ，(∁U A) ∩B ．（2） 若C ⊆ (A ∪B) ，求a 的取值范围．17. 已知x ，y ∈R ，有f (x + y) = f (x) + f (y)． （1） 判断f (x)的奇偶性．（2） 若x> 0时，f (x) > 0，证明：f (x)在R 上为增函数．（3） 在条件（Ⅱ）下，若f (1) = 3，解不等式f (x 2− 1) − f (5x + 3) <6．18. 已知函数f (x) = x 2+ (2a − 1) x − 3．（1） 当a=2，x ∈ [−2, 3]时，求函数f (x)的值域．（2） 若函数f (x)在闭区间[−1, 3]上的最小值为−7，求实数a 的值．19. 已知函数f (x) = x 2 − ax + 1，g (x) = 4x − 4 ⋅ 2x−a ，其中a ∈ R ． （1） 当a=0时，求函数g (x)的值域．（2） 若对任意x ∈ [0, 2] ，均有|f (x)| ⩽2，求 a 的取值范围． （3） 当a<0时，设⎩⎨⎧≤=ax x g a x x f x h )())( （，若h (x)的最小值为27-，求实数a 的值．数学试题答案1.D2.D3.A4.B5.B6.A7.B8.B填空9.41510.2x −1 11.(−∞, 2] ∪ [3, +∞) 12.(−∞, 1]13.(−1, 0) ∪ (2, +∞) 14.①( 1 , 1] ②]45,1(解答 15. 2116.（1）{}32≤≤-=x x A ;{}53)(≤=x x B A C U（2）5≤a17.（1）f (x) 是奇函数 （2）证明略 （3）−1 < x < 618.（1）[421-, 15] （2） a 的值为3 或 23-19.（1）[−4, +∞) （2）[23,32] （3）a = −1。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}，则M∪N=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x＜1}，N={x|0＜x≤1}；∴M∪N={x|x≤1}．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中，在（-1，+∞）上为减函数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，y=3x，为指数函数，在R上为增函数，不符合题意；对于B，y=x2-2x+3=（x-1）2+2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；对于C，y=x，为正比例函数，在R上为增函数，不符合题意；对于D，y=-x2-4x+3=-（x+2）2+7，在（-2，+∞）上为减函数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.计算log416+等于（ ）A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出．【详解】log416+=2+3=5．【点睛】本题考查指数与对数运算性质，属于基础题．4.函数＝＋的定义域为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：由题，故选考点：函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5，其对称轴方程为x=2，内层二次函数在[2，+∞）上为减函数，而外层函数y=为减函数，∴函数y=的单调增区是[2，+∞）．故选：D．【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减，是基础题．6.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则满足f（2x-1）＞f（）的x的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f（|2x-1|）＞f（）,由函数的单调性可得|2x-1|＜，解不等式即可得答案．【详解】根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是减函数，则f（2x-1）＞f（）⇒f（|2x-1|）＞f（）⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为；故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．7.若函数f（x）=a|x+1|（a＞0．a≠1）的值域为[1，+∞），则f（-4）与f（0）的关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f（x）的值域可得a＞1，然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0，且f（x）的值域为[1，+∞）；∴a＞1；又f（-4）=a3，f（0）=a；∴f（-4）＞f（0）．故选：A．【点睛】本题考查指数函数的单调性，并且会根据单调性比较函数值的大小．8.对于实数a和b定义运算“*”：a•b=，设f（x）=（2x-1）•（x-2），如果关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则m的取值范是（ ）【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，由题知y=f（x）与y=m恰有3个交点，观察图像即可得到答案．【详解】由已知a•b=得f（x）=（2x-1）•（x-2）= ，其图象如下：因为f（x）=m恰有三个互不相等实根，则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点，所以0＜m＜，故选：C．【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知全集U=R，集合A={x|x2-4x+3＞0}，则∁U A=___．【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x＜1或x＞3}；∴∁U A={x|1≤x≤3}．故答案为：{x|1≤x≤3}．【点睛】本题考查集合的补集的运算，属基础题.10.若0＜a＜1，b＜-1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过第___象限．【答案】一【解析】利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x（0＜a＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜-1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故答案为:一．【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换．11.已知log25=a，log56=b，则用a，b表示1g6=______．【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a，解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=，解得lg5=．log56=b=，∴lg6=blg5=．故答案为：．【点睛】本题考查了对数运算性质，重点考查对数换底公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．12.函数y=（x≤0）的值域是______．【答案】（-∞，2]∪（3，+∞）【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域．【详解】y=∴该函数在（-2，0]，（-∞，-2）上单调递增；∴x∈（-2，0]时，y≤2；x∈（-∞，-2）时，y＞3；∴原函数的值域为（-∞，2]∪（3，+∞）．故答案为：（-∞，2]∪（3，+∞）．【点睛】考查函数值域的概念及求法，分离常数法的运用，反比例函数值域的求法，属基础题．13.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围______．【答案】（2，3]【解析】【分析】根据已知条件（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0得到函数f(x)的单调性，然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，可得f（x）在R上为单调递增，则即解得a的取值范围为：2＜a≤3．故答案为：（2，3]．【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 14.设函数f（x）=a x+b x-c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；②存在x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0．【答案】①②③【解析】【分析】在①中，利用不等式的性质分析即可，在②中，举例a=2，b=3，c=4进行说明,在③中，利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=a x+b x-c x=c x[（）x+（）x-1]＞c x（+-1）=c x•＞0，故①正确；在②中，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，即∃x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．故答案为：①②③．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）15.已知函数f（x）=a x-1（x≥0）．其中a＞0，a≠1．（1）若f（x）的图象经过点（，2），求a的值；（2）求函数y=f（x）（x≥0）的值域．【答案】（1）4 ；（2）见解析.【解析】【分析】(1)将点（，2）代入函数解析式，即可得到a值；（2）按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况，分类讨论，求得f（x）的值域．【详解】（1）∵函数f（x）=a x-1（x≥0）的图象经过点（，2），∴=2，∴a=4．（2）对于函数y=f（x）=a x-1，当a＞1时，单调递增，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≥a-1=，故函数的值域为[，+∞）．对于函数y=f（x）=a x-1，当0＜a＜1时，单调递减，∵x≥0，x-1≥-1，∴f（x）≤a-1=，又f（x）＞0，故函数的值域为．综上:当a＞1时，值域为[，+∞）．当0＜a＜1时，值域为．【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用，主要考查函数的单调性和函数值域问题．16.设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+（a-1）x+a2-5=0}．