2021年高一数学重要知识点总结
高一数学知识点总结
高一数学知识点总结2021高一数学知识点总结总结是在一段时间内对学习和工作生活等表现加以总结和概括的一种书面材料，它可以促使我们思考，为此我们要做好回顾，写好总结。
但是总结有什么要求呢？下面是小编为大家整理的2021高一数学知识点总结，欢迎阅读与收藏。
2021高一数学知识点总结1【(一)、映射、函数、反函数】1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.【(二)、函数的解析式与定义域】1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.【(三)、函数的值域与最值】1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.【(四)、函数的奇偶性】1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。
2020-2021人教版高一数学《二次函数与一元二次不等式》知识梳理与例题详解
第二章 一元二次不等式、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.掌握判断一元二次方程实数根的存在性与实数根的个数的方法2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【知识网络详解】知识点一：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式叫做一元二次不等式，一般形式：02>++c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 知识点二：一元二次不等式与二次函数的图像0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 21,x x 有两相等实根a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x x x << ∅ ∅ 的解集)0(02>≥++a c bx ax{}21x x x x x ≥≤或 R R 的解集)0(02>≤++a c bx ax {}21x x x x ≤≤ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b 2 ∅【考向详析】题型一：解一元二次不等式例1.解下列不等式：(1) x 2－3x ＋5>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0； (3)－4x 2≥1－4x (4)2x 2－4x ＋7<0.【练习】1.解下列不等式：（1）02132-2≤-+x x ； （2）()422≤-x题型二：含参的一元二次不等式的解法例1.解下列不等式：（1）02322<+-a ax x ； （2）0232≤+-a ax ax ； （3）01)1(2≥++-x a ax【练习】1.解下列不等式（1）()a x a x +--12>0； （2）()0222≤++-x a ax题型三：三个“二次”之间的关系例1.已知不等式02≤++b ax x 的解集为{}32≤≤x x ，则=+b a 。
高一数学(人教版)复习知识点专题讲义课件40---事件的关系和运算
解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并 联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为 Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；
2021/12/9
A={(1,0),(1,1)}, B={(0,1),(1,1)},
A ={(0,0),(0,1)}, B={(0,0),(1,0)}.
例5. 如图,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲 元件正常”,B=“乙元件正常”. (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.
用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个 并联电路的状态,以1表示元件正常,0表示元件失效.
引例：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件
例如：Ci=“点数为i”,i=1,2,3,4,5,6; D1=“点数不大于3”；D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”；E2=“点数为2或3”； F=“点数为偶数”；G=“点数为奇数”；
请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算,你 能发现这些事件之间的联系吗？
可以用图表示这两个事件互斥. 2021其/12含/9 义是,事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生．
用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”、事件G= “点数为奇数”,它们分别是 F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次试验中,事件F与事件G两者只能发生其中之一,而且也必 然发生其中之一.事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为 {2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此时我们称事 件F与事件G互为对立事件.事件D1与D2也有这种关系.
