二次函数创新题

(2012•镇江)对于二次函数y= x2－3x＋2和一次函数Array y=－2x＋4，把y=t(x2－3x＋2)+(1－t)(－2x＋4)称为

这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实

数，其图象记作抛物线E．

现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），

请完成下列任务：

【尝试】

（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标

是；

（2）判断点A是否在抛物线E上；

（3）求n的值．

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是．

【应用1】二次函数y=－3x2＋5x＋2是二次函数y=x2－3x＋2和一次函数y=－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、

B、C、D中的三点，求出所有符合条件的t的值．

(2013•雅安)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(（-3，0），B(1，0)，C(0，3)三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)如图（2），若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

(2013•济南)如图1，抛物线y=-2

3x2+bx+c与x轴相交于点A，C，与y轴相交于点B，连接AB，BC，点A的坐标为(2，

0)，tan∠BAO=2，以线段BC为直径作⊙M交AB与点D，过点B作直线l∥AC，与抛物线和⊙M的另一个交点分别是E，F．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)求点C的坐标和线段EF的长；

(3)如图2，连接CD并延长，交直线l于点N，点P，Q为射线NB上的两个动点(点P在点Q的右侧，且不与N重合)，线段PQ与EF的长度相等，连接DP，CQ，四边形CDPQ的周长是否有最小值？若有，请求出此时点P的坐标并直接写出四边形CDPQ周长的最小值；若没有，请说明理由．

（2012•龙岩）如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数y=

1

x

2

．

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），抛物线的对称轴l 与x 轴相交于点M.

（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；

（2）设点P 为抛物线（x>5）上的一点，若以A 、O 、M 、P 为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P 的坐标；

（3）连接AC ，探索：在直线AC 下方的抛物线上是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线经过点B （1，0），C （5，0），∴设抛物线对应的函数解析式为()()y=a x 1x 5--。

又∵抛物线经过点A （0，4），∴()()4=a 0105--，解得4

a=5

。

∴抛物线对应的函数解析式为()()4y=

x 1x 55--，即2424

y=x x+455

-。 又∵()22424416

y=x x+4=x 35555

---，∴抛物线的对称轴为x=3。

（2）（6，4）。

（3）存在。△NAC 的面积最大，即点N 距AC 的距离最大，此时点N 在直线AC 下方的抛物

线上，过点N 与直线AC 平行的直线与抛物线只有一个交点。

设直线AC ：y=kx+b ，则5k+b=0b=4⎧⎨⎩，解得4k=5b=4

⎧

-

⎪⎨⎪⎩。∴直线AC ：4y=x+45-。

设过点N 与直线AC 平行的直线为4

y=x+n 5

-。

由24

244

x x+4=x+n 5

55-

-整理得24x 20x+205n=0--。 ∵直线4y=x+n 5-与抛物线2424

y=x x+455

-只有一个交点，

∴()()2

=2044205n =0∆--⨯⨯-，解得n=1-。 ∴()24x 20x+2051=0--⋅-，解得5x=2

。

当5

x=2

时，45y=1=352-⋅--。∴N （52，－3）。

∴在直线AC 下方的抛物线上存在一点N （5

2

，－3），使△NAC 的面积最大。