北京市通州区高三年级2019年4月第一次模拟考试数学(理科)试卷(解析版)

合集下载

考点40 空间几何体的三视图(解析版)

考点40 空间几何体的三视图1．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的各个面中是直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】三视图还原为如图所示三棱锥A-BCD：BC BCD ACD为直角三角形，ABD为正三角形由正方体的性质得A,,故选：C2．（辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）A ．5πB ．6πC ．62π+D ．52π+【答案】D 【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为22π1π12π11215π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，故选D.3．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷理）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A ．2B ．3C ．5D ．22【答案】C 【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图：由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角120︒的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；224sin30r ==︒，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离1d =，所以球半径225R d r +=，故选C.4．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷理）已知一个几何体的三视图如图所示，则被挖去的几何体的侧面积的最大值为（）A ．3πB ．2πC ．3π D ．22π 【答案】A 【解析】根据三视图，圆锥内部挖去的部分为一个圆柱，设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则323h r-=，∴332h r =-.故232233(2)3(1)132rh r r r r r S πππππ⎛⎫⎡⎤=-=-=--+ ⎪⎣=⎦ ⎪⎭侧，当1r =，S 侧的最大值为3π.5．（江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试理）如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．40B ．103C ．163D ．803【答案】D【解析】根据几何体三视图可得，该几何体是三棱柱BCE AGF -割去一个三棱锥A BCD -所得的几何体；如图所示：所以其体积为11118044444423223V ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选D6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（）A ．23B 3C ．3πD ．3π 【答案】B 【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径222111322r ++==，则：3433322V ππ⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B ．7．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试理）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则r =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】通过三视图可知：该几何体是一个三棱锥和14圆锥组成的几何体，设组合体的体积为V , 所以21111943342448,24332V r r r r r r ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⇒+=，故本题选B.8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A ．163πB ．283πC ．11πD ．323π【答案】B 【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：233，所以：外接球的半径为：22232171393R ⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=．故选：B ．9．（广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )A ．72＋6πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．48＋4π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π. 故答案为：A.10．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为( )A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】由三视图可知该几何体如下图所示，CB⊥AB，CB⊥DA，DA∩AB＝A，所以，CB⊥平面DAB，所以，CB⊥BD，即△DBC是直角三角形，因此，△ABC，△DAB，△DAC，△DBC都是直角三角形，所以，选A．11．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。

北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学理科试题及答案解析

北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学理科试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．设向量＝（﹣3，4），＝（0，﹣2），则与+垂直的向量的坐标可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）3．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．﹣4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则a等于（）A．1B．2C．35．已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．66．设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A．1B．C．2D．8．设函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝sin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）＝0；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线y＝x2上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设A，B是曲线y＝e x（e是自然对数的底数）上不同的两点，则φ（A，B）＞1．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数z＝的共轭复数是．10．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝．11．已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1的交点为，则sin2α＝．12．（x﹣）6的展开式中x2的系数为．（用数字作答）13．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．14．已知函数若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，，AB＝4，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差Dξ和Dη大小．（结论不需要证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣B1的余弦值；（Ⅲ）在线段B1C1上是否存在一点M，使BM⊥平面AB1E？说明理由．18．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．19．（13分）已知函数f（x）＝a2lnx﹣ax，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣m，若曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点P，且在点P处的切线相同，求m的最大值．20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{p n}的前n项和为S n，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于P n的项的和为f（n）．（Ⅰ）求p5和f（5）；（Ⅱ）判断S n和f（n）的大小，不用证明；（Ⅲ）设Γ＝k2（k∈N*），求证：∀n∈N*，∃Γ，使得S n＜Γ＜S n+1．2018-2019学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝（1，3），B＝{x|2x﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．设向量＝（﹣3，4），＝（0，﹣2），则与+垂直的向量的坐标可以是（）A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（4，6）D．（4，﹣6）【分析】可求出，这样只需判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．【解答】解：；可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；∴．故选：C．【点评】考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．3．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（﹣2）等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，可得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得答案．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质．4．已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则a等于（）A．1B．2C．3【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值．【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a2+5＝32＝9，∵a＞0，解得a＝2，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．5．已知x，y满足不等式组，则z＝x+y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．6【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数z＝x+y的最大值．【解答】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得z的值分别为3，2，6；∴直线z＝x+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6．故选：D．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，②求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解．6．设a，b∈（1，+∞），则“a＞b”是“log a b＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【解答】解：∵a，b∈（1，+∞），∴a＞b⇒log a b＜1，log a b＜1⇒a＞b，∴a＞b是log a b＜1的充分必要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．7．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）A．1B．C．2D．【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．【解答】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是Rt△PBC，它的面积为BC•PB＝×1×＝．故选：B．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题．8．设函数y＝f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，规定（|AB|为线段AB的长度）叫做曲线y＝f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数y＝sin x图象上两点A与B的横坐标分别为1和﹣1，则φ（A，B）＝0；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③设A，B是抛物线y＝x2上不同的两点，则φ（A，B）≤2；④设A，B是曲线y＝e x（e是自然对数的底数）上不同的两点，则φ（A，B）＞1．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由新定义，利用导数求出函数y＝sin x、y＝x2在点A与点B之间的“弯曲度”判断①、③正确；举例说明②是正确的；求出曲线y＝e x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断④错误．【解答】解：对于①，由y＝sin x，得y′＝cos x，则k A＝cos1，k B＝cos（﹣1）＝cos1，则|k A﹣k B|＝0，即φ（A，B）＝0，①正确；对于②，如y＝1时，y′＝0，则φ（A，B）＝0，②正确；对于③，抛物线y＝x2的导数为y′＝2x，y A＝x A2，y B＝x B2，∴y A﹣y B＝x A2﹣x B2＝（x A﹣x B）（x A+x B），则φ（A，B）＝＝＝≤2，③正确；对于④，由y＝e x，得y′＝e x，φ（A，B）＝，由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得φ（A，B）＜＝1，∴④错误；综上所述，正确的命题序号是①②③．故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数z＝的共轭复数是．【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案．【解答】解：z＝＝＝＝﹣，∴复数z＝的共轭复数是，故答案为：．【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题．10．设等比数列{a n}的公比q＝2，前n项和为S n，则＝15．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：＝＝＝＝15．故答案是：15．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．11．已知角α的终边与单位圆x2+y2＝1的交点为，则sin2α＝．【分析】由任意角的三角函数的定义有，sinα＝，由平方关系sin2α+cos2α＝1，有：cosα＝±，由二倍角公式有sin2α＝2sinαcosα＝±，得解【解答】解：由三角函数的定义有：sinα＝，由sin2α+cos2α＝1，得：cosα＝±，由二倍角公式得：sin2α＝2sinαcosα＝±，故答案为：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12．（x﹣）6的展开式中x2的系数为15．（用数字作答）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为1．【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数．【解答】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：y＝x；与曲线（θ为参数）的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2＝1．圆的圆心（2，0）到直线y＝x的距离为：＝1；所以直线与圆相切，有1个交点．故选：1．【点评】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力．14．已知函数若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是（0，3）∪{﹣}．【分析】作出f（x）的函数图象，由直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0，由△＝0，解得k值，求出过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围．【解答】解：作出y＝f（x）与y＝kx﹣2的函数图象如图所示：直线y＝kx﹣2过（0，﹣2），联立，得x2﹣kx+2＝0．由△＝k2﹣8＝0，得k＝．又过（1，1）与（0，﹣2）两点的直线的斜率k＝3．有图可知，若关于x的方程f（x）＝kx﹣2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为（0，3）∪{﹣}．故答案为：（0，3）∪{﹣}．【点评】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，在△ABC中，，AB＝4，，点D在AC边上，且．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【分析】（1）运用正弦定理可解决此问题；（2）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为，所以．由正弦定理得．（Ⅱ）因为∠ADB+∠CDB＝π，所以．所以．在△BCD中，由余弦定理BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CD•cos∠CDB，得，解得CD＝4或CD＝﹣2（舍）．所以△BCD的面积＝．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的应用．16．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差Dξ和Dη大小．（结论不需要证明）【分析】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为＝78个，事件A中基本事件数为78﹣15＝63．由此能求出两站间票价不足5元的概率．（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅲ）Dξ＝Dη．【解答】解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为＝78个，事件A中基本事件数为78﹣15＝63．所以两站间票价不足5元的概率．（3分）（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a元，b元．X的所有可能取值为6，7，8，9，10．（4分），，（6分），（7分），（8分）．（9分）所以X的分布列为X678910P…（10分）（Ⅲ）Dξ＝Dη．（13分）【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1＝3，D，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣B1的余弦值；（Ⅲ）在线段B1C1上是否存在一点M，使BM⊥平面AB1E？说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出AA1⊥CD，CD⊥AB，由此能证明CD⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣B1的余弦值．（Ⅲ）假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．【解答】证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD．又△ABC为等边三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB．……（2分）因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面AA1B1B；…………（3分）解：（Ⅱ）取A1B1中点F，连结DF，因为D，F分别为AB，A1B1的中点，所以DF⊥AB．由（Ⅰ）知CD⊥AB，CD⊥DF，如图建立空间直角坐标系D﹣xyz．…………（4分）由题意得A（1，0，0），B（﹣1，0，0），，A1（1，3，0），B1（﹣1，3，0），，D（0，0，0），，，．………………………………………设平面AB1E法向量n1＝（x1，y1，z1），则，即，令x1＝1，则，．即＝（1，，）．…………（6分）平面BAE法向量．………………………（7分）因为＝2，，||＝，所以cos＜，＞＝＝．………………………………（8分）由题意知二面角B﹣AE﹣B1为锐角，所以二面角B﹣AE﹣B1的余弦值为．………………（9分）解：（Ⅲ）在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．理由如下．假设线段B1C1上存在点M，使BM⊥平面AB1E．则∃λ∈[0，1]，使得．因为，所以．……………………………………（10分）又，所以．…………………………（11分）由（Ⅱ）可知，平面AB1法向量＝（1，，），BM⊥平面AB1E，当且仅当∥，即∃μ∈R，使得＝＝（）．……………………………（12分）所以，解得．……………………（13分）这与λ∈[0，1]矛盾．所以在线段B1C1上不存在点M，使BM⊥平面AB1E．……………………（14分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题．18．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为1的直线l交椭圆C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1＞x2．若直线x＝3上存在点P，使得△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为．所以由题意得…………………………………………（3分）解得a2＝3．所以椭圆C的方程为+y2＝1．…………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+m，P（3，y P），………………………………由，得4x2+6mx+3m2﹣3＝0．………………………………（7分）令△＝36m2﹣48m2+48＞0，得﹣2＜m＜2．………………………………（8分），．…………………………………………（9分）因为△PMN是以∠PMN为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴．…………………………………………（10分）过M做NP的垂线，则垂足Q为线段NP的中点．设点Q的坐标为（x Q，y Q），则．………………………（12分）由方程组，解得m2+2m+1＝0，解得m＝﹣1．……………（13分）而m＝﹣1∈（﹣2，2），所以直线l的方程为y＝x﹣1．………………………………………………（14分）【点评】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．19．（13分）已知函数f（x）＝a2lnx﹣ax，其中a＞0．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）＝x2﹣m，若曲线y＝f（x），y＝g（x）有公共点P，且在点P处的切线相同，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），由题意得，得到（a ＞0）．设，利用导数求其最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．（a＞0）．令f'（x）＝0，得x＝a．当x∈（0，a）时，f′（x）＞0；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间为（0，a），单调递减区间为（a，+∞）；（Ⅱ）设点P的横坐标为x0（x0＞0），则，．∵，g'（x）＝2x，∴，g'（x0）＝2x0．由题意得由②得或x0＝﹣a（舍）．把代入①，可得（a＞0）．设，则．令h'（t）＝0，得．当时，h'（t）＞0，h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0，h（t）单调递减．∴h（t）在（0，+∞）上的最大值为，即m的最大值为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想方法，考查计算能力，是中档题．20．（13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{p n}的前n项和为S n，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于P n的项的和为f（n）．（Ⅰ）求p5和f（5）；（Ⅱ）判断S n和f（n）的大小，不用证明；（Ⅲ）设Γ＝k2（k∈N*），求证：∀n∈N*，∃Γ，使得S n＜Γ＜S n+1．【分析】（Ⅰ）由题意直接求得p5和f（5）；（Ⅱ）分别取n＝1，2，3，4，5．求得S n和f（n），比较大小得结论；（Ⅲ）取值验证n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．可得＝1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，结合（Ⅱ）可知，北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学理科试题及答案解析当n≥5时，S n＜f（n），得到p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．进一步得到．【解答】解：（Ⅰ）p5＝11，f（5）＝1+3+5+7+9+11＝36；（Ⅱ）当n＝1时，S1＝2，f（1）＝1，S1＞f（1）；当n＝2时，S2＝2+3＝5，f（2）＝1+3＝4，S2＞f（2）；当n＝3时，S3＝2+3+5＝10，f（3）＝1+3+5＝9，S3＞f（3）；当n＝4时，S4＝2+3+5+7＝17，f（4）＝1+3+5+7＝16，S4＞f（4）．∴当n≤4时，S n＞f（n）．当n＝5时，S5＝2+3+5+7+11＝28，f（5）＝1+3+5+7+9+11＝36，S5＜f（5）．不难看出，当n≥5时，S n＜f（n）；证明：（Ⅲ）∵S1＝2，S2＝5，S3＝10，S4＝17，S5＝28，∴当n＝1时，Γ＝22，使得S1＜Γ＜S2；当n＝2时，Γ＝32，使得S2＜Γ＜S3；当n＝3时，Γ＝42，使得S3＜Γ＜S4；当n＝4时，Γ＝52，使得S4＜Γ＜S5∴n≤4时，命题成立．当n≥5时，设k是使得k2≤S n成立的最大自然数，只需证（k+1）2＜S n+1．∵＝1+3+5+…+（2k﹣1），f（n）＝1+3+5+…+p n，由（Ⅱ）可知，当n≥5时，S n＜f（n），∴p n＞2k﹣1，从而p n+1＞2k+1．∴，即．综上可知，命题成立．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．21。