（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=-3或a=1；（2）{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}.【解析】【分析】（1）根据A∩B={2}，可知B中有元素2，带入求解a即可；（2）根据A∪B=A得B⊆A，然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围．【详解】（1）集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，若A∩B={2}，则x=2是方程x2+（a-1）x+a2-5=0的实数根，可得：a2+2a-3=0，解得a=-3或a=1；（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，当B=∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0无实数根，即（a-1）2-4（a2-5）＜0解得：a＜-3或a＞；当B≠∅时，方程x2+（a-1）x+a2-5=0有实数根，若只有一个实数根，x=1或x=2，则△=（a-1）2-4（a2-5）=0解得：a=-3或a=，∴a=-3．若只有两个实数根，x=1、x=2，△＞0，则-3＜a＜；则（a-1）=-3，可得a=-2，a2-5=2，可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a＞或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并，交集及其运算，考查数学分类讨论思想.17.函数f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判断并用定义证明f（x）在（+∞）的单调性．【答案】（1）a=5，b=0；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程组可得a、b值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明．【详解】（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，则f（-1）=-f（1）=-1，则有，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f（x）=，设＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=，又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，则f（x1）-f（x2）＞0，则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．18.已知二次函数满足，．求函数的解析式；若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围【答案】（1）f（x）=2x2-6x+2；（2）t＞10；（3）m＜-10或m≥-2.【解析】【分析】（1）用待定系数法设二次函数表达式，再代入已知函数方程化简即可得答案；（2）分离参数后求f(x)的最大值即可；（3）先求无零点时m的范围，再求补集．【详解】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+2，（a≠0）∴a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4，∴a=2，b=-6∴f（x）=2x2-6x+2；（2）依题意t＞f（x）=2x2-6x+2在x∈[-1，2]上恒成立，而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1，2]，所以x=-1时，取最大值10，t＞10；（3）∵g（x）=f（x）-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-（6+m）x+2在区间（-1，2）内至少有一个零点，当g（x）在（-1，2）内无零点时，△=（6+m）2-16＜0或或，解得：-10≤m＜-2，因此g（x）在（-1，2）内至少有一个零点时，m＜-10或m≥-2．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题，属于基础题.19.设a为实数，函数f（x）=+a+a．（1）设t=，求t的取值范图；（2）把f（x）表示为t的函数h（t）；（3）设f （x）的最大值为M（a），最小值为m（a），记g（a）=M（a）-m（a）求g（a）的表达式．【答案】（1）[，2]；（2）h（t）=at+，≤t≤2；（3）g（a）=．.【解析】【分析】（1）将t=两边平方，结合二次函数的性质可得t的范围；（2）由（1）可得=，可得h（t）的解析式；（3）求得h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，讨论对称轴与区间[，2]的关系，结合单调性可得h（t）的最值，即可得到所求g（a）的解析式．【详解】（1）t=，可得t2=2+2，由0≤1-x2≤1，可得2≤t2≤4，又t≥0可得≤t≤2，即t的取值范围是[，2]；（2）由（1）可得=，即有h（t）=at+，≤t≤2；（3）由h（t）=（t+a）2-1-a2，对称轴为t=-a，当-a≥2即a≤-2时，h（t）在[，2]递减，可得最大值M（a）=h（）=a；最小值m（a）=h（2）=1+2a，则g（a）=（-2）a-1；当-a≤即a≥-时，h（t）在[，2]递增，可得最大值M（a）=h（2）=1+2a；最小值m（a）=h（）=a，则g（a）=（2-）a+1；当＜-a＜2即-2＜a＜-时，h（t）的最小值为m（a）=h（-a）=-1-a2，若-1-≤a＜-，则h（2）≥h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（2）=1+2a，可得g（a）=2+2a+a2；若-2＜a＜-1-，则h（2）＜h（），可得h（t）的最大值为M（a）=h（）=a，可得g（a）=a+1+a2；综上可得g（a）=．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力，属于中档题．。
北京市101中学2015届高三上学期期中模拟考试数学试题 Word版含答案
北京101中学2014—2015学年度高三第一学期期中模拟试卷数 学 试 题一、填空题（将答案写在答卷纸上相应的位置） 1．计算=︒-)330sin( 。
2．已知=⋂∈==∈==B A R x x y y B R x x y y A 则},,|{},,sin |{2。
3．椭圆124322=+y x 的 离心率为 。
4．若i b i i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a 。
5．右图是某算法的流程图，则执行该算法输出的结果是=S 。
6．函数)12lg()(xa x f ++=为奇函数，则实数=a 。
7．“0<c ”是“实系数一元二次方程02=++c x x 有两异号实根”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或者“既不充分又不必要”） 8．函数],0[,sin cos )(π∈+=x x x x f 的最大值是 。
9．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。
10．在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是 。
11．已知向量a 和b 的夹角是60°，=-⊥==m b ma b b a 则实数且),(,2,1 。
12．函数)2sin 2lg(cos)(22xx x f -=的定义域是 。
13．在ABC ∆中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则 。
14．设函数0)(),()(3=+-=x f b bx x x f 若方程为常数的根都在区间[-2，2]内，且函数)(x f 在区间（0，1）上单调递增，则b 的取值范围是 。
二、解答题（将解答过程写在答卷纸上相应的位置）15．（本小题满发14分）已知.02cos 22sin =-xx （I ）求x tan 的值；（II ）求xx xsin )4cos(22cos +π的值16．（本小题满分14分）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
(全优试卷)版北京市高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
北京市第二中学2016-2017学年第一学期期中试卷高一数学2016年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 一、选择题1．已知集合{1,3,5,7,9}U =，{1,5,7}A =，则U A =ð（ ）． A ． {1,3}B ．{3,9}C ．{3,5,9}D ．{3,7,9}2．已知21(1)()23(1)x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩≤，则[(2)]f f =（ ）．A ．5B ．1-C ．7-D ．23．为了得到函数133xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭的图像，可以把函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像（ ）．A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度4．若对于任意实数x 总有()()f x f x -=，且()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数，则（ ）． A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭5．下列函数为奇函数，且在(),0-∞上单调递减的函数是（ ）．A ．2()f x x = B ．()1f x x -= C ．()12f x x = D ．()3f x x =6．设20.3a =，0.32b =，0.3log 4c =，则（ ）． A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<7．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数()f x A ．(1),-∞ B ．(3,)+∞ C ．(1,2) D ．(2,3) 8．