高考数学复习考点知识与题型专题讲解28---二次函数
高一数学第28课时 二次函数与一元二次方程
第28课时 二次函数与一元二次方程某某省通州高级中学 严东来【教学目标】1．让学生理解一元二次方程的根与二次函数的零点的关系，由此体会可以利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况．2．让学生在利用二次函数的图象讨论一元二次方程的解的情况的过程中．体会数形结合这一重要的数学思想【学习指导】高中数学中，函数与方程的思想是体现得比较多的数学思想方法，在高考中也是屡考不爽，已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，常常需要通过抛物线去考查函数的零点、顶点和函数值的正负等等，这是数形结合这一重要的数学思想的最好体现．本节重点有两个：一是会用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，二是会用二次函数图象讨论二次方程根的分布问题．难点是能否画出符合题意的二次函数的图象．【例题精析】例1． 求证：⑴作出二次函数322-+=x x y 的图象，观察图象分别指出x 取何值时，y=0 ? y<0? y>0?⑵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与一元二次方程ax 2＋bx＋c ＝0（a ＞0）之间有怎样的关系？【分析】通过研究本题，让学生理解用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，并体会借助于图形写出一元二次不等式的解集的方法（因为有很多的问题不可避免的会用到一些解一元二次不等式的知识）并体会由特殊到一般的探究问题的思想方法．【解法】⑴ (略) ⑵① 当△＝b 2－4ac ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个交点（x 1，0）、（x 2，0），（不妨设x 1＜x 2＝对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个不等实根x 1、x 2；② 当△＝b 2－4ac ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且只有一个交点（x 0，0），对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）有两个相等实根x 0；③ 当△＝b 2－4ac ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，对应的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ＞0）没有实根．【评注】这道习题基本上囊括了本节的内容，让学生自己通过探究得出结论比老师直接给出结论更能够体现新课程的理念．例2． 已知函数f (x )＝3x＋log 2x 问：方程f (x )＝0在区间［14，1］内没有实数解？为什么？【分析】运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．本题也为利用二次函数图象讨论二次方程根的情况做一个铺垫．【解法】∵f (41)＝341＋log 214＝43－2＜0， 又f (1)=31＋log 21＝3＞0，∵函数f (x )＝3x ＋log 2x 的图象是连续曲线，∴f(x)在区间［－1,0］内有零点，即f(x)＝0在区间［－1,0］内有实数解．【评注】 判断函数在给定区间是否有解，可以运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．例3．⑴关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值X 围；⑵关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[)4,0内，求m 的取值X 围；⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值X 围；⑷关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值X 围；【分析】按如图所示列出不等式【解法】令f(x)=142)3(22++++m x m x⑴∵ 对应抛物线开口向上，∴方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)<0 , 即 01421)3(212<++•++m m 解得 421-<m ． ⑵ 据题意 得552715370142)3(81601420)142(4)3(442)3(200)4(0)0(2-≤<-⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-<<->++++≥+⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-+=∆<+-<>≥m m m m m m m m m m f f 或． ⑶ 有图知，原命题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<⇔⎩⎨⎧<<8414210)3(0)1(m m f f ∴421-<m ． ⑷ 令g(x)=142)3(22++++m x m mx ，据题意 得⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>0)4(00)4(0g m g m 或 可以解得 01319<<-m ． 【评注】讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1．根据条件画出图象；2．根据图象写出字母参数必须满足的条件；3．解不等式．例4．若4288(2)50x a x a +--+>对任意实数x 均成立，某某数a 的取值X 围．【分析】由于对数形结合这一重要的数学思想的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解展示1：由题意可得：2164(2)48(5)032a a a ∆=--⨯⨯-<⇒<<． 故所某某数a 的取值X 围是1(,3)2． 错解展示2：令2x t =，则原不等式可化为：288(2)50t a t a +--+>， 由2164(2)48(5)032a a a ∆=--⨯⨯-<⇒<<，故所某某数a 的取值X 围是1(,3)2．【解法】令2x t =，由x R ∈得0t ≥．则题设等价于不等式288(2)50t a t a +--+>对一切0t ≥均成立． 亦即：2()88(2)5f t t a t a =+--+在[0,)+∞上恒取正值． 从而有2164(2)48(5)032a a a ∆=--⨯⨯-<⇒<<， 或(0)508(2)028f a a =-+>⎧⎪-⎨-≤⎪⨯⎩⇒25a ≤<． 故所某某数a 的取值X 围是1(,5)2．【评注】 错解1误把原不等式看作是关于x 的一元二次不等式；而错解2虽通过换元将原不等式化为关于t 的一元二次不等式，然而却忽略了新变元t 的变化X 围．【本课练习】1．函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上( )．A 、没有零点B ．有无数个零点C ．有两个零点D ．有一个零点2．方程ln x +2x =6在区间上的根必定属于区间( )A ．(-2,1)B ．5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知f （x ）＝（x －a ）（x －b ）－2（a ＜b ），并且α、β是方程f （x ）＝0的两个根（α＜β），则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ ）A ．α＜a ＜b ＜βB ．a ＜α＜β＜bC ．a ＜α＜b ＜βD ．α＜a ＜β＜b4．不等式（a －2）x 2＋2（a －2）x －4＜0对x ∈R 恒成立，则a 的取值X 围是（ ）A ．（－∞，2）B ．(]2,2-C ．（－2，2）D ．（－∞，2）5．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x |x 2－2ax ＋a ＋2≤0，a ∈R}，若A B ＝A ，求a 的取值X 围．6．已知函数2()(3)1f x kx k x =+-+的图像与x 轴的交点在原点的右侧，试确定实数k 的取值X 围．7．二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ＞b ＞c ），f （1）＝0，()g x ax b =+．（1）求证：两函数f （x ）、g （x ）的图象交于不同两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上射影长的取值X 围．附答案 1．D （点拨：函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点,而函数f (x )=x 2+4x +4在区间[-4,-1]上与横轴的交点的横坐标为-2，故它有有一个零点，且为不变号零点．）2．B （点拨：根据解的存在性定理进行判别．）3．A 本题采用数形结合法，画出函数图象加以解决即可．4．B 5．∵A ＝［1，4］，A B ＝A ，∴B ⊆A ． 若B ＝φ，即x 2－2ax ＋a ＋2＞0恒成立，则△＝4a 2－4（a ＋2）＜0，∴－1＜a ＜2；若B ≠φ， 令f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2，如图知 ．，＋＝－，－＝，＋－＝410187)4(03)1(0)2(442≤≤≥≥≥∆a a f a f a a 解之得2≤a ≤718，综上可知a ∈（－1，718）． 6（1）当0k ≠时，由(0)1f =可知：①当0k <时，()f x 的图像是开口向下的抛物线，它与x 轴的两交点分别在原点两侧；②当0k >时，()f x 的图像是开口向上的抛物线，必须：2(3)40,30,2k k k k ⎧∆=--≥⎪⎨-->⎪⎩解得01k <≤． （2）当0k =时，()31f x x =-+与x 轴的交点为1(,0)3，适合题意． 综上所述，所某某数k 的取值X 围为(,1]-∞．7．（1）∵f （1）＝a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0．由⎩⎨⎧b ax y c bx ax y ＋＝＋＋＝2得ax 2＋（b －a ）x ＋c －b ＝0，△＝（b ＋a ）2－4ac ＞0．所以两函数f （x ）、g （x ）的图象必交于不同的两点；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），射影分别为A 1、B 1，则211A B ＝(x 1－x 2)2＝(a c －2)2－4．∵a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，∴－2＜a c ＜－21．∴A 1B 1∈（23，32）．【教学建议】 结论与方法多多通过合作探究的方式让学生自己得出，并通过自己的练习掌握，切不可将此过程由老师包办代替．。
高考数学解析几何专题讲义第28讲--仿射变换
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) （其中）与过点
A2,0, B 0,1 的直线有只且只有1个公共点 T
，且
椭圆的离心率 e 3 ． 2
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（ Ⅱ ） 设 F1, F2 分 别 为 椭 圆 的 焦 点 ， M 为 线 段 AF2 的 中 点 ， 求 证 ：
ATM AF1T ． 解析： （Ⅰ）如下图
当椭圆的内接四边形的面积 2ab 时， 其对应的圆内接四边形的面积就是 2ab 1 2 ，
ab 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为 2 ，
而这样的内接正方形有无数个，
还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个，
故选 D．
【例
4】（2014 年高考全国新课标
1 卷理第
20
题）已知点 A0, 2 ，椭圆 E ：
解析：
在伸缩变换
:
x
y
x a y b
下，椭圆（如下图）变成圆，
（Ⅰ）由伸缩变换性质知 kAB
a b
k
AB
a b
, kOP
a b
kOP
a 2b
，
又在椭圆中 P 为 AB 的中点，则在单位圆中 P 为 AB 的中点，
则 OP
AB ，故 kABkOP
a2 2b2
1，
即 a2 2b2 ，
又因为直线 x y 3 0 过椭圆的右焦点，
bk． a
性质 3：线段 AB 中点 E 变成线段 AB 中点 E ．
性质 4：直线与曲线的位置关系保持不变．
性质 5：直线 AB 上线段成比例，则变成直线 AB 上对应的线段仍成比例．
性质
6：
S
高中数学题型考点全面总结
高中数学考点和题型全面总结（马修新老师总结）模块序列考点和题型难度备注函数与导数1函数概念的1个要点和3个要素及两类题型（同一函数、图像判断）2求函数解析式的换元法、构造方程组法、待定系数法（易错点是关键）3定义域的两个考点（具象函数定义域与抽象函数定义域）4二次函数12条性质55个重要辅助函数（对勾、类对勾、等幂分式型、一次二次互比型、min与max）6单调性基础（基本要点与变形式、线性性质及常用条件）7重点函数的单调性考点（复合、分段、抽象均为两条要点须谨记）8奇偶性基础（10条基本要点、线性性质、加绝对值后的性质）96个暗示奇偶性的重要函数10奇函数+C模型题型11周期性定义和4个基本推论12f(x+a)+f(x)=C型函数求周期13对称性基础（轴对称基本规律和原点基本对称规律、反函数对称规律）14对称性重点结论（点对称基本公式、轴对称基本公式）15三类含绝对值函数的对称性规律16奇偶性、对称性、周期性结合的两条基本结论及综合题17求半段解析式（常结合奇偶性、周期性，注意[求谁设谁想方设法]的含义）18函数图像做法及其变换（含带绝对值的形式）19给函数解析式判断图像的三步骤法20取整函数三个类型及其标准图像21比较大小问题（指数、对数、幂函数）22零点定理（存在定理与唯一定理）及其考法23变换主元法24指数函数性质（定义域、值域、定点、底大图高、计算公式）25对数函数性质（定义域、值域、定点、底大图高、计算公式）26极为重要的切线不等式（会证明与作图）27指数对函数运算类型（单纯运算和近几年重点细致运算）28幂函数基本性质（定点和五个常考幂函数图形）29幂函数图像变化形态与u的关系30零点问题（数形结合类）31零点问题（横纵坐标累加、乘积类）32零点问题（嵌套函数类）33三次函数的性质总结（图像性质与参数关系、大韦达定理）34三次函数的性质总结（零点个数与极值关系、切线条数定理）35最基本的求导运算36基本切线问题分类37切线条数问题38公切线问题39导数源问题：单调、不单调、单调增、单调减40导数源问题：恒成立、存在性（能成立）、恰成立41导数源问题：讨论函数单调区间（三层次法、因式分解法）42构造函数第一类：f（x）与f`（x）并存型模块序列考点和题型难度备注函数与导数43导数图像问题鉴别判断类型44二次求导法使用条件及举例45九个必考的超越单极值函数及其图像（指对型）46选择题中的神奇特征数字（极端好方法）47选择填空题中的神奇赋值具象法（极端好方法）48多自变量问题两个处理策略（转化最值问题、构造函数、）49指对分离思想的应用及条件50超重磅问题：隐零点问题处理策略51极值点偏移问题解决思路52洛必达法则用于提前锁定正确结果53神奇的端点效应54构造函数第二类：单一自变量f(x)>g(x)型55构造函数第三类：双自变量根据结构形式构造统一函数56构造函数第四类：构造原始型差函数（用于解决极值点偏移问题）57ALG不等式的应用58导数中的基本放缩工具与放缩思想59拉格朗日法锁定正确结果6061三角函数与解三角形1弧度定义、弧长、扇形以及相关计算类型（2rad结论）2终边坐标定角公式、象限角符号、轴线角总结、象限角分线结论3诱导公式及其计算4齐次式处理策略5警惕|Asin(wx+e)+b|的最值（须考察是否需要讨论A和b）6图像性质（周期、定义域、值域、单调、奇偶、对称轴、对称中心、作图）7图像变换：两类、四个方向变换，注意易错点和要点8快速化“一角一函数”标准型9三角函数角的配凑（配凑很简单，精确是关键）10三角函数求w取值范围是很多题的难点所在11注意解三角形中角分线定理的使用12看图写解析式问题（正弦余弦的方法、正切的方法）13三角函数两类最值求法（注意三角换元的范围问题）14解三角形7个核心公式（正弦、余弦、面积、射影、三角形与诱导、边角、降幂）15会推导两个重点公式（cos与辅助角公式）16警惕三角形的范围问题（锐角、钝角、非最大、非最小等等表述）17三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（求三角函数式值域）18三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（求面积或其最值）19三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（纯三角形角边计算类）20三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（三角形角边取值范围类）21三角函数与解三角形综合大题的5类考法之（实际应用问题）模块序列考点和题型难度备注平面向量1易错点：夹角考点（涉及到求参数取值范围的小题注意细节）2几个向量的特征及易错点（相等向量、零向量、共线向量、相反向量、单位向量）3向量垂直的四种表达（数量积、坐标、矩形法、单位向量法）4向量不等式（加减不等式、数量积不等式、柯西不等式的向量表达）5按照向量平移函数、平移点、平移向量的含义6平面向量最频繁考点：向量拆分（特别是动点拆分问题的三点共线策略）7三角形四心与平面向量表示（特别谨记重心的表达）8极化恒等式9等和线定理10基于坐标运算的求最值类型（坐标法和数形结合法均可用）11向量坐标化处理较难类型题（坐标化包括建系法和特值点法）12向量问题的绝杀技（多个向量时，可先预设前几个）1314直线与圆1基本方程：斜率3种、直线7种（注意其中易错点）、圆4种2斜率与倾斜角的变化趋势图（注意竖直斜率分段写、水平倾角分段写）3距离公式（4个）4倾斜角求范围问题（关键易错点）5与圆有关的最值问题（类似于线性规划，分三种类型）6直线间位置关系（包括垂直、平行基本设法）7直线与圆位置关系判定3个方法8通用切线结论公式9弦长问题（含弦长公式）10残缺圆问题（尤其注意方法的选择）11圆上点到直线距离为定值的个数问题12五类对称13中点弦结合轨迹问题14圆与圆的位置关系要点15涉及到双圆的轨迹问题16巧用阿波罗尼斯圆1718数列1等差数列性质（10条）2等比数列性质（9条）3通项公式求法（10个）4求和三个方法（错位相减有公式、裂项相消是重点且难点，倒序相加有模型）5简单的放缩形式6数列奇偶项问题7涉及到复杂数列单调性的问题8数列是最能用特殊方法解决的一章（类型诸多，几乎无难题）9斐波那契数列10模块序列考点和题型难度备注圆锥曲线1最根本考点：第一定义（特别谨记定义的易错点）2定义法解决重要考点类型3焦点三角形性质（椭圆、双曲线）4椭圆全部涉及考点的性质（16条）5双曲线全部涉及考点的性质（16条）6抛物线全部涉及考点的性质7线段距离最值问题8抛物线与阿基米德三角形结论9双曲线离心率公式7个10椭圆的离心率公式5个11参数坐标法（椭圆、双曲线）12最重点问题之面积及面积最值问题13常见处理策略（一）：涉及到平面向量、外角分线、倾角互补角分线14常见处理策略（二）：涉及到钝锐直角、对称点、斜率、四边形等处理策略15垂径定理及点差法16轨迹三个方法（定义法、相关点法、参数法）及注意完备性17完美公式（联合椭圆与双曲线）18蒙日圆锁定正确结果19定点问题（手电筒模型）20定点问题（切点弦模型）21定点问题（相交弦模型）22定点问题（动圆模型）23定值问题（统一模型）24定线问题（本质是轨迹问题）25存在性问题（点的存在性）26存在性问题（数的存在性）27存在性问题（线的存在性）28范围问题29最值问题3031计数原理1涉及排列组合的计算（勿遗漏组合数两性质）2排列与组合的区别与联系3计数原理方法（一）：捆绑法、插空法、隔板法、缩倍法、集合法、单排法4计数原理方法（二）：错排公式法、求幂法、排除法、涂色问题5排列组合分情况讨论的问题类型6二项式定理基本（展开式、通项公式、二项式系数及和、项的系数及和、对称性）7二项式的常数项、有理项8二项式定理的暴力公式与（a+b+c）型、（a+b）（c+d）型9整除问题的处理策略10二项式定理的配凑法11二项式定理用于证明不等式（简单放缩应用）模块序列考点和题型难度备注不等式与选修不等式1分式不等式及高次不等式解法（寄穿偶回规律要懂其含义）2只需加不许减原则求范围3整体型不等式范围问题4双绝对值和不等式的解法（选修）5含参一元二次不等式的解决方法（三层次法和因式分解法）6均值不等式（基本不等式）基础性质总结及替换工具7均值不等式“1的代换”8均值不等式“和+积为定值及变形”9均值不等式“配凑型”10均值不等式“三元变量型”11一次二次互比型重点12柯西不等式求最值的核心思路（选修）13线性规划形式五大类型（标准型、平方型、分式型、含参型、绝对值型）1415空间向量与立体几何1重要考点的立体图形的结构特征2位置关系（线线、线面、面面，特别注意线面）3正四面体与正方体的基本关系4球面距离概念及求法5通过平移法求空间线线角、线面角与二面角6立体几何中的轨迹问题7三视图（三色法、割补法）8外接球（长方体、正方体、正四面体）9外接球（直棱柱、“直棱锥”、正棱锥、对角线相等的四面体）10外接球（普通图形的球心位置确定法）11外接球（暴力法）12内切球（独一公式）13四大证明（判定定理及性质定理的要点和易错点）14空间向量三大定理15法向量的三种特殊无须计算法（另两类准确计算法）16空间三大角的基本问题（定义、角度范围、计算公式、易错点）17三余弦定理的巧妙应用18空间向量综合题的特殊点问题19体积求法（公式法、等体积法、割补法）20空间距离求法（体积法和公式法）统计1抽样方法区分（简单随机抽样、分层抽样、系统抽样[已不重要]）2最小二乘法求线性回归方程及其变形考法（线性回归方程的特点）3K方分布及其检验4通过频率分布直方图求均值、众数、中位数、方差等5相关系数、相关指数的基本概念模块序列考点和题型难度备注概率1古典概型计算类型（复杂情况须用排列组合计算）2随机数表的读法3一维几何概型4二维几何概型5三维几何概型6条件概率的各考法类型7独立事件概率计算8综合题之超几何分布9综合题之二项分布10综合题之卡方分布型11综合题之正态分布型12综合题之回归方程相关型13综合题之离散型设计类最优解问题14综合题之纯排列组合型1516坐标系与参数方程请注意：本部分内容部分省份及新课标已不再列入考试范围1极坐标及常见极坐标曲线2参数方程公式及重点考点（推导过程也必须要理解）3方程之间的相互转化4综合问题t的应用（必须要深刻理解t的真正涵义）5参数坐标与距离问题6极坐标法与轨迹7极坐标法与长度、面积高中数学必备资料清单列表序列资料名称出处价格1教材（课本）学校发2错题本/错题集自己3自己高中以来，尤其是高三以来做过的所有题/卷自己4历年高考真题[2007年以来的]市面购买或在我处购买5《精细红宝书》专项细分我处购买6《历年易错题汇编》我处购买7《教材习题精选430》我处购买89模拟卷（只做老师或学校发的）；切勿购买那种打着各种押题噱头的高价试卷学校发。
中考数学复习考点知识讲解与练习28 运用二次函数解决实际问题
中考数学复习考点知识讲解与练习专题28 运用二次函数解决实际问题（基础篇）数学来自于生活，存在于生活，应用于生活，因此用数学知识解决生活中的实际问题是我们学习数学的一个重要的目的，而用二次函数解决生活中的利润问题、距离问题、面积问题、拱桥问题等等，这就要求我们用二次函数的性质去解决生活中的这些生活中的问题，其中，最主要是建模，构建平面直角坐标系，运用二次函数解决实际问题看似简单，其实学生在解题过程中丢分相当严重，主要是建模和运算上。
本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题分为基础篇和提高篇，学生经过巩固练习后，将近一步拓展学生对数学的理解，尤其是了解数学来源于生活，又用于解决生活中的实际问题，具有十分重要的意义。
一、单选题1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度()h m 与水流时间()t s 之间的解析式为2305h t t =-，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（）A ．8sB ．6sC ．4sD ．2s2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米3．烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h ＝﹣2t 2+20t +1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．10s4．如图①，在等边三角形ABC 中，点P 为边BC 上的任意一点，且60,APD PD ∠=︒交AC 于点D ，设线段PB 的长度为x CD ,的长度为,y 若y 与x 的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC 的面积为()A ．4B ．C ．D ．5．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式21424y n n =-+-，则企业停产的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月6．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC ＋BD ＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是（）．A．12 B．18 C．20 D．247．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒12个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（）A．B．C．D．8．如图，点M为平行四边形ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与平行四边形ABCD的另一边交于点N．当点M从A B→匀速运动时，设点M的运动时间为t，AMN∆的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y150=-(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为()m．A．12 B．25 C．13 D．1410．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣16x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是()A．2m B．4m C．D．11．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A ．33°B ．36°C ．42°D ．49°12．如图，抛物线2y x x =+交x 轴的负半轴于点A ，点B 是y 轴的正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ʹ恰好落在抛物线上．过点A ʹ作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，则点A ʹ的纵坐标为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．313．如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ,Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1/cm 秒，设P 、Q 同时出发t 秒时，BPQ ∆的面积为2ycm .已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）图（1）图（2）A ．:3:4AB AD =B ．当BPQ ∆是等边三角形时，5t =秒C ．当ABE QBP ∆∆时，7t =秒D ．当BPQ ∆的面积为24cm 时，t 或秒47514．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，关于代数式300（1+x ）2下列说法正确的是（ ）A ．2007年已有的绿化面积B ．2008年增加的绿化面积C ．2008年已有的绿化面积D ．2007、2008年共增加的绿化面积15．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t ﹣32t 2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是（ ）s ． A ．10 B ．20 C ．30 D ．10或3016．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从A 出发，沿AD 边以1cm /s 的速度运动，动点Q 从B 出发，沿BC ，CD 边以2cm /s 的速度运动，点P ，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x （秒），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数图象大致是（） 本号资料皆来源于微信公@众号：数学第六感A ．B ．C ．D ．17．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系大致满足二次函数21251233y x x =-++，则小明此次成绩为（）A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米18．某飞行器着陆时减速后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式为2520s t t =-+，则减速后至停止时，滑行的距离为（）A ．10mB ．20mC ．30mD ．40m二、填空题19．如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．甲在O 点正上方的A 处发出一球，以点O 为原点建立平面直角坐标系，羽毛球飞行的高度()m y 与水平距离()m x 之间满足函数解析式()2121455y x =--+，球网BC 离点O 的水平距离为5米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上(),0N n 处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则n 的取值范围是_______．20．为了庆祝2022年元旦，九年级(1)班举办了明信片设计活动，小明挑选了他最喜欢的一个图片制作了一张如图所示的矩形明信片，已知该明信片的宽为cm x ，长为40cm ，左侧图片的长比宽多4cm ，若1416x ≤≤，则右侧留言部分的面积最大为_________2cm ．21．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是______米．22．一个小球被抛出后，如果距离地面高度h （米）和运行时间t （秒）的函数解析式为25101h t t =-++，那么小球达到最高点时距离地面高度是______米．23．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是_____m.24．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．25．图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度增加___米（结果保留根号）．26．如图，用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是___________2m．(中间横框所占的面积忽略不计)27．为改善环境，某小区拆除了自建房，改建绿地，如图，自建房是占地边长为20m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，其中点E在AB上，点G在AD的延长线上，且2，当BE的长为________________m时，绿地AEFG的面积最大.# 本号资料DG BE皆来源于微信#公众号：数学第六感28．我市2017年平均房价为6500元/m2.若2022年和2022年房价平均增长率为x，则预计2022年的平均房价y（元/m2）与x之间的函数关系式为_______________. 29．用一根长为20cm的铁丝围成一个矩形，那么这个矩形的面积可能是_____2cm.(写出1个可能的值即可）.30．如图,某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图示为它在坐标系中的示意图，则它对应的解析式为：_________________．31．用一根长为20cm 的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm ，面积为ycm 2，则y 与x 之间的关系式为_____．32．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m ），设AB 的长为xm ，所围的花圃面积为ym 2，则y 的最大值是__________．33．飞机着陆后滑行的距离y （m ）与滑行时间x （s ）的函数关系式为y=﹣32x 2+60x ，则飞机着陆后滑行_____m 才停下来．34．军事演习近平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度()y m 与飞行时间()x s 的关系满足21y x 10x 5=-+．经过________秒时间，炮弹落到地上爆炸了． 35．已知直角三角形的两直角边之和为2，则斜边长可能达到的最小值是__________.36．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．37．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为______．38．如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB 和一节篱笆BF 构成，另三边由篱笆ADEF 围成，篱笆总长40米，墙AB 长16米，若BF =x 米，花园面积是S 平方米，则S 关于x 的函数关系式是：____．三、解答题39．某单位为响应市“创建全国文明城市”的号召，不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边m AB x ，面积为2m y （如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）若矩形空地的面积为2160m ，求x 的值；（3）当矩形ABCD 空地的面积最大时，利用的墙长是多少m ；并求此时的最大面积．40．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，1BE=，F为BC的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点=，矩形PMDN F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM x的面积为S．（1）DM=__________（用含x的式子表示），x的取值范围是__________；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．41．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？42．某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，最大高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1) 若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物的高度为多少，请计算说明理由.(2)为了增加喷水池的观赏性，游乐园新增加了一批向上直线型喷射的喷水头，这些喷水头以水池为圆心，分别以1.5米，3米，4.5米，6米，7.5米为半径呈圆形放置，为了保证喷水时互不干扰，防止水花四溅，且所有直线喷水头射程高度均为一致，则直线型喷水头最高喷射高度为多少米？（假设所有喷水头高度忽略不计）.。