2021年人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第2单元一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b①a﹣b＞0；a＝b①a﹣b＝0；a＜b①a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．①如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．①如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．①如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f （x ）＝x +的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0） 【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x 轴交点个数，当a ＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x ＝a b 2-；最值为：f （ab2-）；判别式①＝b 2﹣4ac ，当①＝0时，函数与x 轴只有一个交点；①＞0时，与x 轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x 1、x 2为方程y ＝ax 2+bx +c 的两根，则有x 1+x 2＝ab-， x 1•x 2＝ac ； ①二次函数其实也就是抛物线，所以x 2＝2py 的焦点为（0，2p ），准线方程为y ＝2p -，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当①＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）当①＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（3）当①＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；①一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值； ①应用数形思想； ①应用化归思想等价转化． 七．一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有解时，不妨设它的解为x 1，x 2，那么这个方程可以写成ax 2﹣a （x 1+x 2）x +ax 1•x 2＝0．即x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1•x 2＝0．它表示根与系数有如下关系：x 1+x 2＝﹣a b ，x 1•x 2＝ac ．习题演练一．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．106．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．107．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A ．16 B ．4C ．163D ．2038．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅二．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 17．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______.18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值;（2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥．24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值．人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）习题演练三．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >【答案】A 【解析】对于A ，若22ac bc >，则20c >，a b >，故A 正确；对于B ，若a bc c>，0c <，则a b <，故B 错误； 对于C ，若1a =-，0b =，则满足22a b >，但此时a b <，故C 错误； 对于D ，若1a =-，0b =，则满足a b >，但此时a b <，故D 错误. 故选：A.2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 【答案】A 【解析】若a b >，则a c b c +>+,故B 错， 设a 3,b 1,c 1,d 2===-=-,则ac bd <，a bc d<所以C 、D 错，故选A 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 【答案】D 【解析】0a b <<，则0a b ->->，0a b a b +=-+>，A 正确；由0a b <<两边同除以ab 得11a b>，B 正确；由a b <得33a b <，C 正确；0a b <<，则0a a b <-<，11a a b>-，D 错误． 故选：D ．4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C 【解析】当1,2a b ==-时，满足a b >，但11b a>不成立，所以A 错； 当1,2a b ==-时，满足22a b <，但a b <不成立，所以B 错；当1,2,0a b c ==-=时，满足a b >，但22ac bc >不成立，所以D 错；因为c d >所以d c ->-，又a b >，因此同向不等式相加得a d b c ->-，即C 对； 故选：C 5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 因为22(2)2y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C. 6．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 解：因为()2222y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C7．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．16B ．4C ．163D ．203【答案】C 【解析】因为0x >，0y >，93x y +=，则()()11111191169101063333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =且93x y +=即14y =，34x =时取等号． 故选：C ． 8．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞【答案】B 【解析】解：不等式01xx <-，即(1)0x x -<， 求得01x <<，所以原不等式的解集为()0,1故选：B ．9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】欲使不等式240x ax ++<的解集为空集，即函数24y x ax =++的图像与x 轴无交点或只有一个交点，则2160a ∆=-， 解得44a -， 故选A 项.10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞【答案】C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2204244(2)0a a a -<⎧⎪⎨∆=-+⨯-<⎪⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(]2,2-， 故选：C .11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤【答案】C 【解析】集合{}3M x x =≥，{}()(){}{}2310052025N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤则M N ⋃={}2x x ≥- 故选：C12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅【答案】A 【解析】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.，所以{2,3}A B =.故选：A四．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．