有以下四个命题，（1）奇函数()f x 的图像一定过原点；（2）函数()f x 满足对任意的实数x ，都有(1)(1)0f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点(1,0)对称；（3）643log [log (log 81)]1=；（4）函数23()2(0,1)x f x a a a -=->≠的图像恒过定点3,12A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的个数为（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题9．已知幂函数()y f x =的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()8f =__________．10．函数()f x __________．11．已知函数()31x f x a -=+（0a >，且1a ≠）．恒过定点P ，那么P 点坐标为__________． 12．已知函数()1af x x a x=++-是奇函数，则常数a =__________． 13．定义域为R 的函数()f x 对于任意实数1x ，2x ，满足1212()()()f x x f x f x +=，则()f x 的解析式可以是__________．（写出一个符合条件的函数即可）14．一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y 与时间t （年）．的函数图像（如图）．以下给出了关于该产品生产状况的几点判断：t (年)①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少；③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产．其中正确判断的序号是__________． 三、解答题 15．计算： （1）)2103227161-+-．（2）7log 2222632log 3loglog 778-+-．16．已知函数()f x =的定义域为集合A ，{|}B x x a =< （1）若全集{4}U x x =≤，求U A ð． （2）若A B ⊆，求a 的取值范围．17． 已知函数()f x 是偶函数，且0x ≤时，1()1xf x x+=-． （1）求(5)f 的值．（2）用定义证明()f x 在(,0)-∞上是增函数． （3）当0x >时，求()f x 的解析式． 18．已知函数22()log (4)f x x =- （1）求函数()f x 的定义域． （2）求函数()f x 的最大值．19．设函数()y f x =（x ∈R 且0x ≠），对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求证：(1)(1)0f f =-=． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）已知()y f x =在(0,)+∞上为增函数，解不等式1()02f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．高一数学期中考试答案一、选择题910．2,13⎛⎤⎥⎝⎦11．(3,2) 12．113．指数函数或值为1或0的常函数 14．②④ 三、解答题 15．334；1 16．U A =ð{2x x -≤或3<4}x ≤；3a > 17．（1）2(5)3f =-（2）证明略 （3）0x >时，1()1xf x x-=+ 18．（1）(2,2)-（2）当0x =时，()f x 的最大值是2 19．（1）证略 （2）证略（3x <且0x ≠且12x ≠。
【精编】北京101中学-年下学期高一年级期中考试数学试卷及答案
北京101中学2012－2013学年下学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题单选，共8小题，每小题5分，共40分.1. 在ABC ∆中，4,60,45a A B ==︒=︒，则边b 的值为（ ）A.364B. 222+C. 62D.132+2. 已知等差数列}{n a 的公差为2，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（ ） A. 9 B. 3 C. －3 D. －63. 下列结论正确的是（ ）A. 若bc ac <，则b a < B . 若22a b <，则b a < C. 若0,<>c b a ，则bc ac <D. 若b a <，则b a >4. 若不等式022>-+bx ax 的解集为}21|{<<x x ，则实数b a ,的值为（ ） A. 3,1==b a B. 3,1=-=b a C. 3,1-=-=b aD. 3,1-==b a5. 在ABC ∆中，2,2,cos b ac c a B ==的值为 （ ）A. 14B. 34C. 4D. 3 6. 点)1,(a 在直线042=+-y x 的右下方，则a 的取值范围是（ ） A. ),2(+∞- B. )2,(--∞ C. ),1(+∞ D. )1,(-∞7. 为维护国家主权和领土完整，我海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当我船航行到A 处时测得钓鱼岛在我船北偏东45o方向上，我船沿正东方向继续航行20海里到达B 处后，又测得钓鱼岛在我船北偏东15o方向上，则此时B 处到钓鱼岛的距离为（ ） A. 10海里 B. 20海里海里海里8. 已知1)1,1(=f ，*),(N n m f ∈（m 、*)N n ∈，且对任意m 、*N n ∈都有： ①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+.给出以下三个结论：（1）9)5,1(=f ；（2）16)1,5(=f ；（3）26)6,5(=f . 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项之和9S ＝ .10. 已知1x >，函数41y x x =+-的最小值是 . 11. 111133557+++⨯⨯⨯1(21)(21)n n +=-+ .12.变量,x y 满足约束条件1y xx y x a ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若2z x y =-的最大值为5，则a 的值是 .13. 把形如nM m =*(,)m n N ∈的正整数表示成各项都是整数、公差为2的等差数列的前m 项和，称作“对M 的m 项分划”. 例如，把9表示成293135==++，称作“对9的3项分划”，把64表示成364413151719==+++，称作“对64的4项分划”. 据此，对324的18项分划中最大的数是_________________；若3M m =的m 项分划中第5项是281，则m 的值是_________________.14.给出下列命题：①ba b a 11,0<<<则若；②已知0,0a b >>，则2a b aba b +≥≥+； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④lg9lg111⋅<；⑤11,a b a b>>若，则0,0a b ><；⑥正数,x y 满足111x y+=，则2x y +的最小值为6; 其中正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共50分.15. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，141.5,96,a a =-=求,n q S . 16. （本小题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且105,30c A C ==︒=︒，求：（1）b 的值；（2）ABC ∆的面积.17. （本小题满分8分）已知函数21()(1)(1)2f x a x a x =-+--（1）若54a =，求使()0f x <成立的x 的取值范围；（2）若函数()0f x <对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围.18. （本小题满分8分）某公司计划用不超过50万元的资金投资B A ,两个项目，根据市场调查与项目论证，B A ,项目的最大利润分别为投资额的80%和40%，而最大的亏损额为投资额的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，问投资者对B A ,两个项目的投资各为多少万元，才能使利润最大？最大利润为多少？19. （本小题满分8分）设数列{}n a 的前n 项和为22,n S S n n =，数列{}n b 为等比数列，且11,a b =()2211b a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20. （本小题满分10分）已知点(,)n n a ()n N *∈在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，1n n d d c +=(*)n ∈N . 求数列{}n d 的前n 项和n D ；（3）在（2）的基础上，又设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数12,x x ，恒有12()g x x 1221()()x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列1()21n n d g d +⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由.【试题答案】1. A2. D3. C4. B5. B6. A7. C8. D9. 99 10. 5 11.21nn + 12. 2 13. 35，17 14. ②③④⑤15. 4q =-，3(1(4))10nn S =--- 16. 2=b ，231+=S .17.（1）{|21}x x -<<（2）当1a =时，显然()0f x <成立，当1a <时，由1a <⎧⎨∆<⎩得{|11}a a -<<，综上，{|11}a a -<≤18. 解：设投资者对A 、B 两个项目的投资分别为y x ,万元。
精校解析Word版---北京市一零一中学高一上学期期中考试数学试卷