中考复习函数专题28 二次函数中的三角形问题(学生版)
专题28 二次函数中的三角形问题知识对接考点一、二次函数中的三角形问题考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
考点二、解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
要点补充：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
要点补充：一、单选题1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s与t的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭一组抛物线的顶点()111B y ，，()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若()101x d d =<<，当d 为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线A ．512或712B ．512或1112C ．712或1112D ．7123．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是A ．16B ．15C ．14D ．134．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，A，B，C的横坐标x A，x B，x C满足x A＜x C＜x B，那么符合上述条件的抛物线条数是（）A．7B．8C．14D．165．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图△）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图△），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（）A．1B．1.5C．2D．0.8或1.26．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．7．如图，正三角形ABC和正三角形ECD的边BC，CD在同一条直线上，将ABC向右平移，直到点B 与点D 重合为止，设点B 平移的距离为x ，=2BC ，4CD =．两个三角形重合部分的面积为Y ，现有一个正方形FGHI 的面积为S ，已知sin 60Y S=︒，则S 关于x 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．以下说法正确的是（ ）A ．三角形的外心到三角形三边的距离相等B ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形C ．分式方程11222x x x -=---的解为x ＝2 D ．将抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y ＝2x 2－39．二次函数2(1)22y m x mx m =+-+-的图象与x 轴有两个交点()1,0x 和()2,0x ，下列说法：△该函数图象过点(1,1)-；△当0m =时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是△若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为21m -<<-；△当0m >，且21x --时，y 的最大值为(92)m +．正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△ 10．以下四个命题：△如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；△在实数-7.54-π，)2中，有4个有理数，2个无理数；△的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43； △二次函数221y ax ax =-+，自变量的两个值x 1，x 2对应的函数值分别为y 1，y 2，若|x 1-1|>|x 2-1|，则a (y 1-y 2)>0．其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：△当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；△当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；△当m ＜0时，函数在14x >时，y 随x 的增大而减小；△当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m =，正确的结论是________．（填写序号）12．如图，在第一象限内作与x 轴的夹角为30°的射线OC ，在射线OC 上取点A ，过点A作AH △x 轴于点H ，在抛物线y ＝x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 有____个．13．如图，直线l ：1134y x =+经过点M(0，14)，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)…B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1(x 1，0)，A 2(x 2，0)，A 3(x 3，0)…，A n+1(x n+1，0)（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．14．如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．。
高考总复习数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第三节 二次函数与一元二次方程、不等式
2.研究不等式ax2+bx+c>0(<0,≥0,≤0)的恒成立问题时,注意对a=0这一情
形的讨论.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )
()
()() ≥ 0,
()
(2)
≥0⇔
()
() ≠ 0;
()
()
()-()
(3)
>m(m≠0)⇔
-m>0⇔
>0⇔[f(x)-mg(x)]g(x)>0;
()
()
()
()
()
()-()
[()-()]() ≥ 0,
(4)
的实数根
x1,x2(x1<x2)
ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x ,或x>x }
1
2
的解集
ax2+bx+c<0(a>0)
的解集
{x|x1<x<x2}
Δ=0
Δ<0
有两个相等的实数
根x1=x2= ≠
⌀
b
2a
−
2
没有实数根
R
⌀
微点拨1.简单分式不等式的解法
()
(1)
>0⇔f(x)g(x)>0;
考点一
一元二次不等式的解法(多考向探究)
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解29---离散型随机变量及分布列(解析版)
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解离散型随机变量及分布列考点一随机变量及离散型随机变量【例1】（1）（2020·河北沧州市一中高二月考）下列变量中，不是随机变量的是（）A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两颗骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数（2）．（2020·全国高一课时练习）下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A．掷5次硬币正面向上的次数MB．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y C．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TD．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量.故选：B（2）在A中，掷5次硬币，正面向上的次数M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故M是离散型随机变量在B中，从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y可能取的值，可以按一定次序一一列出，故Y是离散型随机变量在C中，某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T可以取某一区间内的一切值，无法一一列出，故T不是离散型随机变量在D中，将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X可能取的值，可以按一定次序一一列出，故X是离散型随机变量故选：C【举一反三】1．（2021·南昌县莲塘）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是 ()A．出现7点的次数B．出现偶数点的次数C．出现2点的次数D．出现的点数大于2小于6的次数【答案】A【解析】抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件∴出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A2．（2020·河北沧州市一中高二月考）抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ,则“ξ>4”表示试验的结果为 ( )A ．第一枚为5点,第二枚为1点B ．第一枚大于4点,第二枚也大于4点C ．第一枚为6点,第二枚为1点D ．第一枚为4点,第二枚为1点 【答案】C【解析】由于ξ表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为615-=，而4ξ>只有一种情况，也即5ξ=，此时第一枚为6点,第二枚为1点，故选C.3．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{}3ξ=表示（ ）A ．甲赢三局B ．甲赢一局C ．甲、乙平局三次D ．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【解析】甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，ξ=有两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选：D.故34．（2020·湖北武汉市·高二期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球C．取到白球的个数D．取到的球的个数【答案】C【解析】根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2,3，故选C.5（2020·全国高二）下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．①某宾馆每天入住的旅客数量是X；②某水文站观测到一天中珠江的水位X；③西部影视城一日接待游客的数量X；④阅海大桥一天经过的车辆数是X.【答案】②【解析】①③④中的随机变量X 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故答案为：②考点二 分布列【例2-1】（2020·吉林油田第十一中学）若随机变量X 的分布列如下所示且E (X )＝0.8，则a 、b 的值分别是（ ） A ．0.4，0.1 B ．0.1，0.4 C ．0.3，0.2 D ．0.2，0.3【答案】B【解析】由随机变量X 的分布列得：0.20.31a b +++=，所以0.5a b +=， 又因为()10.20120.30.8E X a b =-⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.4b =，所以0.1a =，故选：B【例2-2】．（2020·全国高二课时练习）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 的分布列.【答案】（1）公司获得的平均利润为45元；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）因为第一次消费时，公司获得利润为20015050-=元， 第二次消费时，公司获得利润为2000.915040⨯-=元， 所以两次消费中，公司获得的平均利润为5040452+=元， （2）因为公司成本为150元，所以消费一次公司获得的平均利润为50元，消费两次公司获得的平均利润为5040452+=元，消费三次公司获得的平均利润为504030403++=元，消费四次公司获得的平均利润为50403020354+++=元，消费五次公司获得的平均利润为5040302010305++++=元，X的所有可能的取值为50,45,40,35,30，60P X===，(50)0.610020P X===，(45)0.210010(40)0.1P X===，1005P X===，(35)0.051005P X===，(30)0.05100.故X的分布列为【举一反三】1．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：则下列计算结果正确的有（）A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C ．P (X ≥3)＝0.4D ．P (X ≤1)＝0.3【答案】ABD【解析】因为0.10.20.40.21a ++++=，解得0.1a =，故A 正确； 由分布列知(2)0.40.20.10.7P X ≥=++=,(3)0.20.10.3P X ≥=+=，(1)0.10.20.3P X ≤=+=，故BD 正确，C 错误.故选：ABD2．（2020·山东济宁市·高二期末）在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中每名同学答对的概率均为23，乙队中3名同学答对的概率分别是12，23，23，且每名同学答题正确与否互不影响.用X 表示乙队的总得分. （1）求随机变量X 的分布列；（2）设事件A 表示“甲队得2分，乙队得1分”，求()P A . 【答案】（1）见解析；（2）1081【解析】（1）由题意知，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，111123318P X ，121111125123323318P X C ，12121122422332339P X C ，122232339P X ， 所以随机变量X 的分布列为（2）设甲队得分为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，2231242339P Y C ， 54101218981P A P X P Y .3．（2020·农安县教师进修学校）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12、13、13，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ. （1）求甲、乙两人击中，丙没有击中的概率； （2）求ξ的分布列.【答案】（1）19（2）见解析【解析】（1）记甲、乙两人击中丙没有击中为事件A ，则甲，乙两人击中，丙没有击中的概率为：()111112339P A ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，()21220239P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()2121211241232339P C ξ⎛⎫==⨯+⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭， ()21211211522332318P C ξ⎛⎫==⋅⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()211132318P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以，随机变量ξ的分布列如下：考点三 两点分布【例3】（2020·永安市第三中学高二期中）设随机变量X 服从两点分布，若()()100.2P X P X =-==，则成功概率()1P X ==（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】C【解析】随机变量X 服从两点分布，()()100.2P X P X =-==，根据两点分布概率性质可知：()()()()100.2101P X P X P X P X ⎧=-==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()10.6P X ==，故选：C.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用ξ描述一次试验的成功次数，则()1P ξ==（ ）11 / 11 A ．0B ．12C ．23D ．13【答案】C 【解析】据题意知，“0ξ=”表示一次试验试验失败，“1ξ=”表示一次试验试验成功.设一次试验失败率为p ，则成功率为2p ，所以21p p +=，所以13p =， 所以2(1)3P ξ==.故选：C.2．（2020·全国）已知离散型随机变量X 的分布列服从两点分布，且()()0341P X P X a ==-==，则a =（ ）A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】因为X 的分布列服从两点分布，所以()()011P X P X =+==， 因为()()0341P X P X a ==-==，所以()()034[10]P X P X ==--=()110,33P X a ∴==∴= 故选：C.。
高考数学复习考点题型专题讲解29 函数的图象与性质
高考数学复习考点题型专题讲解专题29 函数的图象与性质高考定位 1.以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、最值与值域、奇偶性和单调性；2.利用函数的性质推断函数的图象；3.利用图象研究函数性质、方程及不等式的解集，综合性较强.1.(2022·北京卷)已知函数f(x)＝11＋2x，则对任意实数x，有( )A.f(－x)＋f(x)＝0B.f(－x)－f(x)＝0C.f(－x)＋f(x)＝1D.f(－x)－f(x)＝1 3答案 C解析函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝11＋2－x ＝2x1＋2x，所以f(－x)＋f(x)＝2x1＋2x＋11＋2x＝1，故选C.2.(2022·全国甲卷)函数f(x)＝(3x－3－x)·cos x在区间[－π2，π2]的图象大致为( )答案 A解析 法一(特值法) 取x ＝1，则y ＝(3－13)cos 1＝83cos 1＞0 ；取x ＝－1，则y ＝(13－3)cos(－1)＝－83cos 1＜0.结合选项知选A. 法二 令y ＝f (x )，则f (－x )＝(3－x －3x )cos(－x )＝－(3x －3－x )cos x ＝－f (x )， 所以函数y ＝(3x －3－x )cos x 是奇函数，排除B ，D ； 取x ＝1，则y ＝(3－13)cos 1＝83cos 1＞0，排除C.故选A.3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )，f (1)＝1，则∑22k ＝1f (k )＝( ) A.－3 B.－2 C.0 D.1 答案 A解析 因为f (1)＝1，所以在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中， 令y ＝1，得f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )f (1)， 所以f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )，① 所以f (x ＋2)＋f (x )＝f (x ＋1).② 由①②相加，得f (x ＋2)＋f (x －1)＝0， 故f (x ＋3)＋f (x )＝0， 所以f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )， 所以函数f (x )的一个周期为6. 在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中， 令y ＝0，得f (x )＋f (x )＝f (x )f (0)， 所以f (0)＝2.令x ＝y ＝1，得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)， 所以f (2)＝－1. 由f (x ＋3)＝－f (x )，得f (3)＝－f (0)＝－2，f (4)＝－f (1)＝－1，f (5)＝－f (2)＝1，f (6)＝－f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，∑22k ＝1f (k )＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3，故选A. 4.(2021·新高考Ⅰ卷)函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的最小值为________. 答案 1解析 函数f (x )＝|2x －1|－2ln x 的定义域为(0，＋∞). ①当x >12时，f (x )＝2x －1－2ln x ，所以f ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x.当12<x <1时，f ′(x )<0， 当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0<x ≤12时，f (x )＝1－2x －2ln x ，显然f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 12＝2ln 2＝ln 4>ln e ＝1. 综上，f (x )min ＝1.热点一 函数的概念与表示1.复合函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域.(2)若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域. 2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.例1 (1)(2022·济宁质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0，则f (f (－1))＝()A.－2B.2C.－12D.12(2)已知函数f (x )＝x 1－2x，则函数f （x －1）x ＋1的定义域为( )A.(－∞，1)B.(－∞，－1)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(－∞，－1)∪(－1，1) 答案 (1)A (2)D解析(1)∵f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤0，log 12x ，x ＞0，∴f (－1)＝22＝4，∴f (f (－1))＝f (4)＝log 124＝－2，故选A.(2)令1－2x >0，即2x <1，即x <0. ∴f (x )的定义域为(－∞，0). ∴函数f （x －1）x ＋1中，有⎩⎨⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1. 故函数f （x －1）x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1).规律方法 1.形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.2.对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解. 训练1 (1)设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数.若f (x )的图象绕原点按逆时针方向旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是( ) A.3B.32C.33D.0 (2)(2022·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－e x，x ＞0，x 2＋2x ＋4，x ≤0.若f (f (a ))＝4，则a ＝________.答案 (1)B (2)ln 2解析 (1)根据题设知，函数f (x )的图象绕原点按逆(顺)时针方向旋转k π6(k ＝0，1，…，11)后仍与原图象重合.若f (1)＝0，即点A (1，0)是f (x )的图象上的点，将其分别绕原点按逆(顺)时针方向旋转π6，得到点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12和A ″⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12两点，它们都在f (x )的图象上， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝±12，与函数的定义矛盾，所以排除D ；类似地，若f (1)＝33，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33绕原点按顺时针方向旋转π3，可得f (1)＝－33；若f (1)＝3，可得f (1)＝－3，都不符合函数的定义，故选B. (2)∵x ＞0时，f (x )＝－e x ＜0，x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ＋4＝(x ＋1)2＋3≥3， ∴由f (x )＝4，得x 2＋2x ＋4＝4(x ≤0)，解得x ＝0或x ＝－2， ∴f (a )＝0不存在，舍去，∴f (a )＝－2，则－e a ＝－2，解得a ＝ln 2. 热点二 函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)； f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x ).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数). 2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法. 3.函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称.(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于(a ，b )对称.考向1 奇偶性与单调性例2 若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( )A.[－1，1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞)D.[－1，0]∪[1，3] 答案 D解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，画出函数f (x )的大致图象如图(1)所示， 则函数f (x －1)的大致图象如图(2)所示.当x ≤0时，要满足xf (x －1)≥0， 则f (x －1)≤0，得－1≤x ≤0. 当x ＞0时，要满足xf (x －1)≥0， 则f (x －1)≥0，得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1，0]∪[1，3]. 