北京市通州区2019届高三理数4月第一次模拟考试试卷

北京市通州区2019届高三理数4月第一次模拟考试试卷一、单选题 (共8题；共16分)1．（2分）设集合M={−2,−1,0,1,2}，N={x|x2−x−2<0}，则M∩N=（）A．{−2,−1}B．{−1,0}C．{0,1}D．{1,2} 2．（2分）已知c<0，则下列不等式中成立的是（）A．c>2c B．c>(12)c C．2c>(12)cD．2c<(12)c3．（2分）在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是（）A．(π2,1)B．(1,π2)C．(0,1)D．(1,0)4．（2分）中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中N≡n(bmodm)表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如11≡2(bmod3)表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N等于（）A．7B．8C．9D．105．（2分）设抛物线y2=4x的焦点为F，已知点M(14,a)，N(12,b)，P(1,c)，Q(4,d)都在抛物线上，则M,N,P,Q四点中与焦点F距离最小的点是（）A．M B．N C．P D．Q6．（2分）“ m>0”是“方程x2m −y2m+2=1表示双曲线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（2分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．83D ．√38．（2分）由正整数组成的数对按规律排列如下： (1,1) ， (1,2) ， (2,1) ， (1,3) ， (2,2) ，(3,1) ， (1,4) ， (2,3) ， (3,2) ， (4,1) ， (1,5) ， (2,4) ，…．若数对 (m,n) 满足 (m 2−1)(n 2−3)=2019 ，其中 m,n ∈N ∗ ，则数对 (m,n) 排在（） A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位二、填空题 (共6题；共7分)9．（1分）复数 2−i i （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第象限．10．（1分）在 △ABC 中， cosA =35, a =4√2 ， b =5 ，则 c = ．11．（1分）若实数 x,y 满足 {x −y +1≥0x +y ≥0x ≤0，则 z =2x +y 的最小值是．12．（1分）能说明“若函数 f(x) 满足 f(0)⋅f(2)>0 ，则 f(x) 在 (0,2) 内不存在零点”为假命题的一个函数是．13．（1分）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有个（用数字作答）．14．（2分）在平面直角坐标系 xoy 中，对于点 A(a ，b) ，若函数 y =f(x) 满足： ∀x ∈[a −1，a +1] ，都有 y ∈[b −1，b +1] ，就称这个函数是点 A 的“限定函数”．以下函数：①y =12x ，②y =2x 2+1 ，③y =sinx ，④y =ln(x +2) ，其中是原点 O 的“限定函数”的序号是．已知点 A(a ，b) 在函数 y =2x 的图象上，若函数 y =2x 是点 A 的“限定函数”，则 a 的取值范围是．三、解答题 (共6题；共30分)15．（5分）已知函数 f(x)=2sin(π−x)cosx +2cos 2x −1 ．（Ⅰ）求 f(x) 的最小正周期；（Ⅱ）当 x ∈[−π4，π4] 时 f(x)≥m 恒成立，求 m 的取值范围．16．（5分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．17．（5分）如图1，菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=4，DE⊥AB于E．将ΔAED沿DE翻折到ΔA′ED，使A′E⊥BE，如图2．（Ⅰ）求证：平面A′ED⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；（Ⅲ）设F为线段A′D上一点，若EF//平面A′BC，求DFFA′的值．18．（5分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1(−1,0),F2(1,0)，长轴长为2√3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点 (0,1) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，若点 M 满足 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求证：由点 M 构成的曲线 L 关于直线 y =13对称． 19．（5分）已知函数 f(x)=e kx x2 (k ∈R) ．（Ⅰ）当 k =0 时，求曲线 y =f(x) 在点 (−1,f(−1)) 处的切线方程；（Ⅱ）当 k ≠0 时，（ⅰ）求 f(x) 的单调区间；（ⅱ）若 f(x) 在区间 (0,1) 内单调递减，求 k 的取值范围．20．（5分）定义集合 M 与集合 N 之差是由所有属于 M 且不属于 N 的元素组成的集合，记作M −N ={x|x ∈M 且 x ∉N} ．已知集合 S ={1,2,3,...,100} ．（Ⅰ）若集合 T ={x|x =2n ,n ∈N ∗} ，写出集合 S −(S −T) 的所有元素；（Ⅱ）从集合 S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值 D 和最小值 d 分别是多少？公差为 D 和 d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合 A ⊆S ,且集合 A 中含有10个元素，证明：集合 S −A 中必有10个元素组成等差数列．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】 N ={x|−1<x <2}; ∴M ∩N ={0,1} ；故选C【分析】先求解集合N 中的不等式，再求交集即可．2．【答案】D【解析】【解答】 c <0，∴(12)c >1，0<2c <1，∴(12)c >2c ，故选D【分析】先根据指数函数的图象和性质求 2c ，(12)c的范围，再判断大小即可．3．【答案】B【解析】【解答】圆 ρ=2sinθ 化为 ρ2=2ρsinθ , x 2+y 2=2y ，配方为 x 2+(y −1)2=1 ，因此圆心直角坐标为 (0,1) ，可得圆心的极坐标为 (1,π2)故选B【分析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可．4．【答案】B【解析】【解答】第一次， N =7, 7除以3的余数是1，不满足条件， N =8,8 除以3的余数是2满足条件，8除以5的余数是3满足条件，输出 N =8 故选B【分析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．5．【答案】A【解析】【解答】抛物线 y 2=4x 的焦点为 F(1,0) ，准线方程为 x =−1 ；则点 M(14,a) 到焦点F 的距离为 |MF|=14−(−1)=54 ，点 N(12,b) 到焦点F 的距离为 |NF|=12−(−1)=32，点 P(1,c) 到焦点F 的距离为 |P F|=1−(−1)=2 点 Q(4,d) 到焦点F 的距离为 |Q F|=4−(−1)=5 ；所以点M 与焦点F 的距离最小. 故选A【分析】根据抛物线的定义，分别求出点M,N,P,Q 到焦点F 的距离即可．6．【答案】A【解析】【解答】由“方程 x 2m −y 2m+2=1 表示双曲线”得： m(m +2)>0 ，即 m >0 或 m <−2 ，又“ m >0 ”是“ m >0 或 m <−2 ”的充分不必要条件，即“ m >0 ”是“方程 x 2m −y 2m+2=1 表示双曲线”的充分不必要条件，故选A ．【分析】由双曲线的性质得：“方程 x 2m −y 2m+2=1 表示双曲线”得：m （m +2）＞0，即m ＞0或m＜﹣2，由充分必要条件得：“m ＞0”是“m ＞0或m ＜﹣2”的充分不必要条件，即“m ＞0”是“方程 x 2m−y 2m+2=1 表示双曲线”的充分不必要条件，得解． 7．【答案】C【解析】【解答】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥 A −BCDE 为三视图还原后的几何体，CBA 和ACD 是两个全等的直角三角形； A C =C D =B C =2 ，几何体的体积为：13×2×2×2=83，故选C【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个底面为正方形的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．8．【答案】B【解析】【解答】 2019=3×673 （673为质数），故 {m 2−1=3n 2−3=673 或者{m 2−1=673n 2−3=3， (m,n ∈N ∗) ，得 {m =2n =26,,, ,m ,+,n ,=,28，在所有数对中，两数之和不超过27的有 1+2+3+⋯+26=1+262×26=351个，在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个（第一个是(1,27)）,故数对(2,26)排在第351+ 2=353位，故选B【分析】先求出m，n的数值，再根据数对的特点推出数对（m，n）排在多少位．9．【答案】三【解析】【解答】2−ii=(2−i)ii2=−(2i+1)=−1−2i，对应点的坐标为(−1,−2)，位于第三象限，故答案为：三【分析】分子分母同乘i,把该复数化简为a+bi的形式，它在复平面内对应的点的坐标为(a,b)，由此可以判断该点所在象限。

2019届北京市通州区高三4月第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2019届北京市通州区高三4月第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2,1,0,1,2M =--，{}220N x x x =--<，则MN =（）A ．{}2,1--B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,2【答案】C【解析】先求解集合N 中的不等式，再求交集即可。

【详解】{|12};{0,1}N x x M N =-<<∴⋂=；故选：C 【点睛】本题考查集合的基本运算，求两个集合的交集，属于基础题。

2．已知0c <,则下列不等式中成立的是（） A ．2cc > B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．122cc⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先根据指数函数的图像和性质求12,2cc ⎛⎫ ⎪⎝⎭的范围，再判断大小即可。

【详解】110,1,021,222c cc c c ⎛⎫⎛⎫<∴><<∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选：D 【点睛】本题考查指数函数的图像和性质，属于基础题。

3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是（） A ．,12π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()1,0【答案】B【解析】先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，确定其圆心的直角坐标再化成极坐标即可。

【详解】圆2sin ρθ=化为22sin ρρθ=,222x y y +=，配方为22(1)1x y +-= ，因此圆心直角坐标为(0,1)，可得圆心的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，点的直角坐标与极坐标的转化，比较基础。

4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中()mod N n b m ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()112mod3b ≡表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N 等于（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可。

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。

2B。

√2C。

1D。

2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。

(2.-7)B。

(3.1)C。

(1.5)D。

(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。

5anB。

6anC。

7anD。

14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。

则函数g(x)的一个增区间是（）A。

(π/4.3π/4)B。

(3π/4.5π/4)C。

(5π/4.7π/4)D。

(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。

a>b+1B。

a>b-1C。

a^2>b^2D。

a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。

①④B。

②③C。

②④D。

①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。

6B。

8C。

10D。

128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。

336B。

510C。

1326D。

3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。

答案：1010.已知向量a=(1.b)。

b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。

2019年北京通州高三一模数学理科答案.doc

通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．三 10．7 11．112．()()21f x x =-(答案不唯一) 13．48 14． ① ③ , (]0-∞，三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．解：（Ⅰ）()()22sin cos 2cos 1f x x xx =π-+-2s i n c o s c o s x x x =+sin 2cos 2x x =+………………3分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭………………4分 s i n 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………5分所以最小正周期22T π==π； ………………6分（Ⅱ）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 2019.4所以2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦． ………………7分所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值2-10分所以()f x 有最小值1-． ………………11分因为当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，所以1m ≤-，即m 的取值范围是(]1-∞-，． …………13分16．解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A ． ..........1分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37P A =； ..........3分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2， ..........4分()0P X ==712723=C C ，()1P X ==74C 271314=⋅C C ，()2P X ==722724=C C ．..........7分 X 的分布列为..........8分()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=；..........10分（Ⅲ）3月3日． ..........13分由直方图知，微信记步数落在[20,25]，[15,20)，[10,15)，[5,10)，[0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为300.15200=⨯人，500.25200=⨯人，600.3200=⨯人，400.2200=⨯人，人．由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000---20000之间，根据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折200.1200=⨯线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求．17．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．所以． ………………1分因为 , ，平面，平面，所以平面． ………………3分因为平面，所以平面平面． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，，如图建立空间直角坐标系E-xyz ，则 ………………5分 E (0,0,0)，B (2,0,0)，，，所以，， . ………………6分设平面的法向量，由，，………………7分得，，所以，．令，则，．所以． ………………8分所以，又，，所以cos ,A E A E A E '⋅'<>==='⋅n n n………………9分所以直线与平面 . ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，，设，则 ………………11分． ………………12分因为EF //平面，所以，即． ………………13分所以，即．所以1DFFA='. ………………14分 18．解：（Ⅰ）由已知，得，所以3c e a ===． ..........3分又，所以 ..........4分所以椭圆C 的标准方程为，离心率e = ..........5分（Ⅱ）设．①当直线l 与x 轴垂直时，点A ,B 的坐标分别为(0，(0．因为()0,m m MA x y =- ，()0m m MB x y =-，()0,0mmMO x y=--，所以(3,3)m m MA MB MO x y ++=--=0．所以0m x =，0m y =，即点M 与原点重合． ..........6分 ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+． .......... ..........7分由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得()2232630k x kx ++-=， .......... ..........8分()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以，1224032y y k +=>+． .......... ..........9分因为，，，所以1212(03,03)0m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=．a =1c =222a b c =+b =22132x y +=11(,)m m MA x x y y =--22(,)m m MB x x y y =--(0,0)m m MO x y =--所以12123,3m m x x x y y y +=+=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+． .......... ..........11分消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=． .......... ..........12分对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端： 2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． ......... ......... ......14分19．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x -'=-=-. ..........1分所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， .....................................3分即230x y -+=； .....................................4分（Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为， ..........................5分所以()f x '==． .......... ........ ..............7分 2xe kx{}0|≠x x 422x x e x ke kx kx ⋅-⋅42)2xx kx e kx -⋅（令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分 ①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分 ②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分（ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分 ②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分综上k 的取值范围是()(]002,,-∞． ..........13分20. 解：（Ⅰ）集合()S S T --的所有元素是:248163264，，，，，； ............................2分（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即11D =．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100； ............................4分当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即1d =．这样的数列首项可以是12391，，，，中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列．......... ......... .......6分S假设存在含有10个元素的集合A ，使得S -A 中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A 中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A 中的唯一一个元素．),2(+∞k)2,0(k),2(+∞k)2,0(k）（0,2k），（k 2-∞），（∞+0）（0,2k⊆)2,0(k12≥k20≤<k ），（∞+0记表中第i行第j列的数为(),i j．若第i(1≤i≤9)行中集合A的唯一元素为(i,j)，则第i+1行中(i+1,1),(i+1,2),┈(i+1,j)中必有集合A中元素．若第i(1≤i≤9)行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i(1≤i≤8)行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．...........................13分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。

北京通州区2019届高三上学期期末数学理科试卷解析

【答案】D 【解析】【分析】
2
画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数 z＝x+y 的最大值． x≥1 【详解】解：由不等式组x − 2y + 3 ≥ 0表示的平面区域，如图所示的阴影部分； y≥x
三个顶点坐标为 A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得 z 的值分别为 3，2，6； ∴直线 z＝x+y 过点 C（3，3）时，z 取得最大值为 6．故选：D．【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：①由约束条件画出可行域，② 求出可行域各个角点的坐标，③将坐标逐一代入目标函数，④验证求得最优解． 6.设 a,b ∈ 1, + ∞，则“a > b ”是“loga b < 1”的（ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．【详解】∵a，b∈（1，+∞）， ∴a＞b⇒logab＜1， logab＜1⇒a＞b， ∴a＞b 是 logab＜1 的充分必要条件，故选：C． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件）
3
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键． 7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（）
A. 1
B.
2
C. 2
D.
5
【答案】B 【解析】【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积．【详解】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；
在此四棱锥 P﹣ABCD 的四个侧面中，面积最小的侧面是 Rt△PBC，它的面积为2BC•PB= 2 ×1× 22 + 22 = 2．故选：B．【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题． kB ， 8.设函数 y = fx图象上不同两点 Ax1 ,y1 ， Bx2 ,y2 处的切线的斜率分别是kA ，规定φA,B = 的长度）叫做曲线 y = fx在点 A 与点 B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：

2019年北京市通州区中考数学一模试卷(解析版)