北京一零一中高一第一学期期中考试数学试题一、选择题1.设全集=R，M={0，1，2，3}，N={-1，0，1}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. {1}B. {-1}C. {0}D. {0，1}【答案】B【解析】由图可知阴影部分中的元素属于，但不属于，故图中阴影部分所表示的集合为，由，，得，故选B.2.下列函数中与具有相同图象的一个函数是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于B，与函数的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于D，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，故选D.点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.3.已知为奇函数，当时，，则在上是（）A. 增函数，最小值为B. 增函数，最大值为C. 减函数，最小值为D. 减函数，最大值为【答案】C【解析】试题分析：,图像为开口向下对称轴为的抛物线,所以时在上单调递减．因为位奇函数图像关于原点对称,所以函数在也单调递减．所以在上,．故C正确．考点：1函数的奇偶性；2二次函数的单调性．4.已知函数，则的值等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将代入函数第二段表达式，得到，再代入第二段表达式后得到，此时代入第一段就可以求得函数值.【详解】依题意，故选D.【点睛】本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以.属于基础题.5.若一次函数f（x）=ax+b有一个零点2，则函数g（x）=bx2-ax的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵一次函数有一个零点2，∴，即；则，令可得和，即函数图象与轴交点的横坐标为0，，故对应的图象可能为C，故选C.6.已知函数y=（），则其单调增区间是（）A. （-，0]B. （-，-1]C. [-1，+）D. [-2，+）【答案】B【解析】函数可以看作是由和两者复合而成，为减函数，的减区间为，根据“同增异减”的法则可得函数的单调增区间为，故选B.点睛：本题主要考查了复合函数的单调性，属于基础题；寻找函数是由哪两个初等函数复合而成是基础，充分理解“同增异减”的意义是关键，同时需注意当和类似于对数函数等相结合时，要保证单调区间一定在定义域内.7.已知函数，则函数的零点个数为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出函数图像，通过观察与图像的交点个数，得到函数的零点个数.【详解】画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，故函数有两个零点.所以选A.【点睛】本小题主要考查分段函数图像的画法，考查函数的零点问题，将函数零点的问题转化为两个函数图像的交点来解决. 8.定义在上的函数满足，，，且当时，，则等于（ ）．A.B.C.D.【答案】B 【解析】 ∵，，令得：，又，∴当时，；令，由得：；同理可求：；；①，再令，由，可求得，∴，解得，令，同理反复利用，可得；；…②，由①②可得：有，∵时，而，所以有，；故，故选B.点睛：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用，，两次赋值后都反复应用，分别得到关系式两个关系式，结合时，从而使问题解决，实际上是两边夹定理的应用，属于难题.二、填空题9.计算：__________．【答案】【解析】原式，故答案为.10.已知集合，，则__________．【答案】【解析】由，得，，则，故答案为.11.已知函数的定义域是，则的定义域是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，∴，解得，即函数的定义域为，故答案为.点睛：本题主要考查了抽象函数的定义域，属于基础题；已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.12.函数的值域为，则实数a的取值范围是______．【答案】.【解析】∵函数的值域为，∴，解得或，则实数a的取值范围是，故答案为.13.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值.【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.14.某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．【答案】①④【解析】试题分析：∵食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，∴，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确，故正确的结论的序号为：①④，故答案为：①④．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题15.已知集合，，且，，求实数，，的值及集合，．【答案】【解析】试题分析：由，所以，，代入方程可得和集合A，再由，可得集合B，运用韦达定理即可得到所求，的值.试题解析：因为，且，所以，解得；又，所以，又，，所以，解得，，所以.16.已知是定义在上的奇函数．（）若，求，的值．（）若是函数的一个零点，求函数在区间上的值域．【答案】（1）1；（2）【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义可得，即可解出的值，将代入解析式即可得到的值；（2）将代入可得的值，化简可得函数，由和的单调性可得函数的单调性，故而可得函数的值域.试题解析：（1）由题意，，所以，所以，因为，所以=3，所以。
2023-2024学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |﹣1＜x ≤1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1}B ．{0，1}C ．{﹣1，0，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．设命题p ：∃x ∈Z ，x 2≥2x +1，则p 的否定为（ ） A ．∀x ∉Z ，x 2＜2x +1 B ．∀x ∈Z ，x 2＜2x +1 C ．∃x ∉Z ，x 2＜2x +1D ．∃x ∈Z ，x 2＜2x +13．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．f （x ）＝3﹣x B ．f （x ）＝x 2﹣3x C ．f （x ）=−1x+1D ．f （x ）＝﹣|x |4．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则一定有（ ） A ．ac＞bdB ．a d＜bcC ．a c＜bdD ．a d＞bc5．定义在R 上的函数f （x ）在（﹣∞，2）上是单调增函数，且f （x +2）＝f （2﹣x ）对任意x ∈R 恒成立，则（ ）A ．f （﹣1）＜f （3）B ．f （﹣1）＝f （3）C ．f （0）＞f （3）D ．f （0）＝f （3）6．若函数f(x)={3−x 2−1≤x ≤2x −32＜x ≤5，则方程f （x ）＝1的解是（ ）A ．√2或2B ．√2或3C ．√2或4D ．±√2或47．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m +2）x +m4=0有两个不相等的实数根x 1，x 2.若1x 1+1x 2=4m ，则m 的值是（ ） A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．不存在8．已知a ＞0，且关于x 的不等式x 2﹣2x +a ＜0的解集为（m ，n ），则1m+4n的最小值为（ ）A ．92B ．4C ．72D ．29．已知a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，不等式a 1x +b 1＜0与不等式a 2x +b 2＜0的解集分别为集合M 和集合N ，那么“a 1a 2=b 1b 2”是“M ＝N ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．既非充分又非必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件10．已知f （x ）＝x 2﹣2kx +3k 2﹣3k +1（k ∈R ）．以下四个命题： ①对任意实数x ，存在k ，使得f （x ）＞0； ②对任意k ，存在实数x ，使得f （x ）＞0； ③对任意实数k ，x ，均有f （x ）＞0成立； ④对任意实数k ，x ，均有f （x ）＜0成立． 其中所有正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市一零一中学新学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京一零一中学高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8 小题）1. 方程- x2-5 x+6=0 的解集为（）.A. 6,1B. 2,3C. 1,6D.2, 3【答案】A【解析】【分析】因式分解法求解一元二次方程．【详解】••• -X2-5X+6=0,••• X2+5X-6=0 ,•••（x+6）（X-1）=0 ,• x=-6 或1 ，方程-X2-5X+6=0的解集为{-6 , 1}.故选：A．【点睛】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题.2. “ x 2”是“ x2 4 ”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】因为x24 x 2或x 2 ，所以，“ x 2 ”能推出“ x24”，“ x2 4 ”不能推出“ x 2 ”，“ x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要条件，故选B.3.下列函数中，在区间（1, +8）上为增函数的是（）A . y 3x 1B. y -xC. y x 2 4x 5Dy x 1 2【答案】 D【解析】【分析】结合一次函数，二次函数及反比例函数的图象及图象变换分别进行判断即可. 【详解】由一次函数的性质可知，y =-3x -1在区间(1，+8)上为减函数，故 A 错误；2由反比例函数的性质可知，y = 在区间(1 , +8)上为减函数，x由二次函数的性质可知， y =x 2-4x +5在(-8, 2)上单调递减，在(2 , +8)上单调递增，故 C错误；由一次函数的性质及图象的变换可知， y =| x -1|+2在(1 , +8)上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题.214.已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且当 x 0时，f (x) X ,贝V f ()1 B.—49D.—4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式和函数的奇偶性确定函数值即可 【详解】由奇函数的性质结合题意可得：2£1£ 11 1 f— f —— — • 2224本题选择A 选项.A. C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，奇函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力•5.设函数f (x) =4x+丄-1 ( x v 0)，贝U f ( x)( ).xA.有最大值3B.有最小值3C.有最小值5D.有最大值5【答案】D【解析】【分析】1直接利用基本不等式求得函数f(x)=4x+丄-1( x v 0)的最值得答案.x1 1 / 1【详解】当x v 0 时，f (x)=4 x+ -1=-[(-4 x)+ ]-1 2 4x 一1 5 .x x W x当且仅当-4x=- 1，即x=- 1时上式取“=”.x 2•••f(x)有最大值为-5 .