考向2 奇偶性、周期性与对称性例3 (1)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b .若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝( )A.－94B.－32C.74D.52(2)(2022·全国乙卷)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7.若y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称，g (2)＝4，则∑22k ＝1f (k )＝( ) A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 答案 (1)D (2)D解析 (1)由于f (x ＋1)为奇函数， 所以函数f (x )的图象关于点(1，0)对称， 即有f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (1)＋f (2－1)＝0，得f (1)＝0， 即a ＋b ＝0.①由于f (x ＋2)为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 即有f (x )－f (4－x )＝0，所以f (0)＋f (3)＝－f (2)＋f (1)＝－4a －b ＋a ＋b ＝－3a ＝6.② 根据①②可得a ＝－2，b ＝2， 所以当x ∈[1，2]时，f (x )＝－2x 2＋2.根据函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f (x )的周期为4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2＝52.(2)由y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称， 可得g (2＋x )＝g (2－x ).由g (x )－f (x －4)＝7得g (2＋x )－f (x －2)＝7， 又f (x )＋g (2－x )＝5即f (x )＋g (2＋x )＝5， 所以f (x )＋f (x －2)＝－2，由f (x )＋f (x －2)＝－2得f (x －2)＋f (x －4)＝－2， 所以f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数. 由f (x )＋g (2－x )＝5可得f (0)＋g (2)＝5，又g (2)＝4，所以可得f (0)＝1， 又f (x )＋f (x ＋2)＝－2， 所以f (0)＋f (2)＝－2，f (－1)＋f (1)＝－2，得f (2)＝－3，f (1)＝f (－1)＝－1， 又f (3)＝f (－1)＝－1，f (4)＝f (0)＝1，所以∑22k ＝1f (k )＝6f (1)＋6f (2)＋5f (3)＋5f (4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.规律方法 1.若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），其中f (x )≠0，则f (x )的周期为2|a |.2.若f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称，则f (x )的周期为2|a －b |.3.若f (x )的图象关于点(a ，0)和直线x ＝b 对称，则f (x )的周期为4|a －b |.训练2 (1)(2022·西安模拟)设y ＝f (x )是定义在R 上的函数，若下列四条性质中只有三条是正确的，则错误的是( ) A.y ＝f (x )为[0，＋∞)上的减函数 B.y ＝f (x )为(－∞，0]上的增函数 C.y ＝f (x ＋1)为偶函数 D.f (0)不是函数的最大值(2)(2022·台州模拟)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，f (5.5)＝2，g (x )＝(x －1)f (x ).若g (x ＋1)是偶函数，则g (－0.5)＝( ) A.－3 B.－2 C.2 D.3答案(1)A (2)D解析(1)由y＝f(x＋1)为偶函数，得函数y＝f(x)的图象关于x＝1对称，假设A，B正确，则有f(x)max＝f(0)，所以D错误，y＝f(x＋1)不可能为偶函数，由此判断出C，D错误，与已知矛盾，由此判断答案A，B中一个正确一个错误，C，D正确，而A，C矛盾，由此确定A错误.(2)因为g(x)＝(x－1)f(x)，g(x＋1)是偶函数，所以g(x＋1)＝xf(x＋1)是偶函数，因为y＝x是奇函数，所以f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，用－x－1替换x，得f(x＋2)＝－f(－x)，又f(x)为R上偶函数，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，所以g(－0.5)＝－1.5f(－0.5)＝1.5f(1.5)＝1.5f(5.5)＝1.5×2＝3.热点三函数的图象1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等问题.例4 (1)(2022·上饶二模)函数f(x)＝x2x＋2－x的大致图象为( )(2)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是( )A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案(1)B (2)D解析(1)f(－x)＝－x2－x＋2x＝－f(x)，函数为奇函数，排除C；0＜f(2)＝222＋2－2＜24＝12，排除AD，故选B.(2)在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图. 由图象得交点坐标为(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，结合图象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).规律方法 确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.训练3 (1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是( )A.y ＝－x 3＋3x x 2＋1B.y ＝x 3－x x 2＋1C.y ＝2x cos x x 2＋1D.y ＝2sin xx 2＋1(2)(2022·佛山质检)函数f (x )＝2（x －b ）2a的图象如图所示，则( )A.a >0，0<b <1B.a >0，－1<b <0C.a <0，－1<b <0D.a <0，0<b <1 答案 (1)A (2)D解析 (1)对于选项B ，当x ＝1时，y ＝0，与图象不符，故排除B ； 对于选项D ，当x ＝3时，y ＝15sin 3＞0，与图象不符，故排除D ；对于选项C ，当0＜x ＜π2时，0＜cos x ＜1，故y ＝2x cos x x 2＋1＜2x x 2＋1≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.(2)由题图可知，f (0)＝2b 2a <1＝20，故b 2a <0，故a <0， 函数f (x )＝2（x －b ）2a的图象关于直线x ＝b 对称，由题图可知，0<b <1，故选D.一、基本技能练1.(2022·重庆八中测试)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 的定义域为( ) A.(－2，3] B.[－2，3] C.(0，3] D.(0，3) 答案 A解析 函数F (x )＝f (x ＋2)＋3－x 有意义需满足⎩⎨⎧x ＋2>0，3－x ≥0，解得－2<x ≤3.2.(2022·海南模拟)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝ln x B.y ＝|x |＋1 C.y ＝－x 2＋1 D.y ＝3－|x | 答案 B解析 对于A ，函数y ＝ln x 定义域是(0，＋∞)，不是偶函数，A 不是； 对于B ，函数y ＝|x |＋1定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，B 是； 对于C ，函数y ＝－x 2＋1定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，C 不是； 对于D ，函数y ＝3－|x |定义域为R ，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，D 不是.故选B.3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋2，x ＞0，－x ＋a ，x ≤0的值域为[1，＋∞)，则a 的最小值为( )A.1B.2C.3D.4 答案 A 解析 由已知得当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，值域为[1，＋∞)； 当x ≤0时，f (x )＝－x ＋a ，值域为[a ，＋∞)； ∵函数f (x )的值域为[1，＋∞)， ∴a ≥1，则a 的最小值为1.故选A.4.函数f (x )＝ln |x |＋1＋cos x 在[－π，π]上的大致图象为( )答案 C解析 由题知f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，排除A ；f (π)＝ln π＋1－1＜ln e －1＝0，排除B ，D.故选C.5.(2022·梅州二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2（6－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 26)＝( ) A.2 B.6C.8D.10 答案 B解析 因为f (x )＝⎩⎨⎧log 2（6－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1.所以f (－2)＝log 28＝3，f (log 26)＝2log 26－1＝3， 所以f (－2)＋f (log 26)＝6.故选B.6.已知函数f (x )＝－x |x |，且f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0，则实数m 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞答案 D解析 对f (x )＝－x |x |，其定义域为R ，且f (－x )＝x |x |＝－f (x )，故f (x )为R 上的奇函数；又当x ＞0时，f (x )＝－x 2，其在(0，＋∞)单调递减； 当x ＜0时，f (x )＝x 2，其在(－∞，0)单调递减； 又f (x )是连续函数，故f (x )在R 上是单调递减函数； 则f (m ＋2)＋f (2m －1)＜0， 即f (m ＋2)＜f (1－2m )，则m ＋2＞1－2m ，解得m ＞－13.故选D.7.(2022·金华质检)已知定义域为R 的偶函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝( )A.－32B.－1C.1D.32答案 C解析 因为函数f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f (x )＝f (－x )， 又因为f (1＋x )＝f (1－x )， 所以f (2－x )＝f (x )，则f (2－x )＝f (－x )，即f (2＋x )＝f (x )， 所以f (x )的周期为T ＝2. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1. 8.定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (x )≥12的解集为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k ＋12，2k ＋32(k ∈Z )答案 C解析 由题意，函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x )＝f (x ＋4)， 所以函数f (x )是周期为4的函数， 又由f (x )为R 上的奇函数， 可得f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称， 因为当0≤x ≤1时f (x )＝x ， 可得函数f (x )的图象，如图所示，当x ∈[－1，3]时，令f (x )＝12，解得x ＝12或x ＝32，所以不等式f (x )≥12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k ＋12，4k ＋32(k ∈Z ).故选C.9.(多选)(2022·漳州一模)已知函数f (x )＝2xx 2＋9，则( )A.f (x )的定义域为RB.f (x )是偶函数C.函数y ＝f (x ＋2 022)的零点为0D.当x ＞0时，f (x )的最大值为13答案 AD解析 对A ，由解析式可知f (x )的定义域为R ，故A 正确；对B ，因为f (x )＋f (－x )＝2x x 2＋9＋－2xx 2＋9＝0，可知f (x )是奇函数，故B 不正确；对C ，y ＝f (x ＋2 022)＝2（x ＋2 022）（x ＋2 022）2＋9＝0，得x ＝－2 022，故C 不正确；对D ，当x ＞0时，0＜f (x )＝2x x 2＋9＝2x ＋9x≤22x ·9x＝13，当且仅当x ＝3时取等号，故D 正确.故选AD.10.(多选)对于函数f (x )＝x |x |＋x ＋1，下列结论中错误的是( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )在定义域上是单调递减函数C.f (x )的图象关于点(0，1)对称D.f (x )在区间(0，＋∞)上存在零点 答案 ABD解析 f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ＋1，x ＜0，x 2＋x ＋1，x ≥0，由图象可知，图象关于点(0，1)对称，因此不是奇函数，在定义域内函数为增函数，在(0，＋∞)上没有零点. 故选ABD.11.(2022·盐城质检)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝2x，则f (log 27)＝________. 答案 －17解析 因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x ，所以f (log 27)＝－f (－log 27)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫log 217＝－2log 217＝－17.12.(2022·赤峰模拟)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x )＝________. ①f (－x )＝f (x )；②当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＞0；③f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2). 答案 x 2(答案不唯一)解析 由题意，要求f (x )为偶函数且值域为(0，＋∞). 若满足f (x 1x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，则f (x )可以为幂函数，则有f (x )＝x 2满足条件. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·沈阳模拟)已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，且y ＝f (x ＋2)为偶函数，若当x ∈[0，2]时，f (x )＝12log 3(x ＋a 2)，下列结论正确的是( )A.a ＝1B.f (1)＝f (3)C.f (2)＝f (6)D.f (2 022)＝－12答案 BD解析 根据题意，f (x )是定义域为R 的奇函数， 则f (－x )＝－f (x )， 又由函数f (x ＋2)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则f (－x )＝f (4＋x )， 即有f (x ＋4)＝－f (x )， 即f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f(x)是周期为8的周期函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝12log3(x＋a2)，可得f(0)＝12log3a2＝0，所以a2＝1，a＝±1，A错；由f(x＋4)＝f(－x)，可得f(1)＝f(3)，B正确；f(6)＝f(－2)＝－f(2)，C错；f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－12log3(2＋1)＝－12，D正确.故选BD.14.(多选)(2022·济南二模)已知函数f(x)为偶函数，且f(x＋2)＝－f(2－x)，则下列结论一定正确的是( )A.f(x)的图象关于点(－2，0)中心对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称D.f(x＋4)为偶函数答案AD解析因为f(x＋2)＝－f(2－x)，所以f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(－2，0)中心对称和关于直线x＝4轴对称，所以f(x＋4)为偶函数.故选AD.15.(多选)(2022·泰州模拟)已知定义在R上的单调递增函数f(x)满足：任意x∈R，有f(1－x)＋f(1＋x)＝2，f(2＋x)＋f(2－x)＝4，则( )A.x∈Z时，f(x)＝xB.任意x∈R，f(－x)＝－f(x)C.存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x＋T)＝f(x)D.存在非零实数c，使得任意x∈R，|f(x)－cx|≤1答案ABD解析对于A，令t＝1－x，则x＝1－t，则f(t)＋f(2－t)＝2，即f(x)＋f(2－x)＝2，又f(2＋x)＋f(2－x)＝4，∴f(x＋2)＝4－f(2－x)＝4－(2－f(x))＝f(x)＋2；令x＝0，得f(1)＋f(1)＝2，f(2)＋f(2)＝4，∴f(1)＝1，f(2)＝2，则由f(x＋2)＝f(x)＋2可知：当x∈Z时，f(x)＝x，A正确；对于B，令t＝－(1－x)，则x＝1＋t，则f(－t)＋f(2＋t)＝2，即f(－x)＋f(2＋x)＝2，∴f(－x)＝2－f(2＋x)＝2－(4－f(2－x))＝f(2－x)－2，由A的推导过程知：f(2－x)＝2－f(x)，∴f(－x)＝2－f(x)－2＝－f(x)，B正确；对于C，∵f(x)在R上的增函数，∴当T>0时，x＋T>x，则f(x＋T)>f(x)；当T<0时，x＋T<x，则f(x＋T)<f(x)，∴不存在非零实数T，使得任意x∈R，f(x＋T)＝f(x)，C错误；对于D，当c＝1时，|f(x)－cx|＝|f(x)－x|；由f(1－x)＋f(1＋x)＝2，f(2＋x)＋f(2－x)＝4知，f(x)关于(1，1)，(2，2)成中心对称，则当a∈Z时，(a，a)为f(x)的对称中心；当x∈[0，1]时，∵f(x)为R上的增函数，f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(x)∈[0，1]，∴|f(x)－x|≤1；由图象对称性可知：此时对任意x∈R，存在非零实数c，|f(x)－cx|≤1，D正确.故选ABD.16.(多选)(2022·杭州质检)已知函数f(x)＝lg(x2－2x＋2－x＋1)，g(x)＝2x＋62x＋2，则下列说法正确的是( )A.f(x)是奇函数B.g(x)的图象关于点(1，2)对称C.若函数F(x)＝f(x)＋g(x)在x∈[1－m，1＋m]上的最大值、最小值分别为M，N，则M ＋N＝4D.令F(x)＝f(x)＋g(x)，若F(a)＋F(－2a＋1)>4，则实数a的取值范围是(－1，＋∞)答案BCD解析对于A，因为x2－2x＋2－x＋1＝（x－1）2＋1－(x－1)>0恒成立，所以函数f(x)的定义域为R.因为f(0)＝lg(2＋1)≠0，所以f(x)不是奇函数，故A选项错误；对于B，将g(x)的图象向下平移2个单位长度得y＝2x＋62x＋2－2＝2－2x2＋2x，再向左平移1个单位长度得h(x)＝2－2x＋12＋2x＋1＝1－2x1＋2x，h (－x )＝1－2－x 1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－h (x )， 所以h (x )的图象关于(0，0)对称，所以g (x )的图象关于(1，2)对称，所以B 正确；对于C ，将f (x )的图象向左平移1个单位长度得m (x )＝lg(x 2＋1－x ).因为m (－x )＋m (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋lg(x 2＋1－x )＝lg 1＝0，所以m (x )是奇函数，则f (x )关于(1，0)对称，所以F (x )＝f (x )＋g (x )若在1＋m 处取得最大值，则F (x )在1－m 处取得最小值，则F (1＋m )＋F (1－m )＝f (1＋m )＋f (1－m )＋g (1＋m )＋g (1－m )＝0＋4＝4，所以C 正确； 对于D ，F (a )＋F (－2a ＋1)>4⇔f (a )＋f (1－2a )＋g (a )＋g (1－2a )>4，f (x )＝lg[（x －1）2＋1－(x －1)].设m (x )＝lg(x 2＋1－x )，t ＝x 2＋1－x ， 因为t ′＝x x 2＋1－1＝－x 2＋1＋x x 2＋1<0， 所以t ＝x 2＋1－x 为减函数，所以m (x )＝lg(x 2＋1－x )为减函数，所以f (x )为减函数.又g (x )＝2x＋62x ＋2＝1＋42x ＋2为减函数，所以F (x )为减函数. 由C 项知F (x )关于点(1，2)对称，所以F (a )＋F (－2a ＋1)>4＝F (a )＋F (2－a )，所以F (－2a ＋1)>F (2a )，则－2a ＋1<2－a ，解得a >－1，所以D 正确，故选BCD.17.(2022·全国乙卷)若f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋11－x ＋b 是奇函数，则a ＝______，b ＝______.答案 －12ln 2 解析 f (x )＝ln|a ＋11－x|＋b ，若a ＝0，则函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}， 不关于原点对称，不具有奇偶性，所以a ≠0.由函数解析式有意义可得：x ≠1且a ＋11－x ≠0， 所以x ≠1且x ≠1＋1a. 因为函数f (x )为奇函数，所以定义域必须关于原点对称，所以1＋1a ＝－1，解得a ＝－12， 所以f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 2（1－x ）＋b ，定义域为{x |x ≠1且x ≠－1}. 由f (0)＝0，得ln 12＋b ＝0，所以b ＝ln 2， 即f (x )＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋11－x ＋ln 2＝ln ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x 1－x ， 在定义域内满足f (－x )＝－f (x )，符合题意.18.(2022·金华模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0，则f (f (－ln 2))＝________；当x ∈(－∞，m ]时，函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，14，则m 的取值范围是________.答案 e －12－1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1＋52解析 ∵－ln 2＜0，∴f (－ln 2)＝e －ln 2－1＝12－1＝－12， 又－12＜0，f (f (－ln 2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e －12－1或e e －1； 当x ≤0时，f (x )∈(－1，0]，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14， 且在x ＝12时，函数f (x )取得最大值14， 根据函数表达式，绘制函数图象如下：当f (x )＝－1时，－x 2＋x ＝－1，解得x ＝1＋52， 要使f (x )的值域在x ∈(－∞，m ]时是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，14，则必须m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1＋52.。
专题二次函数与一元二次方程(5个考点)(题型专练+易错精练)
专题5.3 二次函数与一元二次方程（5个考点）【考点1 二次函数与x 轴交点问题】【考点2 图象法确定一元二次方程的根】【考点3已知函数值y 求x 的取值范围】【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】【考点5二次函数综合】【考点1 二次函数与x 轴交点问题】1．在平面直角坐标系中，二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，则另一个交点的横坐标为（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．5-2．抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标（ ）A ．（0，8）B ．（0，-8）C ．（0，6）D ．（-2，0），（-4，0）3．二次函数256y x x =--与坐标轴的交点个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个4．如图，二次函数2y x mx n =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，那么关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的解为（ ）A ．15x =，21x =B ．15x =，21x =-C ．15x =，25x =-D ．5x =5．已知二次函数22y x x m =--+的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为（ ）A ．3或1B ．3-或1C ．3或3-D ．3-或1-6．若抛物线224y x x =-与x 轴分别交于A 、B 两点，A 、B 两点间的距离是 ．7．若二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，则b 满足的条件是 ．【考点2 图象法确定一元二次方程的根】8．根据下列表格对应值：x3.24 3.253.262ax bx c++0.020.01-0.03-判断关于x 的方程20ax bx c ++=的一个解的范围是（ ）A ． 3.24x < B ．3.24 3.25x <<C ．3.25 3.26x <<D ． 3.26x >9．观察下列表格，一元二次方程x 2﹣x ＝1.1的一个解x 所在的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9x 2﹣x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A ．1.5＜x ＜1.6B ．1.6＜x ＜1.7C ．1.7＜x ＜1.8D ．1.8＜x ＜1.910．下表是一组二次函数 y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的对应值：那么下列选项中可能是方程 20ax bx c ++=的近似根的是（ ）x 1.21.31.4 1.5 1.6y0.36-0.01-0.360.751.16A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.511．小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数2210y x x =+-的图象．由图象可知，方程22100x x +-=有两个根，一个在5-和4-之间，另一个在2和3之间，利用计算器进行探索：由下表知，方程的一个近似根是（ ）x4.1- 4.2- 4.3- 4.4-y1.39-0.76-0.11-0.56A ． 4.12-B ． 4.23-C ． 4.32-D ． 4.43-12．根据下列表格，判断出方程28910x x +-=的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）x1.5- 1.4- 1.3- 1.2- 1.1-2891x x +- 3.52.080.820.28- 1.22-A ． 1.45-B ． 1.35-C ． 1.25-D ． 1.15-13．下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是（ ）x1.5-00.51.52y ax bx c=++ 1.25-2- 1.25- 1.75A ．2 1.5x -<<-B ． 1.50x -<<C ．00.5x <<D ．0.5 1.5x <<【考点3已知函数值y 求X 的取值范围】14．已知函数222y x x =--的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得1y £时，x 的取值范围是（ ）A ．3x ³-B ．31x -££C ．13x -££D ．1x £-或3x ³15．已知一次函数()10y kx m k =+¹和二次函数()220y ax bx c a =++¹部分自变量和相应的函数值如表，当21y y >时，自变量x 的取值范围是( )x×××1-0245×××1y ×××01356×××2y ×××1-059×××A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或5x >D ．1x <-或4x >16．已知关于x 的一元二次方程2x mx n 0++=的两个实数根分别为1x a =，2x b =（a b <），则二次函数2y x mx n =++中，当y 0<时，x 的取值范围是（ ）A ．x a<B ．x b>C ．a x b<<D ．x a <或x b>17．已知二次函数222y x x -=-，当1y >时，则x 的取值范围为（ ）A ．13x -<<B ．31x -<<C ．1x <-或3x >D ．3x <-或1x >18．如图，对于抛物线2y ax bx =+，若当x <3时，y 随x 的增大而减小；当x >3时，y 的值随x 的增大而增大，则使y <0的x 的取值范围为．19．如图，已知点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，当y m >时，x 的取值范围是．20．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 分别交坐标轴于A （-2，0）、B （6，0）、C （0，4），则0≤ax 2+bx+c<4的解是．21．函数y =-x 3+x 的部分图像如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是 ．【考点4二次函数与一次函数不等式的关系】22．如图是二次函数()210y ax bx c a =++¹和一次函数()20y mx n m =+¹的图象，当12y y <时，x 的取值范围是 ．23．