2019年北京市通州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，∠AOB的角平分线是（）A. 射线OBB. 射线OEC. 射线ODD. 射线OC2.港珠澳大桥是中国第一例集桥、双人工岛、隧道为一体的跨海通道．其中海底隧道是由33个巨型沉管连接而成，沉管排水总量约76000吨．将数76000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.3.使二次根式有意义的x的取值范围是（）A. B. C. D.4.某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是（）A. 三棱锥B. 三棱柱C. 四棱锥D. 四棱柱5.若y=-x+3，且x≠y，则+的值为（）A. 3B.C.D.6.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（）A. B. C. D.7.2018年我国科技实力进一步增强，嫦娥探月、北斗组网、航母海试、鲲龙击水、港珠澳大桥正式通车……，这些成就的取得离不开国家对科技研发的大力投入．下图是2014年-2018年我国研究与试验发展（R&D）经费支出及其增长速度情况.2018年我国研究与试验发展（R&D）经费支出为19657亿元，比上年增长11.6%，其中基础研究经费1118亿元．根据统计图提供的信息，下列说法中合理的是（）A. 2014年年，我国研究与试验发展经费支出的增长速度始终在增加B. 2014年年，我国研究与试验发展经费支出增长速度最快的年份是2017年C. 2014年年，我国研究与试验发展经费支出增长最多的年份是2017年D. 2018年，基础研究经费约占该年研究与试验发展经费支出的8.为了迅速算出学生的学期总评成绩，一位同学创造了一张奇妙的算图．如图，y轴上动点M的纵坐标y m表示学生的期中考试成绩，直线x=10上动点N的纵坐标y n表示学生的期末考试成绩，线段MN与直线x=6的交点为P，则点P的纵坐标y p就是这名学生的学期总评成绩．有下面几种说法：①若某学生的期中考试成绩为70分，期末考试成绩为80分，则他的学期总评成绩为75分；②甲同学的期中考试成绩比乙同学高10分，但期末考试成绩比乙同学低10分，那么甲的学期总评成绩比乙同学低；③期中成绩占学期总评成绩的60%．结合这张算图进行判断，其中正确的说法是（）A. ①③B. ②③C. ②D. ③二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，若实数c满足ac＞bc，那么请你写出一个符合题意的实数c的值：c=______．10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果=，则∠ACD的度数是______．11.中国人民银行近期下发通知，决定自2019年4月30日停止兑换第四套人民币中菊花1角硬币．如图所示，则该硬币边缘镌刻的正多边形的外角的度数为______．12.若多项式x2+ax+b可以写成（x+m）2的形式，且ab≠0，则a的值可以是______，b的值可以是______．13.小华同学的身高为170cm，测得他站立在阳光下的影长为85cm，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为105cm，那么小华举起的手臂超出头顶的长度为______cm．14. 如图所示，在一条笔直公路l 的两侧，分别有A 、B 两个小区，为了方便居民出行，现要在公路l 上建一个公共自行车存放点，使存放点到A 、B 小区的距离之和最小，你认为存放点应该建在______处（填“C ”“E ”或“D ”），理由是______．15. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n 个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算根据列表，可以估计出n 的值是______．16. 甲、乙两运动员在长为100m 的直道AB （A ，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点…，若甲跑步的速度为5m /s ，乙跑步的速度为4m /s ，则起跑后100s 内，两人相遇的次数为______．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17. 计算：（）-1-6tan30°-（ -1）0+ ．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分） 18. 解不等式组：＜19. 已知：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°．求作：射线CG ，使得CG ∥AB ．下面是小东设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC ，AB 于D ，E 两点； ②以点C 为圆心，AD 长为半径作弧，交AC 的延长线于点F ；③以点F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在∠FCB 内部交于点G ； ④作射线CG ．所以射线CG 就是所求作的射线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接FG 、DE ． ∵△ADE ≌△______， ∴∠DAE =∠______．∴CG ∥AB （______）（填推理的依据）．20. 关于x 的一元二次方程x 2+2x -（n -1）=0有两个不相等的实数根．（1）求n 的取值范围；（2）若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．21. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 边上的一点，分别过点A 、B作BD、AD 的平行线交于点E ，且AB 平分∠EAD ．（1）求证：四边形EADB 是菱形；（2）连接EC ，当∠BAC =60°，BC =2 时，求△ECB 的面积．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x 与函数y =（x ＞0）的图象交于点A （1，2）．（1）求m 的值；（2）过点A 作x 轴的平行线l ，直线y =2x +b 与直线l 交于点B ，与函数y=（x＞）的图象交于点C，与x轴交于点D．①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC＞BD时，直接写出b的取值范围．23.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点E，在弦BC上取一点F，使AF=AE，连接AF并延长交⊙O于点D．（1）求证：∠B=∠CAD；（2）若CE=2，∠B=30°，求AD的长．24.数学活动课上，老师提出问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，点D是AB的中点，点E是BC上一个动点，连接AE、DE．问CE的长是多少时，△AED的周长等于CE长的3倍．设CE=xcm，△AED的周长为ycm（当点E与点B重合时，y的值为10）．小牧根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小牧的探究过程，请补充完整：1x y（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出上表中对应值为坐标的点，画出该函数的图象，如图2；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当CE的长约为______cm时，△AED的周长最小；②当CE的长约为______cm时，△AED的周长等于CE的长的3倍．25.某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．1（）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是______组学生；（填“甲”或“乙”）（3）如果学校准备推荐其中一个组参加区级比赛，你推荐______参加，请你从两个不同的角度说明推荐理由．26.已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等．（1）求二次函数y=x2-ax+b的对称轴；（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M、N．①当MN=2时，求b的值；②当PM+PN=4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．27. 如图，在等边△ABC 中，点D 是线段BC 上一点．作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E ．连接CE 并延长，交射线AD 于点F ．（1）设∠BAF =α，用α表示∠BCF 的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF 、EF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，2），B （2，2），点M为线段AB 上一点．（1）在点C （2，1），D （2，0），E （1，2）中，可以与点M 关于直线y =x 对称的点是______；（2）若x 轴上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线y =x +b 对称，求b 的取值范围．（3）过点O 作直线l ，若直线y =x 上存在点N ，使得点N 与点M 关于直线l 对称（点M 可以与点N 重合），请你直接写出点N 横坐标n 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵∠AOB=70°，∠AOE=35°，∴∠AOB=2∠AOE，∴∠AOB的角平分线是射线OE．故选：B．由∠AOB=70°、∠AOE=35°，利用角平分线的定义即可找出∠AOB的角平分线是射线OE，此题得解．本题考查了角平分线的定义，牢记角平分线的定义是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：数据76000用科学记数法表示为7.6×104．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【解析】解：由题意得，x-2≥0，解得x≥2，故选：B．根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底而为四边形，则可得此几何体为四棱锥故选：C．由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为棱锥，再由底而为四边形，则可得此几何体此题主要考查的是几何体的展开图，熟记几何的侧面、底面图形特征即可求解5.【答案】A【解析】解：由y=-x+3，得到x+y=3，则原式=-===x+y=3，故选：A．原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将已知等式变形后代入计算即可求出值．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.【答案】B【解析】解：设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有．故选：B．本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-×绳长=1，据此列方程组即可求解．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．7.【答案】B【解析】解：观察折线图可知：2014年-2018年，我国研究与试验发展（R&D）经费支出增长速度最快的年份是2017年，增长速度约为12.5%．故选：B．利用折线图中的信息一一判断即可．本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】C【解析】解：如图所示：①中，与x=6的交点大于75，故错误②中，乙与x=6的交点大于甲与x=6的交点，所以期末总评成绩乙大于甲，正确③中，由图象可知，期末总评成绩占60%，故错误故选：C ．根据题意在坐标系中画出对应的图象即可．此题主要考查图象的坐标，画出相应的直线确定交点，即可解． 9.【答案】-1【解析】解：由数轴可知a ＜b ，而实数c 满足ac ＞bc ， ∴c ＜0，于是答案不唯一故答案为-1．由数轴可以观察发现a ＜b ，而实数c 满足ac ＞bc ，只要c ＜0即可满足要求．本题考查的是不等式的基本性质，把握不等式两边同时乘以一个负数时，不等号方向改变的性质是关键．10.【答案】60° 【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ， ∴=， ∵=， ∴==，即、、的度数是=120°，∴∠ACD=°=60°，故答案为：60°．根据垂径定理求出=，求出、、的度数，即可求出答案．本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出的度数是进而此题的关键．11.【答案】40° 【解析】解：∵正多边形的外角和是360°， ∴360°÷9=40°．故答案为：40°．正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以多边形的边数，就得到外角的度数．本题考查了多边形的内角与外角．根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数是常用的一种方法，需要熟记． 12.【答案】-4 4【解析】解：∵多项式x 2+ax+b 可以写成（x+m ）2的形式，且ab≠0， ∴x 2+ax+b=（x+m ）2，∴a 可以为-4，b 可以为4，即x 2-4x+4=（x-2）2，故答案为：-4，4．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合完全平方公式即可．本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，a 2+2ab+b 2=（a+b ）2，a 2-2ab+b 2=（a-b ）2． 13.【答案】40【解析】解：设手臂竖直举起时总高度xm，列方程得：，解得x=210，210-170=40cm，所以小华举起的手臂超出头顶的高度为40cm．故答案为：40根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小华举起的手臂超出头顶的高度．本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比．14.【答案】E两点之间线段最短【解析】解：公共自行车存放点应该建在B处，理由是两点之间线段最短．故答案为：E，两点之间线段最短．根据两点之间线段最短可得公共自行车存放点的位置是E处．此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．15.【答案】n=10【解析】解：∵通过大量重复试验后发现，摸到黑球的频率稳定于0.5，∴=0.5，解得：n=10．故答案为：10．利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率求解即可．此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．16.【答案】4【解析】解：设两人起跑后100s内，两人相遇的次数为x次，依题意得；每次相遇间隔时间t，A、B两地相距为S，V甲、V乙分别表示甲、乙两人的速度，则有：（V甲+V乙）t=2S∴t=∴，解得：x=4.5又∵x是正整数，且只能取整，∴x=4故答案为4．在100s内，求两人相遇的次数，关键一是求出两人每一次相遇间隔时间，二是找出隐含等量关系：每一次相遇时间×次数=总时间构建一元一次方程．本题考查了一元一次方程解决行程中的相遇问题，突破口就是相遇时间等于每个人走的时间；结合实际问题中x的取值只能取整数，此题与方程的解既有区别又有联系．17.【答案】解：原式=2-6×-1+2=1．【解析】原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.【答案】解：＜①②∵解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x≥5，∴不等式组的解集为x≥5．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．19.【答案】CFG FCG同位角相等，两直线平行【解析】解：（1）如图，射线CG为所作；（2）完成下面的证明．证明：连接FG、DE．∵△ADE≌△CFG，∴∠DAE=∠FCG．∴CG∥AB（同位角相等，两直线平行）．故答案为CFG，FCG，同位角相等，两直线平行．（1）根据作法画出对应的几何图形；（2）利用作法得到AD=AE=CF=CG，FG=CE，则△ADE≌△CFG，根据全等三角形的性质得∠DAE=∠FCG．然后根据同位角相等，两直线平行判断CG∥AB．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的性质．20.【答案】解：（1）根据题意得△=22-4[-（n-1）]＞0，解得n＞0；（2）因为n为取值范围内的最小整数，所以n=1，方程化为x2+2x=0，x（x+2）=0，x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=22-4[-（n-1）]＞0，然后解不等式即可；（2）利用n的范围确定以n=1，则方程化为x2+2x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．21.【答案】（1）证明：∵AD∥BE，AE∥BD，∴四边形EADB是平行四边形，∵AB平分∠EAD，∴∠EAB=∠DAB，∵AE∥BD，∴∠EAB=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴AD=AD．∴四边形EADB是菱形；（2）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，BC=2，∴tan60°==，∴AC=2，∴S△ACB=AC•BC=×2×2=2，∵AE∥BC，∴S△ECB=S△ACB=2．【解析】（1）根据已知条件求得四边形EADB是平行四边形，根据角平分线定义得到∠EAB=∠DAB，根据平行线的性质得到∠EAB=∠DBA，于是得到结论；（2）解直角三角形和根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了菱形的判定和性质，三角形的面积，含30°直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．22.【答案】解：（1）把A（1，2）代入函数y=（x＞0）中，∴2=．∴m=2；（2）①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F．当点C是线段BD的中点时，∴CE=CF=1．∴点C的纵坐标为1，把y=1代入函数y=中，得x=2．∴点C的坐标为（2，1），把C（2，1）代入函数y=2x+b中得：1=4+b，得b=-3，②由①可知：当BC＞CD时，b＜-3．【解析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；②根据①结合图象即可求得．本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．23.【答案】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠BAE=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠CAE=90°，∠BAC+∠B=90°，∴∠B=∠CAE，∵AF=AE，∠ACB=90°，∴∠CAD=∠CAE．∴∠B=∠CAD；（2）解：连接BD．∵∠ABC=∠CAD=∠CAE=30°，∴∠DAE=60°，∵∠BAE=90°，∴∠BAD=30°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴cos∠BAD=，∴=，∵∠ACE=90°，∠CAE=30°，CE=2，∴AE=2CE=4，∵∠BAE=90°，∠ABC=30°，∴cot∠ABC=，即=，∴AB=4，∴=，∴AD=6．【解析】（1）根据切线的性质和圆周角的定理∠BAE=∠ACB=90°，进而求得∠B=∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CAD=∠CAE，即可证得结论；（2）连接BD，易证得∠BAD=30°，解直角三角形求得AE，进而求得AB，然后即可求得AD．本题考查了切线的性质圆周角定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】7.6 1.5 2.7【解析】解：（1）x=2cm，即CE=2cm，∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm，∴AB=5cm，∵BC=4，点D是AB的中点，∴AD=2.5，DE是△ABC 的中位线，∴DE=AC=1.5，∴AE===≈3.6，∴y=AE+DE+AD=3.6+1.5+2.5=7.6；故答案为：7.6；（2）根据（1）表对应的坐标值进行描点，画图象；如图2所示：（3）①由（2）画出的函数图象，当CE的长约为1.5cm时，△AED的周长最小；故答案为：1.5；②在（2）函数图象中，画出直线y=3x的图象，如图3所示：直线y=3x与原函数图象的交点即为△AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，x≈2.7cm，故答案为：2.7．（1）x=2cm，即CE=2cm，由勾股定理求出AB=5cm，求出AD=2.5，DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE=AC=1.5，由勾股定理求出AE==≈3.6，即可得出结果；（2）根据（1）表对应的坐标值进行描点，画出图象即可；（3）①由（2）画出的函数图象得出：当CE的长约为1.5cm时，△AED的周长最小即可；②在（2）函数图象中，画出直线y=3x的图象，直线y=3x与原函数图象的交点即为△AED的周长等于CE的长的3倍值时对应x的值，即可得出结果．本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、三角形中位线定理、描点法画函数图象、图象的交点等知识；本题综合性强，熟练掌握勾股定理和三角形中位线定理，理解图象的意义是解题关键．25.【答案】6 7.1 甲甲或乙【解析】解：（1）由条形统计图可知，甲组3分的1人，6分的5人，∴中位数是6，乙组的平均分为×（5×2+6×1+7×2+8×4+9×1）=7.1，（2）∵甲组的中位数是6，乙组的中位数是7.5，小明竞赛得了7分，在小组中排名属中游略偏上，∴小明是甲组学生，故答案为：甲；（3）推荐甲或乙，甲组：甲组的合格率、优秀率均高于乙组．乙组的平均分、中位数均高于甲组，且乙组的成绩比甲组的成绩稳定，故答案为：甲或乙．（1）根据条形图得到甲组的得分情况，根据中位数的概念求出甲组的中位数，根据平均数的计算公式求出乙组的平均分；（2）根据中位数的概念解答；（3）分别从合格率、优秀率和平均分、中位数的角度进行比较．本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．26.【答案】解：（1）∵二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等．∴对称轴为直线x==2；（2）①不妨设点M在点N的左侧．∵对称轴为直线x=2，MN=2，∴点M的坐标为（1，1），点N的坐标为（3，1），∴x=-=2，1=1-a+b，∴a=4，b=4；②1≤b＜5．【解析】（1）利用x=0和x=4时的函数值相等可得二次函数图象的对称轴x==2；（2）①不妨设点M在点N的左侧．由MN=2，根据对称性可知点M（1，1），点N（3，1）；②由图象直接可得．考查知识点：二次函数图象的对称性．对称轴两侧的点到对称轴的距离相等是解题的关键点．27.【答案】解：（1）连接AE．∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，∴[180°-（60°-2α）]=60°+α，∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60°+α-60°=α．（2）结论：AF=EF=CF．证明：如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF．∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°，∴∠ACG=∠BCF=α，在△ACG和△BCF中，，∴△ACG≌△BCF．∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF=EF，∴AF-AG=GF，∴AF=EF+CF．【解析】（1）连接AE．根据∠BCF=∠ACE-∠ACB，求出∠ACE，∠ACB即可．（2）结论：AF=EF=CF．如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF．证明△ACG≌△BCF即可解决问题．本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．28.【答案】C（2，1），D（2，0）【解析】解：（1）在点C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以与点M关于直线y=x对称的点是C（2，1），D（2，0）．故答案为：C（2，1），D（2，0）；（2）由题意可知，点B在直线y=x上．∵直线y=x与直线y=x+b平行．过点A作直线y=x的垂线交x轴于点G，∴点G是点A关于直线y=x的对称点，∴G（2，0），过点B作直线y=x的垂线交x轴于点H，∴△OBH是等腰直角三角形，∴点G是OH的中点，∴直线y=x+b过点G，∴b=-2．∴b的取值范围是-2≤b≤0；（3）设AG与y=x的垂足为P，易知△ABP为等腰直角三角形，∴AP=，当l经过一三象限时，点N横坐标n的取值范围为：，当l经二，四象限时，点N横坐标n的取值范围为．（1）根据点A（0，2），B（2，2）可知与点M关于直线y=x对称的点是点C（2，1），D（2，0）；（2）根据题意可知直线y=x与直线y=x+b平行，过点A作直线y=x的垂线交x轴于点G，求出点G的坐标；过点B作直线y=x的垂线交x轴于点H，根据等腰直角三角形的性质即可求出求b的取值范围；（3）由（2）即可直接写出点N横坐标n的取值范围．本题考查了一次函数综合题，等腰直角三角形的性质，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题43 直线、平面垂直的判定与性质(解析版)