故选：D.【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最值，是基础题.6.若函数f (x)ax - ( a€ R)在区间(1 , 2)上有零点，贝y a的值可能是()xA. —2B. 0C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】利用零点存在性定理逐个选项代入验证，即可得到答案a【详解】函数f X x - (a R)的图象在1,2上是连续不断的，逐个选项代入验证，x当a= —2时，f 1 =1— 2v0, f 2 =2—仁0 ,.故f x在区间1,2上有零点，同理，其他选项不符合，故选A.【点睛】本题考查了函数的零点与方程的根的应用，属于基础题.,2]【点睛】本题主要靠考查了分段函数的单调性及其应用,出相应的不等式关系式是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数f (x )在(-^, +m )上有意义，且对于任意的 x , y € R 有| f (x ) -f(y ) | v | x -y |并且函数f (x +1)的对称中心是(-1 ,0),若函数g(x ) -f (x ) =x ,则不等式g(2x -x 2) +g (x -2 )v 0的解集是().A. ,1 2,B. 1,2C. , 1(2,)D. 1,2【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知f (x )为奇函数，从而可得g (- x )也为奇函数，然后结合|f (x )-f (y )| v |x -y | ,得7.已知函数f (x)(a 3)x 5,x 1 2a 4是(—8,+^ )上的减函数，贝y a 的取值范围是A. (0 , 3)B. (0 , 3]C. (0 , 2)D. (0【答案】 【解析】 【分析】为R 上的减函数，根据x1和x 1时，f x 均单调递减，且(a 3) 1 52a 1 ，即可求解. 【详解】因为函数f X 为R 上的减函数, 所以当X 1时,f X 递减,即a 3 0，当x 1时，f x 递减，即a 0,且(a 3) 1 5空，解得1综上可知实数a 的取值范围是(0, 2]，故选 D.其中熟练掌握分段的基本性质,,2] g(x) g(y)0，从而可得g(x)单调递增，结合单调性及奇函数的定义可求.x y【详解】由函数f(x+1)的对称中心是(-1 , 0)，可得f(x)的图象关于(0 , 0)对称即f (x)为奇函数，•-f(- x)=-f(x),••• g(x)- f (x)=x,• •• g(x)=f (x)+x,• •• g(- x)= f (- x)- x=-f(x)- x=-g( x),•••对于任意的x, y€ R 有|f (x)- f (y)| < | x-y| , •-1 g(x)- g(y)-( x- y)| < | x-y| ,g x g y x yx y由对任意实数x,y(x y)有g(x) g(y) 0得g(x)单调递增, x y 2••• g(2x-x )+ g(x-2) < 0,2•g(2x-x) < -g(x-2)= g(2- x),2二 X i +2X I +X I X 2=5-5=0 . 故答案为：0.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、 方程的根，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.110.已知方程ax 2 bx 1 0两个根为，3，则不等式ax 2 bx 1 0的解集为 4【答案】 x - x 3 411.命题“？ x > 0, X 2+2X -3 >0” 的否定是【答案】？ X o > 0, X O 2+2X O -3W0 【解析】 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【详解】命题为全称命题，则命题"？ x >0, X 2+2X -3 >0”的否定是为？ X o >0, X O 2+2X O -3W 0,2故答案为：？ X o >0, X 0 +2X 0- 3<0.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.12.已知f (x ), g (x )分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f (x ) - g (x ) =X 3+X 2+2,【解析】 【分根据韦达定理求出a,b ，代入不等式，解-b1 3-3 【详解】由题意得:a 41 1 c-3a4则不等式可化为：4x 2 11x 3 0本题正确结果：x1 x 341【点睛】本题考查一 元二次方程的根与一元二则f (1) +g (1 )的值等于______________ .【答案】2【解析】【分析】3 2 3 2 由已知可得f (- x)=f(x) , g(- x)=- g(x),结合f (x)- g(x)=x +x +2,可得f (- x)+g(- x)=x +x +2,代入x=-1即可求解.【详解】f(x), g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,••• f (- x)=f(x)，g(- x)=- g(x),••• f(x)- g(x)=x3+x2+2,•f (- x)+ g(- x)=x3+x2+2,则f (1)+ g(1)=-1+1+2=2故答案为：2【点睛】本题主要考查了利用奇函数及偶函数定义求解函数值，属于基础试题.13.若函数f (x) =x2-2 x+1在区间［a, a+2］上的最小值为4,则实数a的取值集合为____________________ 【答案】{-3 , 3}【解析】【分析】的值.根据函数解析式求出对称轴和顶点坐标，画出函数图象，即可求出【详解】因为函数f(x)= X2-2X+1=(X-1)2,所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1 , 0).令x2-2 x+1=4 得：x2-2 x-3=0 ,解得：x=-1或3,所以a+2=-1 或a=3,即：a=-3 或3.故答案为：{-3 , 3}【点睛】本题主要考查二次函数的图象，以及利用图象求最值问2x,x a14.已知函数f x x, x a .①若a 0，则函数f x的零点有__________________ 个；②_________________________________________________ 若f x f 1对任意的实数x都成立，则实数a的取值范围是________________________________【解析】 【分析】①把a=0带入，令f （x ）=O ，求解，有几个解就有几个零点; ②分类讨论，令a>0,a=0,a<0分别进行讨论，最后求得当x 0，x=0无解了分类讨论的思想，如何分类，思路清晰是解题的关键，属于较难的题目 求函数零点 方法：【答案】（1）. 2 （2）.1 .. 2,1【详解】 ①当a=0， 2f (x )x x,2x,00当x 0,时，x 22x =°，解得 x=2 或 x=0，②（1）当a1 时，f （ 1 )=1,此时 f (a) 1，不成立,（2 ）当a=1，此时 f （ x ） 的最大值为f （1），所以成立;a 1f (x)x x 2x, x a（3 ）x, x a令 g(x)2 x 2x, x 0x < 2x2 — —x 2x, x 0Q f(x) f(1) 1g(x) 1当x<0时，x 22x 1,x [1 运,0)当x 0 时， x 2 2x 1，恒成立；故a 1 ，综上 1a 1故答案为1 V2,1故有两个零点舍;【点睛】本题考查了函数零点的问题以及恒成立求参数问题,a 的取值范围.本题第二问的求参数主要考查1. 解方程f(x)=O 的根；2. 利用函数零点存在性定理和函数的单调性；3. 利用数形结合，找图像的交点个数 •15.设集合 A ={x ， x -1}， B ={x -5， 1-x ，9}.(1 )若 x =-3，求 A n B ; (2 )若 A n B ={9}，求 A U B. 【答案】(1) {9} (2) x =-3 时，A U B ={-8 , -4 , 4,9} , x =10 时，A U B ={-9 , 5, 9, 100}.【解析】 分析】(1) x =-3时，可求出A ={9 , -4} , B ={-8 , 4, 9}，然后进行交集的运算即可；⑵根据A n B ={9}即可得出x 2=9或x -1=9，再根据集合元素的互异性即可求出x =-3或10 ,从而x =-3时，求出集合A, B,然后求出 A U B; x =10时，求出集合A , B,然后求出A U B即可.16.已知函数f x ax -.x(1 )求定义域，并判断函数 f (x )的奇偶性;(2)若f (1) +f(2) =0,证明函数f (乂)在(0, +7 上的单调性，并求函数 f (x )在区间［1 , 4］上的最值.【答案】(1) x|x 0 ，奇函数 (2)单调递增，证明见详解，最大值-，最小值-1 ;9 , 9} ,• A U B ={-9 , 5 , 9 , 100}.交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了【详解】(1) x =-{-8 , 4, 9},••• A n B ={9}; (2) T A n B ={9},• x 2=9,或 x -1 =3 或 10,x =3时，不满足集由(1)知，x =-3时,-4 , 4, 9},x =10 时，A ={100【点睛】本题考查 计算能力，属于 勺互异性，• x =-3或10, 甘 基2 【解析】【答案】(1)2 m 2 (2)最小值为5，最大值为1(3)1,【分析】(1) 由题意可得，x 丰0,然后检验f (-x )与f (x )的关系即可判断；⑵ 由f (1)+f (2)= a -2+2a -1=0，代入可求a ,然后结合单调性的定义即可判断单调性，再由单调性可求函数f (x )在区间［1，4］上的最大值f (4)，最小值f (1) •即可求解. 【详解】(1)由题意可得，X M 0,故定义域为x|x 0••• f (- x )=2 r:-ax + =- f (x ),X• f (X )奇函数；(2)由 f (1)+ f (2)= a -2+2 a -1=0 ,设 0v X 1V X 2,2 22 贝 y f ( X 1)- f ( X 2)=X 1-X 2 ——一=(X 1-X 2)(1+ --------- ),x 2 x 1XX•' 0 v X 1< X 2,2••• x 仁 X 2< 0, ------- 1 + > 0,X 1X 22•••(X 1-X 2)(1+) <0，即 f (X 1) <f (X 2),XX 2•-f (x )在(0 , +8 )上的单调递增，•函数f (X )在区间［1 , 4］上的最大值为f (4)=-，最小值为f (1)=-1 •2【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及函数单调性的定义在单调性判断中的应用， 属于函数性质的简单应用.17. 