如图，抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交于(1,0)A 、(4,3)B 两点，则当21y y >时，x 的取值范围为．24．直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象如图，当12y y >时，x 的取值范围为25．如图，抛物线21y ax =与直线2y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则12y y £，x 的取值范围是 ．26．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与直线y kx m =+交于()31A --，，()03B ，两点．则关于x 的不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是．27．二次函数21y ax bx c =++的图象与一次函数2y kx b =+的图象如图所示，当21y y >时，根据图象写出x 的取值范围 ．28．如图，直线y ＝px +q （p ≠0）与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）交于A （﹣2，m ），B （1，n ）两点，则关于x 的不等式ax 2+bx +c ≤px +q 的解集是 ．29．如图，直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （−1，p ），B （5，q ）两点，则关于x 的不等式mx+n<a 2x +bx+c 解集是 ．【考点5二次函数综合】30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的图象经过点()0,3A -，()1,0B ．(1)求该抛物线的解析式；(2)结合函数图象，直接写出3y <-时，x 的取值范围．31．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于O （O 为坐标原点）、A 两点，且二次函数的最小值为2-，点()1,M m 是其对称轴上一点，点B 在y 轴上，1OB =．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P ，连接PA ，PB ，求PAB V 面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．32．如图，二次函数22y ax ax c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴正半轴交于点C ，且3OA OC ==．(1)求二次函数及直线AC 的解析式．(2)P 是拋物线上一点，且在x 轴上方，若45ABP Ð=°，求点P 的坐标．33．如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2112y x bx =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且线段OA OB =．（注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2bx a=-）(1)求该抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM CM -的值最大，求点M 的坐标．34．将抛物线2(0)y ax a =¹向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k =-+．抛物线H 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．已知(3,0)A -，点P是抛物线H 上的一个动点．(1)求抛物线H 的表达式；(2)如图，点M 是抛物线H 的对称轴L 上的一个动点，是否存在点M ，使得以点A ，M ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，说明理由．35．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线334y x =+经过A 、C 两点，点D 是第二象限内抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AD 、CD ，求ACD V 面积的最大值；(3)若点D 关于直线BC 的对称点D ¢恰好落在直线AC 上，求点D 的坐标.1．A【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与x 轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．【详解】解：Q 二次函数24y ax ax c =-+（0a ¹）的对称轴为4222-=-=-=b a x a a，且图象与x 轴的一个交点的横坐标为1-，\由抛物线上点的对称性可知，图象与x 轴的另一个交点的横坐标为5，故选：A ．2．D【分析】把y=0代入函数解析式得到x 2+6x+8=0，解方程即可．【详解】解：把y=0代入函数解析式得x 2+6x+8=0，解得 x 1=-2，x 2=-4，∴抛物线y=x 2+6x+8与x 轴交点坐标为（-2,0），（-4,0）．故选：D【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，求抛物线与x 轴交点坐标就是求当y=0时自变量的取值．3．C【分析】先计算=0x 的函数值得到抛物线与y 轴的交点坐标，再解方程2560x x --=得抛物线与x 轴的交点坐标，从而可判断抛物线与坐标轴的交点坐标．【详解】解：当=0x 时，2566y x x =--=-，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)-，当=0y 时，2560x x --=，解得121,6x x =-=，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0),(6,0)-，∴二次函数256y x x =--与坐标轴有3个交点．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标及解一元二次方程，抛物线与x 的的交点纵坐标为0，与y 轴的交点横坐标为0．4．B【分析】此题考查的是求二次函数图象与x 轴的交点坐标和求一元二次方程的根，掌握二次函数图象的对称性和二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系是解决此题的关键．根据图象可知二次函数图象的对称轴，然后利用二次函数图象的对称性求出图象与x 轴的另一个交点坐标，最后根据二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系即可得出结论．【详解】解：由图象可知：二次函数2y x mx n =-++图象的对称轴为直线2x =，∵图象与x 轴的一个交点为(5,0)，∴图象与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，∴关于x 的一元二次方程20x mx n -++=的两实数根是125,1x x ==-故选B ．5．B【分析】根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x 轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解．【详解】解：由图象可知，该函数的对称轴是直线212(1)x -=-=-´-，与x 轴的一个交点是(3,0)-，则该函数与x 轴的另一个交点是(1,0)，即当0y =时，220x x m --+=时，13x =-，21x =，故关于x 的一元二次方程220x x m --+=的解为13x =-，21x =，故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6．2【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．0y =代入224y x x =-求出两个交点后，即可得到两点间的距离．【详解】解：、把0y =代入224y x x =-得：2240x x -=解得：2x =或0，∴202AB =-=，故答案为：2．7．1-或0【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键．由题意知，分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解作答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x b +=-的图象与坐标轴有两个公共点，∴分①二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点；②二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解；①当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有1个公共点时，()2240b D =--=，解得1b =-；②当二次函数22y x x b +=-的图象与x 轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，0b =，∴()222y x x x x +==+，与x 轴有2个公共点，为()20-，或()00，，综上所述，b 的值为1-或0，故答案为：1-或0．8．B【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当20ax bx c ++=时，x 的取值范围为：3.24 3.25x <<，即可．【详解】由上表可知当20ax bx c ++=，关于x 的方程的一个解的范围为：3.24 3.25x <<，故选：B ．9．B【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.6＜x ＜1.7．【详解】解：因为x =1.6时，x 2-x =0.96，x =1.7时，x 2-x =1.19，所以一元二次方程x 2﹣x =1.1的一个解的范围为1.6＜x ＜1.7．故选：B ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．10．B【分析】本题考查了抛物线法求方程的近似根，采用零距离比较法，与零的距离越小，越近似看成方程的根，得到所求方程的近似根即可．【详解】观察图表的，得0.01-与零的距离最小，方程 20ax bx c ++=的近似根的是： 1.3x =故选B ．11．C【分析】本题考查了一元二次方程的近似根，当y 等于0时得到的x 值即为方程22100x x +-=的解．分析题干中的表格，取y 值最接近0时x 的值作为方程的近似解．【详解】解：由表格可知，当 4.3x =-时，0.110y =-<，当 4.4x =-时，0.560y =>，则方程的一个根在 4.3-和 4.4-之间， 4.3x =-时的y 值比 4.4x =-时更接近0，\方程的一个近似根为： 4.32-．故选：C ．12．C【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，再找到表格中2891x x +-的值最接近0的数即可，掌握二次函数的图象与x 轴的交点与一元二次方程的关系是解题关键．【详解】解：方程28910x x +-=的一个根是函数2891y x x =+-的图象与x 轴的一个交点的横坐标，即关于函数2891y x x =+-，0y =时，x 的取值，由表格可知：当 1.2x =-时，函数y 的值最接近0，\方程的近似解是 1.25-，故选：C ．13．D【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，根据表格找到y 由负变为正时，自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：由表格中的数据可知，当0.5x =时， 1.250y =-<，当 1.5x =时， 1.750y =>，∴方程20ax bx c ++=（0,,,a a b c ¹为常数）的一个解x 的范围是0.5 1.5x <<，故选D ．14．C【分析】令y=1，求解出x 的两个值，则在这两个值所包含的范围内的x 均符合题意要求.【详解】解：令y=1，则2221x x --=，解得x=-1或3，则由图像可知当13x -££时，可使得1y £，故选择C.【点睛】本题结合一元二次方程考查了二次函数的知识.15．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y 1>y 2,从而得到当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围.【详解】∵当x=0时,y 1=y 2=0;当x=4时,y 1=y 2=5；∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)，而−1<x<4时, y 1>y 2，∴当y 2>y 1时，自变量x 的取值范围是x<−1或x>4.故选D.【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16．C【分析】根据抛物线方程画出该抛物线的大体图象，根据图象直接回答问题．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=a ，x 2=b （a ＜b ），∴二次函数y=x 2+mx+n 与x 轴的交点坐标分别是（a ，0）、（b ，0）（a ＜b ），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x 的取值范围是：a ＜x ＜b ；故选C ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点问题．解题时，采用的是“数形结合”的数学思想．17．C【分析】先求出当1y =时，对应的x 的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当1y =时，即2221x x --=，解得：1231x x ==-，，∵10a =>，∴图象开口向上，∵1y >，∴1x <-或3x >故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．18．06x <<【分析】求出抛物线与x 轴的交点坐标即可解决问题．【详解】解：由题意对称轴x =3，抛物线经过（0，0）和（6，0），观察图象可知：使y ＜0的x 的取值范围为0＜x ＜6．故答案为：0＜x ＜6．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．2x <-或4x >【分析】先将4x =代入223y x x =--求出m 的值，再令y m =，解一元二次方程，结合二次函数图象即可得出x 的取值范围．【详解】解：Q 点()4,P m 在抛物线223y x x =--上，\242435m --=´=，令5y m ==，则2235x x --=，即2280x x --=，解得12x =-，24x =，Q 抛物线开口向上，\当y m >即>5y 时，x 的取值范围是2x <-或4x >．故答案为：2x <-或4x >．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，根据交点确定不等式的解集等，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合的思想．20．-2≤x ＜0或4＜x≤6【分析】根据点A 、B 的坐标确定出对称轴，再求出点C 的对称点的坐标，然后写出即可．【详解】解：∵A （-2，0）、B （6，0），∴对称轴为直线x=262-+=2，∴点C 的对称点的坐标为（4，4），∴0≤ax 2+bx+c ＜4的解集为-2≤x ＜0或4＜x≤6．故答案为：-2≤x ＜0或4＜x≤6．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，难点在于求出对称轴并得到C 点的对称点的坐标．21．x ＜-1或0＜x ＜1【分析】根据y =0时，对应x 的值，再求函数值y ＞0时，对应x 的取值范围．【详解】解：y =0时，即-x 3+x =0，∴-x (x 2-1)=0，∴-x (x +1) (x -1)=0，解得x =0或x =-1或x =1，∴函数y =-x 3+x 的部分图像与x 轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），故当函数值y ＞0时，对应x 的取值范围上是：x ＜-1，0＜x ＜1．故答案为：x ＜-1或0＜x ＜1．【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．22．2<<1x -【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得21y y >的自变量x 的取值范围就是直线()20y mx n m =+¹落在二次函数()210y ax bx c a =++¹的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．【详解】根据图象可得出：当21y y >时，x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．23．14x <<【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到上方部分，即可解答．【详解】解：抛物线21(2)1y x =--与直线21y x =--交点为(1A ，0)(4B ，3)，由图象知，当21y y >时，x 的取值范围14x <<，故答案为：14x <<．24．2x <-或x >1##x >1或2x <-【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵直线11y x =+与抛物线223y x =-+的图象交点的横坐标分别为2,1-，∴当12y y >时，x 的取值范围为：2x <-或1x >，故答案为：2x <-或1x >．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．21x -££【分析】直接观察图象，即可求解．【详解】解：观察图象得：当21x -££时，12y y £，∴12y y £时，x 的取值范围是21x -££．故答案为：21x -££【点睛】本题考查了根据交点求一元二次方程的解，数形结合，理解方程的解为两函数图象的交点的横坐标是解题的关键．26．3x £-或0x ³##0x ³或3x £-【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x 的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y =ax 2+bx +c 与直线y kx m =+交于()31A --，、()03B ，，∴不等式2ax bx c kx m ++£+的解集是3x £-或0x ³，故答案为：3x £-或0x ³．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x 的取值范围．27．2<<1x -【分析】利用一次函数与二次函数图象，进而结合其交点横坐标得出21y y >时，x 的取值范围．【详解】解：当21y y >时，即一次函数2y kx b =+的图象在二次函数21y ax bx c =++的图象的上面，可得x 的取值范围是：2<<1x -．故答案为：2<<1x -．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解题的关键是正确利用函数的图象得出正确信息．28．x ≤﹣2或x ≥1##x ≥1或x ≤﹣2【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式ax2+bx+c≤px+q 的解集．【详解】解：由图象可得点A 左侧与点B 右侧抛物线在直线下方，∴x ≤﹣2或x ≥1时，ax 2+bx +c ≤px +q ，故答案为：x ≤﹣2或x ≥1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．29．-1＜x ＜5【分析】直接利用函数的交点坐标进而结合函数图象得出不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集．【详解】解：∵直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A （-1，p ），B （5，q ）两点，∴关于x 的不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 解集是-1＜x ＜5故答案为：-1＜x ＜5．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确数形结合分析是解题关键．30．(1)223y x x =+-(2)20x -<<【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握二次函数与方程及不等式的关系.（1）根据待定系数法即可求得；（2）令=3y -求出x 的值，即可求解.【详解】（1）解：将点(0,3),(1,0)A B -代入2y x bx c =++得：301c b c -=ìí=++î，解得：2,3b c =ìí=-î223y x x \=+-.（2）令=3y -即2233x x +-=-，解得：120,2x x ==-，Q 抛物线开口向上，\3y <-时，20x -<<。
二次函数的考点复习
解（1）设每箱应涨价x元，则每天可售出 （50-2x）箱，每箱盈利（10+x）元，依题意得(502x)(10+x)=600解之得，x1=5 x2=10 要使顾客得到实惠，所以，取x=5 (2)设利润为y元，则y=(50-2x)(10+x) 2 y 2 x 30x 500 整理得 配方得： y 2( x 7.5)2 612.5 当x=7.5时，y最大=612.5元 答：（略）
解(1)∵AB=x m,则BC=（28-x) m 又∵花园的面积为192 m2 ∴x(28-x)=192 解得x1=12 x2=16 (2)由题意得：S=x(28-x)=-x2+28x S=-(x-14)2+196 ∵在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别 是15m和6m ∴x=15时，S取到最大值为： S=-（15-14）2+196=195 答：（略）
常见考点：
1.二次函数解析式的求法
2.二次函数的图像与系数的关系 3. 二次函数的图像和性质 4.二次函数与其它知识的综合应用
考点1. 二次函数解析式的求法：
例1.(2012.江苏)如图，在坐标系 内，边长为2的正方形OABC的顶
点A、C分别在x轴、y轴的正半轴
2 2 上，二次函数 y x bx c 的图 3
象经过B、C两点。
(1).求该函数的解析式。 (2).结合函数的图象探索，当 y 0 时， x的取值范围。
练习：
1若抛物线
y ax 2 bx c
(a 0) 的顶点为
A (2，1)，且经过B( -2, 0 )，求抛物线的解析式。 2若抛物线 y ax 2 bx c (a 0) 与x轴的两个交点 坐标为（-1,0）、（5, 0）且经过（- 4，- 6）点， 求抛物线的解析式
高考数学复习考点题型专题讲解28 解析几何中优化运算的方法
高考数学复习考点题型专题讲解专题28 解析几何中优化运算的方法1.焦点三角形的面积(1)设P点是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tanθ2.(2)设P点是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积记为S△PF1F2，则S△PF1F2＝b2tanθ2.2.中心弦的性质设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，P为该曲线上异于A，B的点.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则k PA k PB＝－b2a2＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则k PA k PB＝b2a2＝e2－1.3.中点弦的性质设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2xa2y，k AB·k OM＝－b2a2＝e2－1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2xa2y，k AB·k OM＝b2a2＝e2－1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0 .4.圆锥曲线的切线方程设M(x0，y0)为圆锥曲线上的点，(1)若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>1)，则椭圆在M处的切线方程为xxa2＋yyb2＝1.(2)若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则双曲线在M处的切线方程为xxa2－yyb2＝1.(3)若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p>0)，则抛物线在M处的切线方程为y0y＝p(x＋x0).5.与抛物线的焦点弦有关的二级结论过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F倾斜角为θ的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)两焦半径长为p1－cos θ，p1＋cos θ；(3)1|AF|＋1 |BF|＝2p；(4)|AB|＝2psin2θ，S△AOB＝p22sin θ.类型一优化运算的基本途径途径1 回归定义当题目条件涉及圆锥曲线的焦点时，要考虑利用圆锥曲线的定义表示直线与圆锥曲线相交所得的弦长.例1 已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P .若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程. 解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由题设得F ⎝⎛⎭⎪⎫34，0，故结合抛物线的定义可得|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 由题设可得x 1＋x 2＝52.由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9，从而－12（t －1）9＝52，解得t ＝－78，所以直线l 的方程为y ＝32x －78.途径2 设而不求在解决直线与圆锥曲线的相关问题时，通过设点的坐标，应用“点差法”或借助根与系数的关系来进行整体处理，设而不求，避免方程组的复杂求解，简化运算. 例2 已知点M 到点F (3，0)的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小2. (1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作互作垂直的两条直线l 1，l 2，它们与(1)中轨迹E 分别交于点A ，B 及点C ，D ，且G ，H 分别是线段AB ，CD 的中点，求△PGH 面积的最小值.解(1)由题意知，点M到点F(3，0)的距离与到直线l′：x＋3＝0的距离相等，结合抛物线的定义，可知轨迹E是以F(3，0)为焦点，以直线l′：x＋3＝0为准线的抛物线，则知p2＝3，解得p＝6，故M的轨迹E的方程为y2＝12x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝12x1，y22＝12x2，以上两式作差，并整理可得y1－y2x1－x2＝12y1＋y2＝6yG.即k AB＝6y G ，同理可得k CD＝6yH，易知直线l1，l2的斜率存在且均不为0，又由于l1⊥l2，可得k AB·k CD＝36yGyH＝－1，即y G y H＝－36，所以S△PGH＝12|PG|·|PH|＝12·1＋1k2AB|y G| ·1＋1k2CD|y H|＝182＋1k2AB＋1k2CD≥182＋2|k AB k CD|＝182＋2＝36，当且仅当|k AB|＝|k CD|＝1时，等号成立，故△PGH面积的最小值为36. 途径3 换元引参结合解决问题的需要，根据题目条件引入适当的参数或相应的参数方程，巧妙转化相应的解析几何问题，避开复杂的运算.例3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 证明法一 设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ<2π)，则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cos θ，b 2sin θ.|AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1. 又A (－a ，0)， 所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ . 2ak AQ ＝b 2＋a 2k 2AQ sin(θ－α)， tan θ＝ak AQb， 从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ <a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |<33，故|k |＝1|k AQ |> 3.法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ， 可设点P 的坐标为(x 0，kx 0).由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.①由|AP |＝|OA |及A (－a ，0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0， 于是x 0＝－2a1＋k 2， 代入①，得(1＋k 2)·4a 2（1＋k 2）2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.法三 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0).联立⎩⎨⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b 2.① 由|AP |＝|OA |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0. 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.训练1 (1)(2022·杭州质检)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62(2)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点(1，－2)，经过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，A 在x 轴的上方，Q (－1，0)，若以QF 为直径的圆经过点B ，则|AF |－|BF |＝( ) A.23B.2 5 C.2 D.4答案 (1)D (2)D解析 (1)由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 设双曲线C 2的实半轴长为a ， 由椭圆及双曲线的定义和已知，可得 ⎩⎨⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2，所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.