【答案】2,13⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由2320x x -++>得()()2321320x x x x --=-+<，所以不等式2320x x -++>的解集为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：2,13⎛⎫-⎪⎝⎭. 14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 【答案】9 【解析】1816162(2)(2)2810218x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭，29x y ∴+≥，等号成立时32x =，6y =. 故答案为：9.15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为32b -<<-，则23b <-<，又由21a -<<-，根据不等式的基本性质，可得02a b <-<， 所以-a b 的取值范围是(0,2).16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 【答案】49 【解析】因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 故答案为：4917．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【解析】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 【答案】72【解析】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=. 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．【答案】（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a 的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a 值，代入不等式22510ax x a -+->可求解其解集试题解析：（1）①2M ∈，①225220a ⨯+⨯->，①2a >-（2）①1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，①1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ①由韦达定理得1522{1222aa+=-⋅=-解得2a =-①不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩；（2）当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．【解析】（1）由条件知，关于x 的方程2()0-++=x a b x a 的两个根为1和2，所以1212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．（2）当1b =时，2()(1)0=-++>f x x a x a ，即()(1)0x a x -->，当1a <时，解得x a <或1x >；当1a =时，解得1x ≠；当1a >时，解得1x <或x a >．综上可知，当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 【答案】（1）1k =；（2）(]24,0-. 【解析】（1）因为关于x 的不等式：2230kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以32-和1是方程2230kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得:33122k--⨯=，得1k =． （2）因为关于x 的不等式2230kx kx +-<的解集为R ． 当0k =时，-3<0恒成立.当0k ≠时，由220,240k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得：240k -<< 故k 的取值范围为(]24,0-．22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值; （2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 【答案】（1）14a b =-=，（2）9．【解析】（1）因为不等式()0f x >的解集为()1,3-，所以1x =-和3x =是方程()0f x =的两实根， 从而有()()()()1230393230f a b f a b ⎧-=--+=⎪⎨=+-+=⎪⎩，即50310a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得14a b =-⎧⎨=⎩． （2）由()12f =，得1a b +=．因为0a >，0b >，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即223b a ==时等号成立． 所以14a b+的最小值为9． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<， 解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥； 当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥； 当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥； 综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞； 当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞． 24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值． 【答案】（1）1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）最小值为8. 【解析】（1）当12m =时， ()1()02f x x x =-<，解得102x <<， 不等式()0f x <的解集为1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）()()2222424822f m m m m m +=-⨯--+=++≥+=- (0)m > 当且仅当22m m =，即1m =时取等号. 故()22+f m -的最小值为8.。
2020-2021人教版高一数学《等式的性质与不等式的性质》知识梳理与例题详解
第二章一元二次不等式、方程和不等式2.1 等式的性质与不等式的性质【学习目标】1.了解不等式的概念，能用不等式组表示实际问题中的不等关系2.掌握等式与不等式的性质，并能根据性质解决有关问题3.能比较两数的大小【知识网络详解】知识点一：不等式的概念我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式。
知识点二：不等式的性质【考向详析】题型一：两代数式比较大小例1.比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小例2.已知a =4b =，c =则,,a b c 的大小关系为 。
【练习】1.比较大小：(1) （x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2；(2) 3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1题型二：有限制条件的代数式比较大小例1.“已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．【练习】1.已知104b a <<<，试比较：（1的大小；（2a b -的大小。
题型三：两分式比较大小例1.已知a>b>0，m>0，试比较m a m b ++与a b的大小【练习】1.已知x y z >>，比较y x y -与zx z -的大小。
题型四：不等式性质的综合应用例1.对于实数a 、b 、c ，有下列结论：①若a ＞b ，则ac ＜bc ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞b c －b； ⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0. 其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5例2.若2＜a ＜5，3＜b ＜10，则a －2b 的范围为________．例3.已知a b -<0，2a b ->0，则-3+a b （ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法比较与0的大小【练习】1.（多选）下列说法中正确的是( )A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2C ．若a ＞b ＞0且c ＜0，则2c a ＞2c b D ．若a ＞b 且1a ＞1b，则ab ＞0 E.若a ＞|b |，则a 2＞b 22.已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围．3.已知实数,x y ，满足-41x y ≤-≤-，-145x y ≤-≤，则3x y +的取值范围为 。