一元二次方程 x 2-m )+m +m 1=0有两实根 X 1, X 2.(1 )求m 的取值范围； (2) 求 X 1?X 2 的最值；(3) 如果X 1 X 2 >J5，求m 的取值范围.二 a =1, f (x )=x --,x【解析】 【分析】（1） 一元二次方程有两实根，则判别式0;（2） 利用根与系数的关系求得两根之积，从而化简求最值；⑶ 利用公式（x i x 2）4X I X 2（X i x 2）得到|x i -X 2|的表达式从而解不等式求m__ _22【详解】(1)，••一元二次方程 x -mx^m+m1=0有两实根x i , X 2.2 2•••△ =(- m -4( m +m 1) >0,2从而解得：-2 m -.3(2) •一元二次方程 x 2-mx^n i +rn 仁0有两实根 x i , X 2.15 •由根与系数关系得：x ! x 2 m 2 m i (m -)2 -,242又由(i)得：-2 m 3,i从而解得：i v m<,32又由⑴得： 2 m -,3i ,【点睛】本题考点是一元二次方程根与系数的关系， 考查用根与系数的关系将根的特征转化为不等式组求解参数范围， 本题解法是解决元二次方程根与系数的关系一个基本方法，应好好体会其转化技巧.I8.某住宅小区为了使居民有一个优雅舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABC ［和EFGI 构成的面积为200平方米的十字型地-I 2-■ ■(m -)I , 4 24从而， X i ?X 2最小值为- 最大值为1.4，(3) • 兀二次方程2x -mxnm +m i=0 有两实根X i , X 2. •由根与系数关系得：X-X 2 m, 2 ”x - X 2 m m 1 ,X 2) 4x i x 24 m 2m i >、-,X i 2X 2域.现计划在正方形MNPC上建花坛，造价为4200元/平方米，在四个相同的矩形上（图中E F（1）设总造价为S 元，AD 的边长为x 米，DC 的边长为y 米，试建立S 关于x 的函数关系式; （2 ）计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区. 【答案】（1） S 4000x 2 40000038000, 0 x 10 .2 ； （2） 118000 元x【解析】 【分析】（1）根据由两个相同的矩形 ABC D 和E FG H 构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米得出AM 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；⑵ 利用基本不等式求出（1）中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可.2【详解】（1）由题意，有 AIM 200 x ，由AM>0,有 0v x v 10血;4x则 S =4200x 2+210(200- x 2) +80X 2X•••S 关于x 的函数关系式:S =4000x 2+ 40。
北京海淀区北京一零一中学2016-2017学年高一上学期期
2016~2017学年北京海淀区北京一零一中学高一上学期期中数学试卷选择1. 已知集合A= {x |x< 1}，则下列关系正确的是（ ）．A. 0 ⊆ AB. {0} ∈ AC. ∅ ∈ AD. {0} ⊆ A2. 三个数a = 0.32，b = 0.30，c = 1.20.3之间的大小关系是（ ）．A. a < c < bB. b < c < aC. b < a < cD. a < b < c3. 下列函数中，在区间(0, +∞)上存在最小值的是（ ）．A. y = (x− 1) 2B. y =xC. y = 2xD. y =x 14. 函数f (x) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是（ ）．A. (−2, −1)B. (−1, 0)C. (0, 1)D. (1, 2)5. 集合A= {a, b}，B = {−1, 0, 1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a) + f (b) = 0，那么这样的映射f ：A →B 的个数是（ ）．A. 2B. 3C. 5D. 86. 函数f (x) = (x − a) (x − b)（其中a> b ）的图象如右图所示，则函数g(x) = a x + b 的大致图象为（ ）．B. C. D.7. 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤--=012012)(x x x f x x ，若g(x) = f (x) − a 有两个零点，则a 的取值范围是（ ）．A. (0, +∞)B.(0, 1)C. (0, 1]D. (−1, +∞)8. 设定义在(−∞, +∞)上的偶函数f (x)满足f (x + 1) = − f (x)，且f (x)在[−1, 0]上是增函数，下面四个关于f (x)的命题：①f (x)图像关于x = 1对称；②f (x)在[0, 1]上是增函数；③f (x)在[1, 2]上是减函数；④f (2) = f (0)．正确的命题个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 4填空9.求值：=++2031-211-064.0）（）（）（ 10. 设函数f (x) = 2x + 3，g (x + 2) = f (x)，则g (x)的解析式是 ．11. 已知二次函数y= x 2 −2ax +1在区间(2, 3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是 ．12. 已知函数f (2x − 1)的定义域为(1, 2] ，则函数f (2x + 1)的定义域为 ．13. 若函数f (x)为定义在R 上的奇函数，当x> 0时候，f (x) = 2x − 3，则不等式f (x) > 1的解集为 ．14. 已知x ∈R ，定义：A (x)表示不小于x 的最小整数，如A (3)=2，A (−1.2) = −1．若A (2x+1) =3，则x 的取值范围是；若x > 0，且A (2x ⋅ A (x)) = 5，则x 的取值范围是 ．解答15. 计算 e ln 1log 1001lg 772log 7+-+．16. 已知全集U= R ，集合A= {x |(x + 2) (x − 3) ⩽ 0}，B= {x |1 ⩽ x ⩽ 5}，C= {x |5 − a < x < a} ．（1） 求A ，(∁U A) ∩B ．（2） 若C ⊆ (A ∪B) ，求a 的取值范围．17. 已知x ，y ∈R ，有f (x + y) = f (x) + f (y)．（1） 判断f (x)的奇偶性．（2） 若x> 0时，f (x) > 0，证明：f (x)在R 上为增函数．（3） 在条件（Ⅱ）下，若f (1) = 3，解不等式f (x 2 − 1) − f (5x + 3) <6．18. 已知函数f (x) = x 2 + (2a − 1) x − 3．（1） 当a=2，x ∈ [−2, 3]时，求函数f (x)的值域．（2） 若函数f (x)在闭区间[−1, 3]上的最小值为−7，求实数a 的值．19. 已知函数f (x) = x 2 − ax + 1，g (x) = 4x − 4 ⋅ 2x −a ，其中a ∈ R ．（1） 当a=0时，求函数g (x)的值域．（2） 若对任意x ∈ [0, 2] ，均有|f (x)| ⩽2，求 a 的取值范围．（3） 当a<0时，设⎩⎨⎧≤=a x x g a x x f x h )())( （，若h (x)的最小值为27-，求实数a 的值．。
北京101中学2014-2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷 后有答案
北京101中学2014－2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题：（满分40分，每小题5分）1. 已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则AB =（ ）A.{}|0x x ≤B.{}|24x x ≤≤C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或2. 若1sin 2x =，则x 可能取值为（ ） A.56π B. 76πC. 53πD.3π3. 已知270180<<α，且54)270sin(=+α，则=2tan α（ ） A. 3 B. 2 C. －2 D. －34. 设sin34,tan35,cos55a b c =︒=︒=︒，则（ ）A. c a b >>B. c b a >>C. b c a >>D. a b c >> 5. 函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A. ()1,2 B. ()2,3 C. ()3,4 D. ()e,36. 点E 、F 是等腰直角三角形ABC ∆斜边AB 上的三等分点，则=∠ECF tan （ ）A.2716 B. 32 C. 33 D. 43 7. 函数()()ϕω+=x A x f sin⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的部分图象如图所示，若1x ，2x ,63ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12+f x x =（ ）A. 1B.12 C.2 D.8. 设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[]0,1b ∈，使()()1f b f b -=，则a 的取值范围是（ ）A. [1,]eB. 1[1]e --，0C. [,1]e e +D. [0,1]二、填空题：（满分30分，每小题5分） 9. 函数y =的定义域是 。