考点43 直线、平面垂直的判定与性质1．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学（理）如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --，求PF 的长度.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD .（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D，()0,0,1F ，∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则00m AP m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴()21020y z x y λλ⎧+-=⎨+=⎩，令1y =，可得22,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，∴cos ,1m AB m AB m AB⋅===⋅，得13λ=或1λ=-（舍去）， ∴PF =2．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，侧面11B C CB ⊥底面ABC ，E ，F 分别为棱BC 和11A C 的中点.（1）求证：//EF 平面11ABB A ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11BCCB . 【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）取11A B 的中点G ，连接BG ，FG ，在111A B C ∆中，因为F ，G 分别为11A C ，11A B 的中点，所以11//FG B C ，且1112FG B C =，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，又E 为棱BC 的中点，所以//FG BE 且FG BE =，从而四边形BEFG 为平行四边形，于是//EF BG ，又因为BG ⊂面11ABB A ，EF ⊄面11ABB A ，所以//EF 平面11ABB A .（2）证明：在ABC ∆中，因为AB AC =，E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥，又因为侧面11B C CB ⊥底面ABC ，侧面11BCC B 底面ABC BC =，且AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥平面1BCC B ，又AE ⊂面AEF ，所以平面AEF ⊥平面1BCC B .3．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AC AA ＝，D 是棱AB 的中点．（1）求证：11BC CD 平面A ；（2）求证：11BC AC ⊥．【答案】(1)见详解；（2）见详解.【解析】（1）连接AC 1，设AC 1∩A 1C ＝O ，连接OD ，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：OD∥BC1，又因为：BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：AC＝AA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因为：AB⊂平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因为：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因为：A1C⊂平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因为：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB⊂平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因为：BC1⊂平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．-中，底面ABCD是正方形，AC 4．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）如图，在四棱锥P ABCD与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO中点.（1）若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；（2）若AB=，求证：CG⊥平面PBD.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点//PD 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD 面ACE OE = //PD OE ∴O 为BD 中点 E ∴为PB 的中点（2）在四棱锥P ABCD -中，AB =四边形ABCD 是正方形 2O C A B ∴= P C O C ∴= G 为PO 中点 C G P O ∴⊥ 又PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD P C B D∴⊥ 而四边形ABCD 是正方形 AC BD ∴⊥,AC CG ⊂平面PAC ，AC CG C ⋂= BD ∴⊥平面PAC又CG ⊂平面PAC B D C G∴⊥ ,PO BD ⊂平面PBD ，PO BD O =CG ∴⊥平面PBD5．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,PB BC PD CD ⊥⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A BE C --的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】（1）证明：∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又,BC PB AB PB B ⊥⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理,CD PA BC CD C ⊥⋂=， ∴PA ⊥平面 ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2则()()()()0,0,0,2,2,0,0,1,1,2,0,0A C E B ，设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，又()()0,1,1,2,0,0AE AB ==uu u r uu u r，20n AE y z n AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，令1,1y z =-=，得()0,1,1m =-. 同理()1,0,2n =r 是平面BCE 的一个法向量，则cos<,m n m n m n ⋅>===r r r r r r ∴二面角A BE C --. 6．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小．（2）求二面角A PD C --的正弦值．【答案】（1）45︒（2）4【解析】解：（1）在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ， ∴PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt PAB 中，AB PA =，故45APB ∠=︒．所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45︒．（2）在四棱锥P ABCD -中，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA CD ⊥．由条件AC CD ⊥，PAAC A =，∴CD ⊥平面PAC ．又∵AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥．由PA AB BC ==，60ABC ∠=︒，可得AC PA =． ∵E 是PC 的中点，∴PC AE ⊥．又∵CD PC C ⊥=，∴AE ⊥平面PCD ．过点E 作EM PD ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示．∵AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， ∴AM PD ⊥．∴AME ∠是二面角A PD C --的平面角．由已知∵30CAD ∠=︒，∴设1CD =，则PA AC ==2AD =，PC =PD =Rt PAC △中，122AE PC ==．在Rt ADP 中，∵AM PD ⊥，∴••AM PD AP AD =，得7AM =．在Rt AEM 中，sin 4AE AME AM ∠==．所以二面角A PD C --的正弦值为4． 7．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ【解析】证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MNBC =，12EF BC =， ∴ 四边形EFMN 是平行四边形，∵ EF BE ⊥，⊥EF DE ，BE EF E ⋂=，∴ EF BDE ⊥平面，∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥，在DFC ∆中，DF FC =，又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥，又∵ MFMN M =，∴MF BCD ⊥平面．解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E ⋂=， ∴ DE BEF ⊥平面，以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设2BC =，则()000E ，，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-，设面EMF 的法向量(),,m x y z =，则00m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =，同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =，设二面角E MF C --的平面角为θ，则3cos m n m nθ⋅==⋅，∴ 二面角E MF C --8．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学理）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2) 4【解析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥，因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥，因为，//BD 平面AMHN ，且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ，所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以，12AO PA =，PO PA =，因为，PA =，所以，BO PA =. 以OA ，OD uuu r，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A，(0,B ，(1,0,0)C -，D，P，1(,0,22H -，所以，(0,,0)3BD =，3(,0,22AH =-，(1,3AD =- 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即033022y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =(2,0,23)n =，记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||4||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==.所以，AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为4. 9．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==，（Ⅰ）求证：AB BC ⊥；（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为30，求锐二面角1A A C B --的大小．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）60.【解析】（Ⅰ）如图，取1A B 的中点D ，连接AD .因为1AA AB =，所以1AD A B ⊥. 由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC 侧面111A ABB A B =，得AD ⊥平面1A BC .又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，则1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BC ⊥ 又1AA AD A =，从而BC ⊥侧面11ABB A ，又AB Ì侧面11A ABB ，故AB BC ⊥．(Ⅱ)由（1）知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -.设BC a =，则()0,2,0A ，()0,0,0B ，(),0,0C a ，1(0,2,2)A ，(,0,0)BC a =，1(0,2,2)BA =，(,2,0)AC a =-，1(0,0,2)AA =.设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =，由1BC n ⊥，11BA n ⊥，得0220xa y z =⎧⎨+=⎩.令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-. 设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则30θ=，所以111sin 302AC n AC n a ⋅===，解得2a =，即(2,2,0)AC =-.又设平面1A AC 的一个法向量为2n ，同理可得2(1,1,0)n =. 设锐二面角1A A C B --的大小为α，则1212121cos cos ,2n n n n n n α⋅===，由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得60α=. ∴锐二面角1A A C B --的大小为60.10．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=，4AB =，DE AB ⊥ 于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED ∆'，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面A ED '⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段A D '上一点，若//EF 平面A BC '，求DFFA '的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）1 【解析】（Ⅰ）在菱形ABCD 中，因为DE AB ⊥，所以DE AE ⊥，DE EB ⊥．所以A E DE '⊥．因为A E BE '⊥，DE BE E ⋂=，DE Ì平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，所以A E '⊥平面BCDE ．因为A E '⊂平面A ED '，所以平面A ED '⊥平面BCDE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A E DE '⊥，A E BE '⊥，DE BE ⊥，如图建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，()2,0,0B，()D,()C ,()0,0,2A ，所以()0,0,2AE =-，()2,0,2BA '=-,()2,BC =．设平面A BC '的法向量(),,n x y z =，由0n BA n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩所以x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =-，则x z ==.所以(3,n =-．所以()3n ==，又2A E'= ,23A E n '⋅=-，所以cos ,72A En A E n A E n'⋅'<>===-'.所以直线A E '与平面A BC '所成角的正弦值为7．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，()0,2DA '=-,()0,ED =设()0,,2DF mDA m '==-，则(),2EF ED DF m =+=．因为//EF 平面A BC '，所以0EF n ⋅=uu u rr ，即()()0120m ⨯-+=．所以12m =，即12DF DA '=．所以1DFFA ='．11．（江苏省扬州中学2019届高三4月考试）已知三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP ⊥ .若平面α分别与棱PA PB BC AC 、、、相交于点,,,E F G H 且PC P 平面α.求证:（1）∥EH FG ；（2）AB FG ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明（1）因为PC P 平面α，平面α平面PAC EH =,PC ⊂平面PAC ，所以有PC EH ,同理可证出PC FG ,根据平行公理，可得∥EH FG ；（2）因为AB AC ⊥，AB AP ⊥，AP AC A ⋂=,,AP AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ,而PC ⊂平面PAC ,所以AB PC ⊥,由（1）可知PC FG EH ,所以AB FG ⊥.12．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）如图，ABC ∆，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，以EF 为折痕把AEF 折起，使点A 到达点P 的位置，且PB BE =..（Ⅰ）证明：EF ⊥平面PBE ；（Ⅱ）设N 为线段PF 上动点，求直线BN 与平面PCF 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ. 【解析】（Ⅰ）E,F 分别为AB ,AC 边的中点,所以EF BC ‖因为90,ABC ︒∠= ,EF BE EF PE ∴⊥⊥又因为BE PE E ⋂= ，所以EF ⊥平面PBE ．（Ⅱ）取BE 的中点O,连接PO,由（1）知EF ⊥平面PBE ,EF ⊂平面BCFE ，, 所以平面PBE ⊥平面BCFE 因为PB=BE=PE,所以PO BE ⊥, 又因为PO ⊂平面PBE,平面PBE 平面BCFE=BE所以PO BCFE ⊥ .过O 作OM//BC 交CF 于M,分别以OB ，OM ，OP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.111310,0,,2,0,1,0,2,,,1,2222222P C F PC PF ⎛⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ N 为线段PF 上一动点设(,,)N x y z =,由,(01)PN PF λλ=≤≤得1,,(1),,,(1)2222N BN λλλλλλ⎛⎫⎛⎫+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面PCF 的法向量为(,,)m x y z =则120020102x y z PC m PF m x y z ⎧+-=⎪⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪-+=⎪⎩ 即取(m =-设直线BN 与平面PCF 所成角θsin |cos |||||5BN m BNBN BN m θ⋅=<⋅>===⋅⋅≤=直线BN 与平面PCF13．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）在三棱柱ABC A B C '''-中平面ABC ⊥平面ACC A ''，AB BC CA AA '===，D 是棱BB'的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）若60A AC ︒'∠=，求二面角A CD B ''--的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 5. 【解析】（1）取,AC A C ''的中点,O F ,连接OF 与'AC 交于点E ，连接DE ，,OB B F ',则 E 为OF 的中点，////OF AA BB '' ,且OF AA BB ''==，所以BB FO '是平行四边形.又D 是棱BB '的中点，所以//DE OB .侧面AA C C ''⊥底面ABC ，=AC AA C C ABC ''⋂面面，且OB AC ⊥ ，OB ABC ⊂面，所以OB ⊥平面ACC A '' ，得DE ⊥平面ACC A ''，又DE Ì平面DA C '，所以平面DA C '⊥平面ACC A ''.（2）连接A O '，因为60A AC '∠=，所以A AC '∆是等边三角形，设2AB BC CA AA '====. 故A O '⊥ 面ABC ，由已知可得A O OB '== .以,,OB OC OA ' 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则())()(0,1,0,,0,1,0,A BC A '-，()BC =，(BB AA ''==设平面BCC B ''的法向量为(),,m x y z = 则0,0m BC m BB ⋅=⋅=，所以0y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，取1,1x y z ===- ，所以()1,3,1m =- 设平面A CD '的法向量为()''',,n x y z=(0,1,A C '= ,()1113,1,00,222CD CB BB ⎛'=+=-+=- ⎝⎭⎭则'0,0n AC n CD ⋅=⋅=，所以0102y yz ''''⎧=⎪-'+=，取'''0,1x y z ===，()0,3,1n = 故cos ,5m n == ，因为二面角'A CD B '--为锐角，所以其余弦值为5.14．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）在三棱柱ABC A B C '''-中，AB BC CA AA '===，侧面ACC A ''⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）若60A AC '∠=，求二面角A BC B '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）-【解析】解：（1）取,AC A C ''的中点,O F ，连接OF 与C A '交于点E ，连接,,DE OB B F '. 则E 为OF 的中点，因为三棱柱ABC A B C '''-，所以////OF AA BB ''，且OF AA BB ''==，所以四边形BB FO '是平行四边形. 又D 是棱BB '的中点，所以//DE OB . 因为侧面AA C C ''⊥底面ABC ，且OB AC ⊥，所以OB ⊥平面ACC A '' 所以DE ⊥平面ACC A '' 又DE Ì平面DA C '，所以平面DA C '⊥平面ACC A ''（2）连接A O '，因为60A AC '∠=，所以A AC '∆是等边三角形，故A O '⊥底面ABC 。

2019年北京市通州区高考一模考试数学(理)试卷及答案

高考数学精品复习资料2019.5通州区20xx —高三一模考试数学（理）试卷4月本试卷分第一部分和第二部分两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合{}|10A x x =-<，{}0,1,2B =，那么()U AB ð等于A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}22．已知x ，y 满足0,1,2,x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩那么2z x y =+A. 1-B. 0C. 1D. 23．执行如右图所示的程序框图，若输出m 的值是25，则输入k 的值可以是A ．4B ．6C ．8D ．104．设131log 6a =，31log 2b =，123c -=，那么A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．a c b >>5．“x ∀∈R ,210x bx -+>成立”是“[]0,1b ∈”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线28y x =的准线与圆心为C 的圆22280x y x ++-=交于A ，B 两点，那么CA CB -等于2A ．2 B． C． D．7．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且它的正视图如图所示，则该四棱锥侧视图的面积是A． B ．4 C． D ．28则完成这三件原料的描金工作最少需要A ．43小时B ．46小时C ．47小时D ．49小时第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．已知复数()()1i 1i a -+是纯虚数，那么实数a =_______.10．若直线l 的参数方程为1,1x t y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，则点()4,0P 到直线l 的距离是_______.11．已知数列{}n a 是等比数列，34a =，632a =，那么86a a =_______；记数列{}2n a n - 的前n 项和为n S ，则n S =_______.12．2位教师和4名学生站成一排合影，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_______（结果用数字表示）.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是_______.14．设函数2()cos f x x a x =+，a ∈R ，非空集合{}|()0,M x f x x ==∈R . ①M 中所有元素之和为_______；②若集合()(){}|0,N x f f x x ==∈R ，且M N =，则a 的值是_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）作为北京副中心，通州区的建设不仅成为京津冀协同发展战略的关键节点，也肩负着医治北京市“大城市病”的历史重任，因此，通州区的发展备受瞩目. 12月25日发布的《北京市通州区统计年鉴（20xx ）》显示：通州区全区完成全社会固定资产投资939.9 亿元，比上年增长17.4％，下面给出的是通州区20xx-全社会固定资产投资及增长率，如图一.又根据通州区统计局1月25日发布：通州区全区完成全社会固定资产投资1054.5亿元，比上年增长12.2％.（Ⅰ）在图二中画出通州区全区完成全社会固定资产投资（柱状图），标出增长率并补全折线图；（Ⅱ）通过计算20xx-20xx 这7年的平均增长率约为17.2％，现从20xx-20xx 这7年中随机选取2个年份，记X 为“选取的2个年份中，增长率高于17.2％的年份个数”，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）设20xx-20xx 这7年全社会固定资产投资总额的中位数为0x ，平均数为x ，比较0x 与x 的大小（只需写出结论）. 17．（本题满分14分）如图所示的几何体中，平面PAD ⊥平面ABCD ,PAD △为等腰直角三角形，QBCD AP图一（亿元）（％）2011-2016年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011图二201725.020.015.010.05.00.0（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率20162015201420132012201190APD ∠=，四边形ABCD 为直角梯形，//AB DC ，AB AD ⊥，2AB AD ==，//PQ DC ，1PQ DC ==.（Ⅰ）求证：//PD 平面QBC ；（Ⅱ）求二面角Q BC A --的余弦值；（Ⅲ）在线段QB 上是否存在点M ，使得AM ⊥平面QBC ，若存在，求QMQB的值；若不存在，请说明理由. 18．（本题满分13分）已知函数x xe x f =)(,)1()(-=xe a x g ，a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求证：)()(x g x f ≥；（Ⅱ）当1>a 时，求关于x 的方程)()(x g x f =的实根个数.19．（本题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别为A ，B ，且2AB =，离心率为O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上的两个动点（不与A ，B 重合），且关于y 轴对称，M ，N 分别是OP ，BP 的中点，直线AM 与椭圆C 的另一个交点为D . 求证：D ，N ，Q 三点共线.20．（本题满分14分）已知数列{}n a ，设()11,2,3,n n n a a a n +∆=-=，若数列{}n a ∆为单调增数列或常数列时，则{}n a 为凸数列.（Ⅰ）判断首项01>a ，公比0>q ，且1≠q 的等比数列{}n a 是否为凸数列，并说明理由；（Ⅱ）若{}n a 为凸数列，求证：对任意的1k m n ≤<<，且k ，m ，n ∈N ，均有1n m m k m m a a a aa a n m m k+--≥-≥--，且{}1max ,m n a a a ≤；其中{}1max ,n a a 表示1a ，n a 中较大的数；（Ⅲ）若{}n a 为凸数列，且存在()1,t t n t <<∈N ，使得0t a a ≤，n t a a ≤，求证：12n a a a ===.高三数学（理科）一模考试参考答案20xx.4二、填空题9．1- 10.11. 4，221n n n ---12. 24 13. ②③ 14. 0，0三、解答题15. 解：（Ⅰ）因为()2sin cos 222x x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin cos 222x x x =21si 2n 2x x =++sin +3x π⎛⎫= ⎪⎝⎭． (4)分所以()f x 的最小正周期2.T π= (6)分（Ⅱ）因为[],0x π∈-，所以2+,333x πππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.所以当33x ππ+=，即0x =时，函数)(x f 取得最大值sin3π=当32x ππ+=-，即56x π=-时，函数)(x f 取得最小值1+-所以()f x 在区间[],0π-和-……………… 13分16. 解：（Ⅰ） (4)分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为0，1，2. …………………… 5分24272(0)7C P X C ===，1134274(1)7C C P X C ===，23271(2)7C P X C ===. ……………… 8分所以X 的分布列为 (9)分所以X 的数学期望()2416012.7777E X =⨯+⨯+⨯=…………………… 10分（Ⅲ）0x <. (13)分17. 解：（Ⅰ）因为//PQ CD ，PQ CD =，所以四边形PQCD 是平行四边形. 所以//.PD QC因为PD ⊄平面QBC ，QC ⊂平面QBC ，图二（％）201725.020.015.010.05.00.0（亿元）2011-2017年全社会固定资产投资及增长率201620152014201320122011所以//PD 平面.QBC (4)分（Ⅱ）取AD 的中点为O ，因为PA PD =，所以.OP AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ,OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面.ABCD …………………… 5分以点O 为坐标原点，分别以直线OD ，OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则x 轴在平面ABCD 内．因为90APD ∠=︒，2AB AD ===，1PQ CD ==，所以(),,A -010，(),,B -210，(),,C 110，(),,Q 101，所以()1,1,1BQ =-，()0,1,1CQ =-. …………………… 7分设平面QBC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n BQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00 即,.x y z y z -++=⎧⎨-+=⎩00所以,.x y z y z =+⎧⎨=⎩令1z =，则1y =，2x =.所以()2,1,1n =. …………………… 8分设平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =，所以cos ,n m == 又因为二面角Q BC A --为锐角，所以二面角Q BC A --…………………… 10分（Ⅲ）存在. 设点(),,M a b c ，QM QBλ=，[]01.λ∈,所以()1,,1QM a b c =--，()1,1,1.QB =--所以+1a λ=， b λ=-， +1c λ=-. 所以点(),,.M λλλ+--+11所以(),,.AM λλλ=+-+-+111 又平面QBC 的法向量为()2,1,1n =，AM⊥平面QBC ，所以.λλ+-+=1121所以.λ=13所以在线段QB 上存在点M ，使AM ⊥平面QBC ，且QM QB的值是.13…………… 14分18. 解：（Ⅰ）设函数()()().xxF x f x g x xe ae a =-=-+当1=a 时，()1x x F x xe e =-+，所以'()xF x xe =.所以)0(，-∞∈x 时，'()0F x <；)0(∞+∈，x 时，'()0F x >. 所以()F x 在)0(，-∞上单调递减，在)0(∞+，上单调递增. 所以当0=x 时，()F x 取得最小值(0)0F =.所以()0F x ≥，即)()(x g x f ≥． …………………… 4分（Ⅱ）当1>a 时，'()(1)xF x x a e =-+，令'()0F x >，即(1)0xx a e -+>，解得1x a >-；令'()0F x <，即(1)0x x a e -+<，解得 1.x a <-所以()F x 在(1)a -∞-，上单调递减，在(1)a -+∞，上单调递增. 所以当1-=a x 时，()F x 取得极小值，即1(1)a F a a e --=-. (6)分令1()a h a a e-=-，则1'()1a h a e-=-.因为1>a ，所以'()0h a <. 所以()h a 在(1,)+∞上单调递减. 所以()(1)0h a h <<. 所以(1)0F a -<.又因为()0F a a =>，所以()F x 在区间),1(a a -上存在一个零点.所以在),1[+∞-a 上存在唯一的零点. …………………… 10分又因为()F x 在区间)1,(--∞a 上单调递减，且(0)0F =，所以()F x 在区间)1,(--∞a 上存在唯一的零点0. …………………… 12分所以函数)(x h 有且仅有两个零点，即使)()(x g x f =成立的x 的个数是两个.…………………… 13分19. 解：（Ⅰ）因为椭圆的焦点在x 轴上，2AB =，离心率e =所以1b =，c a = 所以由222a b c =+，得2 4.a = 所以椭圆C 的标准方程是22 1.4x y += …………………… 3分（Ⅱ）设点P 的坐标为()00,x y ，所以Q 的坐标为()00,x y -. 因为M ，N 分别是OP ，BP 的中点，所以M 点的坐标为00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 点的坐标为001,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭. …………………… 4分所以直线AD 的方程为0021y y x x -=+. …………………… 6分代入椭圆方程2214x y +=中，整理得()()222000042820.x y x x y x ⎡⎤+-+-=⎣⎦ 所以0x =，或()()()0000220008222=.5442x y x y x y x y --=-+-所以()2000000002222431.5454x y y y y y x y y ---+-=⋅+=--所以D 的坐标为()200000022243,5454x y y y y y -⎛⎫-+- ⎪--⎝⎭. (10)分所以000000112.32QNy y y k x x x --+==-+ 又()200000000243541.22354QD y y y y y k x y x x y -+---+==--+- 所以D ，N ，Q 三点共线. (13)分20.解：（Ⅰ）因为+12+1n n n a a a +∆=-，1n n n a a a +∆=-，所以+12+12n n n n n a a a a a +∆-∆=+-22n n n a q a a q =+-()()22121.n n a q q a q =+-=-因为，公比，且，所以0n a >，()210.q ->所以()210.n a q ->所以等比数列{}n a 为凸数列. …………………… 3分（Ⅱ）因为数列}{n a 为凸数列，所以11=m m m m a a a a ++--，211m m m m a a a a +++-≥-，321m m m m a a a a +++-≥-，…，11.m n m m n m m m a a a a +-+--+-≥-叠加得()1()n m m m a a n m a a +-≥--. 所以1.n mm m a a a a n m+-≥--同理可证1.m km m a a a a m k+-≤-- 综上所述，1n m m k m m a a a aa a n m m k+--≥-≥--. (7)分因为n m m k a a a a n m m k--≥--，所以()()()().n m m k m k a k m a n m a m n a -+-≥-+-所以()()().n k m m k a n m a n k a -+-≥-令1k =，()()11()1.n m m a n m a n a -+-≥- 所以11.11m n m n m a a a n n --⎛⎫≤+ ⎪--⎝⎭若1n a a ≤，则111()().1111m n n n n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 若1n a a ≥，则111111()().1111m n m n m m n ma a a a a a n n n n ----≤+≤+=---- 所以{}1max ,.m n a a a ≤ (10)分（Ⅲ）设p a 为凸数列}{n a 中任意一项，由（Ⅱ）可知，1max{,}.p n t a a a a ≤≤再由（Ⅱ）可知，对任意的1p m n ≤<<均有1m p n m m m a a a a a a n mm p +--≥-≥--，（1）当1p t n ≤<<时，t pn ta a a a n t t p --≥--.又因为n t a a ≤，所以0.t pn ta a a a n t t p --≥≥--所以.p t a a ≥（2）当1t p n <<≤时，11p t t a a a a p t t --≥--.又因为1t a a ≤，所以10.1p t t a a a a p t t --≥≥--所以.p t a a ≥（3）当p t =时，.p t a a = 所以.p t a a ≥综上所述，.p t a a = 所以12n a a a ===. …………………… 14分。