(2)由于抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点(1，－2)， 则有4＝2p ，解得p ＝2，设直线l 的倾斜角为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，根据焦半径公式，可得|AF |＝21－cos α，|BF |＝21＋cos α，由于以QF 为直径的圆经过点B ，则有BQ ⊥BF ，在Rt△QBF 中，|BF |＝2cos α， 则有|BF |＝21＋cos α＝2cos α，即1－cos 2α＝cos α， 所以|AF |－|BF |＝21－cos α－21＋cos α＝4cos α1－cos 2α＝4cos αcos α＝4，故选D. 类型二 优化运算之二级结论的应用圆锥曲线中有很多的二级结论，应用这些结论能够迅速、准确地解题. 应用1 椭圆中二级结论的应用例4 (1)A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，M 是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为－49，则椭圆C 的离心率为( )A.23B.33C.23D.53(2)已知椭圆方程为x 25＋y 2＝1，右焦点为F ，上顶点为B .直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P .若MP ∥BF ，则直线l 方程为________.答案 (1)D (2)x －y ＋6＝0解析 (1)椭圆上不同于A ，B 的任意一点与左、右顶点的斜率之积为－b 2a 2，∴－b 2a 2＝－49，∴b 2a 2＝49，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. (2)设点M (x 0，y 0)为椭圆x 25＋y 2＝1上一点.由过点M 与椭圆相切的结论，可设l ：x 0x 5＋y 0y ＝1，在直线MN 的方程中， 令x ＝0，可得y ＝1y 0，由题意可知y 0>0，即点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1y 0. 直线BF 的斜率为k BF ＝－b c ＝－12，所以，直线PN 的方程为y ＝2x ＋1y 0.在直线PN 的方程中， 令y ＝0，可得x ＝－12y 0， 即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12y 0，0.因为MP ∥BF ，则k MP ＝k BF ， 即y 0x 0＋12y 0＝2y 202x 0y 0＋1＝－12，整理可得(x 0＋5y 0)2＝0， 所以x 0＝－5y 0.又因为x 205＋y 20＝1，所以6y 20＝1.因为y 0>0，故y 0＝66，x 0＝－566， 所以直线l 的方程为－66x ＋66y ＝1，即x －y ＋6＝0. 训练2 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)(2022·金华模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，S △F 1PF 2＝43；当线段PF 1的中点落到y 轴上时，tan∠F 1PF 2＝43，则椭圆的标准方程为( )A.x216＋x212＝1 B.x216＋y29＝1C.x225＋y212＝1 D.x225＋y29＝1答案(1)D (2)A解析(1)由题意知c＝3，即a2－b2＝9，AB的中点记为P(1，－1)，由k AB·k OP＝－b2 a2，则(－1)×－1－01－3＝－b2a2，∴a2＝2b2，又a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，∴E的方程为x218＋y29＝1.(2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，当∠F1PF2＝π3时，由题意知S△F1PF2＝b2tanθ2，即43＝b2tan π6，所以b2＝12.当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.由tan∠F1PF2＝43，得|F1F2||PF2|＝43，即n ＝3c 2，则m ＝52c ，且n ＝b 2a ＝12a.所以联立⎩⎪⎨⎪⎧3c 2＋5c 2＝2a ，3c 2＝12a ，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝2，所以椭圆标准方程为x 216＋y 212＝1.应用2 双曲线中二级结论的应用例5 (1)已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( ) A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 (2)已知P (1，1)是双曲线外一点，过P 引双曲线x 2－y 22＝1的两条切线PA ，PB ，A ，B为切点，求直线AB 的方程为________. 答案 (1)B (2)2x －y －2＝0解析 (1)由题意可知k AB ＝－15－0－12－3＝1，k MO ＝－15－0－12－0＝54，由双曲线中点弦性质得k MO ·k AB ＝b 2a 2，即54＝b 2a2，又9＝a 2＋b 2， 联立解得a 2＝4，b 2＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.(2)设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则PA ：x 1x －y 1y 2＝1，PB ：x 2x －y 2y 2＝1，又点P (1，1)代入得x 1－12y 1＝1，x 2－12y 2＝1，∴点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在直线x －12y ＝1上，∴过直线AB 的方程为x －12y ＝1，即2x －y －2＝0.训练3 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，实轴的两个端点为A ，B ，点P 为双曲线上不同于顶点的任一点，则直线PA 与PB 的斜率之积为________.(2)已知P 是椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的一个交点，F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，e 1，e 2分别为椭圆和双曲线的离心率，若∠F 1PF 2＝π3，则e 1·e 2的最小值为________. 答案 (1)3 (2)32解析 (1)由题意知c a ＝2，即c 2a 2＝4，∴c 2＝4a 2，∴a 2＋b 2＝4a 2，∴b 2＝3a 2，∴k PA ·k PB ＝b 2a2＝3.(2)因为点P 为椭圆和双曲线的公共点，F 1，F 2是两曲线的公共焦点，则由焦点三角形的面积公式得S △PF 1F 2＝b 21tan π6＝b 22tanπ6，化简得b 21＝3b 22，即a 21－c 2＝3(c 2－a 22)，等式两边同除c 2，得1e 21－1＝3－3e 22，所以4＝1e 21＋3e 22≥23e 1·e 2，解得e 1·e 2≥32，所以e 1·e 2的最小值为32.应用3 抛物线中二级结论的应用例6 (1)(2022·泰州调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 焦点，过点F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 相交于A ，B 两点，直线l 2与C 相交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10(2)已知直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若BA →＝4BF →，则△AOB 的面积为( ) A.833 B.433C.823 D.423答案 (1)A (2)B解析 (1)如图，设直线l 1的倾斜角为θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则直线l 2的倾斜角为π2＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2θ，|DE |＝2p sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝4cos 2θ， ∴|AB |＋|DE |＝4sin 2θ＋4cos 2θ＝4sin 2θcos 2θ≥4⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ＋cos 2θ22＝16，当且仅当sin 2θ＝cos 2θ，即sin θ＝cos θ， 即θ＝π4时取“＝”.(2)由题意知|AF ||BF |＝3，设l 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ，∴1＋cos θ1－cos θ＝3，cos θ＝12，sin θ＝32， S ＝p 22sin θ＝43＝433. 训练4 (1)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( ) A.24 B.8 C.12 D.16(2)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于M，N两点，且|MF|＝2|NF|，则直线l的斜率为( )A.±2B.±2 2C.±22D.±24答案(1)A (2)B解析(1)由题意知p＝2，S△AOB＝p22sin θ＝26，∴sin θ＝16，∴|AB|＝2psin2θ＝24.(2)由抛物线的焦点弦的性质知1|MF|＋1|NF|＝2p＝1，又|MF|＝2|NF|，解得|NF|＝32，|MF|＝3，∴|MN|＝92，设直线l的倾斜角为θ，∴k＝tan θ，又|MN|＝2psin2θ，∴4sin2θ＝92，∴sin2θ＝89，∴cos2θ＝19，∴tan2θ＝8，∴tan θ＝±22，故k＝±2 2.一、基本技能练1.设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为( ) A.334 B.938C.6332D.94 答案 D解析 抛物线C ：y 2＝3x 中，2p ＝3，p ＝32，故S △OAB ＝p 22sin θ＝942sin 30°＝94.2.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 答案 B解析 由周角定理得k PA 1·k PA 2＝－b 2a 2＝－34，又k PA 2∈[－2，－1]， ∴k PA 1＝－34k PA 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.3.已知斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，△OFM 的面积等于3，则k ＝( ) A.14B.13C.12D.263答案 B解析设AB的中点M(x0，y0)，由中点弦的性质得k＝py(y0≠0).由抛物线方程知p＝2，所以k＝2y0，另焦点F(1，0)，又S△OFM＝3，可知12×1×y0＝3，所以y0＝6，再代入k＝2y＝13.4.椭圆x216＋y24＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是( )A.3B.11C.22D.10 答案 D解析设椭圆x216＋y24＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P到直线x＋2y－2＝0的距离为d＝|4cos θ＋4sin θ－2|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－25，所以d max＝|－42－2|5＝10，故选D.5.已知点A(0，－5)，B(2，0)，点P为函数y＝21＋x2图象上的一点，则|PA|＋|PB|的最小值为( ) A.1＋25B.7 C.3 D.不存在 答案 B解析 由y ＝21＋x 2，得y 24－x 2＝1(y ＞0).设点A ′(0，5)，即点A ′(0，5)，A (0，－5)为双曲线y 24－x 2＝1的上、下焦点.由双曲线的定义得|PA |－|PA ′|＝4， 则|PA |＋|PB |＝4＋|PA ′|＋|PB |≥4＋|BA ′|＝7，当且仅当B ，P ，A ′共线时取等号，故选B.6.(2022·丽水调研)已知椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Г相交于A ，B 两点，且AF →＝3FB →，则k ＝( ) A.1 B.2 C.3D. 2 答案 D解析 依题意a ＝2b ，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，因为AF →＝3FB →，所以λ＝3，设直线的倾斜角为α，则e ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1（λ＋1）cos α 得32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－1（3＋1）cos α，|cos α|＝33， 又k >0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得cos α＝33，所以k ＝tan α＝ 2. 7.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π6的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为________. 答案y 2＝2x 解析∵|AB |＝2psin 2θ＝2psin 2π6＝8p ＝8，∴p ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝2x .8.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为椭圆：x 22＋y 2＝1内一定点，经过点P 引一条弦，使此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________. 答案 2x ＋4y －3＝0解析 直线与椭圆交于A ，B ，P 为AB 中点.由k AB ·k OP ＝－b 2a 2得k AB ×1＝－12，即k AB ＝－12，则直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.9.(2022·南京模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B两点，以线段AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为2a 2，则双曲线的离心率为________. 答案 3解析 如图.设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，因为以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F (c ，0)， 所以S △AF ′F ＝S △ABF ＝2a 2且∠F ′AF ＝∠θ＝π2， 根据双曲线焦点三角形面积公式，得S △AF ′F ＝b 2tanθ2.所以2a 2＝b 2，即b 2a2＝2，e ＝1＋b 2a2＝ 3. 10.(2022·武汉调研)已知双曲线C 1：x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)与C 2：y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)有相同的渐近线，若C 1的离心率为2，则C 2的离心率为________. 答案233解析 设双曲线C 1，C 2的半焦距分别为c 1，c 2， 因为C 1的离心率为2，所以C 1的渐近线方程为y ＝±b 1a 1x ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫c 1a 12－1x ＝±22－1x ＝±3x ， 所以C 2的渐近线方程为y ＝±a2b 2x ＝±3x ，所以a 2b 2＝3，所以C 2的离心率为c 22a 22＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 22＝233.11.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l ：y ＝kx ＋a ，直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，与y 轴交于点P ，O 为坐标原点.(1)若k ＝1，且N 为线段MP 的中点，求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆长轴的一个端点为Q (2，0)，直线QM ，QN 与y 轴分别交于A ，B 两点，当PA →·PB →＝1时，求椭圆C 的方程.解 (1)由题意知直线l ：y ＝x ＋a 与x 轴交于点(－a ，0)， ∴点M 为椭圆C 的左顶点，即M (－a ，0). 设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1得14＋a 24b 2＝1，即b 2a 2＝13， 则e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝23，∴e ＝63，即椭圆C 的离心率e ＝63. (2)由题意得a ＝2，∴椭圆C ：b 2x 2＋4y 2＝4b 2(b >0)， 联立⎩⎨⎧b 2x 2＋4y 2＝4b 2，y ＝kx ＋2，消去y 得(4k 2＋b 2)x 2＋16kx ＋16－4b 2＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16b 2（4k 2＋b 2－4）>0，x M＋x N＝－16k 4k 2＋b 2，x M ·x N ＝16－4b24k 2＋b2，∵直线QM ：y ＝y M x M －2(x －2)，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2y M x M －2，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y M ＋2x M －42－x M . ∵y M ＝kx M ＋2， ∴y M －2＝kx M ，即PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2（k ＋1）x M 2－x M ， 同理PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2（k ＋1）x N 2－x N ， ∴PA →·PB →＝4（k ＋1）2x M x Nx M x N －2（x M ＋x N ）＋4＝4－b 2＝1，即b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2.记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 解 (1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2<|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16， 所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1).(2)设T ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，t ，由题意可知直线AB ，PQ 的斜率均存在且不为零，设直线AB 的方程为y－t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(k 2≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －t ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，x 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 12x －⎝⎛⎭⎪⎫t －k 122－16＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )⎝ ⎛⎭⎪⎫x A >12，x B>12， 由题意知16－k 21≠0，则x A x B ＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21，x A ＋x B ＝2k 1⎝⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21，所以|TA |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x A －12＝1＋k 21⎝⎛⎭⎪⎫x A －12，|TB |＝1＋k 21⎪⎪⎪⎪⎪⎪x B －12＝1＋k 21⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12， 则|TA |·|TB |＝(1＋k 21)⎝⎛⎭⎪⎫x A －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x B －12＝(1＋k 21)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x A x B －12（x A ＋x B ）＋14＝(1＋k 21)⎣⎢⎡－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 122－1616－k 21－12·⎦⎥⎤2k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 1216－k 21＋14＝（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16. 同理得|TP |·|TQ |＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16.因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以（1＋k 21）（t 2＋12）k 21－16＝（1＋k 22）（t 2＋12）k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0. 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0. 二、创新拓展练13.(2022·广东四校联考)倾斜角为π3的直线经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且AF →＝λFB →(λ≥5)，则双曲线C 的离心率的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43C.(1，2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，2答案 D解析 tan π3>b a ⇒b a <3⇒b 2<3a 2⇒c 2－a 2<3a 2⇒c 2<4a 2，∴c 2a 2<4，即e <2；|e cos θ|＝|λ－1||λ＋1|⇒e 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1λ＋1＝λ－1λ＋1＝1－2λ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1，即23≤e 2<1，故43≤e <2.14.(多选)(2022·海南调研)已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( ) A.1|AF |＋1|BF |＝1 B.|AF |＝6C.|BD |＝2|BF |D.F 为AD 中点 答案 BCD解析 法一 如图，过点B 作x ＝－p 2的垂线，垂足为B ′，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2， 得12x 2－20px ＋3p 2＝0. 解得x A ＝3p 2，x B ＝p6，由|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝8p3＝8，得p ＝3.所以抛物线方程为y2＝6x.则|AF|＝x A＋p2＝2p＝6，故B正确；所以|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝|BB′|cos 60°＝|BF|cos 60°＝4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确；所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点，故D正确；而1|AF|＋1|BF|＝23，故A错误.法二设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，由|AB|＝2psin2θ＝8，则p＝3，|AF|＝p1－cos θ＝6，|BF|＝p1＋cos θ＝2，1 |AF|＋1|BF|＝2p＝23，在Rt△DBB′中，cos θ＝|BB′||BD|，所以|BD|＝4，|DF|＝|BF|＋|BD|＝6，因此F为AD中点.故选BCD.15.已知A，B是抛物线y2＝4x上的两点，F是焦点，直线AF，BF的倾斜角互补，记AF，AB的斜率分别为k1，k2，则1k22－1k21＝________.答案 1解析F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的对称性，且两直线的倾斜角互补， 所以(x 2，－y 2)在直线AF 上， 直线AF ：y ＝k 1(x －1)，代入y 2＝4x ，化简可得k 21x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21＝0，根据韦达定理，可得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 21＋4k 21，x 1x 2＝1，又k 2＝y 2－y 1x 2－x 1＝4x 2－4x 1x 2－x 1＝2x 2＋x 1， 所以k 22＝4x 1＋x 2＋2x 1x 2＝42k 21＋4k 21＋2＝k 21k 21＋1，故1k 22－1k 21＝1.16.已知P 是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上一动点，过点P 作抛物线x 2＝8y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 斜率的最大值为________. 答案34解析 由题意可知，PA ，PB 的斜率都存在，分别设为k 1，k 2，切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 设P (m ，n )，过点P 的抛物线的切线为y ＝k (x －m )＋n ， 联立⎩⎨⎧y ＝k （x －m ）＋n ，x 2＝8y ，得x 2－8kx ＋8km －8n ＝0， 因为Δ＝64k 2－32km ＋32n ＝0， 即2k 2－km ＋n ＝0，所以k1＋k2＝m2，k1k2＝n2，又由x2＝8y得y′＝x 4，所以x1＝4k1，y1＝x218＝2k21，x 2＝4k2，y2＝x228＝2k22，所以k AB＝y2－y1x2－x1＝2k22－2k214k2－4k1＝k2＋k12＝m4，因为点P(m，n)满足(x－2)2＋(y＋2)2＝1，所以1≤m≤3，因此14≤m4≤34，即直线AB斜率的最大值为3 4 .17.已知点A为圆B：(x＋2)2＋y2＝32上任意一点，定点C的坐标为(2，0)，线段AC的垂直平分线交AB于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若动直线l与圆O：x2＋y2＝83相切，且与点M的轨迹交于点E，F，求证：以EF为直径的圆恒过坐标原点.(1)解圆B的圆心为B(－2，0)，半径r＝42，|BC|＝4. 连接MC，由已知得|MC|＝|MA|，∵|MB |＋|MC |＝|MB |＋|MA |＝|BA |＝r ＝42>|BC |，∴由椭圆的定义知：点M 的轨迹是中心在原点，以B ，C 为焦点，长轴长为42的椭圆， 即a ＝22，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4， ∴点M 的轨迹方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线EF 的斜率不存在时， 直线EF 的方程为x ＝±83， E ，F 的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫83，83，⎝⎛⎭⎪⎫83，－83或⎝⎛⎭⎪⎫－83，83，⎝⎛⎭⎪⎫－83，－83， OE →·OF →＝0.当直线EF 斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx ＋m ， ∵EF 与圆O ：x 2＋y 2＝83相切，∴|m |1＋k2＝83，即3m 2＝8k 2＋8. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∴OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，(*)联立⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， ∴x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，代入(*)式得OE→·OF→＝(1＋k2)·2m2－81＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2＝3m2－8k2－81＋2k2，又∵3m2＝8k2＋8，∴OE→·OF→＝0，综上，以EF为直径的圆恒过定点O.31 / 31。
高考数学复习历年考点题型专题讲解28--- 函数的零点的问题(解析版)