2021年人教版高一数学必修一第1单元 集合与常用逻辑用语(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第1单元集合与常用逻辑用语（讲解和习题）一．子集与真子集1.真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A 是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【技巧点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．二．集合的包含关系判断及应用【技巧点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．三．空集的定义、性质及运算1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【技巧点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：①B＝∅；②B⊂A且B≠∅；③B＝A；往往遗漏B是∅的情形三．并集及其运算【基础知识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A ∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁U A）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【技巧方法】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．四．交集及其运算【基础知识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A ∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁U A）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁U A）∪（∁U B）．【技巧方法】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．五．补集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的V enn图．．【技巧方法】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．六．全集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限的．例如{1，2}；R；Q等等．七．交、并、补集的混合运算【基础知识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．八．Venn图表达集合的关系及运算【基础知识】用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做V enn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）＝card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card （A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【技巧方法】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．九．充分条件、必要条件、充要条件【基础知识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【技巧方法】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．十．全称量词和全称命题【基础知识】命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立【技巧方法】要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．十一．存在量词和特称命题【基础知识】命题全称命题x∈M，p（x）特称命题x0∈M，p（x0）表述方①所有的x∈M，使p（x）成立①存在∃x0∈M，使p（x0）成立法 ②对一切x ∈M ，使p （x ）成立 ②至少有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立③对每一个x ∈M ，使p （x ）成立 ③某些x ∈M ，使p （x ）成立 ④对任给一个x ∈M ，使p （x ）成立④存在某一个x 0∈M ，使p （x 0）成立 ⑤若x ∈M ，则p （x ）成立⑤有一个x 0∈M ，使p （x 0）成立【技巧方法】短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃ 特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．习题演练一．选择题（共12小题）1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4B ．–2C ．2D ．43．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}4．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．85.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．48．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（ ） A ．{0}B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}10．已知集合{}2|340A x x x =--<，{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>，若AB =R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．[1,2]-11．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-12．设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()RA B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >二．填空题（共6小题）13．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB =_____.14．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，15．已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要 条件，则实数m 的取值范围是________16．设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.17．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______. 18．命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____. 三．解析题（共6小题）19．设全集为R ，集合{3A x x =≤或}6x ≥{}29B x x =-<<. （1）求AB ，()U A B ⋂；（2）已知{}1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围. 20．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．()1若3m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；()2若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．21．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围.22．设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．