北京市通州区2012届高三模拟考试(一)数学(理)试题

通州区2012年高三年级模拟考试（一）数学（理科）试卷2012年4月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=B ．12AB BC DA =+C ．AD DC AC -=D ．2CD BA CA +=5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是 A ．16B ．20C ．12+D ．16+6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB=BC =3，CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫⎪⎝⎭，()121,0i i A A i +=-()1,2,,,i n =，()11,2,,,i i i A B A i n +∆=是等边三角形，且点12,,,,n B B B 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1.（I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率；（III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F . （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)通州区一模参考答案（理科）2012年4月一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15．解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ）因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)4x π+=所以()f x 取得最大值3；当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x 取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分（Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P . ∴()2,2,2PC =-，()0,2,0AB =.∴cos ,34PC AB PC AB PC AB===⋅∴异面直线PC 与AB …………………………8分（Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =，()1,0,DE m =-. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =， ∴0n DC =，0n DE =，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =，∴2cos ,3n AP =，即42.3n APn AP==⋅ 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17．解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分（Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+== ………………………… 10分（Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-== 所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=，令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分（II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>，所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞），所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222k x x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤= ………………………… 12分当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k =时，PAB ∆面积的最大值是2………………………… 13分20．解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分（Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++.①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠，所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分（ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分（Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥，所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。

北京市通州区2024届高三上学期期中质量检测数学试题(含解析)