高考数学复习历年考点题型专题讲解28函数的零点的问题一、题型精讲 解题方法与技巧题型一、函数零点个数判断与证明可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为【答案】： 5【解析】：因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.变式1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点； 【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点．变式2、【2020年高考浙江】已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；【解析】（Ⅰ）因为(0)10f a =-<，22(2)e 2e 40f a =--≥->，所以()y f x =在(0,)+∞上存在零点．因为()e 1x f x '=-，所以当0x >时，()0f x '>，故函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以函数以()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点．题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例2、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0.故选C ．变式1、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数2()e x f x ax =-．若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．【解析】设函数2()1e x h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1e ah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e 4a =． 变式2、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考）函数若()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩函数只有一个零点，则可能取的值有（）A ．2B ．C ．0D ．1【答案】ABC【解析】∵只有一个零点，∴函数与函数有一个交点，作函数函数与函数的图象如下，结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.综合得：或.故选：ABC.变式3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数（e 为自然对数的底），若且有四个零点，则实数m 的取值可以为（）A ．1B ．eC ．2eD ．3e()()g x f x x a =-+a 2-()()g x f x x a =-+()y f x =y x a =-()()1,1,ln 1,1,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩y x a =-0a ≤()y f x =y x a =-0a >ln(1)y x =-11y x '=-111x =-2x =2x =ln(1)y x =-2a =0a ≤2a =2,0()(1),0x x e mx m x f x e x x -⎧++<=⎨-≥⎩()()()F x f x f x ()F x【答案】CD【解析】因为，可得，即为偶函数， 由题意可得时，有两个零点，当时，，即时，， 由，可得，由相切，设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，可得切线的方程为，由切线经过点，可得， ()()()F x f x f x ()()F x F x =-()F x 0x >()F x 0x >0x -<()2x f x e mx m -=-+0x >()22x x x x F x xe e e mx m xe mx m =-+-+=-+()0F x =20x xe mx m -+=(),21xy xe y m x ==-(),t tte x y xe =(1)x y x e '=+(1)t t e +(1)()t t y te t e x t -=+-1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1(1)2t t te t e t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭解得：或（舍去），即有切线的斜率为， 故，故选：CD.二、达标训练1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为________. 【答案】【解析】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立. 令，，则， 再令，，则， 1t =12-2e 22,m e m e >∴>()()()212ln f x a x x =---()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭a 24ln 2-()0f x <10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x >10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2ln 21xa x >--()2ln 21x l x x =--10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()222ln 2'1x x l x x +-=-()22ln 2m x x x =+-10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()22212'20x x x x m x ---==+<故在上为减函数，于是， 从而，于是在上为增函数，所以， 故要使恒成立，只要， 综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知函数()2,()f x x ax b a b R =++∈在区间[]2,3上有零点，则2a ab +的取值范围是（）A ．(],4-∞B ．81,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．814,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．81,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】不妨设1x ，2x 为函数()f x 的两个零点，其中[]12,3x ∈，2x R ∈， 则12x x a +=-，12x x b =.则()()()()2222212121212112112a ab x x x x x x x x x x x x +=+-+⋅=-+-+，由110x -<，2x R ∈，所以()()()()()222111122212112114121241x x x x x x x x x x x ----+≤-+-()m x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭()'0l x >()l x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()124ln 22l x l ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭2ln 21xa x >--[)24ln 2,a ∈-+∞()f x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭a 24ln 2-24ln 2-()41141x x =-， 可令()()411141x g x x =-，()()()311113441x x g x x -'=-， 当[]12,3x ∈，()10g x '>恒成立，所以()()()1812,34,8g x g g ⎡⎤∈=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 则()1g x 的最大值为818，此时13x =， 还应满足()2112123214x x x x -=-=--，显然13x =，234x =-时，94a b ==-，2818a ab +=. 故选：B.3、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）已知函数()2ln 1f x x =-，()g x a x m =-，若存在实数0a >使()()y f x g x =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，则m 的取值范围为________． 【答案】,2ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】已知实数0a >使()()y f x g x =-在1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个零点，等价于()y f x =与()y g x =的函数图象在1e e⎛⎫ ⎪⎝⎭,上有2个交点， 显然()2ln 1f x x =-与x轴的交点为)，()g x a x m =-的图象关于x m =对称，当m ≥时，若要有2个交点，由数形结合知m 一定小于e ，即)m e ∈；当m <时，若要有2个交点，须存在a 使得()2ln 1x a x m -=-在)e 有两解，所以()f e a f ''<<，因为()2f x x '=，即()2,0f e f a e ''==>，显然存在这样的a 使上述不等式成立； 由数形结合知m 须大于()f x 在x e =处的切线21y x e=-与x 轴交点的横坐标2e ，即2e m ⎛∈ ⎝ 综上所述，m 的范围为,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故答案为：,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭4、（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数（为常，若为正整数，函数恰好有两个零点，求的值.【解析】因为为正整数，若，则，，由（2）知在和单调递增，在单调递减， 又，所以在区间内仅有实根，， 又，所以在区间内仅有实根. 此时，在区间内恰有实根；若，在单调递增，至多有实根.若，， 令，则，，， 所以. ()()2ln 22f x x ax a x =+-++aa ()f x a a 02a <<1a =()2ln 32f x x x x =+-+()y f x =10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()10f =()y f x =1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1()1102f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭()()24222330f e e e e e -----=-=-<()y f x =10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1()y f x =()0,∞+22a =()y f x =()0,∞+12a >()2111111ln 22ln 1f a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1t a =102t <<ln 1y t t =-+110y t'=->111ln1ln 20222y <-+=-<由（2）知在单调递减，在和单调递增， 所以，所以在至多有实根. 综上，.()y f x =11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1102f f a ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =()0,∞+11a =。
专题28 二次函数与菱形存在问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(原卷版)
专题28 二次函数与菱形存在问题1．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，抛物线228=+-y x x 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）连接AC ，直线()40x m m =-<<与该抛物线交于点E ，与AC 交于点D ，连接OD ．当OD AC ⊥时，求线段DE 的长；（3）点M 在y 轴上，点N 在直线AC 上，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点M ，使得以C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021·湖南娄底·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ． ①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．3．（2021·重庆市·中考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）求线段BC 的长； （2）点P 为第三象限内抛物线上一点，连接BP ，过点C 作//CE BP 交x 轴于点E ，连接PE ，求BPE 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以y 轴为对称轴，将抛物线213222y x x =+-对称，对称后点P 的对应点为点P '，点M 为对称后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点A 、P '、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．4．（2021·重庆市·中考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223y x x =+-交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，连接BC ，过点A 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求线段BE 的长； （2）如图1，点P 为第三象限内抛物线上一点，连接AP 交BC 于点D ，连接连接BP ，记△BDP 的面积为1S ，△ABD 的面积为2S ，当12S S 的值最大时，求出这个最大值和点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线223y x x =+-沿射线BC 个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G ，点M 为平移后的抛物线对称轴上一点，N 为平面内一点，是否存在以点D 、G 、M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，则请说明理由．5．（2021·山西大同·中考一模）综合与探究 如图1，已知抛物线2142y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，作直线BC ，点C 关于x 轴的对称点是点C '．（1）求点C '的坐标和直线BC 的表达式；（2）如图2，点M 在抛物线的对称轴上，N 为平面内一点，依次连接BM ，C M '，C N '，NB ，当四边形BMC N '是菱形时，求点M 坐标；（3）如图3，点P 是抛物线第一象限内一动点，过P 作x 轴的平行线分别交直线BC 和y 轴于点Q 和点E ，连接PC '交直线BC 于点D ，连接QC '，PB ，设点P 的横坐标为m ，△QC D '的面积为1S ，△PBD 的面积为2S ，求12S S -的最大值．6．（2021·山西万柏林·中考一模）综合与探究：如图1，一次函数y =-的图象分别与x 轴，y 轴交于B ，C 两点，二次函数2y ax c =+的图象过B ，C 两点，且与x 轴交于另一点A ．（1）求二次函数的解析式；（2）点P 是二次函数图象的一个动点，设点P 的横坐标为m ，若2∠=∠ABC ABP ．求m 的值； （3）如图2，过点C 作//CD x 轴交抛物线于点D ．点M 是直线BC 上一动点，在坐标平面内是否存在点N ，使得以点C ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标：若不存在，请说明理由．7．（2021·重庆一中·中考一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0，6），其中AB ＝8，tan ∠CAB ＝3 （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD //AC 交x 轴于点D ，交BC 于点E ，求的最大值及点P 的坐标．（3）将该抛物线沿射线CA 方向平移个单位长度得到抛物线y 1，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F，点G为抛物线y1的顶点，点M为直线FG上一点，点N为平面上一点．在（2）中，的值最大时，是否存在以P、E、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021·黑龙江讷河·九年级期中）综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值为______．（3）如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N①当ANC面积最大时的P点坐标为______；最大面积为______．②点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D、F、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2021—2022重庆市九年级期中）如图1在平面直角坐标系中，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．（1）求ABC 的周长． （2）已知点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，连接PA ，PC ，求PAC △的面积的最大值．（3）如图2，点D 为抛物线的顶点，对称轴DE 交x 轴于点E ， M 是直线AC 上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得以点C ，E ，M ，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点N 的坐标，若不存在，说明理由．10．（2021—2022广东珠海市九年级期中）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点D 的坐标为（﹣2，9），抛物线与坐标轴分别交于A 、B 、C 三点，且B 的坐标为（0，5），连接DB 、DC ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，与CD 交于H ，与CB 交于G ，若线段HG 把△CBD 的面积分成相等的两部分，求P 点的坐标；（3）若点M 在直线CB 上，点N 在平面上，直线CB 上是否存在点M ，使以点C 、点D 、点M 、点N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021·湖北五峰·九年级期末）如图，已知抛物线2()A和=++≠经过点(1,0)y ax bx a30 B，与y轴交于点C．点(3,0)（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．∆的面积最大时点P的坐标．②连接PB，PC，求PBC（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的边BC 在x 轴上，90ABC ∠=，以A 为顶点的抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)C ，交y 轴于点(0,3)E ，动点P 在对称轴上． （1）求抛物线解析式；（2）若点P 从A 点出发，沿A B →方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B 停止，设运动时间为t 秒，过点P 作PD AB ⊥交AC 于点D ，过点D 平行于y 轴的直线l 交抛物线于点Q ，连接,AQ CQ ，当t 为何值时，ACQ ∆的面积最大？最大值是多少？ （3）若点M 是平面内的任意一点，在x 轴上方是否存在点P ，使得以点,,,P M E C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M 点坐标；若不存在，请说明理由．。
高考数学28个答题模板及答题技巧汇总(真的超精细哦)
高考数学28个答题模板及答题技巧汇总(真的超精细哦)本文总结了高考数学中常见的28个题型、解题模板和解题技巧，希望能够对考生提供参考和帮助。
单选题1. 未知数的代值：将题目中给定的条件代入方程中，解方程即可；未知数的代值：将题目中给定的条件代入方程中，解方程即可；2. 因式分解求值：将式子进行因式分解，再将已知的值代入求得答案；因式分解求值：将式子进行因式分解，再将已知的值代入求得答案；3. 图像与解析式配对：通过画图或分析图像，找到图像对应的解析式，再求得答案；图像与解析式配对：通过画图或分析图像，找到图像对应的解析式，再求得答案；4. 二次函数：将二次函数用顶点式表示或通过配方法将二次函数转化为标准式，再根据已知条件求解；二次函数：将二次函数用顶点式表示或通过配方法将二次函数转化为标准式，再根据已知条件求解；5. 三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；6. 数列求和：根据数列的首项、公比、项数等已知条件，利用数列求和公式求解；数列求和：根据数列的首项、公比、项数等已知条件，利用数列求和公式求解；7. 圆的性质：根据圆的定义、性质，以及圆内接、外接三角形性质进行判断和计算；圆的性质：根据圆的定义、性质，以及圆内接、外接三角形性质进行判断和计算；8. 统计与概率：根据统计数据和概率公式进行计算。
统计与概率：根据统计数据和概率公式进行计算。
填空题9. 比例求值：根据已知值和比例关系，通过求解等式来求得答案；比例求值：根据已知值和比例关系，通过求解等式来求得答案；10. 三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；三角函数：根据三角函数的性质以及三角恒等式进行变形，再根据已知条件求解；11. 函数求值：根据函数的定义和已知条件，将函数进行变形，得出结果；函数求值：根据函数的定义和已知条件，将函数进行变形，得出结果；12. 平面几何：根据平面几何的定义、定理和公式，进行计算；平面几何：根据平面几何的定义、定理和公式，进行计算；13. 空间几何：根据空间几何的定义、定理和公式，进行计算。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解9 二次函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
通关二、二次函数的图像和性质R对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。
【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系【例1】设abc >0，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像可能是（）【答案】D【解析】A 选项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知2ba-<0，所以b <0。
若abc >0，则c >0，而由题图知f (0)=c <0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a <0，2ba->0，所以 0b >.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =>,所以B 选项不符;C 选项,由题图知0a >,02ba-<,所以0b >.若0abc >,则0c >,而由题图知(0)0f c =<,所以C 选项不符;D 选项,由题图知0,02ba a>->,所以0b <.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =<,所以D 选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点(3,0)A -,对称轴为1x =-.给出下面四个结论:①24b ac >;②2a b -＝－1;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确的是( ). A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】B【解析】因为图像与x 轴交于两点,所以240b ac ->,即24b ac >,①正确.对称轴为1x =-,即1,202ba b a-=--=,②错误.结合图像,当1x =-时,0y >,即0,a b c -+>③错误.由对称轴为1x =-知,2b a =.又函数图像开口向下,所以0a <,所以52a a <,即5a b <,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2bx a=-,顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①如果二次函数()y f x =满足()()12f x f x =,那么函数()y f x =的图像关于x 122x x +=对称.②二次函数()y f x =使()()f a x f a x +=-成立的充要条件是函数()y f x =的图像关于直线(x a a =为常数)对称.【例2】若2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称,则c =_______. 【答案】2 【解析】由题意可知212b +=,解得0b =,所以012c+=,解得2c =. 【变式】已知二次函数2()f x ax bx c =++,如果()()(12f x f x =其中)12x x ≠,则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭_____.【答案】244ac b a-【解析】因为()()12f x f x =,所以()y f x =的图像关于122x x x +=对称,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭244ac b a-=. 结论三、二次函数的单调性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠ (1)当0a >时,如图(a)所示,抛物线开口向上,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递减,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;(2)当0a <时,如图(b)所示,抛物线开口向下,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递增,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.【例3】已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数,则实数k 的取值范围为_______.【答案】4k …或8k …【解析】函数2()f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是x 2k=.因为已知函数在[2,4]上是单调函数,所以区间[2,4]应在直线2k x =的左侧或右侧,即有22k …或42k …,解得4k …或8k …. 【变式】若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是(). A.(0,3) B.(1,3) C.[1,3] D.[0,4]【答案】C【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,所以对称轴x a =应在1x =的右侧,3x =的左侧或与1,3x x ==重合,所以[1,3]a ∈.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令02p qx +=: (1)若2bp a-…,则(),()m f p M f q ==; (2)若02b p x a <-<,则,()2b m f M f q a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;(3)若02b x q a -<…,则,()2b m f M f p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; (4)若2b q a-…,则(),()m f q M f p ==. 【例4】如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[,1]t t +上,求()f x 的最小值.【答案】2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟 【解析】函数2()(1)1f x x =-+,其对称轴方程为1x =,顶点坐标为(1,1),图像开口向上.如图()a 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时,有1t <,此时,当x t =时,函数取得最小值2min ()()(1)1f x f t t ==-+.如图()b 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时,有11t t +剟,即01t 剟.当1x =时,函数取得最小值min ()(1)1f x f ==.如图(c)所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时,有11t +<,即0t <.当1x t =+时,函数取得最小值,2min ()(1) 1.f x f t t =+=+综上,2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【变式】已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式;(2)若()f x 在区间[2,1a a +]上不单调,求a 的取值范围; (3)若[,2]x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.【解析】(1)因为()f x 是二次函数,且(0)(2)f f =,所以()f x 图像的对称轴为1x =.又()f x 的最小值为1,设2()(1)1(0)f x k x k =-+>,又(0)3f =,所以2k =.所以()f x =222(1)1243x x x -+=-+.(2)要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调,则211a a <<+,所以102a <<. (3)由(1)知,()y f x =的对称轴为1x =,若1t …,则()y f x =在[,2]t t +上是增函数,min y 2243t t =-+;若21t +…,即1t -…,则()y f x =在[,2]t t +上是减函数,min (2)y f t =+=2243t t ++;若12t t <<+,即11t -<<,则min (1)1y f ==.综上,当1t …时,2min 24y t t =-3+;当11t -<<时,min 1y =;当1t -…时,2min 243y t t =++.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设2()(0)f x ax bx c a =++> ①0∆<⇔函数()y f x =的图像与x 轴无交点⇔方程()0f x =无实根⇔不等式()0f x >的解集为⇔R 不等式()0f x …的解集为∅.②0∆=⇔函数()y f x =的图像与x 轴相切⇔方程()0f x =有两个相等的实根⇔不等式()0f x >的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭.③0∆>⇔函数()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程()0f x =有两个不等的实根:,(αβ设)αβ<⇔不等式()0f x >的解集为(,)(,)αβ-∞⋃+∞⇔不等式()0f x <的解集为(,)αβ.【例5】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足0121x x a<<<(1)当()10,x x ∈时,证明1()x f x x <<;(2)函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明:102x x <.【解析】证明(1)由题意可知()()12()f x x a x x x x -=--.因为1210x x x a<<<<,所以()()120a x x x x -->,所以当()10,x x ∈时,()f x x >.又1()(f x x a x -=-)()()()1211211,0x x x x x x x ax ax x x -+-=--+-<且22110ax ax ax -+>->,所以1()f x x <.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知2()(1)f x x ax b x c -=+-+,它的对称轴方程为12b x a-=-,由方程()f x 0x -=的两个根12,x x 满足1210x x a <<<,可得121102b x x a a -<<<<-得1212b x x a --=-12b a---,所以121111222b b b x x a a a a ----=-<----,即1b x a -<,而02bx a =-,故102x x <. 【变式】设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和()223x a a x a -++<0()a ∈R 的解集分别是A 和B .(1)若A B ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得A B ⋃=R ?如果存在,求出a 的值,如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)(){}2(,1)(2,),|()0A a a B x x a x a=-∞-⋃++∞=--<①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋂=∅,得212a aa a -⎧⎨+⎩……,解得12a -剟. 所以10a -<…或12a <….②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋂=∅显然成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋂=∅,得212a aa a ⎧-⎨+⎩……,解得a ∈R .所以01a <<.综上,实数a 的取值范围是[1,2]-. (2)假设存在实数a ,使得A B ⋃=R ,则:①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋃=R ,得212a a a a <-⎧⎨+<⎩,所以a 不存在.②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋃=R 显然不成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋃=R ,得212a a a a a ⎧<-⇒∈∅⎨>+⎩. 综上,不存在实数a 使得A B ⋃=R 成立.结论六、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>根的分布令2()(0)f x ax bx c a =++>图像＞充要0∆⎧…0∆⎧…()0f k <0∆…图像＞注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①∆;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若()0f k <,则不用考虑∆、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分0∆>,还是0∆…. 【例6】二次方程()22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是().A.31a -<<B.20a -<<C.10a -<<D.02a << 【答案】C 【解析】令()22()12f x x a x a =+++-,则由题意可知(1)0f <且(1)0f -<,即220,20a a a a ⎧+<⎨-+>⎩,解得10a -<<.故选C .【变式】求实数m 的范围,使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,αβ,且满足014αβ<<<<.(3)至少有一个正根.【答案】75(1)1(2)(3)154m m m <--<<--… 【解析】2()2(1)26y f x x m x m ==+-++.(1)依题意有(2)0f <,即44(1)260m m +-++<,得1m <-.(2)依题意有(0)260(1)450(4)10140f m f m f m =+>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩,解得7554m -<<-. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得0)0(0)(10202)f m ∆>⎧⎪⎪>⎨--⎪>⎪⎩…,即1531m m m m -≥⎧⎪>-⎨⎪<⎩或…,所以31m -<-….②有一个正根,一个负根,此时可得(0)0f <,得3m <-. ③有一个正根,另一根为0,此时可得6202(1)0m m +=⎧⎨-<⎩,所以3m =-.综上,1m -….。