23．设集合()(){}()100M x x a x a =+-≤>，{}24430N x xx =--<．（Ⅰ）若322M N x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值； （Ⅱ）若()M N =RR ，求实数a 的取值范围．24．已知命题：“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题.（1）求实数m 的取值集合B ；（2）设不等式(3)(2)0x a x a ---<的解集为A ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.习题演练答案三．选择题（共12小题）1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()UAB =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---【答案】C 【解析】由题意结合补集的定义可知：{}U2,1,1B =--，则(){}U1,1AB =-.故选：C.2．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-. 故选：B.3．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =A ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】D 【解析】 因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D ．4．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】因为由M ∪N={-1，0，1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M={0，-1}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0，1}或{-1，1}或{0，-1，1}，共4个．故选C 5.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A 【解析】223x y +≤ 23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-； 当0x =时，1,0,1y =-； 当1x =时，1,0,1y =-； 所以共有9个， 故选：A.8．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+≤”，所以B 不正确；对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的；对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确. 综上可得，命题错误为选项B. 故选：B.9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（ ） A ．{0} B ．{1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}【答案】C 【解析】由题意得A={x|x ≥1}，B={0，1，2}，∴A ∩B={1，2}．故选：C10．已知集合{}2|340A x x x =--<，{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>，若AB =R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(,2)-∞ C ．(1,2)- D ．[1,2]-【答案】C 【解析】集合{}2|340(1,4)A x x x =--<=-，集合{|()[(2)]0}(,)(2,)B x x m x m m m =--+>=-∞⋃++∞，若AB =R ，则124m m >-⎧⎨+<⎩，解得(1,2)m ∈-，故选C.11．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()UA B ⋂=（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A 【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-故选：A12．设全集为R ，集合{}A |10x x =->，{}B |||2x x =>，则集合()RA B (⋃= )A ．{|1}x x ≤B ．{|2x x <-或1}x >C ．{|12}x x ≤<D ．{|1x x ≤或2}x >【答案】D 【解析】因为{}A |1x x =>，B {x |x 2=<-或x 2}>；R A {x |x 1}∴=≤；()R A B {x |x 1∴⋃=≤或x 2}>．故选D四．填空题（共6小题）13．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =_____.【答案】{1,6}. 【解析】 由题知，{1,6}AB =.14．若命题“x R ∃∈使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____， 【答案】[]1,3- 【解析】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．15．已知命题:1p x <-或3x >，命题:31q x m <+或2x m >+，若p 是q 的充分非必要 条件，则实数m 的取值范围是________ 【答案】21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】因为p 是q 的充分非必要条件，所以()(),13,-∞-⋃+∞是()(),312,m m -∞+⋃++∞的真子集，故31123m m +≥-⎧⎨+≤⎩解得：2-13m ≤≤，又因为312m m +≤+，所以12m ≤，综上可知21-32m ≤≤，故填21,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.16．设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____. 【答案】-3 【解析】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.17．已知命题“[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥”为真命题，则a 的取值范围为_______. 【答案】(,4]-∞ 【解析】解：令()24f x x ax =-+，则对称轴为2ax =， 要使[1,3],x ∀∈不等式240x ax -+≥恒成立，即[1,3]x ∀∈，()240f x x ax =-+≥ 当12a x =≤时()21140f a =-+≥解得2a ≤； 当132ax <=<时240222a a a f a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得24a <≤；当32ax =≥时()233340f a =-+≥解得a ∈∅； 综上可得：(,4]a ∈-∞ 故答案为：(,4]-∞18．命题 “2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是_____. 【答案】200,(1)0x R x ∃∈-≤ 【解析】命题“2,(1)0x R x ∀∈->”的否定是“200,(1)0x R x ∃∈-≤”.故答案为：200,(1)0x R x ∃∈-≤. 三．解析题（共6小题）19．设全集为R ，集合{3A x x =≤或}6x ≥{}29B x x =-<<. （1）求AB ，()U A B ⋂；（2）已知{}1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）A B R =，()U A ()3,6B =；（2）[]2,8-.【解析】（1）因为全集为R ，集合{3A x x =≤或}6x ≥{}29B x x =-<<，所以()3,6UA =，利用数轴法得AB R =，()U A ()3,6B =；（2）因为{}1C x a x a =<<+{}29B x x ⊆=-<<，所以2a ≥-且19a +≤， 即28a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]2,8-.20．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．