通州区2023—2024学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷2023年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交国.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（）A B.C. D. 与的夹角为120°4. 已知函数，则（）A. 当且仅当，时，有最小值B. 当且仅当时，有最小值2C. 当且仅当时，有最小值D. 当且仅当时，有最小值.25. 下列命题中假命题是（）A. ，B. ，.的{}02A x x =≤<{}1,0,1,2B =-A B = {}1{}0,1{}0,2{}0,1,21iiz -=z ()2,0a =- ()1,2b =(c = a b ∥ 2a b ⋅= 2b c = a c()()1104f x x x x=++>12x =()f x 3212x =()f x 1x =()f x 321x =()f x x ∀∈R 102x⎛⎫> ⎪⎝⎭x ∃∈R 12x x>C ， D. ，6. 已知，，，则（）A. B. C.D.7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B. C. D. 9. 已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（）A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且，则下列四个结论中正确的个数是（）①；②若，则；③若，则；④若数列是单调递增数列，则的取值范围是.A. 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题共110分）.x ∀∈R ||21x >x ∃∈R tan 1x >12log 3a =1ln 2b =1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<a b c <<a c b <<b c a<<xOy αOx α()1,2-tan 2α=-()0,∞+()()31f x x =-()||2x f x -=()2log f x x =-()12log f x x=()()()cos 20,πf x A x A ϕϕ=+><3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()sin g x x =()sin g x x=-()πcos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πcos 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭{}n a n n S 21n n S S n ++=22n n a a +-=10a =501225S =11a =501224S ={}n a 1a 11(,44-二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知函数，则的定义域为____________.12. 已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式________；数列的前9项和的值为__________.13. 已知实数a ，b 满足关于x 的不等式的解集为，且满足关于的不等式的解集为，则满足条件的一组a ，b 的值依次为______.14. 在等腰中，，，则____________；若点满足，则的值为___________.15. 已知函数，，给出下列四个结论：①函数在区间上单调递减；②函数的最大值是；③若关于的方程有且只有一个实数解，则的最小值为；④若对于任意实数a ，b ，不等式都成立，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16已知函数，.（1）当时，若，求的值域（2）若有两个零点，分别为，，且，求的取值范围.17. 已知函数..()()1lg 2f x x x=++()f x {}n a 22a =-34a ={}n a n a ={}n a 9S (),axb a b >∈R (),1-∞-y 230y y b ++>R ABC 2AB AC ==2BA BC ⋅=BC =P 122CP CA CB =- PA PB ⋅()23,1,1log ,1,2x x m x f x x x ⎧-++<⎪=⎨--≥⎪⎩m ∈R ()21x g x x =+()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x 12x ()()0f x g x -=m 12()()f a g b ≤m 3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦()23f x x ax a =--+a ∈R 2a =[]0,3x ∈()f x ()f x 1x 2x 120x x >a ()2cos 2sin 1f x x x x =-+（1）求的值；（2）求最小正周期及单调区间；（3）比较与的大小，并说明理由.18. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中，，再从下面给出的条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一.（1）求的值；（2）求的面积.条件①：；条件②：③：.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.20. 已知函数，，.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值；（3）当时，求证：对任意，恒有成立.21. 已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.（1）若；（i ）请写出一个满足条件的数列的前四项；的5π4f ⎛⎫⎪⎝⎭()f x π5f ⎛⎫- ⎪⎝⎭7π8f ⎛⎫⎪⎝⎭ABC 2a =π3B =ABC c ABC cos =A b =b =()2e 2xf x x =-()y f x =()()0,0f ()f x x ∈R ()()2e 1f x x m >-+m ()e 2x f x x -=()1ln g x a x x =-a ∈R ()1f '()g x []1,21a =()0,x ∈+∞()()cos xf xg x x>-{}n a 112n n n a a a -++≥*n ∈N 2n ≥12a a >{}n a（ii ）求证：存在，使得成立；（2）设数列的前项和为，求证：.()t t ∈R ()*1n a a nt n ->∈N {}n a n n S ()()2212n n n S n n a n n a ++--≥通州区2023—2024学年第一学期高三年级期中质量检测数学试卷2023年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交国.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为集合，，则.故选：B 2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算化简即可求解.【详解】,故对应的点为，在第三象限，故选：C3. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（）A. B. {}02A x x =≤<{}1,0,1,2B =-A B = {}1{}0,1{}0,2{}0,1,2{}02A x x =≤<{}1,0,1,2B =-{}0,1A B = 1iiz -=z ()()()1i i 1i 1i i i i z ---===---()1,1--()2,0a =- ()1,2b=(c = a b ∥ 2a b ⋅=C. D. 与的夹角为120°【答案】D 【解析】【分析】利用向量平行，向量数量积，向量模，向量夹角的坐标表示验证各选项正误即可得答案.【详解】A 选项，因，则与平行，故A 错误；B 选项，因，故B 错误；C 选项，，又，则，故C 错误；D 选项，，又，则，即与的夹角为120°，故D 正确.故选：D.4. 已知函数，则（）A. 当且仅当，时，有最小值B. 当且仅当时，有最小值2C. 当且仅当时，有最小值D. 当且仅当时，有最小值.2【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当且仅当时，有最小值2.故选：B5. 下列命题中的假命题是（）2b c = a c ()2210-⨯≠⨯a b202a b ⋅=-+=-b ==2c == 2b c ≠ 21cos ,222a c a c a c⋅-===-⨯ [],0,180a c ∈︒︒ ,120a c =︒ a c()()1104f x x x x=++>12x =()f x 3212x =()f x 1x =()f x 321x =()f x 0x >()11124f x x x =++≥+=14x x =12x =12x =()f xA. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C 【解析】【分析】对于A ，根据指数的值域为可判断；对于B ，取可判断；对于C ，取可判断；对于D ，取可判断.【详解】对于A ，因为指数函数的值域为，所以，，A 对；对于B ，当时，，B 对；对于C ，当时，，C 错；对于D ，当时，，D 对.故选：C.6. 已知，，，则（）A. B. C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数的单调性可得，，又，从而可得.【详解】因为，所以，即，因为，所以，即，而，所以.故选：B.x ∀∈R 102x⎛⎫> ⎪⎝⎭x ∃∈R 12x x>x ∀∈R ||21x >x ∃∈R tan 1x >()0,∞+14x =0x =π3x =()0,∞+x ∀∈R 102x⎛⎫> ⎪⎝⎭14x =1122111424x ⎛⎫==> ⎪⎝⎭0x =||0212x ==π3x =πtan tan 13x ==>12log 3a =1ln 2b =1213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭b ac <<a b c <<a c b <<b c a<<21a -<<-10b -<<12103c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭121123422--⎛⎫⎛⎫=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111122211log log 3log 22--⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21a -<<-11e 12-<<11lne ln ln12-<<10b -<<12103c ⎛⎫=> ⎪⎝⎭a b c <<7. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义即可判断.【详解】当角的终边过点时，根据三角函数的定义，可得，充分性成立；当时，为第二象限角或第四象限角，若为第四象限角，则角的终边不过点，必要性不成立.所以“角的终边过点”是“”的充分不必要条件.故选：A.8. 下列函数中，在区间上单调递减的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】求导可判断A ，根据指数函数以及对数函数的单调性即可判定BC ，根据函数图象即可判定D.【详解】对于A, ,所以在上单调递增，故A 错误，对于B ，由于，所以在上单调递增，B 错误，对于C ，，故在上单调递减，C 正确，对于D ，的图象如下所示：故在单调递减，在单调xOy αOx α()1,2-tan 2α=-α()1,2-tan 2α=-tan 2α=-ααα()1,2-α()1,2-tan 2α=-()0,∞+()()31f x x =-()||2x f x -=()2log f x x =-()12log f x x=()()2310f x x '=-≥()()31f x x =-()0,∞+()220,xx x f x -=>=()||2x f x -=()0,∞+()220,log log x f x x x >=-=-()2log f x x =-()0,∞+()12log f x x =()12log f x x =()0,1()1,+∞递增，故D 错误，故选：C9. 已知函数是奇函数，且，将的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为，则（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.【详解】由题意可知，，所以或，由因为，所以，即，故.故选：A .()()()cos 20,πf x A x A ϕϕ=+><3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()g x ()sin g x x =()sin g x x=-()πcos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πcos 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()ππZ 2k k ϕ=+∈π<ϕπ2ϕ=π2ϕ=-3π3π1cos 142f A ϕ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π0cos 02A ϕ⎛⎫>⇒+< ⎪⎝⎭π,12A ϕ=-=()πcos 2sin 22f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()sin g x x =10. 已知数列的前项和为，且，则下列四个结论中正确的个数是（）①；②若，则；③若，则；④若数列是单调递增数列，则的取值范围是.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】由，可得，两式相减得到，进而可得，可判断①，根据的值可判断是否为等差，再根据等差数列得前项和公式即可求解②③；根据条件得，，再根据数列单调递增，则必有，且，求解即可得出的取值范围．【详解】因为，当，，两式相减得，所以，两式相减得，故①错误，当时，令，则，，得，所以，令，则，，得，所以，则，所以，故奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，则，所以②正确；当时，令，则，，得，所以，{}n a n n S 21n n S S n ++=22n n a a +-=10a =501225S =11a =501224S ={}n a 1a 11(,44-21n n S S n +=-+21(1)n n S S n -=-+-121(2)n n a a n n ++=-≥22(2)n n a a n +-=≥1a {}n a n 21221n a n a =--21122+=+n a n a {}n a 22212n n n a a a ++>>21a a >1a 21n n S S n +=-+2n ≥21(1)n n S S n -=-+-121(2)n n a a n n ++=-≥122(1)121+++=+-=+n n a a n n 22(2)n n a a n +-=≥10a =1n =211S S =-+1211a a a +=-+2121a a =-+21a =2n =324S S =-+112324a a a a a ++=--+312122422=--+=+a a a a 32a =312a a -=22n n a a +-={}n a 10a =21a =50123495013492450()()S a a a a a a a a a a a =+++++=+++++++ 25242524(2502)(2512)122522⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=11a =1n =211S S =-+1211a a a +=-+2121a a =-+21a =-令，则，，得，故偶数项是以为首项，2为公差的等差数列，奇数项从第二项开始以为首项，2为公差的等差数列，则，所以③正确；由于，，，则，又数列单调递增，则必有，且，所以，且，解得，所以的取值范围是，所以④正确．故选：C ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知函数，则的定义域为____________.【答案】【解析】【分析】依题意可得，，求解即可.【详解】依题意可得，，解得且，所以的定义域为.故答案为：.12. 已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式________；数列2n =324S S =-+112324a a a a a ++=--+3122244a a a =--+={}n a 21a =-34a =50123495013492450()()S a a a a a a a a a a a =+++++=+++++++ ()242325241(2442)2512122422⨯⨯⎡⎤=+⨯+⨯+⨯-+⨯=⎢⎥⎣⎦22(2)n n a a n +-=≥2121a a =-+3122=+a a 2222222442211()()()2(1)21221n n n n n a a a a a a a a n a n a ---=-+-++-+=--+=-- 2121212123533311()()()2(1)222222n n n n n a a a a a a a a n a n a n a ++---=-+-++-+=-+=-++=+ {}n a 22212n n n a a a ++>>21a a >111222122221n a n a n a +-->+>--1112->a a 11144a -<<1a 11(,44-()()1lg 2f x x x=++()f x ()()2,00,-⋃+∞020x x ≠⎧⎨+>⎩20x x ≠⎧⎨+>⎩2x >-0x ≠()f x ()()2,00,-⋃+∞()()2,00,-⋃+∞{}n a 22a =-34a ={}n a n a =的前9项和的值为__________.【答案】 ①. ②. 171【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解，，进而根据公式即可求解.【详解】由，可得，，所以，，故答案为：，17113. 已知实数a ，b 满足关于x 的不等式的解集为，且满足关于的不等式的解集为，则满足条件的一组a ，b 的值依次为______.【答案】故答案为：（答案不唯一，只要满足就行）【解析】【分析】利用一元一次不等式的解集和二次不等式恒成立列不等式即可求解.【详解】因为关于x 的不等式的解集为，所以，又关于的不等式的解集为，所以，解得，所以满足条件的一组a ，b 的值依次为，（答案不唯一，只要满足就行）故答案为：（答案不唯一，只要满足就行）14. 在等腰中，，，则____________；若点满足，则的值为___________.【答案】 ①.②. 【解析】【分析】利用余弦定理、平面向量及其线性运算、平面向量数量积的定义及运算分析运算即可得解.{}n a 9S ()12n --2q =-11a =22a =-34a =2q =-11a =()1112n n n a a q --==-()()991217112S --==--()12n --(),ax b a b >∈R (),1-∞-y 230y y b ++>R 3,3a b =-=94b a =->(),ax b a b >∈R (),1-∞-0a b a <⎧⎨=-⎩y 230y y b ++>R 2340b -<94b >3,3a b =-=94b a =->3,3a b =-=94b a =->ABC 2AB AC ==2BA BC ⋅=BC =P 122CP CA CB =- PA PB ⋅224【详解】解：如上图，由题意等腰中，，则，∵，，∴，∴，即，∵由余弦定理得，∴，即，又因边长，∴.∴是等边三角形，则，，∵，∴，，∴.ABC 2AB AC ==2BA =2BA BC ⋅=,=∠ BA BC B cos 2cos 2⋅===BA BC BA BC B BC B cos 1=BC B cos 1⋅=BC B 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅244221=+-⨯⨯BC 24BC =0BC >2BC =ABC π3A B C ===2C C B A ==122CP CA CB =- 122=-=+ PA CA CP CA CB 132=-=- PB CB CP CB CA 2211312362224⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭PA PB CA CB CB CA CA CB CA CB CA CB222211116cos 62424=⋅-+=-+CA CB CA CB CA CB C CA CB 221112226224224=⨯⨯⨯-⨯+⨯=故答案为：；.15. 已知函数，，给出下列四个结论：①函数区间上单调递减；②函数的最大值是；③若关于的方程有且只有一个实数解，则的最小值为；④若对于任意实数a ，b ，不等式都成立，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】①②③【解析】【分析】对于①，由二次函数开口向下，对称轴为，得到①正确；对于②，先得到函数的奇偶性，求导得到函数的单调性，画出的图象，数形结合得到的最大值；对于③，转化为有且只有一个交点，在同一坐标系画出与的图象，数形结合得到不等式，求出；对于④，先由得到，考虑时，两函数在处的切线相同，结合两函数图象得到满足要求，故④错误.【详解】对于①，当时，，二次函数开口向下，对称轴为，故在区间上单调递减，①正确；对于②，定义域为R ，且，故为奇函数，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在224()23,1,1log ,1,2x x m x f x x x ⎧-++<⎪=⎨--≥⎪⎩m ∈R ()21x g x x =+()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x 12x ()()0f x g x -=m 12()()f a g b ≤m 3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦12x =()21xg x x =+()g x ()(),f x g x ()f x ()g x 12m ≥()()00f g ≤0m ≤0m =0x =0m =1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()221124f x x x m x m ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝⎭12x =1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()21xg x x =+()()21x g x g x x --==-+()21xg x x =+0x >()()22211x g x x-'=+1x >()0g x '<()21xg x x =+01x <<()0g x '>()21xg x x =+且，时,时,画出的图象如下：由图象可得的最大值是，②正确；对于③，关于的方程有且只有一个实数解，即有且只有一个交点，在同一坐标系画出与的图象，要想有且只有一个交点，则，故的最小值为，③正确；对于④，由题意得，，即，当时，，，()112g =0x >()0g x >0x <()0g x <()21x g x x =+()g x 12x ()()0f x g x -=()(),f x g x ()23,1,1log ,1,2x x m x f x x x ⎧-++<⎪=⎨--≥⎪⎩()g x ()(),f x g x 12m ≥m 12()()00f g ≤0m ≤0m =()2f x x x =-+()00f =，，此时在处的切线方程为，而，故在处的切线方程为，画出两函数图象如下：此时满足对于任意实数a ，b ，不等式都成立，故的取值范围不是，D 错误.故答案为：①②③【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数，.（1）当时，若，求的值域（2）若有两个零点，分别为，，且，求的取值范围.【答案】（1）()21f x x '=-+()01f '=()2f x x x =-+0x =y x =()01g '=()21xg x x =+0x =y x =()()f a g b ≤m 3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦()23f x x ax a =--+a ∈R 2a =[]0,3x ∈()f x ()f x 1x 2x 120x x >a []0,4（2）【解析】【分析】（1）由题意可得在上单调递减，在上单调递增，从而可求解；（2）根据题意可得，进而可求解.【小问1详解】当时，的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，所以当，的值为；【小问2详解】的两个零点分别为，且，，即，解得或，故取值范围为.17. 已知函数.（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调区间；（3）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1（2）,递增区间为，递减区间为的(,6)(2,3)-∞- ()f x [)0,1(]1,312Δ00x x >⎧⎨>⎩2a =()()22211f x x x x =-+=-1x =()f x [)0,1(]1,3()()min 10f x f ==()()01,34f f ==()max 4f x =[]0,3x ∈()f x []0,4()f x 12,x x 120x x >12Δ00x x >⎧∴⎨>⎩24(3)030a a a ⎧--+>⎨-+>⎩6a <-23a <<a (,6)(2,3)-∞- ()2cos 2sin 1f x x x x =-+5π4f ⎛⎫⎪⎝⎭()f x π5f ⎛⎫- ⎪⎝⎭7π8f ⎛⎫⎪⎝⎭πT =πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式化一，从而可求解；（2）根据周期公式可求周期，令，求解可得增区间，令，求解可得减区间；（3）由周期可得，再利用单调性即可求解.小问1详解】，所以；【小问2详解】的最小正周期,令，解得；令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.小问3详解】，理由如下：由（2）可知的最小正周期,所以，由（2）可知，在上单调递增，又，所以，即.【【π7π58f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤+≤+∈7ππ88f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1π2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭5π5π44ππ2sin 22cos 66f ⎫⎛⎫⨯+=⎛ = ⎝⎝⎭⎪⎭=⎪()f x 2ππ2T ==πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤+≤+∈π2πππ,Z 63k x k k +≤≤+∈()f x πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦π7π58f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2ππ2T ==7ππ88f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππππ3586-<-<-<ππ85f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π7π58f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18. 已知的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中，，再从下面给出的条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一.（1）求的值；（2）求的面积.条件①：；条件②：③：.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2【解析】【分析】（1）若选①，先求出，然后利用正弦定理可求；若选条件②，由余弦定理可检验是否存在；若选条件③，由余弦定理可求；（2）结合三角形面积公式即可求解．【小问1详解】若选①，又因为,所以，所以，由正弦定理得，所以；若选条件②由余弦定理得，整理得，此时方程无解，即这样的三角形不存在，所以条件②不能选；ABC 2a =π3B =ABC c ABC cos =A b =b =3c =sin C c c c cos =A 0πA <<sin A ==1sin sin()sin cos cos sin 2C AB A B A B =+=+=+=sin sin a cA C=sin 3sin a C c A ===b =22227414cos ,224c a c b B acc+-+-==24890c c -+=若选条件③，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），所以.小问2详解】由（1）可知，所以.19. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）极小值为，无极大值（3）【解析】【分析】（1）求导，即可得斜率，进而可求直线方程，（2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值，（3）将恒成立问题参数分离，构造函数即可求导求解最值求解.【小问1详解】由得，又，所以在切线为【小问2详解】令，则，故在单调递增，当时，单调递减，【b =2222147cos ,224a c b c B ac c+-+-==2230c c --=3c =1c =-3c =3c=11sin 2322ABC S ac B ==⨯⨯=()2e 2xf x x =-()y f x =()()0,0f ()f x x ∈R ()()2e 1f x x m >-+m 1y =()01f =0m <()2e 2e ,xg x x =-()2e 2xf x x =-()22e 2x f x '=-()()00,01f f ='=()y f x =()0,11y =()22e 20xf x '=->0x >()f x ()0,∞+0x <()()0,f x f x '<所以当时，取极小值，无极大值，【小问3详解】由得，故，构造函数则，令，则，故当时，，单调递增，时，单调递减，故当取极小值也是最小值，，所以，即20. 已知函数，，.（1）求的值；（2）求在区间上的最大值；（3）当时，求证：对任意，恒有成立.【答案】（1）（2）时，，时，时，，（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导即可代入求解，（2）分类讨论，即可根据导数求解函数的单调性并求解最值，（3）将问题转化为，对分类讨论，构造函数，求0x =()f x ()01f =()()2e 1f x x m >-+()22e e 21xx m x ->+-2e 2e x m x ->()2e 2e ,xg x x =-2()2e 2e x g x '=-2()2e 2e>0x g x '=-1>2x 1>2x ()0g x '>()g x 12x <()()0,g x g x '<()1,2x g x =1e e 02g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()min m g x <0m <()e 2x f x x -=()1ln g x a x x =-a ∈R ()1f '()g x []1,21a =()0,x ∈+∞()()cos xf xg x x>-()12f '=1a ≤-()max 1g x =-112a -<<-()max 1ln g x a aa ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12a -≤()max 1ln 22g x a =-ln e cos 1x x x x <+-x ()=e cos ln 1xh x x x x +--导确定函数的单调性，即可利用单调性求解最值求证.【小问1详解】由得，所以，【小问2详解】由得，当时，，故在区间上单调递增，所以，当时，令，则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，当时，，此时在区间上单调递减，所以，当时，，此时在区间上单调递增，所以，当时，，此时在区间上单调递增，在单调递减，综上可得：时，，时，时，，【小问3详解】要证，即证，即证明，当时，，而，所以()e 2x f x x-=()2e e 2x x x f x x -+'=()12f '=()1ln g x a x x=-()2211a ax g x x x x +'=+=0a ≥()0g x '>()g x []1,2()()max 12ln 22g x g a ==-0a <()0g x '<1x a >-()0g x '>10x a<<-()g x 1x a >-10x a <<-1a ≤-11a-≤()g x []1,2()()max 11g x g ==-102a -≤<12a -≥()g x []1,2()()max 12ln 22g x g a ==-112a -<<-112a <-<()g x 11,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦()max 11ln g x g a aa a ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1a ≤-()max 1g x =-112a -<<-()max 1ln g x a aa ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12a -≤()max 1ln 22g x a =-()()cos x f x g x x >-1e cos ln x x x x x ++<ln e cos 1x x x x <+-01x <≤ln 0x x <e cos 11cos 1cos cos10x x x x +->+-=≥>，当时，记，则，记，由于，所以当单调递增，所以，故在单调递增，故，故，综上，对任意，恒有【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．21. 已知数列的各项均为正数，且满足（，且）.（1）若；（i ）请写出一个满足条件的数列的前四项；（ii ）求证：存在，使得成立；（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（i ）（答案不唯一）（ii ）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的性质证明不等式；（2）根据累加法与不等式的性质证明结论．【小问1详解】（i ）∵即，ln e cos 1x x x x <+-1x >()=e cos ln 1x h x x x x +--()=e sin ln 1xh x x x '---()()()1==e sin ln 1,=e cos x xm x h x x x m x x x''-----()111,=e cos e 1e 110xx x m x x x x'>-->-->-->()1,x h x '>()()1e sin110h x h ''>=-->()h x 1x >()()1e cos110h x h >=+->ln e cos 1x x x x <+-()0,x ∈+∞()()cos xf xg x x>-()h x ()h x {}n a 112n n n a a a -++≥*n ∈N 2n ≥12a a >{}n a ()t t ∈R ()*1n a a nt n ->∈N {}n a n n S ()()2212n n n S n n a n n a ++--≥12342,1,7,15a a a a ====112n n n a a a -++≥11n n n n a a a a +--≥-又，则，∴满足条件的数列的前四项可以为：.（ii ）∵（，且），∴，，，，累加得，则，则，∵，∴，不妨令，故存在，使得成立；【小问2详解】由（1）知：，同理∵即，∴，，，∴，则则，12a a >210a a -<{}n a 12342,1,7,15a a a a ====11n n n n a a a a +--≥-*n ∈N 2n ≥121n n n n a a a a -----≥1223n n n n a a a a -----≥-⋅⋅⋅4332a a a a -≥-3221a a a a -≥-()()2212n a a n a a ≥---()()121212n a a n a a a a -≥--+-()()()()12121211n a a n a a n a a a a -≥--=---210a a -<()121n a a n a a ->-()21t a a =-()t t ∈R ()*1n a a nt n ->∈N ()()1211n a a n a a -≥--112n n n a a a -++≥11n n n n a a a a +--≥-121q q q q a a a a -----≥1223q q q q a a a a -----≥-⋅⋅⋅211k k k k a a a a +++-≥-()()1q k k k a a q k a a +-≥--()()1q k k k a a q k a a +-≥--()()1q n n n a a q n a a +-≥--，，，，累加得：，故：.()()111n n n a a n a a +-≥--()()212n n n a a n a a +-≥--⋅⋅⋅()11n n n n a a a a -+-≥--0n n a a -≥()()112n nn n n n S na a a +--≥--()()2212n n n S n n a n n a ++--≥。

2019年高考北京卷理科数学真题(含答案)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知复数z=2+i，则A. B. C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵故选D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次，，，运行第二次，，，运行第三次，，，结束循环，输出，故选B.【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.3.已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是A. B. C. D.【答案】D【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D.【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.4.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A. a2=2b2B. 3a2=4b2C. a=2bD. 3a=4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.若x，y满足，且y≥−1，则3x+y的最大值为A. −7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】由题意作出可行域如图阴影部分所示.设,当直线经过点时,取最大值5.故选C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m1的星的亮度为E2（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】D【解析】【分析】先求出，然后将对数式换为指数式求再求【详解】两颗星的星等与亮度满足,令，，，，故选D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7.设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A､B､C三点不共线,∴|+|>|||+|>|-||+|2>|-|2•>0与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C. 【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.详解】由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知,四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学高三期末理科试题含答案