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解29 函数y=Asin(ωx+φ)
高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§4.6函数y＝Asin(ωx＋φ)考试要求1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．知识梳理1．简谐运动的有关概念已知函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥02.用“五点法”画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径常用结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( × )(2)函数f (x )＝sin 2x 向右平移π6个单位长度后对应的函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.( × )(3)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为T2.( √ ) 教材改编题1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( )A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8 答案 A解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.2．(2022·浙江)为了得到函数y ＝2sin 3x 的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π5图象上所有的点( )A ．向左平移π5个单位长度 B ．向右平移π5个单位长度 C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 答案 D解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π5＝2sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π15，所以要得到函数y ＝sin 3x 的图象，只要把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π5图象上所有的点向右平移π15个单位长度即可，故选D.3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f (t )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12t －π6，其中f (t )的单位为m ，t 的单位是h ，则12点时潮水的高度是________m. 答案 1解析 当t ＝12时，f (12)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π－π6＝2sin 5π6＝1， 即12点时潮水的高度是1 m.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1(1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )等于( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4―――――――――――――→将其图象向左平移3π个单位长度y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．(2)(2022·全国甲卷)将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( ) A.16 B.14 C.13 D.12 答案 C解析 记曲线C 的函数解析式为g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωx ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π3.因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以π2ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝13.故选C.思维升华 (1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．跟踪训练1(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，为了得到曲线C 2，则对曲线C 1的变换正确的是( )A ．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度 B ．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度 C ．先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度D ．先把横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度 答案 C解析 A 项， 先把曲线C 1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度得y ＝cos 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π12＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7π12的图象，故A 错误； B 项，先把曲线C 1上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝cos 12x 的图象，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度得y ＝cos 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋7π12的图象，故B 错误；C 项，先把曲线C 1上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得y ＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故C 正确；D 项，先把曲线C 1上点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得y ＝cos 2x 的图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，故D 错误．(2)(2023·宁波模拟)将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π6个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为( ) A.32 B ．2 C ．3 D ．6答案 A解析 将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2的图象向左平移π6个单位长度后，可得f (x )＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6ω－π2， 将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2的图象向右平移π6个单位长度后， 可得g (x )＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－π2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6ω－π2， 因为函数f (x )与g (x )的对称中心重合，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π6ω－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6ω－π2＝k π2，k ∈Z ，即π3ω＝k π2，k ∈Z ，解得ω＝3k2，k ∈Z ， 又因为ω>0，所以ω的最小值为32.题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2(1)(2023·芜湖模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的大致图象如图所示，将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2＋3k π，3k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k π，3k π＋3π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋3k π，5π4＋3k π(k ∈Z ) 答案 C解析 依题意，⎩⎨⎧A ＋b ＝1，－A ＋b ＝－3，解得⎩⎨⎧A ＝2，b ＝－1，∴f (x )＝2cos(ωx ＋φ)－1，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，∴T 4＝π3－π12＝π4， 故T ＝π＝2πω，则ω＝2， ∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)－1， 而2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ－1＝1，∴π6＋φ＝2k π(k ∈Z )， 又|φ|<π2，故φ＝－π6， ∴f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.将函数f (x )的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后， 得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6－1，再向左平移π2个单位长度，得到g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3－π6－1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6－1，令－π＋2k π≤23x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，故－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z )，故函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4＋3k π，－π4＋3k π(k ∈Z )．(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝______.答案 － 3解析 由题意可得，34T ＝13π12－π3＝3π4， ∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，当x ＝13π12时，ωx ＋φ＝2×13π12＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－136π(k ∈Z )． 令k ＝1可得φ＝－π6， 据此有f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2－π6＝2cos 5π6＝－ 3. 思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b .确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2. (2)求ω.确定函数的最小正周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．跟踪训练2(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在[－π，π]上的图象大致如图，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ＋π6B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6 C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x －π6D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋π6答案 B解析 由图象知π<T <2π，即π<2π|ω|<2π， 所以1<|ω|<2.因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9，0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π9ω＋π6＝0，所以－4π9ω＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以ω＝－94k －34，k ∈Z . 因为1<|ω|<2，故k ＝－1，得ω＝32， 所以f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π6.(2)(2023·潍坊模拟)已知函数g (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数g (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数f (x )的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π12＝________.答案 1解析 由题图可知，周期T ＝π，ω＝2πT ＝2， 所以g (x )＝2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)， 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，－2在g (x )的图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝－2，所以5π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， 因为|φ|<π，所以φ＝2π3， 所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×35π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π6＋π3＝1.题型三 三角函数图象、性质的综合应用 命题点1 图象与性质的综合应用例3(2023·临沂模拟)已知函数f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，则( ) A ．g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是g (x )的一个对称中心C ．g (x )是奇函数D ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的值域为[0,2]答案 B解析 因为f (x )＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx (ω>0)，所以f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，因为函数f (x )的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，所以12·2π2ω＝π2，所以ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－2cos 2x ，即g (x )＝－2cos 2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，故A 错误；对于B ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＝－2cos π2＝0，故点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0是g (x )的一个对称中心，故B 正确；对于D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以g (x )∈[－1,2]，故D 错误．命题点2 函数零点(方程根)问题例4已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6有两个不同的实数根．即直线y ＝m 2和函数y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，13π6的图象有两个不同交点，作出y ＝m 2，y ＝sin t 的图象，如图中实线部分所示．由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)．延伸探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是________．答案 [－2,1)解析 同例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12，∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 三角函数模型例5(多选)(2023·石家庄模拟)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2)．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O 距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图3中点P 0)开始计时，则下列结论正确的是()A ．点P 再次进入水中时用时30秒B ．当水轮转动50秒时，点P 处于最低点C ．当水轮转动150秒时，点P 距离水面2米D ．点P 第二次到达距水面(1＋3)米时用时25秒 答案 BCD解析 由题意，角速度ω＝2π60＝π30(弧度/秒)，又由水轮的半径为2米，且圆心O 距离水面1米，可知半径OP 0与水面所成角为π6，点P 再次进入水中用时为π＋2×π6π30＝40(秒)，故A 错误；当水轮转动50秒时，半径OP 0转动了50×π30＝5π3(弧度)，而5π3－π6＝3π2，点P 正好处于最低点，故B 正确；建立如图所示的平面直角坐标系，设点P 距离水面的高度H ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A >0，ω>0)， 由⎩⎨⎧H max ＝A ＋B ＝3，H min ＝－A ＋B ＝－1， 所以⎩⎨⎧A ＝2，B ＝1，又角速度ω＝2π60＝π30(弧度/秒)，当t ＝0时，∠tOP 0＝π6，所以ω＝π30，φ＝－π6， 所以点P 距离水面的高度H ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋1，当水轮转动150秒时，将t ＝150代入，得H ＝2，所以此时点P 距离水面2米，故C 正确；将H ＝1＋3代入H ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6＋1中，得π30t －π6＝2k π＋π3或π30t －π6＝2k π＋2π3，即t＝60k ＋15或t ＝60k ＋25(k ∈N )．所以点P 第二次到达距水面(1＋3)米时用时25秒，故D 正确．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3(1)(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π<φ<－π2的部分图象如图所示，把函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3为偶函数B ．g (x )的最小正周期是πC ．g (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，π上单调递减答案 B解析 由图知，A ＝2，f (0)＝－1，则2sin φ＝－1， 即sin φ＝－12，因为－π<φ<－π2，所以φ＝－5π6.因为x ＝5π6为f (x )的零点，则5πω6－5π6＝k π(k ∈Z )，得ω＝1＋6k5(k ∈Z )． 由图知，5π6<T ＝2πω<2π， 则1<ω<125，所以k ＝1，ω＝115， 从而f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫115x －5π6.由题设，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫115×1011x －5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－5π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6为非奇非偶函数，所以A 错误； g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以B 正确；当x ＝π2时， 2x －5π6＝π6≠π2，则g (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，所以C 错误； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，π时， 2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，则g (x )的图象不单调，所以D 错误．(2)(2023·六安模拟)已知函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤103，236 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，133 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤176，133 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤176，236 答案 A解析 f (x )＝sin πωx －3cos πωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πωx －π3，因为x ∈(0,1)，所以πωx －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，ωπ－π3，又因为函数f (x )＝sin πωx －3cos πωx (ω>0)在(0,1)内恰有3个极值点和4个零点， 由图象得3π<ωπ－π3≤7π2，解得103<ω≤236，所以实数ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤103，236.(3)(2022·南京模拟)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，其开放与闭合与体内的一种时钟酶有关．研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次．已知某景区一天内5～17时的气温T (单位： ℃)与时间t (单位：h)近似满足关系式T ＝20－10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t －π8，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历( )⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π10≈0.8 A ．1.4 h B ．2.4 h C ．3.2 h D ．5.6 h 答案 B解析 设t 1时开始开放，t 2时开始闭合，结合时钟花每天开闭一次， 可得20－10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t 1－π8＝20，t 1∈[5,17]，解得t 1＝9，20－10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t 2－π8＝28，t 2∈[5,17]，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t 2－π8＝－45，由sin 3π10≈0.8得sin 13π10≈－45， 由π8t 2－π8＝13π10得t 2＝575∈[5,17]， ∴t 2－t 1＝125＝2.4(h)．课时精练1．(2023·武汉模拟)为了得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π8的图象，只需将y ＝sin x 图象上每一点的纵坐标不变( )A ．每一点的横坐标变为原来的14，再向右平移π8个单位长度 B ．每一点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移π8个单位长度 C ．先向右平移π8个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的4倍 D ．先向右平移π2个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的14 答案 C解析 y ＝sin x 图象上每一点的横坐标变为原来的4倍得到y ＝sin x4的图象，再向右平移π2个单位长度得到y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π8的图象，故A ，B 错误；y ＝sin x 的图象先向右平移π8个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8的图象，再把每一点的横坐标变为原来的4倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π8的图象，故C 正确，D 错误．2．(2023·烟台模拟)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象是由函数g (x )的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则φ的值为( )A.π3B.π4C.π6D.π12 答案 A解析 因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象是由函数g (x )的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度得到，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2φ.因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝－32.故可得π3－2φ＝2k π－π3，k ∈Z 或π3－2φ＝2k π－2π3，k ∈Z ， 又0<φ<π2，所以φ＝π3.3．