()1若3m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；()2若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）35x << （2）523m ≤≤【解析】解：由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<；又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<． （1）当3m =时，:39q x <<， 又p q ∧为真，p ，q 都为真，2539x x <<⎧∴⎨<<⎩解得35x <<．所以x 的取值范围为(3,5)．（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝≠>⌝，(≠>表示“推不出” ) 其逆否命题为p q ⇒，q p ≠>， 由于:25p x <<，:3q m x m <<，所以2350m m m ⎧⎪⎨⎪>⎩，∴523m ． ∴实数m 的取值范围为5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21．己知()2:253,:220p x q x a x a -≤-++≤（1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）[]1,4；（2）[]1,4 【解析】（1）:253p x -≤为真命题，即253x -≤，解得14x ≤≤（2）根据（1）知：:14p x ≤≤，()()()2:2220q x a x a x x a -++=--≤p 是q 的必要不充分条件当2a >时，:2q x a ≤≤，故满足4a ≤，即24a <≤； 当2a =时，:2q x =，满足条件；当2a <时，:2q a x ≤≤，故满足1a ≥，即21a >≥. 综上所述：[]1,4a ∈22．设集合A {x |a 1x 2a,a R}=-<<∈，不等式2x 2x 80--<的解集为B ．()1当a 0=时，求集合A ，B ；()2当A B ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2. 【解析】（1）当0a =时，{}10A x x =-<<2280x x --< {}24B x x ⇒=-<<（2）若A B ⊆，则有：①当A =∅，即21a a ≤-，即1a ≤-时，符合题意， ②当A ≠∅，即21a a >-，即1a >-时，有1224a a -≥-⎧⎨≤⎩ 12a a ≥-⎧⇒⎨≤⎩解得：12a -<≤ 综合①②得：2a ≤23．设集合()(){}()100M x x a x a =+-≤>，{}24430N x xx =--<．（Ⅰ）若322M N x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值； （Ⅱ）若()M N =RR ，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）2a =；（Ⅱ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 （Ⅰ）0a >，()(){}{}101M x x a x x a x =+-≤=-≤≤，{}213443022N x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，且322M N x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以，2a -=-，解得2a =；（Ⅱ）0a >，{}1M x a x =-≤≤，则{R M x x a =<-或}1x >，又()M N =RR ，所以120a a ⎧->-⎪⎨⎪>⎩，解得102a <<.因此，实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．24．已知命题：“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题. （1）求实数m 的取值集合B ；（2）设不等式(3)(2)0x a x a ---<的解集为A ，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(2,)+∞；（2）2[,)3+∞. 【解析】（1）命题：“{}11x x x ∀∈-≤≤，都有不等式2x x m --<0成立”是真命题， 得2x x m --<0在11x -≤≤时恒成立，∴2max ()m x x >-，得2m >，即{}2(2,)B m m =>=+∞. （2）不等式(3)(2)0x a x a ---<，①当32a a >+，即1a >时，解集{}23A x a x a =+<<， 若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A 是B 的真子集， ∴22a +≥，此时1a >；②当32a a =+，即1a =时，解集A φ=，满足题设条件； ③当32a a <+，即1a <时，解集{}32A x a x a =<<+， 若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，32a ∴≥，此时213a ≤<. 综上①②③可得2[,)3a ∈+∞。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 （0，+∞） 性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用 【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域 （0，+∞）值域 R 定点 过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（ ） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（ ）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >． （1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
(2021年整理)高中数学全部知识点整理超经典
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高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素.2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性； 2.元素的互异性; 3.元素的无序性.3、集合的表示：(1)｛… } 如{我校的篮球队员｝，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}（2）. 用拉丁字母表示集合：A=｛我校的篮球队员}，B=｛1，2,3,4，5}4．集合的表示方法:列举法与描述法。
常用数集及其记法:非负整数集（即自然数集）记作:N正整数集 N＊或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R5。
关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ,相反，a不属于集合A 记作 a A列举法：把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
6、集合的分类：（1)．有限集含有有限个元素的集合(2）．无限集含有无限个元素的集合(3)．空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=－5｝=Φ二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即：A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。
2020-2021人教版高一数学《全称量词与存在量词》知识梳理与例题详解
第一章集合与逻辑用语1.5 全称量词与存在量词【学习目标】1.理解全称量词与存在量词的含义2.能用数学符号表示含有量词的命题，并能判断命题的真假3.能正确使用量词对全称量词命题与存在量词命题进行否定【知识网络详解】知识点一：全称量词与全称量词命题、存在量词与存在量词命题1.全称量词与全称量词命题2.存在量词与存在量词命题知识点二：命题的否定1.命题否定的含义（1）定义：将一个命题的否定替换为原来结论的反面，条件不变，得到一个新的命题，这个命题就是原来命题的否定。
如原来的命题为p：若s，则t，则它原命题的否定若⌝，则:。
sp⌝t（2）性质：一个命题与它的否定只能是一真一假。