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----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2015-2016年北京市101中学高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，3，4，5}D．{1，2，3，5，6}2．（5分）已知平面直角坐标系内的点A（1，1），B（2，4），C（﹣1，3），则=（）A．B． C．8 D．103．（5分）已知，，则tanα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（5分）已知是非零向量且满足，则的夹角是（）A．B．C． D．6．（5分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若，则四边形EFGH是（）A．平行四边形但不是矩形B．正方形C．菱形D．矩形7．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f （a+1）＜f（b+2）8．（5分）已知O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点P满足条件，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心二、填空题：本大题共6小题，共30分9．（5分）若f（x）=x3，则满足f（x）＜1的x的取值范围是．10．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x+4在x∈[﹣1，3]上的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=．11．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n ∈R），则m﹣n的值为．12．（5分）若tanθ=3，则2sin2θ﹣sinθcosθ﹣cos2θ=．13．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．14．（5分）已知点O为三角形ABC内一点，，则=．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．（10分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．16．（10分）求值：．17．（10分）已知=（1，2），=（1，1），且与+λ的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．18．（10分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的值域．19．（10分）设函数（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t都有f（t）+f（1﹣t）=1；（3）求值：．2015-2016年北京市101中学高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分.1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（∁U M）=（）A．{1}B．{3，5}C．{1，3，4，5}D．{1，2，3，5，6}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，∴∁U M={2，3，5，6}．则N∩（∁U M）={1，3，5}∩{2，3，5，6}={3，5}．故选：B．2．（5分）已知平面直角坐标系内的点A（1，1），B（2，4），C（﹣1，3），则=（）A．B． C．8 D．10【解答】解：∵A（1，1），B（2，4），C（﹣1，3），∴=（1，3），=（﹣2，2），∴﹣=（3，1），∴==，故选：B．3．（5分）已知，，则tanα的值是（）A．B．C．D．【解答】解：因为，，又sin2α+cos2α=1，所以sinα=﹣，cosα=，所以tanα==．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由题知ω=2，所以，故选：A．5．（5分）已知是非零向量且满足，则的夹角是（）A．B．C． D．【解答】解：设的夹角是α∵∴∴=∴故选：A．6．（5分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若，则四边形EFGH是（）A．平行四边形但不是矩形B．正方形C．菱形D．矩形【解答】解：连接AC，BD，∵E，F，G，H分别是四边形ABCD的所在边的中点，∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，∴四边形EFGH是平行四边形．∵，∴=0，∴AC⊥BD．∵EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形，故选：D．7．（5分）已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） C．f（a+1）≤f（b+2） D．f （a+1）＜f（b+2）【解答】解：∵y=log a|x﹣b|是偶函数∴log a|x﹣b|=log a|﹣x﹣b|∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|∴x2﹣2bx+b2=x2+2bx+b2整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0由此函数变为y=log a|x|当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，又偶函数y=log a|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1综上得0＜a＜1，b=0∴a+1＜b+2，而函数f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减∴f（a+1）＞f（b+2）故选：B．8．（5分）已知O为平面上的一个定点，A、B、C是该平面上不共线的三个动点，点P满足条件，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【解答】解：∵•=﹣||+||=0∴与垂直，设D为BC的中点，则令=∵点P满足条件，∴=+∴点P在BC的垂直平分线上，即P经过△ABC的外心故选：C．二、填空题：本大题共6小题，共30分9．（5分）若f（x）=x3，则满足f（x）＜1的x的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：∵f（x）=x3，若f（x）＜1，则x3﹣1=（x﹣1）（x2+x+1）＜0，∵x2+x+1＞0恒成立，故x＜1，即满足f（x）＜1的x的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．10．（5分）若函数f（x）=x2﹣3x+4在x∈[﹣1，3]上的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=．【解答】解：∵y=x2﹣3x+4（﹣1≤x≤3），∴y=（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为x=，当x=时y有最小值：，∵﹣1≤x≤3，∴x=﹣1时，y=8是最大值．∴函数的最大值为8，最小值为，∴a+b=，故答案为：．11．（5分）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n ∈R），则m﹣n的值为﹣3．【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）可得，解得m=2，n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．12．（5分）若tanθ=3，则2sin2θ﹣sinθcosθ﹣cos2θ=．【解答】解：∵tanθ=3，∴2sin2θ﹣sinθcosθ﹣cos2θ===．故答案为：．13．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若（λ，μ∈R），则λ+μ=．【解答】解：∵，，∴，∵E为线段AO的中点，∴，∴，2μ=，解得μ=，∴λ+μ=．故答案为：．14．（5分）已知点O为三角形ABC内一点，，则=3．【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；==∴；∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；∴DE=OE，AB=2DE；∴AB=3OE；∴．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．（10分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】（改编自课本19页本章测试13、14两题）解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…2分∴A∩B={x|2≤x＜3}…4分∴C U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}…7分（2）由B∪C=C得B⊆C…9分C={x|2x+a＞0}=根据数轴可得，…12分从而a＞﹣4，故实数a的取值范围是（﹣4，+∞）．…14分．16．（10分）求值：．【解答】解：由诱导公式可得：，，，，，∴原式=．17．（10分）已知=（1，2），=（1，1），且与+λ的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【解答】解：因为=（1，2），=（1，1），且与+λ的夹角为锐角，所以：•（）＞0⇒（1，2）•（1+λ，2+λ）＞0⇒3λ＞﹣5⇒λ＞﹣；当与+λ共线时，λ=m⇒（1+λ，2+λ）=m（1，2）⇒⇒λ=0．即λ=0时，两向量共线，∴λ≠0．故λ＞﹣且λ≠0．故实数λ的取值范围：λ＞﹣且λ≠0．18．（10分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数的值域．【解答】解：（1）由题意可得：f（x）max=A=2，，于是，故f（x）=2sin（2x+φ），由f（x）在处取得最大值2可得：（k ∈Z），又﹣π＜φ＜π，故，因此f（x）的解析式为．（2）由（1）可得：，故====，，令t=cos2x，可知0≤t≤1且，即，从而，因此，函数g（x）的值域为．19．（10分）设函数（1）用定义证明：函数f（x）是R上的增函数；（2）证明：对任意的实数t都有f（t）+f（1﹣t）=1；（3）求值：．【解答】解：（1）证明：在定义域R上任取两个自变量值x1，x2且x1＜x2由x1＜x2可得：从而f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）根据函数单调性的定义可得：函数f（x）在R上为增函数．（2）证明：因为==故对任意的实数t都有f（t）+f（1﹣t）=1（3）由（2）可得：，，…，令则上下等式左右两边分别相加可得：2015×1=2M故可得：因此，附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
北京海淀101中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(含精品解析)
）2=
＜
=1，故④正确；
⑤若 a＞b， ＞ ⇔ ﹣ ＞0⇔ ＞0⇔ ＜0，则 ab＜0，所以 a＞0，b＜0，故⑤正确；
⑥正数 x，y 满足 + =1，则 x+2y=（x+2y）（ + ）=1+2+ + ≥3+2 ，故其最小值为 3+2 ，故⑥错 误．
综上所述，正确命题的序号是：②③④⑤，
故答案为：②③④⑤．
点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档 题．
14. 给出下列命题：①若
，则 ；②若 ， ，则
；③若
，则
；④
；⑤若 ， ，则 ， ；⑥正数 ， 满足
为 ．其中正确命题的序号是__________．
，则
【答案】②③④⑤
【解析】分析：利用不等式的性质与基本不等式对①②③④⑤⑥逐项判断即可．
∴
.