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg 或舒张压≥90 mmHg ，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t ＝0 h)，他的血压p (t )(mmHg)与经过的时间t (h)满足关系式p (t )＝115＋20sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π3，则下列选项中正确的是( )A ．当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升B ．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHgC ．当天陈华没有高血压D ．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg 答案 ABD解析 由已知，选项A ，当天早晨6～7点，则t ∈[0,1]，π6t ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以函数p (t )在[0,1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确；选项B ，当t ＝3时，p (t )＝115＋20sin 5π6＝125，所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg ，故该选项正确；选项C ，D ，因为p (t )的最大值为115＋20＝135，最小值为115－20＝95≥90，所以陈华的收缩压为135 mmHg ，舒张压为95 mmHg ，因此陈华有高血压，故选项C 错误；他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg ，故选项D 正确．4．(2023·湘潭模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6答案 C解析 观察图象得A ＝1，令函数f (x )的周期为T ，则有3T 4＝11π12－π6＝3π4，解得T ＝π，则ω＝2πT ＝2，而当x ＝π6时，f (x )max ＝1，则有2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝π6，因此，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，所以将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 5．(2023·九江模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移2π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则( )A ．g (x )的最小正周期是2πB ．g (x )的最小值为－2C ．g (x )在(0，π)上单调递增D ．g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称答案 C解析 由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3； 再将所得图象向右平移2π3个单位长度得 y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π3， 所以g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2π3，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A ，B ；其单调递增区间为－π＋2k π≤12x －2π3≤2k π(k ∈Z )，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋4k π，4π3＋4k π(k ∈Z )，C 正确；对称中心为12x －2π3＝－π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝π3＋2k π(k ∈Z )，所以其图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π，0(k ∈Z )对称，排除D. 6．已知函数f (x )＝－sin 2ωx (ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得图象关于直线x ＝π3对称，则实数a 的最小值为( ) A ．π B.π3 C.3π4 D.π4 答案 B解析 函数f (x )＝－sin 2ωx ＝cos 2ωx －12(ω>0)的最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f (x )＝cos 2x －12，若将其图象沿x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，可得y ＝cos (2x －2a )－12的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π3对称，可得2×π3－2a ＝k π，k ∈Z ， 令k ＝0，可得实数a 的最小值为π3.7．(2022·镇江模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在[0,2π]上的单调递减区间为________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6解析 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由π2≤x ＋π3≤3π2，x ∈[0,2π]，得π6≤x ≤7π6.8．(2023·芜湖模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则φ＝________. 答案 －π6解析 由y ＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6个单位长度后，可得f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象， 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象关于y 轴对称，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π＋5π6，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝－π6.9．(2022·杭州模拟)求范围和图象：(1)y ＝sin x 的函数图象先向左平移π4个单位长度，然后横坐标变为原来的12，得到f (x )的图象，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的取值范围；(2)如图所示， 请用“五点法”列表，并画出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在一个周期内的图象．解 (1)由题设，可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1.(2)所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象如图．10．(2023·重庆模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋2cos 2ωx2＋m 的最小值为－2. (1)求函数f (x )的最大值；(2)把函数y ＝f (x )的图象向右平移π6ω个单位长度，可得函数y ＝g (x )的图象，且函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，求ω的最大值． 解 (1)f (x )＝3sin ωx ＋2cos 2ωx 2＋m ＝3sin ωx ＋cos ωx ＋1＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋1＋m ，∵函数f (x )的最小值为－2， ∴－2＋1＋m ＝－2，解得m ＝－1， 则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，∴函数f (x )的最大值为2.(2)由(1)可知，把函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π6ω个单位长度，可得函数y ＝g (x )＝2sin ωx 的图象． ∵y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，∴函数g(x)的周期T＝2πω≥π2，∴ω≤4，即ω的最大值为4.11.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋b⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为()A．f(x)＝12sin 2πx＋1，S＝2 023B．f(x)＝12sin 2πx＋1，S＝2 02312C．f(x)＝12sinπ2x＋1，S＝2 02412D．f(x)＝12sinπ2x＋1，S＝2 024答案 D解析由图象知⎩⎪⎨⎪⎧T＝2πω＝4，A＋b＝32，－A＋b＝12，∴ω＝π2，b＝1，A＝12，∴f(x)＝12sin⎝⎛⎭⎪⎫π2x＋φ＋1.由f(x)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32得12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋1＝32， ∴φ＝2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝0. ∴f (x )＝12sin π2x ＋1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 0＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 3π2＋1＝4. 又2 024＝4×506，∴S ＝4×506＝2 024.12．(2023·福州模拟)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2＋sin x ，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ的值为( ) A.π24 B ．－π24 C.3π8 D.π4 答案 A解析 由题意可知，f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2＋sin x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 2＋sin x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，将函数f (x )的图象上所有点的横坐标缩短为原来的14，纵坐标不变，可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象，然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4φ＋π3的图象，因为所得的图象关于y 轴对称，为偶函数， 所以4φ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝π24＋k π4(k ∈Z )，取k ＝0，得φ＝π24.无论k 取任何整数，无法得到B ，C ，D 的值．13．(2023·大连模拟)如图为函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，|φ|≤π2的部分图象，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，若f (x 1)＝f (x 2)，都有f (x 1＋x 2)＝2，则φ＝________.答案 π4解析 由三角函数的最大值可知A ＝2， 不妨设x 1＋x 22＝m ，则x 1＋x 2＝2m ， 由三角函数的性质可知， 2m ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 则f (x 1＋x 2)＝2sin[2(x 1＋x 2)＋φ] ＝2sin(2×2m ＋φ) ＝2sin[2×(2m ＋φ)－φ] ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2－φ＝2sin(4k π＋π－φ)＝2sin φ＝2，则sin φ＝22，结合|φ|≤π2，得φ＝π4.14．风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P 在风车的最低点(P 离地面30米)，设点P 离地面的距离为S (米)，转动时间为t (秒)，则S 与t 之间的函数解析式为________，一圈内点P 离地面的高度不低于45米的时长为________秒．答案 S ＝60－30cos π3t (t >0) 4解析 因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为π3rad/s ，经过t 秒时，叶片转过的圆心角为π3t ，此时离地面的高度为30＋30⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos π3t ，故S ＝60－30cos π3t (t >0)．由S ＝60－30cos π3t ≥45，得cos π3t ≤12，因为0≤t ≤6，cos π3t ≤12，所以π3≤π3t ≤5π3，解得1≤t ≤5， 故一圈内点P 离地面的高度不低于45米的时长为4秒．15．信息传递多数是以波的形式进行传递，其中必然会存在干扰信号(如y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，某种“信号净化器”可产生形如y ＝A 0sin(ω0x ＋φ0)的波，只需要调整参数(A 0，ω0，φ0)，就可以产生特定的波(与干扰波波峰相同，方向相反的波)来“对抗”干扰．现有波形信号的部分图象，想要通过“信号净化器”过滤得到标准的正弦波(标准正弦函数图象)，应将波形净化器的参数分别调整为()A ．A 0＝34，ω0＝4，φ0＝π6B ．A 0＝－34，ω0＝4，φ0＝π6 C ．A 0＝1，ω0＝1，φ0＝0 D ．A 0＝－1，ω0＝1，φ0＝0 答案 B解析 设干扰信号对应的函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2. 由题图得，π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π24＝34T (T 为干扰信号的周期)，解得T ＝π2， ∴ω＝2πT ＝2ππ2＝4.∵函数的最大值为34，∴A ＝34.31 / 31 将⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－34代入y ＝34sin(4x ＋φ)， 解得φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6.∴y ＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. ∴欲消除y ＝34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的波需要选择相反的波，即y ＝－34sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6， ∴A 0＝－34，ω0＝4，φ0＝π6.16．(2023·湘潭模拟)若函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在(0，α)上恰有2个零点，则α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，4π3B.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，4π3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π3，8π3 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，8π3 答案 B解析 由题意得，函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 因为0<x <α，所以π3<2x ＋π3<2α＋π3，又由f (x )在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋π3≤3π，解得5π6<α≤4π3，所以α的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤5π6，4π3.。
高考数学复习初等函数知识点：二次函数
高考数学复习初等函数知识点：二次函数二次函数的差不多表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
，下面是高考数学复习初等函数知识点：二次函数，期望对考生有关心。
1、二次函数的定义一样地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等差不多上二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范畴是全体实数;(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对比定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.2、二次函数y=ax2的图象和性质(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象差不多上抛物线.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也确实是说,当a>0时,函数y=ax2具有如此的性质：当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;高考数学复习初等函数知识点：二次函数就为大伙儿分享到那个地点，更多杰出内容请关注高考数学知识点栏目。
二次函数
四.典型例题
四.典型例题
思路分析：对(1)根据题意，设y=ax2+c，由 1 2 y x 56 B(140，0)，E(70，42)可求出 ； 350 对(2)先求出OC＝56， 1 2 由题意，得方程 . 28 x 56 350 求出x的值就可知是否存在 . 知识考查：考查在实际问题中确定二次函数解 析式的方法及处理实际问题的思路.
三.知识要点
求二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式，需要 三个独立的条件确定三个系数a，b，c．运用待定系 数法进行求解. 一般地有如下几种情况： (1)已知抛物线经过三点，此时可把三点坐标代入解 析式y=ax2＋bx＋c，得到关于a，b，c的三元一次方 程组，解方程组可得系数a，b，c． 或者已知抛物线经过两点，这时把两点坐标代入解析 式，得两个方程，再利用其他条件可确定a，b，c． 或者已知抛物线经过某一点，这时把这点坐标代入解 析式，再结合其他条件确定a，b，c．
第二十一讲 二次函数的表达式
一.课标链接
二次函数的表达式
二次函数是一类十分重要的最基本的初等函数， 也是初中数学的主要内容之一，它在中学数学中起 着承上启下的作用，它与一元二次方程、一元二次 不等式知识的综合运用，是初中代数的重点和难点 之一．另外，二次函数在工程技术、商业、金融以 及日常生活中都有着广泛的应用．通过对二次函数 的学习，使我们能进一步理解函数思想和函数方法， 提高分析问题、解决问题的能力．正确掌握二次函 数的基本性质是学好二次函数的关键.题型有填空、 选择与解答题，其中以计算型综合解答题居多.
高考数学总复习考点知识专题讲解28 泰勒展开追加与极值点偏移
高考数学总复习考点知识专题讲解 专题28 泰勒展开追加与极值点偏移到上一高考数学总复习考点知识专题讲解 专题，我们算是把高考题难度的极值点偏移问题解决方法都介绍到了，本讲介绍一点高精度的极值点偏移问题，介于本书更多服务于同步学习，本高考数学总复习考点知识专题讲解 专题有余力的同学可以参考借鉴，也不提供一些非考试用途的原创题，以免带偏方向，如果有后续一些考题，我们会以视频和电子文档向大家免费共享，本高考数学总复习考点知识专题讲解 专题同步训练不再设立.知识点一：含有x x ln 同构类型的零点偏移结构型若a x x x f ==ln )(有两个零点，则一定有2112ln ln x x x x =，通过同构换元后，令)(x g t =， 要证明021<-+m t t 或者021>-+m t t （m t t <<21），全部构造成1221t m t m t t --<或者1221t m t m t t -->形式，再构造单调函数直接转化为)()(21t h t h >或者)()(21t h t h <．【例1】（2019版本秒一选题）已知函数()ln f x x x =与直线y m =交于1122()()A x y B x y ，，，两点．证明：1221x x e<+<．【例2】（2021年新高考I 卷第22题节选）已知函数()(1ln )f x x x =-．设a ，b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e ba <+11．【例3】（2022•武汉零诊）已知x x e x f ln )2()(-=． （1）讨论)(x f 的单调性；（2）若1x ，)10(2，∈x ，（21x x <），且)ln (ln 2ln ln 21212112x x x ex x x x x -=-，证明：1211221+<+<e x x e ．知识点二：极值点为常数的二次函数探路构造若)(x f 的极值点为常数0x ，当a x f =)(有两个零点，需要证明)(21a g x x >+或者)(21a g x x <+，我们可以按照帕德逼近或者泰勒展开来进行试探性拟合，本文介绍结构型拟合.要证明0)(21<-+a g x x 或者0)(21>-+a g x x （201x x x <<），全部构造成0))()((1212<-+-a g x x x x 或者0))()((1212>-+-a g x x x x 形式，再构造单调函数直接转化为)()(21x h x h >或者)()(21x h x h <．【例4】（2022•安阳月考）已知函数2(1)()1x f x lnx x -=-+．（1）证明：当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >；（2）若函数()()g x lnx x k k R =-+∈有两个零点1x ，2x ，证明：121x x k +>+．知识点三：泰勒展开与加强我们根据泰勒展开， +++++=!4621432x x x x e x，同理， !4621432x x x x e x+-+-=-，我们可得2342341+(0)264!1(0)264!x x x x x e x x x x x e x x -⎧>+++>⎪⎪⎨⎪<-+-+>⎪⎩①②两式相减，可得，当0>x 时，323x x e e xx +>--，令t e x=，故)1(3)(ln ln 213>+>-t t t t t ，同理，我们也可以推出)10(3)(ln ln 213<<+<-t t t t t .利用对数的泰勒展开5432)1ln(5432x x x x x x +-+-=+，同理5432)1ln(5432x x x x x x -----=-，即234234ln(1)+(0)234ln(1)(0)234x x x x x x x x x x x x ⎧+>-->⎪⎪⎨⎪-<---->⎪⎩①②，两式相减得：)0(32211ln 3>+>-+x x x x x ，令)1(11>=-+t t x x ，则有11+-=t t x ，故)1()1(3)1(21)1(2ln 33>+-++->t t t t t t ，同理也能证明)10()1(3)1(21)1(2ln 33<<+-++-<t t t t t t .这类型加强的不等式，继帕德逼近之后，也能用来解答22年浙江卷压轴题的压轴问. 【例5】（2022•浙江）设函数()(0)2ef x lnx x x=+>． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知a ，b R ∈，曲线()y f x =上不同的三点1(x ，1())f x ，2(x ，2())f x ，3(x ，3())f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若a e >，则0b f <-（a ）1(1)2ae<-；（ⅱ）若0a e <<，123x x x <<，则2213211266e a e aee x x a e--+<+<-． （注: 2.71828e =⋯是自然对数的底数）知识点四泰勒展开构造追加函数我们通过之前推导飘带函数)1(21~ln x x x -，x e e x x 2~--，帕德逼近1)1(2~ln +-x x x ，x x e x-+22~，甚至加强型的33)1(3)1(21)1(2~ln +-++-x x x x x （长眉罗汉拟合不等式）。
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⇔ a < 0 . ∆ < 0
注 若表述为“已知函数 f (x) = ax2 + bx + c ”，并未限制为二次函数，则应有
⇔
x1
+
x2
=−b a
<0
x1 x2
=
c a
>
0
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 x1, x2
⇔
x 1 x2
=
c a
<0
2.一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑： （1） 开口方向；（2）判别式；（3）对称轴 x = − b 与区间端点的关系；（4）区间端
2a
2a
上递增，当 x = − b 时， 2a
f
( x)min
=
4ac − b2 4a
；②当 a
< 0 时，如图
2-9
所示，抛物线开
口 向 下 ， 函 数 在 (−∞, − b ] 上 递 增 ， 在 [− b , +∞) 上 递 减 ， 当 x = − b 时 ，；
2a
2a
2a
f
( x)max
=
4ac − b2 4a
=
p+q
： 2
2 / 14
（1） 若 − b ≤ p ，则 m = f ( p), M = f (q) ； 2a
（2）
若
p
<
−
b 2a
<
x0
，则
m
=
f (− b ), M 2a
=
f (q) ；
（3）
若
x0
≤
−
b 2a
<
q
，则
m
=
f (− b ), M 2a
=
f ( p) ；
（4） 若 − b ≥ q ，则 m = f (q), M = f ( p) . 2a
三、一元二次方程与二次函数的转化
1．实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的实根符号与系数之间的关系
∆ = b2 − 4ac > 0
（1）方程有两个不等正根 x1, x2
⇔
x1
+
x2
=−b a
>0
x1 x2
=
c a
>
0
∆ = b2 − 4ac > 0
（2）方程有两个不等负根 x1, x2
a
α
⋅
β
=
c a
二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向及与 x 轴交点横坐标有关的.
2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略 已 知 二 次 函 数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) . f (x) > 0 恒 成 立 ⇔ a > 0 ； f (x) < 0 恒 成 立
f
(m)
<
0
f (n) > 0
在区间 (m, n) 内 有两个不等实根
y m
O
∆ > 0
m
<
−
b 2a
<
n
nx
f
(m)
>
0
f (n) > 0
四、二次不等式转化策略 1. 二次不等式的解集与系数的关系
5 / 14
a < 0 若二次不等式 f (x) = ax2 + bx + c ≤ 0 的解集是 (−∞,α ] U[β , +∞) ⇔ α + β = − b
.
y
y
4ac − b2 4a
O
4ac − b2
x
4a
x=− b
2a
图 2-8
O
x
x=− b
2a
图 2-9
(2) 与 x 轴相交的弦长
当 ∆ = b2 − 4ac > 0 时 ， 二 次 函 数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的 图 像 与 x 轴 有 两 个 交 点
M1(x1, 0) 和 M 2 (x2 , 0) ， | M1M 2 |=| x1 − x2 |=
(x1 + x2 )2
− 4x1x2
=
∆ |a|
.
二、二次函数在闭区间上的最值 Nhomakorabea闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ，当 a > 0 时， f (x) 在区间[ p, q] 上的最大值是 M ，
最小值是 m ，令 x0
∆ > 0
−
b
>m
2a
f (m) > 0
x1 < m < x2
x1 < x2 < m 根的分布
在区间 (m, n) 内 没有实根
y
m x 1
O
x 2 x
y
xx
1
2
O
mx
f (m) < 0
∆ > 0
−
b
<m
2a
f (m) > 0
图像
y
限定条件
O mn x
∆<0
y Om n
∆=0
x1 = x2 ≤ m
2．二次函数的图像
1 / 14
二次函数 f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x = − b ，顶点 2a
坐标为 (−
b
4ac − b2
,
).
2a 4a
(1) 单调性与最值
①当 a > 0 时，如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在 (−∞, − b ] 上递减，在[− b , +∞)
由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学 中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景 仍将是一个热点.
知识点精讲 一、二次函数解析式的三种形式及图像
1. 二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： f (x) = ax2 + bx + c(a ≠ 0) ； （2）顶点式： f (x) = a(x − m)2 + n(a ≠ 0) ；其中，(m, n) 为抛物线顶点坐标， x = m 为对 称轴方程. （3）零点式： f (x) = a(x − x1)(x − x2 )(a ≠ 0) ，其中， x1, x2 是抛物线与 x 轴交点的横坐 标.
2a 点函数值的正负. 设 x1, x2 为实系数方程 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的两根，则一元二次 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的 根的分布与其限定条件如表 2-5 所示.
3 / 14
表 2-5 根的分布
m < x1 < x2
图像
限定条件
y
m
x
O1
x2
x
高考数学复习考点知识与题型专题讲解
二次函数
考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程 根的存在性及根的个数.
命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二 次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以 及分类讨论三种数学思想.
或x1 = x2 ≥ m
x
4 / 14
在区间 (m, n) 内 有且只有一个实根
y
Omn x
y
O mn
x
y
mn
O
x
y
O mn
x
y
O mn x
∆ > 0
−
b
<m
2a
f (m) ≥ 0
∆ > 0
−
b
>n
2a
f (n) ≥ 0
f (m) ≤ 0 f (n) ≤ 0
f (m) > 0 f (n) < 0