通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2430A x x x =-+<,{}230B x x =->，则AB =A .33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B . 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C . 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 332⎛⎫⎪⎝⎭，2. 设向量()3,4=-a ，()0,2=-b ,则与+a b 垂直的向量的坐标可以是A.B.C.D.3.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()21xf x =-，则()2f -等于A . 3- B. 114-C. 34-D. 34.已知双曲线()222105x y a a -=>的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则a 等于A.1B . 2C. 3D. 4考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．5. 已知x ,y 满足不等式组1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z x y =+的最大值等于A. 1B.2C.3 D . 66. 设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为A. 1 B . 2 C. 2 D. 58.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=；②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为A. 1B.2C.3D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数i1iz =-的共轭复数是______． 10.设等比数列{a n }的公比2q =，前n 项和为n S ，则41S a =______ ． 11. 已知角α的终边与单位圆221x y +=的交点为3,2P x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则sin 2α= ．12.61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 的项的系数是______．13. 直线3x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）的公共点个数为______．14. 已知函数()()2,1,ln 1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩１．若关于x 的方程()2f x kx =-有且只有一个实数根，则实数k 的取值范围是______．三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）如图，在△ABC 中，4A π∠=，4AB =，17BC =，点D 在AC 边上，且1cos 3ADB ∠=-．（Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求△BCD 的面积． 16．（本小题13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：四惠 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 四惠东 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 高碑店 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 传媒大学 3 3 3 4 4 4 4 5 5 双桥 3 3 3 4 4 4 4 4 管庄 3 3 3 3 4 4 4 八里桥 3 3 3 3 4 4 通州北苑 3 3 3 3 3 果园 3 3 3 3 九棵树 3 3 3 梨园 3 3 临河里 3 土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明） 17．（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，13AA =，D ，E 分别为AB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面11AA B B ；DC 1B 1A 1CE B A（Ⅱ）求二面角1B AE B --的余弦值；（Ⅲ）在线段11B C 上是否存在一点M ，使BM ⊥平面1AB E ？说明理由. 18．（本小题14分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 过点()0,1A ，且椭圆的离心率为63． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19．（本小题13分）已知函数()2ln f x a x ax =-，其中0a >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()2g x x m =-，若曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求m 的最大值．20．（本小题13分）一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数．质数的个数是无穷的．设由所有质数组成的无穷递增数列{}np 的前n 项和为n S ，等差数列1，3，5，7，…中所有不大于np的项的和为()f n ．（Ⅰ）求5p 和()5f ；(Ⅱ) 判断n S 和()f n 的大小，不用证明；（Ⅲ）设()2k k N *Γ=∈，求证：n N*∀∈，∃Γ，使得1n n S S +<Γ<．通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABDCBC第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．11i 22-- 10．15 11．32± 12．15 13．1 14．{}{}0322k k <<-三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．解：（Ⅰ）在ABD ∆中，因为1cos 3ADB ∠=-，所以22sin 3ADB ∠=． ……………………………………………………………2分由正弦定理sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， ……………………………………………3分所以24s i 23s i 223AB BAD BD ADB ⨯∠===∠． …………………………………………5分（Ⅱ）因为ADB CDB π∠+∠=，所以()1c o 3CD π∠=． ……………………6分所以22sin 3CDB ∠=． ………………………………………7分在BCD∆中，由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-⋅⋅∠， ……8分得21179233CD CD =+-⨯⨯，解得4CD =或2CD =-（舍）． ………………………………………………11分所以BCD ∆的面积1sin 2S BD CD CDB =⋅⋅∠ 122344223=⨯⨯⨯=．13分16．解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为213C =78个，事件A 中基本事件数为78-15=63．所以两站间票价不足5元的概率()2126P A =． 3分（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元. X 的所有可能取值为6，7，8，9，10.4分()()163,39P X P a b =====， 5分()()()173,44,36P X P a b P a b ====+===， 6分()()()()4983,55,34,4144P X P a b P a b P a b ====+==+===， 7分()()()595,44,524P X P a b P a b ====+===，8分()()25105,5144P X P a b =====． 9分所以X 的分布列为 X678 9 10P91 61 14449 245 14425 ............10分（Ⅲ）D ξ=D η．13分17．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1A A ⊥． ………………………………………………1分又ABC ∆为等边三角形，D 为AB 的中点，所以C ⊥． ………………………………………………2分因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面11AA B B ； ……………………………………………………3分（Ⅱ）解：取11A B 中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，11A B 的中点，所以DF AB ⊥．由（Ⅰ）知CD AB ⊥，CD DF ⊥，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………4分由题意得()1,0,0A ，()1,0,0B -，()0,0,3C ，()11,3,0A ,()11,3,0B -,()10,3,3C ,()0,0,0D ,13,0,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 33,0,22AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()12,3,0AB =-． ………………………………………5分设平面1AB E 法向量()1111,,x y z n =，则1110,0,AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即1111330,22230.x z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 令11x =，则123y =，13z =．即121,,33⎛⎫⎪⎝⎭n =． …………………6分平面BAE法向量zyxFC 1CE B D A A 1B 1()10,3,0AA =． ……………………………………………………7分因为()1120,3,01,,323AA ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭n ，13AA =，142101393=++=n ，所以11111110cos ,10AA AA AA ⋅==n n n ． ………………………………………………8分由题意知二面角1B AE B --为锐角，所以它的余弦值为1010. ………………9分（Ⅲ）解：在线段11B C 上不存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．理由如下．假设线段11B C 上存在点M ，使BM ⊥平面1AB E ．则[]0,1λ∃∈，使得111B M B C λ=．因为()111,0,3B C =，所以()1,0,3B M λλ=． ……………………………………10分又()10,3,0BB =，所以()11,3,3BM BB B M λλ=+=． …………………………11分由（Ⅱ）可知，平面1AB E 法向量121,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭n =，BM ⊥平面1AB E ，当且仅当1BMn ，即Rμ∃∈，使得1233BM μμμμ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，，=n ． ……………………………………12分所以23333λμμλμ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，，．解得[]9012λ=∉，． ……………………………………13分这与[]0,1λ∈矛盾．所以在线段11B C 上不存在点M ，使BM ⊥平面1A B E ． ………………………………14分18．解：（Ⅰ）由题意得2221,6,3.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l的方程为y x m=+，(3,)P P y , ………………………………5分由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. ………………………………7分令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<． ………………………………8分1232x x m+=-，2123(1)4x x m =-． …………………………………………9分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP平行于x轴． …………………………………………10分过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q的坐标为(),QQ xy ，则2132Q M x x x x +===． ………………………12分由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-． ……………13分而()122m =-∈-，，所以直线l的方程为1y x =-． ………………………………………………14分19．解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，． ……………………………………………1分 ()()2a a x a f x a x x-'=-=()0a >．………………………………………………2分令()0f x '=，得x a =． ………………………………………………3分当(0,)x a ∈时，()0f x '>；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为(0,)a ，单调递减区间为(,)a +∞； ……………………5分（Ⅱ）设点P 的横坐标为00(0)x x >，则()2000ln f x a x ax =-，()200g x x m =-．因为2()a f x a x '=-，()2g x x '=，所以200()a f x a x '=-，00()2g x x '=．…………6分由题意得22000200ln 2a x ax x m a a x x ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩①②，． …………………………………7分由②得02ax =或0x a =-（舍）． …………………………………………8分所以223ln 42am a a =-()0a >． …………………………………………9分设223()ln 0)42th t t t t =->（，则 1()14ln 0)22t h t t t '=->（）（． …………………………………………10分令()0h t '=，得142t e =． …………………………………………11分当1402t e <<时，()0h t '>，()h t 单调递增；当 142t e >时，()0h t '<，()h t 单调递减．所以()h t 在0∞（，+)的最大值为1142(2)2h e e =，即m 的最大值为122e ． …………………………………………13分20．解：(Ⅰ)511p =，()5135791136f =+++++=； …………………………………………2分(Ⅱ)当1n =时，12S =，()11f =，()11S f >；当2n =时，2235S =+=，()2134f =+=，()22S f >；当3n =时，323510S =++=，()31359f =++=，()33S f >；当4n =时，4235717S =+++=，()4135716f =+++=，()44S f >．所以当4n ≤时，()n S f n >．当5n =时，5235711S =++++=，()5135791136f =+++++=，()55S f <．不难看出，当5n ≥时，()n S fn <． ……………………………………6分（Ⅲ）因为12S =，25S =，310S =，417S =，528S =，所以当1n =时，22Γ=，使得12S S <Γ<；当2n =时，23Γ=，使得23S S <Γ<；当3n =时，24Γ=，使得34S S <Γ<；当4n =时，25Γ=，使得45S S <Γ<所以4n ≤时，命题成立． ……………………………………………………8分当5n ≥时，设k 是使得2n k S ≤成立的最大自然数，只需证()211n k S ++<．……………………………9分因为()2122n k k S k +-≥=1k =， ……………………10分()135n f n p =++++，由(Ⅱ)可知，当5n ≥时，()n S f n <， ……………………………………11分所以21n p k >-，从而121n p k +>+． ……………………………12分所以()221211n n S p k k k ++>++=+，即()211n S k +>+． ………………13分综上可知，命题成立．注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。

2019年通州区高三年级第一次模拟考试理科数学试题.doc

通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷2019年4月第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,1,0,1,2M =--, {}220N x x x =--<,则M ∩N ＝ A ．{-2，-1 } B ．{-1，0 } C ．{0，1 } D ．{1，2 }2. 已知0c <，则下列不等式中成立的是A ．2c c >B ．12cc ⎛⎫> ⎪⎝⎭ C ．122cc⎛⎫> ⎪⎝⎭ D ．122c c ⎛⎫< ⎪⎝⎭3.在极坐标系中，圆θρsin 2=的圆心的极坐标是A ．12⎛⎫⎪⎝⎭，π B . 12π⎛⎫⎪⎝⎭， C. ()01， D. ()10，4．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中)(mod m n N ≡表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如)3(mod 211≡表示11除以3后的余数是2.执行该程序框图，则输出的N 等于A ．7B . 8 C. 9 D. 10 5.设抛物线24=y x 的焦点为F ，已知点14M ,a ⎛⎫⎪⎝⎭，12N ,b ⎛⎫⎪⎝⎭，()1P ,c ，()4Q ,d 都在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q考生须知1.本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分．3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．6.“0m >”是“方程1222=+-m y m x 表示双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为A.32 B. 34 C .38 D. 3168.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…．若数对(),m n 满足()()22132019m n --=，其中,m n N *∈，则数对(),m n 排在A ．第351位B ．第353位C ．第378位D ．第380位第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.复数2ii- (i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于第象限． 10.在ABC ∆中，3cos 5A =，42a =5b =，则c = ． 11．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则2z x y =+的最大值是．12. 能说明“若函数)(x f 满足0)2()0(>⋅f f ，则)(x f 在)2,0(内不存在零点”为假命题的一个函数是．13. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有个(用数字作答)．14.在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(b a A ，若函数()y f x =满足：[]1,1x a a ∀∈-+，都有[]1,1y b b ∈-+，就称这个函数是点A 的“限定函数”．以下函数：①x y 21=，②122+=x y ，③x y sin =，④()ln 2y x =+，其中是原点O 的“限定函数”的序号是．已知点),(b a A 在函数2xy =的图象上，若函数2xy =是点A 的“限定函数”，则a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）已知函数()()22sin cos 2cos 1f x x x x =π-+-．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题13分）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：职工甲职工乙（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）右图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．17．（本小题14分）如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ．将AED ∆沿DE 翻折到A ED '∆，使A E BE '⊥，如图2．（Ⅰ）求证：平面A ′ED ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）求直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）设F 为线段A ′D 上一点，若EF //平面A ′BC ，求DFFA '的值． 18．（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -，()21,0F，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()01，的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA MB MO ++=0，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． 19．（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）当0k =时，求曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程；（Ⅱ）当0k ≠时，（ⅰ）求()f x 的单调区间；（ⅱ）若()f x 在区间()01，内单调递减，求k 的取值范围．20．（本小题13分）定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作{|}M N x x M x N -=∈∉且．已知集合{}1,2,3,,100S =．（Ⅰ）若集合{|2,*}nT x x n N ==∈，写出集合()S S T --的所有元素；（Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小()()2R kxe f x k x=∈值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A S ⊆，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S A -中必有10个元素组成等差数列．通州区高三年级第一次模拟考试数学（理科）试卷参考答案及评分标准第一部分（选择题共40分）第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．三 10．7 11．112．()()21f x x =-(答案不唯一) 13．48 14． ① ③ , (]0-∞，三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．解：（Ⅰ）()()22sincos 2cos 1f xx x x =π-+-2sin cos cos2x x x =+sin 2cos2x x =+ ………………3分 sin 2cos 222x x ⎫=+⎪⎪⎭………………4分2019.424x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………5分所以最小正周期22T π==π； ………………6分（Ⅱ）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦． ………………7分所以当244x ππ+=-，即4x π=-时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最小值2-． (10)分所以()f x 有最小值1-． ………………11分因为当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()f x m ≥恒成立，所以1m ≤-，即m 的取值范围是(]1-∞-，． …………13分16．解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A ． ..........1分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37P A =； ..........3分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2， ..........4分()0P X ==，()1P X ==，()2P X ==． (7)分X 的分布列为..........8分()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=；..........10分（Ⅲ）3月3日． ..........13分由直方图知，微信记步数落在[20,25]，[15,20)，[10,15)，[5,10)，[0,5)（单位：千步）区间内的人数依次为人，人，人，人，人．由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000---20000之间，根据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求． 17．（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．所以A ′E ⊥DE ． ………………1分因为A ′E ⊥BE ,DE ∩BE =E ， DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，所以A ′E ⊥平面BCDE ． ………………3分因为A ′E ⊂平面A ′ED ，所以平面A ′ED ⊥平面BCDE ． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A ′E ⊥DE ，A ′E ⊥BE ，DE ⊥BE ，如图建立空间直角坐标系E-xyz ，则 ………………5分34316()()22132019m n --=c =2z x y =+)(x f 0)2()0(>⋅f f 200.1200=⨯E (0,0,0)，B (2,0,0)，D(0,2√3,0)，C(4,2√3,0) A ,(0,0,2) ，所以A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,−2)， BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0). ………………6分设平面A ′BC 的法向量n =(x,y,z )，由 {n ∙BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ………………7分得 {−2x +2z =0，2x +2√3y =0，所以{x =z ， x =−√3y ．令y =−1，则x =√3，z =√3．所以n =(√3,−1,√3)． ………………8分所以|n |=√(√3)2+(−1)2+(√3)2=√7，又 |A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A ′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =−2√3，所以2321cos ,727A E A E A E '⋅-'<>===-'⋅n n n． (9)分所以直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值为217. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3,2)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0)，设DF⃗⃗⃗⃗⃗ =mDA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√3m,2m)，则 ………………11分EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3−2√3m,2m)． ………………12分因为EF //平面A ′BC ，所以EF⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =0，即0×√3+(2√3−2√3m)×(−1)+2m ×√3=0． ………………13分所以m =12，即DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DA ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．所以1DFFA ='. ………………14分 18．解：（Ⅰ）由已知，得，所以3c e a ===． ..........3分又，所以． (4)分所以椭圆C 的标准方程为，离心率3e =． ..........5分（Ⅱ）设．①当直线l 与x 轴垂直时，点A ,B 的坐标分别为(0，，(0．因为()0,m mMA x y =- ，()0mmMB x y =-，()0,0m m MO x y =--，所以(3,3)m m MA MB MO x y ++=--=0．所以0m x =，0m y =，即点M 与原点重合． ..........6分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+． .......... ..........7分由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得()2232630k x kx ++-=， .......... ..........8分a =1c =222a b c =+b =22132x y +=()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以，1224032y y k +=>+． .......... ..........9分因为，，，所以1212(03,03)0m m MA MB MO x x x y y y ++=++-++-=．所以12123,3m m x x x y y y +=+=．2232m k x k -=+，243032m y k =>+． .......... . (11)分消去k 得()2223200m m m m x y y y +-=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +-=． .......... ..........12分对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭．把2,3M x y ⎛⎫'- ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+---=+-+-+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． ......... ......... ......14分11(,)m m MA x x y y =--22(,)m m MB x x y y =--(0,0)m m MO x y =--19．解: （Ⅰ）当0k =时，()221f x x x -==，()3322f x x x-'=-=-. ..........1分所以()12f '-=， ()11f -=. .........2分所以曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ()()()()111y f f x ⎡⎤'--=---⎣⎦， (3)分即230x y -+=； (4)分（Ⅱ）0k ≠时，（ⅰ）()f x =，定义域为，..........................5分所以()f x '==． .......... ........ ..............7分令()0f x '=，得2x k=． .......... ........ ..........8分①当0k >时，在()0-∞，和，()0f x '>；在，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为()0-∞，和，单调递减区间为；.........9分2xe kx{}0|≠x x 422x xe x ke kx kx ⋅-⋅42)2x x kx e kx -⋅（),2(+∞k )2,0(k),2(+∞k )2,0(k②当0k <时，在，()0f x '>；在和，()0f x '<．所以()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为2k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和()0+∞，；....10分（ⅱ）由()f x 在区间()01，内单调递减， ①当0k >时，()01，，有，所以； ..........11分②当0k <时, ()f x 在递减，符合题意． ..........12分综上k的取值范围是()(]002,,-∞． ..........13分20. 解：（Ⅰ）:248163264，，，，，； (2)分（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即11D =．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100； ............................4分当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即1d =．这样的数列首项可以是12391，，，，中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列．......... ......... .......6分S表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．假设存在含有10个元素的集合A ，使得S -A 中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A 中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A 中的唯一一个元素．）（0,2k ），（k2-∞），（∞+0）（0,2k ⊆)2,0(k 12≥k20≤<k ），（∞+0记表中第i行第j列的数为(),i j．若第i(1≤i≤9)行中集合A的唯一元素为(i,j)，则第i+1行中(i+1,1),(i+1,2),┈(i+1,j)中必有集合A中元素．若第i(1≤i≤9)行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i(1≤i≤8)行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立． (13)分注：解答题学生若有其它解法，请酌情给分．。