点睛：（I）当已知条件中含有 sn 时，一般会用结论
来求通项，一般有两种类型：
①所给的 sn=f（n），则利用此结论可直接求得 n＞1 时数列{an}的通项，但要注意检验 n=1 是否适合②所给
的 sn 是含有 an 的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于 an 的递推关系，再用求通项的方法进行求
∴数列{an}的前 9 项之和 故答案为 99. 点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前 n 项和公式是解决问题的关键，属于中档题．
10. 已知 ，函数 【答案】5
的最小值是__________．
【解析】分析：由 ，函数
=
-1+1，然后由基本不等式即可求得最小值.
详解：由题可得：
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2015-2016学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0}C．{a=0}D．{0}2．（5分）函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5]B．[2，10] C．[1，9]D．[1，3]3．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=4．（5分）如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1） B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定6．（5分）函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤167．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．28．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f （x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）=．10．（5分）求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=．11．（5分）设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）=．12．（5分）函数f（x）=3x的值域是．13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是．14．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是．（写出所有正确的编号）三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．16．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．17．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．18．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年北京市101中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，共40分．1．（5分）下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（）A．{x|x=0} B．{a|a2=0}C．{a=0}D．{0}【解答】解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C．2．（5分）函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A．[1，5]B．[2，10] C．[1，9]D．[1，3]【解答】解：∵y=f（x）的定义域为[1，5]，∴1≤x≤5，∴1≤2x﹣1≤5，即1≤x≤3，∴y=f（2x﹣1）的定义域是[1，3]．故选：D．3．（5分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．f（x）=，g（x）=xB．f（x）=x，g（x）=C．f（x）=，g（x）=D．（x）=|x+1|，g（x）=【解答】解：A选项两者的定义域相同，但是f（x）=|x|，对应法则不同，B选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0} C选项两个函数的定义域不同，f（x）的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）g（x）的定义域是（2，+∞）D选项根据绝对值的意义，把函数f（x）整理成g（x），两个函数的三个要素都相同，故选：D．4．（5分）如图是函数y=f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由图象可得，当0≤x≤3时，y=f（x）=2x，∴f（2）=4．当3＜x≤9时，由y﹣0=（x﹣9），可得y=f（x）=9﹣x，故f（f（2））=f （4）=9﹣4=5，故选：C．5．（5分）已知函数f（x）=3x+x﹣5，用二分法求方程3x+x﹣5=0在x∈（0，2）内近似解的过程中，取区间中点x0=1，那么下一个有根区间为（）A．（0，1） B．（1，2）C．（1，2）或（0，1）都可以D．不能确定【解答】解：∵f（x）=3x+x﹣5，∴f（1）=3+1﹣5＜0，f（2）=9+2﹣5＞0，∴f（x）零点所在的区间为（1，2）∴方程3x+x﹣5=0有根的区间是（1，2），故选：B．6．（5分）函数f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤32 B．a≥32 C．a≥16 D．a≤16【解答】解：∵f（x）=4x2﹣ax﹣8在区间（4，+∞）上为增函数，∴对称轴x=≤4，解得：a≤32，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选：A．8．（5分）定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f （x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（）A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4【解答】解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．（5分）若f（2x）=3x2+1，则函数f（4）=13．【解答】解：∵f（2x）=3x2+1，∴由2x=4得x=2，即f（4）=f（2×2）=3×22+1=12+1=13，故答案为：13．10．（5分）求值：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣3．【解答】解：2﹣（）+lg+（﹣1）lg1=﹣[（）3]﹣2+（）0=﹣﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）设函数y=f（x+2）是奇函数，且x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（3.5）=﹣1．【解答】解：∵x∈（0，2）时，f（x）=2x，∴f（0.5）=1．∵函数y=f（x+2）是奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∴f（3.5）=﹣f（﹣1.5+2）=﹣f（0.5）=﹣1．故答案为：﹣1．12．（5分）函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．【解答】解：f（x）=3x=，∵x2≥0，∴，则函数f（x）=3x的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．13．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（0，1）．【解答】解：f（x）为偶函数；∴由f（2x﹣1）＜f（1）得，f（|2x﹣1|）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上单调递增；∴|2x﹣1|＜1；解得0＜x＜1；∴x的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中正确的是②③．（写出所有正确的编号）【解答】解：在①中，函数f（x）=x2（x∈R），由f（﹣1）=f（1），但﹣1≠1，得到函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，故①错误；在②中，“x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）”的逆否命题是“若x1，x2∈A 且f（x1）=f（x2）时总有x1=x2”．互为逆否命题的两个命题等价．故②的逆否命题为真，故②正确；在③中，符合唯一的函数值对应唯一的自变量，∴若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，A中至多有一个元素与之对应，故③正确；在④中，在某一区间单调并不一定在定义域内单调，∴f（x）不一定是单函数，故④错误．故答案为：②③．三、解答题：本大题共4小题，共50分．15．（12分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|3≤x＜7}，B={2＜x＜10}在数轴上表示可得：故A∪B={x|2＜x＜10}，C R A={x|x＜3，或x≥7}（C R A）∩B={2＜x＜3，或7≤x ＜10}；（2）依题意可知①当C=∅时，有5﹣a≥a，得；②当C≠∅时，有，解得；综上所述，所求实数a的取值范围为（﹣∞，3]．16．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，已知x≥0时，f（x）=x2﹣2x．（1）画出偶函数f（x）的图象的草图，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）当直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）恰有4个交点时，求k的取值范围．【解答】解：（1）画出f（x）的图象如下图：由图象知，函数f（x）单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）；（2）由图象可知，当﹣1＜k＜0时，直线与函数y=f（x）的图象的交点个数为4；∴k的取值范围为（﹣1，0）．17．（12分）已知g（x）=﹣x2﹣3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，又f（x）+g（x）为奇函数，∴h（x）=﹣h（﹣x），∴（a﹣1）x2﹣bx+c﹣3=﹣（a﹣1）x2﹣bx﹣c+3对x∈R恒成立，∴，解得；（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a﹣1）x2+bx+c﹣3，∵h（x）为奇函数，∴a﹣1=0，c﹣3=0，∴a=1，c=3．（2）f（x）=x2+bx+3，其图象对称轴为，当，即b≥2时，f（x）min=f（﹣1）=4﹣b=1，∴b=3；当，即﹣4≤b＜2时，，解得或（舍）；当，即b＜﹣4时，f（x）min=f（2）=7+2b=1，∴b=﹣3（舍），∴f（x）=x2+3x+3或∴．18．（14分）已知定义在R上的函数是奇函数（1）求a，b的值；（2）判断f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴，解得b=1，（1分）∴，∴∴a•2x+1=a+2x，即a（2x﹣1）=2x﹣1对一切实数x都成立，∴a=1，故a=b=1．（3分）（2）∵a=b=1，∴，f（x）在R上是减函数．（4分）证明：设x1，x2∈R且x1＜x2则=﹣，∵x1＜x2，∴，，，∴f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数，（8分）（3）∵不等式f（t﹣2t2）+f（﹣k）＞0，∴f（t﹣2t2）＞﹣f（﹣k），∴f（t﹣2t2）＞f（k），∵f （x ）是R 上的减函数， ∴t ﹣2t 2＜k （10分） ∴对t ∈R 恒成立， ∴．（12分）。