2.全称量词命题与存在量词命题的否定【考向详析】题型一：全称量词命题与存在量词命题的辨析例1.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：(1)实数都能写成小数形式． (2)有的有理数没有倒数． (3)不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根． (4)存在一个实数x ，使x 2＋x ＋4≤0.例2.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)负数没有对数; (2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)∀x ∈{x|x 是无理数},2x 是无理数; (4) y y x |{∈∃是无理数}，2x 是无理数.【练习】1.量词符号“∀，∃”表示下列命题： (1)有的实数不能写成小数形式：________； (2)凸n 边形的外角和等于2π：________． 题型二：全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例1.判断下列命题的真假1.所有的素数都是奇数；2.;11||,≥+∈∀x R x3.有一个实数x ，使;0322=++x x4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。
【练习】1.下列命题是真命题的为( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1＜0B ．∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，nm ＝mC ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得1x 2－2x ＋3 ＝342.设语句()x x x q -=-11:。
一次函数高一数学知识点总结
(2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数 的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点 P(x，y)，都满足等式： y=kx+b。(2)一次函数与 y 轴交点的坐标总是(0，b)，与 x 轴总是交于 (-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k，b 与函数图像所在象限： 当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大; 当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。 当 b0 时，直线必通过一、二象限; 当 b=0 时，直线通过原点 当 b0 时，直线必通过三、四象限。 特殊地，当 b=O 时，直线通过原点 O(0，0)表示的是正比例函数
1.当时间 t 肯定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度 f 肯定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。
魏
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的图像。
设水池中原有水量 S。g=S-ft。
这时，当 k0 时，直线只通过一、三象限;当 k0 时，直线只通过二、
六、常用公式：(部分)
四象限。
1.求函数图像的 k 值：(y1-y2)/(x1-x2)
四、确定一次函数的`表达式：
2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
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一次函数高一数学知识点总结
自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。 特殊地，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。 即：y=kx(k 为常数，k0) 二、一次函数的性质： 1.y 的改变值与对应的 x 的改变值成正比例，比值为 k 即：y=kx+b(k 为任意不为零的实数 b 取任何实数) 2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下 3 个步骤 (1)列表;
2021新高一数学知识点
2021新高一数学知识点随着时代的发展和教育制度的改革，2021年开始的新高一数学课程将引入一些新的知识点，本文将为大家介绍一些重要的数学知识点。
1. 函数与方程函数与方程是数学中非常基础的概念，也是高中数学中的重要内容。
在2021新高一数学课程中，学生将学习更加具体和深入的函数与方程的知识。
其中包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。
学生需要熟练掌握这些函数的性质和图像特征，以及与之相关的方程的解法。
2. 数据与概率数据与概率是数学中与实际生活息息相关的内容。
在新高一数学课程中，学生将接触到更加复杂和实用的数据处理与概率统计方法。
他们将学习如何收集、整理和分析数据，并通过统计方法进行概率推断和预测。
这对学生的综合思维和实际问题的解决能力提出了更高的要求。
3. 解析几何解析几何是高中数学课程中的重要组成部分。
在2021新高一数学课程中，学生将加深对解析几何的理解和运用能力。
学生将学习如何使用坐标系表示几何图形，并通过坐标变换来研究几何性质。
此外，他们还将学习平面向量的概念和运算，以及向量在几何中的应用。
4. 导数与微积分导数与微积分是高中数学中较为复杂和抽象的内容，对学生的逻辑思维和抽象能力提出了更高的要求。
新高一数学课程中，学生将学习导数的定义和基本性质，并学习如何求解函数的导数和利用导数研究函数的性质。
此外，他们还将学习微分的应用，包括函数的极值、曲线的凹凸性等等。
5. 矩阵与行列式矩阵与行列式是高中数学中的重要工具和内容之一，也是实际问题求解中常用的数学方法。
在2021新高一数学课程中，学生将进一步学习矩阵的概念和运算规律，并学习如何使用矩阵求解线性方程组、矩阵的特征值与特征向量等问题。
以上是2021新高一数学课程中的一些重要知识点。
这些知识点不仅是学习数学的基础，也是培养学生综合思维和解决实际问题的能力的重要手段。
希望同学们在学习数学的过程中能够认真学习、勤于思考，并善于将数学知识运用到实际生活和学习中。
2021高一数学知识点总结5篇
2021高一数学知识点总结5篇高一数学虽然学起来不容易，但是总结好每一个重要的数学知识点，有利于你在考试中的发挥。
那么,2021高一数学知识点总结怎么写?以下是小编精心收集整理的2021高一数学知识点总结，下面小编就和大家分享，来欣赏一下吧。
2021高一数学知识点总结1等差数列公式等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d或an=am+(n-m)d前n项和公式为：sn=na1+[n(n-1)/2] d或sn=(a1+an)n/2若m+n=2p则：am+an=2ap以上n均为正整数文字翻译第n项的值=首项+(项数-1)_公差前n项的和=(首项+末项)_项数/2公差=后项-前项高中数学数列知识点总结：等比数列公式等比数列求和公式(1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈n)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1); 推广式：an=am×q^(n-m);(3) 求和公式：sn=n×a1 (q=1) sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) (q为公比，n为项数)(4)性质：①若m、n、p、q∈n，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.③若m、n、q∈n，且m+n=2q，则am×an=aq^2(5)"g是a、b的等比中项""g^2=ab(g ≠ 0)".(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列求和公式推导：sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q) q_sn=a1_q+a2_q+a3_q+...+an_q =a2+a3+a4+...+a(n+1) sn-q_sn=a1-a(n+1) (1-q)sn=a1-a1_q^n sn=(a1-a1_q^n)/(1-q) sn=(a1-an_q)/(1-q) sn=a1(1-q^n)/(1-q) sn=k_(1-q^n)~y=k_(1-a^x)。
2021年高一数学必修一知识点总结
2021年高一数学必修一知识点总结2021年高一数学必修一知识点总结1一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不可重复的。
（3）元素的无序性：集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a，b，c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x？R|x—3>2}，{x|x—3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图：画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a？A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N_N+整数集Z有理数集Q实数集R2021年高一数学必修一知识点总结2知识点1一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1、元素的确定性；2、元素的互异性；3、元素的无序性说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