2019通州理科数学一模试题.doc

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

北京市通州区高三年级2019年4月第一次模拟考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合M ={-2，-1，0，1，2}，N ={x |x 2-x -2＜0}，则M ∩N =（）A. {−2,−1 }B. {−1,0 }C. {0,1 }D. {1,2 } 2. 已知c ＜0，则下列不等式中成立的是（）A. c >2c B. c >(12)c C. 2c >(12)c D. 2c <(12)c 3. 在极坐标系中，圆ρ=2sinθ的圆心的极坐标是（）A. (π2,1)B. (1,π2)C. (0,1)D. (1,0)4. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中N ≡n （bmodm ）表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如11≡2（bmod 3）表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的N 等于（） A. 7 B. 8 C. 9 D. 105. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，已知点M(14，a)，N(12，b)，P （1，c ），Q （4，d ）都在抛物线上，则M ，N ，P ，Q 四点中与焦点F 距离最小的点是（） A. M B. N C. P D. Q 6. “m ＞0”是“方程x 2m -y 2m+2=1表示双曲线”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A. 23B. 43C. 83D. √38.由正整数组成的数对按规律排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），…．若数对（m，n）满足（m2-1）（n2-3）=2019，其中m，n∈N*，则数对（m，n）排在（）A. 第351位B. 第353位C. 第378位D. 第380位二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数2−ii（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第______象限．10.在△ABC中，cosA=35，a=4√2，b=5，则c=______．11.若实数x，y满足{x−y+1≥0x+y≥0x≤0，则z=2x+y的最大值是______．12.能说明“若函数f（x）满足f（0）•f（2）＞0，则f（x）在（0，2）内不存在零点”为假命题的一个函数是______．13.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中百位上的数字是5的四位数共有______个（用数字作答）．14.在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若函数y=f（x）满足：∀x∈[a-1，a+1]，都有y∈[b-1，b+1]，就称这个函数是点A的“限定函数”．以下函数：①y=12x，②y=2x2+1，③y=sin x，④y=ln（x+2），其中是原点O的“限定函数”的序号是______．已知点A（a，b）在函数y=2x的图象上，若函数y=2x是点A的“限定函数”，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=2sin（π-x）cos x+2cos2x-1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[−π4，π4]时f（x）≥m恒成立，求m的取值范围．16.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．17.如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，DE⊥AB于E．将△AED沿DE翻折到△A'ED，使A′E⊥BE，如图2．（Ⅰ）求证：平面A′ED⊥平面BCDE；（Ⅱ）求直线A′E与平面A′BC所成角的正弦值；的值．（Ⅲ）设F为线段A′D上一点，若EF∥平面A′BC，求DFFA′18. 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1（-1，0），F 2（1，0），长轴长为2√3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线y =13对称．19. 已知函数f （x ）=ekxx2（k ∈R ）．（Ⅰ）当k =0时，求曲线y =f （x ）在点（-1，f （-1））处的切线方程；（Ⅱ）当k ≠0时，（ⅰ）求f （x ）的单调区间；（ⅱ）若f （x ）在区间（0，1）内单调递减，求k 的取值范围．20. 定义集合M 与集合N 之差是由所有属于M 且不属于N 的元素组成的集合，记作M -N ={x |x ∈M 且x ∉N }．已知集合S ={1，2，3，…，100}．（Ⅰ）若集合T ={x |x =2n ，n ∈N *}，写出集合S -（S -T ）的所有元素；（Ⅱ）从集合S 选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值D 和最小值d 分别是多少？公差为D 和d 的等差数列各有多少个？（Ⅲ）设集合A ⊆S ，且集合A 中含有10个元素，证明：集合S -A 中必有10个元素组成等差数列．答案和解析1.【答案】C【解析】解：N={x|-1＜x＜2}；∴M∩N={0，1}．故选：C．可求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.【答案】D【解析】解：c＜0，∴（）c＞1，0＜2c＜1，∴（）c＞2c，故选：D．根据指数函数的图象和性质即可判断．本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：圆ρ=2sinθ化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，配方为x2+（y-1）2=1，因此圆心直角坐标为（0，1），可得圆心的极坐标为．故选：B．把极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，再化为极坐标即可．本题考查了极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：第一次，N=7，7除以3的余数是1，不满足条件．，N=8，8除以3的余数是2满足条件．，8除以5的余数是3满足条件．输出N=8，故选：B．根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．5.【答案】A【解析】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1；则点到焦点F的距离为|MF|=-（-1）=，点到焦点F的距离为|NF|=-（-1）=，点P（1，c）到焦点F的距离为|PF|=1-（-1）=2，点Q（4，d）到焦点F的距离为|QF|=4-（-1）=5；所以点M与焦点F的距离最小．故选：A．根据抛物线的定义，分别求出点M，N，P，Q到焦点F的距离即可．本题考查了抛物线的定义与应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由“方程-=1表示双曲线”得：m（m+2）＞0，即m＞0或m＜-2，又“m＞0”是“m＞0或m＜-2”的充分不必要条件，即“m＞0”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A．由双曲线的性质得：“方程-=1表示双曲线”得：m（m+2）＞0，即m＞0或m＜-2，由充分必要条件得：“m＞0”是“m＞0或m＜-2”的充分不必要条件，即“m＞0”是“方程-=1表示双曲线”的充分不必要条件，得解本题考查了双曲线的性质及充分必要条件，属中档题7.【答案】C【解析】解：该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥A-BCDE为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形：AC=CD=BC=2，几何体的体积为：=，故选：C．由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方形为底面的四棱锥，然后求解几何体的体积即可．本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.【答案】B【解析】解2019=3×673（673为质数），故，或者，（m，n∈N*），得，m+n=28，在所有数对中，两数之和不超过27的有1+2+3+……+26==351个，在两数之和为28的数对中．（2，26）为第二个（第一个是（1，27））故数对（2，26）排在第351+2=353位．故选：B．先求出m，n的数值，再根据数对的特点推数对（m，n）排在多少位．本题考查了简单的合情推理，等差数列的求和，属于中档题．9.【答案】三【解析】解：==-（2i+1）=-1-2i，对应点的坐标为（-1，-2），位于第三象限，故答案为：三结合复数的几何意义以及复数的运算法则进行化简即可．本题主要考查复数的几何意义，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．10.【答案】7【解析】解：由，，b=5，代入a2=b2+c2-2bccosA，得32=25+c2-2×5×c×，即：c2-6c-7=0，解得c=7．（c=-1 舍去）．故答案为：7．由已知结合余弦定理即可计算得解c的值．本题考查解三角形，考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．11.【答案】1【解析】解：实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y，目标函数经过可行域的A时取得最小值，点A（0，1），z A=1，故答案为：1．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．本题主要考查了简单的线性规划，将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解，是常用的一种方法．12.【答案】f（x）=（x-1）2【解析】解：可举函数f（x）=（x-1）2，可得f（0）=1，f（2）=1，即有f（0）f（1）＞0，但f（x）在（0，2）内存在零点1，可说明“若定义在R上的函数f（x）满足f（0）f（2）＞0，则f（x）在区间（0，2）上不存在零点”为假命题．故答案为：f（x）=（x-1）2．可考虑函数f（x）=（x-1）2，计算f（0）f（1）＞0，但在（0，2）内存在零点1．本题考查命题的真假判断，考查函数的零点问题，考查判断能力和推理能力，属于基础题．13.【答案】48【解析】解：根据题意，组成四位数的百位数字为5，分2步进行分析：①，组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，②，在剩下的4个数字中选出2个，安排在十位、个位，有A42=12种选法，则符合条件的四位数有12×4=48个；故答案为：48．根据题意，分2步进行分析：①，组成四位数的千位数字不能为0，则千位数字有4种选法，②，在剩下的4个数字中选出2个，安排在十位、个位，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理了的应用，属于基础题．14.【答案】①③（-∞，0]【解析】解：要判断是否是原点O的“限定函数”，只要判断：∀x∈[-1，1]，都有y∈[-1，1]．对于①y=，由x∈[-1，1]可得y∈[-，]⊆[-1，1]，则①是原点O的“限定函数”；对于②y=2x2+1，由x∈[-1，1]可得y∈[1，3]⊈[-1，1]，则②不是原点O的“限定函数”；对于③y=sinx，由x∈[-1，1]可得y∈[-sin1，sin1]⊆[-1，1]，则③是原点O的“限定函数”；对于④y=ln（x+2），由x∈[-1，1]可得y∈[0，ln3]⊈[-1，1]，则④是原点O的“限定函数”．点A（a，b）在函数y=2x的图象上，若函数y=2x是点A的“限定函数”，可得b=2a，由x∈[a-1，a+1]，y∈[b-1，b+1]，即y∈[2a-1，2a+1]，即[2a-1，2a+1]⊆[2a-1，2a+1]，可得2a-1≤2a-1＜2a+1≤2a+1，可得a≤1且a≤0，即a≤0．a的范围是（-∞，0]．故答案为：①③；（-∞，0]．分别运用一次函数、二次函数和正弦函数、对数函数的单调性，结合集合的包含关系可判断是否是原点的限定函数；由指数函数的单调性，结合集合的包含关系，解不等式可得a的范围．本题考查函数的新定义的理解和运用，考查常见函数的单调性和运用，考查集合的包含关系，以及推理能力，属于基础题．15.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（π-x）cos x+2cos2x-1，=2sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x，=√2(√22sin2x+√22cos2x)，=√2sin(2x+π4)，所以最小正周期T=2π2=π；（Ⅱ）因为x∈[−π4，π4]，所以2x∈[−π2，π2]，2x+π4∈[−π4，3π4]．所以当2x+π4=−π4，即x=−π4时，sin(2x+π4)有最小值−√22．所以f（x）有最小值-1．因为当x∈[−π4，π4]时f（x）≥m恒成立，所以m≤-1，即m的取值范围是（-∞，-1]．【解析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（Ⅱ）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A …（1分）从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以P(A)=37；…（3分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，…（4分）P （X =0）=C 32C 73=17，（X =1）=13C 41CC 72=47，（X =2）=C 42C 72=27（7分）…（8分）E(X)=0×17+1×47+2×27=87；…（10分）（Ⅲ）3月3日…（13分）由直方图知，微信记步数落在[20，25]，[15，20），[10，15），[5，10），[0，5）（单位：千步）区间内的人数依次为200×0.15=30，200×0.25=50，200×0.3=60，200×0.2=40，200×0.1=20据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．【解析】（1）分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．（2）X 服从超几何分布，确定X 的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．（3）由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题． 17.【答案】（Ⅰ）证明：在菱形ABCD 中，因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．所以A ′E ⊥DE ． ………………（1分）因为A ′E ⊥BE ，DE ∩BE =E ，DE ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE ，所以A ′E ⊥平面BCDE ． ………………（3分）因为A ′E ⊂平面A ′ED ，所以平面A ′ED ⊥平面BCDE ． ………………（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A ′E ⊥DE ，A ′E ⊥BE ，DE ⊥BE ，如图建立空间直角坐标系E -xyz ，则 ………………（5分）E （0，0，0），B （2，0，0），D(0，2√3，0)，C(4，2√3，0) A ，（0，0，2），所以A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，−2)，BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，2√3，0)．………………（6分）设平面A ′BC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ），由{n ⃗ ⋅BA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，………………（ 7分）得{−2x +2z =0，2x +2√3y =0，所以{x =z ，x =−√3y ．令y =-1，则x =√3，z =√3．所以n ⃗ =(√3，−1，√3)． ………………（ 8分）所以|n ⃗ |=√(√3)2+(−1)2+(√3)2=√7，又|A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2√3，所以cos ＜A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |A′E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√7=−√217．………………（ 9分）所以直线A ′E 与平面A ′BC 所成角的正弦值为√217．………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，DA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2√3，2)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，0)，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =m DA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−2√3m ，2m)，则 ………………（11分）EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3−2√3m ，2m)． ………………（12分）因为EF ∥平面A ′BC ，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，即0×√3+(2√3−2√3m)×(−1)+2m ×√3=0． ………………（13分）所以m =12，即DF ⃗⃗⃗⃗⃗=12DA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗．所以DFFA′=1．………………（14分）【解析】（Ⅰ）证明DE ⊥AE ，DE ⊥EB ．A′E ⊥DE ．结合A′E ⊥BE ，证明A′E ⊥平面BCDE ．然后证明平面A′ED ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）建立空间直角坐标系E-xyz ，求出平面A′BC 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线A′E 与平面A′BC 所成角的正弦值．（Ⅲ）设，通过EF ∥平面A′BC ，所以，求出m ，然后推出结果即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18.【答案】解：（Ⅰ）由已知，得a =√3，c =1，所以e =c a =√3=√33，又a 2=b 2+c 2，所以b =√2所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1，离心率e =√33，证明：（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x m ，y m ），①当直线l 与x 轴垂直时，点A ，B 的坐标分别为(0，−√2)，(0，√2)．因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x m ，−√2−y m )，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x m ，√2−y m )，MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0−x m ，0−y m )，所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3x m ，−3y m )=0．所以x m =0，y m =0，即点M 与原点重合，②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =kx +1，由{x 23+y 22=1，y =kx +1，得（3k 2+2）x 2+6kx -3=0，△=36k 2+12（3k 2+2）=72k 2+24＞0．所以x 1+x 2=-6k3k 2+2，则y 1+y 2=43k 2+2＞0，因为MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 1-x M ，y 1-y M ），MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（x 2-x M ，y 2-y M ），MO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-x m ，-y m ），所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2+0−3x m ，y 1+y 2+0−3y m )=0．所以x 1+x 2=3x m ，y 1+y 2=3y m ．x m =−2k3k 2+2，y m =433k 2+2＞0，消去k 得2x m 2+3y m 2−2y m =0(y m ＞0)．综上，点M 构成的曲线L 的方程为2x 2+3y 2-2y =0对于曲线L 的任意一点M （x ，y ），它关于直线y =13的对称点为M′(x ，23−y)．把M′(x，23−y)的坐标代入曲线L的方程的左端：2x2+3(23−y)2−2(23−y)=2x2+4 3−4y+3y2−43+2y=2x2+3y2−2y=0．所以点M'也在曲线L上．所以由点M构成的曲线L关于直线y=13对称【解析】（Ⅰ）由已知，得a=，c=1，所以，由a2=b2+c2，所以b=，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x m，y m），分两种情况，借助韦达定理和向量的运算，即可求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2-2y=0，即可证明本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点的轨迹方程，考查计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）当k=0时，f(x)=1x2=x−2，f′(x)=−2x−3=−2x3…（1分）所以f'（-1）=2，f（-1）=1…（2分）所以曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为y-f（-1）=f'（-1）[（x-（-1））]，…（3分）即2x-y+3=0；…（4分）（Ⅱ）k≠0时，（ⅰ）函数f（x）=e kxx2，定义域为{x|x≠0}，…（5分）所以f'（x）=ke kx⋅x2−e kx⋅2xx4=e kx(kx2−2x)x4…（7分）令f′（x）=0，得x=2k…（8分）①当k＞0时，在（-∞，0）和（2k ，+∞），f'′（x）＞0；在（0，2k），f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，0）和（2k ，+∞），单调递减区间为（0，2k）；…（9分）②当k＜0时，在（2k ，0），f′（x）＞0；在（-∞，2k）和（0，+∞），f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（2k ，0），单调递减区间为(−∞，2k)和（0，+∞）；…（10分）（ⅱ）由f（x）在区间（0，1）内单调递减，①当k＞0时，（0，1）⊆（0，2k ），有2k≥1，所以0＜k≤2；…（11分）②当k＜0时，f（x）在（0，+∞），递减，符合题意…（12分）综上k的取值范围是（-∞，0）∪（0，2]…（13分）【解析】（Ⅰ）先利用导数求出切线的斜率，再借助点斜式求出切线方程；（Ⅱ）在（i）中，先求出导数，然后对k讨论确定f′（x）的符号，从而求出单调区间；（ii）在（i）的基础上从集合角度建立不等式求解．本题考查导数的几何意义、用导数研究函数的单调性问题，属于中档题目．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，集合S={1，2，3，…，100}，T={x|x=2n，n∈N*}={2，4，8，……}；则S-（S-T）={2，4，8，16，32，64}；则集合S-（S-T）的所有元素是：2，4，8，16，32，64；（Ⅱ）当首项是1，末项是100时，公差最大为11，即D=11．这样的数列只有1个：1，12，23，34，45，56，67，78，89，100；当选取的10个数是连续自然数时，公差最小为1，即d=1．这样的数列首项可以是1，2，3，…，91中的任何一个，因此共有91个公差为1的等差数列；S表中各行或各列的十个数分别构成等差数列．假设存在含有10个元素的集合A，使得S-A中不含10个元素组成的等差数列．显然每连续10个元素中必有集合A中的唯一一个元素，即表的每行、每列中必有集合A中的唯一一个元素．记表中第i行第j列的数为（i，j）．若第i（1≤i≤9）行中集合A的唯一元素为（i，j），则第i+1行中（i+1，1），（i+1，2），…（i+1，j）中必有集合A中元素．若第i（1≤i≤9）行的第一个数在集合A中，则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第一列中集合A的唯一元素只可能在第十行．同理，若第i（1≤i≤8）行的第二个数在集合A中，则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列，与假设矛盾．因此，第二列中集合A的唯一元素只可能在第九行．依此类推，得A={10，19，28，37，46，55，64，73，82，91}．此时，另一条对角线上的十个元素{1，12，23，34，45，56，67，78，89，100}构成等差数列，与假设矛盾．综上，原命题成立．【解析】（Ⅰ）根据题意，分析集合T的元素，结合M-N的含义分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，由等差数列的性质分析公差的最大、最小值，据此分析等差数列的数目，相加即可得答案；（Ⅲ）根据题意，将集合S中元素列表，据此分析集合集合S-A中的元素，由反证法分析可得结论．本题考查数列与集合的综合应用，涉及集合的表示方法以及合情推理的应用，关键是掌握集合以及集合中元素的性质，属于基础题．。