高一下册数学知识点梳理赏析2021
高一下册数学知识点梳理赏析2021高一下册数学知识点梳理1集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C。
而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c。
拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。
将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={。
}的形式。
等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。
常用的有列举法和描述法。
1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。
{1，2，3，。
}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。
{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|03.图示法(venn图)﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈)，用它的内部表示一个集合。
集合自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。
Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。
2021高一数学知识点总结归纳精选5篇
2021高一数学知识点总结归纳精选5篇高一数学是许多同学的噩梦，学问点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，我建议同学们通过总结学问点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。
下面就是我给大家带来的高一数学学问点总结，盼望能关心到大家！高一数学学问点总结(一)(1)指数函数的定义域为全部实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的状况，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个明显的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。
(7)函数总是通过(0，1)这点。
(8)明显指数函数无界。
奇偶性定义一般地，对于函数f(x)(1)假如对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)假如对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)假如对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)假如对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
高一数学学问点总结(二)对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来争论各自的特性：首先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是[0，+)。
(2021年整理)高一数学指数函数题型复习(一)
高一数学指数函数题型复习(一)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高一数学指数函数题型复习(一)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高一数学指数函数题型复习(一)的全部内容。
第四课：指数函数（一）知识点一、指数幂的运算⇔⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==-r s rs rs rsa a aa 1该式成立的条件必须是:_________ 反例: ⎩⎨⎧-=____,____,为当为当n a n a a nn正例：1、字母化简例1：已知0,0>>b a ,化简：（1）()6a - （2）a a a a （3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷---32653141412b a b a练习：（1）34353523a b ba⋅ (2）31313132313132312124)8(a a ba b a b b a a ⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2、例2：(1）63125.132⨯⨯ （2）214103101.0168187)064.0(-+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--3、“双重根式”的化简例3：223- （2）324+ （3)2611-练习：（1)625+ （2）32- （3)53+4、条件求值—-整体法 高考必备：立方和(差)公式：例4：已知()032121>=+-x x x ,求下列各式的值：（1）1-+x x (2)22-+x x（3)2323-+x x练习：已知433=--x x ，求下列各式的值：（1）xx 1-（2）22-+x x (3）x知识点二、指数函数1、定义：R x a y x ∈=,。
高一数学上册第二单元知识点汇总(人教B版)
高一数学上册第二单元知识点汇总（人教B版）人教B版高一数学上册第二单元一共有四个课程，下面为大伙儿总结了高一数学上册第二单元知识点汇总(人教B版)，一起来学习吧!函数函数(function清末依照日语翻译+英语读音译为“方程”)，名称出自数学家李善兰的著作《代数学》。
之因此如此翻译，他给出的缘故是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的动身点不同，传统定义是从运动变化的观点动身，而近代定义是从集合、映射的观点动身。
知识点【2021高一数学函数必背知识梳理】一次函数和二次函数中学课本中较常研究的两种非周期性函数，分别为直线型和抛物线型。
函数的作用太大了, 学好了就明白了它能够作为解决其他专门多问题的工具比如在物理化学经济工程天文等等函数和方程的区别：代数式:用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫代数式.函数:假如关于一个变量(比如x)在某一范畴内的每一个确定的值,变量(比如y)都有唯独确定的值和它对应,那么,就把y叫做x的函数.函数式:用解析法(公式法)表示函数的式子叫函数式.方程:含有未知数的等式叫方程.联系:函数式和方程式差不多上由代数式组成的.没有代数式,就没有函数和方程.区别:1.概念不一样.2.代数式不用等号连接.3.函数表示两个变量之间的关系.因变量(函数)随变量(自变量)的变化而变化.4.方程是含有未知数的等式.其未知数(变量)的个数不固定.未知数之间不存在自变和因变的关系.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。
但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。
事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。
相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
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高一数学知识总结
必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合
{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,
大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队
员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1）列举法：{a,b,c……}
2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x R|
x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝。